CONMUT CONMUTACION ACION SE CUENCIA L 35. Determinar la corriente i(t) del del circuito de la figura
En t<0: En este estado el inductor se comporta como un cortocircuito, de modo que anula al resistor, por lo tanto hasta que almacene su máxima energía, de manera que el circuito quedara de la siguiente forma
0− = = 10[ ]
En 0≤t≤1mseg: En 0≤t≤1mseg: En este estado el inductor comenzara a descargar la energía almacenada en el resistor paralelo, debido a que el segundo interruptor no hizo cortocircuito, de modo que este tendrá un valor de , por lo tanto habrá una ecuación para este circuito que queda de la siguiente forma
Calculando el valor de :
= = 2 ∗ 21010− = 10− = 10−; [ ]
Por lo tanto con esos valores tenemos la siguiente ecuación En t>1mseg: En este estado el segundo interruptor se pone en contacto, pero hay que tener en cuenta que el inductor no ha completado su descarga, por lo tanto cuando esto sucede, el segundo interruptor queda en paralelo con el primero quedando de la siguiente forma
= −− ; [ ]
En este caso debemos tener en cuenta que no toda la energía se descargó completamente por lo tanto hay que hallar una nueva ecuación que cumpla estas condiciones por lo tanto tenemos. Calcular la corriente que sobra en el inductor cuando haya pasado este tempo
= 10−∗ = 3.679[79 [ ] − 2 ∗10 ∗ 10 = | = 1 = 10002 = . −−−; [ ]
Y como las condiciones son diferentes hay que hallar el nuevo valor de :
Reemplazando los valores de la ecuación de i (t 1) Graficando la última ecuación tenemos
36. En el circuito de la figura el interruptor A es de contacto antes de abrir, da form a que la corriente en el inductor nunca se interrumpe del circuito de la figura
En t<0: En este estado ninguno de los interruptores se abre, y el inductor es cargado por largo tiempo hasta lega a condiciones estables, de modo que se comportara como un cortocircuito, anulando la última resistencia, quedando de la siguiente manera
0− = = 10Ω40 = 4[ ]
En 0≤t≤10mseg: En 0≤t≤10mseg: En este estado el interruptor U1 se abre de manera la fuente de voltaje y la R 1 quedan aisladas, de este modo el inductor se encontrara en paralelo con R2 y R3 de manera que el circuito quedara de la siguiente forma
Calculando el valor de :
= | = 2525 +0.∗ 1100100 Ω = 0.05 = 4−;[]
Con los valores obtenidos tendremos la siguiente ecuación
En t>10mseg: En este momento el interruptor U2 se abre de manera que queda aislado la resistencia R 3, en este instante hay que tener en cuenta saber cuánto de energía queda en el inductor, por lo tanto hay que calcular el nuevos valores a partir de este circuito
= 4−∗∗ = 0.5413[ ] = = 025Ω.1 = 0.04 = . −−−; [ ]
Calculando en valor de i(t) con 10mseg: Calculando el valor de
1
Con los valores obtenidos tendremos la ecuación de respuesta del circuito Graficando esta última ecuación tendremos
37. Determine el voltaje de la figura figura v(t)
En t<0: En este estado el capacitor se encuentra almacenando energía por largo tiempo, entonces se sabe que en condiciones estables se comporta como si fuera un circuito abierto, de manera que el circuito queda de la siguiente forma
0− = = 10[]
En 0≤t≤2seg: En este estado el interruptor U1 se abre aislando fuente de voltaje, por lo tanto el capacitor comienza a descargar su energía a través del resistor de la siguiente forma
Calculando el valor de :
= = 4∗ 0.5 = 2 = 10−.; []
Con estos valores tendremos la siguiente ecuación
En t>2seg: En este estado se cierra un segundo interruptor de manera que necesitaremos saber cuánto de energía tiene todavía el capacitor, por lo tanto se harán nuevos cálculos con el nuevo circuito formado de la siguiente forma
= 10−.∗ = 3.679[] = | = 66+∗ 44 ∗0.5 = 1.2 = . −.−;[]
Calculando el valor de i(t) para un t=2seg Calculando el valor de
1
Con los siguientes valores tendremos la siguiente ecuación Graficando la ecuación de respuesta final tenemos
38. Determinar la ecuación diferencial de segundo orden del circuito de la figura con función a i2
Para la resolución del problema utilizaremos el método de los operadores diferenciales, aplicando la Ley de Kirchhoff de Voltajes, teniendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
