SUITES ARITHMETIQUES ET GEOM GEOM ETRIQUES EXERCICES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Les nombres suivants sont-ils en pro gression arithmétique ? 2364510 ; 3475621 ; 4586732 Exercice n°2. Parmi ces suites, lesquelles lesquelles sont arithmétiques arit hmétiques ? :
u0 = 1 un +1 + un = 1
u0 = 3 un − un+1 = 4
Exercice n°3. ( un ) est une suite arithmétique ar ithmétique de raison r . 1) On sait que u0 = 2 et r = −3 . Calculer u10 , u20 , u100 . 2) On sait que u0 = 2 et u1 = 5 . Calculer r et et u2 et u5 3) On sait que u0 = 2 et u2 = 10 . Calculer r et et u1 , u5 4) On sait que u1 = 10 et u10 = 28 . Calculer r et et u0 , u5 5) On sait que u5 = 17 et u10 = 12 . Calculer r et et u0 , u1 6) Sachant que u20 = −52 et u51 = −145 , explicitez un 7) Sachant que u22 = 15 et r =
3 4
, explicitez un
8) Sachant que u0 = 3 et que u20 = u10 + 25 , explicitez un 9) Une suite su ite arithmétique u est telle que u2 + u3 + u4 = 15 et u6 = 20 .Calculez u0
Exercice n°4. Albert place un capital initial C0 = 3000 € à un taux annuel de 6%, les intérêts étant simples, c’est-à-dire que le capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6% du capital initial (les intérêts ne sont pas capitalisés chaque année, co mme mme ce sera it le cas pour des intérêts composés). composés). On note C n le capital capita l d’Albert au bout de n années, capital exprimé en euros. 1) Montrer que, pour tout entier n, Cn +1 = C n + 180 . Qu’en déduit-on? 2) Pour tout entier n, exprim e xprimer er C n en fonction de n. 3) De quel capital cap ital Albert dispose-t-il dispose-t-il au bout de 10 a ns?
4) Au bout de combien d’années le capital a-t-il doublé? 5) Au bout de com co mbien d’années le capital dépasse-t-il 10000 € ? Exercice n°5. Montrer que la suite su ite ( un ) des aires définies défin ies par la figure ci-dessus est arithmétique. Exercice n°6. Combien y a-t-il a-t-i l de nombres impairs entre 179 et 1243 ? de nombres nombres pairs? Exercice n°7. 1) En reconnaissant reconna issant la somme somme des termes te rmes d'une suite arithmétique, calculer S 1 =
1 3
+1 +
5
+ .... +
3
19 3
+7
2) Calculer S2 = 5+2-1-4-7…-34 5+2-1-4-7…-34 3) Calculer la somme somme des entiers e ntiers multiples de 7 qui sont p lus grands que 100 et plus petits q ue 1000. 4) Exprimer la somme S n = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n en fonction de n.
Exercice n°8. i =n
Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u0 = 2 et, n étant un nombre entier,
∑u
i
= 6456 . Calculez n.
i =3
Exercice n°9. Une horloge sonne toutes les heures, de 1 coup à 1 heure du matin à 24 coups à minuit. Quel est le nombre de sons de cloche entendus en 24 heures ? Page 1/11
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Exercice n°10. 1) Les nombres – 5, 8, 21 sont les trois termes consécutifs d’une suite. Est-ce une suite arithmétique ou géométrique ? Quelle est la raison de cette suite ? 2) Les nombres –5, 10, –20 sont les trois termes consécutifs d’une suite. Est-ce une suite arithmétique ou géométrique ? Quelle est la raison de cette suite ? Exercice n°11. Les nombres suivants sont-ils en progression géométrique ? 346834 ; 3434 ; 34 Exercice n°12. Parmi ces suites, lesquelles sont géométriques géométriques :
u0 = 100 6 = + u u un n n+1 100
u0 = 7 2 un +1 = un
Exercice n°13. ( un ) est une suite géométrique de raison r . 1) On sait que u0 = 32 et r = 2) On sait que u1 =
1 125
1 4
. Calculer u2 , u3 , u5 , u8 .
et r = 5 . Calculer u0 , u5 , u7 , u20 .
