Cónicas y Cuádricas

6

CÓNICAS Y CUÁDRICAS

Índice 6 Cónicas y cuádricas................................................. cuádricas........................................................................ .............................................. ...............................................1 ........................1 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

6.1

Introducción.......................................................................................................................................................1 Secciones de una superficie cónica....................................................................................................................1 Definición de las cónicas cónicas como como lugar geométrico. ........................................................ .................................... 2 Reducción a forma canónica..............................................................................................................................5 Clasificación de las cónicas. .................................................................... .......................................................... 6 Cuádricas. ............................................................... .................................................................... ....................... 9 Reducción a forma canónica..............................................................................................................................9 Clasificación de las cuádricas..........................................................................................................................10 Cuádricas regladas...........................................................................................................................................16

Introducción

El objetivo de este Capítulo es describir geométrica y analíticamente las curvas de segundo grado en R 2 y las superficies también de grado dos en R 3 . Estas curvas y superficies se denominan respectivamente cónicas y cuádricas, y muchas de ellas se utilizan frecuentemente en Ingeniería. La forma de trabajar con ellas constituye una aplicación directa de los Temas 4 y 5 de Álgebra II. 6.2

Secciones de una superficie cónica.

Una posible forma de introducir las cónicas (que justifica su nombre) es estudiar las posibles curvas que resultan de la intersección de un plano y un cono de revolución, según la inclinación del plano y la posición de su intersección con el eje del cono.

Figura 1. Plano perpendicular al eje del cono.

Figura 2. Caso ϕ < α .

Sea ϕ ≤ 90º el ángulo formado por el plano y el eje de revolución y sea α el semiángulo del cono. Pueden darse los siguientes casos: 1. ϕ = π 2 : Plano perpendicular al eje del cono y que no pasa por su vértice. Lla sección es una circunferencia. Si pasa por el vértice la sección se reduce a dicho vértice (ver Figura 1). 2. ϕ > α : Plano que no pasa por el vértice y que forma con el eje un ángulo mayor que el semiángulo cónico. La intersección es una elipse (Figura 2). Si el plano pasa por el vértice la intersección se reduce al vértice. 3. ϕ = α : Plano paralelo a una cualquiera de las generatrices y que no pasa por el vértice. La intersección es una parábola (Figura 3). Si pasa por el vértice la intersección es una recta.

Tema 6: Cónicas y cuádricas

página 2

4. ϕ < α : Plano que no pasa por el vértice y que forma con el eje un ángulo menor que el semiángulo del cono. La intersección es una hipérbola. Si el plano pasa por el vértice la intersección son dos rectas que se cortan en el vértice. 5. Se llama “casos degenerados” a aquellos en los que la intersección se reduce a un punto, a una recta doble o a un par de rectas.

Figura 3. Plano paralelo a una generatriz

6.3

Figura 4. Plano paralelo al eje.

Definición de las cónicas como lugar geométrico.

La definición más habitual de las cónicas es la basada en verlas como el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen una determinada condición. A

B B

A

F 2

F 1

Figura 5. Elipse.

F 2

A

O

F 1

Figura 6. Hipérbola.

F

Figura 7. Parábola.

Así, según la Figura 5, una elipse es el lugar geométrico de los puntos A del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos y distintos llamados focos (F 1 y F 2), es constante:  

 

AF1 + AF2 = 2a

(1)

De forma análoga una hipérbola (Figura 6) es el lugar geométrico de los puntos A del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos (F 1 y F 2), es constante en valor absoluto:  

 

AF1 − AF2 = ±2a

(2)

Las rectas que pasan por O y son tangentes a la hipérbola en el punto del infinito son las asíntotas. Una parábola es el lugar geométrico de los puntos A del plano cuya distancia a una recta llamada directriz y a un punto llamado foco son iguales:


página 3 



AB = AF

(3)

La elipse y la parábola no tienen asíntotas. a

A( x,y x,y)

a

F 2(-c,0)

b

F 1(c,0) c

Figura 8. Parámetros de la elipse.

