Cours sur le logiciel HEC-RAS Cabinet Telesystems http://www.tmis-conseil.com Par Khaled DEBIANE
Rabat, MAROC, Novembre 13-14, 2008
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Résumé HEC-RAS est un logiciel intégré pour l'analyse hydraulique qui permet de simuler les écoulements à surface libre. Il a été conçu par le Hydrologic Engineering Center du U.S Army Corps of Engineers. Il est présentement utilisé dans plusieurs firmes d'ingénierie et organismes gouvernementaux. Le code à surface libre HEC-RAS 3.1.2 est devenu maintenant très performant, doté d'interfaces conviviales d'édition et de paramétrage des simulations. Il peut traiter des cas complexes et il est disponible en freeware. Par contre, l'utilisation pertinente de tels modèles nécessite des connaissances solides en hydraulique pour poser le problème avec pertinence et juger de la qualité des résultats. Ainsi, la formation fournira d'abord un rappel des bases théoriques relatives à l'hydraulique des écoulements à surface libre. Je présenterai après le principe de fonctionnement de HECRAS et les principaux menus du logiciel. Par la suite, les principales étapes requises pour la modélisation hydraulique sont énumérées. Le code HEC-RAS sera ensuite utilisé pour modéliser la courbe de tarage dans deux stations (station d'Estellie sur le Verdon et la station de Pont de Mourrefrey dans l'Issole). On montre dans ces deux cas que la modélisation hydraulique donne également des bons résultats dans la détermination des courbes de tarage.
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TABLE DES MATIERES
I.1INTRODUCTION.......................................................................................................5 I.2RAPPEL DES BASES THÉORIQUES RELATIVES À L'HYDRAULIQUE DES ÉCOULEMENTS À SURFACE LIBRE.........................................................................7 I.2.1Formules de perte de charge par frottement ; écoulement turbulent ........................................................7 I.2.2Formules de perte de charge par frottement ; écoulement laminaire...................................................... 13 I.2.3Simplification du modèle d’écoulement de Navier-Stokes ........................................................................ 16 I.2.4Formulation 1D : Modèle de Saint-Venant ................................................................................................ 18 I.2.5Equation différentielle du mouvement graduellement varié .................................................................... 20 I.2.6Hauteurs caractéristiques de l'écoulement ................................................................................................. 22 I.2.7Etude qualitative systématique et classification..........................................................................................23
I.3PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DE HEC-RAS ET LES PRINCIPAUX MENUS DU LOGICIEL............................................................................................... 25 I.3.1Etapes de la modélisation.............................................................................................................................. 26
I.4MODÉLISATION DES COURBES DE TARAGE ; CAS PRATIQUE.................... 33 I.4.1Station d’Estellié sur le Verdon.................................................................................................................... 33 I.4.2Station de pont de Mourrefrey dans l’Issole............................................................................................... 37
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I.1 Introduction Les hydrauliciens savent actuellement caractériser l’écoulement de l’eau dans la nature. Pour essayer de reproduire l’ensemble des phénomènes qui apparaissent avec l’eau, ils ont réalisé beaucoup d’expériences avec de grands débits d’eau sur de grosses canalisations. De multiples formules empiriques ont été proposées, tout particulièrement dans le cadre de la modélisation unidirectionnelle des écoulements dans les canalisations longues en régime uniforme. L’une des hypothèses de base de la modélisation mathématique de ces écoulements équivaut à supposer que le mouvement se fait par tranches de fluide et que la répartition de la pression le long de la dite section transversale est hydrostatique. Chaque tranche est représentée par un équilibre entre l’inertie d’une part, les forces d’Archimède d’autre part, et le frottement qui s’exerce le long des parois mouillées de l’ouvrage considéré. Ce sont aussi là, les hypothèses de l’approximation de l’eau peu profonde, désignée également en hydraulique par le modèle de Saint-Venant, valable pour de grandes longueurs d’ondes. Pour terminer la formulation mathématique, on est amené à faire le choix d’une loi de frottement. Une loi a priori simple consiste à considérer que le comportement de chaque tranche du fluide dans un écoulement graduellement varié (qui varie en temps et/ou en espace), est similaire au comportement de la même tranche dans un écoulement uniforme. En se servant ainsi des formules empiriques de la littérature relatives à ces écoulements uniformes, on parvient à résoudre des problèmes beaucoup plus complexes. Dans le cas des écoulements graduellement variées qui motive cette étude, le calcul et la construction exacts du profil de la surface libre nécessitent la résolution de l'équation différentielle du mouvement obtenue à partir du modèle de Saint Venant. Dans la littérature, plusieurs méthodes de résolutions ont été utilisées : •
Méthode de Bakhmeteff
•
Méthode par approximations successives
•
Méthode graphique de Raytchine
•
Méthode de Silber
•
Méthode de Bresse Mais quel que soit le procédé de calcul utilisé, le résultat ne donnera l'équation de la ligne
de la surface libre qu'à une constante prés. Et il faudra obligatoirement connaître l'un de ses points ; celui-ci, appelé point de repère, désigné par h0 . Le point de repère est également
5 appelé "section de contrôle", il dépend de la singularité responsable de l'écoulement varié. En général, ce point est calculé séparément de l'écoulement à l'endroit même de la singularité, car c'est ici qu'un changement du régime d'écoulement se produit correspondant plus généralement à Fr = 1 (qui donne la hauteur critique représentant l'énergie minimale de l'écoulement). Mais, comme au voisinage des singularités le régime est brusquement varié, cette hauteur théorique ne correspond jamais à la réalité. Ainsi, on fait souvent appel à des lois semi-empiriques telles que la loi de déversoir, du ressaut hydraulique... Actuellement, il existe un certain nombre de codes de calcul numérique permettant de résoudre le problème dans des conditions pratiques. On trouve celles qui sont basées sur le modèle 1D de Saint Venant, comme HEC-RAS (développé par Hydrologic Engineering Center du U.S Army Corps of Engineers) et celles qui sont basées sur le modèle 2D, comme MAC2D (développée à l’Université de Louvain-la-Neuve) et RUBAR20 (développée au Cemagref). Nous nous intéressons dans ce travail au code HEC-RAS c’est une abréviation de « Hydrologic Engineering Center’s River Analysis System ». C’est un code 1D permanent ou non-permanent de calcul de ligne d’eau en graduellement varié. Il résout « l’équation de l’énergie unidimensionnelle », les pertes étant évaluées par la formule de frottement au fond de Manning-Strickler et par des formules de contraction/expansion de l’écoulement. Pour les situations rapidement variées telles que les ressauts hydrauliques, les écoulements à proximité des ponts, et les confluences de rivière, l’équation de l’énergie est remplacée par l’équation de quantité de mouvement. Pour les écoulements débordants, la section totale est divisée en soussections homogènes en terme de forme et de rugosité, et chaque débit partiel Q i est calculé selon la Divided Channel Method à l’aide de la formule de Manning-Strickler. Le cours fournira d'abord un rappel des bases théoriques relatives à l'hydraulique des écoulements à surface libre. Je présenterai après le principe de fonctionnement de HEC-RAS et les principaux menus du logiciel. Par la suite, les principales étapes requises pour la modélisation hydraulique sont énumérées. Le code HEC-RAS sera ensuite utilisé pour modéliser la courbe de tarage dans deux stations (station d'Estellie sur le Verdon et la station de Pont de Mourrefrey dans l'Issole). On montre dans ces deux cas que la modélisation hydraulique donne également des bons résultats dans la détermination des courbes de tarage.
