Unidad
6
Geometría analítica Contenido de la unidad 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
Recta Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola
Introducción a la unidad Es impresionante ver brincar a los jugadores profesionales de basquetbol. A veces parecen flotar en el aire. En la realidad, su cuerpo sigue una trayectoria parabólica. Todo objeto que sea lanzado, si la resistencia del aire es desdespreciable, sigue ese tipo de trayectoria. trayectoria. Las parábolas aparecen aparecen además en muchas otras situaciones de la vida diaria, como en las antenas que reciben la señal de televisión televisión por satélite en tu casa y también en los faros de tu automóvil. La parábola es una de las curvas curvas cónicas. Tales Tales curvas son la circunferencia, circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. Se llaman cónicas porque se obtienen al cortar un cono en diferentes posiciones. Es muy importante estudiarlas, ya que aparecen aparecen continuamente en las aplicaciones tecnológicas, en campos tan diversos como los negocios, negocios, el deporte, la visión de robots y la astronomía. Fue en el siglo XVII cuando René René Descartes, un filósofo y científico científico francés, descubrió como se se relacionan estas curvas con las ecuaciones algebraicas. Es decir, Descartes descubrió la geometría analítica que vas vas a estudiar en esta unidad y que, además, describe con precisión los saltos de tu jugador favorito de basquetbol.
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Unidad 6: Geometría analítica
6.1 Recta
Las matemáticas son el lenguaje con el cual Dios escribió el Universo Galileo Galilei
Introducci Introduc ci
5 6
4 3
4
2 1 −2
0
2 2
−1
x
4
6
−2 −3
−2
0
2
4
6
x
−2
En la práctica, existen situaciones situaciones en las cuales la relación relación entre dos variables establecen establecen un cambio constante. constante. Unas veces, cuando una variable variable aumenta, la otra también también lo hace proporcional proporcionalmente. mente. Otras Otras veces, veces, cuando una variable variab le aumenta, la otra disminuye siempre en la misma proporción. A este tipo de dependencia entre dos variables se conoce como relación lineal; y se representa en matemáticas a través de ecuaciones lineales en dos variables, cuya característica principal es que su gráfica en el plano cartesiano es una línea recta. Te presentamos dos ejemplos para aclarar este tipo de relaciones:
Primera situación El señor Gómez L. tiene una rutina de ejercicio. Cada tercer día se dirige en auto a la pista que está a dos kilómetros de su casa y camina durante una hora en línea recta a una velocidad constante de 50 metros por minuto.
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6.1 Recta
Observa cómo en este caso, a medida que aumenta la variable variable t , la dista distanci nciaa d también aumenta siempre en la misma proporción.
Segunda situación La empresa empresa “Patito, “Patito, S. A de C. V.”, produc producee dos artículos artículos “chunche “chunche tipo A” A” y “chunche tipo B”. Cada artículo A requiere de 3 horas de mano de obra para su elaboración, mientras que cada artículo B necesita de 2 horas de mano de obra para fabricarse. Esta semana la empresa dispone de 60 horas para fabricar estos productos. Nota como como en este caso, caso, entre más más artículos artículos de un tipo se produzcan produzcan,, meno menoss del otro tipo tipo se pueden hacer, hacer, esto es, entre más más aumente aumente una variable variable,, la otra disminuye.
3 2
−
2
−
x
−2 −3
Objetivos Al terminar la sección, deberás ser capaz de: • Identificar y determinar la ecuación de una línea recta. • Graficar e interpretar cada parte de una ecuación lineal. • Utilizar ecuaciones lineales para resolver resolver problemas prácticos.
Líneas re Líneas recta ctas: s: ecu ecuaci ación, ón, grá gráfica fica,, pen pendie diente nte,, inte interse rsecci ccione ones s con los ejes Las relaciones lineales son las más simples que se pueden dar entre dos variables; se encuentran prácticamente en cualquier rama del saber humano. Su principal característica es que su gráfica gráfica es una línea recta y, y, recíprocamente, la ecuación correspondiente correspondiente a una línea recta es una relación lineal.
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Unidad 6: Geometría analítica
Una
ecuación lineal
en dos variables es una ecuación de la forma:: A x + + B y = C
con A, B y C constant constantes, es, y A y B no ambas ambas 0.
Consideremos, por ejemplo, la relación que que encontraremos en la segunda segunda situación de la introducció introd ucción: n: 2 x + lineal entre el número de chunches + 3 y = 60, que representa la relación lineal tipos A y B que se pueden producir. Si se tiene un pedido pedido de 15 chunches tipo A, entonces x = = 15; al sustituir en la ecuación (2), obtene obtenemos mos 2(15) + 3 y = 60 es decir, 30 + 3 y = 60 de aquí podemos despejar el valor para y, que en este este caso caso es de de y = 10. En otras palabras, cuand cuando o se producen 15 chunches chunches tipo A, A, se pueden producir producir 10 chunches chunches tipo B. Brevemente decimos que la pareja ordenada (15, 10) es una solución de la ecuación lineal 2 x + (15, 10) satisfac satisfacee esta ecuaci ecuación. ón. + 3 y = 60, o que (15, Podemos obtener otras soluciones si damos valores a una variable y despejamos despejamos de la ecuación el valor correspondiente correspondiente para la otra variable. De esta forma, si y = 12 12,, en en-tonces al sustituir en la ecuación lineal tenemos: 2 x + + 3(12) = 60 2 x + + 36 = 60 2 x = = 24 Así, x = = 12, lo que significa que cuando se producen 12 chunches tipo B se pueden producir 12 chunches tipo A. De este modo, modo, (12, 12) es otra solución solución de de la ecuación ecuación lineal lineal (2). Si, por un momento, momento, no tomamos tomamos en cuenta que que en este problema problema las variable variabless x y y solamente pueden tomar valores valores enteros positivos positivos o 0, es posible tabular las soluciones para construir la gráfica de la relación lineal lineal que, como mencionamos, siempre es una línea recta: x
y
5
50/3
15
10
20
20/3
36
−4
…
…
Si graficas todas las soluciones de la ecuación, incluyendo números fraccionarios y negativos, tiv os, obtien obtienes es la gráfica gráfica de la relación. relación. Por ejemplo, para la ecuación ecuación (2), su gráfica gráfica es,
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6.1 Recta
25 2 15 y
1
−1
1
2
3
4
x
−
Existen dos soluciones importantes: si producimos solamente chunches tipo A, entonces y = 0 y la solución es (30, 0), pero si producimos chunches tipo B, x = 0, la solución es (0, 20). Estas soluciones son importantes porque en la gráfica representan las intersecciones de la recta con el eje x . En general, para determinar la intersección de una línea recta con el eje x , basta sustituir y = 0 en la ecuación y resolver para x . Análogamente, para determinar la intersección de una línea recta con el eje y, basta sustituir x = 0 en la ecuación y resolver para y. En las ecuaciones lineales Ax + By = C, a veces es conveniente despejar la variable y, y = −
A B
x +
C B
Esta última expresión se conoce como la forma punto pendiente de la ecuación lineal, que es costumbre escribirla como: y = mx + b… (3)
con m = −
A
y b=
C
. El coeficiente m se conoce como la pendiente de la recta , en B tanto que b es la ordenada al origen . A la forma Ax + By = C, se le conoce como la for ma general de la recta. B
La pendiente es una ‘medida’ de la inclinación de la recta. Formalmente, la pendiente es la tangente del ángulo positivo que forma la recta con el eje x .
m =
θ
tan θ
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Unidad 6: Geometría analítica
Una propiedad importante de la pendiente es que para determinar este coeficiente m en una recta que no sea vertical, basta tener dos puntos ( x 1, y1) y ( x 2, y2) que estén sobre la recta:
m=
− y1 x 2 − x 1 y2
……(4)
No importa qué puntos utilicemos, la pendiente siempre es igual a la razón de la diferencia de abscisas entre la diferencia de ordenadas, esto es, mide la proporción entre lo que se eleva a lo que se avanza o recorre horizontalmente: elevación m= avance
Ejemplos Ejemplo 1 ¿Cuál es el significado geométrico de una pendiente m = 3/2?
so uc ó Significa que por cada tres unidades de elevación vertical, se recorren dos unidades horizontalmente hacia la derecha o, lo que es equivalente, se recorren dos unidades a la derecha por cada tres hacia arriba. (véase la figura).