6.3.1 Ecuaciones de la elipse Las ecuaciones cartesianas de la elipse se pueden hallar imponiendo la condición (1):  

 

AF1 + AF2 = 2a

(4)

Expresando las distancias en función de las coordenadas cartesianas: 2 2 ( x + c ) + y 2 + ( x − c ) + y 2 = 2a

(5)

2 2 ( x + c ) + y 2 = 2a − ( x − c ) + y 2

(6)

y de aquí:

Elevando al cuadrado y simplificando: 2 2 2 ( x + c ) + y 2 = 4a 2 + ( x − c ) + y 2 − 4a ( x − c ) + y 2

a

(7)

2 ( x − c ) + y 2 = a 2 − cx

(8)

Elevando de nuevo al cuadrado y operando se llega finalmente a: x

2

a

2

+

y

2

b

2

( a 2 = b2 + c2 )

=1

(9)

Se comprueba fácilmente que las ecuaciones paramétricas de la elipse son: x = a cos θ ⎫

⎬ , 0 ≤ θ < 2π

y = b sen θ ⎭

⇒ b x + a y = a b ( cos θ + sen θ ) 2 2

2 2

2 2

2

2

⇒

x 2 a2

+

y2 b2

=1

(10)

Es fácil demostrar que todo punto ( x, y ) de la elipse (9) se puede expresar en la forma indicada.


página 4

A(x,y) c

b

F 2(-c,0)

F 1(c,0) a c

Figura 9. Parámetros de la hipérbola.

6.3.2 Ecuaciones de la hipérbola. Ecuaciones cartesianas de la hipérbola se pueden obtener a partir de la condición (2):  

 

AF1 − AF2 = ±2a

(11)

Expresando las distancias en función de las coordenadas cartesianas se obtiene: 2 2 ( x + c ) + y 2 − ( x − c ) + y 2 = ±2a

(12)

Con pasos similares a los de la elipse se llega finalmente a: x

2

a

2

−

y

2

b

2

( a 2 + b2 = c2 )

=1

(13)

Las ecuaciones paramétricas de la hipérbola son las siguientes: x = ± a ch θ ⎫

⎬ , θ ∈ R

y = b sh θ ⎭

⇔

x 2 a2

−

y2 b2

=1

Las rectas que pasan por O y por los puntos ( a, b ) y ( a, −b ) son las asíntotas de la hipérbola.

B( –p/2 –p/2, y y)

A( x x, y y)

F ( p/2 p/2,0) p

p

2

2

Figura 10. Parámetros de la parábola.

(14)


página 5

6.3.3 Ecuaciones de la parábola Las ecuaciones cartesianas de la parábola se obtienen a partir de la condición (3): 



AB = AF

(15)

Desarrollando esta expresión a partir de las coordenadas cartesianas de los distintos puntos: 2

2

p⎞ ⎛ x + = ⎜ x − ⎟ + y2 2 2⎠ ⎝ p

⇒

2

p⎞ p⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎜x + ⎟ =⎜x − ⎟ + y 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

(16)

Simplificando se llega finalmente a: 2

y = 2 px

(17)

Las ecuaciones paramétricas de la parábola son:

1 2 p tan θ , y = p tan θ , 2

x=

6.4

0 ≤θ <π

(18)

Reducción a forma canónica.

Las expresiones (9), (13) y (17) constituyen la forma canónica de la elipse, hipérbola y parábola, respectivamente. En la práctica, si los ejes de coordenadas no están en las posiciones vistas previamente, las ecuaciones de las cónicas tienen un aspecto muy diferente y puede resultar difícil a primera vista saber a qué tipo de cónica corresponde una determinada ecuación. En este apartado se verá cómo, dada la ecuación de la cónica en una forma general, se puede pasar a forma canónica mediante una rotación de los ejes seguida de una traslación del origen de coordenadas.

