COMPORTAMIENTO DE FORMACIONES PRODUCTORAS.
Marco A. Ruiz Serna.
3 J= qL
P r e s i o n
Indice de Productividad, Bbl / día. Psi Caudal líquido., Bbls / dia.
Las distintas formas de encontrar el índice J se pueden clasificar: • La comparación de las expresiones (1.3) y (1.6) permite encontrar una ecuación para J el cual se considera como teórico ó ideal.
Pr
Ji =
q = (Pr − P wf )
7 . 08
x
−3
K h K ro ⎛ r ⎞ µ o ln ⎜⎜ 0 . 42 e ⎟⎟ r ⎝ w ⎠ 10
(1.7)
La ecuación (1.7) no tiene gran aplicación, en la práctica, debido a que no siempre se tiene información precisa de los términos involucrados.
d e F o n d o
•
P w f
Caudal L íquido. q L
Aof
Este gráfico conocido como curva IPR permite hallar el Indice de Productividad ya que según se muestra en la ecuación (5) y la Figura 1, la pendiente se representa como: m
El índice de productividad J cuantifica el caudal entregado por una formación por cada unidad de diferencial de presión entre la formación y el fondo del pozo. El índice de productividad informa la capacidad de producción de un pozo y se utiliza para caracterizar, en forma comparativa, las distintas formaciones. En general se puede encontrar arenas productoras con una productividad baja cuyos índices de productividad son menores que uno (1) y formaciones con una capacidad muy superior con índices de productividad de varias decenas.
j
= −
= −
1 j 1
m
(1.8) (1.9)
El Indice de Productividad equivale al inverso negativo de la pendiente de la Curva IPR para cada caudal.
La mediciones de campo, junto con la expresión (1.6) constituyen la forma preferida para encontrar el Indice de Productividad. En este caso, la presión de formación Pr se determina a partir de la interpretación de datos provenientes de una Prueba de Presión. A partir de una Prueba de Flujo, se obtiene una medición simultánea de presión de fluyente en el fondo del pozo y el caudal correspondiente entregado por la formación. El la literatura (2) se encuentran escritos especializados sobre procedimientos adicionales utilizados para encontrar el Indice J a partir de pruebas de producción en el campo.
5 producción encontradas en la vida productiva de un pozo y a partir de la cual se construye la relación de afluencia para un pozo particular de interés. La Figura 2 reproduce la forma general de la correlación de Vogel y además en su trabajo, presenta la ecuación empírica correspondiente a la tendencia de la curva, la cual se utiliza en forma preferencial como correlación de trabajo para hallar la IPR particular de un pozo, dada por:
fondo y para un pozo presenta la siguiente forma mostrada en la Figura 3, de la cual se destaca: .
.
Un caudal cero se consigue cuando la caída de presión hasta la cara de la formación se anula y la presión fluyente iguala la presión del fluido en la formación Pr . El caudal teórico máximo se obtiene a las condiciones idealizadas de presión fluyente cero y se conoce como potencial del pozo, A of , del inglés, Absolute Open Flow.
. 1
.
Pwf Pr
Pr
1
q L
P r e s i o n
Aof
d
q = Aof
⎛ P ⎞ 1 − 0.2 ⎜ wf ⎟ − 0.8 ⎜P ⎟ ⎝ r ⎠
La pendiente negativa de la curva aumenta con el caudal, hecho este consecuente con la disminución del inverso de la pendiente en cada punto conocido como Indice de Productividad. La Curva IPR representa la relación de afluencia para un tiempo de producción definido, por su dependencia con el valor de presión de formación Pr . La disminución de esta presión con el tiempo de producción arrastra consigo una variación en los valores leídos de la curva IPR.
⎛ Pwf ⎞ ⎜ ⎟ ⎜P ⎟ ⎝ r ⎠
2
(1.10)
donde, A of es la tasa máxima de flujo de la formación y se obtiene cuando la presión fluyente Pwf es igual a cero. La curva IPR se constituye, entonces, en una relación general entre al caudal líquido producido por la formación y la presión fluyente en el
Pwf 0
Caudal
q L
Aof
7
Se determina el caudal máximo con la información de la prueba de flujo.