3 2
Ejemplo 2 ¿Cuál es el significado geométrico de una pendiente m = −3/2?
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6.1 Recta
so uc ó Una pendiente m = −3/2 significa que por cada tres unidades recorridas hacia arriba, se recorren dos unidades hacia la izquierda, o que por cada tres unidades que se bajan verticalmente, se recorren dos unidades horizontalmente hacia la derecha.
ó
3
−3
2
−2
Ejemplo 3 Determina el significado geométrico de la pendiente de la ecuación lineal
−10 x + 5 y = 20
solución Primero despejamos y:
−10 x + 5 y = 20 5 y = 20 + 10 x y = 4 + 2 x Vemos de esta forma que la pendiente es m = 2 = 2/1, lo que quiere decir que para cada avance vertical hacia arriba de dos unidades se tiene un avance horizontal hacia la derecha de una unidad
2 1
Observa que debido al significado geométrico de la pendiente, si la pendiente es positiva, la recta se inclina hacia la derecha, mientras que si la pendiente es negativa la recta se inclina hacia la izquierda.
m < 0
m > 0
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Unidad 6: Geometría analítica
¿Qué sucede desde el punto de vista geométrico cuando la pendiente de una recta es 0? La respuesta es simple, si la pendiente es 0, m = 0 = 0/1, por lo que por cada avance horizontal hacia la derecha, no hay avance hacia arriba, es decir, la recta no tiene inclinación, es una recta horizontal.
m = 0
Por cierto, en este caso la forma punto pendiente de la ecuación es y = b. En otras palabras, no aparece la variable x para la ecuación de una línea horizontal. Otro caso importante lo constituyen las líneas rectas verticales. Para éstas, la pendiente no existe y en la ecuación no aparece la variable y. La ecuación es de la forma x = k con k una constante. El coeficiente b que aparece en la forma punto pendiente (3), representa la intersección de la recta con el eje y. Así como para determinar la pendiente de una línea recta bastan dos puntos, también para construir su gráfica es suficiente trazar dos puntos por los que pase la recta para dibujar la misma. De la misma forma, la ecuación de una recta se puede obtener a partir de dos puntos por los que pase la recta:
Si ( x 1, y1) y ( x 2, y2) son puntos de una recta que no es vertical, entonces su ecuación está determinada por: y − y 1 = m( x − x 1)… (5). con m =
− y1 x 2 − x 1 y2
Por cierto, no importa el orden en que consideren los puntos, esto es, también una ecuación de la recta es y − y2 = m( x − x 2). Por ejemplo, para determinar una ecuación de la recta con los puntos (2, 5) y (4, 8).
Ejemplo 4 Determina la forma punto pendiente y la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 5) y (4, 8), luego dibuja la gráfica de la misma.
solución Comenzamos calculando la pendiente: m =
8−5 4−2
=
3 2
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6.1 Recta
Ahora sustituimos en (5) con ( x 1, y1) = (2, 5) (a propósito, es indistinto cuál de los dos puntos se elija, si se elige ( x 1, y1) = (4, 8), ¡el resultado es el mismo!): 3 ( x – 2) 2 3 y – 5 = x – 3 2
y – 5 =
Al despejar, obtenemos la forma punto pendiente, y =
3 x + 2 2
Si multiplicamos por 2 cada lado de esta ecuación y pasamos los términos con variables juntos obtenemos la forma general: 3 x − 2 y = −2 Para la gráfica, como mencionamos, basta con dibujar dos puntos. Podemos utilizar los puntos dados originalmente, (2, 5) y (4, 8). Otra forma consiste en trazar su gráfica a partir de las intersecciones con los ejes coordenados.
12 10 8 6 4 2 −2
0
2
x
4
6
Ejemplo 5 Dada la ecuación lineal 2 x + 3 y = 12, determina la forma punto pendiente, la pendiente, las intersecciones con los ejes coordenados, tres puntos por los que pase la recta y dibuja la misma.
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Unidad 6: Geometría analítica
solución La forma punto pendiente se obtiene despejando y: 2 x + 3 y = 12 3 y = 12 − 2 x y = 4 –
2 x 3
Así la pendiente es m = −2/3, y la intersección con el eje es b = 4 o el punto (0, 4). La intersección con el eje x la obtenemos al sustituir y = 0 y despejar para x : 2 0 = 4 – x 3 2 x = 4 3 x = 6 Por lo que obtenemos el punto (6, 0). Podemos utilizar estos puntos para obtener la gráfica:
6
3 2
−2
2 x
Ya tenemos dos puntos de la recta, (0, 4) y (6, 0). Para determinar otros puntos, damos un valor para x y despejamos para y. Elegimos, por ejemplo, x = 3, entonces y = 4− (2/3) (3) = 4 − 2 = 2, es decir, un tercer punto por el que pasa la recta es (3, 2).
Ejemplo 6 Si la pendiente de una recta es m = 1/3 y la recta pasa por el punto (10, 4), determina la ecuación general de la recta y su gráfica.
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6.1 Recta
solución Directamente utilizamos la fórmula (5) con los datos dados: y – 4 =
1 ( x – 10) 3
Como no nos piden la forma punto pendiente, no despejamos y, sino que multiplicamos cada lado de la ecuación por 3: 3 y − 12 = x − 10 Ahora escribimos las variables del lado derecho y las constantes del lado izquierdo:
− x + 3 y = −10 + 12 Así, la ecuación general de la ecuación es
− x + 3 y = 2 Ahora, para trazar su gráfica, tabulamos dos puntos; por ejemplo, las intersecciones con los ejes coordenados: x
y
0
2/3
−2
0
2
1.5
.5
−
−2
2 x
−0.5
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Unidad 6: Geometría analítica
Ejemplo 7 Determina la ecuación y dibuja la gráfica de la recta que pasa por los puntos ( −3, 3), (4, 3)
so uc ó Utilizamos la fórmula (4) para encontrar la pendiente: m =
3−3 4 − ( −3)
0 7
= =0
Puesto que la pendiente es 0, la recta es horizontal y su ecuación es y = 3 ( y = la ordenada de cualquier punto de la recta). Observa que ésta es a la vez la forma general y forma punto pendiente de la ecuación de la recta. Para dibujar la gráfica, utilizamos los puntos dados:
3.5
2.5
−
−2
2
x
Ejemplo 8 Encuentra la forma punto pendiente y la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4, −2) y (4, 3)
solución Primero que nada, nota que la fórmula (4) para la pendiente no puede aplicarse porque se indetermina al dividir por 0: m =
3 − ( −2) 4−4
=
5 0
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6.1 Recta
La razón de lo anterior es que esta recta es vertical. Pero sabemos que la ecuación de una r ecta vertical es x = k ; en este caso, x = 4 (la abscisa de cualquier punto). Esta es la única forma general de la ecuación y no hay forma punto pendiente.
