INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA Constructivismo e Innovación Educativa UNIDAD 1
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO CONSTRUCTIVISM O E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL PRESENTACIÓN Esta asignatura pretende profundizar en perspectivas constructivistas del aprendizaje con la finalidad finalidad de comprender comprender cómo, desde esta perspectiv perspectiva, a, se pueden pueden fortalecer fortalecer los procesos procesos de innovación. De esta manera se buscará desarrollar en el estudiante estrategias que le permitan construir experi experienc encias ias de apren aprendiz dizaje aje que favore favorezca zcan n la const construc rucció ción n del pensa pensamie miento nto desde desde una una perspectiva creativa
UNIDAD 1
CONSTRUCTIVISMO 1. CON CONCEP CEPTO TO DE CON CONSTR STRUCT UCTIVI IVISMO SMO El Constructivismo es una de las corrientes psicológicas que cuenta en la actualidad con mayor reconocimiento cuando se trata de explicar la gnesis y el desarrollo del pensamiento en el ser !umano. El mismo trmino, "constructivismo#, permite suponer, a quien lo lee que se trata de una postura postura que entiend entiende e que el pensamien pensamiento to se "construy "construye#, e#, es decir, decir, que que se parte parte de alg$n punto para modificarlo y !acerlo crecer. %ee el siguiente documento& '(btenido de !ttp&))definicion.de)constructivismo) !ttp&))definicion.de)constructivismo)** El constructivismo es el nomb nombre re de vari varias as corr corrie ient ntes es surg surgid idas as en el rt!, la "sico#o$%, la &i#oso&%, la "!'$o$% y las ci!ncis soci#!s en general.
En el ámbito art+stico, el constructivismo es un movimi!nto '! vn$ur'i que se interesa por la manera en que se organizan los planos y por la expresión del volumen empleando aquellos materiales propios de la industria
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO CONSTRUCTIVISM O E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
.
El movimiento nació en Rusi en torno al ao 1(1) y se fortaleció despus de la R!vo#uci*n +o#c,!vi-u!.
El cubismo abstracto está muy en relación con este movimiento art+stico que tuvo muc!os y diferentes seguidores en todo el mundo, aunque especialmente en -usia y en olanda. Entre todos aquellos !abr+a que destacar, por ejemplo, la figura de /!eo van Doesburg que fue el creador del grupo 0bstraction1Cration y que cuenta con diversas obras que pueden admirarse !oy d+a en el 2useo /!yssen 3ornemisza 3ornemisza de 2adrid.
De igual manera tambin se podr+a citar entre los principales artistas del constructivismo a 4oaqu+n /orres 5arc+a que está considerado como el mejor y más destacado artista de 6ruguay de todo el siglo 77. El museo que lleva su nombre y que se encuentra en encuentra en 2ontevideo es uno de los mejores espacios para conocer la obra de aquel.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO CONSTRUCTIVISM O E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
En la "sico#o$%, el constructivismo está basado en los postulados de !n Pi$!t. Este psicólogo sealó que el desarrollo de las !abilidades de la inteligencia es impulsado por la propia persona mediante sus interacciones con el medio.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL 0demás de este citado autor tambin !ay que subrayar el relevante papel que ejercieron otros dentro de esta rama del constructivismo tales como %ev 8ygots9i. En su caso la principal idea que emana de sus teor+as y planteamientos es que el ser !umano y en concreto su desarrollo sólo puede ser explicado desde el punto de vista de la interacción social.
:ara la &i#oso&% y la !"ist!mo#o$%, el constructivismo 'tambin denominado constructivismo !"ist!mo#*$ico* es una corriente que empezó a desarrollarse en la mitad del si$#o //. ;eg$n esta tendencia, la realidad es una construcción creada por aquel que l a observa.
Edgar 2orin, umberto 2aturana, 5regory 3ateson, Ernst von 5lasersfeld o :aul
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
El $ltimo, por ejemplo, !a pasado a la !istoria como creador de los 0xiomas de
El constructivismo puede ser considerado como un subparadigma dentro del cognitivismo, pero por su singularidad tambin como un paradigma con entidad propia. El constructivismo es principalmente una !"ist!mo#o$% 'teor+a del conocimiento*. %a epistemolog+a se plantea varias cuestiones principales en relación con el conocimiento& 1. ¿Cómo adquirimos el conocimiento? •
Posición racionalista& a partir de conocimientos innatos.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL Posición empirista& por la formación en nosotros de una copia de la realidad exterior. •
•
Constructivismo& !# conocimi!nto !s un construcci*n '!# su0!to. ;uperación del racionalismo y del empirismo. 3usca un cierto equilibrio entre ambas teor+as filosóficas. 2. ¿Podemos acceder a la realidad mediante el conocimiento?
•
Posición objetivista& es posible conocer directa y objetivamente la realidad.
•
Constructivismo& o"u!sto # o0!tivismo. o
Constructivismo crítico& existe la realidad y el conocimiento nos acerca a ella,
aunque nunca podremos acceder completamente a lo que sean las cosas en s+ mismas. o
Constructivismo radical & la realidad o no existe o nos es totalmente inaccesible. ;ólo
cabe !ablar con sentido de la realidad ya interpretada, la realidad ya experimentada por el !ombre. %os autores constructivistas !an influido en psicolog+a, en particular en campos como la percepción, el aprendizaje, la personalidad, la psicolog+a educacional y la psicoterapia.
%a "!'$o$% tambin denomina como constructivismo a la corriente que afirma que el conocimiento de todas las cosas surge a partir de la actividad intelectual del sujeto, quien alcanza su desarrollo seg$n la interacción que entabla con su m edio.
:or $ltimo, podemos mencionar que el constructivismo en las mt!m2tics requiere, para probar la existencia de un concepto matemático, que ste pueda ser “construido” . 0 la tendencia opuesta se la conoce como platonismo matemático y se basa en que los objetos matemáticos son realidades atemporales y abstractas, pero no creaciones mentales de las personas que se dedican al que!acer propio de las matemáticas.
3. CONSTRUCTIVISMO 4 CO5NOSCITIVISMO %os trminos constructivismo y cognoscitivismo se !an prestado a interpretaciones que pueden diferir entre quienes lo interpreten& para algunos son trminos sinónimos ya que ambos nacen de una teor+a que trata de explicar cómo se origina y desarrolla el pensamiento, la inteligencia en el MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL ser !umano> sin embargo, para otros, estos trminos tienen un significado diferente ya que parten de una concepción distinta sobre cómo se aprende. 0 continuación se presenta una lectura que trata de explicar esta diferencia& ;egmento publicado por Eduardo 7avier -oldos 0rosemena en !ttp&))eduardoroldosarosemena.blogspot.mx)?@@A)@B)constructivismo1vs1cognitivismo.!tml
"C(;/-6C/8;2( 8; C(5/8;2(
"ay una polmica sobre si el constructivismo es o no es una rama de las ciencias cognitivas. Esta polmica se ocasiona porque ambas escuelas, la cognitiva y la constructivista tienen entre sus referente a Pi$!t, que nunc s! uto'!nomino ni co$nitivo ni constructivist , sin embargo teorizó sobre las estructuras cognitivas en el proceso de construcción del conocimiento. :iaget bautizó a sus estudios como !"ist!mo#o$% $!n6tic, por que buscaba estudiar la gnesis del conocimiento 'epist!eme*. Cognitivistas y constuctivistas se !an basado en los estudios de :iaget para sostener sus enunciados, incluso !ay una tradición cognitivo1constuctivista en psicolog+a y psicoterapia que destacó en los aos @. Esta escuela parece ser una transición de la escuela cognitivo1 conductual, que !oy se llama as+ mismo post1racionalista y tiene como representante principal a 2a!oney. o es apropiado meter a estas dos escuelas en el mismo saco por lo siguiente&
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL /ras una escuela epistemológica que estudia el conocimiento !ay una visión ontológica que explica la realidad. %as ciencias co$nitivs, se desarrollaron gracias al paradigma informático del proceso de la información, aislando el fenómeno de la información para poder estudiarlo, esto !izo que se partiera de la premisa que el proceso de
las comunicaciones pod+a ser analizado en funciones diferenciadas de entradas y salidas, tomando como modelo la computadora se diferenció el !ard=are del soft=are, para poder explicar el proceso de la información de seales codificadas en s+mbolos, todo esto implica que&
ay una realidad cognoscible, es objetivista El dualismo tiene validez El !ard=are es el cerebro El soft=are es la mente %a mente procesa la información. :or lo tanto la mente existe como objeto de estudio capaz de ser aislado para su investigación.
El constructivismo en cambio se debe a otra ontolog+a, el constructivismo no es dualista, no separa cuerpo de mente, epistemológicamente no es realista, no acepta que !aya una MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL realidad independiente del observador, porque la realidad es coproducida por todos los seres vivos en interacción,
además el constructivismo sostiene la realidad percibible depende más de las estructuras biológicas del perceptor que del fenómeno objetivo externo al perceptor a tal punto que para el observador es imposible llegar a conocer "realmente# al objeto, más bien lo que logra es una ficción funcional, todo esto amparado en una serie de experimentos realizados por los f+sicos 8on Foerter y 8on 5laerselferldt y los biólogos 2aturana y 8arela, quienes comprobaron viejos axiomas de :rotágoras, 8icco, Gant y usserl.
0s+& E% constructivismo no es dualista o !ace distinción entre la naturaleza biológica, psicológica o social. o es realista o es objetivista ni positivista o a+sla entradas de salidas, soft=are de !ard=are, ni seales de s+mbolos. 0 pesar de que se apoya en la teor+a de sistemas y en la ciberntica !a desarrollados sus propios axiomas que lo diferencian de las teor+as cognitivas ':%, euro1semántica o coac!ing* que se apoyan de alguna manera en 3ertalanffy y
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL ;(C(%(50 /eor+a de las ;istemas ;ociales de %u!man. Construccionismo social de 3erger1%u9man. :(%/(%(50 /eor+a de los sistemas pol+ticos de Easton :;C(%(50 Deconstructivismo de 5ergen. Enfoque interaccional de :alo alto /erapia 3reve estratgica de :alo alto. Escuela de 2ilán en /erapia ;istmica Familiar Escuela estructural de 2inucc!in /erapia ;istmica Familiar. Escuela de C!icago en /erapia ;istmica. /eor+a de los sistemas familiares de 3o=en.# Fuente& ===.eduardoroldosarosemenablogspot.com
Ha que a lo largo de la asignatura se profundizará en la visión constructivista, se aprovec!ará este momento para tener una acercamiento a las /eor+as Cognitivistas
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL T!or%s Co$nitivists /ras la ;egunda 5uerra 2undial algunos investigadores fueron conscientes de las limitaciones del Conductismo cuando quiere explicar los procesos de aprendizaje ya que lo importante para ste solo eran los "inputs# y los "outputs#, es decir, la manera en que se "alimentaba# al aprendiz para que diera la respuesta que se deseaba. 0lgunos de los principales representantes de esta postura son los siguientes
Tolman
Conductismo propositivo
To#mn7 dentro del marco conductista, propuso que el aprendizaje depend+a de dos variables intermedias entre el est+mulo y la respuesta, los "ro"*sitos 'que dirigen las conductas a la consecución de metas* y las co$nicion!s. %os experimentos de /olman plantearon la existencia de m"s co$nitivos. Estos experimentos consist+an en situar a una rata en un laberinto y, utilizando las bases del condicionamiento, ensearle a salir del mismo. :osteriormente volv+a a introducir a la rata en el mismo laberinto pero con distintas situaciones. (bservó que estos animales mostraban alg$n tipo de m" m!nt# o una r!"r!s!ntci*n del laberinto que estaban utilizando y que les permit+a llegar a la meta a pesar de las dificultades que /olman introduc+a. Este planteamiento acercó su tesis al cognitivismo.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL Julian Rotter
Teoría del valor de la expectativa
En IAJB la teor+a de /olman fue ampliada por 4ulian -otter describiendo la importancia de las !8"!cttivs en el aprendizaje. :lanteó que la preferencia por un est+mulo está determinada por su v#or '! r!com"!ns . Este valor es relativo y dependiente de la experiencia puesto que variará en función de la introducción de nuevos reforzadores. (tro de los aspectos más importantes de esta teor+a es que establece que las expectativas son subjetivas y además están determinadas por las circunstancias, es decir, podemos esperar una recompensa en una situación determinada pero no en otra. ;in embargo, -otter es más conocido por el concepto de #u$r '! contro# . ay dos expectativas generalizadas& !8"!cttiv int!rn 'creencia seg$n la cual la obtención de una meta depende de nuestras propias acciones*> !8"!cttiv !8t!rn 'creencia seg$n la cual los acontecimientos están más allá de nuestro control*.
Robert Gagne
Procesamiento de la información
0 finales de los J@, de la mano de la revolución ciberntica, el proceso de aprendizaje comenzó a forjarse en trminos de "roc!smi!nto '! # in&ormci*n. El enfoque del :rocesamiento de la nformación establece entonces la n#o$% !ntr! #os "ro$rms com"utcion#!s 9 #os "roc!sos co$nitivos. El aprendizaje es el resultado de acciones básicas como codificar, ordenar y comparar la información.
5$n6, N!:!##, M9!r son algunos de los teóricos de este enfoque.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
8on 3ertalanffy
a !eor"a #eneral de $istemas
%a /eor+a 5eneral de ;istemas surgió debido a la necesidad de abordar cient+ficamente la comprensión de los sistemas concretos que forman la realidad, generalmente complejos y $nicos, resultantes de una !istoria particular, en lugar de sistemas abstractos como los que estudia la F+sica.
Von +!rt#n&&9, su creador, defendió una postura antimecanicista. 6tilizó análisis matemáticos y conceptos de ingenier+a, ciberntica y teor+a de la información para entender los sistemas. %a lógica caracter+stica de los sistemas es la misma en sistemas tan diversos como los f+sicos, biológicos, psicológicos o sociales. El objetivo de esta teor+a !a sido !allar modelos lógico1 matemáticos que sean comunes a todos los sistemas. Algunas características de los sistemas&
El todo es algo más que la suma de las partes
:oseen una organización.
%os elementos del sistema son interactivos, no sumativos.
Crct!r%stics 'i&!r!nci#!s '! # t!or%
:ara los cognitivistas el conocimiento se adquiere al integrar la nueva información de forma significativa a las estructuras organizativas cognitivas '/eor+a del esquema*.
0l cognitivismo le interesa la representación mental, de a!+ que la actividad !umana se describa en función de s+mbolos, esquemas, imágenes, ideas y otras formas de representación mental.
Establece un s+mil o analog+a entre la mente !umana y el ordenador.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL -esalta el importante papel de las condiciones ambientales en la facilitación del aprendizaje. %as instrucciones, demostraciones o ejemplos demostrativos> se consideran instrumentos para guiar al alumno.
3asa el aprendizaje en procesos internos del individuo, realizados intencionadamente 'sujeto activo* como consecuencia de la interacción entre la información proveniente del medio y el individuo.
Cuando se aplican los conocimientos a los diferentes contextos entonces se entenderá que se !a producido la transferencia de conocimientos Tomado de: http://uso-grupo1.wikispaces.com/Cognitivismo
EL CO5NOCITIVISMO; Princi"ios t!*ricos 9 sus o0!tivos !'uctivos Princi"ios t!*ricos
%a psicolog+a cognitiva concibe al sujeto como un procesador activo de los est+mulos. Es este procesamiento, y no los est+mulos en forma directa, lo que determina nuestro comportamiento.
0prender es el desarrollo de aptitudes para comprender la realidad que permitirán la emisión de respuestas adecuadas ante diversos contextos. El aprendizaje es interpretado en trminos de la modificación y adquisición de estructuras de conocimiento.
Estudia aspectos observables y no observables. Explora los siguientes procesos memoria, percepción, recuerdo, olvido, transferencia y asimilación.
Entre los procesos anteriormente mencionados, es a travs de la asimilación como se produce el aprendizaje significativo. En este proceso, la estructura que recibe el nuevo conocimiento y ese nuevo conocimiento se modifican dando lugar a una nueva estructura de conocimiento.
:ara desarrollar los procesos cognitivos que permitirán alcanzar la adquisición, retención y aplicación de los conocimientos, el cognitivismo facilita que el estudiante sea consciente de sus propios procesos cognitivos permitindoles ser más independientes y reflexivos.
Considera al individuo como un ser activo, constructor de su propio conocimiento, el cual surge a partir de sus conocimientos previos..
%os expertos afirman que la postura cognitiva considera al aprendizaje en toda su complejidad al considerar los aspectos externos del ambiente 'est+mulos, información* y los aspectos internos 'procesos mentales*. MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL El estudio del desarrollo cognitivo representa un gran aporte a la educación, dado que permite conocer las capacidades y restricciones de los nios en cada edad.
O0!tivos !'uctivos
(lvidar el aprendizaje memor+stico y basarlo en la /eor+a del :rocesamiento de la nformación, en la cual se establece que los conocimientos y el aprendizaje de los alumnos se encuentran en la memoria mediante esquemas. Como el aprendizaje está en la propia memoria, se trata de un aprendizaje individual e interno del individuo, pero tambin significativo.
Tomado de: http://uso-grupo1.wikispaces.com/Cognitivismo
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL http://uso-grupo1.wikispaces.com/rincipios!te"C#"$#ricos!%!ob&etivos!did "C#"'1cticos!del!cognitivismo
T!or% '!# "r!n'i<0!
onductism o:
ala al rendizaje n los mbios de nducta servable, n sea a la rma o a la cuencia de as nductas.
C*mo ocurr! !# "r!n'i<0!
Se logra cuando se demuestra o se exhibe una respuesta apropiada a continuación de la presentación de un estímulo ambiental especíco. Los elementos claves son estímulo, respuesta ! la asociación de ambos. "ocaliza la importancia de las consecuencia s de estas conductas ! mantiene #ue a las respuestas #ue se les sigue con un refuerzo tienen ma!or probabilidad de volver a sucederse en el futuro. Se caracteriza al estudiante como reactivo a las condiciones del ambiente.