3) On sait que u0 = 1 et u1 =
1
. Calculer r, u2 et u5 3 4) On sait que u0 = 3 et u2 = 12 . Calculer r , , u1 et u5 5) On sait que u1 = −1 et u10 = 1 . Calculer r , , u0 et u5
Exercice n°14. Montrer que ces suites sont géométriques, géométriques, et préc iser leur raison et leur pre mier mier terme.
un = ( −4 )
2 n +1
n
vn = 2 ×
1 n +1
3
n
wn = ( −1) × 23
n +1
Exercice n°15. En reconnaissant la somme des termes d'une suite géométrique, calculer :
1
−
1
2 − 2 + 2 2 .... − 64 + 64 2 − 128 8 9 21 4) 2 + 2 + 2 + .... + 2
2 3 4 17 5) − x + x − x + x .... − x
32
+ ...... −
1
2)
8 16
+
1
1) 18 + 54 + 162 + ..... + 39366
1048576
3)
7
Exercice n°16. On suppose que chaque année la production d'une usine subit une baisse de 4%. Au cours de l'année 2000, la production a été de 25000 unités. On note P 0 = 25000 et P n la production product ion prévue prévue au cours de l'année 2000 + n. a) Montrer que P n est une suite géométrique dont on donnera la raison. b) Calculer P 5. c) Si la production descend au dessous de 15000 unités, l’usine sera en faillite, quand cela r isque-t-il isque-t-il d’arriver d’arr iver si la baisse de 4% par an persiste ? La réponse sera recherchée par expérimentation avec la calculatrice. Exercice n°17. La location annuelle initiale d'une maison se monte à 7000 €. Le locataire s'engage à louer durant 7 a nnées complètes. Le propriétaire lui propose deux contrats : 1) Contrat n°1 Le locataire accepte chaque année a nnée une augmentation de 5 % du d u loyer de l'année précédente ère ième a) Si u1 est le loyer initial de la 1 année, exprimer le loyer un de la n année en fonction de n ème b) Calculer le loyer de la 7 année c) Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation 2) Contrat n°2 Le locataire accepte chaque année a nnée une augmentation forfaitaire de 400 € ère ième a) Si v1 est le loyer initial de la 1 année, exprimer le loyer vn de la n année en fonction de n ème b) Calculer le loyer de la 7 année c) Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation 3) Conclure : quel contrat est le plus avantageux ?
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Exercice n°18. Nous avons tous 2 parents, 4 grands parents, 8 arrières grands-parents, grands-parents, etc… En supposant que nous appartenons à la génération 1, que nos parents appartiennent à la génération 2, nos grands parents à la génération 3, etc… : 1) Combien d’ancêtres figurent à la génération 10 ? ème 2) Si on pouvait remonter jusqu’en l’an 1000 (soit environ à la 40 génération), combien y aurait-il d’individus au total sur l’arbre généalogique (de la 1ère génération c’est à dire nous, jusqu’à la 40ème génération comprise) ? Que penser de ce résultat ? Exercice n°19. Un roi de Perse voulut récompenser l'inventeur du jeu d'échecs. Ce lui-ci demanda au roi de déposer un gra in de blé sur la première case, 2 grains sur la seconde, 4 grains sur la troisièm tro isièmee et e t a insi de s uite en doublant à chaque fois le nombre de grains jusqu'à la 64ème case. 1) Combien de grains de blé devront être posés sur l'échiquier ? 2) En admettant ad mettant que 1024 grains de blé pèsent 100 grammes, grammes, calculer calcu ler la masse de ces grains de b lé. 3) En 1989, la production française française de blé b lé a été de 30 millions de tonnes, combien combien d'années de production faudrait-il faudrait-il pour remplir l'échiquier ? 4) Sachant que le roi pose un grain à la seconde, et qu'il co mmença mmença lors du b ig-bang, ig-bang, a-t-il a ujourd'hui terminé ? Exercice n°20. On déchire en deux une feuille de pap ier de 0,1 mm d’épaisseur. d’épaisseur. On superpose les deux morceaux que l’on déchire de nouveau en deux. Quelle épaisseur de papier obtiendrait-on si on pouvait répéter l’opération au total trente fois (c’est à dire répéter 29 fois ce que l’on vient de faire) ? Exercice n°21. On considère la suite (un ) de réels strictem stricte ment positifs, définie par : u0 = 2 , et pour tout n ∈ ℕ , ln(un +1 ) = 1 + ln(u n ) . 1) Exprimer un +1 en fonction de un et préciser la nature de la suite (un ) . 2) Déterminer la monotonie de la suite (un ) , et préciser sa limite. limite. n
3) Exprimer la somme
∑u
k
en fonction de n.
