Concreto Armado I • • • •
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Contenido: Tema 5: Miembros sometidos a flexocompresión 5.1 Columnas ligadas y zunchadas 5.2 Comportamiento de miembros sometidos a carga axial y flexión 5.3 Diagramas de interacción de columnas. 5.4 Diseño de elementos a carga axial y flexión por teoría de rotura 5.5 Flexión biaxial 5.6 Refuerzo transversal por confinamiento y corte 5.7 Esbeltez Prof. Ing. José Grimán Morales
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FLEXIÓN BIAXIAL.
En estructuras de concreto armado es frecuente encontrar columnas en las cuales la compresión axial está acompañada por flexión simultánea con respecto a los dos ejes principales de la sección. Un ejemplo de esto son las columnas esquineras de edificios donde las vigas principales y las secundarias llegan hasta estas columnas y transfieren sus momentos extremos a la misma en dos direcciones direcciones perpendiculares. Situaciones similares de carga pueden ocurrir en columnas interiores, en particular si la planta de columnas es irregular irregular.. Prof. Ing. José Grimán Morales
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En la figura se muestra una planta tipo de una edificación en la cual las columnas esquineras A1, A4, C1, C4 y las columnas de borde B1 y B4, están sometidas a flexión biaxial.
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La resistencia de columnas cargadas biaxialmente se representa mediante un diagrama de interacción tridimensional. Sean X y Y las direcciones de los ejes principales de la sección transversal. En la figura (a), la sección se somete a flexión sólo con respecto al eje Y, con una excentricidad de la carga ex, medida en la dirección X. La curva correspondiente de interacción de resistencias aparece como Caso (a) en el esquema tridimensional (d) y se delinea en el plano definido por los ejes Pn y Mny. Esta curva se determina con los métodos descritos para flexión uniaxial. De modo similar, la figura (b) muestra la flexión con respecto al eje X únicamente, con una excentricidad ey medida en la dirección Y. La curva de interacción correspondiente es el Caso (b) en el plano de Pn y Mnx, en la figura (d). Para el Caso (e), que combina los ejes de flexión X y Y, la orientación de la excentricidad resultante se define mediante el ángulo . Para este caso, la flexión es con respecto a un eje definido mediante el ángulo θ con respecto al eje X. Prof. Ing. José Grimán Morales
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Las columnas circulares tienen simetría polar y así la misma capacidad última en todas las direcciones. Por consiguiente, el proceso de diseño es el mismo, independientemente de las direcciones de los momentos. Si existe flexión respecto a los ejes x y y, el momento biaxial puede calcularse combinando los dos momentos o sus excentricidades como sigue: =
+
o bien
=
+
Para formas distintas de la circular, es necesario considerar los efectos de la interacción tridimensional. Siempre que sea posible, conviene diseñar con sección circular las columnas sometidas a flexión biaxial. Si es necesario usar columnas cuadradas o rectangulares para tales casos, el refuerzo debe colocarse uniformemente alrededor de los perímetros. Prof. Ing. José Grimán Morales
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Es posible determinar Pn para una columna cargada biaxialmente mediante ecuaciones de equilibrio y compatibilidad, como se realizó para la flexión uniaxial, lo que conduce a la respuesta correcta, pero las operaciones matemáticas son tan complejas debido a la forma del lado comprimido de la columna, que el método no resulta práctico. En resumen el procedimiento consiste en escoger una posición supuesta para el eje neutro y se dibujan los triángulos apropiados de deformaciones unitarias, como se muestra en la figura. Se escriben las ecuaciones usuales con Cc = 0.85·f’c veces el área sombreada Ac y con las fuerzas en cada varilla iguales al área de sus secciones transversales multiplicadas por los respectivos esfuerzos. Prof. Ing. José Grimán Morales
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La solución de la ecuación provee la carga que establecería la posición del eje neutro; sin embargo, el proyectista usualmente comienza el diseño con ciertas cargas y excentricidades supuestas y no conoce la posición del eje neutro. Además, dicho eje probablemente no es perpendicular a la resultante: =
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+
.
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La zona a compresión del hormigón puede tomar la forma trapezoidal o triangular como se muestra en la figura siguiente generando complicaciones de calculo que pueden ser incorporadas sin mucha complejidad en los algoritmos de trabajo, en general a diferencia del caso uniaxial en este cada barra de refuerzo tiene su propia deformación lo que amplia mas el numero de operaciones matemáticas. La principal dificultad es que el eje neutro no es perpendicular a la línea que une el centro de gravedad de la columna con el punto donde actúa la carga “ Pn “. Solo en casos muy especiales y dependiendo de la relación “ Mny / Mnx “ se presenta esta situación. El resultado es que para diferentes valores de “ c “ y para cualquier ángulo “ θ “ el valor de “ “ variara. Prof. Ing. José Grimán Morales
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En la práctica se conocen los valores de momentos y cargas mayorados obtenidos del análisis estructural de la edificación; esto significa que se tiene el ángulo “ “, por tanto para determinar la cuantía del refuerzo solo se requiere conocer la curva de interacción y verificar la capacidad de la columna. Un método por computador facilita las tareas operativas sin embargo el uso de métodos rápidos alternativos es ideal cuando se requieren realizar revisiones de un diseño especifico de una columna.