6.4.1 Concepto de curva algebraica Se denominan curvas algebraicas a las curvas del plano que vienen determinadas por polinomios de dos variables ( x e y) igualados a cero. En el caso de grado 2, la expresión desarrollada general será: 2

2

a11 x + 2a12 xy + a 22 y + 2a1 x + 2a2 y + a = 0

(19)

Esta expresión se puede poner también en la forma siguiente, que hace aparecer la matriz simétrica correspondiente a la parte cuadrática de la curva:

[x

⎡ a11

y] ⎢

⎣ a21

a12 ⎤ ⎡ x ⎤

⎡x⎤ 2 + a a [ ] 1 2 ⎢ ⎥+a =0 ⎥⎢ ⎥ a22 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣y⎦

(20)

Todavía existe una forma más compacta de expresar la curva algebraica, añadiendo un “1” al vector de coordenadas e introduciendo una matriz de coeficientes ampliada:

[x

⎡ a11 a12 a 1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ y 1] a21 a22 a2 y = 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ a1 a2 a ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦

(21)

Sea el espacio euclídeo R 2 con la base ortonormal ( e1 , e 2 ) respecto al producto escalar usual. Se consideran los puntos ( x, y ) ∈ R 2 que verifican la ecuación (19). La sub-expresión a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 en (20) es una forma cuadrática de matriz A, simétrica, cuyos valores propios reales se denotarán como λ 1 y λ 2 . Como se sabe, existe una matriz Q ortogonal que diagonaliza unitariamente por semejanza a la matriz A, en la forma:


página 6

⎡ a11

a12 ⎤

⎣ a12

a22 ⎦

A=⎢

⎡λ 1

QT AQ = ⎢

⎥,

⎣0

0⎤

( Q Q = QQ T

⎥ λ 2 ⎦

T

= I)

(22)

Es importante recordar que las transformaciones de semejanza unitaria no deforman las figuras geométricas, mientras que las de congruencia sí lo hacen. Para conservar la orientación del espacio euclídeo R 2 , la transformación Q debe ser una rotación, es decir, debe responder a la expresión: ⎡cos ϕ −senϕ ⎤ ⎥ ⎣ senϕ cos ϕ ⎦

Q=⎢

(23)

Realizando en la ecuación (19) el cambio de variables siguiente se obtiene: ⎡ x ⎤ ⎡u ⎤ Q = ⎢ y ⎥ ⎢v ⎥ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

λ1u 2 + λ 2 v 2 + 2b1u + 2b2v + b = 0

(24)

Llamando δ al determinante de esta matriz, se cumple: ⎡ a11

a12 ⎤

⎣ a12

a22 ⎦

δ = det ⎢

⎥ = λ1λ 2

(25)

Si los dos valores propios son no nulos, la ecuación (24) se puede transformar en: 2

2

⎛ ⎛ b ⎞ b ⎞ λ1 ⎜ u + 1 ⎟ + λ 2 ⎜ v + 2 ⎟ + c = 0, λ1 ⎠ λ2 ⎠ ⎝ ⎝

c ≡ b−

b12

λ1

−

b22

λ2

(26)

y mediante un nuevo cambio de variables que define la traslación s =u+

b1

λ1

,

t =v+

b2

λ 2

(27)

se llega finalmente a la expresión: 2 2 λ1s + λ 2t + c = 0

(28)

Esta expresión no es todavía la forma canónica, pero está muy próxima. Para seguir adelante es conveniente distinguir entre los diferentes casos que se pueden presentar según los valores numéricos de los parámetros de la ec. (28). 6.5

Clasificación de las cónicas.