k =0 n
4) Exprimer la somme
∑ ln(u ) en fonction de n. En déduire le calcul de u × u k
1
2
× ... × u n en fonction de n.
k =1
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SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES CORRECTION Exercice n°1 Puisque 3475621-2364510=111111 et 4586732-3475621,=111111, ces nombres sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 111111 Exercice n°2 La suite définie par
u0 = 1 n’est pas arithmétique car si on calcule u1 = 1 − u0 un+1 + un = 1
=0,
u2 = 1 − u1 = 1 ,
u3 = 1 − u 2 = 0 , etc…, on s’aperçoit que la différence entre deux termes consécutifs n’est pas toujours la même. La suite est alternée, un ter me sur deux valant 0, l’autre valant 1 La suite définie par
u0 = 3 est arithmétique car elle se redéfinit par u u 4 − = n n +1
u0 = 3 , qui est caractéristique d’une u u 4 = − n+1 n
suite arithmétique de raison –4. Exercice n°3 1) Si u0 = 2 et r = −3 , alors pour tout n ∈ ℕ , un = u0 + n × r = 2 − 3n , ce qui nous permet de calculer u10 = −28 ,
u20 = −58 et u100 = −298 . 2) On calcule r = u1 − u0 = 5 − 2 = 3 , donc pour tout entier n ∈ ℕ , un = u0 + n × r = 2 + 3n ce qui nous permet de
calculer u2 = 8 et u5 = 17 1
(u2 − u0 ) = 4 , 2 un = u0 + n × r = 2 + 4n ce qui nous permet de calculer u1 = 6 et u5 = 22
3) Puisque
u2 = u0 + 2 × r ,
on
en
déduit
que
r=
4) Puisque
u10 = u1 + 9 × r ,
on
en
déduit
que
r=
1 9
(u
10
)
− u1 = 2 ,
et
ainsi
pour
tout
entier
n ∈ℕ ,
et
ainsi
pour
tout
entier
n ∈ℕ ,
et ainsi pour tout entier
n ∈ℕ ,
un = u1 + ( n −1) × r = 10 + 2 ( n −1) = 2n + 8 ce qui nous permet permet de calculer u0 = 8 et u5 = 18 5) Puisque
u10 = u5 + 5 × r , on en déduit que
r=
1 5
( u10 − u5 ) = −1 ,
un = u5 + ( n − 5 ) × r = 17 − ( n − 5) = 22 − n ce qui nous permet permet de calculer u0 = 22 et u1 = 21 6) Puisque u51 = u20 + ( 51 − 20 ) × r , on en déduit que r =
1
(u51 − u20 ) =
31 n ∈ ℕ , un = u20 + ( n − 20) × r = −52 + ( −3) ( n − 20) = −3n + 8
7) Pour tout entier n ∈ ℕ , un = u22 + ( n − 22 ) × r = 15 + 8) Puisque u20
3 4
( n − 22) =
3
1 31
n−
to ut entier ( −145 + 52) = −3 , et ainsi pour tout
3
4 2 = u10 + ( 20 − 10 ) × r , on en déduit que 10r = 25 ⇔ r = 2, 5 , et ainsi pour tout entier n ∈ ℕ ,
un = u0 + n × r = 3 + 2, 5n 9) Puisque la suite u est arithmétique de raison r , u2 + u3 + u 4 = u 2 + u2 + r + u 2 + 2r = 3u 2 + 3r , et u6 = u2 + 4r . Le
15 u2 = 0 u2 + u3 + u4 = 15 ⇔ u2 + r = = 5 système a pour solution . Puisque pour tout entier n ∈ ℕ , 3 r 5 = u6 = 60 ⇔ u2 + 4r = 20 un = u0 + ( n − 2 ) × r = 0 + 5 ( n − 2) = 5n −10 10 , on en déduit u0 − 10 Exercice n°4 1) Le montant des intérêts qui s’ajoutent au capital d’une année C n est égal à 3% de 3000 €, c’est-à-dire à
6
