UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS “ESPE”
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA DEBER 2º PARCIAL TEMA: CIRCUITOS RLC, TRANSFORMADA DE LAPLACE, Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
CIRCUITOS ELÉCTRICOS II NRC: 3896 FECHA DE ENTREGA: 05-07-2017
SECCIÓN 9 Sección 9.3 Ecuación diferencial para circuitos con dos elementos que almacenan energía. P 9.3-1 Plantee la ecuación diferencial del circuito de la figura P 9.3-1, con el método directo.
Figura 9.3-1
Solución:
LCK Nodo a :
LVK Malla 1 :
=12 = = =∗ =1 = ∗ 1 =100 Ω , L = 1 m H , C = 1 0 u F = 2 Ω , =100Ω =110− 0,00003 1,02 110 ∗= , .
Reemplazando Reemplazando Ecuación Ecuación #1 en la #2 #2 obtenemos ;
Reemplazando los valores del circuito ;
; (Vf x
) )
:
SECCIÓN 9 Sección 9.3 Ecuación diferencial para circuitos con dos elementos que almacenan energía. P 9.3-1 Plantee la ecuación diferencial del circuito de la figura P 9.3-1, con el método directo.
Figura 9.3-1
Solución:
LCK Nodo a :
LVK Malla 1 :
=12 = = =∗ =1 = ∗ 1 =100 Ω , L = 1 m H , C = 1 0 u F = 2 Ω , =100Ω =110− 0,00003 1,02 110 ∗= , .
Reemplazando Reemplazando Ecuación Ecuación #1 en la #2 #2 obtenemos ;
Reemplazando los valores del circuito ;
; (Vf x
) )
:
P 9.3.2. Plantee la ecuación diferencial para el circuito de la figura aplicando el método de operadores.
Aplicando Mallas
21 1 100 10012 = 0 21100 10012 = 1001002211 =0 100 1 2 = 0 ② 1102 102 10021= ① 10012100 = 0 ② 102 10000 2 = 100 1 102 2 = 10 112001026 = ①
Aplicando Operadores
Reemplazo L=1E-3 C=1E-6
P 9.3.3. Deduzca la ecuación diferencial de iL(t), cuando t>0. Para el circuito d e la figura.
LCK.
LVC.
Derivo Vc(t)
Entonces.
= 2 =0 1. 1. =0 =1.1. = 1 1 1 2 21 1.1. =0 =
P 9.4-1 Para el circuito de la figura P 9.3-2, determine la ecuación característica y sus raíces.
= = 100
= =10 = 1001 10 10 18 1.14 1.1= 18 1.14 1.1 =0
Ecuación característica
Raíces
S1=-5500+8930.28i S2=-5500-8930.28i
P 9.4-2 Para el circuito de la figura determine la ecuación característica y sus raíces.
40( ) =0 400.13000=0 40030000=0 ó í: 4003000=0 í =, : = P 9.4.3 Plantee la ecuación característica y sus raíces para el circuito de la figura
: 1 1010− =0 ∶ =2 110−
0=2 110− 1010−2 1010−10− − =3 0.00102 10 102000 310 =10 ∴ 102000310 =0 = = =1 =0 ≥0 0=6 =3000 P 9.5-1 Determine
en el circuito de la figura P9.5-1 cuando
. Las condiciones iniciales son
Ecuación característica
Respuesta natural
y
∗ =0 1∗ = 1 1 =0 50040000=0 , =250± 250 40000 =100, =400
y
.
para
− − = =6= 0 0 =3000=100400 ∴ =2, =8 =− − > para
P 9.5-2 En la figura aparece un circuito RLC en el que v(0)=2. El interruptor ha estado abierto largo tiempo antes de cerrarse en t=0. Determine y grafique v(t)
<0
0=2, 0=0 >0 13 = = = 234 = 83 13 =0 83 =8
1) Apartir de esta ecuacion se obtienen condiciones iniciales
2)
= = = = Sustituyendo 2) en 1)
aplicando condiciones iniciales
y derivando
aplicando condiciones iniciales
13 = 43 1 3 = 43 0= 4 3 43=0 =3,−1 − = 2= =3− − 8=3 =3, =1 =− −
P 9.5-3 Calcule i1(t) e i2(t) e el circuito de la figura cuando i1(0) = i2(0) = 11 A
Se aplica ley de voltajes de kirchoff:
5 3 = 0 3 3 22 = 0 6 13 22 = 0 6 =132=0 16 ; = 2 = − −; = − −
(1)
(2)
Aplicando el álgebra entre la ecuación 1 y 2 se obtiene:
La ecuación característica:
La corriente es:
Usando las condiciones iniciales determinam d eterminamos os las constantes:
0 =11=; 0 = 332 = 6 2;
00=11= = 1436 = 6
= 3,3, = 0,0, = 1, = 12 = − − ; = − −
Finalmente se obtiene la respuesta:
P 9.6.1 Determine
para t > 0 en el circuito de la figura: para
Antes de t = 0 Usando LVK:
100 0.025 = 0 = 10− 4000 410 = 0 4000410 = 0 ,, = 2000, 2000 = − −
La corriente en el capacitor y el voltaje están relacionados por:
La ecuación característica es:
Las frecuencias naturales son:
La respuesta natural tiene la forma:
Después de t = 0
0+ =3= 0+ =0=2000 > =6000 = −
para t 0
P 9.6-2 Determine
para para t > 0 en el circuito de la figura. Suponga que existen condiciones de estado estable en t=0.
Antes de t=0 Usando LCK:
∫ 1 ∗ =0 4 − 4 ∗ 4 = 0
44=0 , =2,2 − − =
Obtenemos la ecuación:
Cuyas raíces son:
Después de t=0
0=0=2 0 = 0.205 =8 0=0= =8= =− y
P 9.6.3 La policía suele usar pistolas eléctricas para incapacitar a individuos potencialmente peligrosos. El dispositivo manual descarga una serie de impulsos de alto voltaje y baja corriente. La potencia de los impulsos está muy por debajo de los niveles letales, pero es suficiente para hacer que los músculos se contraigan y para dejar fuera de combate a la persona. El dispositivo suministra un impulso de hasta 50 000 volts y por un arco fluye una corriente de 1 miliampere. En la figura P 9.6.3 aparece un modelo del circuito para un periodo. Determine v(t) para 0
t<0
t>0
=0−−=0+=10 =0 =0 =0
LTK
=0 ∗=0 0,01 10=0 =0,01 10 = = =0,01 10 0,01 10 =0 0.01 10 1=0 ±√ s, = 2 4 10 ± 1 0 s, = 20.01 40,01C1
∝= 10 =40,01C1 =0 =0.04 = =5∗10 =−∗ −∗
Para que sea críticamente amortiguado
Condiciones iniciales
0= 0=0 =0,01 10 =100 10 0 =100(0100) =10 0 =10 = =10−∗ = ∗= =−∗
P 9.6-4 Repita el problema P9.5-1 cuando L=640 mH, manteniendo iguales los demás parámetros y condiciones.