Aof =
282 1 − 0.2 (0. 847 )
− 0.8 (0.847)2
=1
098 Bbl /
La Tabla 2 enseña los valores de presión para el caudal de interés y se utiliza la ecuación (11) para el modelo lineal y la ecuación (14) para el modelo de Vogel. La Figura 5 muestra los resultados comparativos de los modelos utilizados.
dia
Con el caudal máximo conocido se encuentran los caudales, para cada presión fluyente, con el uso de la ecuación (1.10) y se listan los resultados en la Tabla 1.
2000
f w P 1 5 0 0 , n 1 0 0 0 ó i s e 5 0 0 r P
En operaciones de diseño y análisis de sistemas de producción es común utilizar el procedimiento de Vogel en dirección inversa, es decir, se requiere encontrar la presión fluyente para un grupo de caudales establecidos; en este caso, la ecuación de Vogel (1.10) se resuelve para presión y se encuentra la expresión siguiente.
Pwf = Pr
2.
⎡ ⎢ ⎣⎢
1. 265625
⎛ q ⎞ − 1. 25 ⎜ ⎟ − ⎝ Aof ⎠
⎤ 0. 125⎥ ⎦⎥
0 200 400 600 800 1,000 1,098 1,200 1,400 1,600 1,843
0 0
1000
2000
C a u d a l, B b l / d i a
Tabla 2. Comparación del modelo lineal y de Vogel. Ejemplo 2. Presión Fluyente Lineal Vogel 2,085 2,085 1,859 1,864 1,632 1,616 1,406 1,331 1,180 981 954 483 843 0 727 501 275 0
Vogel
(1.14)
Resolver el ejemplo 1 para los caudales definidos en la Tabla
Caudal Bbl/dia
Lineal
Figura 5. Comparación del modelo Lineal y de Vogel para la IPR. Ejemplo. Una limitación destacada en el modelo de Vogel consiste en que no se involucra en su ecuación el concepto de eficiencia de flujo y/o efecto del daño de formación. 1.3.2 . Una de las suposiciones involucradas en el modelo de Vogel considera que la permeabilidad de la formación es una propiedad constante e independiente de la distancia a partir de la cara de la formación. No obstante, la realidad muestra que varios fenómenos propios de las operaciones de perforación, completamiento, y otros de la fase de producción deterioran la capacidad de flujo de la arena y distorsionan el perfil de distribución de la presión desde la arena hasta el fondo del pozo y entre ellos se pueden resaltar:
Los sólidos del lodo de perforación se depositan en los poros de la roca en la zona circundante al pozo.
9 Pwf
=
Pwfi
+ ∆Pskin
(1.16)
Un pozo estimulado demanda, para un caudal dado, una caída de presión menor entre la formación y el pozo en comparación con un pozo inalterado.
Pr
J = Indice de Productividad del pozo. Ji = Indice de Productividd del pozo teórico. Dos expresiones análogas a la ecuación (1.17) asume la siguiente forma:
⎛ P − Pwfi ⎞ ⎟ Pwf = Pr − ⎜⎜ r ⎟ F ⎝ ⎠
(1.18)
Pwfi = Pr − F Pr − Pwf
(1.19)
Se pueden presentar los siguientes tres casos: Al reemplazar la ecuación (1.15) en la (1.17), se encuentra:
Pwf
∆Pskin =
F =
Pwf − Pwfi
(Pr − Pwfi ) (Pr − Pwfi + ∆Pskin )
(1.20)
Para un pozo dañado, el efecto del ∆Pskin es incrementar la caída de presión y la eficiencia es menor que la unidad. El índice de productividad, J, es menor con relación al valor teórico, Ji.
Pwfi
Figura 1.7. Perfil de la distribución de presión en la zona de daño para un pozo estimulado. La eficiencia de flujo es un concepto asociado al daño de la formación y se define para un pozo como la relación entre el índice productividad y el índice de productividad teórico ó sin presencia de daño, tal como se asumió en el trabajo de Vogel.
F =
qL (Pr − Pwfi ) (Pr − Pwfi ) J = = Ji qL (Pr − Pwf ) (Pr − Pwf )
F = Eficiencia de flujo.