= 180 . Ainsi Cn +1 = C n + 180 . La suite ( C n ) est donc une suite arithmétique de raison 180 et de premier 100 terme C 0 = 3000
3000 ×
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2) Pour tout n ∈ ℕ , Cn = C0 + n × r = 3000 + 180n 3) Au bout de 10 ans, Albert disposera de C 10 = 3000 + 180 × 10 = 4800 4) On résout Cn ≥ 2C0
⇔
3000 + 180n ≥ 6000 ⇔ n ≥
3000 180
. Comme n ∈ ℕ , n ≥ 17 . Le capital d’Albert aura donc
doublé au bout de 17 ans 5) On résout Cn ≥ 10000
⇔
3000 + 180 n ≥ 10000
⇔
n≥
7000 180
. Comme n ∈ ℕ , n ≥ 39 . Le capital d’Albert aura
donc atteint 10000 € au bout de 39 ans Exercice n°5 Notons
( r n ) la suite des rayons des cercles. ( r n ) est une suite arithmétique de raison
r 1 = 1 . Ainsi, pour tout entier n ≥ 1 , rn = 1 + An =
1 2
π
( rn )
2
1 = π 1 + ( n −1) 2 2 1
2
1 2
1 2
et de premier terme égal à
( n −1) . Les aires des demi disques sont donc égales à :
1 1 = π n+ 2 2 2 1
2
2
1 1 1 1 1 Pour tout entier n ≥ 1 , un = An − An−1 = π n + − π ( n −1) + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = π n + − n n + + n = π n + 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 1 Ainsi, pour tout entier n ≥ 1 , un = π n + 4 2 1
2
Pour montrer que la suite ( un ) des aires est arithmétique, on calcule la différence enter deux termes consécutifs : Pour tout entier n ≥ 1 , un +1 − un =
1 1 1 1 1 u . La suite est donc arithmétique de raison n 1 n + + − + = π π ( ) n 4 4 2 4 2 4
1
Exercice n°6 Les nombres impairs sont les termes de la suite arithmétique de raison 2, et de premier u0 = 1 . Ainsi ils sont de la forme
un = 2n + 1 . On cherche à dénombrer les nombres impairs tels que 179 ≤ un ≤ 1243 ⇔ 179 ≤ 2n + 1 ≤ 1243 , 179 − 1
n
≤
n≤
1243 − 1
, c’est-à-dire correspondant à 89 ≤ n ≤ 621 . Il y a 621 − 89 + 1 = 533 entiers n tels que 2 2 89 ≤ n ≤ 621 , donc il y a 533 nombres impairs entre 179 et 1243 Les nombres pairs étant les termes de la suite arithmétique de raison 2, et de premier v0 = 1 . Ainsi ils sont de la forme ⇔
= 2n . On cherche donc les entiers tels que 179 ≤
2n ≤ 1243 ⇔
179 2
≤
n≤
1243 2
. Comme n ∈ ℕ , 90 ≤ n ≤ 621 . Il y
a 621-90+1=532 nombres impairs entre 179 et 1243. Exercice n°7 1) Si on note
( un ) la suite arithmétique de raison
Résolvons un = 7
⇔
correspond
la
à premier premier terme
1 3
u0 + u10
× 11 nombre de termes
2
2 3
n=7
⇔
3
et de premier terme
1 3 = 11×
+7 =
2
1 3
, on a, pour tout n ∈ ℕ , un =
n = 10 . Ainsi 7 correspond à u10 , et la somme S 1
S 1 = u0 + u1 + .... + u10
somme
dernier terme
S 1 =
+
2
des
11
premiers
termes
=
1 3
+1 +
de
5 3
1 3
+ .... +
( un ) .
+
2 3
19 3
n.
+7
Ainsi
121 3
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2) Si on note
( un ) la
Résolvons un = −34 correspond
à
suite arithmétique de raison -3 et de premier terme 5, on a, pour tout n ∈ ℕ , un = 5 − 3n .