Cu2#!s son #os
Cu2# !s !# ro#
C*mo ocurr!
&ctor!s
'!
#
-u! in&#u9!n !n !# "r!n'i<0!
L m!mori
trns&!r!nci
Las condiciones ambientales. Se eval$a al estudiante para determinar en #u% punto comenzar la instrucción, así como para determinar cu&les refuerzos son m&s efectivos para un estudiante en particular
'o es tomada en cuenta. (l olvido se atribu!e a )falta de uso* de una respuesta
+plicando el conocimiento aprendido a nuevas situaciones. curre como resultado de la generalizació n. Las situaciones #ue presentan característica s id%nticas o similares permiten #ue las conductas se transeran a trav%s de los elementos comunes.
Cu2#!s ti"os '! "r!n'i<0! s! !8"#icn m!0or "or !st "osici*n
-iscriminacio nes, generalizacio nes, asociaciones ! encadenamie nto. ero generalmente no pueden explicar las ad#uisiciones de alto nivel
Cu2#!s '! #os su"u!stos o "rinci"ios 2sicos '! !st t!or% son "!rtin!nt!s # 'is!=o '! instrucci*n /0nf 0nfasis en producir resultados observables ! mensurables /(valuación previ previa a de los estudiantes para determinar dónde se debe iniciar la instrucción /0nfasis en el dominio nio de los los prim primer eros os paso pasoss ante antess de progr progresa esarr a niveles m&s comple complejos jos de desempe1o /2so de refuerzos para impactar al desempe1o /2so de pistas o indicios, modelaje ! pr&ctica para asegurar una fuerte asociación estímulo/ respuesta.
C*mo '!! !structurrs! # instrucci*n "r &ci#itr !# "r!n'i<0!
Se estructura alrededor de la presentación del estímulo ! la provisión de oportunidade s para #ue el estudiante practi#ue la respuesta apropiada.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO CONSTRUCTIVISM O E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL T!or% '!# "r!n'i<0!
ognitivism o
%nfasis se aliza en omover el ocesamient ental. ent$an ocesos gnitivos &s mplejos mo el nsamiento, solución de oblemas, el guaje, la rmación de nceptos ! ocesamient e la ormación
C*mo ocurr! !# "r!n'i<0!
La ad#uisición de conocimiento se describe como una actividad mental #ue implica una codicación interna ! una estructuració n por parte del estudiante, #uien es un participante mu! activo del proceso de aprendizaje. Los cognitivistas se ocupan de cómo la información es recibida, organizados, almacenados ! localizados.
Cu2#!s son #os
Cu2# !s !# ro#
C*mo ocurr!
&ctor!s
'!
#
-u! in&#u9!n !n !# "r!n'i<0!
L m!mori
trns&!r!nci
La manera como los estudiantes atienden, codican, transforman, ensa!an, almacenan ! localizan la información, adem&s de pospensamie ntos, creencias, actitudes ! valores.
osee un lugar preponderant e, pues el aprendizaje resulta cuando la información es almacenada en ella de una manera organizada ! signicativa
La transferencia es una función de cómo se almacena la información en la memoria. 3uando un estudiante entiende como aplicar en conocimiento en diferentes contextos, entonces ha ocurrido la transferencia
Cu2#!s ti"os '! "r!n'i<0! s! !8"#icn m!0or "or !st "osici*n
-ebido al %nfasis en las estructuras mentales, se le considera apropiada para explicar las formas m&s complejas de aprendizaje, a saber, razonamiento , solución de problemas, procesamient o de información.
Cu2#!s '! #os su"u!stos o "rinci"ios 2sicos '! !st t!or% son "!rtin!nt!s # 'is!=o '! instrucci*n / 4etroalimentac ión /+n&lisis del estudiante ! la tarea /0nfasis en la participación activa del estudiante en el proceso de aprendizaje /2so de an&lisis jer&r#uico para identicar e ilustrar relaciones /0nfasis en la estructuración, organización ! secuencia de la información para facilitar su óptimo procesamiento /3reación de ambientes de aprendizaje #ue permitan ! estimulen al estudiante a hacer conexiones con material previamente aprendido.
C*mo '!! !structurrs! # instrucci*n "r &ci#itr !# "r!n'i<0!
(l aprendizaje debe ser signicativo ! #ue se a!ude al estudiante a organizar ! relacionar nueva información con el conocimient o existente en la memoria.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO CONSTRUCTIVISM O E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL T!or% '!# "r!n'i<0!
nstructivi smo:
nocimiento una nción de mo el ividuo crea nicados a rtir de sus opias periencias. os nstructivist enfatizan interacción tre la ente ! el undo real. s humanos an nicados, los #uieren
C*mo ocurr! !# "r!n'i<0!
(sta teoría e#uipara al aprendizaje con la creación de signicados a partir de experiencias. or lo tanto el conocimiento emerge en contextos #ue le son signicativos al estudiante
Cu2#!s son #os
Cu2# !s !# ro#
C*mo ocurr!
&ctor!s
'!
#
-u! in&#u9!n !n !# "r!n'i<0!
L m!mori
trns&!r!nci
La interacción especíca entre los factores ambientales ! el estudiante. (s esencial #ue el conocimiento est% incorporado en la situación en la cual se usa.
Siempre estar& )en construcción* , como una historia acumulativa de interacciones
Cu2#!s ti"os '! "r!n'i<0! s! !8"#icn m!0or "or !st "osici*n
uede Los facilitarse contructivista envolviendo a s consideran la persona en #ue es tareas imposible aut%nticas aislar ancladas en unidades de contextos información o signicativos. dividir los Si el dominios de aprendizaje conocimiento se de acuerdo a descontextual un an&lisis iza, ha! poca jer&r#uico de esperanza de relaciones. #ue la or lo tanto transferencia no aceptan el ocurra. supuesto de #ue los tipos de aprendizaje pueden identicarse independient emente del contenido ! del contexto de aprendizaje.
Cu2#!s '! #os su"u!stos o "rinci"ios 2sicos '! !st t!or% son "!rtin!nt!s # 'is!=o '! instrucci*n //0nfasis en la identicación del contexto en el cual las habilidades ser&n aprendidas ! aplicadas /0nfasis en el control por parte del estudiante para manipular la información /'ecesidad de #ue la información se presente en una amplia variedad de formas /+po!ar el uso de las habilidades de solución de problemas #ue permitan al estudiante ir m&s all& de la información presentada /(valuación enfocada hacia la transferencia de conocimiento ! habilidades.
C*mo '!! !structurrs! # instrucci*n "r &ci#itr !# "r!n'i<0!
(l signicado lo cr%ale estudiante los objetivos de aprendizaje no est&n predetermina dos, como tampoco la instrucción se predise1a. Se debe mostrar al estudiante cómo se constru!e el conocimiento, promover el descubrimient o de m$ltiples perspectivas ! llegar a una posición auto seleccionada.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO CONSTRUCTIVISM O E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL >. UNA MIRADA AL PENSAMIENTO FILOSOFICO DEL CONSTRUCTIVISMO Cada vez que se realiza una práctica docente en un aula, se está !aciendo efectiva la forma en que el maestro entiende el proceso de aprendizaje y tambin la manera de comprender quin es el ser !umano, su alumno. En otras palabras, la puesta en práctica una tcnica siempre estará sustentada por una metodolog+a que deriva de una ciencia. /oda ciencia tiene un sustento filosófico ya sea a travs de su concepción epistemológica o antropológica. Es cierto tambin, que en muc!as ocasiones se act$a sin la conciencia de lo que se está !aciendo, es decir, pueden existir maestros que manejen tcnicas de enseanza que pueden permitir inducir que la antropolog+a que sustenta su actuar no respeta la dignidad de su alumno, sin embargo, puede ser que el maestro no tenga conciencia de esto $ltimo pues nunca !a tenido la oportunidad de reflexionar sobre su praxis. Con la finalidad de evitar caer en este error y de profundizar en la comprensión del constructivismo, se estudiarán algunos aspectos filosóficos. %o primero que se presenta es un mapa mental que intenta representar, a travs del grafismo, la relación que guarda el constructivismo con diferentes conceptos, mismos que se explican al terminar el esquema. Esta introducción facilitará la lectura de 0raya, 8aleria> 0lfaro, 2anuela> 0ndonegui, 2art+n
CONSTRUCTIVISMO; ORI5ENES 4 PERSPECTIVAS, que se encontrará en formato :DF en tu material de estudio.
FILOSOF?A CONSTRUCTIVISTA
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL Tomado de apuntes de la U. de Navarra ttp!""cmapserver.unavarra.es"servlet"#$%ead%esource#ervlet& rid'(()*+,*)(-*/0-+1/2120(((3partName'tmltext
CONOCIMIENTO El conocimiento es el resultado de un proceso de construcción o reconstrucción de la realidad que tiene su origen en la interacción entre las personas y el mundo. :or tanto, la idea central reside en que la elaboración del conocimiento constituye una modelización más que una descripción de la realidad.
Pr #os constructivists7 !# #umno !s !# "rot$onist '!# "r!n'i<0!7 -ui6n constru9! ctivm!nt! r!#cionn'o #os nu!vos m!ns0!s con !8"!ri!ncis 9 conocimi!ntos -u! ti!n! #mc!n'os !n # m!mori. D!# mismo mo'o7 !# ""!# '!# "ro&!sor consist! !n &ci#itr 9 "romov!r !# "r!n'i<0! '!# #umno EMPIRISMO ;ostiene que el conocimiento "verdadero# es universal y permanece en una especie de correspondencia uno1a1uno con el modo en que el mundo realmente funciona.
IDEAS PREVIAS ;on como construcciones o teor+as personales, que, en ocasiones, !an sido tambin calificadas como concepciones alternativas o preconcepciones. :ara el constructivismo, las personas siempre se sit$an ante un determinado aprendizaje dotados de ideas y concepciones previas. %a mente de los alumnos, como la de cualquier otra persona, posee una determinada estructuración conceptual que supone la existencia de autnticas teor+as personales ligadas a su experiencia vital y a sus facultades cognitivas, dependientes de la edad y del estado psicoevolutivo en el que se encuentran. MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL 0s+, 0usubel resumió el n$cleo central de su concepción del proceso de enseanza1aprendizaje en la insistencia sobre la importancia de conocer previamente qu sabe el alumno antes de pretender ensearle algo. o es extrao, por tanto, que la destacada importancia que el constructivismo da a las ideas previas !aya generado una gran cantidad de investigación educativa y didáctica sobre el tema. CAM+IO CONCEPTUAL Es el salto desde una concepción previa a otra 'la que se construye*, para lo que se necesitan ciertos requisitos. Entre estos se destaca la necesidad de que el que aprende se sienta insatisfec!o con sus preconcepciones, de que las nuevas concepciones estn en el ámbito de lo inteligible para l y que sean satisfactorias y $tiles para sus demandas o necesidades, mejorando al aceptarlas su grado de comprensión, interpretación y capacidad de interacción con el mundo. %a nueva concepción debe, además, abrir nuevas posibilidades de avance, sin dejar de resolver ninguna de las cuestiones que eran satisfec!as por la precedente.
CONFLICTO CO5NITIVO ;e da entre concepciones alternativas y constituirá la base del 4cambio conceptual4. El docente debe crear conflictos cognitivos o contradicciones. Es decir, debe producir situaciones que favorezcan la comprensión por parte del alumno de que existe un conflicto entre su idea sobre un determinado fenómeno y la concepción cient+ficamente correcta. Es preciso sealar que la reorganización conceptual por la que pasará el alumno ni es simple ni inmediata, ya que no se trata de que adquiera la idea correcta en el vac+o, sino que sea capaz de generalizarla.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL PIA5ETANO El 4constructivismo piagetiano45 que adopta su nombre de 4ean :iaget, es el que sigue más de cerca las aportaciones de ese pedagogo, particularmente aquellas que tienen relación con la epistemolog+a evolutiva, es decir, el conocimiento sobre la forma de construir el pensamiento de acuerdo con las etapas psicoevolutivas de los nios. El constructivismo piagetiano tuvo un momento particularmente influyente durante las dcadas de IAK@ y IAL@, impulsando numerosos proyectos de investigación e innovación educativa. :ara :iaget, la idea de la asimilación es clave, ya que la nueva información que llega a una persona es MasimiladaM en función de lo que previamente !ubiera adquirido. 2uc!as veces se necesita luego una acomodación de lo aprendido, por lo que debe !aber una transformación de los esquemas del pensamiento en función de las nuevas circunstancias.
@UMANO El 4constructivismo umano4 surge de las aportaciones de 0usubel sobre el aprendizaje significativo, a los que se aaden las posteriores contribuciones neurobiológicas de ova9. 0usubel opina que el cambio y la evolución de esquemas se regulan por una relación constructiva entre el esquema preexistente y la nueva información. El esquema modifica dic!a información para asimilarla y sta, al establecer relaciones novedosas con ciertos elementos del esquema, provoca una reestructuración más o menos amplia del mismo. SOCIAL 6l 4constructivismo social4 , se funda en la importancia de las ideas alternativas y del cambio
conceptual 'Gelly*, además de las teor+as sobre el procesamiento de la información. :ara esta versión del constructivismo son de gran importancia las interacciones sociales entre los que aprenden
RADICAL El 4constructivismo radical4 'von 5laserfeld* es una corriente que rec!aza la idea seg$n la cual lo que se construye en la mente del que aprende es un reflejo de algo existente fuera de su pensamiento. En realidad, se trata de una concepción que niega la posibilidad de una transmisión de conocimientos del profesor al alumno, ya que ambos construyen estrictamente sus significados. %os constructivistas radicales entienden la construcción de saberes desde una vertiente dar=inista y adaptativa, es decir, el proceso cognitivo tiene su razón de ser en la adaptación al medio y no en el descubrimiento de una realidad objetiva. 0 diferencia de los otros MconstructivismosM, en general calificables como MrealistasM, el constructivismo radical es idealista porque concibe el mundo como una construcción del pensamiento y, por tanto, depende de l.# :ara profundizar se propone la siguiente lectura& 0raya, 8aleria> 0lfaro, 2anuela> 0ndonegui, 2art+n C(;/-6C/8;2(& (-5EE; H :E-;:EC/80; http://www.redal%c.org/pd(/)*1/)*111+,+.pd(
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL FILOSOF?A CONSTRUCTIVISTA D! nt Pi$!t
E8trctos '!# RESUMEN DEL MANUAL BFUNDAMENTOS DE LA PSICOLO5?AB os6 Luis Mrtor!## 9 os6 Luis Pri!to E'itori# C!ntro '! Estu'ios Rm*n Ar!c!s. Co#!cci*n '! Psico#o$% !ttp&))===.e1torredebabel.com)6ned1:arla)0signaturas)ntroduccion:sicologia)-esumen2anual1 CapituloI@.!tm El constructivismo aparece en primer lugar en el área de la filosof+a, y lo encontramos principalmente en la obra de nt. Este filósofo intentó ir más allá del racionalismo y del empirismo. :ara el racionalismo el conocimiento pod+a alcanzarse completamente a priori, para el empirismo sin embargo deb+a descansar en la experiencia, por lo tanto era a posteriori. :or su parte, Gant creerá que nu!str m!nt! constru9! !# conocimi!nto "rtir '! #os 'tos '! # !8"!ri!nci 9 $rcis # or'!n -u! im"on! 'ic,os 'tos m!'int! !#!m!ntos "riori7 "ro"ios '! su !structur 'aunque el manual no lo cita, es preciso recordar que Gant analiza las principales facultades cognoscitivas y encuentra que poseen una estructura& as+ por ejemplo, la ;ensibilidad o capacidad para tener sensaciones tiene como elementos a priori el tiempo y el espacio, y el Entendimiento o capacidad para tener conceptos las llamadas categor+as o conceptos puros, que no se originan en la experiencia sino que forman parte del dinamismo propio de esta facultad, por ejemplo, el concepto de unidad, de causalidad y de substancia)accidentes. Estos elementos a priori son la aportación de nuestra mente, por decirlo de la manera más sencilla, en la experiencia de conocimiento, no realidades que existan en el mundo en s+ mismo o que nuestra mente extraiga del mundo*. %a mente ordena los datos de la experiencia, las sensaciones mediante !s-u!ms o r!$#s univ!rs#!s, que le pertenecen a ella y no al mundo o realidad en s+ misma. %os esquemas son r!"r!s!ntcion!s m!'i'ors que organizan la experiencia y se sit$an entre el sujeto y los datos del mundo. De este modo, Gant niega tanto el racionalismo 'que exagera el papel del sujeto* como el empirismo 'que lo MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL minusvalora*. Este concepto de esquema como elemento mediador y organizador de la experiencia tendrá influencia en la psicolog+a, en autores como 4ean :iaget, %ev 8ygots9y o 5eorge Gelly que lo recogerán aunque dándole otros nombres.
AVATARES DEL CONSTRUCTIVISMO; DE ANT A PIA5ET Carlos Arturo 7ondo8o %amos
!ttp&))===.r!ela.rudecolombia.edu.co)index.p!p)r!ela)article)vie=)LK El texto completo lo localizas en tu material de estudio.