(1.17)
Para este caso se reemplaza la ecuación (1.16) en la definición (1.17) y sed puede encontrar:
F =
(Pr − Pwfi ) (Pr − Pwfi − ∆Pskin )
(1.21)
El efecto de las operaciones de estimulación es aliviar y mejorar la capacidad de flujo de la formación y, por lo tanto, la eficiencia es mayor que la unidad ó el índice de productividad supera el valor del índice teórico.
En este caso se conserva la productividad original de la formación y el resultado es un valor unitario para la eficiencia y se utiliza como parámetro de referencia para los otros casos en mención.
12
Tabla 3. Curva IPR para distintas Eficiencias. Ejemplo 3. Caudal 0,00 200,00 400,00 600,00 800,00 953,00 1000,00 1098,00 1181,00 1200,00 1300,00
Pwf, F = 1 2085,00 1864,00 1616,00 1331,00 981,00 626,00 483,00 0,00
Pwf, F = 0,7
Pwf, F = 1,2
2085,00 1769,00 1415,00 1008,00 508,00 0,00
2085,00 1900,00 1696,00 1462,00 1184,00 916,00 816,00 553,00 0,00
J=
Aof i F [1.8 − 0.8 F (1 − R )] q = Pr (1− R ) Pr
Se presenta la siguiente definición: J* =
Lim J Pwf → Pr
J* =
Lim J 1.8 F Aof i = Pwf → Pr Pr
F=1.0 F=0.7
1.8 Aof i Lim J = Pwf → Pr Pr
Aof i = 1.000
1.500
Caudal. Bbl/dia
(1.34)
De la expresión anterior se obtiene:
F=1.2
500
(1.33).
De acuerdo a la definición de eficiencia y de la expresión (1.33) se puede notar que:
J* i =
0
(1.32)
Al evaluar el límete dada por (1.32) en (1.31) se obtiene:
Figura 1.9. Curva IPR para distintas eficiencias. Ejemplo 3. . 2.500 e t n 2.000 e y u 1.500 l F n 1.000 o i s 500 e r P 0
(1.31)
J* i
1.8
(1.35)
Pr
Sí se reemplaza la expresión (1.7) para Ji , se obtiene: 1.8
J* i
Ck h ⎛ r ⎞ Ln ⎜⎜ 0.47 e ⎟⎟ r w ⎠ ⎝
⎛ Kro ⎞ Pr ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ µ o B o ⎠P 1.8
En 1982 – se publica el modelo de Diaz – Couto el cual se constituye en una metodología alterna para determinar los puntos de la curva IPR para un pozo en la cual no se requiere la información inicial de una prueba de flujo pero requiere conocer información detallada del yacimiento.
Aof i =
De la definición del Indice de productividad y le expresión (1.25) se obtiene:
Al llevar la expresión (1.36) a la ecuación general (1.25) se halla
Pr
=
(1.36)
r
13
q =
Ck h ⎛ r ⎞ Ln ⎜⎜ 0.47 e ⎟⎟ r w ⎠ ⎝
⎛ Kro ⎞ Pr ⎜⎜ ⎟⎟ F (1 − R ) [1.8 − 0.8 F (1 − R )] ⎝ µo Bo ⎠P 1.8 r
Pr
(1.37) La ecuación anterior constituye la expresión de trabajo para calcular la curva IPR por el modelo de Diaz Couto Golan. Se puede notar que basta suponer un valor de R para encontrar el respectivo caudal sí se conoce la información involucrada del yacimiento y del comportamiento PVT de los fluidos.