La cuestión ahora es si toda curva algebraica de segundo grado, es decir, de la forma de la ecuación (19) o de la forma transformada (28), con coeficientes reales, define una cónica. Se considerarán distintos casos a estudiar en función del valor de los coeficientes de la ec. (28): Caso I. δ = λ1λ 2 ≠ 0 Caso I.a): λ1λ2 > 0 (δ > 0 ) Caso I.a.1): c ≠ 0 ; si λ 1 y c tienen signos opuestos; la cónica es una elipse. s

2

⎛ c ⎞ ⎜ − ⎟ λ1 ⎠ ⎝

2

+

2

t

⎛ c ⎞ ⎜ − ⎟ λ 2 ⎠ ⎝

2

=1

(29)


página 7

Caso I.a.2): c = 0 ; la curva se reduce a un punto situado en el origen ( dos rectas ima ginarias que se cortan en ese punto): λ1s 2 + λ 2t 2 = 0

⇒

s = t = 0,

s = ±t

λ 2 λ 1

i

(30)

Caso I.a.3): c ≠ 0 ; si c y λ 1 tienen el mismo signo se trata de una elipse imaginaria pues en R 2 no existen puntos ( s, t ) que verifiquen esta ecuación: λ1s 2 + λ 2t 2 = − c

(31)

Caso I.b): λ1λ2 < 0 (δ < 0 ) Caso I.b.1): c ≠ 0 ; en este caso la cónica es una hipérbola: λ1s 2 + λ 2t 2 + c = 0

(32)

Caso I.b.2): c = 0 ; se trata de dos rectas que se cortan en un punto. λ1s 2 + λ 2t 2 = 0

⇒

s = ±t −

λ 2 λ 1

(33)

Caso II. δ = λ1λ 2 = 0 Supóngase, sin pérdida de generalidad, que λ2 ≠ 0 ( y λ 1 = 0 ) . Nótese que si λ1 = λ 2 = 0 , la ecuación (19) no sería una cónica, pues no sería una curva de grado dos, sino: 2a1 x + 2a2 y + a = 0

(34)

No se puede utilizar la ec. (28) (28) sino la ec. (24), que en este caso se reduce a: λ 2v 2 + 2b1u + 2b2 v + b = 0

(35)

Caso II.a): b1 ≠ 0 ; reordenando se tiene que: 2

2

⎛ ⎛ ⎛ b2 ⎞ b2 2 b2 ⎞ b22 ⎞ b λ2 ⎜ v + ⎟ + 2b1u + b − = λ 2 ⎜ v + ⎟ + 2b1 ⎜ u + − =0 2b1 2b1λ2 ⎟⎠ λ2 ⎠ λ2 λ2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝

(36)

Efectuando la traslación: s=u+

b

−

b22

2b1 2b1λ2

,

t =v+

b2

(37)

λ 2

se obtiene la ecuación de una parábola: λ 2t 2 + 2b1s = 0

(38)

Caso II.b): b1 = 0 ; se tiene: 2

⎛ b2 ⎞ b22 λ2 ⎜ v + ⎟ + b − = 0, λ λ ⎝ 2 ⎠ 2

⎛ b2 ⎞ ; = = + s u t v ⎜ ⎟ λ 2 ⎠ ⎝

⇒ λ 2t 2 + c = 0

(39)

Caso II.b.1): cλ 2 < 0 ; se obtienen dos rectas paralelas : t = ∓

−c λ 2

(40)


página 8

Caso II.b.2): c = 0 ; se obtiene una recta doble : t = 0

(41)

Caso II.b.1): cλ 2 > 0 ; se obtienen dos rectas paralelas imaginarias : t = ±i

c

(42)