Condiciones Iniciales
0=6 =6
1 1 =0 50062500=0 250 =0 ,−=250 − =
0 =3000 3000=2506 =1500
=− −
Sección 9.6 Respuesta natural del circuito RLC en paralelo, sin excitación y críticamente amortiguado. P 9.6-5
6 0 = 2
La ignición de un automóvil utiliza un disparador electromagnético. El circuito circuito RLC del arranque mostrado en la figura P9.6-5 tiene una entrada escalón de , e Debe seleccionarse una resistencia de Debe de forma que la corriente exceda los durante más de segundos para activar el disparador. Se necesita una respuesta críticamente amortiguada para evitar oscilaciones en la corriente del para disparador. Seleccione y determine det ermine y grafique
0 = 0.0. 0.6
2Ω<<7Ω 0.5 .
Para t>0
=0; = ∗ = 6 ∗ = 6 ; = = 6 ∗ = 6 ∗ = 6 1 1 ∗ 1 = 61 4
4=6 ∗ 4 = 0; ó ááí = 2 = √ 1
Para un circuito RLC en Serie:
<< Para R=3
= 2 3∗ 1 = 32 = 11∗ 14 = 2 No cumple
Para R=4
= 2 4∗ 1 = 2 = 11∗ 14 = 2 Si cumple
4∗4=0 2 = 0 = = 2
Respuesta Forzada
= − − = = 0 = 0 4 4=6 4 4 = 6 0 4 0 4 = 6 4=6 = 64 = 32 =1.5 = = − − 1.5 0 = − − 1.5 2=−∗ ∗0∗−∗ 1.5 2=1. 5 = .. = 0=
= = = =− − 1.5 ′ =2− 2 − − ′0=2− 2 − − 0=2−∗ 2 ∗0∗−∗ −∗ 0=2 =20.5=1 =− − 1.5 =.− − . = = 14 0.5− − 1.5 = 14 0.5∗2− 2− − = 14 − 2− − = 14 2− 2− = (− −) P 9.7-1 El sistema de comunicación de una estación espacial usa pulsos cortos para controlar a un autómata que opera en el espacio. En la figura P 9.7-1 aparece el modelo del circuito transmisor. Determine el voltaje de salida V c(t ) para t > 0.
Suponga condiciones de estado estable en t = 0-
Solucion: Después de t = 0 KCL:
5∗10− =0
=0,8 800 2, 5 ∗10=0 ⟹ 800250.000=0 , =400 ± 300 =−300 300 KVL:
(2)
por lo tanto, la respuesta natural es de la forma:
(1)
Antes de t = 0 el circuito está en estado estable:
0+= 0−= 5006 0+= 0−= 2505006 6=3 De la ecuación 1
0+ =2∗100+8000+=0 0+=3= 0+ =0=400 300 ⟹ =4 ∴ = − P 9.7-2 El interruptor del circuito de la figura se abre cuando t = 0. Determine v(t) cuando C = 1/4 F, suponga estado estable en t = 0-
Para
<0
Para
0−−=0 0 =2 A
>0
∝ = 21 = 2110,25 =2 = √ 1 = 0.510.25 =2√ 2 ∝ < 48=0 =− 2 ±2 − → = sen2 cos2 0 ==0 =2−sen2cos2 −2cos2 2sen2 0=8=2 4 −= → =
(Sub amortiguado)
P 9.7-3 Un circuito de una fuente de alimentación de 240 watts aparece en la figura P 9.7-
>0
3a. Este circuito emplea un gran inductor y un gran capacitor. El modelo del circuito se muestra en la figura P 9.7-3b. Determine para . Suponga condiciones de estado estable para
=0−
Para
<0
Nota: El capacitor actúa como circuito abierto y el inductor como corto circuito, por lo que nos queda un circuito equivalente al siguiente:
Para
>0
8 = 83 23 ∗7=4 0=4 →0=4∗2=8
Malla I:
=0 1 ∫2 2 =0 : 1 =∫ 1 2 2 =0 1
Malla II:
=0 2 2 8 =0 := 2 2 8 =0 2
Mediante Cramer de (1) y (2) tenemos:
12 00 2 = 2 1 2 = 202010 4 2 1010 202 4=0 208 40 164=0 832 40=0 832 40 =0 8 32 40∫ =0 8 32 40∫ =0 4 5=0 45=0. , = 4± 16415 2 −, =2± − → = cos sen = 0 =4 =2− cos −sent2−sent −cost
Reemplazamos los valores del circuito:
Reemplazamos los operadores s por sus valores correspondientes:
Derivamos y dividimos:
0=2 3 De Ec. Malla 2
(3)=(4):
=0 = → =0 8 =0 04 080=0 84 084=0 0=10 4 2 =10 − =2 − → =
P 9.7.4 La respuesta natural de un circuito paralelo RLC se midió y graficó como se muestra en la figura. Usando esta gráfica determine la expresión para v(t). Sugerencia: Observe que v(t)=260 mV en t=5 ms y que v(t)=-200 mV en t=7.5 ms. También note que el tiempo entre el primer y tercer cruce por cero es 5 ms.