= + = + 0 = + + + → → 0 = + +2 + 2∫ = + = +1 0 = + + 2 + 2 → → 0 = + + 2+ 21 = + 1 = +1 0 = + + 2+ 2 1 → 0 = + + 2 + 2 → 0 = = ++1 + 2+ 2 Δ = +1 +=23+2 + = 4+ +2 1 + 2 + 2 = + 2 + 2 + + 2 +2 = +1Δ 0 = 3 +4 + 2 33 ++ 44 + +22 = = + + =
Aplicando los operadores diferenciales a las ecuaciones encontradas tenemos
Simplificando las ecuaciones tenemos
Aplicando la Regla de Cramer y encontrando el valor de la determinante principal y de la corriente i2 tenemos
Reemplazando los operadores diferenciales por derivadas obtenemos la siguiente ecuación diferencial
S OL UC ION A L A E C UA C ION DI FE R E NC IA L DE 2° OR DE N NO FOR ZAD O 39. Determinar la respuesta natural de la corriente i 2(t) del circuito de la figura
Para la resolución del problema utilizaremos la Ley de Kirchhoff de Voltajes, de manera que plantearemos las ecuaciones diferenciales que forman parte del sistema
8 + 2 +4 4 = 4 + 4 + = 0
Simplificando el sistema obtenemos las siguientes ecuaciones
2 + 12 4 = 4 + 4 + = 0 24 + +12 + 44 == 0 → → 42 + 12+ + 44 == 0 Δ = 24+ 12 4=+24= +202 +12+ 32 +4 16 = 2 + 8 + 12 + 48 16 2 + 12 = 4 Δ 0 + =102+16 +420 + =322 = + 102 + 16 ++210++8 16 == 00 1 1 = = == 28 → = 1 = 21 { { 8 = − + −;[]
Para encontrar la ecuación característica del circuito aplicaremos el método de los operadores diferenciales
Para encontrar la ecuación característica del circuito, aplicaremos la Regla de Cramer, de igual manera la hallar la respuesta natural de la corriente i 2, tenemos
De la ecuación encontraremos los valores que forman parte de la solución del sistema de ecuaciones diferenciales, por lo que tenemos:
Por lo tanto la solución de la respuesta natural i 2n del sistema de ecuaciones diferenciales es:
40. Determinar la ecuación característica y las frecuencias naturales del circuito de la figura v
R2 6Ω
If
R1 4Ω
+ v
C1 250mF
-
L1 1H
Para la resolución del problema debemos platearnos un sistema de ecuaciones diferenciales de manera que se relacionen las corrientes y los voltajes, por lo cual utilizaremos la Ley de Kirchhoff de Corrientes
= 4 + + 14 = 6 +
Ordenando el sistema de ecuaciones tenemos
= 14 + 14 + 0 = + + 6 0 == 14++ 14+ +6 → 40= = ++ 1 ++64 Δ = 1+ 1 +4 6 = +1 + 6+ 4 = + 6 + + 6 +4 = + + + +57+10+2 ==00 ==
Aplicando operadores diferenciales obtenemos
Para el cálculo de la ecuación característica, calcularemos la determinante principal del sistema de ecuaciones, obteniendo
El cálculo de las frecuencias naturales se realiza factorizando la ecuación característica
41. El fabricante de autos alemán Volkswagen tratando de ofrecer coches más eficientes han lanzado uno cuyo motor ahorra energía apagándose a sí mismo en los semáforos, este sistema paro-arranque se originó en una campaña para desarrollar autos en todos los mercados del mundo que usan menos combustible y contaminan menos. El control paro-arranque tiene un mecanismo que detecta la transmisión cuando no necesita combustible, cuando avanza cuesta abajo o cuando se detiene en un crucero. El motor se apaga, pero un pequeño volante se mantiene girando de modo que la potencia pueda regenerarse con rapidez cuando el conductor aprieta el acelerador. En el circuito de la figura se muestra el paro-arranque. Determinar la ecuación característica y frecuencias naturales
Para la resolución del problema debemos plantearnos un sistema de ecuaciones diferenciales que correspondan al análisis del circuito dado, para ello plantearemos las ecuaciones mediante la Ley de Kirchhoff de Corrientes
10 107 = 10 + + 5 ∗10− = 12 103 = 2001 + 101 + = 12 = 12 310 = 4001 + 201 +
Para encontrar la ecuación característica aplicaremos el método directo para hallar la ecuación diferencial de segundo orden, por lo que tendremos
Derivando la ecuación (2) tenemos
Reemplazando la ecuación (2) y (3) en la ecuación (1) tenemos
120 = + 20 + 400 120 = + 20 + 400 120= + 20 + 400 + 20 +400 = 0 20 ± 2 0 4400 = 10± √ 400 1600 = 10 ± √ 12002 = 10 ± √ 12002 − = =210± 17.32
Aplicando los operadores diferenciales tenemos Simplificando tenemos
De la ecuación hallada obtenemos la ecuación característica igualada a cero De esta encontramos las frecuencias naturales factorizando
== +. .