). ANTECEDENTES DEL CONSTRUCTIVISMO DESDE LA PERSPECTIVA PSICOLÓ5ICA L Psico#o$%7 como ci!nci "ositiv7 '!s"r!n'i' '! # &i#oso&%7 !s un ci!nci r!#tivm!nt! nu!v "u!s "u!'! siturs! su ncimi!nto !n 1(7 cun'o s! '!s!* ##!vr #os #ortorios '! &isio#o$% !# com"ortmi!nto ,umno. A "rtir '! !s! mom!nto7 #s corri!nt!s '! "!nsmi!nto &u!ron sur$i!n'o !n 'iv!rss "rt!s '!# mun'o A#!mni 9 EUA7 como c!<s "rinci"#m!nt! !n su '!srro##o &u! com"ort2n'os! como un "6n'u#o !n 'i&!r!nt!s s"!ctos7 !ntr! !##os como !0!m"#o7 #s MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL r!s"u!sts !8t!rns '! # con'uct &r!nt! #os "roc!sos int!rnos -u! $!n!rn #s misms r!s"u!sts. En !st! s!nti'o7 cun'o !# con'uctismo !st &#or!ci!n'o "or # !&icci '! sus m6to'os !n EUA7 sur$! como un corri!nt! m2s r!&#!8iv sor! #os "roc!sos int!rnos7 !n A#!mni7 # T!or% '! # 5!st#t. Est t!or% &ci#it* -u! "ost!rior !## ,ui!rn m2s inv!sti$'or!s int!r!sos !n '!scurir #os "roc!sos "sico#*$icos int!rnos7 '! !st mn!r t!or%s '! # "!rson#i'' como !# Psicon2#isis 9 t!or%s '!# '!srro##o '! # int!#i$!nci como !# Constructivismo "u!'!n !nt!n'!rs! m2s "ro&un'm!nt!. D! mn!r mu9 r!v! s! !8"on! continuci*n como # t!or% '! # 5!st#t in&#u9* !n !# Constructivismo “TEORÍAS CONSTRUCTIVISTAS EN PSICOLOGÍA
9rederic $arlett fue un precursor del constructivismo en psicolog+a. 0s+, en sus estudios sobre la memoria entendió el recordar como una reconstrucción imaginativa o construcción elaborada a partir de la relación de nuestra actitud con la experiencia anterior, y no
un proceso asociativo fragmentario y mecánico. El funcionamiento de la memoria le sugirió la existencia de !s-u!ms, a los que definió como organi:aciones activas de reacciones ; experiencias pasadas . :or ejemplo, si percibimos similitud entre varios acontecimientos es porque utilizamos esquemas que los agrupan. 3arlett desarrolló sus ideas en los aos ?@ y N@, dominados por los conductistas, lo que impidió que prosperaran. Criticó al conductismo, al que vio más como un culto que como una autntica teor+a cient+fica. %a psicolog+a cognitiva actual lo valora positivamente y lo considera un adelantado a su poca .
L "sico#o$% '! # 5!st#t %a escuela de la 5estalt tuvo muc!a importancia en la primera mitad del siglo 77. En la actualidad permanecen vigentes algunos de sus principios y se reformulan parte de los problemas que les ocuparon. -epresentantes principales& gang y ?urt ?@ler 'IL1IAKL* ?o>>a 'IK1IABI*. %a palabra alemana 5!st#t se puede traducir como " >orma#, "totalidad con >orma propia# y se refiere al !ec!o de que, como se verá, en muc!os casos "el todo es más que la suma de las partes#.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
Esta escuela s! !n&r!nt* # "sico#o$% '! Gun't. Dos criticas principales& •
•
A# !#!m!nt#ismo&
Princi"io $!st2#tico &un'm!nt#; !# to'o !s m2s -u! # sum '! #s "rt!s. 0plicación de este principio a dos importantes procesos psicológicos&
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
•
a percepción&
"r!nt! o &!n*m!no ",i & la presentación de dos luces que se encienden y apagan alternativamente con un intervalo de unos K@ milisegundos provoca que el sujeto no vea dos luces que se encienden o se apagan sino el movimiento de una luz. El sujeto percibe movimiento all+ donde en realidad no lo !ay. ;e trata por tanto de una percepción creada Bconstruida por el observad or. Este fenómeno no se puede comprender con el estudio de los elementos, es más bien un fenómeno originario e irreductible que emerge de las relaciones. El todo perceptual no puede ser reducido a las partes constituyentes. :ercibimos nuestro mundo en tot#i''!s uni&ic's7 si$ni&ictivs. %o significativo es la organización, no los elementos. %a 5estalt estudió la organización perceptual y ofreció una serie de principios, destacando como principal la #!9 '! # "r!$nnci ! la organi:ación perceptual tiende a ser la mejor posible en unas condiciones dadas. •
%l pensamiento&
pensamiento productivo& o
P!nsmi!nto r!"ro'uctivo& repetición mecánica de lo adquirido. MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL P!nsmi!nto "ro'uctivo& da lugar a nuevas ideas e intuiciones, va más allá de las condiciones iniciales de las que parte. o
Consideró =erteimer que el pensamiento productivo se basa en la capacidad de comprender la estructura de una situación dada y de "ver# una reorganización de dic!a estructura. 0 ese "ver# intelectual una nueva organización en lo dado GO!ler le dio el nombre de "insi$,t# 'intuición*.
GO!ler defendió la existencia de este tipo de "pensamiento creativo# a partir de sus investigaciones con monos realizadas en /enerife. 0lgunos monos eran capaces de resolver el problema de alcanzar un plátano, "comprendiendo# la posibilidad de utilizar cajas y un palo para llegar a l. GO!ler pensó que este tipo de aprendizaje no se puede entender con el modelo de aprendizaje por ensayo y error de /!orndi9e. Existe el aprendizaje por ensayo y error, pero tambin el "pensamiento productivo#. En la misma l+nea Dincer defiende este tipo de pensamiento basado en la reestructuración de los datos de la experiencia, pero consideró que no se da primero la reestructuración completa sino que, lo más frecuente es que primero se alcancen reestructuraciones parciales que sin resolver directamente el problema permiten afrontarlo con más xito. (tro concepto fundamental de la 5estalt es el de isomor&ismo& lo desarrollaron en el contexto de la reflexión sobre la relación mente1cerebro, la cuestión de la base fisiológica de los fenómenos psicológicos. somorfismo significa igualdad de forma y en este tema !ace mención al !ec!o de que, seg$n esta escuela, !ay una correspondencia estructural entre la experiencia y los procesos cerebrales subyacentes. /odos los fenómenos ps+quicos 'percepción, pensamiento,...* tienen un correspondencia en el cerebro, y lo que ocurre en el nivel cerebral presenta caracter+sticas funcionalmente idnticas a lo que ocurre en el nivel mental. Estas tesis !an sido muy criticadas. %a influencia de la 5estalt !a sido notable& muc!os de sus conceptos y problemas se !an incorporado, reformulados, en otras corrientes psicológicas, principalmente en la psicolog+a cognitiva y en la psicolog+a social de ?urt 7eEin y su teoría de campo. " MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL /exto tomado de& M/-(D6CCP 0 %0 :;C(%(5Q0M 1 6ED -E;62E DE% 2060% MF6D02E/(; DE %0 :;C(%(5Q0M 4os %uis 2artorell y 4os %uis :rieto Editorial Centro de Estudios -amón 0reces. Colección de :sicolog+a (Preparado por Javier Echegoyen,)
http://www.e-torredebabel.com/ned-arla/'signaturas/0ntroduccionsicologia/ResumenanualCapitulo1.htm
D! # Psico#o$% # P!'$o$% 0l igual que la :sicolog+a, la :edagog+a a lo largo de su !istoria se !a separado de la filosof+a y especialmente desde el siglo 77, mismo siglo en que la psicolog+a se reconoce como ciencia positivista, !a incorporado elementos de esta para su que!acer cotidiano. 6na corriente de especial fuerza fue la denominada "Escuela ueva# misma, que desde la perspectiva pedagógica, prepara el terreno para que la concepción constructivista del aprendizaje pueda florecer.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL ;e presenta en seguida una breve resea sobre la Escuela ueva y posteriormente se proponen unos videos para tener una visión global de la misma
HL Escu!# Nu!v Este movimiento de renovación pedagógica surge en el siglo 77, aunque sus antecedentes se remontan al siglo 78 'cabe destacar a Erasmo de -oterdam, al !umanista espaol %uis 8ives, los trabajos de Fenelon y el Emilio de 4. 4 -ousseau*. ;us principales pedagogos fueron 4o!n De=ey, 0dolp!e Ferrire, 2ar+a 2ontessori, :aulo Freire, -oger Cousinet, 0. ;. eil y Clestin Freinet entre otros.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL Crct!r%stics %os nuevos pedagogos denuncian las desventajas de la educación tradicional& pasividad, la educación centrada en el programa y en el profesor, superficialidad, enciclopedismo, verbalismo.
;e basa en la psicolog+a del desarrollo infantil, y se impuso como obligación tratar a cada alumno segFn sus aptitudes. :ostula como principio de que la infancia y la juventud son edades de la vida que se rigen por leyes propias distintas a las necesidades del adulto. o !ay aprendizaje efectivo que no parta de alguna necesidad o interGs del alumno, ese inters debe ser considerado como el punto de partida para la educación.
%a relación maestro1alumno sufre una transformación en la Escuela ueva. %a relación de poder1 sumisión propia de la Escuela /radicional se sustituye por una relación de a>ecto ; camaradería. Es más importante la forma de conducirse del maestro que la palabra. El maestro se convierte en un auxiliar del libre y espontáneo desarrollo del alumno. %a autodisciplina es muy importante en esta nueva relación, el maestro cede el poder a sus alumnos para colocarlos en posición funcional de autogobierno que los lleve a comprender la necesidad de elaborar y observar reglas. o son impuestas desde el exterior, sino que son reglas que !an salido del grupo como expresión de la voluntad general. %a educación se entiende como un proceso para desarrollar cualidades creadoras en el alumno. ;i !ay un cambio en los contenidos, tambin debe darse un cambio en la forma de transmitirlos. ;e introducen una serie de actividades libres para desarrollar la imaginación5 el espíritu de iniciativa5 ; la creatividad . o se trata sólo de que el estudiante asimile lo conocido sino que se inicie en el proceso de conocer a travs de la b$squeda, de la investigación, respetando su individualidad. Esto !ace necesario tener un conocimiento más a fondo de la inteligencia, el MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL lenguaje, la lógica, la atención, la comprensión, la memoria, la invención, la visión, la audición, y la destreza manual de cada alumno, para tratar a cada uno segFn sus aptitudes . ;e prepara al futuro ciudadano para ser un !ombre consciente de la dignidad de todo ser !umano. En el movimiento de la Escuela ueva subyacen diversas teor+as pedagógicas conocidas como contra autoritarias, autogestionarias, y libertarias. ;u caracter+stica definitoria es el deseo de educar en libertad y para la libertad.# /exto tomado de 0ntes de responder las preguntas, observa los siguientes videos, 'se encuentran en el material de estudio*, ellos ayudarán a ampliar la explicación sobre lo que es la escuela nueva
L Escu!# Nu!v ,tt";,'oc.
Mo'!#o '! !scu!# nu!v Los MODELOS "!'$*$icos cont!m"or2n!os
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL J. IMPORTANCIA DEL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓ5ICOK MATEMTICO EN EL PROCESO DE INNOVACIÓN EDUCATIVA Cuando se !abla de constructivismo o de la teor+a de :iaget, es casi natural relacionarlo con el ":ensamiento %ógico R 2atemático#. ;in embargo, as+ como esa asociación es com$n, tambin es com$n que se entienda simplemente este tipo de pensamiento como el de aqul que es !ábil para desarrollar problemas matemáticos, aritmticos, o relacionados a este tema. Entender este tipo de pensamiento es empobrecer, no solo el concepto sino toda la propuesta de :iaget para explicar el desarrollo de la inteligencia en el ser !umano. -ecurdese que como biólogo, :iaget, concibe a la inteligencia como el máximo mecanismo de adaptación con el que cuenta el ser !umano ante la realidad. En la explicación de su teor+a, al !ablar de los estadios pretende sealar cual es el proceso que vive el adulto para llegar a tener un pensamiento propiamente !umano. Este pensamiento se alcanza al llegar al estad+o de las operaciones formales dando como resultado un pensamiento lógico1matemático, es decir, la forma natural de pensar de un ser !umano es lógica1matemática. Esta forma de pensar no se da de un momento a otro, solo por el !ec!o de ser adulto biológicamente, aunque tambin la maduración biológica es necesaria para alcanzarlo. Este tipo de pensamiento se da por la práctica, por el !ec!o de enfrentarse a diversas situaciones de la vida y poder resolverlas> se adquiere por la experiencia de aquello que funcionó y lo que no lo !izo. ;e necesita alimentar la inteligencia con diversas experiencias que sean un reto intelectual, ni muy fáciles, ni muy dif+ciles con la "autorización# para probar nuevas respuestas y tambin para equivocarse. Como ya se !a comentado anteriormente, en esta asignatura se supone que el estudiante cuenta con un estudio previo sobre la teor+a de :iaget por lo que en este momento podremos "repensar# sobre aquello que ya se asimiló y acomodó de manera determinada, subiendo en la "espiral# del conocimiento que propone :iaget y que se da por la posibilidad que el entorno permite, mediante experiencias que crean crisis cognitivas que permiten que se pongan en funcionamiento estructuras mentales y consolidarlas o reestructuralas, favoreciendo el desarrollo de estructuras más complejas. De esta manera como producto del aprendizaje se obtienen lo que com$nmente denominamos "conocimientos o saberes# pero tambin "aprendemos a aprender#, creando rutas, estrategias, para entender la realidad y acomodarla en nuestra estructura cognitiva. Este segundo aprendizaje, solo se logra ejercitando las estructuras previas mismas que permiten nuevas restructuraciones que pueden ser aplicadas, posteriormente, a otros est+mulos del ambiente. El utilizar este tipo de estrategias, con las estructuras propias de cada estad+o es el camino para el pensamiento lógico1matemático. De esta manera el pensamiento lógico1matemático es la !erramienta de adaptación propia del ser !umano, es la forma de pensar del ser !umano que le permite resolver conflictos y adaptarse a su entorno.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL %a creatividad y la innovación tienen alta relación con la flexibilidad que se tenga en la utilización de este recurso. 0 continuación se presenta la memoria de la conferencia de apertura en el Ier congreso mundial de matemáticas. ;e presenta el texto completo para quien desee profundizar en todo el documento, "asimilarlo y acomodarlo#, siguiendo el esquema piagetiano, lo cual implica tambin una postura cr+tica. El propósito de esta lectura es rescatar los elementos necesarios para construir o reconstruir el concepto de :ensamiento L*$icoKMt!m2tico "rtir '! #os t!8tos sur9'os !n mri##o.
EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓ5ICOKMATEMTICO Conferencia de 0pertura del 1 Con$r!so Mun'i# '! Mt!m2tics !n E. I. &os' (anuel $errano #on)*le)+!e,ero
6niversidad de 2urcia !ttp&))===.=aece.org)cdlogicomatematicas)ponencias)serranoSponSes.!tm
INTRODUCCIÓN Cuando !ablamos de pensamiento lógico1matemático, en trminos generales, se entiende que !acemos referencia a las matemáticas o al conocimiento matemático y, aunque es cierto que las nociones matemáticas suponen una de las posibles formas de pensamiento lógico1matemático, no es menos cierto que este reduccionismo del pensamiento lógico1matemático al conocimiento matemático, es un craso error. Cualquier epistemolog+a, y la epistemolog+a gentica de 4ean :iaget no puede sustraerse a ello, se encuentra abocada a considerar el problema de la bipolaridad del conocimiento. En efecto, sabemos que muc!as proposiciones alcanzan su valor de verdad o falsedad sin recurso a la constatación emp+rica y sólo pueden ser alcanzadas por deducción. :or el contrario, podemos encontrar otro gran conjunto de proposiciones en las que esos valores están mediatizados por la posibilidad de constatación emp+rica de los !ec!os a los que se refieren y sólo pueden ser alcanzadas por inducción. Este planteamiento parece conducir a una irreductibilidad entre estos dos conjuntos de verdades y cualquier teor+a del conocimiento se va a ver abocada a responder al problema entre la relación de estas dos formas de conocimiento& el conocimiento lógico1 matemático 'verdades normativas* y el conocimiento f+sico 'verdades fácticas*. :ara poder dar solución a este problema :iaget postula la necesidad de una continuidad funcional entre la vida y el pensamiento, porque para el eminente epistemólogo suizo "si los problemas biológicos y psicológicos son solidarios, ello se debe a que el conocimiento prolonga, efectivamente, la vida misma, de tal forma que la asimilación biológicaT se prolonga en una asimilación intelectual#UIV. Esta continuidad entre lo biológico y lo psicológico queda asegurada por una propiedad intr+nseca a todo tipo de organización vital& la acción, mecanismo a travs del MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL cual el organismo entra en contacto con el entorno, lo asimila y Wact$aX sobre l transformándolo. 0!ora bien, como no existe WacciónX sin WreacciónX, :iaget se ve en la necesidad de utilizar el trmino interacción para designar las relaciones entre el individuo y lo real. En el proceso de interacción sujetoYobjeto tenemos, por tanto, tres elementos 'sujeto*, 'Y* y 'objeto*. El primer elemento de la terna, es decir, el sujeto, es el conocedor y el conocimiento lo puede extraer del propio sujeto 'metacognición*, de la interacción con el objeto 'cognición o conocimiento lógico1matemático* o del objeto 'cognición o conocimiento f+sico*. De esta manera l a apropiación de los saberes y de los contenidos espec+ficos de las matemáticas es una forma de conocimiento lógico1matemático, pero, evidentemente, no es la $nica posible. ec!o este breve preámbulo, vamos a comenzar a desarrollar una forma de conocimiento lógico1 matemático que conocemos como WaritmticaX, as+ como sus relaciones e implicaciones con otra forma de conocimiento lógico1matemático que denominamos WlógicaX. Desde que vieron la luz los primeros trabajos piagetianos sobre la construcción del n$mero y, muy especialmente, desde la aparición en IABI de la HenIse du nombre ce: lJen>ant con la propuesta de la indisociabilidad cardinal1ordinal del n$mero y los subsecuentes trabajos de esta obra pionera, !an proliferado, a partir de la dcada de los WK@X y !asta el momento actual, las investigaciones sobre los or+genes del n$mero o, si se prefiere, sobre la construcción del n$mero en el nio, tanto desde posiciones de afianzamiento en el seno de la propia Escuela de 5inebra, como de confirmación o de aceptación o refutación parcial, pero siempre en el seno de la propia teor+a piagetiana, aunque se intenten integrar en la misma elementos de otros modelos o teor+as 'postpiagetianos o neopiagetianos*. De !ec!o, desde IAK@ !asta el momento actual, tenemos registrados más de ?@@ art+culos de investigación sobre la conservación o la construcción del n$mero, gran parte de ellos publicados en revistas de amplio impacto como Cild Development , Developmental Ps;colog; ,Kournal o> 6xperimental Cild Ps;colog; , Kournal o> 6ducational Ps;colog; , Kournal >or %esearc in ancia ; Aprendi:aje, 6studios de Psicología, etc., amn de otras tantas revisiones, libros y cap+tulos de libro, lo que supone cerca de una decena de millar de páginas dedicadas al tema que nos ocupa. %as investigaciones que !emos venido desarrollando, desde IA@, sobre los componentes cardinales y ordinales del n$mero, ponen de manifiesto que el n$mero no es clase de relaciones simtricas transitivas 'empleando la terminolog+a de -ussell, clase de clases* o, al menos, no sólo es clase de clases, como proponen los cardinalistas, tampoco !ace referencia al encaje de relaciones asimtricas transitivas o, al menos, no sólo es relación de orden, como proponen los ordinalistas, aunque tampoco podemos admitir la indisociabilidad cardinal1ordinal del n$mero, tal y como propone :iaget. osotros proponemos la siguiente explicación funcional que puede ser tomada a modo de definición& WEl n$mero es una de las doce categor+as 9antianas reformuladas por :iaget que pertenece a la función implicativa de la inteligencia y que, por lo tanto, tiene como función la discretización del continuo 'asimilación del universo*. Como todas las categor+as que permiten la adaptación del sujeto a su entorno, se encuentra regulada por la función organizadora de la inteligencia, lo que equivale a decir que es una totalidad independiente del resto de las categor+as, con un sistema de relaciones que le es propio, unos fines espec+ficos y unos medios 'valores* adecuados al logro de esos finesX. 0!ora bien, la función implicativa o asimiladora de la inteligencia es $nica y, por tanto, independencia, no significa aislamiento, sino interacción. os encontramos por tanto con una MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL estructura cognitiva espec+fica, con un funcionamiento igualmente espec+fico y que ejerce una función interactiva con otras estructuras cognitivas de las que depende el propio proceso de asimilación.