λ 2

6.5.1 Invariantes de una cónica Las ecuaciones (19)-(21) de las cónicas mantienen algunos invariantes en las transformaciones que no afectan a su geometría, como son las traslaciones y las rotaciones (en general con las transformaciones ortogonales). Es importante estudiar estos invariantes porque permiten clasificar las cónicas sin tener que transformarlas a forma reducida. Traslación: Si se aplica una traslación ( x = u + a , y = v + b ) a la curva de la expresión (20) la matriz

de la parte cuadrática se transforma como sigue: ([u

v] + [a

⎡ a11

b] ) ⎢

⎣ a12

a12 ⎤ ⎛ ⎡u ⎤

⎛ ⎡u ⎤ ⎡ a ⎤ ⎞ ⎡a ⎤ ⎞ a a + + 2 [ ] ⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎟+a = 0 1 2 ⎥ a22 ⎦ ⎝ ⎢⎣ v ⎥⎦ ⎢⎣ b ⎥⎦ ⎠ ⎝ ⎣ v ⎦ ⎣b ⎦ ⎠

(43)

Separando los términos cuadráticos, lineales y constantes en las nuevas coordenadas: [u

⎡ a11

v] ⎢

⎣ a12

a12 ⎤ ⎡u ⎤ ⎛

⎞ ⎡u ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ a ⎤ ⎡a⎤ + + + + + 2 2 2 a b a a a b a a a [ ] [ ] [ ] [ ] ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=0 1 2 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢b ⎥ a22 ⎦ ⎢⎣ v ⎥⎦ ⎝ ⎣ ⎦ ⎣ a12 a22 ⎦ ⎣ a12 a22 ⎦ ⎣ b ⎦ ⎠ ⎣v ⎦ ⎝ ⎠

(44)

Puede verse que la traslación no afecta a los términos cuadráticos: sí a los lineales y constante. Por tanto, la traslación conservará la traza ( s = a11 + a22 = λ1 + λ 2 ) y el determinante ( δ = λ1λ 2 ) de la matriz de la forma cuadrática. Se puede demostrar que conserva también el determinante Δ de la matriz ampliada de la expresión (21), porque la traslación modifica la tercera fila y la tercera columna con combinaciones lineales de las filas y columnas 1 y 2, respectivamente. Rotación: La rota rotaci ción ón se pued puedee expr expres esar ar matr matric icia ialm lmen ente te en la form formaa ( c ≡

⎡ x ⎤ ⎡ c − s ⎤ ⎡u ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢s c ⎥ ⎢ v ⎥ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

[u

cos cosϕ , s ≡ sen senϕ ):

⎡ c s ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡c − s ⎤ ⎡u ⎤ ⎡c − s ⎤ ⎡u ⎤ + 2 [ a1 a2 ] ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢v ⎥ + a = 0 a a − v s c s c s c ⎣ ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

v] ⎢

(45)

Puede verse que la rotación no afecta tampoco a la traza y al determinante de la matriz de la forma cuadrática, porque es una transformación ortogonal. Si se aplica a la matriz ampliada de (21), la rotación se puede expresar como: ⎡ x ⎤ ⎡ c − s 0⎤ ⎡u ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢ s c 0⎥ ⎢ v ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦

⎡ c s 0 ⎤ ⎡ a11 a12 [u v 1] ⎢⎢− s c 0 ⎥⎥ ⎢⎢a21 a22 ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ a1 a2

− s 0 ⎤ ⎡u ⎤ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ a2 s c 0 v = 0 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ a ⎦ ⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ a1 ⎤ ⎡ c

(46)

pero esta transformación también es ortogonal, por lo que conservará también el determinante Δ de la matriz ampliada A 3 . Así pues, las magnitudes s, δ y Δ permanecen invariantes ante cualquier traslación y transformación ortogonal. El caso indeterminado ( Δ = δ = 0 ) se puede estudiar sabiendo que A mantiene invariantes el rango y la signatura de A 3 en cualquier transformación de coordenadas.


página 9

La Tabla 1 muestra los distintos casos que se pueden presentar en función del valor de los invariantes. Esta Tabla se puede utilizar a partir de la forma original de la curva algebraica, sin necesidad de realizar ningún cambio de coordenadas: lo único que hace falta es calcular los invariantes. Tabla 1. Clasificación de las curvas algebraicas en función de los invariantes.