Donde
RE PUES TA NATUR AL DE UN CIRCUITO RLC EN PAR ALE LO CON DOS ELE MENTOS DE ALMACE NAMIENTO DE ENER GIA ELE CTRICA – Caso s obre amortiguado 42. Determinar la repuesta natural v(t) del circuito RLC en paralelo de la figura, donde v(0)=10V, i(0)=2A L1 1H
R1 667mΩ
C1 500mF
+ 1 + 1 = 0 + 231 12 + 1112 = 0 + 3 + 2 = 0 + 2 =+1 1 = 0 − = 2 − = + ; [] − + − = = − 2− 0 = + = 0 → 0 = 2
Para la solución del circuito aplicaremos la ecuación característica siendo la siguiente
Reemplazando los valores tenemos
Simplificando obtenemos
De la ecuación característica obtenemos las frecuencias naturales factorizando
Con estos valores tenemos la forma de la respuesta natural del circuito Para obtener los valores de A 1 y A2 se necesitan dos ecuaciones, entonces utilizaremos la respuesta natural y su derivada, ambas evaluadas en condiciones iniciales por lo cual obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Como no sabemos el valor de la derivada de respuesta natural lo calcularemos mediante la siguiente ecuación
0 = 0 0 = 21 2101 = 4 30 = 34 2 32 34 10== + +2 Δ =1011 112 = 2 1 = 1 = 341Δ 102 = 20 1 34 = 14 = 1 Δ34 = 341 10 = 24 = − + −; []
Reemplazando valore en el sistema de ecuaciones tenemos
Mediante la Regla de Cramer encontraremos los valores de A 1 y A2, aplicando determinantes
Reemplazando en la ecuación de la respuesta natural tenemos Graficando la respuesta natural tenemos
43. Determine la respuesta natural v n(t) del circuito RLC en paralelo donde v(0) = 0V e i(0) = 10A
R1 6Ω
L1 7H
C1 23.8mF
+ 1 + 1 = 0 + 6142 1 + 7142 1 = 0 + 7 + 6 = 0 + 1 =+6 1 = 0 − = 6 − = + ; [] − + − = = − 6−
Para la solución del circuito aplicaremos la ecuación característica siendo la siguiente
Reemplazando los valores tenemos
Simplificando obtenemos
De la ecuación característica obtenemos las frecuencias naturales factorizando
Con estos valores tenemos la forma de la respuesta natural del circuito Para obtener los valores de A 1 y A2 se necesitan dos ecuaciones, entonces utilizaremos la respuesta natural y su derivada, ambas evaluadas en condiciones iniciales por lo cual obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
0 = + = 0 → 0 = 6 0 = 0 0 = 110 60 1 = 420 0 = 420 42 42 4200 == + +6 Δ =0 11 116 = 6 1 = 5 = 4201 Δ 06 = 0 5420 = 84 = 1 Δ420 = 42050 = 84 = − + −; []
Como no sabemos el valor de la derivada de respuesta natural lo calcularemos mediante la siguiente ecuación
Reemplazando valore en el sistema de ecuaciones tenemos
Mediante la Regla de Cramer encontraremos los valores de A 1 y A2, aplicando determinantes
Reemplazando en la ecuación de la respuesta natural tenemos Graficando la respuesta natural tenemos
44. En el circuito de la figura, se utiliza para detectar fumadores que encienden sobreticiamente un cigarro en las áreas de no fumar en los aviones, el sensor se activa el interruptor y el cambio de voltaje activa una luz en la cabina de sobrecarga. Determine la respuesta natural v n(t) t=0 R1 1Ω
1A
L1 400mH
C1 25mF
En t<0: Durante este estado el inductor y el capacitor almacenaron energía por largo tiempo ha almacenado energía por un largo tiempo, de forma que se encuentran en condiciones estables, el inductor se comporta como cortocircuito y el capacitor como circuito abierto, quedando de la siguiente forma el circuito
1A
i(0)
+ v(0) -
0 = 1
0 = 0 0 = 0 0 = 11 60 1 = 40 40 40
En t≥0: La fuente de corriente se abre de modo que el circuito RLC queda aislado de toda fuente de manera que los elementos de almacenamiento comenzaran a descargarse, por lo cual queda el siguiente circuito
R1 1Ω
L1 400mH
C1 25mF
+ 1 + 1 = 0 + 1140 1 + 0.4140 1 = 0 + 40 +100 = 0 +2.7 =+37.2.73 = 0 −. =37.3 −. = + ; [] −. + −. = = 2.7−. 37.3−. 0 = + = 0 → 0 = 2.7 37. 3 0 = 40 40 =02.=7 ++ 37. 3 Δ = 2. 1 07 37.113= 37.3 2.7 = 34.6 = 40 1Δ37.03 = 034. 640 = 1.16 = 2.7Δ 40 = 434.0 06 = 1.16 = .−. + .−.; []
Para la solución del circuito aplicaremos la ecuación característica siendo la siguiente
Reemplazando los valores tenemos
Simplificando obtenemos
De la ecuación característica obtenemos las frecuencias naturales factorizando
Con estos valores tenemos la forma de la respuesta natural del circuito Para obtener los valores de A 1 y A2 se necesitan dos ecuaciones, entonces utilizaremos la respuesta natural y su derivada, ambas evaluadas en condiciones iniciales por lo cual obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
De los cálculos en t<0 tenemos como dato adicional la derivada del voltaje
Reemplazando valores en el sistema de ecuaciones tenemos
Mediante la Regla de Cramer encontraremos los valores de A 1 y A2, aplicando determinantes
Reemplazando en la ecuación de la respuesta natural tenemos Graficando la respuesta natural tenemos
RE SPUESTA NATURA L DE UN CIRC UITO RLC E N PARA LELO CON DOS ELE MENTOS DE ALMACE NAMIENTOS DE ENER GIA ELE CTRICA – Caso críticamente amortiguado 45. Hallar la respuesta natural v n(t) del circuito de la figura, donde v(0) = 5V, i(0) = 6A
L1 1H
R1 1Ω
+ v(t) -
C1 250mF
i(t)