Esta interacción determina que las estructuras o categor+as estructurales que configuran el proceso centr+peto de la adaptación tengan un desarrollo más o menos armónico y, por tanto, que desde una perspectiva estad+stica WcorrelacionenX o Wcovar+enX entre s+. ;in embargo, esta correlación trasciende los l+mites estad+sticos, porque estad+sticamente no puede existir independencia 'ortogonalidad* y covariación. %a interpretación vendr+a dada en trminos de "independencia de organización#& un sistema de relaciones caracter+stico, constituido por leyes espec+ficas, unas finalidades diferenciadas y unos medios 'esquemas* diversificados. Zuizás por eso !abr+a que ver esta situación más en la l+nea, o desde el punto de vista, de la "matemática ingenua#, como intersección de conjuntos. De esta manera podr+amos interpretar nuestro estudio desde la perspectiva de un diagrama configurado por tres conjuntos que representar+an los tres elementos configuradores del proceso de cuantificación en el !ombre& clases, relaciones 'asimtricas* y n$mero.
6tilizando una terminolog+a y una interpretación puramente piagetiana, diremos que nos encontramos con las tres posibles formas de equilibración cognitiva 'asimilación[acomodación*, MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL al menos en lo que !ace referencia a los procesos de cuantificación que nos ocupan en este trabajo& :or un lado, tendr+amos las equilibraciones internas de los subsistemas numrico 'N\J\K\L*, de relaciones simtricas 'I\B\J\L* y de relaciones asimtricas '?\B\K\L*, que se corresponder+an a la primera de las formas de equilibración cognitiva descritas por :iaget y que tienden a la constitución 'por asimilaciones sucesivas* y conservación 'mediante acomodaciones conseguidas* de estos sistemas. :or otro lado, tenemos las interrelaciones entre los tres subsistemas que se encuentran reguladas por un sistema de asimilaciones rec+procas, que conllevan sendas acomodaciones rec+procas 'zonas B, J, K y L* y que tienden a la constitución y conservación del sistema de cuantificación !umano y a su mutua conservación, lo que corresponder+an a la segunda de las formas de equilibración piagetiana. Finalmente, este sistema de cuantificación supone una organización de todos los subsistemas que engloba, gracias a un conjunto de transformaciones que implica un proceso doble. :or una parte, un proceso de integración 'con carácter asimilador* de todos esos subsistemas en una estructura global y, por otra, un proceso de diferenciación 'con carácter acomodador* de esa estructura global a las caracter+sticas del medio, proceso que se lleva a cabo a travs de los propios subsistemas y que corresponder+a a la tercera de las formas de equilibrio cognitivo. 0claremos esto con un ejemplo. maginemos que, ante un conjunto de animales como el que se nos presenta en el cuadro siguiente, se nos !iciera esta pregunta de cuantificación& OuG a; mQs5 animales o perros&R .
En el momento en que procesamos la información que tenemos ante nosotros 'cuadro y texto* sabemos que lo que tenemos que !acer es cuantificar, por comparación '"qu !ay más#*, un conjunto de animales 'de los cuáles algunos son perros y otros son palomas*, con una de sus partes 'el subconjunto de los perros*. Como la estructura que determina el sistema de cuantificación, coordina todos los subsistemas cuantificadores de la realidad 'intensiva, extensiva simple y extensiva mtrica*, se establece que, de todos los posibles esquemas que pueden dar solución al problema y puesto que lo que se pide es la comparación del todo con una de sus partes, de acuerdo con la teor+a de la econom+a del pensamiento U?V, la acomodación más eficiente es realizada por la estructura de clasificación 'zona I del diagrama* mediante la utilización de un esquema de inclusión 'el conjunto de los perros está incluido en el de los animales* y, como determina el subsistema de cuantificaciones intensivas, puesto que el todo es mayor 'si los subconjuntos de que consta el todo son no vac+os* o igual que la suma de las partes MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL 'si todos los subconjuntos del todo menos uno son vac+os*, es evidente que la respuesta a la cuestión planteada al inicio es que a; mQs animales Lue perros 'puesto que el subconjunto de las palomas de nuestro ejemplo es un subconjunto no vac+o*. maginemos a!ora que ante este conjunto que sigue la pregunta es& OuG a; mQs5 perros o palomas&R.
En esta nueva situación lo que se pide es la comparación de las partes entre s+, por lo que el proceso de cuantificación intensiva se torna in$til ya que, como !emos dic!o, sólo puede funcionar en el caso de la comparación del todo con las partes> por tanto sólo cabe la utilización de un proceso de cuantificación extensiva y, dada la disposición espacial de los elementos a comparar, el proceso no parece requerir la utilización de un esquema cuantificador que requiera la iteración de unidades. Es evidente que la solución al problema planteado, para lograr la acomodación más eficiente, es el proceso de cuantificación extensiva simple. %a unidad funcional de conducta 'esquema* que permite la solución más eficiente al problema planteado es, sin lugar a dudas y dada la disposición espacial de los elementos en nuestro ejemplo, el esquema de correspondencia uno+a+uno & como !ay algunos elementos del segundo conjunto 'palomas* que no tienen imagen en el primer conjunto 'perros* podemos concluir que a; mQs palomas Lue perros . 0!ora bien, el esquema de correspondencia un+voca o biun+voca es una unidad funcional de conducta que posibilita el recurso a la construcción de las clases UNV y, por esta razón, !abr+a que ubicarla en el seno de ese conjunto 'confrontar diagrama*. ;in embargo, el esquema de correspondencia uno1a1uno, es tambin un esquema numrico por cuanto, por ejemplo, contar, es, entre otras cosas, establecer una correspondencia biun+voca entre unas palabras 'numerales* y unos objetos, por lo que podr+amos decir que el esquema de correspondencia uno1a1uno supone la necesaria coordinación de los subsistemas de n$mero y clase 'zona J del diagrama*. maginemos, finalmente, que nuestros perros y nuestras palomas se distribuyen de la siguiente manera&
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
;i la pregunta vuelve a ser a!ora, OLuG a; mQs5 perros o palomas&R , al tener que comparar las partes entre s+, debemos recurrir a un proceso de cuantificación extensiva, pero a!ora parece más eficiente un proceso iterativo, es decir un proceso de cuantificación extensiva mtrica. Zuizás, de nuevo en aras de la eficiencia del proceso, el esquema de conteo sea el más adecuado para darle solución al problema. 0!ora bien, el esquema de conteo supone, tanto la utilización de un esquema de correspondencia biun+voca 'objetos1numerales*, como el establecimiento de un orden estable en los numerales 'primero el I, luego el ?, luego el N, etc.*, por lo tanto se requiere la coordinación de los tres subsistemas de n$mero, clase y orden 'zona L de nuestro diagrama de conjuntos*. %legados a este punto, !emos de decir que aunque, aparentemente y por los ejemplos que acabamos de proponer, la coordinación de esquemas, necesaria para la constitución de un sistema cuantificador en el !ombre, supone la integración de los mismos 'afirmación*, esta misma coordinación supone tambin la exclusión 'negación* mutua de algunos esquemas. Esta negación se podr+a matizar bajo dos aspectos diferenciados& negación por pertinencia >uncional o negación por pertinencia material . %a negación por pertinencia funcional se produce siempre entre los esquemas pertenecientes a un subsistema y las coordinaciones entre esquemas de este subsistema con otro's* subsistema's*, es decir 'cf. el diagrama en c+rculos anterior*, la negación por pertinencia funcional, por ejemplo, de I es B, J y L 'B / J / L ] I^*. En efecto, si tomamos el primero de nuestros ejemplos, para dar respuesta a la cuestión& W_qu !ay más, animales o perros`X no resulta funcional^ contar los animales y luego los perros para determinar que el cardinal de los primeros es mayor que el cardinal de los segundos, incluso aunque el razonamiento conduzca a, una vez contados los perros, suspender el funcionamiento del esquema de conteo por llegar a la conclusión de que, al seguir contando, el cardinal de los animales va a ser mayor y, por tanto, !ay más animales que perros. Es evidente que el esquema de inclusión niega funcionalmente^ al esquema de conteo. %a negación por pertinencia material se produce o entre esquemas pertenecientes a diferentes subsistemas 'por ejemplo, en nuestro diagrama de c+rculos tendr+amos que I^ ] ? / N* o entre esquemas del mismo subsistema de naturaleza no reductible por conducir a acomodaciones diferentes. En efecto, tomemos dos esquemas de cuantificación pertenecientes al Wsubsistema n$meroX, que !emos designado como 'N* en nuestro diagrama de c+rculos, como, por ejemplo, la apre!ensión inmediata ' subiti:ing * y la estimación. ;i tratáramos de coordinar estos dos esquemas ver+amos que no existe posibilidad material alguna de !acerlo. En primer lugar, porque se orientan a acomodaciones diferentes, el primero conduce a la determinación del cardinal exacto de un conjunto de pocos elementos, concretamente un máximo MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL de L?, que dec+a 5eorge 0. 2iller en su conferencia inaugural pronunciada ante la 6astern Ps;cological Association, y el segundo es una flexibilización de los esquemas cuantificadores numricos que conduce a la determinación grosera del cardinal de un conjunto numeroso. En efecto, imaginemos un ejrcito numeroso en el que caminan delante tres soldados. ;i se nos pide que cuantifiquemos el n$mero de soldados que tiene el ejrcito a fin de preparar una carpa de alojamiento, no es posible aplicar el esquema de apre!ensión inmediata por el tamao del conjunto a evaluar y, como la valoración del cardinal del conjunto de los soldados no requiere una medida exacta aplicar+amos un esquema de estimación. En segundo lugar, y por lo anteriormente apuntado, no es posible encontrar una ley de composición entre ambos esquemas Uno olvidemos que la coordinación de esquemas es un nuevo esquema que enriquece a los preexistentes por la ley que los coordina& por ejemplo, la coordinación de esquemas aditivos y multiplicativos !ace que el pensamiento sea distributivo& a. 'b\c* ] a.b\ a.cV. 2uc!os c!istes, propios de la ingeniosidad latina, se encuentran basados en establecer una ley de composición sobre unidades funcionales de conducta no coordinables. 0s+, en el caso anterior, si consideráramos el conjunto del ejrcito subdividido en dos subconjuntos 'los tres soldados que van delante y los restantes* y tratáramos de encontrar una ley de composición, como podr+a ser una ley aditiva de carácter unidimensional '\*, llegar+amos al siguiente retrucano& _De cuántos soldados está compuesto el ejrcito`. De tres mil tres, porque delante vienen tres y detrás unos tres mil. Es, por tanto, evidente que el esLuema de estimación niega materialmente^ al esLuema de apreensión sFbita o inmediata. Finalmente, !emos encontrado en algunos trabajos y estudios previos que, en las primeras edades, el nm!ro 'evidentemente, siempre !ablamos del n$mero natural, que es la primera y $nica extensión numrica alcanzable a estas edades* es más un instrumento de cuanti>icación de la realidad que de cuali>icación de la misma. En un primer momento, y a falta de la constitución de un sist!m '! r!#cion!s diferenciado, la organización del pensamiento lógico1matemático del sujeto se presenta como una tot#i'' WcaóticaX constituida por unos esquemas indiferenciados ' m!'ios* desde el punto de vista de los &in!s 'lo que podr+amos definir como etapa de indi>erenciación de esLuemas *. :aulatinamente se va produciendo una diferenciación de m!'ios y &in!s que obliga a recurrir a la utilización de dos sist!ms '! r!#cion!s diferentes e independientes que, por tanto, no pueden llegar a coordinarse en una estructura de conjunto 'en una $nica tot#i''*, lo que supone que los conjuntos tengan unas cualidades diferenciadas, desde una perspectiva operatoria y funcional& cualidades numricas y cualidades no numricas 'lo que podr+a ser asumido como una etapa de di>erenciación de esLuemas sin integración *. :or $ltimo, el nio irá dotando a su pensamiento lógico1matemático de la movilidad suficiente 'sist!m '! r!#cion!s* para organizar la información que extrae de su acción sobre la realidad en un sistema de conjunto ' tot#i''* con unos m!'ios y unos &in!s determinados pero puestos siempre al servicio de la discretización del medio 'etapa de integración de los esLuemas en un sistema de conjunto* para interpretarlo de forma co!erente, efectiva ' eLuilibración* y cada vez más eficiente 'economía del pensamiento*. Esto supone la posibilidad de elaborar un modelo funcional que, interpretado mediante un diagrama de flujo, ser+a el siguiente&
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
y vendr+a a confirmar, a grandes rasgos, las tres formas de equilibración cognitiva descritas por :iaget. ;in embargo, y aunque las relaciones de equivalencia se mantienen para ambos tipos de cualidades, la numerosidad de un conjunto no es considerada como una cualidad f+sica^ del mismo, como lo puede ser el tamao, el color, la textura, etc. De esta manera, y a$n admitiendo que un conjunto 0 es igual que un conjunto 3 e igual que un conjunto C porque todos tienen el mismo n$mero de elementos, los pequeos niegan la posibilidad de que se puedan poner en el mismo grupo porque todos ellos Wse parecen en la cantidadX> utilizando la terminolog+a de -ussell, no admiten la clase de las clases^ que tienen el mismo n$mero de elementos, al menos, no al mismo nivel que admiten la clase de los perros como clase de las clases^ de perros de distintas razas, o la clase de los pequeos como clase de las clases^ de diferentes figuras geomtricas pequeas. 6tilizando una terminolog+a piagetiana, Wel n$mero presenta una alta resistencia a ser clasificadoX. /ampoco se encuentra el n$mero especialmente vinculado, en estas primeras edades, a la Widea de ordenX y, por tanto, a una noción intuitiva de seriación. En nuestras experiencias !emos podido constatar que la Wnoción de tamaoX, como en el caso de la clasificación, se refiere a cualidades f+sicas de los objetos o de los conjuntos de objetos, nunca al Wtamao numricoX de los conjuntos. El n$mero, como relación de orden, parece tener un fuerte componente temporal, quizás vinculado al lenguaje, de manera que los nios llegan a comprender que el WcuatroX precede^ al WcincoX ' - B > - se dice antes que * y, más tard+amente, que WcuatroX es menor^ que WcincoX ' - Q *. :or lo tanto, desde la perspectiva de un modelo de equilibración lógico1matemático a nivel de observables ' I / *, podr+amos concluir que las dificultades en la conservación de n$mero vienen dadas por las resistencias de este ente para ser organizado desde la perspectiva de las relaciones simtricas 'clases* y de las relaciones asimtricas 'orden*& MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