Δ<0óΔ>0

δ > 0

Curva de tipo elíptico

sΔ < 0

Elipse

sΔ > 0

Elipse imaginaria

Punto (dos rectas imaginarias que se cortan)

Δ=0

Hipérbola

δ < 0

Curva de tipo hi erbólico δ = 0 Curva de tipo parabólico

Δ=0

Dos rectas que se cortan en un punto

Δ<0óΔ>0

Parábola signatura A3 = 0

Dos Dos rect rectas as aral aralel elas as dist distiintas ntas signatura A3 = ±1 Una recta doble

Δ=0

signatura A3 = ±2

Dos rectas paralelas imaginarias

6.6 Cuádricas.

Una cuádrica es el conjunto de soluciones de un polinomio algebraico de segundo grado en las variables ( x, y, z ) , que ordinariamente representa una superficie en el espacio euclídeo 3-D. La expresión general de una cuádrica es: 2

2

2

a11 x + a22 y + a33 z + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a1 x + 2a2 y + 2a3 z + a = 0

(47)

Esta expresión se puede escribir matricialmente en las formas siguientes:

[x

[x

6.7

y

⎡ a11 a12 ⎢ y z ] a12 a22 ⎢ ⎢⎣ a13 a23 ⎡ a11 ⎢a 12 z 1] ⎢ ⎢ a13 ⎢ ⎣ a1

a13 ⎤ ⎡ x ⎤

⎥ ⎢y⎥ + 2 a a ⎥⎢ ⎥ [ 1 2 a33 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦

a23

a12

a13

a22

a23

a23

a33

a2

a3

a1 ⎤ ⎡ x ⎤

⎥ a2 ⎢ y ⎥

⎥ ⎢ ⎥ = 0, a3 ⎥ ⎢ z ⎥ ⎥⎢ ⎥ a ⎦ ⎣1 ⎦

⎡x⎤ ⎢ ⎥ a3 ] y + a = 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎡ a11 a12 A 3 ≡ ⎢⎢a12 a22 ⎢⎣ a13 a23

(48)

a13 ⎤

⎥ ⎥ a33 ⎥⎦

a23

(49)

Reducción a forma canónica.

La parte cuadrática de la expresión (48) puede diagonalizarse mediante una transformación ortogonal (que puede ser una rotación), obteniéndose: λ1u 2 + λ2 v 2 + λ 3 w2 + 2b1u + 2b2 v + 2b3 w + b = 0

Si los tres valores propios son distintos de cero, la expresión (50) puede escribirse en la forma:

(50)


página 10

2

2

2

⎛ ⎛ ⎛ b ⎞ b ⎞ b ⎞ λ1 ⎜ u + 1 ⎟ + λ2 ⎜ v + 2 ⎟ + λ 3 ⎜ w + 3 ⎟ + d = 0 λ1 ⎠ λ2 ⎠ λ 3 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝

que con una traslación r = u +

b1

λ1

, s =v+

b2

λ2

, t =w+

b3

λ 3

(51)

se puede reducir finalmente a:

λ1r 2 + λ2 s 2 + λ 3t 2 + d = 0

(52)

Esta expresión permite estudiar más fácilmente los distintos casos que se presentan a continuación, de un modo más abreviado que en el caso de las cónicas. 6.8

Clasificación de las cuádricas

Caso I: λ1λ2λ 3 ≠ 0 Caso I.a):

d ≠ 0

(se puede suponer

d < 0 )

Caso I.a.1): λ1 > 0, λ2 > 0, λ 3 > 0 x2

+

a2

y2 b2

+

z2 c2

=1

Elipsoide, ver Figura 11) ( Elipsoide

(53)

Caso I.a.2): λ1 > 0, λ2 > 0, λ 3 < 0 x

2

a2

+

y

2

b2

−

z

2

c2

=1

( Hiperboloide Hiperboloide de una hoja , ver Figura 12)

(54)

Caso I.a.3): λ1 < 0, λ2 > 0, λ 3 < 0 −

x

2

a2

+

y

2

b2

−

z

2

c2

=1

( Hiperboloide Hiperboloide de dos hojas , ver Figura 13)

(55)

Caso I.a.4): λ1 < 0, λ2 < 0, λ 3 < 0 −

x2 a2

−

y2 b2

−

z2 c2

=1

( Elipsoide Elipsoide imaginario )

(56)


página 11

Figura 11. Elipsoide.

