ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
PRESENTADO A: LILIANA ESPERANZA BAUTISTA
GRUPO No 100412_275
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA 201
1! Una ecuación diferencial ordinal de Tercer orden Lineal corresponde a.
A.
( )
B.
d y d y dy x −7 x 2 2 +6 x −7 y =0 3 dx dx dx
C.
d y d y dy + 5 x 2 2 +3 xy − 6 y =e x + 1 3 dx dx dx
D.
δ y δ y c + 2 = 0 4 δx δt
3
2
dy d y dy + 7 x 2 2 −6 x + 5 y = x + 2 dx dx dx 3
2
3
3
2
4
2
2
Rta: Esta ecuación es: -
Ecuación diferencial lineal Ecuación diferencial tercer orden
( ) ( ) 4
2! La ecuación diferencial
A. B. C. D.
2
2
2
d y d y 3 dy y y + + =5 x 3 4 2 dx dx dx
corresponde a:
Ecuación diferencial Ordinal de segundo orden no lineal. Ecuación diferencial Ordinal de cuarto orden lineal. Ecuación diferencial Ordinal de segundo orden lineal. Ecuación diferencial Ordinal de cuarto orden no lineal.
( ) ue lle!an en 4
R"#: Es de cuarto orden por el exponente 4 ue lle!a el la expresión "ate"#tica
d y 4 dx
el nu"erador $ el deno"inador. %o es lineal de&ido a ue el resultado es una función' sino un !alor $ no est# dado en función de f($). R$%&o'(# )#% &*$+,'"#% - . 4 /o' #%$ # )# %+,$'"$ 'o*3#/'!
En una C*+A del CEAD *&agu, del curso de ecuaciones diferenciales se presenta la siguiente situación. -Cuando la ecuación diferencial no es separa&le' exacta ni lineal' podra"os transfor"arla en una ecuación ue sepa"os resol!er/' de tal for"a en con!ertir ecuaciones diferenciales ue pueden ser transfor"adas en separa&les por "edio de sustituciones adecuadas' co"o es el caso de las ecuaciones
dy
diferenciales 0o"og,neas ue son de la for"a dx =f ( x , y ) en las ue se pueden expresar co"o una función ue sólo depende del cociente
y x
.
-! Teniendo en cuenta la infor"ación anterior' la solución general de la ecuación diferencial
0o"og,nea.
x
2
dy + y 2 = xy dx
x
y = c −e
A.
x y
y =cx
B.
y
y = Inx + e + c
C.
y = c + x
D.
2
R"#. Este tipo de ecuaciones ue el pro&le"a refiere co"o 1o"og,nea' para lo cual se utili2an la fór"ulas $3U' $ 5 3U6
Co"o se puede o&ser!ar estas ecuaciones $3U' $ 5 3U6 si se expresa co"o ($) +ri"a' para $3U' ueda representada co"o la deri!ada de un producto. Expresado de "anera 7en,rica 63(u)(x) Ecuación nor"al' entonces la 6/3dux8adx (Ecuación deri!ada) Donde la letra (d) significa deri!ada de la letra ue la precede. Entonces dux es la deri!ada de (u) por (x) 6 adx significa (a) por deri!ada de . Al expresarla &a9o la fór"ula de Leis resulta lo siguiente: dy dux +adx dy dux Simplificamos = = =u dx
x
dx
dy = y 2= xy dx
2
dy xy − y = 2 dx x
2
dy x ( y − y ) = 2 dx x
dx
dx
;ustitu$o por la for"ula despe9ada del producto de una deri!ada' encerrado en el recuadro $ ($)3ux' for"ula de sustitución para ecuaciones diferenciales 0o"og,neas
4! El tutor durante la C*+A le indica a los estudiantes ue en las ecuaciones diferenciales sus soluciones son generales' pero si se asignan !alores iniciales se o&tiene una solución particular de dic0a ecuación diferencial de&ido a ue se conoce el !alor de la constante -c/.