2 1 3.5
x
4.5
5
− − −
Líneas paralelas y líneas perpendiculares Puesto que la pendiente de una línea recta es una medida de su inclinación, si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces su inclinación es la misma; por lo tanto, son rectas paralelas. El recíproco también es cierto para rectas no verticales: si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales. Establecemos esto en el siguiente resultado:
Teorema
Las rectas no verticales y = m1 x + b1 y y = m2 x + b2 son paralelas, si y sólo si m1 = m2
Las rectas perpendiculares entre sí poseen también una relación entre sus pendientes, que estableceremos a continuación sin demostración.
Teorema
Las rectas y = m1 x + b1 y y = m2 x + b 2, m1 ≠ 0 y m2 ≠ 0 son perpendiculares si y sólo si m2 = − 1/ m1
Dos líneas rectas que nos son paralelas ni perpendiculares reciben el nombre de rectas oblicuas.
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Unidad 6: Geometría analítica
Ejemplos Ejemplo 1 Determina si las rectas L1: y = 2 x − 8 y L2: 4 x − 2 y = 5 son paralelas, perpendiculares u oblicuas.
solución Determinamos primero las pendientes. Para la recta L1, directamente vemos que m1 = 2, mientras que para la pendiente de la recta L2, debemos despejar y: 4 x − 2 y = 5 2 y = 4 x − 5 y =
4 5 x− 2 4
= 2 x −
5 4
Vemos de esta forma que m2 = 2. Así que las rectas son paralelas.
1
−
−2
2
x
−
−
−15
Ejemplo 2 Determina la forma punto pendiente de la ecuación de la recta que pasa por el punto ( −2, 1) y que es a) Paralela a la recta 4 x − 2 y = 12 b) Perpendicular a la recta 4 x − 2 y = 12
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6.1 Recta
solución Al despejar y de 4 x − 2 y = 12, encontramos que la recta dada tiene pendiente m = 2 a) Como nos piden la recta paralela, m = 2 es también la pendiente de la recta que buscamos. Utiliza-
mos ahora la fórmula (5): y − 1 = 2( x + 2) y = 2 x + 5 15 1
−
−2
2
−10 −15
b) Buscamos ahora la recta perpendicular; si m es la pendiente de esta recta, entonces m = −1/2 de acuer-
do con el teorema anterior. Por lo tanto, la ecuación es: y – 1 = −
1 ( x + 2) 2
y = −
1 x 2
1
5
−5
−1
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Unidad 6: Geometría analítica
Ejemplo 3 Determina la ecuación general de la recta que pasa por (6, −7), que es perpendicular a la recta que pasa por los puntos P(2, −3) y Q(−1, −1)
solución Determinamos primero la pendiente de la recta que pasa por P y Q: m =
2 − 1 − ( −3) =− 3 −1 − 2
Por lo tanto, la recta perpendicular tiene pendiente
y – (–7) =
−
1 m
=
3 . Utilizamos ahora la fórmula (5): 2
3 ( x – 6) 2
Multiplicamos esta ecuación por 2: 2 y + 14 = 3 x − 18 De esta forma, la ecuación buscada es −3 x + 2 y = −32 o 3 x − 2 y = 32
5 12 14
−5
−1
−15
−20
Ejemplo 4 Encuentra la ecuación punto pendiente de la recta que es a) paralela, b) perpendicular a la recta y = −2 y que pasa por el punto (3, 7).
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387
6.1 Recta
solución
La recta dada es horizontal, por lo que su pendiente es m = 0 a) Si queremos la ecuación de la recta paralela, simplemente igualamos y con la ordenada del punto por donde pasa la recta. Así, su ecuación es: y = 7
2
−2
−
2
x
− −4
b) Como la recta perpendicular a una recta horizontal es vertical, no tiene pendiente y su ecuación, según vimos, es simplemente x igual a la abscisa: x = 3
2
−
−2
2
6 x
−
−
Ejemplo 5 Determina la ecuación de la bisectriz del segmento que une los puntos A(2, −1), B(−4, −3)
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Unidad 6: Geometría analítica
solución
El segmento tiene punto medio M
2 − 4 , −1 − 3 ó M(−1. −2). Por lo que buscamos una ecuación de 2 2
la recta que pasa por M y es perpendicular a la recta que pasa por A y B. 1 La pendiente de la recta que pasa por A y B es m = , por lo que la pendiente de la recta que buscamos 3 es −1/ m = −3. Finalmente, de acuerdo con la fórmula (5), la ecuación es: y + 2
−
= −3( x + 1) ó y = −3 x − 5
−
−
− − − −
Este tipo de rectas bisectrices nos serán de utilidad en la sección sobre circunferencia.
Gráfica de sistemas de desigualdades lineales 1 x + 1, que consiste de los puntos ( x , y), que hacen verdadera 2 la relación. Esta recta divide al plano cartesiano en tres regiones: la parte de arriba de la recta, la parte de abajo de la recta y la parte sobre la recta, lo que presentamos en la figura: Consideremos la recta y =
y
y 2
2
x
0 −6
−4
−2
y
0
2
4
6
2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
−4
−2
0
−2
−2
−2
−4
−4
−4
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x
0 −6
2
4
6
389
6.1 Recta
Como la región encima de la recta tiene ordenada mayor, la región está representada por 1 1 la desigualdad y > x + 1. De la misma forma, y < x + 1 representa la región de 2 2 1 abajo de la línea recta, mientras que y = x + 1 representa los puntos sobre la línea 2 recta. Debido al principio de tricotomía, o bien y < mx + b o bien y = mx + b o bien y > mx + b. Toda recta no vertical divide al plano en tres regiones: la región que está por encima de la recta dada por y > mx + b, la región que está por debajo de la recta dada por y < mx + b y la región que está exactamente sobre la recta dada por y = mx + b. Si la recta es vertical, las regiones en que queda dividido el plano son: la parte a la derecha de la recta, la parte la izquierda de la recta y la parte sobre la recta.
Ejemplos Ejemplo 1 Dibuja la región dada por: a) y = 2 x − 2, b) y < 2 x − 2, c) y ≤ 2 x − 2, d ) y ≠ 2 x − 2
solució a) La región consiste en todos los puntos que están sobre la recta, lo que representamos con la línea:
x
y
1
0
2
2
y 2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
−2
−4
b) En este caso, como la ordenada y es menor que 2 x − 2, la región consiste de los puntos que están por
debajo de la recta y no incluye los puntos de la recta. Esto se representa con la línea recta punteada (para indicar que no se incluye) y sombreando la región.