Para la solución de la respuesta natural del circuito aplicaremos la ecuación característica, donde tenemos:
+ 1 + 1 = 0 + 1114 + 1114 = 0 + 4 + 4 = 0 + 2 =+2 2 = 0 = 2 − = + − = + = [2 + 1 2]− 0 = = 0 → 0 = 2 + 0 = 0 0 = 16 151 = 24 20 = 4 4 4 4 = 52= +
Reemplazado valores tenemos
Simplificando la ecuación tenemos
De la ecuación característica se encuentran las frecuencias naturales
Con estos valores obtenemos la forma de la respuesta natural del circuito Para obtener los valores de A 1 y A2 se necesitan dos ecuaciones, entonces utilizaremos la respuesta natural y su derivada, ambas evaluadas en condiciones iniciales por lo cual obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Como no sabemos el valor de la derivada de respuesta natural lo calcularemos mediante la siguiente ecuación
Reemplazando valores en el sistema de ecuaciones tenemos
= 4+ 2 == 45 +10 = 14 = − + −;[]
Encontrando las soluciones tenemos
Reemplazando los valores de la respuesta natural tenemos Graficando la respuesta natural del circuito tenemos
46. Determine la respuesta natural v n(t) del circuito RLC en paralelo donde v(0)=8V, i(0)=0A L1 400mH
R1 10Ω
+ v(t) -
C1 1mF
i(t)
Para la solución de la respuesta natural del circuito aplicaremos la ecuación característica, donde tenemos:
+ 1 + 1 = 0 + 10 ∗110− + 0.4 ∗110− = 0 + 100 +2500 = 0 +50 = +50 = 0 = 5050 − = + − = + = [50 + 1 50]− 0 = = 0 → 0 = 50 + 0 = 0 0 = 100− 10∗810− = 800 800 =850= +
Reemplazado valores tenemos
Simplificando la ecuación tenemos
De la ecuación característica se encuentran las frecuencias naturales
Con estos valores obtenemos la forma de la respuesta natural del circuito Para obtener los valores de A 1 y A2 se necesitan dos ecuaciones, entonces utilizaremos la respuesta natural y su derivada, ambas evaluadas en condiciones iniciales por lo cual obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Como no sabemos el valor de la derivada de respuesta natural lo calcularemos mediante la siguiente ecuación
Reemplazando valores en el sistema de ecuaciones tenemos
= 800 + 50 = =8008 + 400 = 400 = − −;[]
Encontrando las soluciones tenemos
Reemplazando los valores de la respuesta natural tenemos Graficando la respuesta natural del circuito tenemos
RE SPUESTA FORZADA DE UN CIRCUITO RLC E N PARA LELO 47. Determine la respuesta forzada de la corriente del inductor del circuito RLC en paralelo -2t If=8e
R1 6Ω
L1 7H
i(t)
+ v(t) -
C1 23.8mF
Para la resolución de la respuesta forzada aplicaremos en el sistema de ecuaciones la Ley de Kirchhoff de Corrientes, teniendo
= + + = = = + + + 1 + 1 = + 61 1 + 71 1 = 7 1 42 + 7 + 642= 6 42 = =2 −−
Derivando la ecuación (2) y reemplazándolo en la ecuación (1) tenemos
Para resolver la ecuación diferencial el termino de mayor orden su coeficiente debe ser igual a 1 por lo tanto tenemos ordenando
Reemplazando los datos obtenemos
Obteniendo la forma de la fuente forzada y derivando la misma tenemos
= 4− + 7 + 6 = 6 − 4 144− +=648 − = 48− = 12 = −;[]
Las respuestas encontradas reemplazamos en la ecuación diferencial
Reemplazando en la ecuación de la respuesta forzada tenemos Graficando la repuesta forzada del circuito tenemos
48. Determinar la respuesta forzada de la ecuación diferencial anterior para una fuente I fo constante
If=Io
R1 6Ω
L1 7H
i(t)
+ v(t) -
C1 23.8mF
Para la resolución del problema partiremos de la ecuación diferencial de ejercicio anterior
+ 7 + 6 = 6 + 7 + 6 = 6 ==0 = 0 + 7 + 6 = 6 0 + 0+ 6= = 6 = ;[]
Reemplazando el valor de la fuente forzada
Obteniendo la forma de la fuente forzada y derivando la misma tenemos
Las respuestas encontradas reemplazamos en la ecuación diferencial
Reemplazando en la ecuación de la respuesta forzada tenemos
49. Determinar la respuesta forzada de la ecuación diferencial dada en el ejercicio con una fuente Ifo=3e-6t -6t If=3e
R1 6Ω
L1 7H
i(t)
+ v(t) -
C1 23.8mF
Para la resolución del problema partiremos de la ecuación diferencial de ejercicio anterior
+ 7 + 6 = 6 + 7 + 6 = 0 ++77++66 ==00 + 1 =+6 1 = 0 = 6 − = + − − = = − 6− = −1 6 = −1 6+ −6 = 6−1 6 + 1 = −36 12 − + 7 + 6− = 18−− − 36 1236 + 12+ 7+71 6 42 + +66= 18 = 18 5 = =1818 5 = −;[]
De la ecuación diferencial presentada buscaremos si algunas de las raíces coinciden con la forma de la fuente, ya que debido a que si existiese el caso existirá una indeterminación. Buscando las raíces de la respuesta natural del circuito
Como podemos apreciar una de las raíces coincide con la forma de la fuente forzada, por lo tanto para levantar la indeterminación y resolver la ecuación diferencial de segundo orden utilizaremos la siguiente expresión
Reemplazando en la ecuación diferencial tenemos
Reemplazando en la forma de la respuesta forzada tenemos
Graficando la repuesta forzada tenemos
+ 5 + 6 = + +25++3 6 ==00 − == 32 − = + ;[] == 0 = 0 + 5 + 6 = 8 0 + 5 =0 8+ =6 4 = 8 6 3 = ;[] + +25++3 6 ==00 − == 32 − = + ;[] = =4−− = 16− − + 5 −+ 6 =−3− − 16 16 2020 ++ 66 = 3 = 3 2 == 33 2 = −;[]
50. Dada la ecuación diferencial resolver la respuesta forzada de los siguientes casos
a.