Figura 12. Hiperboloide de una hoja.

Caso I.b): d = 0 Caso I.b.1): λ1 , λ2 , λ 3 mism mismoo signo signo x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

=0

Punto / cono cono imaginario ) ( Punto

(57)

Caso I.b.2): λ1 , λ2 , λ 3 distinto distinto signo signo x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

=0

(Cono elíptico, ver Figura 14)

Figura 13. Hiperboloide de dos hojas.

(58)

Figura 14. Cono elíptico.

Caso II: λ1 ≠ 0, λ2 ≠ 0, λ 3 = 0 La expresión de la cuádrica es: λ1r 2 + λ 2 s 2 + 2b3t + d = 0

(59)


página 12

Caso II.a): b3 = 0 λ1r 2 + λ 2 s 2 + d = 0

(60)

Caso II.a.1): d ≠ 0, λ1λ 2 > 0 x 2 a2

y2

+

b2

=1

(Cilindro elíptico, ver Figura 15)

(61)

Caso II.a.2): d ≠ 0, λ1λ 2 < 0 x

2

a2

−

y

2

b2

=1

(Cilindro hiperbólico, ver Figura 16)

(62)

Caso II.a.3): d = 0, λ1λ 2 > 0 x 2 a2

+

y2 b2

=0

( Recta Recta –eje z– y dos planos imaginarios , ver Figura 17)

(63)

Caso II.a.4): d = 0, λ1λ 2 < 0 x 2 a2

−

y2 b2

=0

Figura 15. Cilindro elíptico.

( Dos Dos planos que se cortan , ver Figura 18)

Figura 16. Cilindro hiperbólico.

(64)


página 13

Figura 17. Recta.

Figura 18. Dos planos que se cortan.

Caso II.b): b3 ≠ 0 Caso II.b.1): λ1λ 2 > 0 x 2 a2

+

y2 b2

= z

Paraboloide elíptico , ver Figura 19) ( Paraboloide

(65)

Caso II.b.2): λ1λ 2 < 0 x 2 a2

−

y2 b2

= z ( Paraboloide Paraboloide hiperbólico , ver Figura 20)

Figura 19. Paraboloide elíptico.

(66)

Figura 20. Paraboloide hiperbólico.

Caso III: λ1 ≠ 0, λ2 = λ 3 = 0 La ecuación en este caso tiene la forma: λ 1r 2 + 2b2 s + 2b3t + d = 0

(67)


página 14

Caso III.a): b2 = b3 = 0 λ 1r 2 + d = 0

(68)

Caso III.a.1): λ 1d < 0 r = ± −

Caso III.a.2):

d

Dos planos paralelos ) ( Dos

λ 1

(69)

d = 0

r = 0

( Plano Plano doble )

(70)

Caso III.a.3): λ 1d > 0 r = ±i

d

Dos planos imaginarios paralelos ) ( Dos

λ 1

(71)

Caso III.b): b2 ≠ 0 ó b3 ≠ 0 λ 1 p 2 + 2 b22 + b32 q + d = 0

(72)

y mediante una traslación: λ 1 x 2 + 2 b22 + b32 y = 0

(Cilindro parabólico, ver Figura 21)

(73)

Figura 21. Cilindro parabólico.