− ∞=0; =0;0=0; =0 =−
La gráfica muestra una respuesta subamortiguada, entonces su forma sería
=
Notamos que:
Entonces,
Podemos ver que aproximadamente el máximo voltaje es 260 mV el tiempo es aproximadamente 5ms y el mínimo voltaje es aproximadamente -200 mV el tiempo es aproximadamente 7.5 ms. El tiempo aproximado entre máximos adyacentes es 5ms, por lo cual
≈ 5102− =1257 1 0.26=−−.. 12570.005 2 0.2 = 12570.0075 12: 1.3= ∝. 6.299.43 →∝. =1. 9 5→=267
Entonces
=544 Finalmente
=−
P 9.7-5 Las celdas fotovoltaicas de la estación espacial propuesta se muestran en la figura P 9.7-5a que proveen el voltaje v(t) del circuito que se muestra en la figura P 9.7-5b. La estación espacial pasa por atrás de la sombra de la Tierra (en t=0) con v(0)=2 V e i(0)= 1/10 A. Determine y esboce v(t) para t > 0
Para t>0
La ecuación característica es:
Las frecuencias naturales son:
1 1 =0 25=0 , =1±2
La respuesta natural es de la forma:
=− 2 2 0+=2= :+ 0+= 50 0+= 25 101 = 12 0+ =10 12= 2 => = 32 =2− 2 32 − 2 ≥0 Entonces:
Obteniendo así:
Esbozo:
−
P 9.8.2 Establezca la respuesta forzada del voltaje Vf en el capacitor para el circuito de la figura, cuando a) Vf=2V, b) Vf=0.2t V, c) Vf=
LVK malla Vr+Vi+Vc= Vf iR + L di/dt + V= Vf 7i + 0.1 di/dt + V= Vf
(1)
iL=iR=ic = C dv/dt = 833.3 uF dv/dt
(2)
(2) en (1) 7(833.33 uF) dv/dt + 0.1 (833.33 uF) d²v/dt² + V= Vf EDO 8.3x
a)
10−
d²v/dt² + 5.8 x
Vf= A [V] En la edo 0+0+A=2 A= 2 Entonces: Vf= 2 [V]
b) Vf= 0.2t Vf= At +B V´f=A
V”f=0 En la Edo
10−
dv/dt + V = Vf
5.8 x
10− 10−
A + At +B = 0.2t
A= 0.2
B= 1.16 x Entonces
Vf= [0.2 t + 1.16 x c) V=
−
]V
−− − − 10− − −− 10− − − −
Vf= A
V´f= -30A
V”f = 900A En la Edo 8.3x
(900A
0.9007
=
A= 1.11
Entonces:
Vf= 1.11
−
[V]
) + 5.8 x
(30A
)+
=
P 9.9-1 Determinar i(t) para t>0 en el circuito que se muestra en la figura P9.9- 1
Para t < 0
4 11 2 = 1 224 =2 4=8.667 = 2 =2.33 −0−=+0+=4 0 =0 =2.333
Para t > 0
=1 ; 0 = 1 =1000/ 1 =0 ; 0 =0/ =4 = =46.25 2 = 2 1 = 46.25 2∗1∗6.25 =2∗ 500∗ 160∗=320 500160000=0 =250312 =250312 = 500∗ 160∗=320 =2 =0.02+ −312 312 0 =0.00233=0.02 =0.00433
=250−(312 312)312−312312 0 =0=250312 =0.00347 =46.25 =413. 9 ∗− 312 = 2 =. ∗− P 9.9-2 Determinar i(t) para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura.
I= 5 5it , para t>0 =0,2 0,246 −, 0,646−, , >0
Sugerencia: Mostrar que Respuesta:
Figura 9.9-2
Solución: Obtenemos las condiciones iniciales, para t < 0
0= − = 0,2
0=0∗ = 0,2 ∗4= 0,8
Para t > 0
LCK Nodo a :
12=0 = =0 = ∗
LVK Malla 2 :
Ecuación #2 en #1 :
11 ∗2 L didtt 1 ∗ didtt =0
Diviendo la ecuación obtenida para LC
2 ∗ didtt 1∗ ∗2 1∗1 didtt = 1∗ =1Ω , =4Ω ,L =4 H ,C =0,25 F didtt 5 4 didtt = =
Reemplazando los valores del circuito ,
:
Donde la respuesta natural será:
55=0 = 3,6−,2 , = 1,3−,8 = = ′=0 ′′=0
La respuesta forzada sera una constante, donde : ,
Reemplazando:
,
0 + 0 +5B=1 -> B= 0,2
=, = =−, −, , 0,2= 0,2 = di,t =4 4 dt 0,8=4 4 0,8 14,48 5,52 , , =, =0,246 , =0,646
La respuesta total será:
Determinamos las constantes
Resolviendo el sistema obtenemos
mediantes las condiciones iniciales en t= 0 :
;
Por lo tanto, la respuesta será:
=, −, , −, , .
P 9.9.3. Determinar v1(t) para t ≥0 en el circuito que se muestra en la figura.
Para t<0
Donde:
10 =5 V2(0+)=0 Para t >0
Aplicando Nodos
110 1 1 12 − ∗10 1000 6 − 1000 =0 21 ∗10 10=2 12 1 2 − = ∗10 1000 16 − 12= ∗10 ①
②
Reemplazando 2 en 1 obtengo
1 2.8∗10 1 9.6∗10 1=9.6∗10 2.8∗10 9.6∗10 =9. 6 ∗10 Suponiendo Vf=B
B=10 V
Obteniendo la ecuación característica
2.8∗10 9.6∗10=9.6∗10 1=4∗10−∗ 2 =2.−.4∗∗10 = Reemplazando condiciones iniciales de v1 A=10 y B=-6 Donde
1 = 10−∗ 6−.∗ 10
para t >0
P 9.9.4 Establezca v(t) para t>0 en el circuito de la figura, cuando v(0)=1V e iL(0)=0
LCK.
LVK.
0.5 5cos 121 =0 1 0.5 = 121 2 0.5 121 =5 3 0.5 = 121 4 7 12 =30sin 712=0 1.2=3,4 =121 − 233− 1= 17 2= 17 =1− 2− 2117 3317
0=0 0=1 1 1() 5cos =0 0= 5cos0 20 0 = 501 2 =2 0 = 10 = 21 =24 12 12 21 + =1=12 0 2= 1=2542917 <=0+ 17 33 =24=3142 17 − − = P 9.9-5 determine v(t) para t>0 en el circuito de la figura P 9.9-5.