Vf =8V Verificando si las raíces de la ecuación diferencial tienen la misma forma de la fuente forzada
Ninguna de las raíces coincide con la forma de la fuente forzada, por lo tanto tenemos la forma de fuente forzada
Reemplazando en la ecuación diferencial tenemos
Por lo tanto la fuente forzada es
b.
Vf =3e-4t Verificando si las raíces de la ecuación diferencial tienen la misma forma de la fuente forzada
Ninguna de las raíces coincide con la forma de la fuente forzada, por lo tanto tenemos la forma de fuente forzada
Reemplazando en la ecuación diferencial tenemos
Por lo tanto la fuente forzada es
c.
Vf =2e-2t Verificando si las raíces de la ecuación diferencial tienen la misma forma de la fuente forzada
+ +25++3 6 ==00 − == 32 − = + ;[] − = − 2 − = −1 2 = = 2−1 2 + −2 = 2−1 2 + 1 = −4 4 + 5 + 6 = 2− − 4 4+4 54−+51 210 + 6= 2− = 2− = 2 = −;[] + 9 + 20 = 6 ++49+ +5 20 == 00 ==−54 − = + = = + = 0 + 9 + 20 = 12 + 36 0+ 920+ =2012 →+ 20 = =1212 = 0.+636 9 +20 = 36 → = 36 20 9 = 3620920∗ 0.6 = 36 205. =4 1.53 = . + . ; []
Una de las raíces coincide con la forma de la fuente forzada, por lo tanto tenemos la forma de fuente forzada, levantando la indeterminación
Reemplazando en la ecuación diferencial tenemos
Por lo tanto la fuente forzada es
51. Dada la ecuación diferencial resolver la respuesta forzada de los siguientes casos
a.
If = 6+2t Verificando si las raíces de la ecuación diferencial tienen la misma forma de la fuente forzada
Ninguna de las raíces coincide con la forma de la fuente forzada, por lo tanto tenemos la forma de fuente forzada
Reemplazando en la ecuación diferencial tenemos
Por lo tanto la fuente forzada es
Graficando la respuesta tenemos
RE PUES TA COMPLETA DE UN CIRCUITO RLC 52. Consideremos el circuito de la figura para los siguientes valores, donde v(0)=10V y dv(0)/dt = -2V/seg. Calcular la respuesta completa de v(t)
Para la solución de la respuesta completa, plantearemos las ecuaciones mediante la Ley de Kirchhoff de Voltajes
= + + = = = + + + + 1 = 1 + 5 + 6 = 6 +5 +6 = 0 + +55++66 = =0 0 +2 =+3 2 = 0 − = 3 − = + ;[] +5 + 6 = 4−
Reemplazando para poder armar la ecuación diferencial de segundo grado tenemos
Ordenando la ecuación diferencial, poniendo en uno el coeficiente de la mayor derivada y reemplazando datos tenemos lo siguiente
a.
Calculando la respuesta natural Para el cálculo de la repuesta natural la ecuación diferencial debe estar igualada a cero por lo tanto tenemos
Aplicando los operadores diferenciales y calculando las frecuencias naturales obtenemos lo siguiente
Con los valores hallados tenemos la respuesta natural b.
Calculando la repuesta forzada Para el cálculo de la respuesta forzada la ecuación diferencial debe estar igualada a la fuente forzada por lo tanto tenemos
Teniendo la forma de la fuente forzada la derivaremos para reemplazar en la ecuación diferencial
= = 23−− = − = − − +5 − + 6− = 4−− 52− + =64− = 4 = −2 = 2 ;[] = + − − = + + 2− − + − + 2 − = = 3− 2− 2− 0 = + + 2 = 10 → + = 8 = 0 → 0 = 3 2 2 = 2 → 3 + 2 = 0 Δ = 138 121 = 2 3 = 1 = 10 Δ 82 = 116 = 16 = 3 Δ 0 = 124 = 24 = − + − + −
Reemplazando en la ecuación diferencial obtenida
Por lo tanto la respuesta forzada encontrada es la siguiente
La respuesta completa se encuentra sumando la respuesta natural más la repuesta forzada, teniendo
Como no tenemos el valor de A 1 y A2 hay que formar un sistema de ecuaciones donde la segunda ecuación será la derivada de la primera ecuación, teniendo
Para la solución del sistema de ecuaciones esta debe estar en condiciones iniciales
Resolviendo mediante la Regla de Cramer tenemos
Por lo tanto la respuesta completa es la siguiente Graficando la respuesta completa tenemos
53. Determina la respuesta v(t) para t≥0 del circuito de la figura
a.
b.
