AutomatizaciMon DeMl Diseño Biaxial de Columnas de Concreto

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

“AUTOMATIZACIÓN DEL CALCULO DE DIAGRAMAS DE

INTERACCIÓN PARA EL DISEÑO EN FLEXOCOMPRESIÓN BIAXIAL CON VERIFICACIÓN DE LA CARGA AXIAL MÁXIMA DE COLUMNAS DE CONCRETO ARMADO”

Presentada por: Richard S. Calle García

TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL

Piura, Perú 2014

DERECHOS DE AUTOR Y MARCAS REGISTRADAS

La presente tesis “Automatización del cálculo de diagramas de interacción para el diseño en flexocompresión biaxial con verificación de la carga axial máxima de columnas de concreto armado” emplea

diversos recursos informáticos, que son debidamente presentados a continuación.

Microsoft es una marca comercial registrada de Microsoft Corporation. Office y Excel son marcas comerciales registradas de Microsoft Corporation. RAM Advanse es marca comercial registrada de Bentle y Systems Incorporated. SAP2000 es marca comercial registrada de Comp uters and Structures Incorporated. VBA y Visual Basic son marcas comerciales registradas de Microsoft Corporation.

Los nombres de productos mencionados en esta investigación se utilizan sólo con  propósitos identificativos y pueden ser marcas comerciales y/o marcas comerciales registradas de sus respectivas compañías.

“Observando a las criaturas de la natural eza, he llegado a la conclusión de que, al igual que

cada criatura de Dios intenta realizar lo que su propia naturaleza le exige, de la misma forma ha recibido los medios para alcanzar su meta. El ansia más íntima de los humanos es alcanzarla sabiduría y la comprensión; por lo tanto, podemos suponer que también ha recibido las facultades para llegar a ellas. Pero si investigamos la esencia de la sabiduría humana,  pronto nos damos cuenta de que todo conocimiento nace de la comparación de lo ya sabido con lo desconocido. Por este camino podemos llegar lejos, pero nunca alcanzaremos lo infinito. El hombre no puede alcanzar la absoluta verdad, ni el conocimiento absoluto. Lo comprenderás mejor si defino a Dios como la verdad absoluta. Nunca podremos entender la esencia de Dios. En consecuencia, todas nuestras verdades quedarán limitadas para siempre, y en proporción con lo que ya sabemos. La absoluta verdad es infinita como lo es Dios, y por ello no la podemos entender. Tu no comprendes esto – añadió- porque estás acostumbrado a mirar todo lo que hay a tu alrededor como seres tangibles. Sin embargo, mis estudios de matemáticas me han llevado a comprender que el único conocimiento definitivo que el hombre puede alcanzar es la comprensión de que el definitivo conocimiento no es alcanzable  para él porque, si así fuera, él mismo se convertiría en Dios. A esto lo llamo la ignorancia ignorante, ya que nos ofrece la única base firme en que podemos fundar nuestro pensamiento razonable, sin caer en fantasías.”

MIKA WALTARI: Juan el Peregrino

Quiero dedicar el esfuerzo vertido en este trabajo a quienes me debo agradecer en lugar primero, mis padres María y Ricardo, por su invaluable apoyo a pesar de las dificultades, en especial a mi madre quien aun con sus limitaciones supo tener la fortaleza para no desistir en todo este tiempo.

AGRADECIMIENTOS

El autor desea expresar su gratitud hacia todos aquellos Profesores de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Piura que contribuyeron al desarrollo y aplicación de las ideas que este proyecto recoge.

Especial reconocimiento merecen la docente Ing. María Josefa Gutiérrez Adrianzén, quien fue la responsable de la concepción de orientar el desarrollo de la aplicación COL 3D como  proyecto de tesis, así mismo lo merece la docente Ing. Adela Soledad Augusto Vílchez, quien en el curso de tesis a su cargo proporcionó las pautas tomadas en cuenta para la redacción.

A las personas que contribuyeron con ideas y alguna observación acerca del proyecto, como Tania Castro Correa, quien puso en alerta de una falta vital en la programación. Asimismo el agradecimiento para:

Ronald S. Calle Gracia Ing. Miguel Talledo Coveñas Ing. Pedro Palacios Almendro Ing. Carlos Silva Castillo Tatiana Miranda Merino

Y todos quienes hicieron posible la culminación del mismo.

ÍNDICE DE CONTENIDOS

CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN

1

1.1. MICROSOFT EXCEL

2

1.2 APLICACIÓN DE EXCEL EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

4

1.3. COL 3D

5

1.4. COL 3D ALCANCES Y LIMITACIONES

7

CAPITULO 2: ESTUDIO DE LAS COLUMNAS

8

2.1. DEFINICIÓN

8

2.2. LOS MATERIALES: EL CONCRETO Y EL ACERO

9

2.3. DISEÑO DE COLUMNAS

12

2.4. DISEÑO POR FLEXOCOMPRESIÓN

20

CAPITULO 3: ALGORITMOS PARA DETERMINAR LAS PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE UNA SECCIÓN

36

3.1. SECCIONES POLIGONALES

37

3.2. SECCIONES CIRCULARES

43

3.3. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE COORDENADAS

44

CAPITULO 4: AUTOMATIZACIÓN DEL DISEÑO POR FLEXOCOMPRESIÓN

47

4.1. DEFINICIÓN DE DATOS DE ENTRADA

48

4.2. PROCESAMIENTO DE DATOS

54

4.3. ALGORITMOS BÁSICOS DEL DISEÑO

57

CAPITULO 5: COMPARACIÓN DE RESULTADOS 5.1. COMPARACIÓN CON DISEÑO USANDO SAP2000 V.15

70 70

5.2. COMPARACIÓN CON DISEÑO MEDIANTE MÉTODO DE BRESLER 88

i

CAPITULO 6: DISCUSIÓN SOBRE LA RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA DE UNA COLUMNA EN FLEXOCOMPRESIÓN

102

6.1. RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA SEGÚN LA NORMA TÉCNICA E. 060

102

6.2. RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA SEGÚN HIPÓTESIS GENERALES DE DISEÑO

103

6.3. ANÁLISIS PARA DIFERENTES SECCIONES Y CUANTÍAS

105

6.4. COMPARACIÓN DE RESULTADOS

111

CAPITULO 7: INFERENCIAS DERIVADAS DEL CALCULO/DISEÑO MEDIANTE COL 3D

112

7.1. EVALUACIÓN DE COLUMNAS PRISMÁTICAS

112

7.2. DETERMINACIÓN DE CUANTÍA ÓPTIMA

116

7.3. SECCIONES OPTIMIZADAS

123

CONCLUSIONES

129

RECOMENDACIONES

131

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

132

ii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Logotipo COL 3D

6

Tabla 2.1 Características del acero según su grado

11

Tabla 2.2 Características de aceros nacionales

12

Figura 2.1 Separación máxima de barras sin apoyo lateral

14

Figura 2.2 Espécimen para ensaye en flexocompresión con agrietamiento típico

20

Figura 2.3 Diagrama de interacción

22

Figura 2.4 Estado de equilibrio para compresión pura

22

Figura 2.5 Estados de deformación en columnas hasta llegar a la condición balanceada

23

Figura 2.6 Estado de equilibrio para condición balanceada

25

Figura 2.7 Sección para ejemplo de determinación de centro plástico

28

Figura 2.8 Diagrama de interacción típico para diseño

30

Figura 2.9 Ejemplo para determinación de ábaco a emplear

31

Figura 2.10 Superficie de interacción biaxial

34

Figura 3.1 Sección para ejemplo de cálculo de propiedades

37

Tabla 3.1 Modelo de disposición de coordenadas

38

Figura 3.2 Parámetros de cálculo de una sección circular

43

Figura 3.3 Traslación de coordenadas

45

Figura 3.4 Rotación de coordenadas

46

Figura 4.1 Elementos de sección típica de concreto armado

50

Tabla 4.1 Definición de una geometría poligonal

50

Tabla 4.2 Definición de una geometría circular

51

Tabla 4.3 Modelo de disposición del refuerzo

51

Figura 4.2 Lista desplegable de diámetros de refuerzo

52

Tabla 4.4 Modelo de disposición de combinaciones de carga modificables

52

Tabla 4.5 Modelo de disposición de cargas aplicadas

53

iii

Tabla 4.6 Modelo de disposición de cargas factoradas

53

Figura 4.3 Dirección de aplicación de cargas (momento)

54

Figura 4.4 Diagrama de correlación de datos y parámetros

56

Figura 4.5 Modelo de presentación de datos

57

Figura 4.6 Ejemplo de generación de algoritmo en hoja de cálculo

58

Tabla 4.7 Modelo general de configuración de una sección

58

Figura 4.7 Sección para ejemplo de cálculo de peralte efectivo d

59

Figura 4.8 Sección con rotación controlada

59

Figura 4.9 Deformaciones correspondientes a un valor del eje neutro

60

Tabla 4.8 Disposición de cálculos relativos al refuerzo

62

Figura 4.10 Descomposición de momento para vista 3D

64

Tabla 4.9 Cargas aplicadas

64

Tabla 4.10 Combinaciones de cargas

65

Tabla 4.11 Cargas resultantes y dirección

65

Figura 4.11 Carga equivalente y posición angular

66

Figura 4.12 Vista 3D del diagrama resistente de interacción

67

Figura 4.13 Vista 3D del diagrama y cargas aplicadas

68

Figura 4.14 Vista 3D de elevación del diagrama y cargas aplicadas

69

Figura 5.1 Sección para ejemplo de comparación

72

Figura 5.2 Columna de pórtico plano para análisis en SAP2000

73

Figura 5.3 Ventana de asignación en SAP2000

74

Figura 5.4 Ventana de asignación en SAP2000

75

Figura 5.5 Desplegables de SAP2000

75

Figura 5.6 Ventana de SAP2000

76

Figura 5.7 Ventana de SAP2000

77

Figura 5.8 Sección creada en SAP2000

78

Figura 5.9 Elección del tipo de análisis en SAP2000

79

Figura 5.10 SAP2000 ejecutando análisis

79

iv

Figura 5.11 Diagrama de interacción de SAP2000

80

Figura 5.12 Asignación de datos en COL 3D

81

Figura 5.13 Asignación de datos en COL 3D

81

Figura 5.14 Definición de geometría de sección en COL 3D

82

Figura 5.15 Ingreso del refuerzo en COL 3D

82

Tabla 5.1 Valores de axial y momento de COL 3D

83

Figura 5.16 Diagrama de interacción bidireccional en 2D de COL 3D

84

Figura 5.17 Definición de direcciones para el análisis comparativo

85

Tabla 5.2 Comparación de resultados

86

Tabla 5.3 Resultados dados por SAP2000 y COL 3D

86

Figura 5.18 Comparación de diagramas de interacción

87

Tabla 5.4 Comparación de resultados

87

Figura 5.19 Método de las cargas recíprocas

89

Figura 5.20 Contornos de cargas de Bresler para Pn constante en la superficie de falla S3

90

Figura 5.21 Curvas de interacción para el método del contorno de las cargas de Bresler

92

Figura 5.22 Determinación de cuantía en ábaco de diseño

93

Figura 5.23 Determinación de cuantía en ábaco de diseño

94

Figura 5.24 Determinación de cuantía en ábaco de diseño

95

Figura 5.25 Determinación de parámetro Kn en ábaco de diseño

96

Figura 5.26 Determinación de parámetro Kn en ábaco de diseño

97

Figura 5.27 Sección diseñada mediante Bresler

98

Figura 5.28 Determinación de dirección de análisis a partir de excentricidades

99

Figura 5.29 Sección orientada según excentricidades para análisis específico en COL 3D

100

Figura 5.30 Diagrama de interacción de COL 3D y cargas aplicadas

101

Figura 6.1 Estado de deformación máxima

104

Figura 6.2 Sección rectangular para análisis

105

v

Tabla 6.1 Comparación de resultados según diferentes criterios

106

Tabla 6.2 Comparación de resultados según diferentes criterios

106

Figura 6.3 Sección T para análisis

107

Tabla 6.3 Comparación de resultados según diferentes criterios

107

Tabla 6.4 Comparación de resultados según diferentes criterios

108

Figura 6.4 Sección L para análisis

108

Tabla 6.5 Comparación de resultados según diferentes criterios

109

Tabla 6.6 Comparación de resultados según diferentes criterios

109

Figura 6.5 Sección circular para análisis

110

Tabla 6.7 Comparación de resultados según diferentes criterios

110

Tabla 6.8 Comparación de resultados según diferentes criterios

111

Tabla 6.9 Comparación general de resultados

111

Tabla 7.1 Características de columnas prismáticas en estudio

112

Figura 7.1 Secciones prismáticas a estudiar

113

Figura 7.2 Diagramas comparativos para dirección 0.00°

114

Figura 7.3 Diagramas comparativos para dirección 22.50°

114

Figura 7.4 Diagramas comparativos para dirección 45.00°

115

Figura 7.5 Diagramas comparativos para dirección 67.50°

115

Figura 7.6 Diagramas comparativos para dirección 90.00°

116

Figura 7.7 Sección rectangular para análisis

117

Tabla 7.2 Diámetros según variación de cuantía para la sección en análisis

117

Figura 7.8 Diagramas nominales de interacción para diferentes cuantías

118

Tabla 7.3 Puntos de resistencia nominal según cuantía

119

Tabla 7.4 Puntos de resistencia nominal según cuantía

120

Tabla 7.5 Excentricidades obtenidas según cuantía

121

Tabla 7.6 Excentricidades relativas obtenidas según cuantía

122

Tabla 7.7 Variación de relación acero/excentricidad

123

Figura 7.9 Secciones circulares, compacta y hueca

124

vi

Figura 7.10 Diagramas de interacción comparativos

125

Figura 7.11 Secciones rectangulares, compacta y hueca

126

Figura 7.12 Diagramas de interacción comparativos

126

Figura 7.13 Secciones pentagonales, compacta y hueca

127

Figura 7.14 Diagramas de interacción comparativos

128

vii

RESUMEN

El presente proyecto da a conocer las herramientas para la automatización de la teoría del diseño por flexocompresión de columnas de concreto armado, mediante la programación en un lenguaje cualquiera, estas herramientas pueden ser aplicadas también a cualquier otra teoría o procedimiento; así mismo se busca comprobar los métodos de diseño alternativos, las disposiciones de la normativa actual para la carga axial máxima de elementos sometidos a flexocompresión, también se coteja los resultados obtenidos con una de las distribuciones de software de diseño más conocidas del medio y se hace un estudio generalizado de lo correspondiente al diseño de columnas con la finalidad de dar a conocer la diversidad de alternativas de que se dispone sin que la arquitectura sea una limitante del diseño.

Para hacer posible este proyecto de automatización se ha hecho uso de los conocimientos de la geometría analítica y las herramientas informáticas del programa de Microsoft Office: Excel, el cual brinda una interfaz de usuario “muy amigable” para la  programación; combinando estas dos utilidades se logra automatizar la teoría del diseño de columnas de concreto armado por flexocompresión, ya que permite superar las limitaciones de la geometría de la sección, puesto que como vemos la mayor dificultad de los cálculos es de carácter aritmético, así podemos desarrollar secciones prismáticas y circulares, con la  posibilidad para ambas de ser compactas o huecas.