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I.2 Rappel des bases théoriques relatives à l'hydraulique des écoulements à surface libre I.2.1 Formules de perte de charge par frottement ; écoulement turbulent Depuis Chézy (1775), les ingénieurs ont cherché à établir une formule pratique qui donnerait la relation entre la perte de charge (qui représente le frottement), le débit et les autres éléments intervenant dans le mouvement de l'eau qui fut longtemps le seul intéressant l'ingénieur. C'est le succès de la similitude qui a permet d'établir la forme générale de la loi de frottement à travers le coefficient de perte de charge Λ . Ainsi, pour un fluide quelconque dans un ouvrage quelconque (canalisation en charge, écoulement à surface libre), la pente de frottement ( J f est désignée également dans la littérature par S f ), s’écrit : Jf =
Λ U2 DH 2 g
(1) DH est le diamètre hydraulique, dimension linéaire caractéristique d'une section transversale de l'ouvrage considéré (diamètre d'une canalisation, diamètre hydraulique de la section mouillée d'un écoulement à surface libre, etc.). g est l'accélération de la pesanteur. U représente la vitesse moyenne débitante dans la dite section transversale. Λ est le coefficient adimensionnel de perte de charge (dans la littérature on introduit aussi le coefficient de frottement désigné par la lettre f ou par C f = Λ / 4 ) qui est fonction du nombre de Reynolds de l'écoulement Re, et de ε / DH , la rugosité relative des parois de l'ouvrage ( ε est la hauteur équivalente des rugosités des parois), soit : ε Λ = f Re, DH
(2)
Dans le cas d'un écoulement à surface libre, la pente du canal I est l'homologue de J, et on peut s’attendre à un effet de pesanteur supplémentaire comme le nombre de Froude et l’effet de la tension superficielle. On définit souvent dans ce cas le diamètre hydraulique, comme suit :
7 DH =
2S P
et
RH =
DH 2
(3)
Le point de distinction entre toutes les formules empiriques, semi-empiriques ou analytiques proposées dans la littérature porte sur l'expression du coefficient de résistance Λ . Comme signalé plus haut, la première formule empirique a été obtenue par Chézy correspondant à Λ = C 2 /(8 g ) où C est une constante appelée coefficient de Chézy. C'est depuis les expériences de Coulomb, en 1800, qu'on a su que la rugosité de la paroi a également une influence. A la suite, plusieurs autres formules différentes (établies dans les canaux ou dans les conduites en charge) ont été proposées. On peut citer par exemple les formules de Prony, Tadini, Ganguillet & Kutter, Darcy, Bazin, Blasius ( Λ = 0.316 Re0.25 ), Manning correspondant à C = Re1 / 6 / n où n est le coefficient de Manning, Strickler correspondant à n = 1 / k où k est le coefficient de Strickler. Ces formules empiriques ont été établies d'après les résultats d'expériences réalisées avec de grands débits d’eau sur de grosses canalisations, mais dans un domaine assez limité. Elles ont été parfois employées, par la suite, dans tous les cas possibles, avec des extrapolations que ceux qui les utilisent ne soupçonnent même pas. Dans le cas des écoulements dans les conduites en régime établi, le problème a été allégé par Reynolds, en 1883, qui fut le premier à définir le nombre adimensionnel Re portant son nom par la suite : Re =
ρ UDH µ
(4)
où ρ et µ représente respectivement la masse volumique et la viscosité du fluide. Dans les canaux, DH est souvent remplacé par 4 h où h représente la profondeur maximale (ou moyenne) de l'écoulement. Les observations de Reynolds indiquent suivant la valeur du nombre Re la nature du régime d'écoulement : pour de faibles valeurs de Re, les faibles rugosités de la paroi n'ont pas d'influence et l'écoulement est laminaire ; pour Re assez grand, un mouvement aléatoire des particules se produit donnant naissance à un écoulement turbulent. Dans les années trente, une contribution de plusieurs chercheurs (Prandtl, Nikuradse, Karman, Millikan…) a permet d'aboutir à une solution semi-empirique donnant, d'une part la répartition des vitesses locales (moyennes temporelles puisque celles-ci sont fluctuantes), d'autre part l'expression du coefficient de résistance Λ . Ces solutions font appel aux résultats de la similitude et à un certain nombre de raisonnements semi-théoriques faisant intervenir un
8 grand nombre de constantes. C'est grâce à l'expérience que ces constantes ont été évaluées. Ainsi, Λ a été caractérisée selon differents régimes d'écoulement, en passant du régime laminaire (écoulement de Poiseuille) à l'écoulement turbulent hydrauliquement lisse (loi logarithmique ou Karman-Prandtl), et enfin à l'écoulement hydrauliquement rugueux (Nikuradse). Dans le cas des rugosités aléatoires, Colebrook propose pour le régime intermédiaire (Hydrauliquement lisse/Hydrauliquement rugueux) une relation composite (implicite) de telle sorte, pour Re petit, on tombe sur la loi logarithmique et pour Re grand, on a la formule de Nikuradse. Moody et Rouse récapitulent par la suite ces formules dans un diagramme appelé usuellement diagramme de Moody qui représente le coefficient de résistance Λ en fonction du nombre de Reynolds et la rugosité relative ε / DH . Notons que même si d'autres formules ont été proposées dans la suite, les ingénieurs préfèrent toujours utiliser le diagramme de Moody. Ainsi, après un siècle et demi de recherches, le problème de l'écoulement de l'eau dans les conduites en régime établi a été maîtrisé. Il faut noter cependant que ces relations ont souvent été établies dans des géométries circulaires ( DH = D ). Si la section de la conduite est quelconque, on fait appel au concept du diamètre hydraulique ( DH = 4 S / P où S et P sont respectivement l'aire et le périmètre mouillée de la section), qui suppose que les lois établies dans les géométries circulaires restent valables en utilisant DH en place de D. L'erreur commise par cette approximation est environ 40% dans le régime laminaire, et de 15% dans le régime turbulent (cf. White 1986 pp. 322). Une autre approximation, qui donne des résultats meilleurs que la première, a été proposée par Jones (1976). Il s'agit de l'approximation du diamètre laminaire qui revient à remplacer D = λ DH où λ est un coefficient correcteur de non-circularité. Le coefficient λ peut être déterminé dans des conduites diverses à partir des solutions exactes relatives au cas laminaire : solutions analytiques de Boussinesq (1868) pour des sections planes et elliptiques, et beaucoup d'autres solutions données sous forme de séries par Berker (1963), White (1974), Zarling (1976), Burgess et Mahajerin (1987)… Notons également que le passage du régime laminaire au régime turbulent est un problème qui n'est pas encore tout à fait résolu. Dans le diagramme de Moody, la transition se situe vers Re = 2400 car on considère le cas des écoulements perturbés. On a pu atteindre en effet des 5
valeurs du nombre Re de l'ordre 10 en restant laminaire (avec des conduites très lisse et exemptes de vibrations). Précisons toutefois que dans les conduites usuelles, Rec est rarement supérieur à 4000 (Rec est le nombre de Reynolds lors de la transition).