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Unidad 6: Geometría analítica
y 2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
−2
−4
c) Para este caso, recordemos que el símbolo ≤ representa una de dos opciones: y < 2 x − 2, o bien y = 2 x − 2, pero ambos casos son precisamente los anteriores, así que la región corresponde a la
unión de los mismos. En otras palabras, la región consta de los puntos en el plano cartesiano que están por debajo de la recta y también de los puntos de la recta. Representamos esto sombreando la región, igual que en el inciso anterior, pero la recta no es punteada, sino completa para representar que también se incluye.
y 2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
−2
−4
d ) y ≠ 2 x − 2 representa que o bien y < 2 x − 2, o bien y > 2 x − 2, es decir, la región consiste de los pun-
tos del plano que están encima de la recta y debajo de la recta, pero no sobre la recta. En este caso la representación consiste en sombrear todo el plano y dibujar la recta con una línea punteada para representar que no se incluye.
y 2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
−2
−4
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6
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6.1 Recta
Ejemplo 2 Representa la gráfica de 3( x – 2) – 2 y
≥
2 x − 4 + y 3
so uc ó Primero simplificamos la ecuación y obtenemos y ≤ (7/9) x −14/9. De esta forma podemos ver que la región consiste de los puntos del plano que están debajo de la recta incluyendo los puntos de ésta:
y 2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
−2
−4
Ejemplo 3 Dibuja la región dada por las desigualdades a) y < 2 x + 1, y < 3 − x , b) y ≥ 2 x + 1, y
< 3 − x
solución a) La región está dada por dos desigualdades, así que su gráfica corresponde a la intersección de la grá-
fica de cada desigualdad. En otras palabras, la región consiste en los puntos en el plano que simultáneamente están por debajo de la rectas y = 2 x + 1 y y = x + 3
y 2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
−2
−4
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6
392
Unidad 6: Geometría analítica
b) Nuevamente es la intersección de las regiones dadas por y ≥ 2 x + 1 (puntos encima de la recta incluyendo ésta) y por y < 3 − x (puntos debajo de la recta sin incluir ésta).
y 2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
−2
−4
Distancia de un punto a una recta En esta sección estableceremos la fórmula para la distancia de un punto P( x 0, y0) a una recta dada L: Ax + By = C . Para ello, lo primero es advertir que, al hablar de distancia, nos referimos a la menor distancia de P a L. Tal distancia se logra midiendo el segmento de recta que hay entre P y la intersección Q, de la recta perpendicular a L que pasa por P.
L
Q
Por ejemplo, si queremos calcular la distancia del punto P(−2, 1) a la recta L: 3 x − 4 y = 12, 3 primero encontraremos la forma punto pendiente de L: y = x − 3 . Así, la pendiente de 4 4 5 la recta ortogonal a L que pasa por P es y = − x − . Determinamos las coordenadas 3 3
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6.1 Recta
del punto intersección Q al resolver el sistema
y = −
y = 3 x − 3 4 4 5 y = − x − 3 3
La solución es x =
16 25
63 La distancia del punto a la recta es la distancia de P a Q: 25 2
d =
2
16 + 2 + − 63 − 1 = 22 25 25 5
Si repetimos este proceso para la recta Ax + By = C y para el punto P( x 0, y0), obtendremos la siguiente fórmula:
d =
+ By0 − C ...(6) 2 2 A + B
Ax 0
Ejemplos Ejemplo 1 Calcula la distancia del punto P(2, 3) a la recta L: 3 x − 4 y = 12
solución Sustituimos en la fórmula (6): d =
3(2) − 4(3) − 12 32
+ 42
=
18 5
Ejemplo 2 Calcula la distancia del punto ( −2, 5) a la recta L que pasa por los puntos M (2, −2) y N (−3, 4).
so uc ó Primero determinamos la ecuación de la recta L. En tal caso la ecuación es 6 x + 5 y = 2, por lo que al aplicar la fórmula (6) tendremos: D =
6( −2) + 5(5) − 2 6
2
+5
2
=
11 61
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Unidad 6: Geometría analítica
Ejercicios y problemas 1.
Describe con tus palabras qué es la pendiente de una línea recta.
2.
Describe qué es la forma punto pendiente de la ecuación de una línea recta.
3.
Explica el significado del coeficiente b en la forma punto pendiente de la ecuación de una línea recta.
4.
Describe cómo se dibuja una línea recta a partir de su ecuación.
5.
Explica por qué no hay forma punto pendiente para la ecuación de una línea recta vertical.
6.
Señala cuál es la pendiente de una recta vertical.
7.
Determina la forma punto pendiente y la forma general de la recta que: a) Pasa por los puntos (2, −1), (−2, 1) b) Tiene pendiente m = 2/5 y pasa por el punto (4, −3) c) Interseca al eje x en x = 2 y al eje y en y = 4 d ) Pasa por el origen y por (−3, −3) e) Pasa por (−2, 4) y (−8, −9) f ) Pasa por (−3, 1) y por (5, 4) g) Pasa por (−3, 5) y por (−3, 2) h) Pasa por (2, 5) y por (−2, 5)
8. Encuentra
la forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es
a) Paralela al eje x b) Perpendicular al eje x c) Paralela a 3 x − 7 y = 21 d ) Perpendicular a 3 x − 7 y = 21 e) Paralela a y = 2 f ) g) h) i) j) 9.
− 3 x Perpendicular a y = 2 − 3 x Paralela a y = 4 Perpendicular a y = 4 Paralela a x = −5 Perpendicular a x = −5
Bosqueja la gráfica de la recta que: a) Pasa por (3, 2) y (1, −4) b) Cruza al eje x en 9 y es perpendicular a 3 x + 6 y = 7 c) y = 3 d )
− 4 x y = 4 x − 3
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395
6.1 Recta
10.
Determina si los puntos P y Q dados pertenecen o no la recta dada. a) P(1, 7), Q(−3, 1), y = 2 x + 5 b) P(2, 1), Q(1, 2), y = 2 c) P(2, 1), Q(1, 2), x = 2 d ) P(4, −1), Q(2, 2), x + y = 3 e) P(1, −1), Q(0, 3), 3 x − 2 y = 1 f ) P(1, 5), Q(2, 3), x + 2 y = 1
11.
Determina si las rectas dadas son perpendiculares, paralelas u oblicuas. a) y = 3 x + 4, −3 x + 9 y = 18
− 3 y = 2, 3 x + 4 y = 5 c) 4 x − 7 y = 0, 2 x − 14 y = −2 b) 4 x
12.
Bosqueja la gráfica de la región dada: a) y > 2 x + 5, y < 3 x + 1 b) y ≥ 3 x − 1, y < 3 x + 2 c) y < 2 x + 7, y < 3 − x d ) x > 0, y > 0
/2 e) y < x
+ 1, x ≥ 0, y ≥ 0
13.
A Juan le toma 50 minutos podar 40 metros cuadrados de jardín, pero a su primo le toma hacerlo sólo 40 minutos. Determina la relación existente entre el número de minutos que puede trabajar cada uno para podar 40 metros cuadrados.
14.
La empresa “Productos Patito” produce artículos con un costo de $13 c/u. La empresa tiene costos diarios fijos (luz, renta, salarios, etcétera) que ascienden a $300 y planea vender cada artículo producido a $19 c/u. a) Determina la relación lineal que existe entre la ganancia, I, de la empresa y el número, n, de artículos producidos diarios. b) Grafica esta relación. c) Describe el significado de la pendiente y la ordenada al origen.