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9.5.2 Métodos para diseñar columnas biaxiales Se conocen varios procedimientos para realizar el diseño de una columna biaxial: a) Con el uso de enfoques aproximados de diseño, siendo este el mas adecuado para realizar cálculos manuales. b) Con el uso directo de las ecuaciones de compatibilidad. Este es el mejor pero su aplicación manual esta restringida por la gran cantidad de cálculos requeridos que solo se pueden realizar con la ayuda del computador; c) Utilizando los diagramas de interacción. Este método es rápido pero requiere conocer el diagrama de cada columna a diseñar y esto generalmente no esta disponible por la gran cantidad de variables que intervienen en el problema. d) Utilizando gráficos aproximados de diseño ( Weber, Park y Paulay). Prof. Ing. José Grimán Morales
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Método aproximado de diseño: Método de la excentricidad uniaxial equivalente. Este es el
preferido por su rapidez y facilidad en el manejo y porque los resultados se ajustan bien al compararlo con métodos mas elaborados. Consiste en convertir el problema biaxial en uno uniaxial hallando para ello una excentricidad ficticia “ ef “ equivalente y resolviendo con ello una columna uniaxial. La expresión que convierte el problema biaxial en uno uniaxial se aplica dependiendo de la relación entre excentricidades en la columna, ecuaciones 1 y 2.
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En donde “ “ es un coeficiente que depende del nivel de carga axial que actúa en la columna y se obtiene de la tabla 1 por interpolación lineal.
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Método de la carga reciproca. Este es uno de los
procedimientos aproximados que utilizan una superficie de interacción para resolver el problema biaxial. Fue propuesto por el Prof. Boris Bresler en 1960 y sus resultados han sido revisados y verificados con procedimientos mas elaborados con resultados satisfactorios. El método se fundamenta en que la superficie de interacción de la columna biaxial se puede representar como una función de la carga axial “ Pn “ y las excentricidades “ ex “ y “ ey “ como se muestra en la figura (a) siguiente.
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La superficie “ S1 “ puede a su vez transformarse en una superficie de falla equivalente “ S2 “ como se muestra en la figura (b) donde en lugar de dibujar “ Pn, ex, ey “ se presentan: “ 1 / Pn, ex, ey “. Cuando ex = ey = 0.0 se obtiene el valor inverso de la capacidad de la columna cargada concéntricamente, es decir “ 1 / Pno “, punto C de la figura (b). Para un valor de “ ex = 0.0 “ y cualquier “ ey “ hay una cierta carga “ Pnxo “ correspondiente al momento “ Mnxo “ que produce la falla, el reciproco “ 1 / Pnxo “ se indica como el punto B de la figura (b). Finalmente cuando ey = 0.0 se obtiene el valor “ 1 / Pnyo “ punto A de la figura (b).
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Al unir los puntos “ A, B y C “ se genera un plano oblicuo S´2 que representa una aproximación a la superficie real de falla S2. Se puede notar como para cualquier punto de la superficie de falla S2 hay un punto correspondiente en el plano S´2 que esta en el interior de la superficie real de falla S2. Se concluye que la ordenada real “ 1 / Pn “ de cualquier punto sobre la superficie S2 se puede estimar en forma conservadora por la ordenada aproximada “ 1 / Pn “ que se obtiene del plano triangular oblicuo S´2. En otras palabras ( 1 / Pn ) aprox. es siempre mayor que ( 1 / Pn ) real, lo cual significa que ( Pn ) aprox. es menor que ( Pn ) exacto lo que es conveniente en un diseño.
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La ecuación para el método de la carga reciproca de Bresler, (3), se obtiene por análisis geométrico de la superficie S´2 y su uso es adecuado siempre y cuando Pn > 0.10 Pno. Cuando no se cumple esta condición se recomienda despreciar la carga axial y diseñar la columna como un elemento sometido a flexión biaxial.
ϕ.Pn = Capacidad de carga axial de una columna sometida a
flexión biaxial. ϕ.Pnxo= Capacidad de carga axial para cualquier valor de ey. ϕ.Pnyo= Capacidad de carga axial para cualquier valor de ex. ϕ.Pno= Capacidad de carga axial para la columna concéntrica. Prof. Ing. José Grimán Morales
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Al diseñar una columna biaxial con este método se deben utilizar los gráficos de interacción de las columnas uniaxiales para obtener los valores correspondientes de “ Pnxo y Pnyo “ pero a diferencia del diseño uniaxial aquí no se debe restringir el valor de ϕ.Pn que representaba la meseta del grafico de interacción. Se utiliza toda la curva correspondiente y que en la mayoría de los casos se dibuja punteada.
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En cualquier diseño estructural de columnas por lo general se conocen: las dimensiones iniciales de su sección ( Dx, Dy ) y las excentricidades ( ex, ey ) => lo primero que se hace es ensayar una cuantía de refuerzo y una distribución de barras ( método de la excentricidad equivalente) se va a los diagramas de interacción de columnas uniaxiales y se determina “ Pnxo “, “ Pnyo “ y “ Pno “. Finalmente con la ecuación (3) se determina “ϕ.Pn “ la cual debe ser mayor o igual al valor de “ Pu “ inicial.
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