9 D'autre part, un nombre considérable d'études a été consacré aux pertes de charge dans les canalisations, qui devrait avoir pour conséquence de chercher dans quelle mesure ces formules universelles (Prandtl, Nikuradse, Colebrook…) pourraient s'appliquer aux écoulements à surface libre (Thijsse 1949, Powell 1950, Crump 1956 cités par Carlier 1980). La formule de Crump se déduit immédiatement de la formule de Colebrook en y introduisant le coefficient de Chézy C à la place du coefficient de résistance Λ = C 2 /(8 g ) . Donc cette formule de Crump s'applique aussi bien aux canalisations en charge, qu'aux écoulements à surface libre. Mais d'une manière générale, l'utilisation de ces formules universelles rencontre bien des oppositions de la part de nombreux hydrauliciens qui préfèrent les formules classiques de Bazin, Manning, Strickler, etc. Selon un extrait de l'article de Vadot (1954), les formules établies pour les conduites ne peuvent pas être appliquées brutalement aux canaux. Des expériences effectuées par Varwick dans des canaux, dont les parois, comme Nikuradse, étaient recouvertes de rugosités artificielles, montrent la même allure que celles des courbes de Nikuradse. Toutefois, il se situe nettement au-dessus de la courbe de l'écoulement lisse. En outre, la transition et le passage au régime rugueux se produisent pour des nombres de Reynolds plus grand en canal qu'en conduite. Vadot explique cela par les déformations de la surface libre et par l'influence de l'encombrement des rugosités qui conduit à sous-estimer le périmètre mouillé. D’autres auteurs font observer que les écarts ont pour cause l'existence d'une surface libre qui a, sur l'écoulement, un effet de tranquillisant provoqué par le frottement entre l'air et le liquide (Carlier 1980) et d'autre introduit l'effet de la tension superficielle (cf. Bartolini 1977). On laisse de côté ces problèmes et signalons pour finir que les expériences réalisées dans la littérature ont montré que les écoulements uniformes dans les canaux changent du laminaire au turbulent dans le domaine Re variant entre 2000 à 50000 (cf. Chow 1959 pp.8) suivant la rugosité des parois. On retient donc que la formule la plus simple et la plus utilisée par les hydrauliciens pour évaluer la pente de frottement d’un écoulement turbulent est celle de la formule de ManningStrickler, utilisée également dans le programme HEC-RAS. Elle s'exprime sous la forme:
Λ =
Re1 / 3 8 g n2
(5)
où n est le coefficient de Manning, c’est un coefficient caractéristique de la nature des parois. La formule de Strickler correspondant à n = 1 / K où K est le coefficient de Strickler.
10 Tableau 1: Valeurs estimées pour le coefficient de Manning en fonction de la nature des parois Nature des parois
n (Manning) ( s / m1 / 3 )
K (Strickler) ( m1 / 3 / s )
Béton lisse
0.011 à 0.013
77 à 91
Béton brut
0.013 à 0.016
62 à 77
Canal en terre, non enherbé
0.017
60
Canal en terre, enherbé
0.02
50
Rivière de plaine, sans végétation arbustive
0.025 à 0.029
35 à 40
Rivière de plaine, large, végétation peu dense
0.033
30
Rivière à berges étroites très végétalisées
0.067 à 0.1
10 à 15
Lit majeur en prairie
0.033 à 0.05
20 à 30
Lit majeur en vigne ou taillis
0.067 à 0.1
10 à 15
Lit majeur urbanisé
0.067 à 0.1
10 à 15
Lit majeur en forêt
>0.1
<10
1/ 6 Dans le cas d’une rivière à lit de gravier et à berges non végétalisées K = 21d 50 , où d 50
désigne le diamètre (en mètre) des grains du lit tel que 50% en poids aient un diamètre inférieur.
11
Cas d’un lit composé La modélisation de l’aléa inondation se heurte à plusieurs difficultés dès lors qu’interviennent des débordements de l’écoulement du lit mineur dans les lits majeurs contigus. Les écoulements « en lit composé » sont alors caractérisés par une interaction turbulente entre l’écoulement du lit mineur et celui du lit majeur. En outre, les lits majeurs peuvent présenter une morphologie très variable le long d’une même rivière, et en particulier des variations de largeur. Ces dernières donnent naissance à des transferts de masse entre lit mineur et lit majeur qui, a priori, se superposent aux transferts turbulents classiques dus au gradient de vitesses entre lits. Le calcul le plus simple de la capacité d’écoulement d’un lit composé consiste à considérer la section totale comme un tout homogène (nommé SCM dans la littérature pour « Single Channel Method »). Mais compte tenu de la complexité de l’écoulement et de l’hétérogénéité des vitesses sur la section totale, on conçoit bien que la formule de Manning appliquée à la section totale n’est plus pertinente pour calculer le débit total. De surcroît, juste après le débordement dans les plaines d’inondation, le périmètre mouillé augmente brusquement, conduisant à une baisse significative du rayon hydraulique. Par conséquent, cela conduit à une sous-estimation du débit sur la section totale si l’on considère une rugosité de Manning constante sur la section totale. Ainsi, d’autres méthodes ont été proposées tenteront de pallier ces insuffisances, chacune étant rattachée à un concept ou une hypothèse particulière reliant les débits, les vitesses, les forces de frottement, les contraintes au fond, entre sous-sections et section totale. La plus part de ces méthode se basent sur le calcul d’une rugosité de Manning composite, nc , telle que : nc =
∑
wi ni
(6)
i
les wi étant des fonctions de pondération des rugosités par sous-section, ni , reliées aux paramètres géométriques et hydrauliques, et différant selon les auteurs. Dans le code HEC-RAS, la section totale est divisée en sous-sections homogènes en terme de forme et de rugosité, et chaque débit partiel Q i est calculé selon la Divided Channel Method (DCM) à l’aide de la formule de Manning-Strickler, soit : Qi = Di
J fi
Di =
1 2/3 Si RHi ni
(7)
12 Où D i est la débitance de la sous section homogène i (notée K dans le programme HECRAS) On considère alors que la débitance d’un écoulement élémentaire n’est pas affectée par la présence des lits adjacents, donc que la perte de charge par lit est égale à la pente de frottement sur le fond. On admet par ailleurs que les pentes de frottements par lits sont égales entre elles, ce qui conduit à : Ji
1/ 2
Q Q Q = 1 = 2 = ... = n = D1 D2 Dn
∑ ∑
Qi
i
Di
=
Q D
(8)
i
Où Q et D sont respectivement le débit total et la débitance totale. Il résulte : N 1/5 ∑ Pi n i n c = i= 1 P
(
)
2/3
(9)
Où N est le nombre total des sous sections (par défaut N= 3 dans le programme) i est le numéro de la sous section ni est le coefficient de Manning pour la sous section i Pi est le périmètre mouillé pour la sous section i Dans le calcul des périmètres mouillés, seuls les contacts terre-eau sont à considérer. Klob,
Kch,
Plob
Pch
Krob, Prob
Figure 1 : Calcul de la rugosité sous HEC-RAS dans le cas d’un lit composé
I.2.2 Formules de perte de charge par frottement ; écoulement laminaire Quelle que soit la forme de la section, l'expression de Λ est la suivante : Λ =
64 1 Re U + ( forme de S )
Dans la littérature cette expression est généralement écrite comme suit
(10)
13 Λ =
α Re
(11)
A partir des résultats présentés dans la littérature (cf. Berker 1963, White 1974, Zarling 1976) pour les écoulements dans les conduites diverses, un certain nombre de valeur de α sont répertoriées dans le tableau 2. ( ∗ ) Pour une section rectangulaire de largeur finie b et d'épaisseur 2e, la forme de la section est représentée par le rapport xˆ tel que xˆ = b /( 2e) . Dans ce cas, l'expression de α est déduite de Berker :
α =
512 2
1 1 + f ( xˆ ) xˆ
(12)
où f ( xˆ ) est une fonction dont les valeurs sont données par l'auteur sous forme d'un tableau ou en forme de série :
α =
96
1
192 1 1 2p + 1 1 tanh π xˆ 1+ 1− 5 ˆ ∑ 5 π x 2 ( ) 2 p + 1 ˆ p = 0 x ∞
2
(13)
Il est possible de vérifier que α = 96 pour xˆ → ∞ (section plane) et que α ≈ 56.91 pour xˆ = 1 (section carrée). Notons également qu'une section rectangulaire devient, à 5% près, similaire à une section plane lorsque xˆ > 13.3 . Par simplification, on considère souvent que la largeur du canal est assez importante pour que la répartition de la vitesse dans l'axe central du canal soit parabolique, i.e .1
u=
ρg 1 J f hy − y 2 µ 2
(14)
On vérifie ainsi que le paramètre de forme β , qui sera définit dans la suite, égal à 1.2, et que Jf =
3µ U ρ g h2
(15)
Notons que la même loi a été utilisée par Hunt (1994), Aguirre-PE (1995) et Debiane (2000) et aussi par d’autres investigateurs pour étudier les écoulements de fluides géologiques. Aguirre-PE propose de la multiplier par un coefficient correcteur.
