ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA TRANSFERENCIA DE CALOR I Nombre: Paul Valdiviezo CONDUCCIÓN CON GENERACIÓN DE ENERGÍA TÉRMICA Un proceso común de generación de energía térmica implica la conversión de energía eléctrica a térmica en térmica en un medio conductor de corriente (calentamiento ( calentamiento óhmico o de resistencia). resistencia). La razón a la que se genera energía al pasar una corriente I corriente I a a través de un medio de resistencia eléctrica R eléctrica Re es E g = I 2 Re
(3.37)
Si esta generación de potencia (W) ocurre de manera uniforme a lo largo del medio de volumen V , la razón de generación volumétrica (W/m 3) es entonces
3.5.1 La pared plana Considere la pared plana de la figura 3.9a 3.9a, en la que hay generación de energía uniforme uniforme por unidad de volumen ( q es constante), y las superficies se mantienen a T s, s, 1 y T s, s, 2. Para una conductividad térmica constante k , la forma apropiada de la ecuación de calor, ecuación 2.16, es
donde C 1 y C 2 son las constantes de integración. Para las condiciones de frontera que se establecen,
T (− L) = T s,1 y T ( L) =T s,2 Las constantes se evalúan y son de la forma
en cuyo caso la distribución de temperaturas es
El flujo de calor en cualquier punto en la pared se determina, por supuesto, mediante el uso de la ecuación 3.41 con la ley de Fourier. Advierta, sin embargo, que con generación el flujo de calor ya no es independiente de x. El resultado anterior se simplifica cuando ambas superficies se mantienen a una temperatura común, T s, 1 = T s, 2 ≡ T s. Entonces la distribución de temperaturas es simétrica con respecto al plano medio, figura 3.9b, y está dada por
La temperatura máxima se tiene en el plano medio
en cuyo caso la distribución de temperaturas, ecuación 3.42, se expresa como
Para utilizar los resultados precedentes debe conocerse la temperatura o temperaturas de las superficies. Sin embargo, una situación común es aquella para la que se conoce la temperatura de un fluido contiguo, T ∞, y no T s. Entonces es necesario relacionar T s con T ∞. Esta relación se desarrolla aplicando un balance de energía en la superficie. Considere la superficie en x = L para la pared plana simétrica (figura 3.9b) o la pared plana aislada (figura 3.9c). Dejando de lado la radiación y sustituyendo las ecuaciones de flujo apropiadas, el balance de energía dado por la ecuación 1.12 se reduce a
Al sustituir de la ecuación 3.42 para obtener el gradiente de temperatura en x = L, se sigue que
Por tanto, T s se calcula a partir del conocimiento de T ∞, q , L y h. La ecuación 3.46 también se obtiene aplicando un balance global de energía a la pared plana de la figura 3.9b o 3.9c. Por ejemplo, en relación con una superficie de control alrededor de la pared de la figura 3.9c, la razón a la que se genera energía dentro de la pared debe equilibrarse con la rapidez a la que la energía sale por convección a la frontera. La ecuación 1.11a se reduce a Eg = E sale o, para un área superficial unitaria, qL = h(T s −T ∞ ) Al resolver para T s, se obtiene la ecuación 3.46. La ecuación 3.46 se combina con la ecuación 3.42 para eliminar T s de la distribución de temperaturas, que se expresa entonces en términos de las cantidades conocidas T ∞,q , k , L y h. Se obtiene el mismo resultado de forma directa usando la ecuación 3.45 como condición de frontera para evaluar las constantes de integración que aparecen en la ecuación 3.40.
3.5.2 Sistemas radiales La generación de calor ocurre en una variedad de geometrías radiales. Considere el cilindro sólido, largo, de la figura 3.10, el cual podría representar un alambre conductor de corriente o un elemento de combustible en un reactor nuclear. Para condiciones de estado estable, la razón a la que se genera calor dentro del cilindro debe ser igual a la rapidez con que se transmite calor por convección de la superficie del cilindro a un fluido en movimiento. Esta condición permite que la temperatura de la superficie se mantenga en un valor fijo T s. A fin de determinar la distribución de temperaturas en el cilindro, comenzamos con la forma apropiada de la ecuación de calor. Para una conductividad térmica constante k , la ecuación 2.20 se reduce a
Al separar variables y suponer generación uniforme, esta expresión se integra para obtener
Si el procedimiento se repite, la solución general para la distribución de temperaturas se convierte en
Para obtener las constantes de integración C 1 y C 2, aplicamos las condiciones de frontera
la primera condición resulta de la simetría de la situación. Es decir, para el cilindro sólido la línea central es una línea de simetría para la distribución de temperaturas y el gradiente de temperaturas debe ser cero. Recuerde que existen condiciones similares en el plano medio de una pared que tiene condiciones de frontera simétricas (figura 3.9b). De la condición de simetría en r = 0 y de la ecuación 3.50, es evidente que C 1 = 0. Al usar la condición de frontera de la superficie en r = r 0 con la ecuación 3.51, obtenemos
Por tanto, la distribución de temperaturas es
Evaluando la ecuación 3.53 en la línea central y dividiendo el resultado en la ecuación 3.53, obtenemos la distribución de temperaturas en la forma adimensional,
donde T 0 es la temperatura de la línea central. La transferencia de calor en cualquier radio en el cilindro se puede evaluar, por supuesto, mediante la ecuación 3.53 con la ley de Fourier. Para relacionar la temperatura de la superficie, T s, con la temperatura del fluido frío, se usa un balance de energía en la superficie o un balance global de energía. Si se elige el segundo método, obtenemos
o