15.
La longitud, L (en centímetros), de un feto de 12 semanas o más de edad, se puede establecer como L = 1.53 E − 6.7 aproximadamente, con E igual a la edad en semanas. Dibuja esta relación y describe el significado de la pendiente y de la ordenada al origen. Determina la longitud del feto a las 15 semanas.
16.
Una máquina se deprecia linealmente. Si su valor hace cuatro años era de $ 180,000 y ahora vale $100,000. a) Determina la ecuación que describe el valor V (en miles de pesos) de la máquina en términos del tiempo t (en años). b) Calcula el valor de la máquina el año pasado. c) Calcula el valor de la máquina para el próximo año.
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396
17.
Unidad 6: Geometría analítica
Calcula la distancia del punto P(3,−4) a la recta que a) Pasa por los puntos A(4, −2) y B(1, 2) b) Tiene pendiente m = −2/7 y pasa por (1, 1) c) Es perpendicular a x = 2 y pasa por el origen.
18.
Un avión está a 22 kilómetros de la pista en donde aterrizará y vuela a una altura de 3 kilómetros. Determina la pendiente de su descenso.
19.
La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°. Si es un triángulo rectángulo determina la relación que existe entre los valores en grados de los ángulos no rectos y grafica esta relación. ¿Por qué sólo hay gráfica en el primer cuadrante?
20.
En cierto curso se realizarán dos exámenes, el primero tiene un peso del 35% y el segundo del 65%. La escala de calificaciones en cada examen es de 1 a 100. Si x y y representan las calificaciones del primero y segundo exámenes, respectivamente, y un alumno quiere obtener una calificación de 70, escribe la relación lineal que hay entre x y y, luego dibuja esta relación.
21.
Determina la ecuación de la recta en cada caso: a)
b)
2
c)
4 3
2 2 −2
d )
e)
f )
(2, 3) 2
5, −2
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(2, 4)
397
6.1 Recta
22.
Dada la gráfica de la región, determina la desigualdad que la representa: a)
y
2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
−2
−4
b) y
2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
−2
−4
23.
Determina las desigualdades que representa el área sombreada en las gráficas.
(3, 2)
(3, 2) ( , 1)
(6, 1) (−
(−1, −2)
−2)
(3, 2)
(3, 2) ( , 1) (−
(−1, −2)
−2)
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( , 1)
398
Unidad 6: Geometría analítica
2
2 3
3
(3, 2)
2 3
Problemas para trabajar en equipo
Con tu equipo de trabajo discute y resuelve las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1. La empresa “Patito, S. A de C. V.”, produce dos artículos “chunche tipo A”. Cada artículo
A requiere de tres horas de mano de obra para su elaboración, mientras que cada artículo B necesita de dos horas de mano de obra para fabricarse. a) Determina la relación entre las cantidades de cada tipo de chunche que puede elaborar la empresa si cuenta esta semana con 60 horas para mano de obra. b) Grafica la relación que encontraste en el inciso anterior. c) ¿Por qué la gráfica está sólo en el primer cuadrante? d ) Encuentra la pendiente de esta recta y di cuál es su significado. 2. Una avioneta está a cuatro kilómetros del aeropuerto y se encuentra a una altura de 500 me-
tros sobre el suelo. Determina la pendiente de su trayectoria para que la avioneta pueda aterrizar en el aeropuerto. 3. El valor de una máquina se deprecia linealmente. Hoy vale $45,000 y en 10 años valdrá $100, a) Expresa el valor de la máquina como función del número de años. b) Bosqueja la gráfica. c) Determina su dominio. 4. El señor Gómez L. tiene una rutina de ejercicio. Cada tercer día se dirige en auto a la pista
que está a 2 kilómetros de su casa y camina durante una hora en línea recta a una velocidad constante de 50 metros sobre minuto. El señor Gómez L. comienza a caminar a las 6:00 horas. Determina la ecuación lineal que describe la distancia a su casa en términos del tiempo t desde las 6:00 horas y hasta las 7:00 horas.
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399
6.1 Recta
1.
Indica la opción que contiene una ecuación de la recta que pasa por los puntos P(4, Q(−2, 5).
−1) y
a) x + y = 3 b) x + y = 5 c) x − y = 3 d ) x − y = 5 2.
Halla la opción que contiene la ecuación general de la recta que es perpendicular a 5 x − 3 y = 15, y que pasa por el punto P(9, −2). a) 3 x + 57 = 37 b) −3 x + 5 y = 17 c) 3 x + 5 y = 17 d ) −3 x + 5 y = 37
3.
Calcula la distancia del punto P(2, 1) a la recta 6 x + 8 y = −5. a) 2 b) 2.5 c) 3 d) 3.5
4.
Elige cuál de las gráficas representa la región dada por y < 2 x + 1, y > 1 − 0.8 x . a) y
2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
−2
−4
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400
Unidad 6: Geometría analítica
b) y
2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
−2
−4
c) y
2
x
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
2
4
6
−2
−4
d ) y
2
x
0 −6
−4
−2
0
−2
−4
5.
Encuentra en la columna B las pendientes de las rectas que aparecen en la columna A. Columna A
Columna B
a) 3 x − 6 y = 5
i. 4
b) Pasa por P(−3, 1), Q(2, −2)
ii. 1/2
c) Perpendicular a 3 x + 5 y = 4
iii.
d ) Paralela a 4 x + 2 y
iv. 0
=0 e) Perpendicular a x = 1
v.
−3/5 −2
vi. 3/5
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401
6.1 Recta
Respuestas a los Ejercicios y problemas 7.
a) y = − x/2, x + 2 y = 0; b) y = 2 x/5 − 23/5, 2 x − 5 y = 23; c) y = −2 x + 4, 2 x + y = 4; d) y = x, x − y = 0; e) y = 13 x/6 + 25/3, 13 x − 6 y = 50; f ) y = 3 x/8 + 17/8, 3 x − 8 y = −17; g) x = −3, h) y = 5.
8.
9.
a) y = −3;
b) x = 2;
c) y = 3 x/7 − 27/7;
g) y = −3;
h) x = 2;
i) x = 2; j ) y = −3.
a)
d) y = −7 x/3 − 7/3;
e) y = −3 x + 3; f ) y = − x/3 − 11/3;
b) 5 10 4 5 −2
2
x 4
3
6
0
2
−5
1 −10
0
−15
2
4
x 6
8
10
−1
c)
d) 20 10
10 −4 −4
−2
0
2 x
−2
2
x
4
0
4
−10
−10
−20
10.
a) P
11.
a) oblicuas
b) Q
c) P
b) perpendiculares
d) P c) oblicuas
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e) ninguno
f ) ninguno
402
Unidad 6: Geometría analítica
12.
a)
y
20
x
0 −60
−40
−20
0
20
40
60
−20
b)
y
20
x
0 −60
−40
−20
0
20
40
60
−20
c)
y
20
x
0 −60
−40
−20
0
20
40
60
−20
d)
y 20
x
0 −60
−40
−20
0
20
40
60
−20
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403
6.1 Recta
e)
y 20
x
0 −60
−40
−20
0
20
40
60
−20
13.
14.