En t<0: En este estado los elementos de almacenamiento de energía se encuentran en estado estable debido que han almacenado energía por un largo tiempo de forma que el capacitor se encuentra en circuito abierto y el inductor en cortocircuito, teniendo la siguiente figura
0 = + = 110Ω0 =61 0 = ∗ + = 10 ∗ 10 = 6
En t≥0: En este estado los elementos de almacenamiento comenzaran a descargar su energía almacenada a través de los resistores. Para la solución de la respuesta plantearemos del circuito de la figura la Ley de Kirchhoff de Corrientes teniendo
4 + + 14 = 0 + 4 + = 0 = + 6 + + 4 = → + +4 = → + 1+ 4 = + + 6 = 0 + + 6 = 0 + +6 = 0 Δ = 1+1 +64 1= + 1 + 6 + 4 = + 6 + +6 + 4 = + 7 + 10 = 0 Δ + 6 = +7++106 → + 7 + 10 = 6 +
Ordenando las ecuaciones y aplicando operadores diferenciales tenemos
Del sistema de ecuaciones encontrado aplicaremos la Regla de Cramer para hallar la ecuación característica del circuito
Convirtiéndolo en una ecuación diferencial tenemos
+ 7 + 10 = 6 + +7 +10 = 0 + +77+10+ 10 ==0 0 +2 =+5 2 = 0 − = 5 − = + ;[] + 7 + 10 = 6 + == 6−− = 3− = 9− − + 7− + 10− = 6 −+ − 9 212 + 10 − = 18 =−36 18 = 9− = 9 ;[] = + = − + − 9− − + − 9 − = = 2− 5− + 27− = + 4 0 = 0 40 + 6 = 6 4 + 6 = 4
1) Calculando la respuesta natural Para el cálculo de la repuesta natural la ecuación diferencial debe estar igualada a cero por lo tanto tenemos
Aplicando los operadores diferenciales y calculando las frecuencias naturales obtenemos lo siguiente
Con los valores hallados tenemos la respuesta natural
2) Calculando la respuesta forzada Para el cálculo de la respuesta forzada la ecuación diferencial debe estar igualada a la fuente forzada por lo tanto tenemos
Teniendo la forma de la fuente forzada la derivaremos para reemplazar en la ecuación diferencial
Reemplazando en la ecuación diferencial obtenida
Por lo tanto la respuesta forzada encontrada es la siguiente
La respuesta completa se encuentra sumando la respuesta natural más la repuesta forzada, teniendo
Como no tenemos el valor de A 1 y A2 hay que formar un sistema de ecuaciones donde la segunda ecuación será la derivada de la primera ecuación, teniendo
Para la solución del sistema de ecuaciones esta debe estar en condiciones iniciales, tenemos como dato el valor de v(0) pero no de la derivada por lo tanto deberemos despejarlo de la ecuaciones planteadas por la Ley de Kirchhoff de Corrientes
Reemplazando tenemos
0 = + 9 = 6 → + = 15 = 0 → 0 = 2 5 + 27 = 4 → 2 5 = 31 Δ = 1521 511 = 5 + 2 = 3 = 311 Δ 515 = 75+3 31 = 434 = 2 Δ31 = 31+3 30 = 13 = − + − −
Resolviendo mediante la Regla de Cramer tenemos
Por lo tanto la respuesta completa es la siguiente
Graficando la respuesta completa tenemos
54. Determina la respuesta v(t) para t≥0 del circuito de la figura
a.
b.
En t<0: En este estado los elementos de almacenamiento de energía se encuentran en estado estable debido que han almacenado energía por un largo tiempo de forma que el capacitor se encuentra en circuito abierto y el inductor en cortocircuito, teniendo la siguiente figura
0 = + = 110Ω0 =61 0 = ∗ + = 10 ∗ 10 = 6
En t≥0: En este estado los elementos de almacenamiento comenzaran a descargar su energía almacenada a través de los resistores. Para la solución de la respuesta plantearemos del circuito de la figura la Ley de Kirchhoff de Corrientes teniendo
4 + + 14 = 0 + 4 + = 0 = + 6 + + 4 = → + +4 = → + 1+ 4 = + + 6 = 0 + + 6 = 0 + +6 = 0 Δ = 1+1 +64 1= + 1 + 6 + 4 = + 6 + +6 + 4 = + 7 + 10 = 0 Δ + 6 = +7++106 → + 7 + 10 = 6 + + 7 + 10 = 6 + +7 +10 = 0 + +77+10+ 10 ==0 0 +2 =+5 2 = 0 − = 5 − = + ;[] + 7 + 10 = 6 + == 4 = 0 = 0
Ordenando las ecuaciones y aplicando operadores diferenciales tenemos
Del sistema de ecuaciones encontrado aplicaremos la Regla de Cramer para hallar la ecuación característica del circuito
Convirtiéndolo en una ecuación diferencial tenemos
1) Calculando la respuesta natural Para el cálculo de la repuesta natural la ecuación diferencial debe estar igualada a cero por lo tanto tenemos
