1. El tiempo de vida de los reguladores de voltaje de los automóviles tiene una distribución exponencial con un tiempo de vida promedio de 6 años. Una persona compra un automóvil que tiene una antigüedad con un regulador en funcionamiento y planea tenerlo por espacio de 6 años más. De acuerdo a la información anterior, responda: a) ¿Cuál es la probabilidad que el regulador de voltaje falle en el lapso de seis años?
f ( x )=λ exp (−λx ) 0≤ x <∞ Mediante la función exponencial anterior, resulta lo siguiente:
E ( x )=6 1 E ( x )= =6 0 λ λ=
1 60
(
−6 − 1−exp ( −12 ) ( 60 ) ( 60 ))
P (6 < x< 12 )= 1−exp Pro matlab:
expcdf ( 12,60 )−expcdf (6,60) ans=0,086 1
b) Si el regulador falla después de tres años de haber efectuado la compra del automóvil y se reemplaza ¿cuál es el tiempo promedio que transcurrirá hasta que el regulador vuelva a fallar?
E ( x )=6 años
2. Un proceso de producción de rodamientos los fábrica con diámetros que siguen una distribución normal con media 0,5 pulgadas y varianza 0,0004 (pulgadas)2. De acuerdo a los antecedentes dados, responda con un desarrollo claro: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un rodamiento tomado al azar tenga un diámetro no inferior a 0,46 pulgadas y no mayor a 0,56 pulgadas? b) El fabricante determina que el 1% de los rodamientos, por su excesivo diámetro se consideran como defectuosos. Hallar el diámetro máximo de un rodamiento para que no sea considerado como defectuoso. La solución:
µ=0,5
δ=√ 0, 0004=0,02 a) Estandarizando la variable X:
z=(x −0,5)/0,02 P ( elrodamiento tenga un diámetro no inferior a 0, 46 ) ¿ P(el rodamiento tengaun diámetro mayor a 0, 46)=P( X >0, 46)
Luego:
(
P ( X >0, 46 ) =1−P ( X ≤ 0, 46 )=1−P Z ≤
0,46−0, 5 0, 02
)
P ( X >0, 46 ) =1−P( Z≤−2)=1−0,023=0,977=97,7
Por otra parte:
P ( elrodamiento tenga un diámetro no mayor a 0, 56 pulgadas ) ¿ P ( elrodamiento tenga un diámetro menor a 0, 56 pulgadas )
¿ P( X <0, 56)
Luego:
P( X < 0,56)=P(Z <( 0,56−0,5)/0, 02)=P(Z< 3)=0,999=99,9
Conclusión: La probabilidad que un rodamiento tomado al azar tenga un diámetro no inferior a 0,46 pulgadas y no mayor a 0,56 pulgadas es de
99,9 −97,7 =2, 2 .
b) Se debe encontrar un X, tal que:
P( X > x ) , pero P( X > x)=1−P( X≤x)=0, 01 , entonces: P( X ≤x)=0,99 (Esto significa que la probabilidad que un rodamiento elegido al azar no sea defectuoso es de 99%, pero el x se debe encontrar, vale decir, x es la medida del diámetro del rodamiento no defectuoso) Luego, buscamos en la tabla el valor de z para la probabilidad del 99%, entonces:
z=2, 326
Entonces:
(x−0,5)/0,02=2, 326
Despejando x:
x=2,326∗0,02+0,5=0,5465
Luego:
P( X > 0,5465)=1−P(X ≤0, 5465)=1−0,989=0,01=1
Conclusión: Para que un rodamiento no sea considerado como defectuoso, su diámetro debe medir menos de 0,5465 pulgadas.
3. La duración, en meses, de cierto tipo de ampolleta es una variable aleatoria T con función de probabilidad:
{
λ f ( t )= t 4 sit >2 si t ≤2 0 Sobre la información proporcionada, responda indicando claramente el desarrollo y resultado: a) Determine el valor de � b) Calcule la probabilidad de que una de estas ampolletas dure entre 2 y 3 meses.