;i la ecuación
x
2
dy + y 2 = xy dx
se presenta la condición inicial de $(<)3<' el !alor de la constate
-c/ es: A.
c=e
B.
c =1 + e
C.
c =1 − e
D.
c =0
La solución de la ecuación es' x / y
xc =e
Las condiciones iniciales son x3< $3<' ree"pla2ando 1 /1
(1) c = e c= e
Responda las preguntas 5 a la 10 con base en siguiente información.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Las ecuaciones diferenciales son una ra"a funda"ental de las "ate"#ticas las cuales descri&en una situación fsica deter"inada' as "is"o deter"inan $a sea de "anera exacta o aproxi"ada' la solución apropiada de una ecuación e interpretan la solución ue se encuentre. Existen !arios ",todos para solucionar ecuaciones diferenciales dependiendo del orden en ue se encuentre la deri!ada. *nicial"ente se estudian las ecuaciones diferenciales de pri"er orden ue se caracteri2an en ue relacionan una función desconocida $ una deri!ada de pri"er orden5 donde para poder resol!erlas se pueden e"plear tales co"o =aria&les separa&les' exactas' factor integrante' $ lineales las cuales no reuieren transfor"aciones5 pero cuando la ecuación diferencial no es separa&le' exacta' factor integrante ni lineal' podra"os transfor"arla en una ecuación ue sepa"os resol!er/' de tal for"a en con!ertir ecuaciones diferenciales ue pueden ser transfor"adas en separa&les por "edio de sustituciones adecuadas' co"o es el caso de las ecuaciones diferenciales 0o"og,neas ue son de la dy =f ( x , y ) en las ue se pueden expresar co"o una función ue sólo depende del cociente for"a dx
' o de la for"a
dy =f (u ) dx
donde u es una expresión en t,r"inos de x' $ auto"#tica"ente se
transfor"a en !aria&les separa&les. 5! La solución general de la ecuación diferencial >? ( )3?8( ?@ ?8<) corresponde a:
dy dx = 2 2 2 −2 xyln ( y ) x + ( y √ y + 1 )
La solución general de la ecuación diferencial 1
A.
x + ln| y|+ ( y + 1 ) √ y + 1 − y + c =0
B.
x + ln| y|+ √ y + 1 + c =0
2
2
corresponde a:
2
3
2
2
3 2
C.
2
x Lny −
( y + 1 )
2
3
+c = 0
3 2
D.
x + ( y 2
2
2
x Lny +
( y + 1)
2
3
+ c =0
√ y + 1 ) dy =−2 xyln ( y ) dx 2
2
2 xyln ( y ) dx +[ x
;e reali2a despe9e en la ecuación
+ ( y √ y +1 ) ] dy =0 2
2
M ( x , y )=2 xyln ( y ) N ( x , y ) = x + ( y 2
2
+asa la expresión de la derec0a a su"ar a la i2uierda.
√ y + 1 ) 2
dM dN = 2 xln ( y ) + 2 x = 2 x dy dx dM dN − 2 xln ( y ) dy dx 1 −g ( x )= = = M 2 xyln ( y ) y
∫ − y1 dy −∫ 1 y dy −ln ( y ) ln ( y− ) −1 1 e =e =e =e = y = y 1
actor integrante 2 xyln
( y ) dx +[ x + ( y √ y +1 ) ] dy =0 2
2
2
1
+or el factor integrante y
se o&tiene la ecuación exacta:
2
x 2 2 xln ( y ) dx +[ + ( y √ y + 1 ) ] dy = 0 y
6a ue
dM 2 x dN = = dy y dx
.
Tene"os
∫ 2 xln ( y ) dx = x
F ( x , y )=
2
ln ( y ) + g ( y )
.
2
dF x = + gl ( y ) dy y
A lo cual 2
2
x x + g l ( y ) = + y √ y 2+ 1 y y g ( y )= y √ y + 1 l
2
∫ g ( y ) dy =∫ y √ y + 1 dy l
2
1
3 2
g ( y )= ( y + 1 ) 2 3
F ( x , y )= x
2
ln
1
3 2
( y ) + ( y + 1 )
2
3
La solución general es la D.
! Al Resol!er la ecuación diferencial
dy =dx ;si y ( 0 )= π −1 sen ( x − y + 1 )
constante c corresponde a: A. B. C. D.
< < ?
;e utili2a el ",todo de Transfor"ación De =aria&le ;eparada: dy =dx sen ( x − y + 1 )
' el !alor aproxi"ado de la
dy = sen ( x − y + 1 )
( x − y + 1 )
Donde Z =
DZ D =1− DX DX
dy d! =1 − dx dx despe"amos 1−
dy = sen! dx d! dx
1− sen! =
Se
dx =
d! 1− sen!
d! = 1− sen !
¿∫ dx =∫
¿∫
o#tiene
1 + sen! 2
1 − cos
!
∫ 1 −d!sen! ∗1 + sen !
1 1 + sen! d! + ∫ 1−cos ! 1− cos !
d! =
2
x = sec ! + tan! sec! + c x =tan! + sec!
1 + sen !