De este modo se puede conocer con precisión la resistencia de un elemento sometido a flexocompresión mediante la generación del diagrama de interacción en cu alquier dirección de análisis y así mismo verificar el máximo axial soportado por dicho elemento. Co n esto se logra la optimización de una estructura y poder verificar directamente su capacidad real. Es así que el diseño de una columna no convencional se llevara a cabo de forma segura ya que se cumple con todos los parámetros especificados para fines de diseño, sin necesidad de recurrir al uso de ábacos de utilidad limitada y complicado manejo. De ser llevado al campo experimental, esta programación puede ser útil para ajustar factores o parámetros de diseño.

Los resultados del diseño de columnas hechos con la programación propuesta muestran considerables variaciones con respecto a los procedimientos empleados comúnmente, así mismo la comparación con el software de diseño admite discrepancias que se cuantifican y discuten en el desarrollo de este trabajo.

CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN

Como se puede apreciar el desarrollo de la ciencia está ligado a la capacidad de  procesamiento de la información obtenida de un determinado estudio, esto es la velocidad con la que se sintetiza y testea la misma; ya que para lograr afinar un d eterminado proceso o sistema creativo se deben ejecutar la cantidad necesaria de pruebas que avalen su veracidad y precisión,  justificando de este modo su utilidad.

 Nos referimos así al hecho de lograr sistematizar un proceso, con la finalidad de hacer efectiva su aplicación en el diseño de estructuras convencionales o no convencionales, lo que además implica un proceso continuo, de implementación y mejora donde se pueda controlar el número necesario de variables a fin de hacer frente a la mayoría de situaciones y dando lugar a la posibilidad de ensamblar procesos, involucrando la mayor parte posible del diseño, como es el caso de algunas corporaciones hoy en día. Esto nos permitirá ver diversas alternativas en poco tiempo y elegir la mejor.

Asi mismo se busca que el material sirva para abordar problemas que anteriormente eran complicados debido a la aplicación de métodos desactualizados, y esté disponible a la comunidad estudiantil, sirviendo de modelo base para difundir la aplicación de la automatización y la programación que a pesar de ser parte de la curricular universitaria, a veces cae en desuso.

Partiendo de estas premisas en este proyecto se da un pequeño alcance de las  posibilidades que ofrece un lenguaje de programación como Excel al ser utilizado como herramienta para el diseño estructural, al automatizar la teoría del diseño por flexocompresión de columnas de concreto armado garantizando un diseño seguro, fiable y económico (optimizado) desde el punto de vista de la normatividad actual.

1

1.1. MICROSOFT EXCEL

Excel es una aplicación desarrollada por Microsoft y distribuida en el paquete de Office  para usarse en Windows o Macintosh. Presenta una interfaz intuitiva y amigable con archivos de ayuda incorporados. Es una hoja de cálculo que p ermite trabajar con tablas de datos, gráficos,  bases de datos, macros, y otras aplicaciones avanzadas. Ayudando en el cálculo de ejercicios aritméticos y siendo de gran utilidad en diversas áreas como educación, administración, finanzas, producción, ingeniería, etc. La versión de Excel empleada en este proyecto, Excel 15.0, se caracteriza por los siguientes aspectos:  Hojas de cálculo de gran dimensión, filas y columnas que forman celdas d e trabajo.  Agrupación de varias hojas de cálculo en un libro. Excel está compuesto por libros, un

libro es el archivo en que se trabaja y donde se almacenan los datos. Cada libro contiene 1024 hojas o la cantidad de memoria del PC que es posible emplear, soportando además la posibilidad de usar procesadores de varios núcleos, cada h oja contiene 1048576 líneas y 16384 columnas ordenadas numérica y alfabéticamente respectivamente.  Actualización automática de los resultados obtenidos en la hoja, al modificar los datos

de los cuales depende un resultado.  Gran capacidad de presentación y manejo de los datos introducidos.  Realización de distintos tipos de gráficos a partir de los datos introducidos en la hoja de

cálculo, con la posibilidad de insertarlos en la misma hoja de cálculo o en hojas aparte,  pudiendo presentar ambas informaciones juntas o separadas.  Trabajar con la información de una base de datos introducida en la hoja de cálculo

mediante operaciones que serían propias de un Gestor de Base de Datos como Access.  Análisis de datos instantánea.  Guarda y comparte archivos en línea.  Creación de tablas dinámicas que se adapten a sus datos.

Desde 1993, Excel ha incluido Visual Basic para Aplicaciones (VBA), un lenguaje de  programación basado en Visual Basic, que añade la capacidad para automatizar tareas en Excel

2

y para proporcionar funciones definidas por el usuario para su uso en las hojas de trabajo. VBA es una poderosa anexión a la aplicación que, en versiones posteriores, incluye un completo entorno de desarrollo integrado (IDE) conocido también como Editor de VBA. La grabación de macros puede producir código (VBA) para repetir las acciones del usuario, lo que permite la automatización de simples tareas. (VBA) permite la creación de formularios y controles en la hoja de trabajo para comunicarse con el usuario. Admite el uso del lenguaje (pero no la creación) de las DLL de ActiveX (COM); versiones posteriores añadieron soporte para los módulos de clase permitiendo el uso de técnicas de programación básicas orientadas a objetos. Excel es una herramienta potente y efectiva que integra la versatilidad necesaria para ser utilizada en innumerables ocasiones. La utilidad, eficiencia y variedad de áreas en las que sea aplicada dependen del nivel de conocimientos que el usuario posea. Aprender a utilizar la hoja electrónica de Excel en la resolución de problemas de investigación de operaciones, destaca el  potencial de este programa y su gran variedad de usos, esto es posible gracias a la gran variedad de funciones que agrupadas en categorías como:  Funciones de compatibilidad  Funciones de cubo  Funciones de base de datos  Funciones de fecha y hora  Funciones de ingeniería  Funciones financieras  Funciones de información  Funciones lógicas  Funciones de búsqueda y referencia  Funciones matemáticas y trigonométricas  Funciones estadísticas  Funciones de texto  Funciones definidas por el usuario instaladas con complementos  Funciones web

Estas facilitan su aplicación por parte de los usuarios. Entre las principales aplicaciones de Excel se puede mencionar que: permite a los usuarios elaborar tablas y formatos que incluyan 3

cálculos matemáticos mediante fórmulas; las cuales pueden usar “operadores matemáticos” como son: + (suma), - (resta), * (multiplicación), / (división) y ^ (exponenciación); además de  poder utilizar elementos denominados “funciones” (especie de fórmulas, pre-configuradas) como por ejemplo: Suma (), Promedio (), Buscar V (), etc. Así mismo Excel es útil para gestionar “Listas” o “Bases de Datos”; es decir agrupar, ordenar y filtrar la información. En ocasiones, ante un manejo básico Excel, esta herramienta es utilizada simplemente  para hacer cálculos sencillos o incluso para ordenar datos aprovechando su estructura de filas y columnas. Excel puede colaborar en mucho más que eso para un usuario que posea un nivel operativo medio. Algunos ejemplos de áreas donde la aplicación de Excel es utilizada generalmente para optimizar y colaborar en la simplificación de diversos procesos son: Empresas, Estudiantes, Hogar, Pymes, etc.

1.2 APLICACIÓN DE EXCEL EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

La aplicación de Microsoft Excel hoy en día se ha extendido prácticamente a todos los campos profesionales en los que se debe procesar grandes cantidades de información numérica y lógica, esto gracias a la variada gama de funciones que ofrece, como se vio anteriormente. Es por ello que damos cuenta de la muy útil asistencia que nos puede brindar en cuanto a programación se refiere, ya que además de realizar una gran cantidad de operaciones con los datos de entrada, puede generar un reporte personalizado para los resultados. Tal es su capacidad que en el campo de la Ingeniería es muy utilizado, particularmente en Ingeniería Civil en lo concerniente al Diseño Estructural, ya que permite la automatización de prácticamente cualquier teoría de diseño, variando datos de entrada.

4

1.3. COL 3D

“COL 3D” es la denominación dada a una hoja de cálculo programada en Excel que  permite generar la construcción del Diagrama de Interacción de una columna de sección, cuantía y ubicación del acero de refuerzo cualesquiera; también se puede ingresar las cargas aplicadas, las cuales se obtienen del análisis estructural, y verificar visualmente si son comprendidas por los límites de la superficie de resistencia de la sección analizada. En términos de especificidad y precisión COL 3D tiene gran capacidad y su creación se justifica dando a conocer sus utilidades:  Prescindir del uso de ábacos de utilidad limitada y complicado manejo.  Diseñar cualquier columna de sección poligonal o circular, compacta o no compacta,

con cualquier distribución de refuerzo y cuantía variable.  Determinar matemáticamente aplicando las hipótesis básicas de diseño la capacidad

resistente de una columna cualquiera.  Verificar la resistencia de una columna en cualquier dirección de su eje.  Generar el diagrama de interacción tridimensional incluyendo las c argas aplicadas, para

verificar visualmente que la sección en cuestión cumple las exigencias dadas.  Variar los factores de reducción, amplificación de resistencia; en el caso de

modificaciones en el reglamento o debido a criterios propios del diseñador.  Servir de material didáctico en la enseñanza superior.  Diseñar rápidamente (por flexocompresión) cualquier sección de columna.  Servir de ayuda de correlación en investigaciones experimentales.

Los beneficiarios de esta investigación son todas las personas involucradas en el estudio, diseño y peritaje de columnas de concreto armado. Y todos los interesados en la automatización y programación. Cuenta además con una interfaz sencilla para que el manejo por parte de los usuarios no sea complicado, los datos o variables que se pueden controlar le confieren una ventaja frente a otros programas empleados para este fin, entre estas variables tenemos:  Resistencia de los materiales  Factores de reducción de resistencia y de amplificación de cargas

5

 Geometría de la sección (circular y cualquier forma poligonal, compacta o no compacta)  Ubicación y diámetro de cada barra de refuerzo longitudinal  Orientación angular (0°-360°) para un análisis especifico  Cargas aplicadas (Momentos flectores y Fuerzas axiales)  Dirección de aplicación de las cargas

COL 3D permite visualizar espacialmente o en 3D el Diagrama de Interacción Resistente, Nominal, mediante la interfaz gráfica de programas como por ejemplo RAM Advanse, y las cargas factoradas aplicadas según la Norma Técnica usada y generar un reporte de diseño en 2D.

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1.4. COL 3D: ALCANCES Y LIMITACIONES

Como se dijo COL 3D ofrece una gran ayuda para el diseño por flexocompresión de columnas de concreto armado de forma cualquiera, esto comprende secciones circulares y  poligonales con la posibilidad para ambas de ser huecas o compactas; pero al ser un prototipo tiene una limitación respecto a la cantidad de vértices que en el caso de una sección poligonal  puede tener, en este caso este límite es de 30 vértices. También se mencionó la posibilidad de contar con cualquier cuantía de refuerzo, pero así mismo debemos tener en cuenta que la programación hecha abarca un máximo de 31 barras de acero como refuerzo longitudinal para los diámetros de 3/8”, ½”, 5/8”, ¾”, 1” y 1 3/8”; según esto podemos obtener un área de acero máxima de 296.98 cm2 lo que según la actual NTP E. 060 que indica una cuantía mínima de 1% se puede trabajar con secciones de un área hasta de 29697.81 cm2 que traducida dimensionalmente específica para el caso de una columna cuadrada, dimensiones de 170 cm x 170 cm, cabe mencionar que también habría que verificar límites de espaciamiento para la barras de refuerzo longitudinal.

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CAPITULO 2 ESTUDIO DE LAS COLUMNAS 2.1. DEFINICIÓN La columna es el elemento estructural vertical empleado para sostener la carga de la edificación, fundamentalmente transmite las cargas de las losas hacia los cimientos. Es utilizado ampliamente en la construcción por la libertad que proporciona para distribuir espacios al tiempo que cumple con la función de soportar el peso de la edificación; es un elemento esencial en el esquema de una estructura y la adecuada selección de su tamaño, forma, espaciamiento y composición influyen de manera directa en su capacidad de carga. Para la columna se indica las características que la definen así como el comportamiento para definir los aspectos a tomar en cuenta en el diseño de las columnas de madera, acero y concreto armado. Las columnas son elementos utilizados para resistir básicamente solicitaciones de compresión axial aunque, por lo general, ésta actúa en combinación con corte, flexión o torsión ya que en las estructuras de concreto armado, la continuidad del sistema genera momentos flectores en todos sus elementos. Según el uso actual de la columna como elemento de un  pórtico, no necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la compresión es el principal factor que determina el comportamiento del elemento. Es por ello que el pre dimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el diseño debido a diversos factores. Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de geometría, lo cuales influyen en el tipo de falla. El efecto geométrico de la columna se denomina esbeltez y es un factor importante, ya que la forma de fallar depende de la esbeltez, para la columna poco esbelta la falla es por aplastamiento y este tipo se denomina columna corta, los elemento más esbeltos se denominan columna larga y la falla es por pandeo. La columna intermedia es donde la falla es por una combinación de aplastamiento y pandeo. Además, los momentos flectores que forman parte del diseño de columna disminuyen la resistencia del elemento tipo columna.

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2.2. LOS MATERIALES: CONCRETO Y ACERO 2.2.1. El Concreto El concreto es una mezcla de cemento, agregado grueso o piedra, agregado fino o arena y agua. El cemento, el agua y la arena constituyen el mortero cuya función es unir las diversas  partículas de agregado grueso llenando los vacíos entre ellas. En teoría, el volumen de mortero sólo debería llenar el volumen entre partículas. En la práctica, este volumen es mayor por el uso de una mayor cantidad de mortero para asegurar que no se formen vacíos. Para obtener un buen concreto no sólo basta contar con materiales de buena calidad mezclados en proporciones correctas. Es necesario también tener en cuenta factores como el  proceso de mezclado, transporte, colocación o vaciado y curado. El muestreo y los ensayos de materiales y del concreto deben hacerse de acuerdo con las Normas Técnicas Peruanas –   NTP correspondientes. La resistencia a la compresión del concreto que se obtiene a través de ensayos de cilindros estándar es la propiedad directamente involucrada en el diseño por flexocompresión,  puede llegar hasta 980 kg/cm2 o más como el caso de los denominados concretos de ultra alto desempeño que se clasifican a partir de los 100 MPa de resistencia a la compresión; dependiendo del tipo de mezcla, propiedades del agregado, tiempo y calidad del curado.Las resistencias más comunes están en el rango de 210 a 480 kg/cm2. Es importante tener presente que la resistencia del concreto a la tracción es mucho menor que su resistencia a la compresión constituyendo aproximadamente entre un 8% a 15% de ésta. Para la determinación de este parámetro no se suele usar ensayos directos debido a las dificultades que se presentan sobre todo por los efectos secundarios que generan los dispositivos de carga. Para estimarlo se ha diseñado dos métodos indirectos. Por esta razón es que la resistencia a la tracción del concreto se desprecia en el cálculo de elementos no preesforzados, no siendo considerada tampoco en el desarrollo de esta investigación.

9

En cuanto a sus propiedades mecánicas el límite de deformación unitaria es igual a 0.003, este valor está estipulado en la Norma Técnica Peruana E. 060 y se considera que una vez superado es inminente la falla del concreto. Otra propiedad importante de concreto es la variación de su volumen debido cambios de temperatura, el concreto se expande con el incremento de temperatura y se contrae con su disminución. El coeficiente de dilatación térmica varía con la calidad del concreto y con su edad. Su valor oscila entre 9.2x10-6/°C y 12x10-6/°C para temperaturas entre -15°C y +50°C. Propiedad que como se verá más adelante es fundamental para la construcción empleando el Concreto Armado.