Pb
Pwf
La ecuación anterior se puede modificar para considerar los cálculos de IPR para eficiencias mayores que uno de acuerdo a la propuesta de Lekia y Evans. Ck h q = ⎛ r ⎞ Ln ⎜⎜ 0.47 e ⎟⎟ r w ⎠ ⎝
⎛ Kro ⎞ Pr 0.4 ⎜⎜ ⎟⎟ F ⎝ µo Bo ⎠P 1.8
[1 − R ] 2
q bi
(1.38)
q ci Aof i
r
Tanto las expresiones (1.37) ó (1.38) permiten reconocer que el caudal entregado por la formación depende de las propiedades del medio, de las propiedades de los fluidos, del gradiente de presión y del daño asociado. Una situación recurrente en los formaciones productoras consiste en aquella en la cual los fluidos se encuentran en la formación a una presión estática mayor que la presión de burbuja de los fluidos, sin embargo, las condiciones fluyentes de presión en el fondo del pozo son menores que la presión de burbuja. En este caso, la producción líquida se encuentran acompañada de flujo de gas libre en el fondo del pozo. La curva IPR para estos casos demarca dos situaciones distintas. Un comportamiento de línea recta para presiones fluyentes mayores que la de burbuja, un trazado parabólica para presiones fluyentes por debajo de la presión de burbuja del fluido. Patton ( ) publica en 1987 un modelo general que permite definir las dos secciones definidas, separadas por el punto de burbuja, Figura 1.9.
Figura 1.10 Forma de la Curva IPR correspondiente al Modelo Base de Patton. •
. El modelo base de Patton asume un valor unitario para la eficiencia de flujo. En este caso se puede plantear para la curva IPR.
En la sección 1 la ecuación de IPR se puede escribir:
q = Ji Pr − Pwf i
(1.39)
En la Sección 2, la ecuación correspondiente debe ser: q
− q bi q ci
= 1 − 0.2 R i − 0.8 R i2
(1.40)
La expresión(1.40), revela la necesidad de determinar dos parámetros, qci y qbi para encontrar los valores de la curva IPR.
14
q ci
En este caso el valor de R está normalizado como:
q
= 1 − 0.2 R i
P Ri = wfi Pb
− 0.8 R
2 i
+
1.8
(Pr − Pb )
(1.41)
Sin embargo, el punto de la curva correspondiente a q bi , Pb representa un punto común a los dos tramas, luego, se cumple que:
⎛ ∂ q ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂ Pwf ⎠ P
sec cion 1 =
b
⎛ ∂ q ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂ Pwf ⎠ P
= 1.8
Pb
. La curva desciende con respecto a la curva teórica, Figura 1.10, y las ecuaciones tanto para la parte recta como para la curva se listan:
Para la parte recta:
q = J Pr − Pwf
sec cion 2
(1.46)
b
A l resolver las derivadas anteriores en las ecuaciones (1.39 ) y (1.40 ) se obtiene: Ji
(1.45)
q ci
(1.42)
Pb
Pr Pb
F= 1
F <1
pero se puede observar, de la Figura 1.9, una correspondencia para Ji : Ji
=
q bi
(Pr − Pb )
(1.43)
Pwf F <1
así, se obtiene una expresión que relaciona dos parámetros básicos del modelo de Patton, q bi y q ci 1.8
q ci Pb
=
q bi
(Pr − Pb )
q bi
Aof
Aof i
(1.44)
Sin embargo, se puede lograr una expresión alterna, de suma importancia, para el parámetro q ci de dentro del modelo. Al resolver para q bi de la expresión anterior y reemplazar en la expresión (1.40) y resolver para q ci se obtiene:
qb
F= 1
Figura 1.11. Forma generalizada de la Curva IPR de acuerdo al Modelo de Patton. Para la parte curva:
q − qb = F ( 1 − R ) [1.8 − 0.8F (1 − R )] qci
16
J*i Pr q = F (1 − R )[1.8 − 0.8F (1 − R )] 1.8
(1.51)
La relación (1.51) es una expresión general, válida para hallar la curva IPR a una presión de formación cualquiera y, en particular, para una presión futura Prf asume la siguiente forma
J* P q = if rf F (1 − R )[1.8 − 0.8F (1 − R )] 1.8
(1.52)
J
=
1.8 − 0.8 F (1 − R ) 1.8
(1.54)
Con la ecuación (1.54 se puede obtener el parámetro J * a partir del conocimiento de J , obtenido, este último a partir de los datos de la prueba de flujo y de la definición (1.6). Conocido J * , se obtiene Ji* de la definición de eficiencia (1.17). ·
= Índice de productividad teórico a la presión futura
Prf .
⎛ K ro ⎞ = relación Permeabilidad Relativa – viscosidad evaluada, a la presión ⎜ ⎟ ⎝ µ o ⎠ P
Pr .