4 x/5 + y = 40, con x = número de minutos que trabaja Juan, y = números de minutos que traba ja su primo. a) I
= 6n − 300;
b) 200 100 20
40
n
60
80
0 −100 −200 −300
c) m
= ganancia neta por artículo producido y vendido, ordenada al origen = pérdida si no se
produce ningún artículo. 15. 2 1 16 14 12 12
13
14
15 x
16
17
18
m = cantidad de centímetros que crece el feto por semana, b = no tiene signifi-
cado. En 15 semanas, el feto mide 16.25 centímetros.
16.
a) V = −20t + 180, con t = 0 hace cuatro años; b) 120,000; c) 80,000.
17.
a) d = 2; b) d = 13/5; c) d = 4.
18.
m = 3/22.
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404
Unidad 6: Geometría analítica
19.
α + β = 90∞, con α y β los ángulos del triángulo diferentes a 90°.
20.
0.35 x + 0.65 y = 70 100 80 60 y
40 20 0
50
100
150
200
x
21.
a) y = −2 x/3 + 2; b) y = −2 x + 4; c) y = x + 2; d) y = −4 x/5 + 2; e) y = 3 x/2; f ) y = 4
22.
a) y ≤ −6 x/7 + 6; b) y ≥ − x /2 + 2
23.
a) y ≥ x/3 + 3, y ≤ x − 1; b) y ≤ x/3 + 3, y ≥ x −1; c) y ≤ x/3 + 3, y ≤ x − 1; d) y ≥ x/3 + 3, y ≥ x − 1; e) y ≥ −2 x/2 + 2; f ) y < −2 x/2 + 2; g) y ≤ −2 x/2 + 2, x ≥ 0, y ≥ 0; h) x ≤ 3
Respuestas a los ejercicios de autoevaluación
1. 2. 3. 4. 5.
a c b d (a, ii), (b,vi),(c, iii), (d, v) (e, iv)
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405
6.2 Circunferencia
6.2 Circunferencia
No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicárselo a tu abuela. Albert Einstein
Introducció
4
2
−4
−2
0
2
4
−2
−4
¿Cuántos puntos tiene una circunferencia? Una circunferencia es la curva cuyos puntos están a la misma distancia de un punto fijo que llamaremos centro de la circunferencia. A la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se le llama el radio de la circunferencia. De acuerdo con la definición, una circunferencia es una curva que está formada por una infinidad de puntos, cada uno a un radio de distancia del centro. Seguramente has visto artículos que utilizamos en la vida diaria con forma de círculo o de una circunferencia. ¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia? La región encerrada por una circunferencia recibe el nombre de círculo. Esta región tiene la propiedad de que entre las figuras de igual perímetro, es la que tiene mayor área. A pesar de que son conceptos distintos, algunos autores acostumbran llamar círculo a la circunferencia; en general, el contexto en que se usa aclara si se trata del borde del círculo (circunferencia) o si se trata del interior de la circunferencia (círculo). Las circunferencia es la segunda curva cónica que estudiaremos; la primera curva cónica fue la recta.
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406
Unidad 6: Geometría analítica
Objetivos Al terminar esta sección, serás capaz de: • Reconocer la ecuación de una circunferencia y podrás graficarla. • Determinar la ecuación de una circunferencia de acuerdo a distintos tipos de datos.
Ecuaciones de la circunferencia Dado que la circunferencia consiste de puntos equidistantes del centro de la misma, podemos construir fácilmente su ecuación. Sea C (h, k ) el centro de una circunferencia de radio R, entonces si P( x , y) es un punto de la circunferencia, la distancia de C a P es R, es decir, 2
( x − h)2 + ( y − k ) = R P( x , y)
C(k, k) R
Si elevamos al cuadrado cada lado de la ecuación, obtendremos lo que se conoce como la forma centro-radio o forma estándar de la ecuación de la circunferencia:
2
( x − h)2 + ( y − k ) = R2 … (1) Así, por ejemplo, ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 8, es la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 3) y de radio 8. Podemos desarrollar los paréntesis en la ecuación anterior; obtendremos: 2 2 x − 4 x + 4 + y − 6 y + 9 = 8 ó x
2
2
+ y − 4x − 6y + 5 = 0
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407
6.2 Circunferencia
Esta última ecuación es conocida como la forma general de la ecuación de la circunferencia. Si procedemos de la misma forma, para la forma (1), encontraremos la forma general (2) de la ecuación de la circunferencia con C = −2h, D = −2k , y F = h2 + k 2 − R2
x
2
+ y 2 + Dx + Ey + F = 0
… (2)
En los ejemplos desarrollaremos algunos casos para pasar de una a otra forma de la ecuación. También veremos cómo encontrar la ecuación de una circunferencia a partir de algunos datos conocidos, como son: a) Centro y radio. b) Tres puntos sobre la circunferencia. c) Dos rectas tangentes a la circunferencia, con sus puntos de tangencia. d ) Una recta tangente con su punto de tangencia, otro punto sobre la circunferencia. e) Una recta tangente, el punto de tangencia y el radio, etcétera.
Ejemplos Ejemplo 1 Determina la ecuación, centro, radio y la ecuación general de la circunferencia que tiene centro en C(4, −7) y radio 5.
solución De acuerdo con (1), la ecuación centro radio es: 2
2 2 ( x − 4)2 + ( y − ( −7)) = 52 ó ( x − 4) + ( y + 7) = 25
Para obtener la ecuación general, simplemente desarrollamos el paréntesis y simplificamos: x
2
+ y 2 − 8 x + 14 y + 16 + 49 = 25
De esta forma obtenemos: x
2
+ y 2 − 8 x + 14 y + 40 = 0
Ejemplo 2 Determina el centro y el radio de la circunferencia definida por x 2 + y2 −10 x + 2 y + 17 = 0
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408
Unidad 6: Geometría analítica
soluci
Para cambiar de la forma general a la forma centro radio, basta completar el cuadrado para x y para y. x
( x 2
2
+ y 2 − 10 x + 2 y + 17 = 0
− 10 x ) + ( y 2 + 2 y) + 17 = 0
Para x sumamos 25 a cada lado de la ecuación y para y sumamos 1 a cada lado: ( x 2
− 10 x + 25) + ( y 2 + 2 y + 1) + 17 = 25 + 1 ( x − 5)2
+ ( y + 1)2 + 17 = 26
( x − 5) 2
+ ( y + 1)2 = 9
Esta ecuación nos indica que el centro es C(5, −1) y el radio es 3.