14 Tableau 2: Quelques valeurs de α reportées dans la littérature
Plan
1
yˆ =
∫
0
α
DH 4e
96
Rectangle xˆ = b / 2e
xˆ 4e xˆ + 1
Cercle
D
Ellipse xˆ = b / 2e 1 π 1 − 1 − 2 sin ζ dζ xˆ 2 Parallélogramme
2e yˆ
1 xˆ + 2 cos(γ xˆ + 1
xˆ = sin(γ ) b / 2e
Rectangle
Dans la conduite
2
2 cos(γ ) e
Hexagone
2e
Cercle
D
Equation 13 ( ∗ ) 16 0.642 ≈ 1− if x ≥ 3 3 xˆ 64 1 1 = 32 1 + 2 xˆ yˆ xˆ → ∞ α = 8π 2 ≈ 78.9 ≈ 56.6 if γ = 30° ≈ 60
) 4e
Ellipse
Parallelogramme
e
e
2γ
Hexagone
e
b
2γ
b
b
b
Dans le canal
e
Rectangle
R
Demi-cercle
e
Demi-ellipse
e
γ
Triangle
e
γ
Trapèze
15
I.2.3 Simplification du modèle d’écoulement de Navier-Stokes Nous nous intéressons au cas d'un fluide de comportement Newtonien. Nous supposons que les particules fluides sont animées d'un mouvement de vitesse u relative à un repère Galiléen suivant la direction x. La composante de vitesse le long de cet axe est noté u. Les autres composantes sont v le long de l'axe y et w le long de l'axe z (Figure 2). Les équations de base sont celles de la mécanique des fluides : équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie sous forme locale. Nous supposons pour commencer que l'écoulement est laminaire, isotherme et isochore. Le frottement interne peut être alors représenté par le troisième principe de Newton où la viscosité est le seul paramètre rhéologique. Ainsi, les équations du mouvement se réduisent aux équations de Navier-Stokes → → ⋅ ρ u = ρ g − grad p + 2 µ div D
(16)
et l'équation de continuité div u = 0 (17) où ρ est la masse volumique, µ la viscosité, g est l'accélération gravitationnelle, p est la pression et D est le tenseur du taux de déformation.
y
x
b Ox x
S
u
θ g
χ
Z (c)
z
1Figure 2: Système de cordonnées utilisé L'espace de l'écoulement est supposé être beaucoup plus large qu'il est épais. Il est raisonnable de réduire dans ce cas l'ensemble de ces équations aux deux composantes dans la direction x et dans la direction y. Ces équations sont la formulation complète dans le cas de l'écoulement bidimensionnel dans le plan (x, y), il résulte :
ρ ( u,t + u u, x + v u, y ) = − p, x + ρ g sin(α ) + µ ( u, xx + u, yy )
(18)
16 ρ ( v,t + u v, x + v v, y ) = − p, y − ρ g cos(α ) + µ ( v, xx + v, yy )
(19)
u, x + v, y = 0
(20)
où α est la pente du canal (Figure 2). Deux dimensions caractéristiques de l'écoulement peuvent être considérées, L0 dans la direction de la longueur, et h qui représente l'épaisseur. Un ensemble de variables adimensionnelles normalisées sont choisies (leur ordre de grandeur est 1). Des lettres capitales indiquent les variables normalisées. Pour les coordonnées d'espace et de temps, elles sont choisies, comme suit x y U0 ( X , Y , T ) = , , t L0 ε L0 L0
(21)
où la référence U 0 et le paramètre ε sont introduits. Ce paramètre ε est le rapport h / L0 . Les deux composantes réduites de vitesse (U et V) sont :
(U ,V ) =
u v , U ε U 0 0
(22)
La composante v est normalisée par l'intermédiaire de l'équation de continuité. En supposant que la pression hydrostatique donne la norme pour la pression, il vient : P=
p ρ gε L
(23)
Ainsi, en introduisant ces variables adimensionnelles, les équations du mouvement deviennent : U ,T + U U , X + V U ,Y = −
(
1 (ε P, X − sin(α )) + 1 ε 2U , XX + U ,YY 2 ε Fr Re
ε 2 (V,T + U V, X + V V,Y ) = −
2 1 (2 P,Y + cos(α )) + ε ε 2V, XX + V,YY Fr Re
(
)
)
(24) (25)
où Fr et Re sont respectivement, le nombre de Froude et le nombre de Reynolds : Fr =
U0 ; gh
Re =
ρ U 0h h µ L
(26)
Notons que l'équation de conservation de la masse ne fait apparaître aucun nombre adimensionnel. En limitant maintenant ces expressions au cas spécifique où ε est petit devant 1, il vient : U ,T + U U , X + V U ,Y = −
(
1 (ε P, X − sin(α )) + 1 Ο (ε 2 ) + U ,YY 2 ε Fr Re
)
(27)
17 1 ( P,Y + cos(α )) + Ο (ε 2 ) Fr 2
Ο (ε 2 ) = −
(28)
En associant ces deux équations, il apparaît que l'inertie, la pression, la gravité et le frottement visqueux ont les ordres de grandeur : 1, 1 / Fr 2 , 1 / Fr 2 , 1 / Re , respectivement. Si Re n'est pas petit, on obtient à l'ordre Ο (ε 2 )
ρ ( u,t + u u, x + v u, y ) = − p, x + ρ g sin(α ) + µ u, yy + Ο (ε 2 )
(29)
p, y = − ρ g cos(α )
(30)
Négligeant la tension superficielle, l'équation 30 peut être alors intégrée le long de y, soit : p = ρ g (h − y ) + p0
(31)
où p0 est la pression atmosphérique. Il résulte que la répartition de la pression le long de y est hydrostatique. En utilisant l’équation (31), l’équation (29) peut être réécrite comme suit :
ρ ( u,t + u u, x + v u, y ) = − ρ g cos(α ) h, x + ρ g sin(α ) + µ u, yy + Ο (ε 2 )
(32)
Cette équation constitue la forme simplifiée des équations de Navier-Stokes dans l'approximation d'un domaine très long.