(1.53)
Cálculo del parámetro Ji* . Al relacionar las expresiones (1.31) y (1.33) se obtiene:
*
= Índice de productividad teórico a la presión actual Pr .
J *if
Antes de utilizar la ecuación anterior se requiere encontrar el parámetro dependiente de presión J *if a partir de un procedimiento secuencial propuesto por Standig:
J
J i*
(1.55)
r
P R = wf Prf
·
·
K ro ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎝ µ o ⎠ Pr Ji* = * K ⎛ Jif ⎜ ro µ ⎞⎟ o ⎠ P ⎝ rf
* Cálculo del parámetro Jif . De la relación (1.7) para el índice de productividad teórico y de la expresión (1.33) se puede relacionar:
⎛ K ro ⎞ = relación Permeabilidad Relativa – viscosidad evaluada a la presión ⎜ ⎟ ⎝ µ o ⎠ P Prf . rf
Un procedimiento propuesto para hallar la IPR se describe como:
. . .
Con los datos de una prueba de flujo y el valor de
.
Hallar el índice de productividad límite a la presión futura, (1.55).
.
Usar las ecuaciones (1.52) para calcular el caudal para cada presión fluyente y completar la curva.
Encontrar el valor límite de
J*
Pr ,
hallar J.
con ayuda de la relación (1.54).
Hallar el límite a eficiencia unitaria ecuación (1.17).
J *i
al dividir por la eficiencia según la J *if
con la ecuación
El procedimiento anterior descrito se configura como una derivación del modelo general de Standing y, por supuesto, también contiene la restricción de uso para eficiencias menores ó iguales a uno. Una adaptación del m ismo pero para eficiencias mayores que uno, consiste en seguir el procedimiento mostrado y al final utilizar el modelo de Lekia and Evans, ecuación (1.26), a cambio de la ecuación (1.25); es decir, la ecuación final se escribe como:
17
2 J*if Prf 0.4 ⎡⎢ ⎛ Pwf ⎞⎟ ⎤⎥ ⎜ q= F 1− ⎜ ⎟ 1.8 ⎢ ⎝ p rf ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
(1.56)
Para los datos del Ejemplo 3 predecir la curva IPR cuando la presión de formación disminuye desde 2085 a 1800 lpc, comparar las curvas obtenidas. Además se conocen los siguentes datos en función de la presión: 2085 1800
0.6 0.42
2.8 4.0
: de acuerdo al procedimiento descrito se calcula:
.
Índice de productividad J =
.
Índice de productividad límite 0.88 × 1.8 0.88 × 1.8 = = 0.924 J= 1.8 − 0.8 F(1 − R ) 1765 ⎞ ⎛ 1.8 − 0.8 × 0.7⎜1 − ⎟ ⎝ 2085 ⎠
.
Límite teórico
.
Límite teórico futuro
J *i
=
0.94 0.7 J *if
212 2085 − 1800
= 0.88
= 1.32 =
(1.32) 0.42
(0.6 2.8)
4
= 0.65
En la Tabla 4 se listan los resultados de presión fluyente para las eficiencias 0.7 y 1.2 y para cada caudal listado en la Tabla 1.3. la Figura 1.12 enseña los resultados comparativos de las curvas IPR obtenidas.
1.
VOGEL, J. V.; Inflow Performance Relationships For Solution Gas Drive Wells”. Journal of Petroleum Technology, January 1968.
2.
STANDING, M., Concerning the Calculations of Inflow Performance of Well Producing from Solution Gas Drive Reservoirs, Journal of Petroleum Technology, September 1971.
3. LEKIA, S. and EVANS R., Generalized Inflow Performance Relationship for Stimulated Wells; Journal of Canadian Petroleum Technology, November 1990. 4.
DIAS C., GOLAN M. General I nflow Perform ance Relationship for Solution Gas Reservoir Wells, Journal of Petroleum Technology, February 1982.
5.
PATTON L. and GOLAN M. Ge neralized IPR Curves for Prediction Well Behavior. Petroleum Engineer – International. June 1980, Pag 74 – 82.
6.
GALLICE F., WIGGINS M., A Comparison of Two Phase Inflow Performance Relat ionships . SPE Production and Facilities. May 2004.
18