t=0 v(0)=0; i(0)=0
=0 4 2=0
= = Ecuación característica
4 8=0 4 3=8 43=0 S1=-1 S2=-3
=− − =−−−− =−+ −+ = =[− −] −+ −+ A=4;B=-4
P 9.9-6 La figura muestra el circuito del modelo de una fuente de alimentación de una estación espacial experimental. Determine V(t) para t>0. Suponga condiciones de estado estable en t=0-
1 2:
<0: 00==554 >0: 1 = 2 1 ∫ 4=10 2 5 6=20 = ∗− − ∗− −3140 31 403 3 =3 ∗ 2 ∗ 40 40 =21,625, =17, 4 3 4: =,− ,−
P 9.9.7 Determinar para t>0 en el circuito de la figura cuando a) C=1/18 [F], b) C=1/10 [F] y c)C=1/20 [F]
Para t<0
=0=0 Para t>0
: == 2: 82 42 =0→122 =8= : 6 21 = 4 Para C=1/18 F
6 9 =72
∴ 69=0 → = =3 ∴ = − 8 0=0= 0 8→ =8 0=0= 0 =3 0 → =3 =24 =8 24− 8 >0 Al usar las condiciones iniciales:
Por lo tanto:
Para C=1/10 F
6 9 =40 ∴ 65=0 → =1 → =5 ∴ =− − 8
Al usar las condiciones iniciales:
0=0= 8→ =8 0=0= 0 = 5 → 5 =0= : =10, =2 Por lo tanto
=10− 2− 8 >0 Para C=1/20 F
6 10=80 ∴ 610=0 →, =3± ∴ = cos sin− 8 Al usar las condiciones iniciales:
8→ =8 = 0= 0 cos0 si n 0 0=0= 0=24 =3 cos0 sin0 sin0 cos0→ =3 =8cos24sin− 8 >0 Por lo tanto:
>0
P 9.9-8 Determine Sugerencia:
Para
<0
Para
>0
para
para el circuito de la figura P9.9-8
2= 6 2 >0 para
b
0++=0−=0. 5 0 =0−=2
LCK en el nodo b y LVK en la malla derecha
14 = 14 ∗ ∴2= 6 2 1 4 2∗ =84 ∗
Respuesta forzada
Ecuación característica
Respuesta natural
= ∴ 2= 6 2 =1 62=0 6 7 =5. =0.35 =−.−. −.−. = 1
= 14 14 ∗ = 14 1.41−. 0.0875−. =2=1 0 =0.817723 0=0. 5 = 14 1.410.0875 ∴ =0. =.∗−. .∗−.
P 9.9-9 Para el circuito de la figura determine la corriente en el inductor i(t)cuando i(t)=5u(t), suponga que i(0)=0 y que v(0)= 0
<0 0=0, 0=0 >0 1)
5=
2)
= = 298 = = 298
= 298 =0 Sustituyendo 2) en 1)
8 1 5= 58 29 4 29 =5∗29 = 29=5∗29 =5 429=0 =2±5 aplicando condiciones iniciales
y derivando
aplicando condiciones iniciales
0=5 0=25 =5, =2
=93−
P 9.9-10 En la figura aparece un circuito propuesto con una gran bobina de L=5H. determine i(t) y v(t). la señal recibida es
Se analiza el circuito para t < 0
0= 2121 9=6 0= 21 9 1.5 =4.5
Para un tiempo t > 0 se aplica ley de corrientes de kirchoff en el nodo de la corriente (b)
. = 0.50.5 .=5 4930 45 = 25 2 ; =93− 45 =0 ,=49300.817± 0.365
(1)
(2)
Aplicando el álgebra en las ecuaciones 1 y 2 se obtiene:
La ecuación característica es:
La respuesta natural del voltaje es:
=−. cos0.365 0.365
=− =−. cos0.365 0.365 4.57.04−
La respuesta forzada tiene la forma . Reemplazando en la ecuación diferencial y operando se obtiene el valor de las constantes: C = 4.5 , D = -7.04
Para encontrar el valor de las constantes se usan las condiciones inicales:
=7.0=4.04 5=4.57.04 0 =2020 43 0=29 326 43 4.5=6 6==6.308=0.8170.36514.08 =−. 7.04cos0.365 6.38 0.365 4.57.04− = 1.5 0.5 =−. 2.37cos0.365 7.14 0.365 60.65−
El valor de corriente esta dado por:
P 9.9.11 Determinar
para t > 0 en el circuito que se muestra en la figura:
Para t < 0
− − 0−=4 0 0 =2−0−=2(40−) 0−=0 0 =10 V Para t > 0
LCK en el nodo 2:
=0 =1 =
LCK al nodo 1 y Ley de OHM:
LVK:
=0 1 = 1 40 144=2304 = 40 144=2304 > =16 40 144=0 > , = 4,36 =− − 16 10= 0+= 16 > =6 0= 0+=4 36 > 4 36 =0
La ecuación característica es:
Luego:
Usando las condiciones iniciales:
Entonces:
=6.75 =0.75 =.− . − >
SECCION 13 Sección 13.3 Ganancia, desplazamiento de fase y función de red. 13.3.1 La entrada del circuito de la figura es el voltaje Vent(t) de la fuente de voltaje. La salida es el voltaje Vsal(t) a través de la conexión en paralelo del capacitor y el resistor de 10 ohmios. Determinar la función red H(w)= Vsal(w)/Vent(w) de este circuito.
R2|| jw1C = 1jR2wCR2 R2 Hw = VoViww = R11j1jwCR2R2wCR2 R2 R1R2 1jwCRp Rp=R1||R2 R1=40 R2=10 C=0.50.F2 Hw = 1j4w
Vt
Vt Vω Vω
P 13.3-2 La entrada del circuito de la figura P 13.4-2 es el voltaje de la fuente de voltaje. La salida es el voltaje . A través de la conexión en serie del capacitor y el resistor de 160k. Detereminar la función de red H (ω) = / .
Zsal=160k jw∗0.1025μ vsvental = 40kZsal Zsal 1 160k vsvental = 40k160kjw∗0.025μ1 jww∗0.025μ vsvental = 1j1j w1w2w w1= 160k∗0.1 025μ = 0.0104 1 025μ = 0.0105 w2= 160k40k∗0. Hw= 1j1j00..000405ww
13.3-3 La entrada del circuito de la figura es el voltaje Vent de la fuente de voltaje. La salida es el voltaje Vsal a través del resistor de 6ohm. Determinar la función de red H(w)=Vsal/Vent de este circuito.