I.2.4 Formulation 1D : Modèle de Saint-Venant Il s'agit des mêmes équations de conservation que précédemment mais écrites pour des valeurs moyennes dans une section. Si on applique le principe de conservation de la masse à un domaine délimité par deux sections transversales, S x et S x + dx , et en supposant que le système est fermé, i.e qu'il n'existe pas un débit entrant ou sortant de ce domaine, on obtient une formulation globale du principe de la conservation de la masse, soit : ∂S ∂Q + = 0 ∂t ∂x
(33)
où Q = S U est le débit global traversant la section mouillée S , et U étant la vitesse moyenne. Pour une section rectangulaire de largeur b , S = b h . Il est avantageux dans ce cas d'introduire un débit par unité de largeur du canal ' q ', tel que q = Q / b . Ainsi, l’équation (33) se récrit : ∂h ∂q + = 0 ∂t ∂x
(34)
h,t + hU , x + Uh, x = 0
(35)
ou bien
avec
18 h
.
U =
∫ udy
(36)
0
h
La forme globale de l'équation dynamique peut être obtenue directement en intégrant l’Equation 32 de y = 0 à y = h( x, t ) . En utilisant la règle de Leibnitz pour la dérivation sous le signe intégral, il résulte : U ,t + β U U , x + (1 − β )U h,t + g cos(α )h, x = −
τw + g sin(α ) + Ο (ε 2 ) ρh
(37)
où β est un coefficient de forme qui tient compte de la répartition de vitesse le long de (Oy). h
∫ u dy 2
β =
(38)
0
hU
2
Ce coefficient dépend du nombre de Reynolds : ≈ 1.03 pour l'écoulement turbulent et ≈ 1.2 pour l'écoulement laminaire.
τ w = µ ( u, y ) y = 0 est la contrainte tangentielle à la paroi. Remarquons que le ralentissement
visqueux du fluide par les parois est responsable des forces de frottement. En posant la pente d’énergie J égale à τ w / ρ gh et en négligeant le troisième terme du premier membre de l'équation (37) car β ≈ 1 , il vient : U ,t + β UU , x + g cos(α )h, x = g ( sin(α ) − J )
(39)
Les équations (39) et (34) représentent la formulation 1D de Saint-Venant. Par simplification, les auteurs considèrent généralement β = 1 . D'autre part, si l'écoulement considéré est dans l'espace (x, y, z), autrement dit si la largeur du canal n'est pas très grande devant la hauteur de l'écoulement et si en plus la répartition de vitesse à la surface libre est quasi-uniforme, il résulte que l'équation (39) reste toujours valable. Il faut cependant remplacer les expressions de J, U, β par : τ J = w ; U = ρ gh
∫ udσ S
S
∫ u dσ 2
; β =
S
SU 2
avec τ w =
∫τ
w
dl
χ
χ
(40)
où τ w est la moyenne de τ w sur le périmètre mouillé χ En outre, l'équation de continuité (33) devrait être prise sous sa forme générale, i. e : h,t + U S, x + S U , x = 0 déduite à partir de l'équation (33) en remplaçant Q = S U
(41)
19 Avant de quitter ce paragraphe, insistons sur le fait que le modèle de Saint-Venant n'est qu'une approximation d'ordre Ο (ε 2 ) qui devrait être valable lorsque la profondeur de l'écoulement est petite devant sa longueur (hypothèse d'eau peu profonde)
I.2.5 Equation différentielle du mouvement graduellement varié Considérons un canal cylindrique (on dit aussi prismatique en hydraulique) de pente θ . Dans le cas permanent, l’équation (37) se simplifie, comme suit : βU
∂U = g ( sin ( α ) − cos( α ) h, z − J ) ∂z
(42)
pour l'équation dynamique qui exprime l'équilibre entre les forces de pesanteur, de frottement et d'inertie, et ∂q = 0 ∂z
(43)
pour l'équation de continuité où q = US est le débit, h est la profondeur et β étant le coefficient de forme qui tient compte de la non répartition uniforme de la vitesse (voir plus haut). z a l’origine l’extrémité amont du canal, compté positivement suivant la direction de l’écoulement. Après manipulations, il résulte : h, z =
sin ( α ) − J 2 β bqv cos( α ) − gS 3
(44)
On retrouve bien le modèle classique des écoulements graduellement variées lorsque la pente du fond est faible sin(α ) ≈ tan(α ) ≈ I et cos(α ) ≈ 1 En conservant la valeur du nombre de Froude égale à 1 pour définir la hauteur critique, il est possible de définir le nombre de Froude, comme suit : Fr = 2
β bq 2
(45)
gS 3 cos α
et l’équation (44) devient : h, z =
sin ( α ) − J cos( α ) 1 − Fr 2
(
)
(46)
On peut également définir l’énergie de l’écoulement, de la manière suivante : E = cos( α ) h +
En fonction de E , l’équation (44) devient :
1 β U2 2 g
(47)
20 E, z = sin ( α ) − J
(48)
Modèle utilisé par HEC-RAS Si l’on considère deux sections 1 et 2 de l’écoulement séparées d’un pas d’espace ∆ x , E1 et E2 étant les énergies de l’écoulement à ces même points, il vient d’après l’équation (48), E2 − E1 = ( sin ( α ) − J ) ∆ x
(49)
Qui se réduit au modèle de Bernoulli utilisé dans le programme HEC-RAS pour calculer les hauteurs d’eau lorsque la pente du canal est faible ( sin(α ) ≈ tan(α ) ≈ I et cos(α ) ≈ 1 ). Concernant le calcul de la ligne d’eau, il s’effectue suivant la Standard Step Method : c’est une procédure itérative de résolution de l’équation (49) et de l’équation donnant la pente d’énergie J. Cette dernière est supposée égale à la somme de pertes de charge par frottement J f et la perte par contraction ou expansion de la section, soit : J = Jf +
C U2 U2 β 2 2 − β1 1 ∆ x 2g 2g
(50)
Comme dit précédemment, le programme devise la section mouillée en trois sous sections (Fig. 1). Le coefficient β sur la section totale est calculé de la manière suivante : 3 3 St2 Dlob Dch3 Drob β = 3 2 + 2 + 2 Dt Slob Sch S rob
(51)
Dans le calcul, les coefficients β par sous-section étant supposés égaux à 1. D’autre part, le pas d’espace ∆ x est calculé, comme suit : ∆x=
∆ xlobQlob + ∆ xchQch + ∆ xrobQrob Qlob + Qch + Qrob
(52)
Où lob, ch et rob désignent les lits gauche, mineur et droit, respectivement. ∆ x est noté L dans le programme, β est noté a, S est noté A et U est noté V. Enfin, la pente de frottement entre les sections 1 et 2 ( J f ) et est calculée par plusieurs méthodes, à défaut de préciser, on a : Q + Q2 J f = 1 D1 + D2
2
(53)
Le code HEC-RAS recommande d’utiliser les valeurs suivantes du coefficient de contraction : •
S’il n’y a pas de transition, C est nul
21 •
Pour une transition graduelle, on a 0.1 pour le coefficient de contraction et 0.3 pour le coefficient d’expansion
•
Au niveau d’un pont, on a 0.3 pour le coefficient de contraction et 0.5 pour le coefficient d’expansion
•
Pour une brusque variation, on a 0.5 pour le coefficient de contraction et 0.8 pour le coefficient d’expansion
Ainsi, le débit Q et la géométrie étant les données du problème, la pente de frottement, le coefficient β et les pertes par contraction/expansion ne sont fonction que du tirant d’eau. On a donc affaire à une résolution 1D sur la section totale de la ligne d’eau, sans résolution explicite de la répartition de débit.