2
2
sen! d! ∫ 11−+sen !
d! =
2
;i $ () 3 π −1 x = tan ( x − y + 1 ) + sec ( x − y + 1 ) x = tan ( 0 −( π −1)+ 1 ) + sec ( ( 0 −( π −1)+ 1 ) ) x = tan (− π + 2 ) + sec (−π + 2 )+ c
x =0.034 +(
−1
)=−1
1
La solución general es la A.
7! La siguiente ecuación diferencial x ( 2 x −3 y ) dy = y (2 x − y )dx tiene co"o solución 3
3
3
general: −2
A
()
3
y x
−2
B
()
3
y x
−9 ln
−9 ( e ) y / x =6 ( e ) y / x + c
| |= y x
C
9 ln
D
9 (e )
||
y =6 ln | x|+ c x
y / x
| |+ c
6 ln x
=6 ( e ) y / x + c
3
3
y ( 2 x − y ) dy = dx x ( 2 x3 −3 y 3) 3
4
dy 2 x y − y = dx 2 x 4−3 x y 3
esta es la respuesta correcta
3
Reali2a"os una sustitución 3
y $ $ y = x! ; ! = ; y = ! x + ! x
4
( x! )−( x! ) ! x + ! = 2 x −3 x ( x! ) 2 x
$
4
3
4
4
4
! − x ! ! x + ! = 4 4 3 2 x − 3 x ! $
2 x
$
x ( 2 ! − ! )
4
4
! x + ! = 4 3 x ( 2−3 ! ) 4
(2 ! − ! ) ! x + ! = (2−3 ! ) $
3
4
! −2 ! ! x + ! = 3 3 ! −2 $
4
! −2 ! − ! ! x = 3 ! − 2 $
3
4
$
! x =
4
! −2 ! −3 ! + 2 ! 3 3 ! −2 4
− 2 ! ! x = 3 ! − 2 $
3
4
d! − 2 ! x= 3 dx 3 ! −2 3
(3 ! −2) d! dx = x −2 ! 4
−1 2
∫
3
3 !
!
−2 4
[ ∫ [ ( )
−1 2
−1 2
3
3
∫ dx x
d! =
]
! d! d! −2 = ln / x /+ % 1 4 4 ! !
3 ln
∫
2 −3
! + ! 3
]=
ln / x /+ % 1
¿ x /¿+ c 1 −3 2
ln ( ! ) −
1 −3 3
! =ln ¿
Reali2a"os el ca"&io
¿ x! ; ! =
y x
¿ x /¿+ c 1 −3 2
ln
−3
() ()= y 1 y − 3 x x
ln ¿
ultiplico por toda la ecuación ¿ x /¿+ 6 c 1 −9 ln
( )− y x
% = 6 c 1
2 −3
() y x
=6 ln ¿
Reali2a"os el ca"&io luego ¿ x /¿
−9 ln
()
y 2 − −3 =6 ln ¿ x y x
()
2
! El estudiante puede afir"ar ue la Ecuación diferencial
( )
d y dy e +2 ❑2=1 2 dx dx y
Es una ecuación diferencial ordinal %o lineal porue: <. La segunda deri!ada depende de ?. La Ecuación diferencial no contiene !aria&le *ndependiente x. F. La pri"era deri!ada est# ele!ada al cuadrado. 4. La igualdad de&era ser igual a cero. 6,%"/#/':
a) Clasificación segGn la Linealidad: ;e dice ue una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si es lineal en $' $H'...' $(n). Esto significa ue una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando (x' $' $H'...' $(n)) 3 es:
E' )# /o3'#/' #("# $' $) )#(o 89,$*(o ($ )# #'"$*o* &o($3o% #*3#* 9,$: L# #*#)$ ($&$'($'"$ . . "o(#% %,% ($*#(#% .;< .;; %o' ($ &*3$* +*#(o! Y )o% /o$/$'"$% #0< #1
Esta ecuación es de orden ?' no de&e confundirse con el exponente F ue esta definido para la deri!ada de orden <. 6 co"o para el orden se de&e tener en cuenta el "a$or orden entonces el orden es ?. &) $HHH8 F$HH F$H $ 3 es una ecuación de orden F c) (x' $) dx 8 %(x' $) d$ 3 es una ecuación diferencial de orden <' porue 0a$ ue tener en cuenta ue $H 3 d$Idx. Lo% $@$3&)o% ($ $/,#/o'$% 'o )'$#)$% "$'$3o%:
(<$) $HH ?$3 ex ' es una ecuación diferencial no lineal porue el coeficiente de la !aria&le dependiente $HH ta"&i,n depende de $. •
$HH 8 sen $ 3 Es una ecuación diferencial no lineal porue la función seno es función de $
•
$HH 8 $? 3 ' es una ecuación diferencial no lineal porue la potencia de la !aria&le $ es ?' $ no < para ue sea lineal. •
($HHH)F 8 x$HH F$ 3 ' es una ecuación diferencial no lineal porue la potencia de la !aria&le $HHH es F $ para ser lineal de&e ser < •
! Teniendo en cuenta ue el pri"er ",todo de solucionar una ecuación diferencial de pri"er
orden es el de !aria&les el cual tiene co"o for"a general dyg ( y )= dxf ( x )
de
x'
$ al separarlas
' se integra $ se puede llegar a la solución general' 0a$ ocasiones ue se
reuiere una transfor"ación especial de la for"a t,r"inos
dy =f ( x ) g ( y ) dx
$
dy =f ( x , y ) dx
dy =f ( u ) dx
donde u es una expresión en
dy =f ( u ) , donde u esuna exp&esi'n ente&minos de x , y dx
auto"#tica"ente se con!ierte en !aria&les separa&les. Con &ase a la anterior infor"ación el ",todo "#s apropiado $ la solución general de la ecuación general dx =( x y + x + y + 1 ) dy corresponden a: 2
<. =aria&les separa&les.