:or el contrario, los componentes incluidos en el proceso de cuantificación extensiva, simple o mtrica, son elementos de gran relevancia a la !ora de explicar la construcción del n$mero en el nio, quizás, porque, como dec+a 2arcel 3oll en su Sistoire des ormantes de la realidad, lo que les conduce a acomodaciones igualmente de>ormantes> es decir, existen disfunciones acomodadoras, porque existen disfunciones asimiladoras. ;in embargo, a partir de lo que :ierre 5rco denominó conservación de la cotidad , el n$mero es un instrumento cognitivo para la comparación de conjuntos a fin de determinar su posible equipotencia. Esto coincide, en el ámbito de las clases y de las relaciones asimtricas a una prdida del componente espacial y objetal 'lo estático de la acomodación* y a una ganancia de lo temporal y lo causal 'lo dinámico de la acomodación*. Este sentido dinámico es fácil de captar, ya que el tiempo es el espacio en movimiento y la causalidad la dinámica del objeto. Expresando de forma más concreta esta afirmación podr+amos decir que la creciente movilidad de los esquemas del sujeto !ace que se alcance un suficiente nivel de descentración y se pueda pasar de lo estático del proceso de adaptación 'estados* a lo dinámico de este proceso 'transformaciones*, con lo que la acción cobra una importancia capital para extraer información 'pensamiento lógico1matemático* a la !ora de conferir un significado a la realidad. Conocimiento f"sico y conocimiento ló0ico+matem*tico se constituyen as+ en un eje bipolar para interpretar el mundo. MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL Esta coordinación de lo estQtico y lo dinQmico de la >unción de adaptación !ace que la correlación existente entre los procesos de cuantificación intensiva y extensiva tenga connotaciones causales. Im"#iccion!s !'uctivs. Como dec+amos con anterioridad, las investigaciones sobre la construcción del n$mero y, muy especialmente, aquellos trabajos sobre la construcción del n$mero en base a la integración de !abilidades, !an sido muy prol+ficas y !an dado lugar a la aparición de muc!os modelos interpretativos, fundamentalmente a partir del $ltimo cuarto de siglo que acaba de concluir. En efecto, los trabajos de la Escuela de 5inebra durante el tercer cuarto del siglo precedente 'IAJ@1 IALJ* y el impacto de :iaget en los Estados 6nidos de 0mrica en el $ltimo tercio de esa misma centuria, especialmente en las dcadas de los WL@X y de los W@X, junto con la aparición de las teor+as del procesamiento de la información, dio paso a un conjunto de propuestas integradoras entre ambas concepciones y modelos teóricos que, bajo el nombre de neopiagetianas, posibilitaron y abrieron el camino para numerosos y fruct+feros trabajos acerca de la construcción del n$mero a lo largo del $ltimo cuarto de siglo que acaba de concluir. ;in embargo, estos descubrimientos altamente enriquecedores para la psicopedagog+a de las matemáticas no !an llevado aparejados avances isomórficos en la práctica docente y el desfase investigación1praxis se !ace cada vez más patente en nuestras aulas, de manera que !emos llegado a cotas de rendimiento escolar en esta disciplina que empiezan a ser muy preocupantes y que, en definitiva, lo que suponen es que la mayor+a de los alumnos no alcanzan niveles adecuados de comprensión matemática. En este sentido Eduardo 2art+ concluye en un trabajo sobre psicopedagog+a de las matemáticas financiado por la Dirección 5eneral de nvestigación Cient+fica y /cnica del 2inisterio de Educación y Ciencia que, en nuestro pa+s, el K de los alumnos de IN aos no alcanza el nivel de comprensión matemática correspondiente a su edad. Dentro del mismo orden de cosas, el informe :isa de ?@@B revela que un ?@ de los alumnos de secundaria no son capaces de resolver con xito un problema aritmtico básico y las evaluaciones realizadas por el CE muestran que el J@ de nuestros escolares no llegan a alcanzar en 2atemáticas la nota media exigida. 0demás, las puntuaciones en matemáticas son las más bajas de todas las materias, tanto si nos referimos a Educación :rimaria, como a la Educación ;ecundaria (bligatoria. En los estudios comparados, se comprueba que, aunque esta materia presenta una gran dificultad para los nios de todos los pa+ses, los escolares espaoles se encuentran en la cola mundial y sólo superamos a ;udáfrica, Colombia, rán, :ortugal, 5recia, %ituania y C!ipre y, aunque esto es anecdótico, en las $ltimas (limpiadas nternacionales de 2atemáticas, sólo superamos en puntuación a portugueses e irlandeses. 0 pesar de las cr+ticas que este tipo de estudios internacionales de carácter transcultural suelen tener y de las m$ltiples interpretaciones a las que están sujetos, no se puede refutar el !ec!o de que los escolares espaoles se encuentran por debajo de la media de los pa+ses de la (CDE y que, como postulan expertos en este campo "sus puntuaciones en matemáticas son escandalosamente bajas#. 0nte esta situación, las preguntas sobre _cuándo`, _cómo` y _por qu` se inicia este fracaso, son inevitables. ;eymour :apert se preguntaba si a los alumnos a los que se les enseó álgebra durante un primer curso aprend+an mejor la geometr+a del curso siguiente que aqullos que durante ese primer curso se limitaron a !acer gimnasia. 0nte la respuesta negativa a la pregunta se planteaba una nueva cuestión& "_cabe identificar y ensear algo distinto del álgebra o de la geometr+a y que, MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL una vez aprendido, facilite el aprendizaje del álgebra o de la geometr+a`#. osotros efectuar+amos una traslación y de la pregunta y la !ar+amos de otra forma& _ay que ensear matemáticas^ a los nios o !ay que !acer que piensen matemáticamente^` y si la respuesta la encontramos en el segundo trmino de la disyunción, entonces cabr+a una segunda cuestión& _qu supone !acer que los nios piensen matemáticamente^` E# conocimi!nto #*$icoKmt!m2tico El conocimiento lógico1matemático 'o si se prefiere, con las salvedades introducidas al principio, el conocimiento matemático* tiene sus peculiaridades que deben ser conocidas para poder entender los mecanismos de su adquisición y, de esta manera, elaborar las estrategias más oportunas para su enseanza. :ero tambin tiene caracter+sticas que comparte con otros tipos de conocimiento 'f+sico, social, etc.* que deben incorporarse al proceso de enseanza y aprendizaje en estas etapas iniciales de la escolarización. :ero _qu es este tipo de conocimiento que !emos venido denominando como conocimiento lógicomatemQtico` ;abemos que lo real se presenta ante el sujeto como un continuo que tiene que interpretar, lo que equivale a decir que le tiene que conferir un significado, por ello interact$a con el medio intentando descomponer y recomponer ese continuo a fin de WconocerloX. %as unidades 'funcionales* de conducta mediante las cuáles el sujeto interact$a con su entorno reciben el nombre de WesquemasX. 6n WesquemaX es una WformaX que se aplica a un WcontenidoX 'sin lugar a dudas, que el contenido puede ser otro esquema e incluso el mismo esquema*ULV. %os esquemas act$an en tres niveles que se corresponden con los tres niveles de equilibración cognitiva descritos. :or un lado, los esquemas se aplican sobre la realidad o sobre representaciones de la realidad y, en su caso, sobre los propios esquemas&
Es evidente que en este proceso de interacción el sujeto sólo puede extraer información de dos elementos& la acción y el objeto. :ues bien, la información que el sujeto extrae del objeto recibe el nombre de conocimiento f"sico y la información que extrae de su acción sobre el objeto recibe el nombre de conocimiento ló0ico+matem*tico. maginemos un conjunto de canicas de colores que se encuentran dispuestas de la siguiente manera&
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL podemos decir que este conjunto está formado por una canica roja, una canica amarilla y una canica azul. :ero _quin es roja` o _quin es amarilla` o _quin es azul`. Evidentemente las canicas. Esta es una información que está en el objeto y que yo extraigo del mismo& el conocimiento de los colores es un ejemplo de conocimiento f+sico. ;itumonos, de nuevo, en el mismo conjunto anterior y tratemos de determinar el n$mero de canicas que tiene el conjunto. Contamos las canicas comenzando, por ejemplo, por la roja y terminando por la azul&
I
?
N
diremos que el cardinal del conjunto es tres, es decir, !ay tres canicas. :ero imaginemos que empezamos por la roja y terminamos por la amarilla&
I ? diremos, entonces, que el cardinal del conjunto es tres, es decir, !ay tres canicas.
N
;igamos imaginando. ;upongamos que empiezo a contar por la azul y termino por la roja&
I ? diremos, a!ora, que el cardinal del conjunto tambin es tres, es decir, !ay tres canicas.
N
maginemos las seis variaciones posibles 'N* a la !ora de contar el conjunto formado por una canica roja, una canica azul y una canica amarilla. %legaremos a la conclusión de que sea cual fuere el orden en el que se cuenten los elementos del conjunto siempre obtenemos por resultado tres^, por tanto, Wel cardinal de un conjunto parece ser independiente del orden en que se cuenten sus elementosX. Esto, indudablemente, es "conocimiento# pero este conocimiento no lo !e extra+do de la realidad sino de mi acción sobre la realidad, de mi Wacción de contar la realidadXUAV. %a irrelevancia del orden en el conteo es un conocimiento lógico1matemático. %as actividades encaminadas a lograr este primer nivel de equilibrio 'entre el sujeto R esquemas1 y el objeto Rpropiedades1* comenzarán siempre partiendo de un modelo I / 'como el descrito en el cap+tulo anterior* y tratando de disminuir la resistencia del objeto a la aplicación del esquema. 6na tcnica posible 'entre otras muc!as* es poner al sujeto en situación forzada mediante un problema de carácter, generalmente, dicotómico. :or ejemplo, imaginemos que le damos a un nio, que se encuentra en la etapa de intuiciones simples 'B aos, aproximadamente*, un conjunto de elementos formado por figuras geomtricas 'cuadrados, triángulos y c+rculos* de dos tamaos 'grandes y pequeos* y tres colores distintos 'rojos, azules y verdes*. ;i, una vez reconocidas las caracter+sticas de los elementos que va a manipular, le MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL pedimos que ponga en marc!a un esquema de clase 'relaciones de semejanza)equivalencia* a travs de una consigna comprensible para el sujeto 'supongamos que entiende perfectamente lo que quiere decir "pon juntos los que se parecen#*, el pequeo podr+a !acer tres montones& cuadrados, triángulos y c+rculos 'criterio forma*. ;i, a continuación, le decimos& "Está muy bien, pero a!ora intenta !acerlo de otra forma, es decir, no vale poner juntos los cuadrados, los c+rculos y los triángulos#. /eniendo en cuenta que el criterio color^ es un criterio que, genticamente !ablando, presenta una dificultad similar al criterio forma^, será muy probable que la ejecución del sujeto consista en destruir los tres montones anteriores y volver a realizar otros tres montones, pero esta vez teniendo en cuenta el color& rojos, azules y verdes. :or estar a nivel de intuiciones simples, aunque los criterios forma y color los maneja con una aceptabilidad que raya en lo operacional, no puede manejar simultáneamente ambos criterios 'carácter aditivo o unidimensional del pensamiento que, en trminos piagetianos, equivaldr+a a decir contracciónR* y, por eso, a la !ora de discretizar el continuo que se le presenta, es imposible que considere a la vez, la forma y el color 'por eso se ve obligado a destruir la realizado y comenzar de nuevo la ejecución, a partir de otro criterio*. El residuo del r y)o b* conducir el pensamiento del sujeto !acia un modelo II / por coordinación de los observables en el objeto 'forma y color* y en sus acciones de clasificación de lo real 'en base a esos criterios*. En el primero de los casos 'encontrar y)o !acer operativo un nuevo criterio*, como reconoce el criterio tamao^, pero la fuerza^ de los criterios forma^ y color^ anula su operatividad, deber+amos de partir de situaciones en que los criterios fuertes^ no se encontraran operativos. :or ejemplo, si dejamos constantes los criterios forma^ y color^, utilizando un material compuesto sólo por cuadrados rojos grandes y pequeos y le damos al sujeto la consigna "pon juntos los que se parezcan, !aciendo dos montones#, lo más probable es que realice esos dos montones, colocando en uno los "grandes# y en otro los "pequeos#> aunque, si le preguntamos _por qu se parecen los elementos de cada montón`, la respuesta vendr+a dada en trminos de forma^, MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL "porque son cuadrados#, y si, a continuación, le decimos "pero si todos son cuadrados _por qu no los pones todos juntos`, es casi seguro que nos dir+a "porque t$ me !as dic!o que !aga dos montones#. ;i partiendo de los dos montones que !a construido, vamos dándole, de una en una, el resto de las figuras geomtricas en un +ndice de dificultad creciente 'desde la perspectiva de las relaciones de semejanza*> por ejemplo, en primer lugar un cuadrado grande azul 'difiere en el color del $ltimo elemento del montón de los cuadrados grandes*, luego un cuadrado verde pequeo 'id. con relación a los pequeos*, seguimos con un c+rculo pequeo verde 'se asemeja en el color al $ltimo elemento pequeo colocado*, un triángulo grande azul 'id. con relación a los grandes*, etc., dicindole siempre& "y ste, _en qu montón lo pondr+as`# 'si, en alg$n momento, dijera que no se puede poner en ning$n montón porque no se parece a ninguno, se le dir+a& "bueno, es igual, pero t$ ponlo en uno, en el que mejor creas que est#*. 0l final de la tarea, el nio tendr+a dos montones, los grandes^ y los pequeos^ y, si le preguntamos en qu se parecen los elementos de cada montón, es muy probable que nos diera la solución del tamao. De la misma manera que !emos introducido la cualidad de tamao, tal y como !emos dejado reflejado en las Conclusiones de este trabajo, deber+amos introducir la cualidad nFmero, a travs de actividades similares. gualmente, al mismo tiempo que trabajamos las relaciones Wmás queX ) Wmenos queX o Wmayor queX ) Wmenor queX con distintos criterios y cualidades f+sicas, tambin deber+amos !acerlo con los criterios de n$mero y las cualidades numricas establecidas en los conjuntos. Esta WordenaciónX tambin se deber+a introducir a otras cualidades de lo real 'sonidos Rmás grave, menos grave1> colores Rmás rojo, menos rojo1> etc.* porque todo es seriable^. De !ec!o, en situaciones coloquiales, es fácil encontrar momentos en los que se establece o se pide que se serien^ cualidades de muy dif+cil ordenación porque pertenecen a subconjuntos no compatibles, como afectos '"a quin quieres más, a papá o a mamá#, "yo quiero más a 0 que a 3#*, relaciones sociales '"0 es más amigo m+o que 3#*, conductas socio1pol+ticas '"0 es más demócrata que 3#*. En el segundo de los casos, 'lograr la coordinación de observables en el objeto y en la acción*, partir+amos, como !emos dic!o de un modelo tipo II /UIIV&
%a tcnica a utilizar ser+a similar al primero de los casos. /eniendo en cuenta que el criterio forma parece predominante sobre el criterio color UI?V, partir+amos de la situación en la que el criterio abarcador tiene menos co!esión interna UINV y que era aquella en la que exist+an tres montones cuyos elementos estaban agrupados seg$n el color^ 'rojo, azul y verde* y le dir+amos& "Estos 'sealando los rojos*, _por qu se parecen`. Como ya nos respondió con anterioridad, nos dirá& ":or que son rojos#. Entonces se le dice& "8amos a jugar sólo con este montón 'los rojos* y a!ora vas a poner juntos los que se parecen#. /eniendo en cuenta que el criterio forma es muy MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL dominante, no tendrá muc!a dificultad en subdividir la colección de los rojos^ en tres subcolecciones 'cuadrados, triángulos y c+rculos*. %o mismo se le pedirá con los otros dos montones 'los azules^ y los verdes^*, de manera que tendremos tres clases 'rojos, azules y verdes*, con tres subcolecciones cada una 'cuadrados, triángulos y c+rculos*, lo que supone un inicio en la coordinación de los dos criterios y un enriquecimiento de los esquemas de clasificación que va a marcar la posibilidad de tránsito de la subetapa de intuiciones simples a la de intuiciones articuladas. Esta posibilidad de articulación de dos criterios, es decir, del trabajo sistemático con dos dimensiones del objeto, !ace que el pensamiento, !asta a!ora aditivo 'acciones interiorizadas sobre una $nica dimensión del objeto*, devenga en multiplicativo 'acciones interiorizadas sobre dos dimensiones del objeto, consideradas de manera simultánea*. Es fácil de comprender que, a partir de esta situación, podr+amos llegar a establecer la posibilidad de división de los conjuntos establecidos bajo el criterio forma^, en subconjuntos determinados por el criterio color, con lo que dir+amos que el pensamiento es conmutativo. otemos que, cuando !emos llegado a esta situación, el sujeto puede comenzar a trabajar con lo que 4ean :iaget, 0lina ;zemins9a y 3rbel n!elder denominaron clasificaciones multiplicativasUIBV y correspondencia m$ltiple, conducente a la multiplicación numrica UIJV, de manera que puede llegar a resolver una situación como la siguiente& ;ea un conjunto de triángulos, cuadrados y c+rculos sin pintar 'color madera* y dos botes de pintura de dedos 'roja y azul*. ;i se pintan las figuras con los dos colores _cuántas clases distintas se pueden formar`
;i multiplicamos 'consideramos simultáneamente* tres'N* clases de figuras geomtricas por'x* dos'?* colores, tenemos']* seis'K* clases distintas> de las cuales tres'N* son azules y'\* tres'N* rojas, o tambin'*, dos'?* están formadas por triángulos y'\* dos'?* por cuadrados y'\* dos'?* por c+rculos. Nx?]K]N\N]?\?\? El segundo nivel de equilibrio se basa en las asimilaciones y acomodaciones rec+procas entre dos esquemas. En efecto, cuando dos esquemas 'E I y E?* se aplican al mismo conjunto de objetos '(* o a conjuntos de objetos de parecidas caracter+sticas '( I, (?,T* es fácil 1e incluso necesario1 que el sujeto se plantee por qu dos conductas distintas pueden aplicarse a elementos similares, con lo que llegan a encontrar en esas conductas una parte operativa com$n y entonces decimos que entre EI y E? se !a producido una asimilación rec+proca. :ero, al mismo tiempo, encuentran MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL 'por el necesario equilibrio entre afirmaciones y negaciones* una parte operativa no com$n y espec+fica de cada esquema con lo que decimos que se !a producido una acomodación rec+proca entre EI y E?.