Remarque A noter que la loi utilisée pour évaluer les pertes d’énergie par frottement est celle que tous les hydrauliciens utilisent exclusivement qui suppose que la contrainte moyenne à la paroi dans une section quelconque d'un écoulement graduellement varié est égale à la contrainte moyenne à la paroi de l'écoulement uniforme ayant les mêmes valeurs du débit et de la hauteur locale. Notons que cette manière d’évaluer J permet de retrouver les propriétés de l’écoulement uniforme loin d’obstacles.
I.2.6 Hauteurs caractéristiques de l'écoulement Hauteur normale Considérons un canal de pente et de débit constant. Lorsque le numérateur de l'équation (44) s'annule, la surface libre et le fond ont la même pente. Donc la profondeur est constante et correspond à la hauteur normale ( hn ). Le calcul de cette hauteur nécessite la résolution des équations du régime uniforme. Le procédé du calcul peut être numérique.
Hauteur critique Considérons un canal de section quelconque et de pente α portant un débit constant. Lorsque le dénominateur de l'équation (44) s'annule, la profondeur du fluide atteint une hauteur appelée hauteur critique "hc". Le régime d'écoulement correspondant est appelé régime critique. En général, ce régime est instable (fluctuation de la surface libre). Une petite variation de l'énergie provoque des variations sensibles de profondeur de part et d'autre de hc. Pour le calcul de hc, on annule le dénominateur de l’équation (44), soit donc:
22 cos( α ) −
β bqv2 = 0 gS 3
(54)
qui correspond à Fr = 1 et également à l’énergie minimale de l’écoulement ‘ Emin ’ où : Emin =
3 hc 2
(55)
Dans une section rectangulaire, l’équation (54) donne : β Q2 hc = g cos α
1
3
(56)
Pente critique Considérant un canal de section rectangulaire et de pente variable portant un débit constant. On définit la pente critique " α c " comme étant la pente pour laquelle la hauteur normale est égale à la hauteur critique ( hn = hc ) . Pour calculer α c , on associe les équations du régime uniforme à l'équation du régime critique (l’équation (54)). Le procédé de calcul est numérique.
I.2.7 Etude qualitative systématique et classification Les formes possibles des profils de la surface libre sont déduites à partir de l'équation (44). Son premier membre h, z est la pente de la surface libre rapportée au fond du canal (h est mesurée positivement vers le haut). Son second membre peut être discuté en relation avec la valeur respective des profondeurs normale et critique. On trouve donc un régime fluvial si toutes les hauteurs sont supérieures à la hauteur critique ou bien un régime torrentiel dans l'autre sens et enfin un régime critique dans le cas limite.
23 Figure 3 : Classification des profils de la surface libre
24
I.3 Principe de fonctionnement de HEC-RAS et les principaux menus du logiciel HEC-RAS est logiciel intégré pour l’analyse hydraulique qui permet de simuler les écoulements à surface libre. Il a été conçu par le Hydrologic Engineering Center de l’US Army Corps of Enginners. Il s’agit d’une nouvelle version d’un modèle hydraulique auparavant nommé HEC-2, qui comporte maintenant un interface graphique permettant d’éditer, modifier et visualiser les données d’entrée de même d’observer les résultats obtenus. Pour démarrer HEC RAS, double-cliquez sur l’icône
HEC-RAS 3.1.3.lnk
placé sur le bureau, ou bien
allez dans le menu Démarrer et choisissez le programme HEC-RAS 3.1.3. Fait important à noter, HEC-RAS utilise comme symbole décimal le point, et non la virgule utilisée habituellement dans notre système d’unité. Un message d’erreur peut apparaître lors du démarrage si le symbole décimal spécifié pour votre ordinateur n’est pas le point. Vous pouvez changer ce symbole dans le Panneau de configuration de Windows. Suite au démarrage de HEC-RAS vous devez obtenir la fenêtre principale de HEC-RAS qui illustrée à la figure ci-dessous.
Fenêtre principale de HEC-RAS La barre de menu comprend toutes les fonctions disponibles de HEC-RAS. Le menu File permet d’ouvrir, de créer et de sauvegarder un projet (avec extension .prj). Les autres options permettent de modifier le titre du projet ou d’effacer tous les fichiers reliés à un projet. Utilisé cette dernière option avec précaution ! Outre le menu File, le menu Edit est également important et permet de spécifier les données de base décrivant le système hydrographique devant être modélisé ainsi que les conditions du débit dans ce système.
25 La principale étape de la création d’un projet de modélisation avec HEC-RAS est de définir la géométrie de notre cours d’eau, au moyen de sections transversales. Cette étape est réalisée en choisissant l’option Geometric Data…Toute les données reliées à la géométrie du cours d’eau sont sauvegardées dans les fichiers dont l’extension est .G** où ** désigne les chiffres représentant une numérotation séquentielle. Une autre option disponible dans le menu Edit est Steady Flow Data…Cette option permet de spécifier la ou les valeurs de débit dans le cours d’eau qui devront être modélisés, ainsi que les conditions limites de l’écoulement. Les informations qui sont spécifiées avec cette option sont contenues dans les fichiers .F**.
I.3.1 Etapes de la modélisation
Projet Dans le menu File, choisir l’option New Projet pour obtenir une fenêtre similaire à celle illustrée plus bas. La première étape est de choisir le dossier de travail où le projet sera sauvegardé.
Fenêtre New Projet Un nouveau répertoire peut d’ailleurs être crée avec le bouton Create Directory. Le titre du projet sera par la suite spécifié dans la ligne haute et un nom de fichier doit aussi être indiqué dans la case suivante, tout en conservant l’extension .prj. Il ne faut pas utiliser les accents pour un nom de fichier. Après avoir appuyé sur OK, un message apparaît pour confirmer les
26 informations soumises. Appuyez à nouveau sur OK et les données seront sauvegardées dans le fichier et le répertoire indiqué. Avant d’entrer les informations reliées à la géométrie et aux débits, il faut spécifier le système d’unité utilisé. Dans le menu Option, allez à
Units System
et choisissez
System
International (Metric System).
Géométrie des sections Après avoir défini les principaux paramètres du projet, la deuxième étape est de définir les caractéristiques géométriques du système modélisé. Sélectionnée Edit / Geometric Data… et la fenêtre Base Geometric Data apparaît.
Fenêtre Geometric Data Pour vous aider à tracer le tronçon de rivière à l’étude, vous pouvez ajoutez une image de fond à cette fenêtre. Appuyez sur le bouton Add /Edit background pictures…et appuyez sur Add afin de sélectionner le fichier image. Après avoir appuyé sur Close, un message apparaît car la taille de l’image est plus grande que la taille de l’écran. Il est possible d’ajuster l’échelle en choisissant dans le menu View l’option Full Plot. Pour sauvegarder les étapes accomplies, allez à File / Save Geometric Data as… Sauvegardez les données de la géométrie sous un
27 fichier. Pour représenter le tronçon à étudier, cliquez sur le bouton River Reach. Le curseur se transforme en crayon et vous et vous pouvez alors dessiner le tronçon de rivière à l’aide d’une suite de points qui vont de l’amont vers l’aval, en suivant le centre de la rivière sur l’image de référence. Vous double-cliquez pour indiquer la fin du tronçon. A ce moment, une fenêtre apparaît vous demandant d’indiquer le nom de la rivière et le nom du tronçon. Les autres caractéristiques géométriques nécessaires à cette étape sont les sections transversales à différents endroit de la rivière. Les sections transversales sont représentées au moyen de points représentant des coordonnées X-Y, où X est la distance par rapport à un point de référence arbitraire placé sur la rive et Y est l’élévation du fond de la rivière.