2 1 2
x
4
6
8
0 −1 y−2
−3 −4
Ejemplo 3 Bastan tres puntos para determinar la ecuación de una circunferencia. Determina la ecuación en su forma general de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, −1), B(−4, −3) y C(0, 3). soluci n
Tenemos dos métodos de solución. El primero radica en observar que cada uno de los puntos satisface la ecuación (2), por lo que al sustituir las coordenadas de A, B y C obtenemos respectivamente las ecuaciones
(2)2 + (−1)2 + D(2) + E(−1) + F = 0 2 2 (−4) + (−3) + D(−4) + E(−3) + F = 0 (0)2 + (3)2 + D(0) + E(3) + F = 0
ó
5 + 2 D − E + F = 0 25 − 4 D − 3E + F = 0 9 + 3 E + F = 0
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409
6.2 Circunferencia
Al resolver este sistema de ecuaciones lineales 3
× 3, obtenemos D =
que la ecuación en su forma general es: x
2
+ y2 +
22 4 75 x+ y− 7 7 7
22 4 75 , E = y F = − , por lo 7 7 7
=0
El segundo método de solución consiste en recordar que la intersección de dos mediatrices de dos cuerdas no paralelas se intersecan en el centro de la circunferencia. De esta forma, el centro corresponde a la –– –– intersección de las rectas bisectrices de los segmentos de recta AB y BC , en tanto que el radio lo calculamos como la distancia del centro a uno de los puntos A o B o C. –– La bisectriz del segmento AB la calculamos anteriormente: en el ejemplo 5 el punto 2 correspondiente a rectas paralelas y perpendiculares de la sección 6.1. La ecuación que encontramos ahí fue y = −3 x − 5. –– Calculamos ahora la ecuación de la bisectriz del segmento BC . La pendiente de este segmento es: m=
3 − ( −3) 0 − ( −4 )
=
3 2
–– por lo que la pendiente de la bisectriz es −2/3 (por ser perpendicular al segmento AC ). El punto medio del segmento tiene coordenadas:
0 − 4 , 3 − 3 = 2 2
(–2, 0)
Al utilizar la fórmula punto pendiente, obtenemos: y = –
2 2 4 ( x + 2) ó y = – x + 3 3 3
Calculamos la intersección de las bisectrices al igualar sus ecuaciones:
−3 x − 5 = − de donde obtenemos x
=−
2 4 x + 3 3
11 2 , y = − , que corresponden precisamente a las coordenadas del centro de 7 7
la circunferencia. El radio es entonces la distancia del centro al punto A: 2
R
=
2
2 + 11 + −1 + 2 = 7 7
650 49
Por lo que la forma punto centro de la ecuación de la circunferencia es:
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410
Unidad 6: Geometría analítica
2
2
x + 11 + y + 2 = 650 7 7 49 3 2
y
−5
−4
x
−3
1 −2
−1
1
2
0 −1 −2 −3 −4
Ejemplo 4 Encuentra la ecuación de la circunferencia, de radio 3, que es tangente en el punto P(2, 3) a la recta 1 L: y = x + 2 2 solución
Como conocemos el radio, bastará determinar las coordenadas del centro C (h, k ). Puesto que la recta L es tangente a la circunferencia, el centro de la circunferencia se encuentra sobre la recta que es perpendicular a L y que pasa por el punto de tangencia P, que llamaremos S. La recta S tiene pendiente m = −2, por lo que su ecuación es: y − 3 = −2( x − 2) S: y = 7 − 2 x
Buscamos, de esta forma, las coordenadas del punto C (h, k ), de tal forma que cumpla dos condiciones: a) que esté sobre la recta perpendicular, S, y b) que su distancia a la recta tangente, L, sea igual al radio. Cada condición nos da lugar a una ecuación: k = 7
− 2h (a) − h + 2 k − 4 =3 2 2 ( −1) + (2 )
(b)
(para la ecuación (b), recuerda que la forma general de L es − x + 2 y = 4). Sustituimos la ecuación ( a) en la (b) y despejamos el valor de h:
− h + 2(7 − 2h) − 4 =3 2 2 ( −1) + (2)
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411
6.2 Circunferencia
10 − 5h 5 10 − 5h
=3
=3
5
Elevamos cada lado de la ecuación al cuadrado para quitar el valor absoluto: (10 − 5h)2 = 45 Al resolver esta ecuación cuadrática, obtenemos dos valores para h: h = 2 +
3 5 5
y
h = 2 −
3 5 5
Al sustituir cada valor de h en la ecuación (a), obtenemos dos valores para k : 6 5 5
k = 3 −
k = 3 +
y
6 5 5
De esta forma, obtenemos dos soluciones:
C1 2 +
3 6 5, 3 − 5 5 5
y
C2 2 −
3 6 5 , 3 + 5 5 5
Por lo tanto, existen dos circunferencias tangentes a L en el punto P de radio 3:
x − 2 − 3 5
2
5
+ y − 3 + 6 5
2
5
= 9
y
2
x − 2 + 3 5
6 5 + y −3− 5
Es fácil darnos cuenta en la gráfica que efectivamente existen dos soluciones.
8 6 y
4 2
−4
−2
0
2
4
x
6
−2
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8
2
5 =9
412
Unidad 6: Geometría analítica
Circunferencias, circunferencias degeneradas y circunferencias complejas Establecimos en la parte anterior que la ecuación general de una circunferencia es la ecuación (2): x
2
+ y 2 + Dx + Ey + F = 0
Nos preguntamos si todas las ecuaciones de la forma (2) corresponden a una circunferencia. La respuesta es no, depende de los valores de D, E y F. Para ver esto, completamos los cuadrados para tratar de recuperar la forma centro radio de la circunferencia: x
x
2
2
+ y 2 + Dx + Ey = − F
2
2
2
2
x + D + y + E = 2 2 Si el número
D
2
D
2
2
2
D E = D + E − F 2 + Dx + + y + Ey + 2 2 2 2
+
2
E
−
4F
>
D
2
+ E 2 − 4F 4
(3)
0, entonces tenemos una circunferencia de radio
2
+ E − 4 F
Si el número D2 + E 2 − 4F < 0, entonces no hay circunferencia, puesto que la cantidad del lado izquierdo en (3) es positiva, mientras que la expresión del lado derecho es negativa. Llamaremos a este caso, circunferencia compleja o circunferencia imaginaria. Si la cantidad D2 + E 2 − 4F = 0, entonces la ecuación (3) corresponde a un solo punto: C
− D , − E Este caso es conocido como la 2 2
circunferencia degenerada.
E emplos Ejemplo 1 Determina si la ecuación x 2 + y2 + 2 x − 3 y + 5 = 0 corresponde a una circunferencia, una circunferencia degenerada o una circunferencia imaginaria. so uc
En este caso, D = 2, E = −3 y F = 5, por lo que D2 + E 2 − 4F = (2)2 + (−3)2 − 4(5) = −7. Esto significa que la ecuación corresponde a una circunferencia imaginaria.
Ejemplo 2 21 = 0 corresponde a una circunferencia, una circunfe4 rencia degenerada o una circunferencia imaginaria. Determina si la ecuación x 2
+ y 2 − 4 x + 3y +
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413
6.2 Circunferencia
solución
21 . Así, D2 + E 2 − 4F = 4. Esto nos indica que la ecuación correspon4 de a una circunferencia de radio 2. Su ecuación centro radio se obtiene de completar los cuadrados (o de la fórmula (3)): Tenemos, D = −4, E = 3 y F
=
2
3 ( x − 2)2 + y + = 4
1
2
x
2
3
4
0
−1
y
−2
−3
Ejemplo 3 65 = 0 corresponde a una circunferencia, una circunferen4 cia degenerada o una circunferencia imaginaria. Determina si la ecuación x 2
+ y2 + x − 8y +
solución
Como D = 1, E = − 8 y F = 65/4, entonces D2 + E 2 −4F = 0, por lo que este caso corresponde a una cir 1 cunferencia degenerada, es decir, un solo punto, C − , 4 2
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Unidad 6: Geometría analítica
Ejercicios y problemas 1.
Describe con tus palabras qué es un círculo y qué es una circunferencia.
2.
Describe qué significa que una recta sea tangente a una circunferencia.