2.2.2. El Acero de Refuerzo En el punto anterior se mencionó algunas de las características del concreto entre ellas su limitada resistencia a la tracción. Para que este material pueda ser utilizado eficientemente en la construcción de obras de ingeniería se requiere de elementos que le permitan salvar esta limitación. En el caso del concreto armado, el acero es el encargado de esta función. El acero es una aleación de diversos elementos entre ellos: carbono, manganeso, silicio, cromo, níquel y vanadio. El carbono es el más importante y el que determina sus propiedades mecánicas. A mayor contenido de carbono, la dureza, la resistencia a la tracción y el límite elástico aumentan. Por el contrario, disminuye la ductilidad y la tenacidad. El manganeso es adicionado en forma de ferro-manganeso. Aumenta la forjabilidad del acero, su templabilidad y resistencia al impacto. Así mismo, disminuye su ductilidad. El silicio se adiciona en proporciones que varían de 0.05% a 0.50%. Se le incluye en la aleación para propósitos de desoxidación pues se combina con el oxígeno disuelto en la mezcla. El cromo incrementa la resistencia a la abrasión y la templabilidad; el níquel, por su parte, mejora la resistencia al impacto y la calidad superficial. Finalmente, el vanadio mejora la temperabilidad.

10

Las varillas corrugadas son de sección circular y, como su nombre lo indica, presentan corrugaciones en su superficie para favorecer la adherencia con el concreto. Estas corrugaciones deben satisfacer requisitos mínimos para ser tomadas en cuenta en el diseño. Existen tres calidades distintas de acero corrugado: grado 40, grado 60 y grado 75 aunque en nuestra norma, como se indica en 2.3.3 sólo se permite el uso de los dos primeros para elementos con responsabilidad sísmica. Las características los tres tipos de acero se muestran en la Tabla 2.1.

Las barras de refuerzo corrugado deben cumplir con los requisitos para barras corrugadas de una de las siguientes normas: (a) ―HORMIGÓN (CONCRETO) barras de acero al carbono con resaltes y lisas para hormigón (concreto) armado. Especificaciones‖ (NTP 341.031); (b) ―HORMIGÓN (CONCRETO) barras con resaltes y lisas de acero de baja aleación para hormigón (concreto) armado. Especificaciones‖ (NTP 339.186).

Las barras corrugadas deben cumplir con una de las NTP dadas en el párrafo anterior, excepto que para barras con fy mayor que 420 MPa, la resistencia a la fluencia debe tomarse como el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0,35%. Se indica que la  programación de este trabajo está basada en una resistencia de fluencia límite de 420 MPa indicada para elementos con responsabilidad sísmica, a la cual corresponde una deformación unitaria de 0.0021 ya que el valor de su módulo elástico es de 200000 MPa. En cuanto al coeficiente de dilatación térmica su valor es muy similar al del concreto: 11x10-6/°C esto es una gran ventaja pues no se presentan tensiones internas entre refuerzo y concreto por los cambios de temperatura del medio. Ambos tienden a dilatarse y contraerse de 11

modo similar. Las varillas se denominan por números y sus características geométricas (de las existentes en el mercado nacional, algunas empresas pueden fabricar diámetros diferentes a  pedido) se presentan en la Tabla 2.2.

2.3. DISEÑO DE COLUMNAS 2.3.1. Generalidades Las columnas son los elementos de las edificaciones que están principalmente sometidos a flexocompresión, similarmente a los muros de corte o placas. El diseño de un elemento sometido a flexocompresión se hace en base a las mismas hipótesis del diseño en flexión, considerando adicionalmente el problema de la esbeltez. Los efectos de esbeltez de las columnas, y la consiguiente reducción de su capacidad de carga se evalúan en forma independiente al diseño propiamente dicho, mediante la consideración de los momentos generados por las deformaciones transversales de las columnas (momentos de segundo orden) o mediante procesos aproximados que corresponden a la estimación de factores que corrigen a los momentos del análisis estructural (momentos de primer orden). En el desarrollo del presente estudio se asume que las cargas aplicadas al diseño 12

 propiamente dicho mediante COL 3D han sido previamente modificadas por los factores respectivos según el efecto de la esbeltez.

2.3.2. Normativa en General e Hipótesis de Diseño La Norma Técnica Peruana E. 060 en el Capítulo 10 da a conocer las disposiciones que se deben aplicar al diseño de elementos sometidos a esfuerzos originados por la flexión o la carga axial, o la combinación de estas; así mismo en otros capítulos se mencionan otras consideraciones que deben ser tomadas en cuenta en el diseño de este tipo de elementos. En este  punto se hará mención de aquellas consideraciones con la debida numeración que aparece en la  NTP. 7.6 LÍMITES DEL ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO 

7.6.3 En elementos a compresión reforzados transversalmente con espirales o estribos, la distancia libre entre barras longitudinales no debe ser menor de 1,5 db ni de 40 mm.

7.7 RECUBRIMIENTO DE CONCRETO PARA EL REFUERZO 

7.7.1 Concreto construido en sitio (no preesforzado) Debe proporcionarse el siguiente recubrimiento mínimo de concreto al refuerzo, excepto cuando se requieran recubrimientos mayores según 7.7.5.1 ó se requiera protección especial contra el fuego: (c) Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo: - Vigas y columnas: Armadura principal, estribos y espirales................................................................40 espirales........................................................... .....40 mm



7.7.3 Concreto prefabricado (fabricado bajo condiciones de control de planta) (b) Concreto no expuesto a la acción de la intemperie ni en contacto con el suelo: - Vigas, columnas: Refuerzo principal…db, pero no menor de 16 mm sin necesidad de exceder de 40 mm

Estribos y espirales...............................................................................................10 mm

13

7.10 REFUERZO TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS A COMPRESIÓN 

7.10.4.2 Para elementos construidos en obra, el diámetro de las barras utilizadas en espirales no debe ser menor de 8 mm para barras longitudinales de hasta 5/8”, de 3/8”  para barras longitudinales de más de 5/8” hasta 1” y de ½” par a barras longitudinales de

mayor diámetro 

7.10.5.1 Todas las barras no preesforzadas deben estar confinadas por medio de estribos transversales de por lo menos 8 mm para barras de hasta 5/8”, de 3/8”  para barras longitudinales de más de 5/8” hasta 1” y de ½”  para barras longitudinales de mayor

diámetro y para los paquetes de barras. Se permite el uso de alambre corrugado o refuerzo electrosoldado de alambre con un área equivalente. 

7.10.5.3 Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longitudinal de esquina y cada barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado por la esquina de un estribo con un ángulo interior no mayor de 135º y ninguna barra longitudinal esté separada a más de 150 mm libres de una barra apoyada lateralmente. Cuando las barras longitudinales estén localizadas alrededor del perímetro de un círculo, se permite el uso de un estribo circular completo.

14

9.2 RESISTENCIA REQUERIDA 

9.2.1 La resistencia requerida para cargas muertas (CM) y cargas vivas (CV) será como mínimo: U = 1,4 CM + 1,7 CV



9.2.3 Si en el diseño se tuvieran que considerar cargas de sismo (CS), además de lo indicado en 9.2.1, la resistencia requerida será como mínimo: U = 1,25 (CM + CV)  CS U = 0,9 CM  CS

9.3 RESISTENCIA DE DISEÑO factores de reducción  

9.3.2.1 Flexión sin carga axial…………………………………………….…………0,90



9.3.2.2 Carga axial y carga axial con flexión: (a) Carga axial de tracción con o sin flexión……………………………….….……..0,90

(b) Carga axial de compresión con o sin flexión: Elementos con refuerzo en espiral………………………………………….…....0,75 Otros elementos………………………………………………………………......0,70

9.4 RESISTENCIA MÍNIMA DEL CONCRETO ESTRUCTURAL 

9.4.1 Para el concreto estructural, f’c no debe ser inferior a 17 MPa, salvo para concreto

estructural simple (véase 22.2.4). No se establece un valor máximo para f’c salvo que se encuentre restringido por alguna disposición específica de esta Norma (véase 21.3.2). 9.5 RESISTENCIA DE DISEÑO PARA EL REFUERZO 

9.5.1 Los valores de fy y fyt usados en los cálculos de diseño no deben exceder de 550 MPa, excepto para los aceros de preesforzado, para los refuerzos transversales en espiral en 10.9.3, el refuerzo por cortante y torsión (véase 11.5.2 y 11.6.3.4). Para los elementos con responsabilidad sísmica, véase 21.3.3.

15

10.2 HIPÓTESIS DE DISEÑO 

10.2.2 Las deformaciones unitarias en el refuerzo y en el concreto deben suponerse directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro.



10.2.3 La máxima deformación unitaria utilizable del concreto, cu, en la fibra extrema sometida a compresión, se asumirá igual a 0,003.



10.2.4 El esfuerzo en el refuerzo deberá tomarse como Es veces la deformación unitaria del acero. Para deformaciones unitarias en el refuerzo mayores que las correspondientes a fy, el esfuerzo se considerará independiente de la deformación unitaria e igual a fy.



10.2.5 La resistencia a la tracción del concreto no debe considerarse en los cálculos de elementos de concreto reforzado sometidos a flexión y a carga axial, excepto cuando se cumplan los requisitos de 18.4. (Concreto Preesforzado)



10.2.6 La relación entre la distribución de los esfuerzos de compresión en el concreto y la deformación unitaria del concreto se debe suponer rectangular, trapezoidal, parabólica o de cualquier otra forma que permita una predicción de la resistencia que coincida con los resultados de ensayos de laboratorio representativos.



10.2.7 El requisito de 10.2.6 se satisface si se asume una distribución rectangular equivalente de esfuerzos en el concreto, definida como sigue:



10.2.7.1 Un esfuerzo en el concreto de 0,85 f’c uniformemente distribuido en una zona de compresión equivalente, limitada por los bordes de la sección transversal del elemento y por una línea recta paralela al eje neutro, a una distancia a = 1 c de la fibra de deformación unitaria máxima en compresión.



10.2.7.2 La distancia desde la fibra de deformación unitaria máxima en compresión al eje neutro, c, se debe medir en dirección perpendicular al eje neutro.

16



10.2.7.3 Para f’c entre 17 y 28 MPa, el factor1 se debe tomar como 0,85. Para f’c mayor

o igual a 56 MPa, 1 se debe tomar como 0,65. Para f’c entre 28 y 56 MPa se debe interpolar linealmente entre 0,85 y 0,65.

10.3 PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES 

10.3.1 El diseño de las secciones transversales sometidas a flexión, carga axial, o a la combinación de ambas (flexo-compresión) debe basarse en el equilibrio y la compatibilidad de deformaciones, utilizando las hipótesis de 10.2.



10.3.2 La condición de falla balanceada se produce en una sección transversal cuando el refuerzo en tracción alcanza la deformación unitaria correspondiente a fy al mismo tiempo que el concreto en compresión alcanza su deformación unitaria máxima utilizable cu de 0,003. Este criterio es general y se aplica a secciones de cualquier forma sin acero

de compresión o con él. 

10.3.6 La resistencia de diseño Pn de elementos en compresión no debe exceder del valor calculado usando las ecuaciones: 10.3.6.1 Para elementos no preesforzados con refuerzo en espiral: Pn max = 0,85  Pon = 0,85  [0,85 f´c (Ag  Ast) + fy Ast]

10.3.6.2 Para elementos no preesforzados con estribos: Pn max = 0,80  Pon = 0,80  [0,85 f´c (Ag  Ast) + fy Ast] 17



10.3.7 Los elementos sometidos a carga axial de compresión deben diseñarse para el momento máximo que puede acompañar a la carga axial. La fuerza axial amplificada Pu, a una excentricidad dada, no debe exceder de la resistencia de diseño especificada en 10.3.6. El momento máximo amplificado Mu debe incrementarse por los efectos de esbeltez.

2.3.3. Disposiciones Especiales para Elementos Sismoresistentes Como sabemos los sismos son un factor muy importante en el diseño de estructuras ya que originan esfuerzos de considerable magnitud, más aun siendo el caso de la ubicación de nuestro territorio, es por ello que la Norma Técnica Peruana E. 060 en el Capítulo 21 hace mención de las consideraciones a tener en cuenta para hacer frente a este fenómeno entre las cuales hemos extraído aquellas que están directamente involucradas en el diseño de Columnas de Concreto Armado por Flexocompresión ya sea para un sistema Dual I o Dual II, en este punto se hará mención de la normativa con la debida numeración que aparece en la NTP. Entre estas disposiciones tenemos: 21.3 REQUISITOS GENERALES 

21.3.2.1 La resistencia especificada a la compresión del concreto, f’c, no debe ser menor que 21 MPa.



21.3.2.2 La resistencia especificada a la compresión del concreto, f’c, no debe ser mayor

que 55 MPa. 

El refuerzo de acero longitudinal y transversal en todos los elementos con responsabilidad sísmica será corrugado y deberá cumplir con las disposiciones de ASTM A 706M. Se permite el empleo de acero de refuerzo ASTM A 615M, grados 280 y 420, en estos elementos siempre y cuando: (a) La resistencia real a la fluencia (obtenida en ensayos de laboratorio) no sea mayor que el esfuerzo de fluencia especificado fy, en más de 125 MPa; (b) La relación entre la resistencia de tracción (fu) y el esfuerzo de fluencia (fy), medida en el laboratorio, no sea menor de 1,25. 18

21.4 REQUISITOS PARA COLUMNAS DE LOS EDIFICIOS CON SISTEMA RESISTENTE A FUERZAS LATERALES DE MUROS ESTRUCTURALES O DUAL TIPO I 

21.4.5.1 La cuantía de refuerzo longitudinal no será menor que 1% ni mayor que 6%. Cuando la cuantía exceda de 4% los planos deberán incluir detalles constructivos de la armadura en la unión viga-columna.



21.4.5.3 Los estribos serán como mínimo de 8 mm de diámetro para barras longitudinales de hasta 5/8” de diámetro, de 3/8” para barras longitudinales de hasta 1” de diámetro y de ½” para barras longitudinales de mayor diámetro. Estos diámetros

también se aplican al refuerzo transversal con espirales. 21.6 REQUISITOS PARA LAS COLUMNAS DE EDIFICIOS CON SISTEMA RESISTENTE A FUERZAS LATERALES DE PÓRTICOS Y DUALES TIPO II 

21.6.1.1 La fuerza amplificada de compresión axial en el elemento, Pu, excede de 0,1 f’c Ag.



21.6.1.2 La dimensión menor de la sección transversal, medida en cualquier línea recta que pase por su centroide geométrico, no debe ser menor de 250 mm.



21.6.1.3 La relación entre la dimensión menor de la sección transversal y la dimensión  perpendicular no debe ser menor que qu e 0,25.



21.6.3.1 La cuantía de refuerzo longitudinal no será menor que 1% ni mayor que 6% 6 % del área total de la sección transversal. Cuando la cuantía exceda de 4%, los planos deberán incluir detalles constructivos de la armadura en la unión viga-columna.