6 = 468 = 10.06.8 1 = = 0.6 1 1220
P 13.3.4 La entrada del circuito de la figura es el voltaje de la fuente de voltaje. La salida es el voltaje a través de la conexión en serie del inductor y el resistor de 60 Ω. La función de red que representa a este circuito es
Determinar los valores de la inductancia L y de la resistencia R
R
1 1 = = = 1 =0.6 1 1220 Por lo tanto:
=0.6 =12 =20 = 60=5=50Ω 12 =20∗560=40 Ω 2Ω 0.2 = = 14
13.3-5 La entrada del circuito de la figura P13.3-5 es el voltaje de la fuente de voltaje. La salida es el voltaje a travez de la conexión en paralelo del capacitor y el resistor de . La función de red que representa a este circuito es
Determinar los valores de la capacitancia y de la resistencia
en paralelo con
1∗ 1∗ = = 1∗ = 1 ∗
=0. 2 0. 2 1 ∗ = 14 ∴ ∗ =4 22 =0. 2 ∴=8Ω 8∗2 =4 ∴=2. 5 82 P 13.3-6 La entrada del circuito de la figura es el voltaje Vent(t)de la fuente de voltaje. La salida es el voltaje Vsal(t) a través del capacitor. Determinar la función de red H(w)= Vsal(w)/Vent(w) del circuito
Se transforma a función frecuencia todos los elementos tanto capacitivos como resistivos:
1)
2)
=4, = 0.215 ; =20 204 =0 = 204 = ∗ 4 = 4
Se igualan los términos
204 = 4 = 4204 = 204 12 = 10,0.6 2 P 13.3-7 La entrada del circuito de la figura es el voltaje de la fuente de voltaje. La salida es el voltaje a través del resistor de 30 k Ω. la función de red de este circuito es:
= = 14100
Aplicando divisor de voltaje en el primer circuito.
1 = 1 = 11 2 2 3 = = 3 = 1
De igual manera se aplica divisor de voltaje en el segundo circuito
Se compara las funciones de red, obtenida con la especifica:
2 4 3 = 1 100 12000 4= 23 ; 1001 =2000 =5 ; =6
P 13.3.8 La entrada del circuito que se muestra en la figura es el voltaje de la fuente Vent (t), y la respuesta es el voltaje a través de RC, Vsal (t). Encontrar la función de red.
Cuando
ω = ωω 1 ∥ ω = =10 Ω =50 Ω =2 =5 = 101
Entonces:
,
y
:
ω = 15 10 13.3-9 La entrada del circuito que se muestra en la figura es el voltaje de la fuente Vent(t), y la respuesta es el voltaje a través de Rc, Vsal(t). Expresar la ganancia y el desplazamiento de fase como funciones de la frecuencia w en radianes.
Hw = =++ =5 , CR = , CR = + Hw =5+ w 1 |Hw| =51 625100w ∠Hw =180tan−25w tan−10w
,
.
P 13.3-10 La entrada del circuito que se muestra en la figura P13.3-10 es el voltaje de la fuente y la respuesta es el voltaje a través de , La resistencia es de 10 k. diseñar este circuito para que satisfaga las dos especificaciones siguientes:
a) La ganancia en las frecuencias bajas es 5 b) La ganancia en las frecuencias altas es 2
1 ∗ 1 = ∥ = 1 = 1 = = 1 = || = =10 || = =5 10 =5 =0 || = =2
a) La ganancia en las frecuencias bajas es 5
b) La ganancia en las frecuencias altas es 2
10 =2 =5 =30Ω
P 13.3.11 La entrada del circuito que se muestra en la figura es el voltaje de la fuente Vcnt(f), y la respuesta es el voltaje a través de Rc. Vsal(f).diseñar el circuito para satisfaga lo siguiente: a. El desplazamiento de fase en w= 1000 rad/s es 135° b. La ganancia en las frecuecias altas es 10
1 R Hω = RjωC = 1jjωωCRCR − ωCR 90° ∠Hω =180°t a n ∠H−ω =135° tan ωCRωCR=1 =45° R = 10110− =10 KΩ R = R10 =1 KΩ
P 13.3-12 La entrada del circuito que se muestra en la figura P 13.3-12 es el voltaje a través de
. ,
Diseñar este circuito para que satisfaga las dos
especificaciones siguientes: a) Desplazamiento de fase en
=1000 225°. 10 es
b) La ganancia en las frecuencias altas es
.
= − + 10=l→i m || = ⟹ =10 ∠ =180°90°tan− ⟹ = tan(270°∠ ) =10 tan(270°∠ ) = ⟹ = =-
=5030cos500115 20cos250030 P 13.3-13 La entrada del circuito de la figura P13.3-13 es Determinar la salida de estado estable
.
para
a) C = 0,1 uF y b) C =0,01 uF. Suponer un amplificador operacional ideal.
Solución:
Cuando
1 ∥ = = 1 = 11 =5Ω , =1, =10Ω =0,1 , 01 = 1 2000,1 1000
Entonces
= 050 01,7,6462300coscos2550030116 00115175 =49,8cos50070 14,8cos2500146 =5Ω , =1, =10Ω =0,01 , 01 = 1 2000,1 10000
Entonces
Cuando
Entonces
Entonces
= 050 11,9,834552300coscos2550030170 00115161 =55,65cos50046 38,68cos2500190
P 13.3-14 El voltaje de la fuente, V f , que se muestra en la figura es una senoide que tiene frecuencia de 500 Hz y una amplitud de 8 V. El circuito está en estado estable. Las trazas de osciloscopio muestran las formas de una onda de entrada. a) Determinar la ganancia y el desplazamiento de fase del circuito a 500 Hz b) Determinar el valor del capacitor c) Cuáles son los valores de ganancia y desplazamiento de fase a la frecuencia de 200 Hz y 2000Hz, en que frecuencia el desplazamiento es -45º y -135º respectivamente. d) Encontrar el valor de la capacitancia para un desplazamiento de fase a 500 Hz sea de -601, y el valor de la capacitancia para que el desplazamiento de fase a 500Hz sea de -300º e) Suponer un desplazamiento de fase de -120º a 500Hz cuál es el valor del capacitor
a)
b)
c)
2 8 || = 2 =8 , || = =6,2 || = |||| , = 0,775 1 | | || = || 1 = 11 || = √ 1 1 1 1 = 1 1 1 = 1000∗1000 0.775 1=0,26 ∠ t=anta∠n− = = 1000Ω ; C = 0,26 ∠ an(4526) =3846 / ∠ =45 ⇒= t1000∗0,
2 (200) 2 (2000)
0.95 0.26
-18º -73º
an(13526) =3846 / ∠ =45 ⇒= t1000∗0, d)
) t a n( 60 = =0. 5 5 t a n ∠ 2∗500∗1000 = {= tan(300) =0.55 2∗500∗1000 tan(120) = 0.55 = 2∗500∗1000 Hw = ++ jw=s→H= 45s 1 50s s 201 5 H= 1 50s H=5s 1∗50s 11∗20
P 13.4-1 Trazar el diagrama de Bode de la magnitud
1 wb=5;n=1 + wb=50; n =1 =cero simple
=polo simple
Magnitud
Dibujamos los elementos de la función:
Realizamos la sumatoria de curvas:
Desplazamos la constante K:
P 13.4.2 Comparar los diagramas de Bode de la magnitud de
1005 = 105 = 50 50
Normalizamos las ecuaciones
1 1 5 5 = 1 50 =10 1 50
Determinamos el desplazamiento para cada función de transferencia.