Cuando este segundo nivel de equilibrio se alcanza decimos que !ay una coordinación de esquemas. 6na coordinación de esquemas es un nuevo esquema y por tanto, una nueva ley de composición "diferente# a las anteriores, es decir a aquellas que determinaban los esquemas de partida que se coordinan& 'EI coord. E? ] EN* Continuando con nuestro ejemplo anterior, podemos decir que una vez constituidos los esquemas aditivos y multiplicativos y adquirida la movilidad suficiente, o si se prefiere, perdida la rigidez inicial de los segundosUIKV, deben coordinarse, con el fin de ir constituyendo y enriqueciendo el sistema 'la estructura* de cuantificación del sujeto. _Zu supone la coordinación de esquemas aditivos y multiplicativos`. Evidentemente, y por lo dic!o con anterioridad un nuevo esquema y, por tanto una nueva ley cognitiva. _Cuál es ese esquema`, _cuál es la ley de composición que lo caracteriza`, _qu supone para el pensamiento` y, finalmente, _cómo podemos lograr que se produzca la coordinación necesaria para su constitución` maginemos que, sobre su ejecución anterior, le preguntamos a nuestro pequeo& _Cuántas de las figuras geomtricas tienen puntas 'vrtices* y cuántas no` 0l pintarlos de colores, _cuántos montones tienen puntas y cuántos no` ;epara los que tienen puntas de los que no las tienen. -etomemos pues nuestra disposición multiplicativa anterior con una pequea modificación&
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL
Es evidente que !ay dos'?* clases de figuras con puntas y'\* una'I* sin puntas y si se pintan'x* con los dos'?* colores que ten+amos, !abrán']* cuatro'B* clases de figuras con puntas y'\* dos'?* sin puntas. '? \ I* x ? ] ? x ? \ I x ? ] B \ ? ] K %a coordinación de esquemas aditivos y multiplicativos !ace que el pensamiento se dote de una nueva ley 'le; distributiva* por lo que decimos que, a!ora, el pensamiento es 'istriutivo. En este orden de cosas no debemos olvidar que el algoritmo vertical de la multiplicación que nosotros utilizamos se basa, precisamente, en el carácter distributivo del pensamiento& ?N x IJ ] ?N x 'I@ \ J* ] ?N@ \ IIJ ] NBJ
Finalmente, los esquemas constituidos se van integrando en un sistema de conjunto 'sistema de cuantificación !umano* y los esquemas se van "especializando# merced a un proceso de di>erenciación por la función de la estructura general 'sistema* sobre los elementos que lo componen. En este sentido, las actividades de aprendizaje deben ir encaminadas en la l+nea del conocimiento estratgico, fundamentalmente, al establecimiento de estrategias de selección, a fin de determinar qu caracter+sticas de lo real son relevantes 'o más relevantes* para solucionar el problema> estrategias de elaboración, para determinar qu conocimientos previos están disponibles y son concordantes con el problema planteado> y estrategias de organización, a fin de conectar lo nuevo^ con lo viejo^ y producir la solución más adecuada al problema planteado. En este sentido, volvemos a en contra la necesidad del equilibrio entre la asimilación 'que es cuestión de integración* y la acomodación 'que es cuestión de diferenciación*.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL %legados a este punto !emos de efectuar dos importantes aclaraciones. En primer lugar, el !ec!o de que un sujeto adquiera o construya un esquema aditivo, multiplicativo o partitivo, incluso que su pensamiento sea distributivo, no quiere decir que sepa sumar, multiplicar o dividir, en el sentido aritmtico de estos trminos. %o que quiere decir es que posee instrumentos cognitivos para iniciar, de alguna forma, el aprendizaje de las operaciones aritmticas. En segundo lugar, el !ec!o de que !ayamos planteado actividades de aprendizaje que !an generado desarrollo 'por ejemplo, pasar de las intuiciones simples a las intuiciones articuladas*, no indica, en modo alguno, que nos situemos en una perspectiva vigots9iana frente a una posición piagetianaUILV. osotros consideramos que el binomio aprendizaje)desarrollo es un par dialctico y no conferimos preponderancia a ninguno de los dos polos del par UIV. En efecto, si !emos postulado una actividad de aprendizaje que !a posibilitado el paso de las intuiciones simples a las intuiciones articuladas, tambin acabamos de decir que el aprendizaje de la suma y de la multiplicación requiere un cierto nivel de desarrollo de los esquemas aditivos y multiplicativos, respectivamente. Los !s-u!ms o"!rtorios. asta a!ora sólo !emos !ec!o referencia expl+cita a la adquisición de los esquemas numricos desde la perspectiva de la >unción de adaptación, es decir, como el equilibrio necesario entre la asimilación y la acomodación, pero para el proceso de enseanza y aprendizaje es necesario estudiarlo tambin desde la perspectiva de la >unción de organi:ación puesto que, para que el pensamiento pueda ponerse de acuerdo con lo real, primero !a de estar de acuerdo consigo mismo. :ara :iaget, el sistema cognitivo umano está constituido por dos subsistemas& El susistema I 'que es el sistema de WcomprenderX o WconceptualX* y el susistema II 'que es el sistema de Wsaber !acerX o WprocedimentalX*, es decir que, para :iaget, conocer3 es4 indisocialemente4 comprender3 5 saer 6acer3 . En efecto, en IALA, :iaget e n!elder introducen un nuevo par dialctico en la teor+a del eminente epistemólogo ginebrino UIAV vinculado a la función reguladora de la inteligencia& estructuras versus procedimientos o conocimi!nto '!c#rtivo versus conocimi!nto "roc!'im!nt#. El conocimiento declarativo lo constituyen los !ec!os, los conceptos y los principios U?@V, es generado por un tipo de esquemas que :iaget denomina esquemas presentativos y nos permite comprender las razones 'saber por qu*. El conocimiento procedimental lo constituyen los procedimientos, es generado por esquemas procedimentales y nos permite saber !acer. %as caracter+sticas generales comparadas de estos dos tipos de conocimiento son&
Conocimi!nto '!c#rtivo
Conocimi!nto "roc!'im!nt#
o está sujeto a variaciones Está sujeto a variaciones espacio1 espacio1temporales 'intemporal*. temporales. Está dirigido a comprender las Está dirigido a alcanzar razones 'saber por qu*. objetivo 'saber !acer*.
un
ecesita de comprensión cons1 %a comprensión consciente puede ciente, sobre todo a partir del nivel ser $til, pero no necesaria. operacional. ;e desarrolla mediante una MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL ;e desarrolla mediante cadena secuencial, sustituyendo encajes sucesivos 'el conocimiento cada enlace al anterior, al menos supe1rado se integra en el que le parcialmente. su1pera*. Consiste en lograr el enriqueci1 Consiste en lograr el enriqueci1 miento cognitivo a travs de la miento cognitivo encontrando le1 variedad& alcanzar el objetivo por yes de composición entre conoci1 caminos diferentes. mientos y estructuras anteriores. ;in embargo, aunque sólo existen dos subsistemas cognitivos 'comprender y saber !acer* y parece que ambos se encuentran dotados de los instrumentos adecuados 'esquemas presentativos y esquemas procedimentales*, es necesario recurrir a un tercer conjunto de esquemas porque existe un conocimiento que es indisociablemente declarativo y procedimental. Este tercer conjunto de esquemas es nominado por :iaget con el nombre gentico de esquemas operatorios. En efecto retomemos nuestro ejemplo de las canicas y tratemos de determinar el cardinal del siguiente conjunto mediante la aplicación de un esquema de conteo&
I ? N B J K Comenzaremos con el punto inicial de la serie numrica e iremos atribuyendo un numeral y sólo un numeral, de forma iterativa, a cada uno de los elementos del conjunto, de forma biun+voca, y diremos& "uno#, "dos#, "tres#, "cuatro#, "cinco# y "seis#. ay seis canicas. ;upongamos que las canicas se disponen de la siguiente forma&
Es muy probable que, ante esta nueva situación apliquemos el mismo esquema, es decir, el esquema de conteo, pero que esta vez, en lugar de contar siguiendo la serie de los n$meros naturales, lo !agamos siguiendo la serie de los n$meros pares& "dos#, "cuatro# y "seis#. ay seis canicas. ;e !a variado la disposición espacial^ de los elementos y !emos modificado^ el esquema de conteo, la manera^ de contar. emos utilizado el mismo esLuema pero mediante un procedimiento diferente. _Zu podr+amos decir del esquema de conteo`. Evidentemente, que se trata de un !s-u!m "roc!'im!nt# porque al variar la disposición espacial de los elementos, y en aras de su eficiencia, el procedimiento de contar !a sido modificado, por tanto, está sujeto a variaciones espacio1temporales> está dirigido a alcanzar un objetivo 'determinar el cardinal del conjunto*> la comprensión consciente de su ejecución no es necesaria 'lo importante es contar eficaz 'correctamente* y eficientemente 'con rapidez*> se desarrolla mediante una cadena secuencial en MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL la que los enlaces son sustituidos de manera parcial 'secuencia 'n* vs. secuencia '?n*> y, finalmente, permite alcanzar el objetivo por caminos diferentes. ;in embargo, cuando !emos contado la primera de las series, !emos dic!o que !ay seis canicas, porque !emos pronunciado el numeral WseisX, pero tambin !emos pronunciado el numeral WcincoX, y el WcuatroX, y el WtresX, etc.> entonces _por qu no !emos dic!o que !ay WcincoX, o WcuatroX, o WtresXT canicas`. gual !a ocurrido cuando !emos contado la segunda de las series que !emos pronunciado los numerales WdosX, WcuatroX y WseisX y, a pesar de ello, !emos afirmado que !ay seis canicas y no cuatro ni dos. Esto se debe a que !emos aplicado el principio cardinal que viene a decir que "el cardinal de un conjunto viene determinado por el numeral aplicado al $ltimo elemento contado#. Esto es as+, independientemente de la disposición espacial de los elementos del conjunto, por tanto, no está sujeto a variaciones espacio1 temporales> es necesaria su comprensión consciente> permite responder a la pregunta _por qu !ay seis canicas en ese conjunto`, luego está destinado a comprender las razonesT Es por tanto un conocimiento declarativo 'no en vano lo denominamos WprincipioX cardinal*, lo que nos conduce, sin solución de continuidad, a decir que el esquema de conteo es un !s-u!m "r!s!nttivo. :ero, _cómo puede un esquema ser, a la vez, presentativo y procedimental`, _cómo puede generar, simultáneamente, un conocimiento declarativo y procedimental`. %a respuesta viene dada por el !ec!o de que el !s-u!m '! cont!o es un !s-u!m o"!rtorio. 6no de los problemas de la enseanza en general, y de las matemáticas en particular, es que el maestro tiende a que el sujeto sepa !acer^, lo que equivale a decir que se fija objetivos procedimentales descuidando los objetivos declarativos, con lo que está castrando el sistema cognitivo del individuo. :odr+amos decir, parafraseando la suprema iron+a de d^0lembert, que su principio gu+a de la enseanza es&#seguid !aciendo, el conocimiento vendrá despus# U?IV. Esta postura, si en todas las disciplinas es un error metodológico, en matemáticas es un problema de enorme dimensiones. En efecto, puesto que los esquemas lógico1matemáticos son operatorios, el trabajar desde una perspectiva procedimental impide el desarrollo de los mismos ya que no son procedimentales 'aunque tengan un componente procedimental*, lo que !ace que, desde muy tempranas edades, los esquemas lógico1matemáticos se encuentren insuficientemente alimentados y como el conocimiento declarativo que genera la parte presentativa del esquema consiste, como !emos dic!o, en lograr el enriquecimiento cognitivo encontrando leyes de composición entre conocimientos y estructuras anteriores, si estos conocimientos, esquemas o estructuras no están disponibles, es evidente que no es posible construir sobre ellos. :or lo tanto, el fracaso está servido.
E# "r!n'i<0! '! # noci*n '! nm!ro. :ara Gitc!er, el conocimiento matemático no está constituido desde el comienzo, y a priori , en cada generación. En cada momento se aprende un cierto nivel matemático que puede ser, y de !ec!o lo es, permanentemente modificado. En ese desarrollo el conocimiento viene apoyado en una cierta práctica que, para este autor, posee varios componentes. En concreto dic!os componentes son& h
un lenguaje
h un conjunto de proposiciones aceptadas por la comunidad matemática en un tiempo determinadoT MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL h un conjunto de cuestiones importantes, de problemas no resueltosT h
un conjunto de formas de razonamiento
h
un conjunto de visiones del !acer matemático, es decir, de cómo se !acen matemáticas
:odemos comprobar, sin caer de pleno en la !istoricidadU??V, que estos componentes que Gitc!er sit$a en la filognesis, pueden ser trasladados, con todo derec!o, a la ontognesis. En efecto, en cada momento se adquiere un cierto nivel matemático que está en continuo cambio. :or ejemplo, !emos podido comprobar, en la macrogGnesis, un desarrollo que podr+a perfectamente responder a la siguiente secuencia& esquemas aditivos pensamiento aditivo conmutativo generalización de los esquemas aditivos esquemas multiplicativos pensamiento multiplicativo conmutativo coordinación de esquemas aditivos y multiplicativos pensamiento distributivo T . 0nalizando el desarrollo de los esquemas de conteo, se puede comprobar igualmente, pero a!ora en la microgGnesis, una secuencia evolutiva& aplicación de palabras1n$mero 'no tienen por qu ser numerales*, sin ning$n tipo de orden, a los objetos 'uno, tres, doce, nueve, "veinticatorce#, seisT* aplicación de numerales, sin ning$n tipo de orden, a los objetos 'uno, tres, doce, nueve, sieteT* aplicación de numerales a los objetos en un orden 'sabe que unas palabras se dicen antes que otras* no estable 'uno, tres, seis, nueve, onceT, aunque otras veces puede decir& uno, dos, cuatro, nueveT* aplicación de numerales a los objetos con un orden estable que no responde a la cadena de los n$meros naturales 'uno, tres, siete, nueve,T y si vuelve a contar el mismo conjunto repite la misma serie& uno, tres, siete, nueve,T* aplicación de numerales a los objetos con un orden estable que se corresponde con la cadena de los n$meros naturales 'uno, dos, tres, cuatro, cinco,T* pero que tiene carácter irrompible 'siempre se empieza a contar por el n$mero uno^* T . Este conocimiento se apoya en cada momento, como acabamos de comprobar, en un lenguaje determinado, de manera que las ejecuciones correctas o incorrectas del sujeto !emos de analizarlas desde la W!istoricidad ontogenticaX. :or ejemplo, cuando le damos a un nio de cuatro aos 'aproximadamente* una cantidad discreta compuesta, por ejemplo, por un conjunto de siete fic!as y le pedimos que construya un conjunto m*s numeroso que el que nosotros !emos construido es probable que su ejecución sea la siguiente&
;in embargo, si le pedimos que construya un conjunto menos numeroso que el nuestro, podr+a realizar algo similar a esto&
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL Esto nos aventurar+a a decir, erróneamente, que el sujeto sabe construir un conjunto menos numeroso que otro dado, pero no construir un conjunto más numeroso que otro. ;in embargo, si el sujeto aprende 'tambin* por imitación, ser+a muy dif+cil sostener esa afirmación porque, en el lenguaje coloquial, la expresión Wmás queX es com$nmente utilizada, mientras la expresión Wmenos queX está prácticamente en desuso 'nosotros decimos& más alto1 más bajo> más grueso1más delgado> más largo1más cortoT> y casi nunca recurrimos a expresiones como menos alto, menos grueso, menos largoT*. Desde esta perspectiva parece más sensato que el pequeo "aprenda antes# el significado del mQs que el significado del menos 'siquiera por las dificultades en la construcción de las negaciones*. ;upongamos a!ora que le damos un conjunto formado por tres elementos y le pedimos que construya un conjunto más numeroso que el que nosotros !emos !ec!o. El nio podr+a !acer algo muy parecido a lo siguiente&
:ero si a!ora le decimos que, frente a nuestro conjunto de tres elementos, ponga uno menos numeroso que el nuestro su ejecución ser+a&
;iguiendo con nuestras conclusiones disparatadas dir+amos que a!ora es capaz de construir un conjunto más numeroso que otro dado, pero no un conjunto menos numeroso. inguna de las dos conclusiones son correctas. El sujeto es "uno# y no puede ser, a la vez, !ábil e in!ábil. %a realidad es la siguiente& %os trminos WmásX y WmenosX tienen un carácter objetivo 'juzgue quien juzgue comparativamente dos conjuntos !omogneos, el conjunto más numeroso es mayor yT punto*. ;in embargo, la dificultad de descentración de los pequeos en estas edades !ace que se subjetivicen los trminos del lenguaje, por eso el sujeto asocia los vectores ling+sticos objetivos WmásX y WmenosX a los escalares subjetivos Wmuc!osX y WpocosX 'lo que para alguien es muc!o, para otra persona puede ser poco, lo que en un momento determinado puede ser muc!o, en otro momento puede ser pocoT*, de manera que cuando yo le doy siete elementos y le digo que ponga más l interpreta que yo !e puesto muc!as y que el tiene que poner 'más* muc!as como yo. Cuando le digo que ponga menos l interpreta que yo !e puesto muc!as y que le estoy pidiendo que ponga 'menos* poquitas^. 6na vez que sabemos lo que son poquitas^ para el pequeo 'N*, le damos un conjunto de tres elementos 'de pocas fic!as, utilizando su estimación* y le digo que ponga más que yo. Entonces piensa que yo !e puesto pocas y le pido que ponga 'más* muc!as, por lo que coloca cinco fic!as que, en ese momento y para la realidad "fic!as#, suponen para l muc!as. :or el contrario, cuando yo le doy esas tres fic!as 'que son pocas para el nio* y le pido que ponga menos interpreta lo siguiente& "a puesto pocas y me dice que ponga 'menos* poquitas como l#, por lo tanto, pone tambin tres fic!as. MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL gualmente, el conocimiento del sujeto se apoya en un conjunto de proposiciones aceptadas por el pensamiento en un momento determinado de la ontognesis. En efecto, cuando ante la prueba de conservación de las cantidades discretas que nosotros !emos utilizado, le ped+amos a los sujetos que frente a una colección de siete fic!as pusieran las mismas que nosotros y realizaban la siguiente ejecución&