19

2.4. DISEÑO POR FLEXOCOMPRESIÓN 2.4.1. Generalidades El tipo de espécimen usado en investigaciones de elementos sujetos a flexocompresión es semejante al que aparece en la figura 2.2, donde se indican esquemáticamente el refuerzo usual y una posible configuración de agrietamiento. Generalmente la carga P se aplica a una excentricidad constante. Esto hace que toda la zona prismática del espécimen esté sujeta a una carga axial y a un momento flexionante que crecen en la misma proporción, hasta el colapso. Existen dos modos principales de falla de elementos sujetos a flexocompresión: falla en compresión y falla en tensión.

En el primer caso la falla se produce por aplastamiento del concreto. El acero del lado más comprimido fluye, en tanto que el del lado opuesto no fluye en tensión. El segundo modo de falla se produce cuando el acero de un lado fluye en tensión antes de que se produzca el aplastamiento del concreto en el lado opuesto, más comprimido. El tipo de falla depende esencialmente de la relación entre momento y carga axial en el colapso. 20

Es posible determinar los puntos de falla para una determinada orientación del eje neutro de una columna los cuales generan el diagrama diagr ama de interacción. Así, si se cuenta con el diagrama de interacción de un elemento dado, se conocen todas las combinaciones de carga axial y momento que puede soportar. El diagrama de interacción de un elemento puede obtenerse a  partir de las hipótesis descritas en la sección 2.3.2.

2.4.2. Diseño en Flexocompresión Uniaxial Como se mencionó en 2.4.1 si se analiza una sección transversal sometida a flexocompresión, para una determinada distribución de acero, se puede tener diferentes valores de carga y momento resistentes, conforme se varíe la posición del eje neutro. A la curva, que indica esta resistencia, teniendo cómo ordenada la carga axial y como abscisa el momento, se le denomina Diagrama de Interacción, dicho de otro modo es la representación gráfica del lugar geométrico de las combinaciones de carga axial y momento flexionante inherentes a una determinada geometría de sección y ubicación de refuerzo longitudinal. (Figura 2.3).

21

Para su construcción bastará analizar el equilibrio de la sección, variando la ubicación del eje neutro. Si se tiene que el momento es nulo, el valor de la carga axial es máximo y se denomina Pon. Esta se obtiene considerando la carga máxima del concreto y del acero longitudinal colocado en el elemento.

22

Po =  [0.85 f´c Ac + As fy] Donde:

 = 0.70 para columnas con estribos  = 0.75 para columnas con espirales

Al considerar momentos actuantes simultáneos con la carga axial, el diagrama de distribución de deformaciones irá variando como se indica en la figura 2.5

La figura anterior indica un estado de deformación donde concreto ha llegado en comprensión a una deformación máxima de 0.003 (ver hipótesis de flexión) y simultáneamente el fierro extremo opuesto en tracción ha llegado a la afluencia con una deformación de 0.0021 (fy/Es para el caso de fy = 4200 Kg/cm2). A esta condición se le domina condición balanceada, y se representa en el diagrama con los puntos Pb, Mb. La obtención del valor Pb, Mb, se realiza por equilibrio conociendo la extensión del  bloque comprimido. Así tenemos: a) Conocido cu = 0.003 y y = 0.0021 se obtiene gráfica o geométricamente el valor del bloque comprimido c.

23

 b) En base al valor c, se conoce la compresión de concreto Cc: Cc = (0.85 f´c) b a

donde a = β1 c

c) Conocida la deformación en la sección, se puede conocer el esfuerzo en todos los refuerzos de acero colocados. En la figura 2.6 se muestra una sección rectangular para la cual se calcularán los esfuerzos en la condición balanceada: 

Fierro del extremo comprimido As1 s1 = 0.0027  0.0021

Por tanto 

Fs1 = fy As1 = 4200 (As1)

Fierro del centro As2 s2 = 0.0008  0.0021

Por tanto

Fs2 = 0.0008 Es As2 Fs2 = 0.0008 x 2000000 x As2 Fs2 = 1600 As2



Fierro del extremo en tracción As3 s3 = 0.0021, el límite

Por tanto

Fs3 = fy As3 = 4200 (As3)

d) La carga Pu será entonces igual a la sumatoria de fuerzas internas que se producen en el concreto y el refuerzo. En el ejemplo de la figura 2.6: Suma de fuerzas internas = Pu externo Pu = 0.85 f´c b a + 4200 As1 + 1600 As2 - 4200 As3 Pu en este caso se denomina Pb y para ubicarlo en la gráfica de interacción lo afectamos  por el factor de reducción  = 0.7, para obtener la resistencia de diseño 24

e) Para determinar el momento que en este caso llamaremos Mb, se tomara momentos respecto al centro plástico de la sección. Como la sección del ejemplo de la figura 2.6 tiene refuerzo simétrico, el centro de gravedad coincidirá con el centro plástico. Tomando momentos: Mb =  [(0.85 f´c b a) (x1) + As1 (4200) (x2) + As2 (1600) (x3) + As3 (4200) (x2)] Donde x1, x2 y x3 son las distancias del centro plástico al punto de aplicación de la fuerza. (En este caso x3 = 0)

Para conocer otros puntos del diagrama bastará con ir variando la posición del eje neutro (bloque c). Conforme vayamos disminuyendo el tamaño del bloque comprimido "c", la carga axial ira disminuyendo. Cuando esta carga axial es cero, lo cual indica que la suma de las fuerzas de compresión se iguala con la suma de las fuerzas en tracción, se habrá obtenido el valor, Mo el cual representa el caso de flexión pura.

25

Si se sigue disminuyendo el bloque comprimido puede suceder que la suma de fuerzas en compresión sea menor de la suma de fuerzas de tracción, lo cual indica que la resultante es una tracción; se estará en un caso de flexotracción y la curva será la indicada en la parte inferior de la figura 2.3. Ya que buscamos la resistencia diseño, esto es  veces la nominal, se grafica los valores de Pu y Mu obtenidos, afectándolos de , para compresión y flexocompresión la norma considerada un factor de reducción de  = 0.70 para columnas con estribos, y  = 0.75 para columnas con espirales, y para flexión, flexotracción o tracción pura, la norma indica un valor de  = 0.90. Esta diferencia entre  = 0.70 y  = 0.90 ocasionaría una discontinuidad en el Diagrama de Interacción que se ubicaría en la zona inferior, cercana al eje de abscisas, donde la carga de compresión es pequeña y prácticamente estamos en flexión pura. En lugar de tener una discontinuidad, parece más lógico considerar un  = 0.70 hasta un cierto valor de la compresión, y a partir de ese punto ir incrementando  hasta llegar a 0.9 en el  punto donde no hay carga axial (sólo flexión). Este último camino es el aceptado por la mayoría tratados y códigos y se considera que el punto donde se inicia el cambio de  es el de una carga axial que es [0.10 f´c Ag] ó [ Pb], la menor (ver figura 2.3).

2.4.3. Límites en el Diagrama de Interacción para Efectos de Diseño Algunos códigos consideran para efectos de diseño una excentricidad mínima, para el caso de columnas que el análisis realizado hayan obtenido momentos muy reducidos. El ACI de 1971 y otros anteriores así como el Código Peruano anterior, consideraba un momento mínimo de diseño obtenido con una excentricidad igual al 10% del peralte, en la dirección que se realiza el diseño, con un mínimo absoluto de 2.5 cm.

26

La nueva norma de Concreto Peruana ya no considera el criterio de la excentricidad mínima, si no limita la resistencia axial de diseño al 80 u 85% de la carga axial máxima Po. Esta exigencia obliga a considerar un diagrama de interacción, útil para el diseño, con una curva trunca en la parte superior tal como se indica en la figura 2.3.

2.4.4. Determinación del Centro Plástico de la Sección Cuando se tiene una sección con refuerzo simétrico, el punto donde se debe tomar momentos para la obtención de los momento resistentes (trazo del diagrama de interacción) no debe ser el centro de gravedad de la sección (considerando sólo el área de concreto), sino el denominado centro plástico y que consiste en el centro de fuerzas obtenido considerando toda la sección comprimida en su capacidad máxima. Esta condición se cumple cuando el concreto esté trabajando a 0.85 f´c y cada uno de los fierros a un esfuerzo de fy. Si por ejemplo tenemos una sección “L” como lo indica en la figura 2.7, la determinación

del centro plástico se hará de la siguiente manera: Datos: f´c = 210 Kg/cm2 y fy = 4200 Kg/cm2 Área de columna = 2125 cm2 Área de acero = 8  1” = 40 cm2

27

Tomamos momentos con respecto al extremo izquierdo para las fuerzas máximas que se  producirían en el concreto y el acero: Concreto:

0.85 x 210 [(55 x 25) (12.5) + (25 x 30) (40)] = 8422968.75 Kg.cm

Acero:

(2 x 5) (4200 –  0.85 x 210) (48.75) = 1960481.25 Kg.cm (3 x 5) (4200 –  0.85 x 210) (18.75) = 1131046.875 Kg.cm (3 x 5) (4200 –  0.85 x 210) (6.25) = 377015.625 Kg.cm

Y lo dividimos entre la fuerza máxima posible: Fmax = (0.85 x 210) (2125) + (40) (4200 –  0.85 x 210) = 540175.5 Kg

28

Obtenemos el centro plástico de la sección Xo:

  =

8422968.75 + 1960481.25 + 1131046.875 + 377015.625 540175.5

= 22.01 

Si solo se hubiera considerado la sección de concreto tendríamos:

  =

(2 5 × 5 5) × 12.5 + (25 × 30) × 40 2125

= 22.21 

Para el ejemplo presentado no hay una diferencia importante entre el centro plástico y el centro de gravedad de la sección bruta de concreto, pero es evidente que dependiendo de la cuantía del refuerzo y de su asimetría, la diferencia será más o menos importante.

2.4.5. Uso de Ábacos con Diagramas de Interacción Existen publicaciones de ACI y de otras instituciones donde se indican una serie de ábacos conteniendo Diagramas de Interacción para columnas cuadradas, rectangulares y circulares, como el de la figura 2.8. Estos generalmente tienen armadura simétrica colocada en sólo dos caras o en el  perímetro y han sido desarrollados para columnas de sección b x h cualquiera, teniendo en el eje de ordenadas el valor de Kn y en el eje de abscisas Rn.

Donde Kn es:  =

  ´  

Entonces Rn es:  = (

´) ℎ

De tal manera que sirven para diferentes secciones y diferentes calidades de concreto. Es importante resaltar la relación entre el peralte del núcleo reforzado y el peralte total, denominada “”, ya que estos ábacos varían según esta relación. En la mayoría de los ábacos los valores  son: 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 ó 0.9.

29

El diseñador debe decidir cómo ubicar el refuerzo de tal manera que, en base a su determinación, use un ábaco con refuerzo en caras opuestas o en todo el perímetro y con un valor determinado de . Así por ejemplo, si se trata de una columna de 35 x 45 donde se va a verificar la dirección de 45 cm. Como peralte, elegirá un ábaco con refuerzo en caras extremas y como un valor de  igual a 0.7.

Si se va a verificar la misma columna, pero la dirección que se considera el peralte de 35 cm, se usará un ábaco de refuerzo repartido a lo largo del perímetro y como un de 0.66, lo cual se interpolara entre el resultado obtenido con  = 0.6 y con  = 0.7. Esto se calcula como en la figura 2.9.

30

En los casos donde el armado de la columna no se asemeje a las dos opciones definidas (refuerzo en caras extremas o a lo largo del perímetro) y /o para secciones no rectangulares ni circulares, se deberá construir su propio Diagrama de Interacción, asumiendo el refuerzo colocado y verificando que las combinaciones de diseño (Pu, Mu) sean menores o iguales a las resistentes. Es conveniente aclarar que existen ábacos que ya vienen con el factor   incorporado (factor de reducción de resistencia) y otros donde uno debe considerarlo.

2.4.6. Refuerzo Mínimo y Máximo Para Columnas La Norma Peruana, como se vio en 2.3.3 considera una cuantía mínima de 1% y una cuantía máxima de 6%, y específica que si el diseñador considera una cuantía mayor al 4%, debe detallar el cruce de los refuerzos de la columna y de las vigas en cada nudo. Es por ello que algunos autores recomiendan que el diseño de columnas se lleve a cabo con cuantías comprendidas entre 1% y 4%, de tal manera que se evite congestionamiento del 31

refuerzo, ya que dificulta la calidad de la construcción, sobre todo si se piensa que en el Perú el diámetro máximo de refuerzo producido normalmente es de 1 3/8 pulgadas. Por otro lado autores como el ingeniero A. Blanco Blasco indican que siempre resulta más económico una columna armada con una cuantía baja, dado que resulta más cara una columna con cuantías mayores al 3% que una equivalente de mayor sección y menor cuantía de acero. Este punto será estudiado más adelante a fin de determinar qué cuantía es la óptima desde el punto de vista económico, según la cantidad de material empleado. Se define la cuantía de acero como el área total de acero dividida entre el área total de la sección ( = As / b t).

2.4.7. Diseño en Flexocompresión Biaxial 2.4.7.1. Importancia de Considerar la Flexión Biaxial en el Diseño de Columnas Si tomamos en cuenta solo el efecto de las cargas de gravedad en el análisis de una estructura, la flexión biaxial es importante en el caso de estructuras que consideren losas armadas en dos direcciones. Ahora siendo más realistas, si se considera que hay simultáneamente cargas horizontales de sismo, la flexión biaxial es casi siempre crítica, puesto que aun cuando se trate techos o pisos conformados por losas armadas en una dirección (aligerados o losas armadas en una dirección), siempre será factible tener una columna con momento de carga vertical en una dirección y simultáneamente momento de sismo en la otra.  No será crítica la flexión biaxial, a pesar de considerar sismo y carga de gravedad simultánea, cuando los momentos de carga de gravedad no sean significativos. Los criterios expuestos anteriormente no toman cuenta la simultaneidad de momento de sismo de las dos direcciones, debido al dicho que normalmente los análisis consideran sismo en una dirección, independiente al análisis de sismo en la otra. La realidad sin embargo, es que las fuerzas horizontales de sismo se presentan en una dirección cualesquiera, y que se producirán esfuerzos en las dos direcciones de la edificación simultáneamente, pero inferiores a las totales que se consideren independientemente. 32

Algunos autores recomiendan diseñar las columnas considerando simultáneamente el 100% del momento de sismo en una dirección y un 30% del momento de sismo total analizado  para la otra dirección.