|| =20log1 =0 || =20log10 =20
Empleamos la herramienta para dibujar los diagramas de Bode de magnitud
Notamos que posee las mismas pendientes y comportamiento, pero la segunda función se encuentra desplazada. Esto es debido a que la constante determina el desplazamiento.
, =5 Ω, =10 Ω, =0.1 , =0.. 1 .
P 13.4-3 La entrada del circuito que se muestra en la figura P 13.4-3 es el voltaje de la fuente y la respuesta es el voltaje a través de Los valores de los componentes son Trazar el diagrama de Bode de magnitud asintótica para la función de red.
1 = 1 = 1 1
Esta función de red tiene polos en:
=
Entonces:
=2000 rad/s y
=
=1000 rad/s
= =2 < ≃ = 1 < ><
,
, .
P 13.4-4 La entrada del circuito que se muestra en la figura es el voltaje de la fuente y trazar el y la respuesta es el voltaje a través de Dterminar diagrama de bode
1 = 1 1 = 1 Asumimos
= = 1
= 1
Si
<
Si
>
= 11 1/ = 1/
P 13.4.5 La entrada del circuito de la figura a es el voltaje Vent, de la fuente de voltaje independiente. La salida es el voltaje Vsal a través del capacitor. Diseñar este circuito de forma que tenga el diagrama de Bode mostrado en la figura b Mostrar que la función de red es:
Del circuito de la izquierda LVK Malla 1 -Vs + R1I1 + sL I1 – sL I2= 0 (1) Malla 2 I2R2 + sL I2 – sL I1 = 0 (2) I1= I2R2 + sL I2/sL (3) (3) en (1) -Vs + (R1I2R2)/sL + R1I2 + I2R2 =0 I2(R1R2/sL + R1 + R2)= Vs I2= Vs sL / (R1R2 + sL (R1+R2)) V2= I2.R2 V2/V1= (R2 sL)/( R1R2 + sL (R1+R2)) Del circuito de la derecha Malla 1 -AV2 + R3 I3 + R4 I3 – R4 I4=0 (1)
(a)
Malla 2 I4/sC + R4 I4 – R4 I3 = 0 (2) I3= (I4(1+ R4 sC))/ sC R4 (3) (3) en (1) - A V2 + (I4(1+ R4 sC))/ (sC R4) (R3 + R4) – R4 I4 = 0 (I4/ R4sC + I4)(R3 + R4) – R4 I4 = A V2 I4((R3 + R3 R4 sC + R4)/sC R4) = A V2 I4= (sC AV2 R4)/ (R3 + R3 R4 sC + R4) Vsal = I4 1/sC Vsal = (AV2 R4)/ (R3 + R3 R4 sC + R4)
(b)
Uniendo a y b (Vsal)( R1R2 + sL (R1+R2))/ V1 R2 sL = A R4 / (R3 + R3 R4 sC + R4) Vsal/ V1 = (sL A R4 R2)( ( R1R2 + sL (R1+R2)) (R3 + R3 R4 sC + R4)) Hs= sL A R4 / [ R1 (R3 + R4) [1 + sL(R1+R2)/R1.R2] [1+ sC R3.R4/ R3+ R4] ] Hs = k s / [ (1+ s/p1) (1+ s/p2) ] Del diagram de Bode Hs = k s / [ (1+ s/200) (1+ s/20000) ] K= 10 / p1 = 10/200 K= 0.05 Hs = 0.05 s / [ (1+ s/p1) (1+ s/p2) ] De la ecuación de frecuencia y diagrama de Bode 0.05 = AL R4/ R1 (R3 +R4) 200= R1 R2 / L (R1+ R2) 20000= (R3 + R4)/ CR3 R4 Para el diseño Valores: L = 1H R1= R2
200= R1 R2 / L (R1+ R2) 200= R1 R1 / 2 R1 R1= R2= 400 omh C = 0.1 uF R3=R4 20000= (R3 + R4)/ CR3 R4 20000= (R3 + R3)/ CR3 R3 R3=R4= 1K omh Entonces 0.05 = AL R4/ R1 (R3 +R4) A= 40
Vt R, C, C
Vt
P 13.4-6 La entrada del circuito de la figura P 13.4-6b es el voltaje de la fuente . La función de red de este circuito es H(ω) = de voltaje. La salida es el voltaje / . Determine los valores de que se requieren para hacer que este circuito tenga el diagrama de Bode de magnitud que se muestra en la figura P13.4-6a.
Vω Vω
k= RR =32dB=40 R =10 kΩ R =40∗10 kΩ =400 kΩ
P= C ∗R1 =400rasd 1 =6.25nF C = 400∗400k Z= C 1∗R =4000rasd 1 =25nF C = 4000∗10k Vt
Vt
P 13.4-7 La entrada del circuito de la figura P 13.4-7b es el voltaje de la fuente de voltaje.La salida es el voltaje .La función de red de este circuito es
Hω =
.El diagrama de Bode de Magnitud se muestra en la figura P 13.4-7a
.Determinar los valor de frecuencia de quiebre ganacia de baja frecuencia k.
zyp
Solución:
LVK en Malla 1 y 2 obtenemos :
Vω = R jωL
.Determinar el valor de la
Vω = R R jωL Hω = VVωω = RRR j jωLωL L 1 j ω RRR 1 jω RRRL R =8Ω , R =2Ω ,L =0,40H,2 ∗1j0,2ω Hω = 1j0,04ω 20 |Hω| =k dB
Reemplazando :
Siendo ,
Donde obtenemos :
k=0, 2 z= 0,112 =5 {p= 0,04 =25
P 13.4-8 Determinar H (jw) a partir del diagrama asintótico de Bode de la figura:
1 0. 7 10 0.7 1100 1600 1 100∗1010049 ∗ 0.7100 10600 0.7 ∗100 10600 366∗ 0.7100 366 10 107 100600 366 10 = 107 100600 P 13.4.9 Un circuito tiene la relación de voltaje
1 =
Determinar las asíntotas de las frecuencias altas y bajas del diagrama de magnitud de bode. Las asíntotas de las frecuencias altas y bajas abarcan el diagrama de la magnitud de Bode. ¿En qué intervalos de frecuencias el diagrama de magnitud Bode de H ( w) está dentro de 1% del valor real de H (w) en decibeles?