no es que realizara una ejecución incorrecta, es que la proposición aceptada como verdad para su pensamiento es que Wdos colecciones que tienen la misma longitud son igualesX. ;iguiendo la propuesta de Gitc!er, el conocimiento matemático se genera a partir de un conjunto de cuestiones importantes y de problemas no resueltos> pero, kojo, de cuestiones importantes para el sujeto 'motivación* y de problemas no resueltos por el sujeto pero que se encuentren, como dir+a 8igots9y, en su zona de desarrollo próximo, es decir, que se puedan resolver mediante procesos de equilibración mayorante. Este componente determina los objetivos y contenidos educativos en el proceso de enseanza y aprendizaje y justifica cualquier opción metodológica en el seno del paradigma constructivista que garantiza, no sólo la construcción de significados 'cognición*, sino, además, la atribución de sentido 'motivación*. El conocimiento lógico1matemático necesita apoyarse tambin en un conjunto de formas de razonamiento de las que va a depender el tipo de este conocimiento y las formas de su adquisición. En este sentido, a lo largo del desarrollo, encontramos tres formas de razonamiento a la !ora de elaborar una construcciones mental, determinar los contenidos intencionales de las acciones y conferir un significado de lo real& razonamiento trns'uctivo 'que va de lo particular a lo particular*, razonamiento in'uctivo 'que va de lo particular a lo general* y razonamiento '!'uctivo 'que va de lo general a lo particular*. Finalmente Gitc!er postula que el conocimiento matemático depende de un conjunto de visiones del !acer matemático, es decir, de cómo se !acen matemáticas. %as cuatro grandes l+neas básicas en el saber y en el !acer matemático son las siguientes& h Constructivista! que emana de 3rou=er y, fundamentalmente, de Gant y que supone aceptar que son las entidades reales las que, al permanecer o transformarse, provocan el pensamiento matemático y, al !acerlo, obligan a la construcción de formas y estructuras que tratan de captar, de alguna manera, los procesos reales y provocan la construcción de modelos posibles de esa realidad. h 6mpirista! que tendr+a a 2ill como máximo exponente y que se plantea la cuestión de cómo se alcanza el conocimiento y cómo se enlaza la matemática con lo real 'enlace que se estima como algo más que un mero accidente*. h 7ogicista! que teniendo a Frege como autor más representativo y que se apoya en el proceso demostrativo a partir de unos contenidos de pensamiento puro y se plantea la necesidad de unas conceptograf+as básicas, diferentes del lenguaje natural, para la expresión del "!acer matemático#. h 9ormalista! apoyada en el poder del signo y de lo ideográfico, y que se plasma en los procesos algebraicos, en el W0nálisisX de Euler y %agrange, en los principios de permanencia de MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL leyes formales, en el inscripcionismo s+gnico de eine o /!omae y que culmina con el formalismo finitista de ilbert. %as nociones matemáticas deben ser, por tanto y por este orden, constructivas 'provocando el pensamiento matemático*, emp+ricas 'enlazando siempre el contenido m atemático con la realidad circundante al sujeto*, lógicas 'diferenciando lo real de la acción, el mundo f+sico del pensamiento, el lenguaje natural del guaje matemático* y formales 'sostenidas por sistemas de representación espec+ficos y por la permanencia e invarianza de las leyes cognitivas que son, en $ltimo lugar, de naturaleza lógico1matemática*. /eniendo en cuenta todas estas cuestiones y el !ec!o de que nuestro trabajo !aya puesto de manifiesto el componente cualitativo del n$mero en todo su desarrollo anterior a la conservación de la WcotidadX y, por tanto, la necesidad de utilizar actividades numricas cualitativas, previas a cualquier estado de cuantificación, en el proceso de enseanza y aprendizaje del n$mero en Educación nfantil y de manera equivalente a otras "cualidades no numricas# 'como el color, el tamao, etc.*, as+ como qu esquemas y qu coordinaciones de esquemas resultan más relevantes para la adquisición del n$mero, podr+amos proponer un ejemplo de aprendizaje de las nociones numricas que, a grandes rasgos, podr+a ser el siguiente& /omemos un conjunto de seis parejas idnticas de animales, cada pareja de un color distinto y de un tamao tal que cada uno de los animales pueda caber en un cubo de B cm. de arista. /omemos tambin doce cubos de J cm. de arista y con el borde pintado del mismo color que los animales, de modo que a cada pareja de animales le corresponda una pareja de cubos con el borde pintado del mismo color que los animales 'a una pareja de animales amarillos, le corresponden una pareja de cubos con su borde pintado de amarillo...* y tres recipientes de capacidad equivalente a cinco de los cubos anteriores, dos de ellos idnticos '0 y 0^* y el tercero más estrec!o y, por tanto, más largo '3*> con la condición de que si uno de los dos recipientes idnticos '0 o 0^* se encuentra lleno 'J cubos de capacidad* y el segundo '3* sólo contiene cuatro unidades 'B cubos de capacidad*, la altura del l+quido es todav+a ligeramente superior a la del recipiente más anc!o que se encuentra lleno. 0 continuación se presentarán al nio cinco animales distintos, pidindole que d a cada uno de los animales un depósito de agua 'cubo*, para ello podemos contarles un cuento cuya base est en la necesidad que los animales tienen de agua, incitándole, de esta manera a llenar los depósitos con agua para cada uno de los animales y con la misma cantidad para que no se enfaden o discutan sobre quin tiene más agua 'se utilizará un r ecipiente con el borde pintado del mismo color que la piel del animal*. 6na vez realizada esta primera actividad se realizan preguntas de pertenencia para reforzar la correspondencia '_dónde está el agua del`, _de quin es el agua de este depósito`, etc.*, si presentaran alguna dificultad para establecerla se les induce a que introduzcan cada animal en su depósito. %uego, se les pasa a contar una !istoria conducente a la necesidad de constituir un WpobladoX, por lo que !abr+a que verter el agua de cada animal 'cubo* en un gran depósito '0*. -ealizada esta nueva operación se vuelve a interrogar sobre la pertenencia del agua '_dónde está a!ora el agua deT`* y más tarde sobre el n$mero de animales que pueden beber del depósito que pertenece al WpobladoX 'si !ubiera problemas para la cualificación numrica se introducen los animales en el depósito*, !acindole llegar a la conclusión que el WtodoX formado está compuesto por Wcinco partesX y sólo cinco. MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL 0 partir de aqu+ se contin$a con acciones de adición y sustracción& y si viene un nuevo animal _que tendrá que !acer para poder beber del depósito del WpobladoX`, y si se va elT _qu tendrá que !acer para no pasar sed`, etc. 6na siguiente fase consistir+a en constituir una situación análoga que condujera a tener ante s+ dos WpobladosX idnticos& "2ira, a!ora vamos a dejar este WpobladoX aqu+ y !aremos un nuevo WpobladoX con animales idnticos a estos#. Esto nos conducirá a tener dos depósitos de cinco unidades de capacidad en cada uno. :artiendo de esta situación continuamos con una narración que nos permita aadir o quitar unidades del depósito preguntándoles siempre por la comparación entre los depósitos de los dos WpobladosX, de manera que su acción no entrará nunca en conflicto con su percepción puesto que cuando se aaden unidades aumenta el nivel del l+quido en el recipiente y cuando se retiran disminuye, pero nosotros le preguntaremos siempre sobre el n$mero de animales que pueden beber agua de los recipientes. :or ejemplo, una vez retirado un animal de uno de los WpobladosX, conservando los cinco animales en el otro, preguntar+amos& _Cuántos animales pueden beber en este WpobladoX '0*` _Cuántos animales pueden beber en este otro '0^*`, entonces _dónde !ay más agua, en este WpobladoX '0* o en este '0^*, reiterando las preguntas iniciales> _cuántos animales me !as dic!o que pueden beber aqu+ '0*` _y aqu+ '0^*`. %a siguiente situación ser+a idntica a la anterior, pero pidindole el establecimiento de la correspondencia, no sobre los elementos, sino sobre los desplazamientos del l+quido& ";i elT se lleva su agua, _!asta dónde llegar+a el agua del depósito`. :idindole siempre las razones& _por qu crees t$ que llegar+a !asta aqu+`. Esta situación de anticipación f+sica, la trasladaremos, inmediatamente, a una situación de anticipación numrica& H si elT se lleva su agua _cuántos animales podr+an beber entonces del depósito`, _dónde estar+a el agua delT`. Finalmente, le contar+amos una !istoria que justificara que los animales del poblado '0^* van a llevar su agua a otro depósito '3*, con lo que, una vez trasladada, la altura alcanzada es sensiblemente mayor. Entonces se le pregunta si !ay más agua en 0 o en 3. ;i la respuesta es 3, se le interroga sobre el n$mero de animales que pueden beber en cada depósito 'si fuera necesario se introducir+an los animales en sus depósitos y se vaciar+a el agua junto con los animales, de manera que !ubiera una percepción del n$mero de animales, al igual que la !ay de la altura del agua*. ;i sigue manteniendo que 0 3 se le pide que anticipe cuántos cubos se podr+an llenar con el agua de 0 y cuántos con el agua de 3. ;iempre se le pedirá que justifique su respuesta. Como la justificación vendrá dada siempre en trminos perceptivos, se le plantea una nueva situación en la que se parte de los dos depósitos con las cinco unidades. ;e le vuelve a interrogar por la igualdad y, lógicamente, seguirá manteniendo su posición de que 0 3 porque en 3 "es más alto#. Entonces se le dice& "mira, el animalT 'del depósito 3* se marc!a y, por tanto, se lleva su agua#, _cuántos animales pueden beber de este depósito '0*` _cuántos pueden beber de este otro`. Esta nueva situación !ace que entre en conflicto lo numrico y lo perceptivo 0 J 3B, pero 0% es todav+a menor 'menos alto* que 3 %. ;i se inclina por la solución numrica, se le dice, pero t$ !ab+as dic!o que "donde es más alto !ay más#. %o que le lleva a situar la evaluación numrica en su justa medida. ;i todav+a se inclina por la solución de la altura, buscar+amos un nuevo recipiente en dónde tuviramos la misma situación pero en la relación N contra J, es decir, 0 con cinco unidades y 3 con tres unidades, pero la altura en 3 algo ligeramente mayor que la altura en 0. MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL De esta manera seguir+amos procediendo !asta afianzar la evaluación numrica 'el n$mero* como un elemento fundamental a la !ora de discretizar un continuo, es decir, como instrumento de asimilación de lo real. asta este momento !emos planteado siempre las actividades con carta de naturaleza individual, pero nada está más lejos de la realidad de nuestro pensamiento que postular que el proceso de enseanza y aprendizaje del n$mero y las nociones numricas de base 'como las de cualquier otro contenido matemático o de otras áreas curriculares* deba realizarse a partir de actividades individuales, antes bien, todas las actividades deber+an plantearse seg$n una estructura de tarea que favoreciera la interacción entre iguales y la organización cooperativa del aula. El proceso de interacción entre iguales es fundamental para la adquisición del conocimiento y, tanto desde planteamientos sustantivos y teóricos de carácter general 1bien sea desde la perspectiva dela Escuela de 5inebra 'conflicto socio1cognitivo*, bien sea desde la perspectiva vigots9iana 'zona de desarrollo potencial*1, como desde planteamientos espec+ficos 'investigaciones espec+ficas en aprendizaje cooperativo* se pone de manifiesto la rentabilidad de la interacción entre iguales. En este sentido, una buena parte de nuestra investigación se !a centrado en el trabajo cooperativo en el aula, abarcando, tanto aspectos generales, como aspectos aplicados al ámbito de la enseanza de las matemáticas.
Consi'!rcion!s &in#!s. %a elaboración de actividades de aprendizaje para la adquisición del n$mero y los esquemas lógico1matemáticos de base, no es una tarea fácil, pero además, el profesor se encuentra con una serie de limitaciones que van desde su propia e inadecuada formación, !asta defectos del sistema, pasando por tópicos erróneos y tradiciones nefastas. Comenzando por estas $ltimas podemos observar que existe una peligrosa tradición en la educación de no sistematizar el proceso de enseanza y aprendizaje, de manera que se genera lo que Csar Coll denominó como un problema de "opinionitis# y que es debido a la asistematización del proceso instruccional. En efecto, cuando un ingeniero explica cómo se construye un puente, un arquitecto cuánto cemento se necesita para establecer el armazón de un determinado edificio o un cirujano cómo se efect$a una laringectom+a, sólo otro tcnico, equiparable a l en conocimientos, opina sobre el tema> esto se debe, sin lugar a dudas, a que la construcción de un puente o un edificio, o la realización de una determinada intervención quir$rgica, son procesos altamente sistematizados. ;in embargo, cuando se !abla de instrucción, cada individuo es un maestro y se siente con el derec!o de decir, qu, cuándo y cómo se debe ensear un contenido instruccional a un alumno determinado U?NV. Esta falta de sistematización se manifiesta, en primer lugar, desde el comienzo del diseo instruccional, con la definición del contenido objeto de instrucción. :arece como si los profesionales de la educación dieran por sentado que existe un acuerdo universal, y una definición igualmente ecumnica, para todos los contenidos instruccionales. Es algo as+ como decir& _qu es el n$mero`, pues el n$mero es el n$mero> _qu es sumar`, pues sumar es sumar> etc. En segundo lugar, la falta de sistematización se sigue produciendo a la !ora de la planificación de los contenidos. :or ejemplo, es poco frecuente encontrar diseos instruccionales que lleven incorporado una secuenciación lógica o un análisis de tareas. En tercer lugar, cuando se postula que "se parte de las ideas iniciales del sujeto#, no se tiene en cuenta el nivel de desarrollo de los esquemas implicados en la adquisición y construcción de los contenidos, sino de los conocimientos acadmicos que el sujeto parece^ poseer. De !ec!o las evaluaciones se centran en las acomodaciones del sujeto 'ejecución* y nunca en las asimilaciones del sujeto 'comprensión*U?BV. En cuarto lugar, las metodolog+as de intervención en el aula o están MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL desfasadas 'parece como si las investigaciones psicoeducativas no llegaran nunca a la situación real del aula* o se encuentran desvirtuadas 'por ejemplo, cuando se dice que se está trabajando con una metodolog+a cooperativa, se observa una profunda confusión entre el trabajo en grupo y el trabajo cooperativo*. :or $ltimo, pocos diseos se insertan en un paradigma claro y, cuando dicen insertarse en uno, es frecuente encontrar una ausencia total o una interpretación errónea de los principios paradigmáticos que lo configuran. En este sentido, los profesionales de la educación parecen presentar un acuerdo, casi unánime, acerca de que el paradigma constructivista es el que mejor puede dar cuenta de los procesos de enseanza y aprendizaje que se producen en las aulas> sin embargo, la realidad nos permite constatar que el aprendizaje de los saberes seleccionados por la cultura no constituyen una fuente de socialización y de construcción de una identidad personal 'lo que contradice el primer nivel de jerarqu+a de la opción constructivista que postula que los contenidos culturales deben ser reconstruidos por cada individuo dando lugar a un ser diferenciado y $nico en el contexto de una determinada cultura y sociedad*. gualmente, encontramos análisis efectuados desde la perspectiva de las relaciones del profesor con los alumnos o de las relaciones del alumno con los contenidos, incluso de las relaciones de los alumnos entre s+, pero desde un posicionamiento constructivista la unidad de análisis la constituye el triángulo didáctico 'profesor1alumnos1contenido* y esta unidad de análisis es, en tanto que unidad, indisociable 'luego, tampoco desde los planteamientos del segundo nivel de jerarqu+a de la concepción constructivista se cumplen los planteamientos de los diseos instruccionales*. Finalmente, desde los posicionamientos constructivistas que emanan del tercer nivel de jerarqu+a el aprendizaje se entender+a como un proceso de construcción de significados sobre los contenidos escolares y de atribución de sentido a esos mismos contenidos y al propio !ec!o de aprender y no pensamos que esta sea la situación por la que atraviesan nuestras aulas, por el simple !ec!o de que, por ejemplo, el constructivismo utiliza el constructo de !s-u!m '! conocimi!ntoU?JV para referirse a los significados o representaciones que posee una persona acerca de una parcela de la realidad y en un momento determinado de su !istoria y, por tanto va a definir la construcción de significados como un proceso de revisión, modificación, diversificación, coordinación y construcción de esos esquemas de conocimiento, nada más lejos de lo que, en la realidad, se está !aciendo en las aulas. En este sentido !emos de tener en cuenta que, en el momento actual, la enseanza y el aprendizaje de las matemáticas desde la perspectiva de un paradigma constructivista, es un deseo universalizado que emana desde todas nuestras instancias educativas y que intenta plasmarse tanto desde la perspectiva del macrodiseo instruccional 'esferas de decisión pol+tica*, como del microdiseo 'escuelas y aulas*. ;in embargo, cuando nos acercamos a estos ámbitos de decisión instruccional, en sus distintos niveles, nos encontramos con planteamientos teóricos correctos pero de dif+cil traducción al lenguaje del aula 'el triángulo interactivo constituye la unidad de análisis de los procesos de enseanza y aprendizaje* o con frases grandilocuentes de dif+cil interpretación para el maestro 'en la construcción del conocimiento en el aula !ay que tener en cuenta el papel mediador de la actividad mental constructiva del alumno*. Desde esta perspectiva, podemos observar en nuestras aulas "planteamientos constructivistas# que ignoran la unidad lógica y psicológica del triángulo interactivo, "metodolog+as constructivistas# que ignoran la actividad mental del alumno o "análisis de tareas constructivistas# en donde la estructura lógica y psicológica de las matemáticas son profanadas de la forma más impune que uno pudiera imaginar, etc. Esto denota que, pese a la buena voluntad y al enorme esfuerzo que desarrollan en su autoformación, nuestros maestros no !an sido formados para estar "a la altura del paradigma constructivista#.
MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL (tro andicap con el que se suele encontrar el profesorado, sobre todo de los niveles educativos inferiores es un conjunto de tópicos que desvirt$an el proceso de enseanza y aprendizaje desde una perspectiva logocntrica. En este sentido, cuando se !abla de conocimiento lógico1matemático, es frecuente encontrar en los manuales de Educación nfantil expresiones que son Wverdades a mediasX 'y ya se sabe que la peor mentira es una verdad a medias* como, por ejemplo, "el color es una caracter+stica de tipo cualitativo o cualidadT 'y* el n$mero de objetos de una colección es una caracter+stica de tipo cuantitativo, o sea, se puede cuantificar o medir#. :ues bien, si tenemos un conjunto^ o grupo^ de objetos '0* constituidos por seis figuras geomtricas rojas, otro conjunto^ o grupo^ de objetos '3* constituido por cuatro figuras geomtricas rojas, y un tercero 'C* constituido por seis figuras geomtricas azules, tenemos& 0 ] 3 '!aciendo abstracción de la cualidad n$mero^*> 0 ] C '!aciendo abstracción de la cualidad^ color* y 3 ] C '!aciendo abstracción de las cualidades^ color y n$mero*, de manera que podr+amos calcular la unión de 0, 3, y C '0 U 3 U C ] figuras geomtricas*. De la misma manera 0 3 'porque la cualidad^ n$mero difiere en ambos conjuntos*> 0 C 'porque la cualidad^ color difiere en ambos conjuntos* y 3 C 'porque, tanto la cualidad^ de n$mero, como la de color son diferentes*. Es evidente, por tanto, que la cualidad n$mero es equiparable a la cualidad color. En este sentido se puede decir que el nFmero tiene un carQcter cualitativo . :or el contrario, la cualidad^ rojo puede ser WmedidaX 'i.e. longitudes de onda* y puede ser WordenadaX 'ser más rojo o ser menos rojo*> por ejemplo no es extrao escuc!ar expresiones tales como "estás más rojo que un pimiento# que quiere significar que la persona en cuestión tiene una intensidad de rojo en el rostro mayor que la intensidad de rojo de un pimiento de ese color. /odas las cualidades de los objetos son susceptibles de medida 'con alg$n tipo de instrumento y en alg$n tipo de escala de medida*, porque cualquier continuo en lo real 'la realidad es un continuo* es objeto de discretización en la mente. (tra serie de tópicos !acen referencia a matizaciones, que no conducen a ninguna parte, como la clásica distinción, que encontramos en numerosas obras, entre conocimiento formal e informal, sobre todo en el campo del conocimiento lógico1matemático. ;i nos paramos a reflexionar un poco nos daremos cuenta que conocer es saber !acer comprendiendo las razones. Esto es formal, dir+amos que muy serio y muy formal, y eso es conocer, nos guste o no. :ues bien, no es dif+cil encontrar en la actualidad expresiones tales como& "los nios de estas edades utilizan mecanismos informales para solucionar situaciones problema que les planteamos en relación con situaciones de recuento 'utilización de los dedos, movimiento de la cabeza* que poco a poco se formalizarán mediante la utilización del n$mero#. :ues bien, la referencia a los objetos y)o al cuerpo, no supone, en absoluto, la utilización de mecanismos o procedimientos informales, sino mecanismos o procedimientos psicológicos que dan cuenta del paso de la centración a la descentración 'utilizando una terminolog+a piagetiana* o de la subjetividad a la objetividad por el intermediario de la intersubjetividad 'utilizando una terminolog+a vigots9iana*. En efecto, admitamos o no el principio !aec9eliano U?KV de que la ontognesis recapitula la filognesis, todos los !istoriadores del pensamiento matemático están de acuerdo en aceptar la existencia inicial de unos nFmeros corporales. Estos n$meros corporales comienzan siempre, y de manera muy especial, centrados en los dedos de la mano U?LV, lo que no parece una situación capric!osa de los !ombre primitivos desde el momento en que, a partir de los trabajos iniciales de 5erstmann y el posterior diagnóstico diferencial efectuado por Gleist, sabemos que la acalculia va siempre asociada a una agnosia digital , por lo que estos autores llaman poderosamente la atención sobre la correlación +ntima existente entre el reconocimiento de los dedos de la mano y las primeras adquisiciones del cálculo. o es, por tanto, de extraar que los nios 'como el !ombre primitivo* Wcuente con los dedosX 'no Wcuentan los dedosX*. MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL El que los procedimientos iniciales de cálculo tengan un origen neurológico no quiere decir, de ninguna de las maneras, que sean procedimientos informales de cálculo. Como no quiere decir que los conocimientos matemáticos del !ombre primitivo, por el !ec!o de tener un origen práctico, fueran conocimientos matemáticos informales. erodoto, en un conocido pasaje de su Sistoria, dec+a& "El rey de Egipto dividió el suelo del pa+s entre sus !abitantes, asignando lotes cuadrados de igual extensión a cada uno de ellos y obteniendo sus principales recursos de las rentas que cada poseedor pagaba anualmente. ;i el r+o arrasaba una parte del lote de un !abitante, ste se presentaba al rey y le expon+a lo ocurrido, a lo cual el rey enviaba personas a examinar y medir la extensión exacta de la prdida y más adelante la renta exigida era proporcional al tamao reducido del lote#. El ladrillo con que el !ombre primitivo constru+a sus casas y sus tumbas, aportó la noción de ángulo recto. El concepto de línea 'y su nombre* deriva de la forma de la fibra del lino. (tros muc!os conceptos matemáticos tienen su origen en movimientos 'ya de las danzas primitivas, ya del caminar de los astros en el cieloT*. El !ec!o de que la noción de proporcionalidad, a la que !ac+a referencia erodoto, venga de la necesidad de aplicar una ley con justicia, la de ángulo recto de un ladrillo, la de l+nea de una fibra textil, etc., no permite que nadie llame informales a los conocimientos que debemos a aquellos que nos precedieron !istóricamente. (tro tópico que daa bastante el "!acer matemático# es el de verdad absoluta 'a las matemáticas se les llama ciencias exactas*. Dejemos que sean los propios filósofos de la matemática los que nos desgranen esta cuestión. En este sentido, Grieger postula un conjunto de afirmaciones bastante esclarecedoras& %os teoremas matemáticos, dice Grieger, "son objetos interpretables culturalmente, lo mismo que lo pueden ser las obras de arte. 0l tomarse separados del contexto cultural, los teoremas se enfocan de modo trascendente y se ven como anal+ticos o verdaderos por su ser, dada la verdad por la demostración que !ace el matemático 'como el artista su obra*> o sintticos y se les admite como verdaderos por su correspondencia y localización en la !istoria y el mundo#. Está muy claro que las matemáticas son un instrumento de transmisión de la cultura, por tanto las verdades matemáticas son verdades en el espacio y en el tiempo y nunca verdades absolutas. En otro pasaje de su art+culo, Grieger nos dice que "la matemática es un instrumento y un oficio. Como instrumento es $til porque se adapta al material que encuentra, es decir, al mundo natural y a las ciencias. :ero, a la vez, ese material tambin se adapta para ponerse de acuerdo con las capacidades matemáticas. 6n acuerdo nunca perfecto con lagunas entre ambos polos que obliga a realizar modificaciones en la matemática para ponerse de acuerdo con el material que la entorna> pero tambin el mundo, el material, tiene que modificarse para esa adaptación#. gualmente las matemáticas son un instrumento de asimilación para acomodarnos al mundo que nos rodea, es decir, para conferir un significado a lo real. Cuanto más y más poderoso sea este instrumento de asimilación, se le podrán conferir a la realidad significados cada más ricos. %a utilidad de las matemáticas está, por tanto, en su poder para explicar el mundo, tratar de desconectar las primeras del segundo será, por tanto un error aberrante. MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL El maestro que ensea matemáticas debe conectar estas con la realidad para no parecerse al matemático que describe :. ;imons& "el matemático Luamatemático no le parece esencial reflexionar acerca de lo que !ace y de lo que dice#, con lo que, instalado en el mundo de las ideas, se transforma en un platónico que maneja objetos abstractos separados del espacio y del tiempo y totalmente ajenos a la realidad que circunda al sujeto que aprende. Finalmente Grieger postula que las matemáticas, como oficio de docente, debe partir del !ec!o que "la enseanza de la matemática contiene un +mpetu, lo que se califica de motivación, que no está escrito en parte alguna pero se transmite en la pizarra o el papel, en el planteamiento de tareas y actividades individuales o colectivas. %a motivación proviene de la ejemplificación, de la ancdotaT y esta motivación es de tipo más bien general y cultural aunque se utilice una jerga semitcnica de la subcultura propia del matemático#. %a $nica enseanza válida de las matemáticas, sea cual sea el prisma que se utilice, debe partir de la realidad y debe tener como destinataria esa misma realidad. Desde que :aul 3enacerraf publicara su clebre dilema U?V conocemos los cuatro elementos esenciales del saber matemático& I. El conocimiento matemático se basa en una posición epistemológica 'que se !a dado en llamar epistemología del sentido comFn* de naturaleza causal. ?.
El conocimiento matemático exige la interacción entre el sujeto y el objeto.
N.
%os objetos matemáticos son entidades existentes.
B. %os objetos matemáticos no pueden ser entidades abstractas y !an de estar localizados espacio1temporalmente. Esto nos lleva a concluir que el n$mero, en cuanto objeto matemático, existe 'luego es un contenido instruccional*, que no es una entidad abstracta 'luego !ay que concretizarlo*, que no puede conocerse sino mediante la interacción del sujeto con l 'luego debe conocerlo en acción* y que la $nica manera de conocerlo es mediante mecanismos causales 'luego no puede desligarse de la realidad*.
UIV
:iaget, 4. 'IALJ*& Mntroducción a la epistemología genGtica. ! 6l pensamiento matemQtico. 3uenos 0ires& :aidós> p. III. U?V
;errano, 4.2.> Carranza, 4.0. y -oca, 2.D. 'IAJ*& El papel de la transitividad y de las inferencias transitivas en la adquisición del concepto de n$mero. En la :edagog+a (peratoria 0vui. 3arcelona& 0yuntamiento de 3arcelona, JJJ1JKB. UNV
o olvidemos que el n$mero puede ser considerado "clase de clases# '-ussell y
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL 7unción 8a9& dirección sujetoYobjeto 'asimilación*> función 89& dirección sujetoYobjeto 'acomodación*> función 8:9& equilibración> As& esquemas lógico1matemáticos de clasificación y)o seriación> 7s& forma que se le confiere a los objetos matemáticos 'aplicación del esquema*> ;o& resistencia de los objetos numricos a ser clasificados y)o seriados> (o& significado que los objetos numricos presentan para el sujeto. UBV
UJV
"0 travs de una larga y penosa evoluciónT el !ombre !a terminado por !acerse experto en dos tcnicas que formarán en lo sucesivo parte de su Wequipo mentalX& el emparejamiento y el recuento# '3oll, IALB> pp. 1A*. UKV
Contar es atribuir numerales, en un orden estable e irrelevante, a los elementos de un conjunto de objetos, de manera que cada numeral se corresponda con un objeto y sólo uno y cada objeto se corresponda con un numeral y sólo uno. ULV
:recisamente, la potencialidad de un esquema viene determinada por la variedad de contenidos a los que se puede aplicar> por ejemplo, durante el periodo sensoriomotor, los esquemas 'de acción* son formas que sólo se pueden aplicar a un contenido real y presente> durante el periodo de preparación y organización de las operaciones concretas los esquemas 'simbólicos o representacionales* son formas que act$an sobre contenidos reales 'presentes, simbólicos o simbolizados*, es decir, act$an tanto sobre la realidad, como sobre representaciones de lo real> finalmente, durante el per+odo de las operaciones formales, los esquemas 'formales* pueden ser, alternativamente, formas y contenidos y, por tanto, pueden actuar sobre lo real, sobre representaciones de lo real y sobre los propios esquemas. ;upongamos un esquema representacional que llamaremos "opuesto# y representaremos por '1* y la representación numrica de un conjunto formado por cinco elementos 'J*> entonces podemos decir que el opuesto de J es 1J. Esta acción que, como es interiorizada y reversible, llamaremos operación, supone la aplicación de un esquema a la representación de una realidad, lo que nos lleva a concluir que la construcción de los n$meros negativos se debe producir durante el periodo de las operaciones concretas . ;upongamos que el mismo esquema 'opuesto* pudiera actuar sobre s+ mismo> entonces estar+amos ante la siguiente situación 1'1*, que !abr+a que definirla como el WopuestoX del WopuestoX y cuyo resultado ser+a que "el opuesto del opuesto es el mismo elemento#, traducido en trminos matemáticos y con lenguaje escolar& menos por menos ] más. :or tanto, la "regla de los signos# es una operación formal . Como no !ay acción sin reacción !ablaremos de interacción sujeto objeto.
UV
UAV
0plicar una unidad funcional de conducta o esquema 'en este caso el Wesquema de conteoX* a la realidad. UI@V
Durante la etapa preconceptual la rigidez de los esquemas simbólicos o representacionales !ace que nos encontremos con conductas de clasificación tales como Ty cuando le preguntamos al nio "_estos dos se parecen`# 'I y ?*, nos responde "s+, porque son cuadrados#, entonces, sealando al N, le decimos _y ste, es cuadrado`, a lo que el pequeo nos responde, _no, es azul como ste 'sealando al ?*. Esto se debe a que, debido a la rigidez que los esquemas representacionales de semejanza, que posibilitarán la construcción de las clases, presentan en este momento, el pequeo sólo puede proceder de la siguiente manera& /oma un cuadrado, en este caso rojo^ y piensa "tengo que poner a continuación uno como ste#, y pone otro cuadrado, en este caso, azul^. 6na vez puesto, el cuadrado rojo se aleja^ en el espacio y en el tiempo y, por eso, cuando tiene que seguir procediendo, piensa "a!ora tengo que poner uno como ste# y como es azul, busca una figura azul que, en este caso es un c+rculo. H as+ contin$a !asta agotar los elementos. Como se puede comprobar, el razonamiento del sujeto MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA
INSTITUTO AZTECA DE FORMACIÓN EMPRESARIAL es transductivo 'va de lo particular a lo particular* y, a falta de anticipación 'el sujeto no se plantea, despus de colocar los dos primeros elementos "voy a poner los cuadrados#, porque entonces su razonamiento ir+a de lo particular a lo general^ y, por tanto, ser+a inductivo*, la colección que realiza carece de simultaneidad 'sucesividad intra1colección*. UIIV
(( ] observables en el objeto 'cualidades del objeto*> (; ] observables en la acción 'esquemas*> C( ] inferencias en el objeto 'coordinación de cualidades*> C; ] inferencias en la acción 'coordinación de esquemas*> 'a* ] dirección sujeto objeto 'asimilación*> 'b* ] dirección sujetoobjeto 'acomodación*. UI?V
Esta situación la podr+amos corroborar 'si el nivel de desarrollo del sujeto lo permite* analizando la cuantificación de la inclusión bajo los criterios de forma y color, dándole, por ejemplo, al pequeo el siguiente material estructurado y preguntándole& _/odos los triángulos son rojos`, _todos los cuadrados son rojos`, _todos los azules son cuadrados`. ;i las preguntas en las que la clase abarcadora se define por el criterio forma son correctas y las que la clase abarcadora sea el color incorrectas, entonces tenemos garantizada la existencia de un "desfase# del criterio color con relación al criterio forma. Estar+amos ante lo que amilton llamaba la "falsa simetr+a del predicado#. En efecto, como el criterio forma^ presenta una potencia^ mayor que el criterio color^, en el razonamiento del sujeto es imposible que se le pueda aplicar el cuantificador to'os al color 1todos son los cuadrados^ y algunos son 'los* azules^1> por lo tanto, ante la pregunta _todos los azules son cuadrados` l responde que WnoX, porque tambin W!ay cuadrados rojosX> es decir, ante la pregunta "_todos los azules son cuadrados`# coloca el predicado en su justo lugar^, desde la perspectiva de su razonamiento& "_todos los cuadrados son azules`# UINV
;errano, 4.2. y Fernández, 0. 'IAA*& Clases lógicas y colectivas& _dos modos de interpretación de la realidad`. 6studios de Psicología52 UIBV
:iaget, 4. e n!elder, 3. 'IALJ*& 7a gGnesis de las estructuras lógicas elementales. 3uenos 0ires. :aidós UIJV
:iaget, 4. y ;zemins9a, 0. 'IALJ*& 7a gGnesis del nFmero en el ni8o. 3uenos 0ires& :aidós.
UIKV
%os esquemas aditivos tuvieron que adquirir, en su momento, una gran movilidad para poder devenir en esquemas multiplicativos. UILV
-ecordemos que una de las diferencias esenciales entre %.;. 8igots9y y 4. :iaget es que, mientras que para el primero el desarrollo sigue al aprendizaje, para el segundo el aprendizaje sigue al desarrollo. UIV
;errano, 4.2.> :ons, -.2. y ;errano, 2.4. '?@@J*& %as operaciones intraproposicionales y el n$mero. J Congreso 2undial de E.. UIAV
0unque :iaget nació en euenburg 'euc!tel* prácticamente toda su actividad docente e investigadora la realizó en 5inebra. U?@V
6n 6ec6o está constituido por piezas de información arbitrariamente. 6n concepto es la representación mental genrica de un objeto, un !ec!o o un conjunto de objetos o de !ec!os que comparten, al menos, una caracter+stica com$n. 6n principio es un conjunto de conceptos que permite explicar, relacionar o predecir lo real. MAESTRÍA EN INNOVACIÓN EDUCATIVA CONSTRUCTIVISMO E INNOVACIÓN EDUCATIVA