2.4.7.2. Análisis de una Sección Sometida a Flexocompresión Biaxial Cuando se tiene una carga axial actuando en un punto, tal que se produzcan simultáneamente excentricidades en las dos direcciones de la columna, el problema del diseño es complejo, pues aun cuando se puede seguir trabajando con un bloque rectangular equivalente de compresiones, la posición del eje neutro no es simple de determinar pues la inclinación de este no es perpendicular a la excentricidad de resultante. Cuando la flexión es solo en un eje, ya se ha visto que es simple el procedimiento de construir un Diagrama de Interacción, variando la ubicación del eje neutro, pero siempre considerando que éste era perpendicular a la excentricidad actuante. Sin embargo, en el caso de flexión biaxial, se debe realizar el proceso ya mencionado para una determinada inclinación del eje neutro y su distancia por lo que los procedimientos de cálculo son largos y deben hacerse mediante procesos iterativos engorrosos. Actualmente con el auxilio de computadoras es factible la resolución de estos problemas. Suponiendo arbitrariamente una inclinación del eje neutro, su posición y una determinada distribución de refuerzo, se puede plantear el equilibrio de la sección y tomar momentos en X y en Y, obteniéndose para esa condición un valor de Pu, Mux y Muy. Si este  proceso se repite se podrá construir un Diagrama de Interacción que en realidad será espacial, obteniéndose una superficie tal como la indicada en la figura 2.10

33

2.4.7.3. Diseño Biaxial Según la Norma Peruana La NTP E. 060, indica, para el caso de columnas sujetas simultáneamente a momento flectores en sus dos direcciones principales, que el diseño deberá hacerse a partir de las hipótesis y principios definidos en el punto 2.3.2 en los que se ha basado en la automatización de COL 3D. Asimismo la norma indica que alternativamente se podrá usar la ecuación aproximada de Bresler en el caso del diseño de columnas cuadradas o rectangulares con armadura longitudinal simétrica, el diseño mediante este procedimiento implica hacer una comprobación con la siguiente fórmula: 1 

=

1 

+

1 

−

1 

Donde: Pn es la resistencia nominal a carga axial en flexión biaxial. Pnx es la resistencia nominal bajo la acción de momento únicamente en X (ey = 0). Pny es la resistencia nominal bajo la acción de momento únicamente en Y (ex = 0). 34

Pon es la resistencia nominal bajo la acción de carga axial únicamente (ex = ey = 0) que se calcula mediante: 0.85 ´ (  − ) +  

Deberá verificarse que la resistencia de diseño no exceda de [ Pn max = 0,85  Pon]  para elementos con refuerzo en espiral o de [ Pn max = 0,80  Pon] cuando se use estribos. La ecuación N es válida para valores de Pu  0,1  Pon; para valores menores de la carga axial Pu, se usará la siguiente ecuación:    

+

   

≤ 1.0

Donde Mnx y Mny son las resistencias de diseño de la sección con respecto a los ejes X e Y respectivamente. En el Capítulo 5 se da mayor referencia sobre el método de Bresler.

35

CAPITULO 3 ALGORITMOS PARA DETERMINAR LAS PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE UNA SECCIÓN

Para automatizar el cálculo de las propiedades de una sección es necesario que las ecuaciones que intervienen en el proceso se encuentren expresadas en función de variables que resulten conocidas desde el principio, y que además sean válidas para cualquier caso a estudiar, es decir que permitan codificar un programa de aplicación universal para cualquier problema dentro de unos parámetros predefinidos.

A tal fin se busca que las formulas o algoritmos que definen las principales propiedades de un área se puedan plantear de manera que sean fácilmente codificables en un lenguaje como Excel u otro similar. Una de las formas más convenientes es la de expresar dichas fórmulas en función de las coordenadas de los vértices del área a estudiar, lo que permite plantear un algoritmo aplicable a cualquier sección sin que su forma sea una limitante del análisis, ya que el proceso dependerá únicamente de sus coordenadas. O en el caso de secciones circulares, de los elementos que la definen.

Sin embargo el alcance de nuestro estudio está limitado a la condición de que la sección a estudiar debe tener todos sus lados rectos, sin importar su número, pero sin que existan segmentos curvos en su contorno. Pero si es posible trabajar con secciones netamente circulares  por separado, como ya se dijo en base a los elementos que la definen, haciendo una  programación independiente para estas secciones que pueden ser huecas o compactas igual que en el caso de las poligonales.

En base a lo antes mencionado hay expresiones para cada propiedad en función de las coordenadas xi, yi de cada vértice i del total n de la sección o radios de sección. Los principales 36

algoritmos que permiten calcular las propiedades geométricas de una sección se detallan en los  puntos siguientes, tanto para secciones poligonales, como para las circulares.

3.1. SECCIONES POLIGONALES Para aplicar las formulas correctamente se debe tener definidos mediante coordenadas todos los vértices de la sección poligonal en estudio, por ejemplo para el caso de la figura 3.1 que representa una columna hueca de sección rectangular:

Para el cálculo del área total comprendida por el polígono 12341 debemos tener definidos los vértices mediante coordenadas comenzando por uno cualquiera y seguir en un solo sentido ya sea horario o anti horario y luego del último punto debe retomar el primero, puesto que la figura 3.1 tiene cuatro vértices, los primeros cuatro puntos estarán conformados por las coordenadas de estos mismos y adicionalmente se debe repetir las coordenadas del primer vértice como quinto y último punto, esto se ilustra en el siguiente esquema:

37

Una vez hecho esto podemos aplicar las formulas correspondientes.

3.1.1. Área

 1   2 ∑(  )(  )  +   + = Esta fórmula nos permite calcular de manera general un área poligonal cualquiera en base a las coordenadas de sus vértices, con ella podemos calcular el área bruta de la sección (A12341 AABCDA) y determinar su cuantía, resistencia axial máxima, determinar el valor del área comprimida según varié la posición del eje neutro (A1´234´D´CBA´1´); datos necesarios para la construcción del Diagrama de Interacción.

3.1.2. Momento estático 3.1.2.1. Con respecto al eje x:

      +  +   ∑(  ) +  6 = 38

3.1.2.2. Con respecto al eje y:

      +  +   ∑(  )  + 6 = El cálculo de los momentos estáticos permite determinar posteriormente el valor del centroide de una región, esto es útil para plantear las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas actuantes en la sección, ya que según la idealización se debe aplicar en el centroide del el emento en cuestión; en este caso se usa para el área de concreto comprimido.

3.1.3. Momento de inercia 3.1.3.1. Con respecto al eje x:

            +  + +   ∑(  ) +  12 = 3.1.3.2. Con respecto al eje y:

            +   + +   ∑(  )  + 12 = El momento de inercia se cita complementariamente ya que no interviene en el cálculo del Diagrama de Interacción.

3.1.4. Algoritmo Genérico para Cálculo de Propiedades Fundamentales Una vez definidas las fórmulas para calcular las propiedades geométricas de una sección en función de las coordenadas de sus vértices, es posible definir el algoritmo que rige el proceso de cálculo y posteriormente codificar el programa en VBA utilizando una hoja de Excel para escribir los datos de entrada y reportar los resultados del proceso. Lo cual deja de lado el  problema del cálculo biaxial de Diagramas de Interacción, el cual es fundamentalmente aritmético. 39

Los pasos que conforman el algoritmo se pueden enumerar como sigue:

Dada una sección cualquiera de lados rectos con N vértices, situada sobre un plano xy en una  posición arbitraria:

1. Identificar las coordenadas de cada vértice comenzando por uno cualquiera y siguiendo el sentido horario.

2. Calcular el área de la sección utilizando la ecuación:

 1   2 ∑(  )(  )  +   + =

3. Calcular el momento estático de la sección con respecto al eje x utilizando la ecuación:

       +  +   ∑(  ) +  6 =

4. Calcular el momento estático de la sección con respecto al eje y utilizando la ecuación:

       +  +   ∑(  ) +  6 =

5. Calcular la abscisa del baricentro de la sección utilizando la ecuación:

   

6. Calcular la ordenada del baricentro de la sección utilizando la ecuación:

   

40

7. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje x utilizando la ecuación (las formulas dadas a continuación, incluyendo la misma de este punto, permiten el cálculo de otras importantes propiedades de secciones, aplicables en diversos tipos de  problemas, por ello son citadas solo a manera de complemento) :

                 +  +  +   ∑(  ) +  12 =

8. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje y utilizando la ecuación:

                 +  +  +   ∑(  )  + 12 =

9. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje x baricéntrico utilizando la ecuación (esta ecuación también es conocida como el Teorema de Steiner o de Ejes Paralelos):

   

10. Calcular el momento de inercia de la sección con respecto al eje y baricéntrico utilizando la ecuación (esta ecuación también es conocida como el Teorema de Steiner o de Ejes Paralelos):

   

11. Calcular el radio de giro de la sección con respecto al eje x baricéntrico utilizando la ecuación:

  √   12. Calcular el radio de giro de la sección con respecto al eje y baricéntrico utilizando la ecuación:

  √   41

13. Calcular el módulo de sección superior con respecto al eje x baricéntrico utilizando la ecuación:

Donde:



´´ 

´  ´

= ordenada del vértice más al norte del baricentro de la sección.

14. Calcular el módulo de sección inferior con respecto al eje  x baricéntrico utilizando la ecuación:

Donde:



´ 

´  ´

= ordenada del vértice más al sur del baricentro de la sección.

15. Calcular el módulo de sección superior con respecto al eje y baricéntrico utilizando la ecuación:

´ | |

Donde: x



´  ´

= abscisa del vértice más al este del baricentro de la sección.

16. Calcular el módulo de sección inferior con respecto al eje  y baricéntrico utilizando la ecuación:

´ 

´  ´

Donde: x



= abscisa del vértice más al oeste del baricentro de la sección.

42

3.2. SECCIONES CIRCULARES En este caso se procede en función del ángulo central “” que se define por la sección comprimida delimitada por “a” y el radio “r”. Las fórmulas usadas son:

3.2.1. Área Total:

   Esta fórmula permite encontrar la cuantía de acero en función del área bruta de la sección.

3.2.2. Ángulo de Definición :

cos− 

La fórmula del ángulo de definición permite calcular el área comprimida según varíe la ubicación del eje neutro, así mismo interviene simplificando el cálculo de su centroide.

43

3.2.3. Área Comprimida:

 (sincos) Esta se calcula en función de la posición del eje neutro que se puede definir mediante el ángulo “”.

3.2.4. Centroide de Área Comprimida:

̅ 4 sin3(2 [si(n 2)) cos] Como se vio en el caso de secciones poligonales, es necesario para las ecuacion es de equilibrio de fuerzas, dado que en el centroide se supone actúa la resultante de la fuerza del elemento analizado.

3.3. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE COORDENADAS Estas fórmulas se emplean tanto para las secciones poligonales como para las circulares, y dan la posibilidad de rotar y desplazar toda la sección y el acero, según convenga, en caso de las primeras o solo el acero en caso de secciones circulares.

La traslación y rotación es necesaria para analizar la sección en distintas posiciones angulares de eje neutro, ya que una columna puede ser flexionada en cualquier dirección.

44

3.3.1. Traslación de Coordenadas Sea un punto P de coordenadas  (x, y) con respecto de los ejes rectangulares X  e Y . Vamos a obtener las ecuaciones que relacionan las coorden adas  (x´, y´ ) del mismo punto P con respecto al nuevo referencial también rectangular X´, Y´ .

Sean los nuevos ejes X´ e Y´  obtenidos por una traslación paralela y en el mismo sentido con respecto a los ejes X  e Y , al nuevo origen (h, k ). (fig. 3.3)

De la figura 3.3, se tiene:

´ℎ

´

45

3.3.2. Rotación de Coordenadas Sea un punto P de coordenadas  (x, y) con respecto de los ejes rectangulares X  e Y . Vamos a obtener las ecuaciones que relacionan las coorden adas  (x´, y´ ) del mismo punto P con respecto al nuevo referencial también rectangular X´, Y´  pero rotado un ángulo   en torno al origen, con respecto al eje X  en el sentido positivo.(fig. 3.4).

Según la figura 3.4, se tiene:

´cos∝´sin∝ ´sin∝´cos∝

ó ó

´cos∝sin∝ ´sin∝cos∝

46

CAPITULO 4 AUTOMATIZACIÓN DEL DISEÑO POR FLEXOCOMPRESIÓN

En esta sección se da a conocer el procedimiento empleado para automatizar la teoría del diseño de columnas mediante la programación en Excel, aunque es más preciso decir diseño en base a verificación; ya que a partir de un predimensionamiento, que casi siempre difiere mucho de la sección a emplear finalmente; es que se obtiene una superficie de resistencia basada en puntos Momento - Axial, la cual debe contener las cargas factoradas obtenidas del análisis estructural. En al caso de que las cargas quedasen fuera de la superficie de interacción, es que no se cumple con la resistencia requerida, entonces, se procede a modificar alguno de los siguientes factores: 

Forma de la sección



Área bruta de la sección



Resistencia del concreto f´c



Cantidad de refuerzo longitudinal



Diámetro del refuerzo longitudinal

COL 3D es el resultado de una constante evolución de lo que comenzó como un  proyecto cuyo fin era obtener el Diagrama de Interacción para una sección de cualquier forma, luego fue implementado con la rotación para la sección, lo cual al ser posible, dio lugar a la obtención de la superficie de interacción.

En los subcapítulos siguientes definiremos los parámetros involucrados en la generación de la superficie de interacción, su correlación y los medios aplicados para lograr la automatización.

47

4.1. DEFINICIÓN DE DATOS DE ENTRADA Antes de comenzar a programar es necesario tener bien definidos dos puntos: los resultados que buscamos y los datos que son necesarios para obtener dichos resultados, y adicionalmente hay que tener conocimiento o nociones de los medios que nos pueden ser útiles en la programación, para ello la revisión de diversos artículos bibliográficos es de gran ayuda, no es necesario, tener en mente todo el proceso que se ha de aplicar, por ilustrar esto se  puede decir que es similar a ir conduciendo por la carretera en la noche, sin más iluminación que las luces delanteras del vehículo, estas solo nos muestran algunos metros de la carretera,  pero una vez en marcha iremos descubriendo el resto del camino. Entonces para diseñar por flexocompresión nuestros datos de entrada son:

4.1.1. Características de los Materiales 4.1.1.1. Resistencia del Concreto Como lo indica la Norma Técnica Peruana, para el concreto estructural, f’c no debe ser inferior a 17 MPa, salvo para concreto estructural simple (véase 22.2.4 NTP E.060), asimismo tampoco se establece un valor máximo para f’c; salvo el caso de elementos resistentes a fuerzas inducidas por sismo se especifica un rango de resistencia, una mínima de 21 MPa y una máxima de 55 MPa. En base a esto el valor de f´c queda a criterio del diseñador.

4.1.1.2. Resistencia del Acero de Refuerzo La NTP establece que los valores de fy y fyt usados en los cálculos de diseño no deben exceder de 550 MPa, excepto para los aceros de preesforzado. Considerando además que el mercado nacional ofrece en cuanto a aceros corrugados, los siguientes: ASTM A615-Grado 60  para el que se especifica un límite de fluencia mínimo de 4280 Kg/cm2  y el ASTM A706Grado 60 para el que se especifica un límite de fluencia mínimo de 4280 Kg/cm2  –   5510 Kg/cm2.

48

4.1.2. Factores de Reducción de Resistencia, Recubrimiento del Refuerzo, Diámetro de Estribos 4.1.2.1. Factores de Reducción de Resistencia Los hay según el tipo de esfuerzo aplicado y sirven para calcular la resistencia de diseño, se tiene: Flexión sin carga axial:  = 0,90 Carga axial de tracción con o sin flexión:  = 0,90 Carga axial de compresión con o sin flexión (ésta depende del tipo de refuerzo transversal utilizado): Elementos con refuerzo en espiral:  = 0,75 Elementos reforzados con estribos:  = 0,70

4.1.2.2. Recubrimiento del Refuerzo Esto es la distancia desde el borde del elemento hasta el acero más próximo, generalmente el acero transversal que puede ser estribo o espiral, este valor comúnmente es de 4 cm. Ver figura 4.1.

4.1.2.3. Diámetro de Estribos Este parámetro junto al anterior sirve para determinar la posición del acero de refuerzo longitudinal, y según la NTP E. 060 puede ser de 3/8” o ½”. Ver figura 4.1.