1 = || = 1 ||=20log 1 =20log20log20log 1 ||=20log20l og ||=20log ||≈|||| ≪ ≫
|| =0.99|| 20log0.99 = ||||
=20log20log20log 1 =20log 1 =20log 1 1 1 1 0.99= 1 =>= 0.99 1=0.14 ≈ 7 || =0.99|| 20log0.99= || || =20log20log20log 1 =20log 1 =20log 1 1 = 0.199 1=>= 1 = 0.14 ≈7 0.99 1 < >7
1% cuando
.
P 13.4-10 Los médicos usan electrodos de tejido para formar la interfaz que conduzca corriente al tejido del cuerpo humano bajo estudio. El electrodo de tejido puede modelarse con el circuito de la figura P 10.4-10. El valor de cada elemento depende del material y de la construcción física del electrodo así como del carác ter del tejido que se esta estudiando. Construir el diagrama de bode de vsal/vf=H(jw) cuando R1=1k, C=1 y la resistencia del tejido es Rl=5k
R1=1kΩ, C=1
Diagrama bode
1 = = 11 11 = 11 111 =1 1 1 y, Rl=5kΩ
1 5 = 6 ∗ 1 1000 1200
P 13.4-12 La entrada del circuito se muestra en la figura es el voltaje de la fuente Vent, y la respuesta es el voltaje a través de R3; Vsal. Los valores de los componentes son R1=10Kohm, C1=0.025uF y C2=0.05uF. Realizar el diagrama de Bode de la magnitud asintótica de la función de red.
1 = 1 = 10. = 1.25∗100−250.05
P 13.4.13 Diseñar un circuito que tenga el diagrama de BODE de magnitud asintótica que se muestra en la figura.
Al elegir un circuito de la tabla 13.4-2
1 = 1 = 1 = 1 = = 1 =200 = 1 =500 14 ≈5== = =1 →→ =0.=52Ω → =10 Ω Por lo tanto
AL elegir
P 13.4-14 Diseñar un circuito que tenga el diagrama de Bode de magnitud asintótica que se muestra en la figura P13.4-14
Función de red del diagrama de Bode
= 1
Donde
Entonces
Para
=0.1
= , = 1 500= = 1 34=50=
=400 Ω =20Ω P 13.4-15 Diseñar un circuito que tenga el diagrama de Bode de magnitud asintótica que se muestra a continuación
Realizando una regresión a partir de la gráfica mediante los conocimientos previamente adquiridos se obtiene la siguiente función de transferencia
=∗1200 11500 1
La cual simplificando se obtiene la siguiente forma
1 500 =∗ 200 1 14=20log =5
La forma de función de transferencia coincide con el siguiente circuito por lo que utilizaremos las condiciones planteadas:
suponiendo que:
500== 1 , 200== 1 , 5 = =0,1 , =0,05, =20, =100
se obtiene los valores de:
P 13.4-16 Diseñar un circuito que tenga el diagrama de Bode de magnitud asintótica que se muestra en la figura
Dibujar el circuito apropiado que se obtiene de conocimiento previo
Donde
= 1 1 = 1 =34=50 = 1 =200 = =500
Se obtiene los siguientes valores
=1; =0.04; =5 Ω; =50Ω P 13.4.17 El implante coclear se utiliza en los pacientes con sordera causada por el mal funcionamiento de las células sensoriales de la cóclea en el oído interno(Loeb,1985). Estos dispositivos emplean un micrófono para registras el sonido y un procesador para convertirlo en señales eléctricos, las cuales se transmiten al sistema nervioso. Un implante coclear se apoya en el hecho de que muchas de las fibras nerviosas auditivas se mantienen intactas en pacientes con esta forma de pérdida del oído. La transmisión global del micrófono a las células nerviosas se representa por la función de ganancia
101 ω = 1 21 20501 80
=∠ ω =arctan 50 arctan 2 arctan 20 arctan 80
P 13.4-18 En la figura se muestra un circuito con amplificador operacional, donde R2 - 5kΩ y C=0.02µF. a) Indicar la expresión para la función de red H=Vsal/Vf y trazar el diagrama asintótico de bode. b) ¿Cuál es la ganancia del circuito |H|, para w=0? C) ¿En qué frecuencia |H| desciende a 1/ de su valor para las frecuencias bajas?
√ 2
(a)
R V w R Hw = Vw = 1jwRC = 1 10.10jw000 (b) 10 = 20 dB (c) 10.000 rad/s
13.4.19 Indicar la función de red H(w) del circuito con amplificadores operacionales que se muestra en la figura P 13.4-19 y trazar el diagrama de bode. Suponga amplificadores operacionales ideales.
1 = 1 = = 1 1 ( ) =0} = = = 1 1 = 0.1 81
SECCIÓN 14 Sección 14.7 Solución de las ecuaciones diferenciales que describen un circuito.
2−
14.7-1 Obtener i(t) para el circuito de la figura cuando i(0)=1A, v(0)=8V, y donde a = 2-10^4.
=
LVC:
500.001 =2(−∗) =2.5∗10− = 2(−∗), 0 =1,0 =82 500.0010 = 2∗10 =2.5∗10−0 1 22 2 1. 4 ∗10 1. 6 10 5 4∗10 15 = 10 2∗10 4∗10 = 103 2∗10 = − −∗ −∗
P 14.7-2 En todas las viviendas nuevas es obligatorio instalar un dispositivo llamado interruptor de desconexión por falla de tierra (GFCI), que brindara protección contra una descarga eléctrica. Al monitorear la corriente que entra y sale de un tomacorriente, un GFCI detecta cuando se interrumpe el flujo normal y desconecta la electricidad en 1/40 de segundo. Esto es de particular importancia si una persona sostiene un aparato que esta cortocircuitado a tierra debido al contacto con su cuerpo. En la figura P 14.7-2 se muestra el modelo del circuito de un GFCI cuando interrumpe el corto circuito. Obtener la corriente que fluye a través de la persona, i(t), para cuando se inicia el corto en t=0. Suponer v=160 cos 400t y que inicialmente el capacitor no tiene carga.