Fenêtre Cross Section Data Pour entrer les données, vous devez cliquer sur le bouton Cross-Section dans la partie gauche pour obtenir une fenêtre similaire à celle illustrée ci-haut. Dans le menu Option, choisissez Add a new Cross Section…Il vous est alors demandé de définir la station (River Station) de cette section transversale qui est en fait un identificateur numérique. HEC-RAS place sur un tronçon de rivière les stations en ordre décroissant de la partie amont ver la partie aval. La signification de chacun des termes que l’on y retrouve est décrite ci-dessous : River : nom de la rivière sur laquelle la nouvelle section sera ajoutée ; Reach : non du tronçon de la rivière sur laquelle la nouvelle section sera ajoutée ; River station : Identification numérique de la section transversale ; Description : Commentaire de l’utilisation sur cette section
28 Cross-section coordinates : Coordonnées relatives dans le plan X-Y des points définissant la section transversale ; Downstream Reach Lengths : Distance en mètres jusqu’à la prochaine section transversale située en aval. LOB signifie la partie gauche de la plaine inondable et ROB sa partie droite, alors que Channel désigne le lit principal de la rivière ; Manning’s values : Coefficient de Manning de chaque portion de la section transversale ; Main channel bank stations : Coordonées, dans le plan X seulement, des limites gauches et droite du lit principal de la rivière. Les valeurs fournies doivent correspondre à une valeur déjà présente dans la partie Cross-section coordinates. Après avoir entré les données, cliquez sur Apply Data. Vous pouvez alors visualiser la section transversale que vous venez de définir dans la partie adjacente de la fenêtre. Les autres sections seront rentrées de la même manière. Pour augmenter la stabilité des calculs de niveau par le modèle. Il est recommandé d’avoir une distance raisonnable entre deux sections transversales. En assumant que la pente et les propriétés des sections varient de façon linéaire entre deux sections consécutives, la fonction XS interpolation dans le menu Tools permet d’ajouter par interpolation de nouvelles sections entre deux sections existantes.
Fenêtre XS interpolation
29 Pour terminer, vous pouvez vérifiez les données spécifiées avec le menu Tables. Les mêmes paramètres pour toutes les sections y sont regroupés à l’intérieur d’un même tableau et peuvent y être modifiés. Avant de quitter la fenêtre Geometric Data, sauvegardez les informations que vous avez rentrées.
Débit et conditions aux limites L’étape suivante de la modélisation hydraulique sur HEC-RAS est de spécifier les débits utilisés pour calculer les profils d’écoulement. Dans la fenêtre principale, cliquez sur le bouton Steady Flow Data. Pour obtenir une fenêtre similaire à celle illustrée plus bas. Pour entrer les valeurs des débits, indiquées d’abord Number of Profiles. Par la suite, dans le menu Options, allez à Edit Profil Names…et indiquée les noms de profils appropriés. Les valeurs de débit qui sont entrées aux cases correspondantes sont représentatives de la section amont et sont considérés valides sur tout le tronçon de rivière. HEC-RAS permet toutefois de représenter des changements de débits aux sections transversales, lorsqu’un affluent important entraîne un changement de débit dans le tronçon.
Fenêtre Steady Flow Data Lorsque les débits correspondants aux différents profils devant être calculés sont spécifiés, il faut par la suite définir les conditions limites de l’écoulement en cliquant sur le bouton Reach
30 Bondary Conditions. Les conditions limites sont nécessaires pour calculer la hauteur d’eau initiale aux extrémités de chaque tronçon. Pour un écoulement fluvial, seulement les conditions à l’aval sont nécessaires, tandis que pour un écoulement torrentiel, les conditions à l’amont seulement sont nécessaires. Selon le régime d’écoulement modélisé, une seule des deux conditions limites peut être indiquée. On a le choix entre trois conditions aux limites : hauteur critique, hauteur normale et hauteur connue. Avant de passer à l’étape suivante, sauvegardez ces données avec File / Save Flow Data as…Entrez le titre et quittez cette fenêtre pour revenir au menu principal de HEC-RAS.
Fenêtre Reach Bondary Conditions
Simulation hydraulique La dernière étape nécessaire à la modélisation avec HEC-RAS est de définir le plan utilisé. Cliquez sur le bouton Perform à Steady Flow Simulation pour obtenir la fenêtre présentée plus bas. Le Geometry File et Steady Flow File que vous avez crées y sont indiqués. Dans le menu File, choisissez New Plan. Lorsque requis, entrez le titre et l’identificateur indiqué sur la figure ci-dessous.
31 Choisissez le régime d’écoulement et appuyez sur Compute pour débuter la simulation. Une fenêtre montrant la progression de la simulation s’ouvrira et les calculs s’effectueront. Lorsque le programme a terminé, vous pouvez fermer la fenêtre Hydraulic Computation, ainsi que la fenêtre Steady Flow Analysis.
Fenêtre Steady Flow Analysis
Visualisation des résultats A la suite de la simulation les résultats sont automatiquement sauvegardés dans un fichier. Un des résultats intéressant à consulter est la vu en profil du tronçon simulé. Cette fonction, View Profiles, est située dans la barre de boutons. Allez également dans le menu Option de cette fenêtre. Vous y trouverez les options d’affichage, telles que Zoom et Pan. Il y a aussi d’autres options qui permettent d’afficher les résultats d’un ou plusieurs plans, d’ajouter ou supprimer l’affichage de certains profiles, de changer le tronçon dont les résultats sont actuellement affichés. Ce menu Options est d’ailleurs similaire pour différentes fenêtre graphiques permettant de visualiser les résultats. Une autre option graphique intéressante est accessible via le bouton View 3D multiple cross section plot…. Les sections transversales de début et de fin peuvent être modifiées pour afficher qu’une partie du tronçon à l’étude. Rotation et Azimuth permettent quant à eux de modifier l’angle de vue. Pour ne voir qu’une seule section. Deux autres boutons, View Detailed Output at XS… et
View Output at Multiple…,
permettent de voir les résultants sous forme tabulaire. Finalement, comme on peut voir dans le tableau des résultats des sections transversales, il y a plusieurs variables qui sont calculées par HEC-RAS en plus des niveaux d’eau. Dans certains cas, on s’intéressera aux vitesses afin de quantifier par exemple les possibilités d’érosion.
32 Nous allons maintenant modéliser deux tronçons de rivière : l’un se trouve sur Verdon dans la station d’Estellié et l’autre sur l’Issole dans la station de Pont de Mourrefrey.
I.4 Modélisation des courbes de tarage ; cas pratique I.4.1 Station d’Estellié sur le Verdon
Description du tronçon étudié Suite à une crue en 1994, un profil en long a été réalisé sur le Verdon. Nous disposons de 9 sections à l’amont de la station hydrométrique et une section à l’aval. Le lit du Verdon est constitué de galets, un tronçon de la rivière comporte des gros blocs en travers de l’écoulement. Sous HEC-RAS, nous allons donc modéliser un tronçon du fluide situé près de la station de jaugeage d’Estellié.