Aplicando los operadores diferenciales y calculando las frecuencias naturales obtenemos lo siguiente
Con los valores hallados tenemos la respuesta natural
2) Calculando la respuesta forzada Para el cálculo de la respuesta forzada la ecuación diferencial debe estar igualada a la fuente forzada por lo tanto tenemos
Teniendo la forma de la fuente forzada la derivaremos para reemplazar en la ecuación diferencial
+ 7 + 10 = 6 + 0 + 0+= 2410 = 2.=424 10 = 2.4;[] = + − − = + + 2.4 = =2− +− −5 +2.−4 = + 4 0 = 0 40 + 4 = 6 4 + 4 = 6 0 = + + 2. 4 = 6 → + = 3. 6 = 0 → 0 = 2 5 = 6 → 2 5 = 6 Δ =3 .621 1 51 = 5 + 2 = 3 = 16Δ3.56 = 18+3 4 = 312 = 4 = 2Δ6 = 63+7.2 = 13.2 = 0.4 = − . − + . ;[]
Reemplazando en la ecuación diferencial obtenida
Por lo tanto la respuesta forzada encontrada es la siguiente
La respuesta completa se encuentra sumando la respuesta natural más la repuesta forzada, teniendo
Como no tenemos el valor de A 1 y A2 hay que formar un sistema de ecuaciones donde la segunda ecuación será la derivada de la primera ecuación, teniendo
Para la solución del sistema de ecuaciones esta debe estar en condiciones iniciales, tenemos como dato el valor de v(0) pero no de la derivada por lo tanto deberemos despejarlo de la ecuaciones planteadas por la Ley de Kirchhoff de Corrientes
Reemplazando tenemos
Resolviendo mediante la Regla de Cramer tenemos
Por lo tanto la respuesta completa es la siguiente Graficando la respuesta completa tenemos
ME TODO D E LA V A R IA B LE DE E S TA DO E N E L A NA LIS IS DE C IR C UITOS 55. En el circuito de la figura calcular v 1(t)
Para la solución del problema presentado identificamos las variables de estado que son v1 y v2. Identificados las variables nos plantearemos las ecuaciones del circuito mediante la Ley de Kirchhoff de Corrientes
= + { = + 2 = 2 2 + 2 2 → + 2 = = 2 2 + 2 + + 3 = 2 ++2 +3 == Δ = 2+2 1+3 = + 2 + 31 2 = + 3 + 2 + 6 2 = + 5 + 4 = + 5 Δ ++43 == +++353 ++ +4 + 5 +4 = + 3 + + 5 + 4 = 36 +5 +4 = 0 + +55++4 4 = 0= 0 +1 =+4 1 = 0 − = 4 − = + ;[]
Reemplazando los valores y ordenando las ecuaciones tenemos
Aplicando los operadores diferenciales tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Para hallar la ecuación característica del sistema utilizaremos la Regla de Cramer
Convirtiéndolo en ecuación diferencial
a.
Calculando la respuesta natural Para el cálculo de la repuesta natural la ecuación diferencial debe estar igualada a cero por lo tanto tenemos
Aplicando los operadores diferenciales y calculando las frecuencias naturales obtenemos lo siguiente
Con los valores hallados tenemos la respuesta natural b.
Calculando la respuesta forzada Para el cálculo de la respuesta forzada la ecuación diferencial debe estar igualada a la fuente forzada por lo tanto tenemos
+ 5 +4 = 36 = =10 = 0 = 0 + 5 +4 = 36 0 + 0+ =49= 36 = 9;[] = + − = + − + 9 ==− +− 4− +−9 = 2 + 0 = 20 + = 10 25 + 10 = 10 0 = + + 9 = 5 → + = 4 = 0 → 0 = 4 = 10 → + 4 = 10 Δ 4= 111 14 = 4 1 = 3 = 101 Δ44 = 163+ 10 = 36 = 2 = 1 10Δ = 103+ 4 = 36 = 2 = − − + ;[]
Teniendo la forma de la fuente forzada la derivaremos para reemplazar en la ecuación diferencial
Reemplazando en la ecuación diferencial obtenida
Por lo tanto la respuesta forzada encontrada es la siguiente
La respuesta completa se encuentra sumando la respuesta natural más la repuesta forzada, teniendo
Como no tenemos el valor de A 1 y A2 hay que formar un sistema de ecuaciones donde la segunda ecuación será la derivada de la primera ecuación, teniendo
Para la solución del sistema de ecuaciones esta debe estar en condiciones iniciales, tenemos como dato el valor de v(0) pero no de la derivada por lo tanto deberemos despejarlo de la ecuaciones planteadas por la Ley de Kirchhoff de Corrientes
Reemplazando tenemos
Resolviendo mediante la Regla de Cramer tenemos
Por lo tanto la respuesta completa es la siguiente Graficando la respuesta completa tenemos