49

4.1.3. Geometría de la Sección y Ubicación del Refuerzo Longitudinal 4.1.3.1. Geometría de la Sección Debe ser definida en función de coordenadas de cada vértice para el caso de secciones  poligonales o de radios cuando se trate de secciones circulares. Las primeras se pueden definir en una lista como la de la tabla 4.1.

50

Secciones circulares solo necesitan un parámetro para ser definidas: el radio R de la sección compacta y el radio r cuando se trata de una circular hueca

4.1.3.2. Ubicación y Diámetro del Refuerzo Longitudinal La posición del refuerzo se define también mediante las coordenadas de su centroide en una lista como la siguiente:

51

Los diámetros de las varillas de refuerzo están predeterminados por la oferta del mercado nacional, pero se puede programar la aceptación de otros valores, de ser necesario, como en el caso del uso de paquetes de barras; los diámetros disponibles de acero corrugado son: 3/8”, ½”, 5/8”, ¾”, 1” y 1 3/8” y se eligen de una lista desplegable

4.1.4. Combinaciones de Carga y Cargas Provenientes del Análisis 4.1.4.1. Combinaciones de Carga Ya que estamos ubicados en una zona donde los sismos tienen regulares ocurrencias, la  NTP establece las siguientes combinaciones para las cargas que se obtienen del análisis de la estructura: 1.4 CM + 1.7 CV

CM: carga muerta

1.25 (CM + CV)  1.0 CS

CV: carga viva

0.9 CM  1.0 CS

CS: carga de sismo

Las combinaciones indicadas pueden ser ingresadas como en el esquema siguiente

52

Las expresiones en azul son modificables, son números con formato adicional que muestra la expresión correspondiente al tipo de carga; y afectan las cargas factoradas, en caso de un cambio en el reglamento, de trabajar con un código distinto o criterio del diseñador.

4.1.4.2. Cargas Provenientes del Análisis Para ser procesadas se proporcionan en una lista como la de la tabla 4.5.

53

Los iconos de flecha en la parte superior de la tabla 4.6 indican la dirección del efecto del momento y su correspondiente axial, se optó por trabajar con esos iconos como medio de evitar confusiones por parte de los usuarios al ingresar los datos de cargas, ya que la sección estará definida visualmente como:

4.2. PROCESAMIENTO DE DATOS En este punto veremos la correlación de los datos de entrada, según la teoría general del diseño en flexocompresión, con los demás parámetros que intervienen en la obtención de los pares momento, axial (M, P) será más comprensible mediante una ayuda visual como la de la figura 4.4, en este diagrama tenemos a los parámetros agrupados por color, ya que podemos diferenciar cuatro categorías, según su dependencia o interacción con los demás, estas categorías diferenciadas por color son:

54



Anaranjado oscuro: son “ parámetros de generación”  puesto que de su variación derivan los puntos de resistencia del Diagrama de Interacción.



Azul oscuro: podrían ser llamados “datos de primer orden”, son los datos de configuración de la sección en estudio, que definen la forma y propiedades mecánicas de ésta.



Azul claro: estos serían los “datos de segundo orden”, ya que provienen de las diversas operaciones efectuadas entre los datos de primer orden y los parámetros de generación.



Rojo: en esta categoría están los “resultados parciales”, estos son generados con cada

variación de los parámetros de generación para una sección específica, y en conjunto (alrededor de 800 puntos) conforman la Superficie o Diagrama de Interacción.

55

56

4.3. ALGORITMOS BÁSICOS DEL DISEÑO En esta sección daremos a conocer el procedimiento para la automatización en un libro de cálculo Excel (asumiendo que se tiene un dominio de Excel a nivel intermedio), aplicada a la teoría de diseño establecida según normatividad en el apartado 2.4 y que se apoya en las formulas del cálculo de propiedades de una sección dadas en el Capítulo 3.

A modo ilustrativo desarrollaremos una sección de columna hueca de 60x40 cm2 y un espesor de 12.50 cm reforzada con 10 varillas de ¾”, refuerzo transversal de estribos, con una distancia de borde de sección a centroide de refuerzo de 6 cm, f´c = 280 Kg/cm2 y fy = 4200 Kg/cm2. La secuencia de programación es la siguiente:

a) En primer lugar damos formato y una adecuada secuencia a los datos primarios de diseño:

57

Un ejemplo de obtención de parámetros derivados, es el siguiente, para calcular automáticamente el valor de

1

incorporamos el siguiente algoritmo en la casilla

correspondiente:

 b) Definimos la sección a usar; número, diámetros y posición de varillas

Con estas coordenadas de vértices y ubicaciones de acero podemos generar un gráfico como el de la figura 4.7 el cual es de gran ayuda visual.

58

c) Ligamos la posición de la sección y del acero con un valor angular, de modo que cuando cambiamos este valor, la sección queda dispuesta según este, la programación se puede hacer con las formulas dadas en el punto 3.3, un ejemplo de ello es el siguiente:

El ángulo  de la figura 4.8 indica que se analiza la sección en una dirección alfa medida en sentido anti horario a partir del eje X positivo. 59

d) Para una posición inicial 0° asignamos un valor a “c”, comenzamos con “c = 5% d”.

e) Calculamos la ubicación del centro plástico CP, centro de gravedad CG.

f) Aplicando el teorema de Tales encontramos las deformaciones correspondientes al acero en tracción extremo y las correspondientes a los demás aceros proporcionalmente. Para un valor de “c = 35% d”, o sea, c = 18.90 cm se tiene (el diagrama de deformaciones se hace con fines

ilustrativos, no se muestra en COL 3D):

g) Determinamos los esfuerzos en la sección, tracción en el acero Tsi, compresión en el acero Csi y compresión del concreto Cc, de acuerdo a las deformaciones en el caso del refuerzo, y  para el concreto según el valor del bloque en compresión determinado por “c”. Los cálculos son los siguientes:

60

Para el acero: 

fsi = Es x si Esfuerzo en el acero, resulta de multiplicar el módulo de elasticidad por la deformación unitaria, si es mayor que el correspondiente valor de fy, se toma el valor de fy. Distinguir los esfuerzos en tracción y los que están en compresión.



Tsi = fsi (tracción) x Asi Fuerza de tracción en el acero, es el resultado de la multiplicación del esfuerzo de tracción por el área del refuerzo.



Csi = fsi (compresión) x Asi Fuerza de compresión en el acero, es el resultado de la multiplicación del esfuerzo de compresión por el área del refuerzo.

Para el concreto: 

Cc = Acc x 0.85 f´c Como vemos solo se toma en cuenta el esfuerzo de compresión Cc, donde Acc: Área en compresión delimitada por “a”, “a = 1 c”

h) Determinamos el momento resistente con las fuerzas obtenidas, respecto del centro plástico y esto es el momento nominal. Mn = Cc x Xc + Tsi x Xi + Csi x Xi Donde: 

Xi: distancias calculadas respecto al centro plástico desde el centroide de la fuerza respectiva, se considera el centro del acero.



Xc: distancia respecto al centro plástico desde el centroide del bloque comprimido.

61

Estos cálculos pueden organizarse en un esquema como el siguiente, en caso del acero:

Estos valores ordenados en columnas corresponden a: Columna C: son las coordenadas Xi de los aceros de refuerzo. Columna D: son las coordenadas Yi de los aceros de refuerzo. Columna E: son los diámetros respectivos de cada acero ac ero de refuerzo. Columna F: es el área correspondiente al diámetro de acero empleado. Columna G: son las deformaciones unitarias calculadas para cada acero según la posición del eje neutro, el cual varía según el valor de “c”.

Columna H: son los esfuerzos asociados a cada deformación, según la posición del acero de refuerzo. Columna I: son las fuerzas, ya sea de compresión o de tracción de cada acero. Columna J: es la posición respecto del centro plástico CP de cada barra de refuerzo. Columna K: son los momentos debidos a las fuerzas en los aceros según su estado de deformación, respecto al centro plástico de la sección CP. Columna L: son los momentos debidos a las fuerzas máximas en los aceros respecto del eje Y,  permiten determinar el centro centro plástico CP. 62

i) Calculamos la resistencia axial asociada a ese estado como la sumatoria de fuerzas aportadas  por el concreto comprimido y el refuerzo, sumándose si está en compresión compr esión o restando si está en tracción. Pn = Cc + Csi + Tsi

 j) Ahora tenemos ya el primer par ordenado compuesto por (Mn, Pn), P n), para la posición pos ición de 0°, haremos el mismo procedimiento incrementando “c” cada cada 5% de “d” hasta 100% de “d” y finalmente encontraremos el par ordenado correspondiente a “c = 100% h”, donde “h” es el

valor correspondiente al peralte total del elemento en la posición angular analizada. También calculamos el par correspondiente a la fuerza máxima y cuando el momento es nulo: Pmax = Ag x 0.85 f´c + Ast x (fy –  0.85  0.85 f´c); M = 0

k) Hecho esto tenemos el diagrama de interacción unidireccional nominal, lo que haremos a continuación será rotar 10° la sección o la dirección del análisis y repetimos el procedimiento descrito anteriormente, esto hasta llegar a la posición angular de 350° de la sección o dirección del análisis.

l) Una vez tengamos los valores nominales, estos deben ser afectados por el correspondiente factor de reducción “ “” para obtener el Diagrama de Interacción Resistente. Con ello

contaríamos con un total de 792 puntos (Mn, Pn) en el caso del diagrama nominal y 792  puntos (Mu, Pu) en el caso del diagrama resistente, que serán transformados en coordenadas espaciales según la dirección del análisis del que fueron obtenidos, aplicando el principio de descomposición ilustrado en la figura 4.10, donde se tiene un valor de Axial (P) y momento (M) para una determinada dirección de análisis (); entonces el valor del momento (M) debe ser ubicado espacialmente según la dirección de análisis quedando como (Msen, Mcos, P). Esto se puede calcular en unos segundos gracias a la asistencia de una hoja de cálculo y la  programación

63

m) El procedimiento del punto anterior también puede ser aplicado a las cargas factoradas de modo que sean ubicadas en los diagramas 2D o el 3D

Asumiendo las siguientes cargas:

64

Tendríamos las combinaciones:

Al procesar estas cargas factoradas en función de las excentricidades generadas, aplicando el principio de superposición encontramos 20 posibilidades de carga con una dirección de aplicación específica

65

En la tabla 4.11 la primera columna corresponde a las combinaciones de carga tomadas  para hallar las excentricidades de las columnas 2 y 3, el axial [4] se obtiene por superposición  para ser multiplicado con la excentricidad e [5], que es la resultante rectangular de [2] y [3], obteniendo el momento respectivo M [6], estos: el axial y el momento obtenidos generan un esfuerzo equivalente según el principio de equilibrio. Luego para obtener la dirección de acción de las cargas definida por la orientación del momento equivalente o la posición de aplicación del axial equivalente con respecto del origen del plano XY, se calcula el ángulo 1° [7] que es el ángulo de aplicación formado con respecto al eje Y positivo o negativo, según sea el caso; con este valor se puede calcular la dirección general   [8], o sea la dirección con respecto al eje X positivo, como se muestra en la figura 4.11

66

La vista espacial del Diagrama de Interacción Resistente obtenido sin cargas definidas (valores nulos en el cuadro de cargas) es la siguiente:

Para la elaboración de este grafico se recurre a la exportación de los puntos del Diagrama de Interacción al programa RAM Advanse.

67

La vista espacial del Diagrama de Interacción Resistente obtenido con cargas de diseño definidas es la siguiente, en este caso se aprecia que las cargas de diseño están comprendidas dentro de la superficie de interacción:

Para la elaboración de este grafico se recurre a la exportación de los puntos del Diagrama de Interacción y las cargas al programa RAM Advanse.

68

Aquí se muestra el Diagrama de Interacción con las cargas aplicadas en una posición frontal, ya que es posible visualizar diferentes posiciones del Diagrama en la interfaz de RAM Advanse, vista para la cual también se aprecia que las cargas de diseño están comprendidas dentro de la superficie de interacción.

Para la elaboración de este grafico se recurre a la exportación de los puntos del Diagrama de Interacción y las cargas al programa RAM Advanse.

69

CAPITULO 5 COMPARACIÓN DE RESULTADOS 5.1. COMPARACIÓN CON DISEÑO USANDO SAP2000 V.15 5.1.1. Sap2000 El SAP2000 es un programa para el análisis tridimensional estático y dinámico de estructuras por elementos finitos que representa lo más avanzado en programas de cálculo estructural a nivel mundial. Además de su poder de análisis posee una interfaz gráfica de usuario sumamente amigable, fácil de manejar y se encuentra totalmente integrado con Windows.

Este software fue desarrollado por la empresa CSi, Computers and Strucutres, Inc. En Berkeley, California, EEUU. Dadas las características del programa SAP2000 es posible afirmar que no posee un límite práctico, el límite lo impondrá la computadora sobre la cual funcionará el programa. Los resultados que produce deben ser interpretados por el usuario para verificar que se corresponden con las condiciones del modelo estructural simulado, no hay que olvidar que este programa nunca superará al criterio de un ingeniero estructural.

5.1.2. Análisis de una Sección T Sometida a Flexocompresión Para apreciar más definidamente las ventajas que ofrece el diseño asistido mediante software, analizaremos una sección con las siguientes características:

a) Características de los materiales f ´c = 210 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2

70

 b) Factores de reducción, recubrimiento, estribos***

 Tracción = 0.90

Recubrimiento = 4 cm

 Compresión = 0.70

 estribo = 3/8 in

 Po = 0.80 ***Solo se pueden fijar en COL 3D de manera directa

c) Geometría de la sección y refuerzo longitudinal Tipo de columna: T Dimensiones: h = 75 cm (peralte)

t = 25 cm (espesor de ala)

 b = 75 cm (ancho)

bw = 25 cm (espesor de alma)

Refuerzo longitudinal: Estará dado por 14  1” Distancia de borde al centroide del refuerzo = 6.00 cm Cuantía usada ρ = 3.55%

71

d) Detalle de Sección (distancias a centroide de refuerzo):

5.1.2.1. Introducción de la Sección en SAP2000 Una vez definida la sección y las propiedades de los materiales a emplear, ingresamos los datos en el programa, a continuación presentamos un resumido instructivo sobre el  procedimiento de ingreso:

72

a) Definimos un modelo cualquiera, en este caso un pórtico plano, seleccionamos un elemento vertical

73

 b) Definimos las propiedades de los materiales a usar

74

c) Una vez definidas las propiedades de los materiales, seleccionamos el elemento vertical y desplegamos la pestaña

Define, luego seleccionamos Section Properties, seleccionamos

Frame Sections… ; como en la siguiente captura (fig. 5.5).

75

d) Luego elegimos la opción Modify/Show Property…  para la sección que hemos definido, en este caso, como “T”

76

e) Hecho esto, aparece una ventana denominada

SD Section Data, en la que seleccionamos

Section Designer… que debe quedar como la siguiente

77

f) Ahora ingresamos la geometría de la sección, la ubicación y diámetro del acero de refuerzo, con los diferentes comandos que tiene el programa, hecho esto debemos tener algo así:

Podemos dar cuenta de las dimensiones del elemento por las coordenadas del punto resaltado que se muestran en la parte inferior de la captura (fig. 5.8), así mismo de la posición, diámetro y material en el caso de la barra indicada en esta misma figura.