Débit et conditions aux limites Dans ce cas, l’écoulement simulé est fluvial, c’est à dire qu’il y a une rupture de pente (voir figure 3) qui provoque des ondes de gravité qui se propagent en partie vers l’amont. Nous avons choisit la condition au limite à hauteur normale. Celle-ci demande de connaître la valeur de la pente du canal. On impose donc à l’amont une valeur de la pente du canal qui donne la valeur de la hauteur normale. Pour le tronçon étudié, la pente du canal varie entre 0.01 à 0.05. On vérifie d’après le tableau 4 que la pente du canal n’a pas d’influence sur la profondeur du fluide au niveau de la station de jaugeage. On a pris alors une pente moyenne de 0.03. Q (m 3/s) 1 50 300
DH (m) pour I=0.01 0.21 1.74 4.05
DH (m) pour I=0.05 0.21 1.74 4.05
Tableau 4 : Influence de la pente du canal pour n=0.0365
Coefficient de Manning D’après les résultats de la littérature, le coefficient de Manning varie dans notre cas entre 0.033 et 0.04. On peut vérifier d’après le tableau 5 que l’influence du paramètre n est négligeable au niveau de la station de jaugeage. On a pris alors une valeur de n moyenne de 0.0365.
33 Q (m 3/s) 1 50 300
DH (m) pour n=0.03 0.21 1.73 4.04
DH (m) pour n=0.05 0.23 1.75 4.06
Tableau 5 : Influence de la rugosité du canal pour I=0.03
Résultats La figure 4 montre la forme de la section et la profondeur de l’eau pour un débit de 300 m 3 /s et la figure 5 montre le profil de la surface libre. Pour ce débit, il n’existe pas de données pour pouvoir vérifier notre résultat.
Figure 4 : Forme de la section au niveau de la station de jaugeage
34
Figure 5 : Profil de la surface libre
Interpolation au niveau de la station de jaugeage En rajoutant, par interpolation, deux sections à l’amont et à l’aval de la station de jaugeage, il apparaît au niveau de la station hydrométrique une élévation de la surface libre, comme s’il s’agissait d’un ressaut hydraulique (voir figure 6 ci-dessous). Il claire donc que dans ce cas l’influence de nombre de stations est non négligeable.
35
Figure 6 : Influence d’une interpolation au niveau de la station de jaugeage
COURBE DE TARAGE 2000.00
HEC RAS
DEBIT (m3/s)
MESURES
1500.00 1000.00
500.00 0.00 0
5
10
15
HAUTEUR (m)
Figure 7 : Comparaison de la courbe de tarage
36
Comparaison de la courbe de tarage On vérifie d’après la figure 7 qu’on a un bon accord entre les résultats obtenus sous HEC RAS et les mesures. Pour une hauteur de 13m, on estime le débit de la rivière à 1950 m3 /s
I.4.2 Station de pont de Mourrefrey dans l’Issole Située dans le cours d’eau de l’Issole, la station de Pont de Mourrefrey est à l’amont d’un simple pont. Nous avons pu aller sur place pour réaliser un profil topographique d’un tronçon de la rivière et une mesure de débit, ainsi nous avons pu apprécier l’environnement. Comme on peut voir sur la figure 8, la station hydrométrique est située à 6.62 m à l’amont du pont. Sur la figure 9, on voit bien que le pont a une forme d’un arc. A l’aval du pont, un tronçon de la rivière comporte des gros blocs en travers de l’écoulement (figure 10). Comme on peut voir également sur la figure 11, il est possible de supposer que la rive droite de la rivière est constituée d’un mur vertical, à gauche on a une zone plaine d’arbres (figure 12), suivi d’une zone presque plate qui va jusqu’à un mure qui fait barrage à la route. Le tronçon de la rivière est de pente moyenne de 0.02. Le relevé topographique a été réalisé en quatre sections : •
à l’aval du pont
•
au niveau du pont
•
au niveau de l’échelle limnimétrique
•
en amont de l’échelle limnimétrique
La condition limite est prise en amont avec la condition à profondeur normale et une pente de 0.02. Notons toutefois que la condition limite en aval du tronçon à hauteur critique donne pratiquement les mêmes résultats. On a fixé le coefficient de Manning des prairies à 0.1 et celui du lit de la rivière à 0.0365. Les valeurs prises des paramètres du pont sont indiquées dans la figure ci-dessous. On remarque sur les figures 13 et 14 qu’il peut y avoir un débordement de l’eau sur la route de la rive gauche de la rivière et en amont du pont pour un débit d’environ 160 m 3 / s et cela sans que le pont soit complètement inondé. Pour ce débit, la hauteur d’eau à l’échelle limnimétrique atteint la valeur de 3.6 m. Les sections transversales de début et de fin sont représentées sur la figure 15, on peut visualiser également ici le début de débordement de l’eau dans la dernière section prélevée. Enfin, dans la figure 16, on représente la comparaison entre la courbe de tarage obtenue sur HEC RAS et les meures. Pour une hauteur à l’échelle limnimétrique de 2m, on estime le débit
37 de la rivière à 68 m 3 / s . Le meilleur ajustement est obtenu avec un coefficient de contraction et d’expansion nul
Valeurs prises des paramètres du pont
38
Figure 8 : Vue de la station hydrométrique
Figure 9 : Forme du pont de Mourrefrey
39
Figure 10 : Tronçon de la rivière avec des gros blocs
Figure 11 : Vue de droite de la rivière
40
Figure 12 : Vue de gauche de la rivière
Figure 13 : Débordement de l’eau dans la dernière section prélevée
41
Figure 14 : Hauteur de l’eau sous le pont lors du débordement
Figure 15 : Les sections transversales de début et de fin
42
COURBE DE TARAGE 180 HEC RAS
160
MESURES
140 120 100 80 60 40 20 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
HAUTEUR (m)
Figure 16 : Comparaison de la courbe de tarage
3.5
4
43
References
[1] User's Manual HEC, (2002) [2] Hydraulic Reference Manual HEC, (2001) [3] Applications Guide HEC, (2001) [4] Carlier, M., (1986) Hydraulique générale et appliquée, Eyrolles [5] Chow, V.T., (1959) Open-channel Hydraulics. McGraw-Hill Book Co., New York [6] DEBIANE, K. (2000). "Hydraulique des Ecoulements Laminaires à Surface Libre dans un Canal pour des Milieux Visqueux ou Viscoplastiques: Régimes Uniformes, Graduellement Varié, et Rupture de Barrage". Ph.D. thesis, University of Grenoble I, Rheology Laboratory INPG-UJF-CNRS, France, 273 pages. [7] DEBIANE, K, PIAU, J.M. (2001) "Ecoulement généré par le lâcher instantané d'un barrage retenant un fluide viscoplastique." Les Cahiers de Rhéologie, vol.XVIII, No.1, pp. 4554 [8] De Saint-Venant, B. (1871) Théorie du mouvement non permanent des eaux. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 73, 237. [9] Nsom B., DEBIANE K., PIAU J-M., Bed slope effect on the dam break problem, Journal of Hydraulic Research, Vol. 38, No. 6, pp. 459-464, 2000. [10] Nsom, B.; DEBIANE, K.; PIAU, J.M.; AYADI, A. Gradually varied flow of unloaded mud in open channel. Appl. Mech. Eng. 4, No.3, 443-470 (1999). [11] PIAU, J.M. (1996). "Flow of a Yield Stress Fluid in a Long Domain. Application to Flow on an Inclined Plane." Jl of Rheology, Vol. 40, No. 4, pp. 711-723. [12] PIAU, J.M., and DEBIANE, K. (2005). "Consistometers Rheometry of Power-Law Viscous Fluids." Jl of Non-Newtonian Fluid Mech., Vol. 127, pp. 213-224. [13] White F.M (1986) Fluid Mechanics, MacGraw-Hill, New York, 2éme Ed