⇔
5 − 3n = −34 ⇔ n = 13 . Ainsi -34 correspond à u13 , et la somme S2 = 5+2-1-4-7…-34
la
premier premier terme
S 2 = u0 + u1 + .... + u13
somme
des
14
premiers
termes
( un ) .
de
Ainsi
dernier
terme u0 + u10
S 2 = 14 ×
2
nombre de termes
= 14 ×
5 − 34 2
= −203
3) Les multiples de 7 sont les termes de la suite arithmétique de raison 7, et de premier u0 = 0 . Ainsi ils sont de la forme
un = 7n . On cherche à dénombrer les termes de la suite tels que 100 ≤ un ≤ 1000 ⇔
100
≤
7
n≤
1000 7
,. Comme n ∈ ℕ ,
15 ≤ n ≤ 142 . Il y a 142-15+1=128 multiples de 7 entre 100 et 1000. premier terme
dernier terme
u15 + u142
× La somme de ces 128 multiples est donc do nc égale à 128
2
nombre de termes
= 128 ×
105 + 994 2
= 70336
Si on note ( un ) la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1, on a, pour tout n ∈ ℕ , un = 1 + ( n − 1) = n , et ainsi la somme S n = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n est celle des n premi pre miers ers termes de la suite ( un )
Ainsi pour tout n ∈ ℕ , S n =
×
n nombre de termes
premier premier terme
dernier terme
1 + n
=
n ( n + 1)
2
2
Exercice n°8 Si
( un ) est
i =n
une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme u0 = 2 , la somme
∑ u des n-3+1 termes de i
i =3
u3 = u0 + 3r = 2 + 3 × 5 = 17 premier terme
17 + 2 + 5n
nombre de termes
=
( n − 2 ) (19 + 5n )
2
i =n
∑
un = u0 + nr = 2 + 5n
s’exprime
en
fonction
de
n
par :
dernier terme
n − 2) × (
à
ui = 6456 équivaut alors à
2
.
( n − 2 ) (19 + 5n )
=
6456
⇔
2
2
5n + 9 n − 38 = 12912 , c’est-à dire à 5n + 9 n − 12950 = 0 .
2 On résout cette équation du second degré en calculant son discriminant, et on obtient deux solutions distinctes, dont la seule entière positive est n = 50 i =3
Exercice n°9 Notons ( un ) la suite correspondant au nombre de coups d’horloge, de u1 = 1 , à 1 heure du matin, à u24 = 24 , à minuit. Le nombre de sons de cloche entendus en 24 heures est égal à la somme u1 + u2 + ...u24 des 24 premiers termes de cette
× 24
suite arithmétique de raison 1. Celle Ce lle somme vaut
nombre de termes
premier premier terme
dernier terme
1 + 24 2
= 300
Remarque : On pouvait appliquer app liquer la formule formule 1 + 2 + ...n =
n ( n + 1) 2
, démontrée dans l’exercice n°7, en re mplaçant n par 24
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Exercice n°10 1) Les différences 8-(-5)=13 et 21-8=13 étant égales, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 3
8
Comme les quotients
−5
21
et
8
sont différents, d ifférents, ces nombres ne sont pas les ter mes consécutifs d’une suite géométrique. géométrique.
2) Les différences 10-(-5)=15 et -20-10=-30 n’étant pas éga les, ces nombres ne sont pas les termes consécutifs d’une suite arithmétique
En revanche, les quotients
10 −5
−20
= −2 et
= −2 étant égaux, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite
10
géométrique de raison -2 Exercice n°11 Les quotients
3434 346834
géométrique de raison
1
=
101
34
et
1
=
3434
101
étant égaux, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite
1 101
Exercice n°12 La suite définie par
montrent que
u2
≠
u1
u0 = 7 2 n’est pas géométrique, car le calcul de u1 = u0 2 un+1 = un
2
= 7 = 49 et de
u2 = u12 = 492 = 2401
u1 u0