= 2 + +3 2 + 9+ 9 ℒ− 2 + +3 2 + 9+ 9 = ℒ− 2 +ℒ− +23 + ℒ− 9+ 9 = 2ℒ − 1+ 3ℒ− +1 2+ 3ℒ− 3+ 9 = 2+ 3− + 33 = +14 +2 4 = + 1 4 ++ 21 = +2 + 1 + ++1+2 ++ + +2 1 + 14= +2 + =1 + 2+ ++12+ +2 + 1 = 2= 1→ 4→=4=2+11+2 = = 1→ →=4= 4 = 0 → 4 = 12+ 2 + 1 = 2 + 8 +4 → = 4 4= +14 + 4+41 + +4 2 4 ℒ = ℒ− + 1− + ℒ1− + 1− + ℒ1− + 2 − 1 = 4ℒ = 4 +−1 + +44ℒ− +4 +−1 + 4ℒ + 2 = 32 + +37 + +22 ++69 2 + 7 0 = →lim = →lim 3 + 3 + +22 ++96 = ∞∞ 2 + 7 + 2 0 = →lim 83 + +321 + +24 +++699 = ∞∞∞ 0 = →lim 24 + 9 + 4 = ∞ 12 0 = →lim 3648 + +18+4242+4+ 4 ∞= ∞∞ 0 = →lim 4872 + 1848 = ∞2 0 = →lim 72 = 72 = 3 = 2 +2 +
56. Hallar la transformada de Laplace
Aplicando la propiedad de linealidad de las transformadas tenemos
57. Dada la función expresada en el dominio de la frecuencia. Hallar la función en el dominio del tiempo
Para hallar la función en dominio del tiempo tendremos que a la F(s) volverla mas sencilla mediante fracciones parciales
Para encontrar los valores de A, B, C anularemos términos haciéndolos ceros
Entonces como fracciones parciales tenemos
58. Dada la transformada de Laplace determinar el valor inicial
Aplicando el teorema del valor final
Para levantar la indeterminación aplicaremos la ley de L’Hopital
59. Dada la transformada de Laplace determinar el valor inicial
0 = →lim = →lim 2 +2+ = ∞∞ 0 = →lim 4+ 2 = 0 = + 3 + 4+ 2 ∞ = l→im = l→im +3 +4 + 2 = 00 ∞ = l→im 33 + +64+ 2 = 2 == + ∞ = l i m = l i m → → ∞ = →lim = l→im + = 0 = 6 + 2+5+ 1 0 = →lim = →lim 6 + 2+ 5+ 1 = ∞∞ 0 = →lim 12212++25 = ∞∞ 0 = →lim 2 = 6 6 ∞ = l→im = l→im + 2+ 5+ 1 = 0 = 26 + 1 0 = →lim = →lim 62 + 1 = ∞∞ 0 = →lim 262 = ∞6 = 0 ∞ = l→im = l→im 62 + 1 = 0
Aplicando el teorema de valor final
Para levantar la indeterminación aplicaremos la ley de L’Hopital
60. Dada la transformada de Laplace determinar el valor final
Aplicando el teorema del valor final
Para levantar la indeterminación aplicaremos la ley de L’Hopital
61. Dada función f(t) encontrar el valor final utilizando la transformada de Laplace
Aplicando el teorema de valor final
62. Dada la transformada de Laplace hallar el valor inicial y el valor final
Aplicando el teorema de valor inicial
Para levantar la indeterminación aplicaremos la ley de L’Hopital
Aplicando el teorema de valor final
63. Dada la transformada de Laplace hallar el valor inicial y el valor final
Aplicando el teorema de valor inicial
Para levantar la indeterminación aplicaremos la ley de L’Hopital
Aplicando el teorema de valor final
64. Hallar la corriente i(t) para t≥0 del circuito de la figura por transformada de Laplace, donde i(0)=1A
= + ==( 0 ) + 0 + += 0 = + + 0 2 121 + 1 +=4 2 + 12 = 12 ++21 = 2+2 2 = ++42 = +4+ 2 ℒ− = ℒ− ++42 ++42 = + + 2 ++42 = +2++ 2 =+04→=4=2+ 2+→ =2 = 2 → 2 = 2 → = 1 ++42 = 21 1 +1 2 ℒ− = ℒ− +=+422 =−ℒ−;[2] 1 1 +1 2 ∞0 == ll→iimm == l→liimm22−− ==12
Aplicando la Ley de Kirchhoff de Voltaje en el circuito
Aplicando las transformadas de Laplace
A la transformada de Laplace de la corriente transformaremos del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo
A la transformada como no se encuentra en tablas directamente aplicaremos las fracciones parciales
Teniendo los valores de A y B tenemos
Aplicando las antitransformadas de Laplace tenemos
Aplicando los teoremas de valor final y valor inicial
→
Graficando la respuesta del circuito
→
65. Determinar i(t) y v(t) del circuito de la figura aplicando transformada de Laplace donde v(0)=10V, i(0)=0A
+ + = → + 1+ 3 = 15 = = 2 20 = + + 30 = 15 2+ 3 + = =10 15 Δ = 2+ 3 1 = + 3 + 2 1510 1 15 10 5 = Δ = + 3 + 2 = + 3 + 2 5 +=35+2 + =2+ +1 ++1+2 5 ==21→→5==55 5 + 3 +2 = + 1 +2 ℒ− = ℒ− + 3=5 5+ −2 =55ℒ−−;[+1] 1 5ℒ− +1 2
Aplicando la Ley de Kirchhoff de Voltajes
Aplicando transformadas de Laplace a las ecuaciones planteadas
Ordenando las ecuaciones tenemos
Aplicando la Regla de Cramer tenemos
Dada la determinante principal calcularemos la transformada de Laplace de la corriente
Aplicaremos fracciones parciales a la respuesta encontrada
Aplicando antitransformadas de Laplace
Graficando la respuesta del circuito