3.
Escribe cuál(es) es(son) la(s) diferencias entre la ecuación general y la ecuación centro radio de una circunferencia.
4.
Describe con tus palabras, cómo se pasa de la forma general a la forma centro radio de una circunferencia.
5.
Determina la ecuación, en su forma general, de la circunferencia con el centro y el radio dados. a) C(2, −1), R
=3 b) C(1/2, −3), R = 1 / 2 c) C(−3, 2), R = 1 d ) C(1/2, 1/2), R = 4 e) C(0, 2), R = 4 f ) C(3, 0), R = 3 6.
Determina la ecuación centro radio de la circunferencia dada. a) x 2 + y2
− 4 x + 2 y + 20 = 0 b) x 2 + y2 + x − 2 y + 1 = 0 c) x 2 + y2 + 2 x − y + 5 = 4 d ) x 2 + y2 + 4 x − 6 y − 2 = 0 e) 2 x 2 + 2 y2 − 8 x + 4 y + 2 = 0 f ) − x 2 − y2 − 4 x − 6 y + 3 = 0 7.
Clasifica la circunferencia en real, degenerada o compleja. a) − x 2 − y2 − 4 x + 6 y + 1 = 0 b) 4 x 2 + 4 y2
− 4 x + 8 y + 4 = 0 c) x 2 + y2 + x − 2 y + 1 = 0 d ) x 2 + y2 + 4 x − 6 y + 13 = 0 e) x 2 + y2 + 6 x − 4 y + 14 = 0 8.
Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P, Q, R dados. a) P(0, 0), Q(1, −1) y R(2, 3) b) P(1, 1), Q(2, 2) y R(−2, 1) c) P(1, 0), Q(0, 1) y R(1, 1) d ) P(0, −2), Q(−2, −1) y R(0, 0)
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415
6.2 Circunferencia
9.
Encuentra la ecuación de la circunferencia, de radio 4, que es tangente en el punto P(1, −1) a la recta L: y = x − 2
10.
Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coordenados en los puntos A(2, 0) y B(0, 2)
11.
Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coordenados en los puntos A(−2, 0) y B(0, −2)
12.
Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coordenados en los puntos A(−2, 0) y B(0, 2)
13.
Determina la ecuación en forma estándar de la circunferencia que toca tangencialmente a los ejes coordenados en los puntos A(2, 0) y B(0, −2)
14.
Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 2) y que es tangente al eje x
15.
Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C( −1, 3) y que es tangente a la recta 4x − 3y = 5
16.
Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(4, −2) y que pasa por el punto P(0, −1)
17.
Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C( −1, 2) y que pasa por el punto P(2, −3)
18.
Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 0) y que pasa por el punto P(1, 4)
19.
Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 1) y que es tangente a la recta 3x + 4y = 0
20.
Halla la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, −2) y que es tangente a la recta x + 3 y = −1
Problemas para trabajar en equipo
Con tu equipo de trabajo discutan y resuelvan las cuestiones que se proponen en las siguientes situaciones: 1.
Encuentren un método para determinar las rectas tangentes a una circunferencia desde un punto P. Por ejemplo, determina las rectas tangentes a la circunferencia ( x − 3)3 + ( y − 2)2 = 1 que pasan por el punto (5, 6).
2.
Determinen cómo encontrar la ecuación de una circunferencia que sea tangente a los ejes coordenados en el primer cuadrante, dado el radio R.
3.
Determinen la ecuación de la recta tangente a la circunferencia con centro en C(0, 3) y radio 2, que tiene pendiente 2.
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416
Unidad 6: Geometría analítica
1.
Indica la opción que contiene la ecuación de la circunferencia con centro en C(2, − 3) y radio 4.
+ 4 x + y2 − 6 y + 9 = 0 x 2 − 6 x + y2 + 4 y − 9 = 0 x 2 − 4 x + y2 + 6 y − 3 = 0 x 2 + 6 x + y2 − 4 y + 3 = 0
a) x 2 b) c) d ) 2.
Halla la opción que contiene la ecuación centro-radio de la circunferencia x
2
− 6x + y2 − y +
1 4
=0
3
a)
x − 3 + ( y − 1)2 = 9 2
b) ( x − 3)
3
2
1 9 + y− = 2 4 3
3.
c)
x + 3 + ( y + 1)2 = 9 2 4
d )
1 ( x − 3) + y − = 9 2
2
3
Halla la ecuación de la circunferencia de radio 2 que es tangente en el punto P(1, − 1) a la recta L: 4 x + 3 y – 1 = 0 2
2
2
2
a)
x − 19 + y − 65 = 4 17 17
b)
x − 23 + y − 19 = 4 17 17
c) x +
2
65 17
2
d ) 4.
+ y −
2
19 17
=4
2
x + 19 + y − 23 = 4 17 17
Clasifica la circunferencia como real, degenerada o compleja 2 x 2 + 2 y2 − 8 x + 12 y + 26 = 0 a) real b) degenerada c) compleja
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417
6.2 Circunferencia
5.
Encuentra en la columna B las clasificaciones de las ecuaciones que aparecen en la columna A. Columna A
a) x 2
b) x
2
−
4 2 x+y 3
Columna B
−y+
− x + y2 + 4y +
c) x 2
− 6 x + y2 − y +
d ) x 2
+ y2 − y −
63 4
47 36
=0
i. Circunferencia de radio 4 ii. Circunferencia compleja
17 4
=0
45 4
=0
iii. Un punto: C(1/2, −2) iv. Circunferencia de radio 2 v. Un punto P(−2 ,1/2 )
=0
Respuestas a los Ejercicios y problemas 5.
a) ( x − 2)2 + ( y + 1)2 = 9; b) ( x − 1/2)2 + ( y + 3)2 = 1/4; c) ( x + 3)2 + ( y − 2)2 = 1; + ( y − 1/2)2 = 16; e) x2 + ( y − 2)2 = 16; f ) ( x − 3)2 + y2 = 9
d) ( x − 1/2)2
6.
a) ( x − 2)2 + ( y + 1)2 = 25; b) ( x + 1/2)2 + ( y − 1)2 = 1/4; c) ( x + 1)2 + ( y d) ( x + 2)2 + ( y − 3)2 = 15; e) ( x − 2)2 + ( y + 1)2 = 4; f ) ( x + 2)2 + ( y + 3)2 = 16
− 1/2)2 = 1/4;
7.
a) real b) real; c) imaginaria
8.
a) 5 x2 + 5 y2 − 19 x − 9 y = 0; x − 7 y + 4 = 0;
(
9. x
−1−
8
2
) + (y + 1 + 8)
10.
( x − 2)2 + ( y − 2)2 = 4
11.
( x + 2)2 + ( y + 2)2 = 4
12.
( x + 2)2 + ( y − 2)2 = 4
13.
( x − 2)2 + ( y + 2)2 = 4
14.
( x − 2)2 + ( y − 2)2 = 4
15.
( x – 3)2 + ( y + 1)2 = 4
16.
( x – 4)2 + ( y + 2)2 = 17
2
d) degenerada e) imaginaria
b) x2 + y2 + x − 7 y + 4 = 0;
=4 y
2
c) x2 + y2 − x − y
( x − 1 + 8 ) + ( y + 1 − 8 )
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2
=4
= 0;
d) x2 + y2 +