u0 = 100 La suite définie par se réécrit 6 u u u = + n+1 n 100 n
u0 = 100 , donc est une suite géométrique de raison 1,06 et de = u 1,06 u n n +1
premier terme 100 Exercice n°13 1)
Si
u0 = 32
et
r =
1 4
,
on
calcule
2
1 u2 = u 0 × r = 32 × 4 2
2
=2,
puis
u3 = u2 × r = 2 ×
1 4
=
1 2
,
3
1 1 1 1 1 1 3 u5 = u3 × r = × = et u8 = u5 × r = × = 2 4 32 2048 32 4 1 n u1 1 5 n 125 2) Puisque u1 = u0 × r , on déduit u0 = = = , et à partir de la formule un = u0 × r = , on déduit r 5 625 625 2
u5 = 5 , u7 = 125 et u20 =
520
=
725
520 4
5
16
=5
n 1 1 1 n 3 3) Puisque u1 = u0 × r , on déduit r = = = , et à partir de la formule un = u0 × r = , on déduit u0 1 3 3
u1
successivement u2 =
1 9
et u5 =
1 243
2
2
4) Puisque u2 = u0 × r , on déduit r =
u2
=
12
u0
3
= 4 , ce qui nous fournit deux solutions : r = 2 ou r = -2. Si
r = 2 , à
n n partir de la formule formule un = u0 × r = 3 × 2 , on déduit successivement u1 = 6 et u5 = 96 . Si r = −2 , à partir de la n
n formule un = u0 × r = 3 × ( −2 ) , on déduit déd uit successivement u1 = −6 et u5 = −96
9
9
5) Puisque u10 = u1 × r , on déduit r =
un = u1 × r n −1 = ( −1) × ( −1)
n −1
( )
= −1
n
u10 u1
=
1 −1
= −1 , ce qui nous fournit : r = -1. Ainsi, pour tout
n ∈ℕ ,
. On en e n déduit successivement u0 = 1 et u5 = −1
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Exercice n°14 2( n +1)+1
2 n +3
( −4 ) 2 n 3 ( 2 n 1) 2 4 4 1) On calcule = = − = − = 16 , ( ) ( ) 2n 1 un ( −4 ) 2 0 1 géométrique de raison 16, et de pre mier terme terme u0 = ( −4 ) = −4 un+1
( −4 ) = 2n 1 ( −4 )
+ −
+
+
+
ce qui prouve que la suite
(un ) est
× +
vn +1
2) On calcule
2
n +1
( n +1)+1
3
=
vn
1
×
1
n
2 × 0
de premier ter me v0 = 2 ×
=
2
n +1
3n + 2
n +1
×
3
2n
=
2 3
, ce qui prouve que la suite ( vn ) est géométrique de raison
3
, et
n +1
3 1
=
0+1
3
1 3
n +1
n +1
( −1) × 23( n 1) 1 ( −1) × 23n 4 n 1 n 3n 4 (3 n 1) 3 1 3) On calcule : = = = − ×2 = −2 = −8 , ( ) n n 3n 1 3n 1 wn ( −1) × 2 ( −1) × 2 0 3 0 1 suite ( wn ) est géométrique géométrique de raison -8, et de pre mier terme terme w0 = ( −1) × 2 =2 wn +1
2
+
+
+
+ −
+
+ −
+
+
ce qui prouve que la
× +
Exercice n°15 1) Si on note ( un ) la suite géométrique géométrique de raison q=3 et de pre mier mier term ter me u0 = 18 , on a, pour tout n ∈ ℕ , un = 18 × 3 . n
un = 39366 ⇔ 18 × 3n = 39366 ⇔ n = 7 .
Résolvons
Ainsi
39366
correspond
u7 ,
à
et
18 + 54 + 162 + ..... + 39366 correspond à la somme u0 + u1 + .... + u7 des 8 premiers termes de
premier premier terme
somme
( un ) .
Ainsi
nombre raison de termes
1− q u0 ×
la
= 18 ×
1− q
1 − 38 1− 3
= 59040
raison
2) Si on note
( un ) la
1
suite géométrique de raison q = −
n
2
et de premier terme u0 =
1 8
, on a, pour tout n ∈ ℕ ,
n
1 1 1 1 1 1 1 un = × − . Résolvons un = − ⇔ ⇔ n = 17 . Ainsi − × − = − correspond à 1048576 8 2 1048576 8 2 1048576 1 1 1 1 u17 , et la somme − + + ...... − correspond à la somme u0 + u1 + .... + u17 des 18 premiers termes de 8 16 32 1048576
nombre raison de termes
1− q
( un ) . Ainsi
u0 ×
1− q
premier terme
3) Si on note
(
( un ) la suite géométrique de raison
un = 2 × − 2 Résolvons
raison
18
1 1− − 1 2 = × 8 1 1− − 2
18 1 1 = 1 − 12 2
q = − 2 et de premier terme u0 = 2 , on a, pour tout n ∈ ℕ ,
n
). (
un = −128 ⇔
2× − 2
)
n
= −128
⇔
n = 13 .