2
2
2
?. F.
tan
−1
tan
−1
x =
y
3
3
y
+ y + c
3
x = − y + c 3
4! T*#'%o*3#)$% # #*#)$% %$&#*#)$%! R$%&,$%"#
<. Transfor"a&les a !aria&les separa&les. El ",todo de separación de !aria&les es una de las !arias t,cnicas utili2adaspara resol!er las ecuaciones diferenciales. ;ólo es posi&le aplicar la t,cnica de separación de !aria&les a auellas funciones ue 0an sido transfor"adas' de "anera tal' ue el diferencial de la !aria&le particular sólo aparece con una función definiendo esta !aria&le $ no con otra función. Ade"#s esa función de&e tener sólo esa !aria&le en particular $ no otra !aria&le. dx =( x y + x + y +1 ) dy 2
2
2
2
T*#'%o*3#* y ( x ) ( 1+ y ( x ) )= $
1
2
x ( 1 + y ( x ) )= 2
1 + x
2
1 2
x + 1 1 + y ( x )
2
= x ( 1 + xy ( x ) x ¿ 2
x + x y ( x ) =
1 2
x + 1
2
10! Teniendo en cuenta los ",todos de solución de las ecuaciones diferenciales de pri"er orden 5 el
( x + e x seny + y ) dx =1 $ su −( 3 x y + e x cosy + y ) dy 3
",todo apropiado de solución de la ecuación diferencial
3
2
3
solución general corresponden a: <. Exactas x + y + e x cosy + x y = c ?. 4 4
4
3
4
x + y
F.
4
4
+ e x seny + x y =c 3
4. actor integrante R$%&,$%"#
Co"entarios Ordenando
P*o/$(3$'"o%
( x + e x seny + y ) dx =1 −( 3 x y + e x cosy + y ) dy 3
3
2
3
( x + e x seny + y ) dx +( 3 x y +e x cosy + y ) dy = 0 3
3
2
M =( x + e seny + y x
3
3
3
To"a"os
)
1aciendo la deri!ada parcial a con respecto a $
) M x = e cosy + 3 y 2 )y N =( 3 x y + e cosy + y x
2
3
To"a"os %
)
) N = 3 y 2 + e x cosy )x
1aciendo la deri!ada parcial a % con respecto a $
dM dN = dy dx
La ecuación no es exacta no cu"ple con esta condición
∫ ( 3 x y
f ( x , y ) =
∫
f ( x , y ) =
3 x
2
2
3
∫
y dy +
x
f ( x , y ) = x y + e seny +
f ( x , y ) = x y + e seny +
y
3
x
x
∫
3
e cosy dy + y dy y
3
Una !e2 se 0a !erificado lo anterior' se procede a &uscar
+ e x cosy + y ) dy
una función f ( x , y ) ue:
tal
∫
f ( x , y ) = N dy
4
4
4
4
+ g ( x )+ %
A0ora'
deri!a"os
f ( x , y ) respecto a x
a
' para o&tener M . y + e seny + g ( x ) = x + e seny + y 3
x
g ( x )= x $
3
$
x
3
*ntegrando
3
x g ( x )=
O&tene"os g * ( x )
4
4
f ( x , y ) = x y + e seny + 3
x
y
4
4
x
4
+ + % 4
L# *$%&,$%"#: la respuesta correcta es B!
