4 Conduccion Con Generacion Interna de Calorf

CONDUCCION CON GENERACION INTERNA DE CALOR La generación interna se presenta como consecuencia de: a)Paso de la corriente eléctrica en los conductores y resistencias eléctricas. eléctricas. b)Flujo de neutrones y otras partículas a través de las paredes solidas (reactores nucleares) c)Procesos de combustión, aparatos térmicos. d)Procesos metabólicos metabólicos de transformación transformación orgánica en calor.

Analizaremos tres casos: paredes planas, cilindro y esfera sólida. PARED PLANA

Balance energía calorífica

    +

30

Por expansión de Taylor y K constante, flujo unidimensional unidimensional

+                Arreglando

  ´ ´  0

1

Como hay generación de calor uniforme, la mayor temperatura es en el centro (x=0)

Y dt/dx = 0

(α)

X = L → T = TW y

x = -L → T = TW

Integrando 1

  ´ ´ 

 

(2)

Volviendo a integrar en (2)

 ´ ´ 

 

(3)

De α en 2, para x = 0 y dT/dx = 0 0 + 0 = C1

→ C1 = 0

(β)

De α en 3 para x = L → T = TW y x = -L → T = TW

 ´ ´ 0 →   ´ ´  →    ´ ´     3  ´ ´   ´ ´ (

Arreglando

 ´ ´  

 

(31)

Temperaturas entre 0 a L o 0 a  –L Para x = 0

  ´ ´ 

 

(32)

Temperatura máxima en el centro de la placa Temperatura en la pared en función del coeficiente convectivo h y la temperatura ambiente T∞ El calor generado en el sólido se debe transmitir por convección al fluido que lo rodea, ambas caras están a la misma T W, h∞ y T∞

´ ´ℎ ∞ ´ ´∗2ℎ2 ∞

  ´´ ∞

 

(33)

Si h1 ≠ h2 → TW1≠TW2

´´ ´´ ´ ´´  |=− ℎ ∞    |= ℎ ∞ CILINDRO HUECO Y LARGO

Balance calorífico

 ̇  ̇  ̇+  ̇ 2¨    ̇+  ̇     

(1)

¨

(2)  

(3)

(3), (2) en (1)

 ´ ´2    ´´    0 → ´´      0 →      ´´ Integrar la ecuación diferencial

´´    

→   ´´  

Volviendo a integrar

 ´ ´  ln

 

(4)

Si r =r1 → T = T1

y

r = r2 → T = T2

  ´ ´  ln     ´ ´  ln  

(α) (β)

(α) - (β)

   ´ ´   ln  ´ ´(−)  − +        ´ ´(−)   ´ ´  − +          ln   ´ ´  −)  ´ ´  − + (              ln   ´ ´(−) ´ ´(−)  ´ ´  ´ ´  − +  − +              ln     ln 

( )

Calculamos C2,

( ) en (β)

 

(Ø)

(Ø) y ( ) en (4)

Entonces la ecuación de distribución de temperaturas es:

   ´ ´ ´ ´                     Derivando

 

(I)

(I)

  ´´  −+´´(−)    0

 

(5)

Determina la máxima temperatura

En (5)

´´  −+´´(−)  → ´´  −+´´(−)   ´ ´(−)   − +     √    ´ ´  

(II) en (I)

(II)

   ´ ´ ´ ´                    

 

(III)

Flujo de calor hacia el interior para radio r = r1

 ̇=  |= 2 |= ´ ´(−)   − +   ´ ´    ̇= 2{     }

 

(IV)

´ ´   − +   ´ ´   ̇= 2{   (−) }

(V)

Flujo de calor hacia el exterior r = r2

 

Para el caso de CILINDRO MACIZO, compare con las ecuaciones encontradas en capítulos anteriores

  ´ ´  

 

(VI)

Temperatura máxima cuando r1 = 0

   ´ ´  ̇= 2 ´´ ´ ´  

(VII)

Flujo de calor hacia el exterior

 

(VIII)

Calculo de T2 en función de h y T∞

 ̇ ´ ´ ℎ2 ∞´ ´  ∞  ´ ´

Calor transferido por convección del cilindro al fluido que le rodea

 

(IX)

ESFERA HUECA

Balance calorífico

 ̇  ̇  ̇+  ̇ 4¨     ̇+  ̇     

(1)

¨

(2)  

(3)

(3), (2) en (1)

´ ´4    Balance calorífico

 ̇  ̇  ̇+  ̇ 2¨  ̇ +  ̇      

(1)

¨

(2)  

(3)

(3), (2) en (1)

 ´ ´2      ´´     ´´    →   

(4)

Integrando (4)

   ´´     ´´   

 

(5)

Volviendo a integrar

 6´ ´   

 

(6)

Condiciones de contorno Si r =r1 → T = T1

y

r = r2 → T = T2

  6´ ´      6´ ´    Operando encontramos

  −∗  ´ ´ 6−    6´ ´ −  ´ ´ 6− C1 y C2  en (6)

 ´ ´ 6− −  ´ ´ 6−∗1 

 

(7)

Reemplazando C1 en (5a)

  ´´    0 →   ´´   ´ ´] −  ∗ [ −     .  ´ ´−

∗[−−´ ´] 

 

0 (8)

Reemplazando en (7)

  ´ ´ −6 −  ´ ´ 6−∗1  

 

Ecuaciones para flujo de calor Para r1

 ̇=  |=   ´´   − −−´ ´     ´ ´  − −   ´ ´   ̇= 4 {    − }

 

(10)

(9)

Flujo de calor para r2

  ´ ´  − −   ´ ´   ̇= 4 {    − }

 

(11)

Para el caso de ESFERA MACIZA En (7), r1 = 0

 ´ ´ 6  ´ ´ 6    6´ ´    

(12)

De (9), para r Temperatura máxima= 0

    6´ ´  ̇   ´ ´

 

(13)

Flujo de calor exterior  

(14)