Ainsi
-128
correspond
à
u13 ,
et
la
somme
2 − 2 + 2 2 − 4 + 4 2 .... − 64 + 64 2 −128 correspond à la somme u0 + u1 + .... + u13 des 14 premiers termes de
nombre raison de termes
1− q
( un ) . Ainsi
u0 × premier terme
1− q
raison
=
2×
14
( ) 1− ( − 2 )
1− − 2
=−
127 2 2 +1
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4) Si on note
( un ) la
suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u0 = 1 , on a, pour tout n ∈ ℕ ,
n
un = 1 × ( 2 ) = 2 n . La somme 27 + 28 + 29 + .... + 221 correspond donc à u7 + u8 + .... + u21 de 21-7+1=15 termes consécutifs de ( un ) .
nombre raison de termes
1− q Ainsi u7 × premier terme
5) Si on note
15
7
=2 ×
1− q
1− ( 2)
7
1 − ( 2)
=2
(2
15
)
−1
raison
( un ) la suite géométrique de raison
q = −x et de premier terme, la somme − + x 2 − x 3 + x 4 .... − x 17
correspond à la somme u0 + u1 + .... + u16 des 17 pre miers termes termes de ( un ) . nombre
raison de termes 1− q Ainsi u0 ×
premier terme
1− q
17
( )
= − x ×
1 − ( − x )
1 − ( −x )
( )
= −x ×
17
1+
1+ x
raison
Exercice n°16 a) Une diminution de 4% se traduisant par une multiplication par 1 −
4 100
= 0, 96 , on a donc Pn +1 = 0,96P n . La suite
do nc une suite géométrique de raison 0,96. ( P n ) est donc b) On
en
déduit
ainsi
que
pour
n
P n = 25000 × 0, 96 96 ,
n ∈ℕ ,
tout
ce
qui
permet
de
calculer
P 5 = 25000 × 0, 96 965 ≈ 20384, 32 c) On cherche pour quelle valeur de n on aura n
n
P n = 25000 × 0, 96 ≤ 15000 ⇔ 0, 96 ≤
3 5
.
Grâce à la calculatrice, on trouve n ≥ 13 Remarque : On peut aussi écrire écr ire : n
0, 96 ≤
3 5
⇔
( )
ln 3 3 5 n ln ( 0, 96) ≤ ln ⇔ n ≥ ≈ 12, 51 ln ( 0, 96) 5
Comme n ∈ ℕ , on retrouve bien n ≥ 13 Exercice n°17 1) a) Le loyer annuel du contrat n°1 peut être modélisé par une suite ( un ) géométrique géométrique de raison 1,05 (une a ugmentation
de 5 % du loyer de l'année précédente se traduit par une multiplication par 1 +
05 u1 = 7000 . Pour tout n ≥ 1 , le loyer de la nième année vaut un = 7000 ×1, 05 b) Le loyer de la 7
ème
n −1
5 100
= 1, 05 ), et de premier terme
,
6
05 ≈ 9380, 67 67 € à 0,01 € près année vaut u7 = 7000 ×1, 05
c) La somme payée au bout de 7 année d’occupation vaut u1 ×
1 − 1, 05 05
7
1 − 1, 05 05
≈ 56994,06 €
( n ) arithmétique de raison 400 € et de premier terme v1 = 7000 . Ainsi, pour tout n ≥ 1 , le loyer de la nième année vaut vn = 7000 + 400 ( n − 1) .
2) a) Le loyer annuel du contrat n°2 peut être modélisé par une suite
b) Le loyer de la 7
ème
année vaut v7 = 7000 + 400 × 6 = 9400 €
c) La somme payée au bout de 7 année d’occupation vaut v1 + v2 + ....v 7 = 7 ×
v1 + v7 2
= 57400 €
3) Le contrat le plus avantageux pour le locataire est le contrat n°1
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Exercice n°18
(un ) la suite représentant le nombre d’individus à la génération n , on a u1 = 1 , et pour tout (un ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 1 . Ainsi, pour tout
1) En notant
n ≥ 1,
un +1 = 2u n .
