Comparación de Medias Poblacionales Con Desviaciones Estándares Desiguales

COMPARACIÓN DE MEDIAS POBLACIONALES CON DESVIACIONES ESTÁNDARES DESIGUALES Si no es razonable suponer que las desviaciones estándares poblacionales son iguales, se emplea un estadístico muy similar a la fórmula.

Las desviaciones estándares de las muestras, s1 y s2, se emplean en lugar de las desviaciones estándares de las poblaciones respectivas. Además, los grados de libertad se ajustan hacia abajo mediante una fórmula de aproximación compleja. El efecto es reducir el número de grados de libertad en la prueba, lo cual requerirá un valor mayor del estadístico de prueba para rechazar la hipótesis nula.

La fórmula para el estadístico t es:

Los grados de libertad estadística se determinan mediante:

donde n1 y n2 son los tamaños muestrales respectivos, y s1 y s2, las desviaciones estándares de las muestras respectivas. Si es necesario, esta fracción se redondea hacia abajo a un valor entero.

Características: 1. Si los dos grupos de datos tienen datos muestrales menores que 30 o uno de ellos tiene un tamaño menor que 30, se utiliza la distribución t como el estadístico de prueba.

2. Las poblaciones muestreadas son independientes. 3. Las desviaciones estándares de las dos poblaciones son desiguales. EJEMPLO 1: Con frecuencia es útil para las compañías saber quiénes son sus clientes y cómo los hicieron clientes. Una compañía de tarjetas de crédito tiene interés en saber si el tarjetahabiente la solicitó por interés  propio o si fue contactado por teléfono teléfono por un agente. La compañía compañía obtuvo la información información muestral siguiente respecto de los saldos al final del mes para los dos grupos.

¿Es razonable concluir que el saldo medio es mayor para los tarjetahabientes que fueron contactados  por teléfono que para quienes solicitaron la tarjeta por cuenta propia? Suponga que las desviaciones estándares de las poblaciones no son iguales. Utilice el nivel de significancia 0.05.

a) F ormule las hipótesis nula y alternativa. H0: μ1 ≥ μ 2 H1: μ 1 < μ 2

b)  ¿Cuántos grados de libertad hay?

   356 857 ⁄ ⁄ )] = 8.93 8  =  [(356 10)+( ( ⁄10) + (857⁄8) 10−1 8 −1

gl = 8

c)  ¿Cuál es la regla de decisión?

VC = -1,860

T = -1.234

d)  ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba?

 −399.00 = −1.234  = 1586−1967 = √ 31056 + 8578  323.23 e)  ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula?  No se rechaza H0 f)

I nterprete el resultado.  No hay diferencia en el saldo medio de la cuenta de los que solicitaron la tarjeta de crédito o fueron contactados por teléfono por un agente.

EJEMPLO 2: En el ejercicio suponga que las poblaciones muestrales no tienen desviaciones estándares iguales y utilice el nivel de significancia 0.05. Una muestra aleatoria de 15 elementos de la primera población reveló una media de 50 y una desviación estándar de 5. Una muestra de 12 elementos para la segunda  población reveló una media de 46 y una desviación estándar de 15.: Las hipótesis nula y alternativa son:

H0: μ1 = μ 2 H1: μ 1 ≠ μ 2 a) determine el número de grados de libertad ,

25⁄15)+(225⁄12)]   416.84 (   [  = 25  225  = 0.1984+ 31.9602 = 12,96 ( ⁄15) + ( ⁄12) 15−1 12 −1 b)  formule la regla de decisión

VC= -2.179

T = 0.8852

VC= 2.179

c) calcule el valor del estadístico de prueba y

 = 250−46 = 0.8852   5 225 √ 15 + 12 d) tome su decisión acerca de la hipótesis nula. Se rechaza la hipótesis nula.

gl

= 12