78

g) Para obtener la superficie de interacción de la sección fijada desplegamos la pestaña Display y seleccionamos Show Caltrans Interaction Surface…

Podremos observar en la parte inferior de la p antalla de diseño:

79

Esto indica que SAP2000 está generando la curva exacta, mediante un proc eso iterativo. Luego nos presenta una ventana con los resultados como la siguiente:

Según esta figura, SAP2000 ofrece 2 tipos de resultados, los cuales muestra en el casillero inferior derecho: Show Design-Code Results / Show Fiber-Model Results. Haremos una comparación de los dos tipos de resultados con COL 3D.

80

5.1.2.2. Introducción de la sección en COL 3D Al ser un libro de cálculo, ingresar los datos en COL 3D implica trabajar en una sola hoja los datos ingresados:

a) Introducimos las propiedades de los materiales:

 b) Continuamos con los factores de reducción y otros parámetros:

81

c) La geometría de la sección, por ser una sección típica, está programada para ser creada definiendo sus medidas según una imagen guía:

d) Una vez fijadas las coordenadas del acero, para una mejo r precisión, se puede apreciar en un gráfico la sección creada:

82

e) Con estos datos brindados COL 3D genera automáticamente la Curva de Interacción o los  puntos de la Superficie de Interacción, en el caso de lo primero se tiene, en cuanto a puntos de resistencia:

83

El respectivo Diagrama de Interacción es (las curvas de diseño se muestran para dos direcciones de análisis, esto se puede configurar según las preferencias del programador):

En la figura 5.16 podemos apreciar el Diagrama de Interacción Nominal y Resistente, con una línea superior que representa el límite que establece la NTP E. 060 para la carga axial máxima aplicable a la sección. Hay parámetros suprimidos para mostrar solo lo correspondiente a la comparación a efectuar.

5.1.3. Discusión de Resultados Obtenidos: SAP2000 vs COL 3D Ya que los resultados que brinda SAP2000 solo admiten variación de posición del elemento, mas no de la posición del eje neutro, hallaremos en COL 3D, el valor de momento que corresponde a un valor cualquiera de axial dado por el primero, para una rotación específica. 84

La obtención de estos valores en COL 3D se puede hacer de modo iterativo asignando valores a “c” (posición del eje neutro), o también es posible recurrir a una poderosa herramienta del paquete Excel denominada SOLVER, esta es una herramienta de análisis de hipótesis que  busca el valor óptimo de una celda objetivo cambiando los valores de las celdas usadas para calcular la celda objetivo.

La variación se ha tomado con respecto a los resultados de COL 3D, l a posición angular  para las rotaciones o dirección del análisis, varía según:

Para los resultados dados por SAP200 la denominación M (1) corresponde a

Show

Design-Code Results, por otro lado M (2) a Show Fiber-Model Results. Los valores de momento obtenidos para un axial constante de 810.91 Tn son:

85

También es posible hacer una comparación de Curvas de Interacción, para la dirección 0° tenemos:

86

Se puede observar que además de disparidades existen puntos muy parecidos, como es el caso del momento sin carga axial o dicho de otro modo el punto donde la curva intersecta al eje de los momentos, denominado Mo, los valores numéricos obtenidos en este punto son:

87

5.2. COMPARACIÓN CON DISEÑO MEDIANTE MÉTODO DE BRESLER Como sabemos aún hoy en día para la flexión uniaxial es habitual utilizar ayudas de diseño en forma de curvas o tablas de interacción. Sin embargo, debido a la naturaleza voluminosa de los datos y a lo difícil que resulta realizar múltiples interpolaciones, no resulta  práctico desarrollar curvas o tablas de interacción para diferentes relaciones entre los momentos flectores respecto de cada eje. Por este motivo se han desarrollado varios enfoques (todos ellos  basados en aproximaciones aceptables) que relacionan la respuesta de una columna en flexión  biaxial con su resistencia uniaxial respecto de cada uno de sus ejes principales. Uno de estos métodos es el de Bresler, el cual tiene dos casos.

5.2.1. Método de las Cargas Recíprocas de Bresler Este método aproxima la ordenada 1/Pn en la superficie S2 (1/Pn, ex, e y) mediante una ordenada correspondiente 1/P'n en el plano S'2 (1/P'n, ex, e y), el cual se define por los puntos característicos A, B y C como se indica en la Figura 5.19. Para cualquier sección transversal en  particular, el valor Po (correspondiente al punto C) es la resistencia a la carga bajo compresión axial pura; Pox (correspondiente al punto B) y Poy (correspondiente al punto A) son las resistencias a la carga bajo excentricidades uniaxiales ey y ex, respectivamente. Cada punto de la superficie verdadera se aproxima mediante un plano diferente; por lo tanto, la totalidad de la superficie se aproxima usando un número infinito de planos.

La expresión general para la resistencia a la carga axial para cualquier valor de ex y ey es la siguiente:

1 ≈ 1 = 1 + 1 − 1 ………………ó 5.1  ´   

88

Donde: Pox = Máxima resistencia a la carga uniaxial de la columna con un momento de Mnx = Pn ey Poy = Máxima resistencia a la carga uniaxial de la columna con un momento de Mny = Pn ex Po = Máxima resistencia a la carga axial sin momentos aplicados

Esta ecuación tiene una forma sencilla y las variables se pueden determinar fácilmente. Las resistencias a la carga axial Po, Pox y Po y se determinan usando cualquiera de los métodos  presentados anteriormente para flexión uniaxial con carga axial. Resultados experimentales han demostrado que esta ecuación será razonablemente exacta si la flexión no gobierna el diseño. La ecuación sólo se debe usar si:

89

 ≥ 0.1 ´ ………………ó 5.2 5.2.2. Método del Contorno de las Cargas de Bresler En este método se aproxima la superficie S3 (Pn, Mnx, Mny) mediante una familia de curvas correspondientes a valores constantes de Pn. Como se ilustra en la Figura 5.20, estas curvas se pueden considerar como "contornos de las cargas."

La expresión general para estas curvas se puede aproximar por medio de una ecuación de interacción adimensional de la forma

    () + () = 1.0………………ó 5.3

90

Donde Mnx y Mny son las resistencias nominales al momento biaxial en las direcciones de los ejes x e y, respectivamente. Observar que estos momentos son el equivalente vectorial del momento uniaxial Mn. El momento Mnox es la resistencia nominal al momento uniaxial respecto del eje x, y el momento Mnoy es la resistencia nominal al momento uniaxial respecto del eje y. Los valores de los exponentes α y β son función de la cantidad, distribución y ubicación de la armadura, las dimensiones de la columna, y la resistencia y las propiedades elásticas del acero y el hormigón. Bresler indica que es razonable suponer α = β; por lo tanto, la Ecuación 5.3 se convierte en:

    () + () = 1.0………………ó 5.4 Lo cual se representa gráficamente en la Figura 5.21.

Para utilizar la Ecuación 5.4 o la Figura 5.21 aún es necesario determinar el valor α para la sección transversal considerada. Bresler indicó que, típicamente, α variaba entre 1,15 y 1,55 y que un valor de 1,5 era razonablemente exacto para la mayoría de las secciones cuadradas y rectangulares con armadura uniformemente distribuida. Fijando α igual a la unidad, la ecuación de interacción se vuelve lineal:

 +  = 1.0………………í 5.5   Como se ilustra en la Figura 5.21, con la Ecuación 5.5 siempre se obtendrán valores conservadores, ya que subestima la capacidad de la columna especialmente para el caso de cargas axiales elevadas o bajos porcentajes de armadura. Sólo se debería usar cuando:

 < 0.1 ´ ………………ó 5.6 91

5.2.3. Ejemplo de comparación (Harmsen 3Ed. Pg. 294) 5.2.3.1. Diseño Según Bresler Diseñar una columna de sección rectangular sometida a las siguientes cargas: Pu = 100 Tn.

f´c = 280 Kg/cm2

Mux = 22.5 Tn.m

fy = 4200 Kg/cm2

Muy = 15.5 Tn.m

 (compresión) = 0.65

Se considerará una sección de 30x40 cm. El diseño por el método de Bresler consiste en determinar el refuerzo de la columna en las dos direcciones independientemente y finalmente verificar que la carga axial que puede resistir la columna sometida a flexión biaxial sea mayor que la aplicada. Inicialmente se usan los ábacos correspondientes a columnas de sección rectangular con refuerzo en dos caras.

92

Dirección X-X: h=40 cm., b=30 cm. y  = (40-12)/40=0.7

 = 30  40100000  0.65  280 =0.46  22.5  10  = 30  40  0.65  280 =0.26

Para =0.7, se obtiene que la cuantía de refuerzo en la sección analizad a es 3.5%, lo que equivale a un área de acero de 42 cm2. Esta puede ser provista por 4 varillas #6 y 6 varillas #8. La sección es muy pequeña para esta cantidad de refuerzo, por lo que se incrementará a 35x45 cm. En este caso: 93

 = 35  45100000  0.65  280 =0.35  22.5  10  = 35  45  0.65  280 =0.17

Para  = 0.7,  = 1.3%, equivalente a 20.48 cm2, los cuales pueden ser provistos por 4 varillas #8.

94

Dirección Y-Y: h=35 cm., b=45 cm. y  = (35-12)/35 = 0.66  0.7

 = 35  45100000  0.65  280 =0.35  15.5  10  = 45  35  0.65  280 =0.15

Para =0.7  = 1%. La columna requiere una cuantía de 1% ó 15.75 cm2. Se le colocarán 2 varillas #8 y 2 #6. Este refuerzo es adicional al calculado para la dirección X-X.

95

El paso final del método consiste en estimar la resistencia de la pieza a la compresión y verificar que ésta sea superior a la carga aplicada. La cuantía total de la columna, considerando el refuerzo requerido en la dirección X-X e Y-Y es:

2  2.85 =2.3%  = 6  5.1+ 45  35 Para aplicar la ecuación de Bresler es necesario determinar la resistencia a la compresión axial de la columna si ésta se encuentra sometida únicamente a flexión en una dirección. Haciendo uso de los diagramas de interacción correspondientes (columnas de sección rectangular con refuerzo las cuatro caras), se obtiene los siguientes resultados.



En la dirección X-X:  = 0.7

Rn = 0.17

 = 2.3%

96

Del diagrama Kn = 0.48 Pu = 0.65 x 280 x 35 x 45 x 0.48 = 137.6 Tn



En la dirección Y-Y:  = 0.66  0.7

Rn = 0.15

 = 2.3%

Del diagrama Kn = 0.66 Pu = 0.65 x 280 x 35 x 45 x 0.66 = 189.2 Tn La resistencia a la compresión pura de la pieza es:

 Po = 0.65 x (0.85 x 280 x (35 x 45 - 36.3) + 4200 x 36.3) = 337.1 Tn

97

Con los parámetros determinados es posible estimar la resistencia a la compresión de la columna sometida a flexión biaxial:

1= 1 + 1 − 1  137.6 189.2 337.1 P = 104.3 Tn > 100 Tn

Por lo tanto, según el método de Bresler, la columna capaz de resistir las cargas aplicadas tiene la siguiente configuración:

98

5.2.3.2. Verificación Mediante COL 3D Ya que en anteriormente se vio en un ejemplo cómo ingresar los datos en COL 3D, en esta sección solo mostraremos, los resultados obtenidos. Usando los mismos parámetros de diseño, incluso el factor reductor de resistencia por compresión que es 0.65 que también puede ser acoplado; analizaremos la resistencia biaxial de la sección, para ello partimos de las cargas de diseño: Pu = 100 Tn Mux = 22.5 Tn.m Muy = 15.5 Tn.m Las excentricidades que generan estos momentos y el axial son: ex = 15.5 cm y ey = 22.5 cm como se muestra en la figura 5.28, esto equivale a aplicar la carga Pu en la dirección

 donde  = arco tan (ey / ex) = 55.44°, lo cual genera un momento con efecto en esa dirección de

 = √ 22.5 +15.5 = 27.32 .. Entonces una vez ingresados todos los datos de geometría y características de materiales

verificamos la resistencia en la dirección  (ver figura 5.28).

99

Para el análisis en la dirección indicada en C OL 3D se debe indicar la dirección angular en sentido anti horario a partir del eje X positivo, entonces en ángulo en cuestión es  = 90 –  55.44 = 34.56 °, por cuanto tenemos:

Ahora podemos verificar visualmente si las cargas aplicadas en esta dirección de análisis quedan comprendidas dentro de la curva de interacción resistente. Ya que la disposición dada del acero de refuerzo no es simétrica, COL 3D permite visualizar a la vez el Diagrama de Interacción en la dirección suplementaria, los resultados se muestran en la figura 5.30.

100

Como podemos apreciar las cargas aplicadas Pu = 100 Tn y Mu = 27.32 Tn.m en la dirección  = 34.56° están fuera del área del diagrama Resistente, aun si las aplicamos en la dirección contraria o suplementaria, donde debido a la configuración del refuerzo planteada, se tiene un ligero incremento de resistencia. Por lo que se sugiere realizar un análisis individualizado.

101

CAPITULO 6 DISCUSIÓN SOBRE LA RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA DE UNA COLUMNA EN FLEXOCOMPRESIÓN

El código ACI 318S-08 expresa “Las excentricidades mínimas de diseño incluidas en las ediciones de 1963 y 1971 del reglamento se suprimieron en la edición de 1977, excepto en lo referente a las consideraciones de los efectos de esbeltez en elementos sometidos a compresión con momentos muy pequeños o iguales a cero en sus extremos. Originalmente las excentricidades mínimas especificadas estaban destinadas a servir como medio para reducir la resistencia de diseño a carga axial de una sección en compresión pura, para responder por las excentricidades accidentales que no se habían considerado en el análisis y que podrían existir en un elemento sometido a compresión, y reconocer que la resistencia del concreto puede ser menor que f´c para cargas altas sostenidas. El principal propósito del requisito de exigir una excentricidad mínima era el de limitar la resistencia de diseño máximo de carga axial de un elemento sometido a compresión. Esto se hace ahora directamente [ ] limitando la resistencia de diseño a carga axial de una sección en compresión…”.

Esto indica que las excentricidades siempre deben ser consideradas en el diseño, siendo así, se plantea una revisión de la resistencia axial máxima que puede desarrollar un elemento sometido a esfuerzos de flexocompresión.

6.1. RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA SEGÚN LA NORMA TÉCNICA E. 060 Tanto la NTP E. 060 como el código ACI 318S-08 con la finalidad de tener en cuenta las excentricidades en el diseño indican en 10.3. PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES, que para el caso de elementos no preesforzados, el cálculo de la resistencia axial de diseño de los elementos en compresión debe hacerse según:

102

Para elementos con refuerzo en espiral: Pn max = 0,85  Pon = 0,85  [0,85 f´c (Ag  Ast) + fy Ast]

Para elementos reforzados con estribos: Pn max = 0,80  Pon = 0,80  [0,85 f´c (Ag  Ast) + fy Ast]

6.2. RESISTENCIA AXIAL MÁXIMA SEGÚN HIPÓTESIS GENERALES DE DISEÑO Si nos basamos en las premisas generales de diseño por flexocompresión en las cuales los valores de Momento y Axial inherentes a una sección y distribución de acero en particular, se obtienen por la variación de la posición del eje neutro (variables “c”) nos encontramos con que existen puntos máximos de resistencia con una capacidad axial menor a la indicada en la  NTP. Estos puntos fueron estudiados inicialmente, considerando que“c = d”, d  como se sabe es el peralte efectivo del elemento, con lo que dimos con grandes disparidades de resistencia respecto de lo indicado en la norma; luego, desde un punto de vista menos conservador, se determinaron puntos máximos de resistencia axial asociados a la condición: “c = h”, esto es considerar toda la sección por encima del eje neutro, toda la sección en compresión, lo que también conduce a considerables variaciones, variaciones que se estudian en la sección  precedente.