≥0
=0 <0
= 160cos4100∗ 0= 160cos4100∗00 =160 LCK
= _1 =10− 100
= =1010=1600cos4006.4∗10sin400 Laplace
1600 6. 4 ∗10 01010= 400 400x400 160 16002. 5 10 = 1010 1010 400
Aplicando fracciones parciales
16002. 5 10 = 1010 400 1010 400 400 = 23.1 =11.5 27.2 =11.5 27.5 160 1010 23.1 11.400 527.2 11.400 527.2 = 1010 Pasando al dominio del tiempo
=136.9− 11.5cos400 27.2sin400 11.5cos40027.2sin400 =.− .
P 14.7-3 Utilizando la transformada de Laplace. Obtener Vc(t) para t>0 en el circuito de la figura. Las condiciones iniciales son cero.
=15=102 30 2 =202 2=20 4 = 220 4 20 = 2 4 2 4 20= 4 2 0= 20=2 0=42 20=22 =5 =5 =10 = 52 5 42 =− Aplicando Laplace
>0 = =
P 14.7-4 Utilizando la transformada de Laplace, obtener circuito de ela figura P 14.7-4 cuando a)
y b)
para
en el
a)
b)
= =
12 2 = 8; = 12 20 = 8 = 0 4 = 6 2 = 723 =− −
= 140 5 =− − P14.7-5 Obtener i(t) en el circuito de la figura P14.7-5 Suponer que el interruptor ha estado abierto durante largo tiempo.
Solución:
0− =10 ,0− =0 =5 ∗10− 4001 =0 =5 ∗10−10 4000 =0 1 00 10 = 4002∗10 = 200404400 = − >0
Transformada de Laplace
Es igual
P 14.8-1 Utilizando la transformada de Laplace, obtener la respuesta circuito de la figura.
para
en el
<0: 0= 20004 = 0.002 >0
Para
6 2000 5 0.01=0 2000 5 =0.01 6 20005=0.01 6 6 0,002 = 5400 0,005 = 0,003 400 =0, 0030,005 − < =− >
P 14.8-2 Utilizando la transformada de Laplace, obtener la respuesta circuito de la figura P 14.8-2.
>0 para
<0: 620006 =0 = 2000 =3 >0:
Para
(seusaLaplace)
Mallaizquierda:
10 2000 4000 4000 =01 4000 4000 5 0.015=0 2 10 6000 40000 90 0.015 = 240000003000016000000 = 4000 6000400040005 4000 9040000 = 800000030000
Malladerecha:
Cramerde(1)y(2):
en el
= 30080093 380034 − 3009 18003= 1003 − 43 1800 = 43 800 3 800 3 1= 3 =0 →1=8003→= 8003 = 8003 → 1= 8003→= 8003 → 43 18003 = 8004 1 18003 − 8004 1 18003= 2001 1− = 1003 − 2001 1− = 1003 − 2001 2001 − = 1003 − 2001 2001 − = 2005 − 2001 =− ; >
P 14.8.3 Utilizando la transformada de Laplace, obtener la respuesta circuito de la figura.
para t > 0 en el
Para t < 0
0−=0+=8 Para t > 0; Y transformando el circuito al dominio de la frecuencia
LVK Malla 1
= 0. 006 2000 10 8 =0 0.5 6000 50000.5 8=0 812000 = 12 1000 4 = 1000 −()= ℒ = , > LCK nodo a
Despejamos el voltaje en función de la frecuencia y aplicamos fracciones parciales
Realizando la transformada Inversa de Laplace
P 14.8-4 Utilizando la transformada de Laplace, obtener la respuesta circuito de la figura P 14.8-4
>0 para
en el
2000 6 4000 0.105 8=0 500 62500.5 8=0 = 60008 1500 Realizando Fracciones Parciales:
= 4 15004
Aplicando la inversa:
=− , >
P 14.8.6 Determinar Vsal (t) cuando la capacitancia tiene un voltaje inicial v(0) = 5V, como se muestra en la figura
10
1/(1x
s)+ 5/s = 1/s
1/req= 1/s +1 = 1+s Req= 1/s+1 Vc-Va/1 = I 10/s =I Va-Vb/(1/s+1)=I Va=0 V (0-Vb)/ (1/s+1)=I -(s+1)Vb = 10/s Vb= - 10/(s(s+1)) - 10/(s(s+1))= A/s + B/s+1 (s+1)A + Bs = -10 As + A + Bs= -10 A= -10 B=10 Vsal= -10/s + 10/s+1 V(t)= -10 + 10
−
P 14.8-8 La entrada del circuito de la figura P 14.8-8 es el voltaje de 12 V de la fuente de voltaje. La salida de este circuito es el voltaje a través del capacitor. Determinar para t > 0.
0=6 1 12 6 6 6 6 =0 12 18 =6 1 = 23 32 2 2 6 6 6 =0 2 6 2=6 6 12 2 4 6 6 =4 = 21 = 6 2 = 2 12 4
=− P 14.8-9 La entrada del circuito de la figura P 14.8-9 es el voltaje de 12 V de la fuente de voltaje. La salida de este circuito es la corriente i(t) en el inductor. Determinar i(t) para t > 0.
Figura 14.8-9
Solución: Determinamos condiciones iniciales para t < 0
0= 6
Transformando el circuito al dominio de Frecuencia :
LVK en la Malla.
2 2 305∗ 12 =0 4 5∗30 12 =0
Despejando I(s) ;
12 30 = 45 = 3012 452 30 5 = 5 45 2 6 = 545 = 33− = ( −, ) .
Desarrollando Laplace inverso obtenemos :
P 14.8.10. La entrada del circuito de la figura es el voltaje de 24 V de la fuente de voltaje, La saida de este circuito, el voltaje a travez del capacitor esta dado por:
Encontrar el valor de C.
=1612−. >0
Aplicando Metodo de Laplace obtenemos