6.8.1 Invariantes de una cuádrica Considerando Considerand o las expresiones (48) y (49), las transformaciones ortogonales afectan exclusivamente a la submatriz principal A 3 , cuyos invariantes serán la traza, la suma de los menores principales de orden dos y el determinante: s1 = a11 + a22 + a33 ,

s2 =

a11

a12

a12

a22

+

a11

a13

a13

a33

+

a22

a23

a23

a33

,

a11

a12

a13

δ = a12

a22

a23

a13

a23

a33

(74)

Las traslaciones no afectan a la submatriz A 3 , luego también conservan los invariantes s1 , s1 y δ . El cuarto invariante de las cuádricas respecto a rotaciones y traslaciones es el determinante de la matriz ampliada A, que se denotará también como Δ:


página 15

Δ=

a11

a12

a13

a1

a12

a22

a23

a2

a13

a23

a33

a3

a1

a2

a3

a

(75)

Las transformaciones ortogonales no afectan a este determinante. Las translaciones afectan a la 4ª fila y a la 4ª columna sumándoles respectivamente combinaciones lineales de las tres primeras filas o columnas, y por tanto tampoco afectan a este determinante Δ.

Otros invariantes : Cuando Δ = δ = 0 existe un nuevo invariante

s3

que es (sin demostración):

a22

a 23

a2

a11

a13

a1

a11

a12

a1

s3 = a23

a22

a3 + a13

a33

a3 + a12

a22

a2

a2

a3

a

a3

a

a2

a

a1

a1

El rango y la signatura de A son invariantes por transformaciones ortogonales y traslaciones. La Tabla 2 presenta un resumen de casos en función de los distintos invariantes.

(76)


página 16

Tabla 2. Clasificación de las cuádricas en función de los invariantes. λ1 , λ2 , λ 3

Δ<0

signos iguales

δ ≠ 0 λ1 , λ2 , λ 3

signos distintos

s2 > 0

δ = 0

Δ≠ 0 Δ>0

λ1 , λ2 , λ 3

signos distintos

λ1 , λ2 , λ 3

signos iguales

δ ≠ 0

s2 < 0

δ = 0

λ1 , λ2 , λ 3

δ ≠ 0

λ1 , λ2 , λ 3

signos iguales signos distintos s2 < 0

s3 ≠ 0

signat A = ±1 s2 > 0

s2 ≠ 0

signat A = ±3

Δ=0 s2 < 0

δ = 0

s3 = 0 s2 > 0 s3 ≠ 0 s2 = 0

signat A = 0 s3 = 0

signat A = ±2 signat A = ±1

6.9

Elipsoide

x2 a2

+

y2

+

b2

z2

=1

c2

2 2 2 x y z Hiperboloide de − 2 + 2 − 2 =1 dos hojas a b c Paraboloide elípti- x 2 y 2 + = z co a 2 b2 x2 y2 z 2 Hiperboloide de + − =1 una hoja a 2 b2 c2 Elipsoide imagina- x 2 y 2 z 2 + + = −1 rio a 2 b2 c2 Paraboloide hiper- x 2 y 2 − = z bólico a 2 b2 Punto (cono ima- x 2 y 2 z 2 + + =0 ginario) a 2 b2 c2

Cono elíptico Cilindro hiperbóliico Cilindro elíptico real Cilindro elíptico imag. Dos planos que se cortan Recta Cilindro parabólico Dos planos paralelos Dos planos paralelos imag. Plano doble

x2 a2

+

y2

−

b2

x 2 a2 x 2 a2 x 2

− + +

a2 x 2 a2 x 2 a2

− +

z2

=0

c2

y2 b2 y2 b2 y2

b2 y2 b2 y2 b2

=1 =1 = −1 =0 =0

x 2 = 2 py x 2 = a 2 2

x = − a

2

x 2 = 0

Cuádricas regladas.

Se dice que una cuádrica es reglada cuando por cada uno de sus puntos pasa al menos una recta que está totalmente contenida en la superficie de la cuádrica. Son cuádricas regladas las siguientes: el hiperboloide de una hoja, el paraboloide hiperbólico, los cilindros, los conos, los planos, las rectas.

Cónicas y Cuádricas

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