Cuando hablamos de puntos máximos de resistencia, nos referimos al valor mínimo que la sección puede resistir de todas las direcciones del análisis, ya que los mayores esfuerzos de flexocompresión son derivados de la acción sísmica y ésta se presenta en cualquier dirección.

En vista de que los valores de resistencia axial aplicable a una sección para “c = d” o “c = h” varían con respecto a la dirección del eje neutro cuando se realiza el análisis, seria tremendamente tedioso mediante ábacos o métodos parecidos determinar estos puntos, incluso 103

SAP2000 no los da a conocer de modo especifico, COL 3D hace posible encontrar esos valores y a la vez indica la posición angular para la cual se obtienen.

Hay geometrías para las cuales si es aplicable el principio de la norma, desde el punto de vista del diseño según hipótesis generales. Por ello veremos diferentes secciones y analizaremos este punto comparativamente.

En la figura 6.1 se muestra gráficamente la concepción general del análisis para determinar el máximo axial que puede soportar una sección sometida a flexocompresión.

104

6.3. ANÁLISIS PARA DIFERENTES SECCIONES Y CUANTÍAS Ya que en capítulos anteriores se dio un ejemplo de cómo ingresar los datos en COL 3D, en esta sección solo mostraremos, los resultados obtenidos. Las aplicaciones siguientes consideran que se utiliza estribos como refuerzo horizontal, se dice esto para tener en cuenta los factores de reducción que corresponden.

6.3.1. Estudio de Columna Rectangular Tenemos una columna rectangular de 30 x 40 cm con 10 varillas de ¾” ( = 2.38%), f´c = 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2  y una distancia al centroide del refuerzo de 6 cm. Las características geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 6.2.

105

En este caso los resultados obtenidos son:

Si para la misma sección empleamos una cuantía mayor, 10 varillas de 1” ( = 4.22%), los resultados que se obtienen son:

6.3.2. Estudio de Columna T Tenemos una columna T de 75 x 25 + 75 x 25 cm con 18varillas de ¾” ( = 1.64%), f´c = 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2  y una distancia al centroide del refuerzo de 6 cm. Las características geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 6.3.

106

En este caso los resultados obtenidos son:

Si para la misma sección empleamos una cuantía mayor, 18 varillas de 1” ( = 2.92%), los resultados que se obtienen son:

107

6.3.3. Estudio de Columna L Tenemos una columna L de 75 x 25 + 75 x 25 cm con 16varillas de ¾” ( = 1.46%), f´c = 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2  y una distancia al centroide del refuerzo de 6 cm. Las características geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 6.4.

108

En este caso los resultados obtenidos son:

Si para la misma sección empleamos una cuantía mayor, 16 varillas de 1” ( = 2.59%), los resultados que se obtienen son:

109

6.3.4. Estudio de Columna Circular Tenemos una columna circular de 25 cm de radio con 8 varillas de ¾” ( = 1.16%), f´c = 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2  y una distancia al centroide del refuerzo de 6 cm. Las características geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 6.5.

En este caso los resultados obtenidos son:

Si para la misma sección empleamos una cuantía mayor, 8 varillas de 1” ( = 2.59%), los resultados que se obtienen son:

110

6.4. COMPARACIÓN DE RESULTADOS Las variaciones de los resultados obtenidos se han registrado en la tabla 6.9, están expresadas en toneladas y en porcentaje, respecto de los resultados encontrados mediante COL 3D; cuando se considera la totalidad del peralte efectivo, así como a totalidad del peralte absoluto, en la dirección analizada.

111

CAPITULO 7 INFERENCIAS DERIVADAS DEL CALCULO/DISEÑO MEDIANTE COL 3D Una de las utilidades del cálculo automatizado de COL 3D es que permite analizar con  precisión diferentes geometrías de columna y cuantías en muy poco tiempo, en base a ello en esta sección se discute el desempeño de las diferentes configuraciones que puede tomar una sección de columna de concreto armado.

7.1. EVALUACIÓN DE COLUMNAS PRISMÁTICAS Las columnas prismáticas a evaluarse serán las formas regulares, partiendo de la forma  básica, el triángulo, en lo posible tratando de utilizar una misma cuantía y área bruta para poder hacer una comparación en base a ello, es por este motivo que las secciones estudiadas tienen todas la misma área bruta, una distribución de acero según su forma pero una cuantía común, esto es posible si el diámetro que empleamos es un diámetro no necesariamente comercial, sino, el que matemáticamente hace posible obtener una misma cantidad de acero y así estudiar y comparar el comportamiento de estas formas. En la tabla 7.1 se muestran las propiedad es de las secciones empleadas, según el número de lados

112

Los materiales a emplear son concreto f´c = 280Kg/cm2, acero fy = 4200Kg/cm2, para todas las secciones la distancia de borde a centroide de refuerzo es 6 cm. A continuación una representación de las formas en estudio.

Para comparar la resistencia de las secciones, se muestran las curvas del Diagrama de Interacción superpuestas distintivamente según color, correspondientes a rotaciones angulares de 22.50° en sentido anti horario a partir de la posición indicada en la figura 7.1.

113

Para la dirección 0.00°

Sección más resistente: 4L

Sección menos resistente: 3L

Para la dirección 22.50°

Sección más resistente: 3L

Sección menos resistente: 5L

114

Para la dirección 45.00°

Sección más resistente: 3L

Sección menos resistente: 4L

Para la dirección 67.50°

Sección más resistente: 7L-5L

Sección menos resistente: 3L

115

Para la dirección 90.00°

Sección más resistente: 4L

Sección menos resistente: 3L

7.2. DETERMINACIÓN DE CUANTÍA ÓPTIMA En este estudio analizaremos la sección de uso más común en cuanto a forma, como se sabe la sección rectangular, se puede decir que esta es la forma básica de columnas, ya sea de concreto u otros materiales, su empleo es de carácter universal, por ello fue elegida para determinar para que cuantía una sección rectangular tiene un comportamiento optimo, según la relación: resistencia /cantidad de materiales.

Como en el caso anterior ya que se trata de hacer un análisis matemático trabajaremos con diámetros que correspondan a los valores de cuantía que estamos buscando, esta vez para una sección rectangular de 52x72 cm2 que contiene 20 barras de refuerzo de diámetro variable ajustado matemáticamente para obtener la cuantía en análisis (ver figura 7.7 y tabla 7.2). Las  barras están distanciadas 10 cm de centro a centro, cumpliendo con los requisitos de espaciamiento máximo y mínimo, y para tener una misma posición de esfuerzos en el acero, las  barras longitudinales cuentan con una distancia de 6 cm desde su centroide hasta el borde más 116

 próximo de la sección de columna, con estas consideraciones, la configuración de la sección será la misma, solo varia la cuantía, que lo que nos interesa en este caso.

Las características de los materiales son: para el concreto f´c = 280Kg/cm2 y en cuanto al acero fy = 4200Kg/cm2.

En la tabla 7.2 se muestran los diámetros usados que permitirán realizar la comparación  para cuantías desde 1% hasta 6% con incrementos de 1%

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Con estas condiciones se presenta el análisis de la sección en el sentido de la mayor dimensión, el análisis comparativo que se propone consiste en determinar los puntos del Diagrama de Interacción nominal para iguales variaciones de la posición del eje neutro (cada 5% de d ), calcular las excentricidades respectivas y evaluar la eficiencia según la cantidad de área bruta de acero necesaria para lograr tales excentricidades.

En la figura 7.8 observamos que los puntos cada 5% de d   se corresponden linealmente conforme se incrementa la cuantía de refuerzo.

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Los puntos de resistencia encontrados para cada cuantía, son:

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Los valores de axial negativo resaltados en rojo corresponden a esfuerzos de tracción, en la tabla 7.5 se muestran los valores de las excentricidades calculadas para los puntos de resistencia con axial en compresión:

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Los valores de la penúltima ubicación corresponden al estado de deformación cuando el eje neutro toma todo el valor del peralte y los valores últimos que son ceros, corresponden al axial máximo cuando el momento es considerado inexistente. Estas excentricidades (omitiendo las del axial máximo) expresadas en función de la correspondiente a la de la cuantía  = 1% son:

Como se puede apreciar en la tabla 7.6, conforme se incrementa la cuantía de acero, se consigue tolerar mayores excentricidades, es por esta razón que mediante la relación cantidad de acero / excentricidad   se indicara el valor de cuantía más eficiente. Esto es una especie de costo (tabla 7.7), es decir el costo en términos de cantidad de acero, que demanda el incrementar la excentricidad, para la sección; este costo está a la vez en función de los valores correspondientes a la cuantía  = 1%.

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Se puede apreciar que para valores iniciales de axial, valores pequeños, que corresponden a una reducida porción del área del Diagrama de Interacción, las cuantías altas son más eficientes, pero para la mayor parte útil de la región, se observa que mientras menor es la cuantía es mejor aprovechada, ya que “es menos costoso en términos de acero, ganar resistencia . ”

7.3. SECCIONES OPTIMIZADAS Se dice que nervar es sinónimo de optimizar, lo cual se puede apreciar claramente en diversas situaciones, como el caso de ciertas piezas mecánicas; y es que esta optimización se logra incrementando la resistencia de un elemento disminuyendo su sección adecuadamen te. La  propia naturaleza nos da ejemplo de ello, en el diseño de una obra maestra como es el cuerpo humano, las estructuras encargadas de darnos el marco resistente y flexible que nos permite empujar y jalar a nuestro antojo, son los huesos, estos son increíblemente resistentes, en 123

comparación el hueso es más resistente que el hormigón ,tiene una relación de peso por fuerza única en el planeta, el secreto de la fuerza y la ligereza de los huesos está en su interior , el hueso es una matriz de células huecas, sus paredes son delgadas como el papel. En los huesos hay diseños geométricos que evitan que se quiebren por torsión, compresión, etc. El hueso es un material único en el planeta, es tan fuerte que se le puede llevar a límites increíbles, el hueso del muslo soporta hasta una tonelada de presión antes de quebrarse.

Esto nos dice que una sección hueca o nervada puede ser más resistente que una compacta y es lo que verificaremos en las secciones precedentes. Las comparaciones serán en  base a secciones con la misma área bruta y misma cuantía de acero.

7.3.1. Columna Circular Hueca vs Circular Compacta Tenemos una columna circular con un área bruta de 1963.495 cm2 con 8 varillas de ¾” ( = 1.16%), f´c = 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2 y una distancia al centroide del refuerzo de 6 cm. en el caso de las sección compacta esta tendrá un radio de 25 cm y para el caso de la hueca se tiene un radio externo de 29 cm y un interno de 15 cm. Las características geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 7.9.

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En la figura 7.10 se muestran los Diagramas de Interacción correspondientes

Según la figura 7.10 podemos encontrar diferencias de hasta 33% entre los valores de momento  para un mismo axial.

7.3.2. Columna Rectangular Hueca vs Rectangular Compacta Tenemos una columna rectangular con un área bruta de 3750 cm2 con 14 varillas de ¾” ( = 1.16%), f´c = 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2 y una distancia al centroide del refuerzo de 6 cm. Para la sección compacta empleamos un rectángulo de 50 x 75 cm2 y en el caso de la sección hueca, un rectángulo externo de 60 x 90 cm2 y un interno de 30 x 60 cm2, con lo cual incluso el área bruta de la sección hueca es menor que el área de la compacta. Las características geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 7.11.

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En la figura 7.12 se muestran los Diagramas de Interacción correspondientes

En este caso hay variaciones de hasta 32% para los momentos correspondientes a un mismo valor de axial.

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7.3.3. Columna Pentagonal Hueca vs Pentagonal Compacta Tenemos una columna en forma de pentágono regular con un área bruta de 1962 cm2 con 5 varillas de 1” (   = 1.29%), f´c = 280 Kg/cm2, fy = 4200 Kg/cm2  y una distancia al centroide del refuerzo de 6 cm. La sección compacta es un pentágono de 33.776 cm de lado, mientras que la sección hueca consta de un pentág ono externo de 41.145 cm de lado y un interior hueco de 23.511 cm. Las características geométricas de la sección en estudio se muestran en la figura 7.13.

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En la figura 7.14 se muestran los Diagramas de Interacción correspondientes

En la figura 7.14 se han encontrado variaciones de 42% para los momentos correspondientes a un mismo axial.

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CONCLUSIONES

1. Es posible mediante algoritmos basados en cálculo de propiedades a partir de coordenadas automatizar la teoría de diseño por flexocompresión de columnas de concreto armado, para cualquier geometría y cualquier dirección de análisis.

2. El método de Bresler para diseño biaxial muestra un buen grado de imprecisión al comparar resultados con un análisis específico en una determinada dirección, pues según el análisis automatizado de COL 3D, Bresler no cumple con la resistencia solicitada en el caso estudiado.

3. Lo estipulado en 10.3.6 en la NTP correspondiente al máximo axial aplicado a un elemento en compresión carece de exactitud y en cuanto a las formas estudiadas es válido solo en casos de columnas circulares, y rectangulares con cuantías bajas. En las formas analizadas los casos desfavorables presentan variaciones de hasta 20%.

4. Para columnas prismáticas regulares a mayor número de lados, en términos generales de resistencia tienen un mejor comportamiento frente a las de menor número de la dos, solo en casos en los que se tenga certeza de grandes disparidades de esfuerzos en una dirección en particular, se puede optar por secciones como las triangulares que ofrecen una gran resistencia en sus tres direcciones principales, pero que presentan cambios  bruscos de resistencia en las otras direcciones.

5. El costo de ganar resistencia en estado de flexocompresión medido en términos de área de acero es menor cuando se trabaja con cuantías bajas, por ello es más conveniente usar una sección de mayor área con una cuantía baja, a incrementar la cuantía, lo que adicionalmente provee de mayor flexibilidad y evitada el congestionamiento del acero.

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6. Una forma de incrementar la resistencia de los elementos en compresión sin incrementar la cantidad de materiales, es usando secciones nervadas, lo que se consigue con las secciones huecas; así conseguimos incrementos en las resistencia frente a los momentos flectores de hasta 40% (en el caso de las secciones analizadas)

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RECOMENDACIONES

1. Ya que un elemento del tipo columna siempre será susceptible de estar afectado por momentos, y por ello estar sometido a flexocompresión, la resistencia axial máxima de diseño debe evaluarse en función de las premisas generales del diseño por flexocompresión.

2. En el diseño de columnas se recomienda optar por cuantías bajas, ya que además de evitar el congestionamiento del acero longitudinal, se consigue desarrollar una mayor eficiencia por parte de este.

3. Para incrementar la resistencia de una columna sin elevar la cantidad de materiales empleados y lograr un ahorro en costo, cuando la arquitectura lo permita, se recomienda usar secciones huecas o nervadas.

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