n ≥ 1,
un = u1 × 2 n−1 = 2n −1 9
Le nombre d’ancêtres figurent à la génération 10 vaut alors u10 = 2 = 512 ère
2) Le nombre d’invidus figurant sur l’arbre généalogique de la 1 à la 40
u1 + ....u40 = u1 ×
1− 2
ème
génération comprise serait égal à
40
=2
1− 2
40
12
−1 ≈ 1,1 ×10 individus, soit plus de 1100 milliards d’individus ! Ce chiffre est bien sûr
impossible impossible et s’explique s’e xplique par le fait que l’on ne tient pas co mpte des mariages entre cousins co usins Exercice n°19 1) En notant ( un ) la suite représentant le nombre de grains de blé sur la nième case. On a u1 = 1 , et pour tout n ≥ 1 ,
un +1 = 2u n . un = u1 × 2
(un ) est
n −1
=2
donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 1 . Ainsi, pour tout n ≥ 1 ,
n −1
Le nombre de grains de blé posés sur l’échiquier vaudra alors :
u1 + ....u64 = u1 ×
1 − 264
=2
1− 2
64
19
−1 ≈ 1, 8 ×10 . 19
2) Une règle de trois nous permet de conclure que si 1024 grains de blé pèsent 100 grammes, 1, 8 ×10 grains de blé
pèseront 100 grammes, grammes,
1, 8 ×1019 1024
18
12
×100 ≈ 1, 8 ×10 gramm gra mmes, es, soit e nviron 1, 8 ×10 tonnes
3) Une règle de trois nous permet de conclure que si la product ion française française de blé a été de 30 millions de tonnes, tonnes, il faudra
1, 8 ×1012 3 ×107
≈ 60048 ans pour produire la quantité de blé nécessaire !
4) Si on pose un grain par seconde, il faudra la production française de blé a été de 30 millions de tonnes, il faudra 19
11
environ 1, 8 ×10 secondes pour remplir l’échiquier, soit environ 5, 8 ×10 années pour remplir l’échiquier, soit e nviron 580 000 000 000 a nnées (580 milliards d’années !) Exercice n°20 En notant ( un ) l’épaisseur en dixièmes de mm obtenu après n superpositions de morceaux de feuille. On a donc u1 = 2 , et pour tout n ≥ 1 , un +1 = 2u n . ( un ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 2 . Ainsi, pour tout n ≥ 1 , un = 2 × 2
n −1
n
ème
= 2 dixièmes de mm. Au bout de 29 répétitions (c’est-à-dire à la 30
papier atteindrait u30 = 2
30
étape), l’épaisseur de
= 1073741824 dixièmes d ixièmes de millimètres, soit environ 107 kilomètres !
Exercice n°21 1) Puisque pour tout n ∈ ℕ , ln(un +1 ) = 1 + ln(u n ) = ln(e ) + ln(u n ) = ln(eu eu n ) , on en déduit que pour tout n ∈ ℕ ,
un +1 = eun . La suite (un ) est donc do nc une suite géométrique de raison e et de pre mier terme terme u0 = 2 2) Puisque la raison de cette suite est e > 1 et que u0 > 0 , on en déduit que la suite (u n ) est strictement croissante et que
lim un = +∞
n →+∞
n
3) Puisque la suite (un ) est une suite géométrique de raison e et de premier terme u0 = 2 , la somme
∑u
k
vaut donc
k =0 nombre de termes
1− e
n +1
u0 × 1− e premier
terme
= 2×
1− e
n +1
1− e
=
2 − 2e
n+1
1− e
raison
4) Puisque la suite (u n ) est une suite géométrique de raison e et de premier terme u0 = 2 , on établit que pour tout n n n ∈ ℕ , un = u0 × e = 2e .
(
Ainsi, pour tout n ∈ ℕ , ln ( un ) = ln 2e
n
) = ln 2 + ln ( e ) = ln 2 + n ln(e ) = ln 2 +n . n
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n
La somme
∑ ln(u ) vaut donc : k
k =1 n
∑ k =1
En
n
ln(uk ) =
∑
( ln 2 + k ) =
k =1
utilisant
ln ( u1 × u2 × ... ×u n ) =
n
∑
n
ln 2 +
k =1
les
k =1
k =1
propriétés
n
∑ ln(u
∑ k = n ln 2 +
k
)=
de
n ( n + 1) + 2n ln 2 2
n ( n + 1)
=
n ( n + 1) + 2n ln 2
2 la
2 fonction
logarithme
népérien,
puisque
n ( n +1) +2 n ln 2
on déduit que u1 × u2 × ... × u n = e
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