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Í ,
Ú
Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 6711-16 AUTORES:
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
SEGUNDA EDICIÓN NOVIEMBRE, 2016 LA PAZ- BOLIVIA
QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL NO AL OSCURANTISM OSCURANTISMO O CIENTÍFICO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA OBSTACULIZA AL LECTOR
PROLOGO El presente trabajo “CODEX CALCULO II VOL.III VOL.III”, ”, En su primera edición contiene básicamente los temas: INTEGRALES DE LÍNEA, INTEGRALES MÚLTIPLES Y APLICACIONES, son temas que se desarrollan en el Tercer Parcial en el Curso de Cálculo II en INGENIERÍA. En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones definicion es y teoremas, teoremas, seguido de ejercicios desarrollados desarrollados y de reto personal. Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE DE INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo Técnico y Científico Científi co de nuestros país.
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
DEDICATORIA
“A LA PERSONA MAS IMPORTANTE EN LA VIDA DE CADA PERSONA, A TI MAMÁ”
“TAMBIÉN A ESE SER QUE TE DA INSPIRACIÓN COMO CADA POETA NECESITA SU MUSA UN MATEMÁTICO NECESITA DE SU FACTOR INTEGRANTE DE VIDA (INSPIRACIÓN)” JOSE PAYE CHIPANA
ASÍ TE DESCRIBO
SOLO NECESITO UN PEDAZO DE CARBÓN PARA ESCRIBIRLE ESCRIBIRLE QUE ELLA ES LA ECUACIÓN QUE MODELA MI CORAZÓN Y DEMOSTRARLE DEMOSTRARLE TODOS LOS DÍAS QUE MI AMOR POR ELLA ES MAYOR AL INFINITO A ESA NIÑA BONITA QUE TIENE SOLUCIONES COMPLEJAS ASÍNTOTAS ASÍNTOT AS NEGATIVAS PERO PARA MI ES LA SOLUCIÓN PERFECTA
AL VERTE PIENSO QUE ERES UN LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, QUIERO SER TU TEOREMA FUNDAMENTAL Y SER EL PLANO OSCULADOR QUE ACARICIE TU DOMINIO REAL, A TI MUSA QUE VALORAS LA VIDA TRIVIAL DE UN MATEMÁTICO DE INGENIERÍA INGENIER ÍA Y COMPRENDES EL VALOR DE MI INSPIRACIÓN YA QUE SIN TU PRESENCIA Y COMPRESIÓN COMPRESI ÓN TUYA NO SERIA LA MATRIZ IDENTIDAD DE TUS PENSAMIENTOS PARA TI MI INTERVALO INTERVALO DE CONFIANZA ATENTAMENTE, JOSE PAYE CHIPANA POSDATA (SI EXISTIERAS!!)
ÍNDICE
PAGINA PAGINA
1. PROBLEMAS PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA (2008-2014) (2008-2 014) …1 2. CAPITULO VI INTEGRALES DE LÍNEA ………………………………………. …………………… …………………....7 ...7 3. PROBLEMAS RESUELTOS RESUELT OS INTEGRALES DE LÍNEA …….. ……..………………..1 ………………..122 4. CAPITULO VII INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRAL DOBLE…………….18 DOBLE…………….1 8 5. PROBLEMAS RESUELTOS RESUELT OS DE INTEGRAL DOBLE Y APLICACIONES. …25 6. CAPITULO VIII INTEGRAL TRIPLE Y APLICACIONES……………………...50 APLICACIONES……………………...50 7. PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS DE INTEGRAL INTEGRAL TRIPLE Y APLICACIONES APLICACIONES …. ….53 53 8. PROBLEMAS DE RETO PERSONAL (EXÁMENES DE UNI- LIMA PERÚ, U. TOKIO JAPON) ……………………….61
π
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
PREGUNTAS DE EXÁMENES DE PRIMER PARCIAL ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA Problemas Resueltos De Exámenes Pasados De Umsa Ingeniería De (2009-2016) Y Algunos Exámenes De Cálculo II, (UNI –Peru) (U. Tokio-Japon) Tokio-Japon)
x, y, z Anote las expresiones 1) (I/2016) (a) Deducir la expresión del Jacobiano J expresiones de ρ ,θ ,φ transformación a coordenadas esféricas. (b) Justificando la respuesta, analizar la verdad o y 6 2
falsedad de:
3 2 x
cos x dxdy cos cos x dydx cos 2
2
00
2) (I/2016) Calcular:
0 0
c
2
2
2 x cos cos xy x2 ysen xy 2 xy2e x y 2 x dx e x y 1 x2 y x3sen sen xy 1 dy C:
Recta que une los puntos A(0,0) con B(1, π ) 3) (I/2016) Calcular: I V
2
x
5
2
y 2 z 2 2
dV V :encerrado por 4 x 2 y 2 z 2 16
4) (I/2016) Calcular el volumen del solido limitado por: z 0 , x 2 y 2 z , x 2 y 2 6x 5) (I/2016) Si a la esfera x 2 y 2 z 2 4 se le efectúan dos cortes cilíndricos mediante x y 2 x calcular el área de la parte restante de la esfera 2
2
6) (II/2015) Calcular Calcular el volumen del del solido encerrado encerrado por: x 2 y 2 4 , x z 2 , y 4 , x 0 , z 0 7) (II/2015) Calcular el centro de gravedad de la región: x 2 y 2 4 , x y 2 , ρ xy 8) (II/2015) Calcular:
3 y e dx 7 x cos x
y4 1 dy C: 4 x 2 y 2 1
c
9) (II/2015) Hallar el área encerrada por: x 1 , 2 y 1 x 2 , 2 y x 2 2x 2, 2, 2
10)
(II/2015) Calcular:
2 xy z dx 2 yz x dy (2 xz y )dz 2
2
2
1,1,1
11)
(I/2015) (a) Anote las expresiones de transformación a coordenadas esféricas. (b) 2
Justificando la respuesta, analizar la verdad o falsedad de:
4 x 2
0
12)
(I/2015) Calcular:
yz e
2 xy
0
π 2
x y dydx 2
2
drd θ r drd 2
0 0
dz 2 xe z y 3e x 1dx xz 2e xy 3 y 2e x 1dy 2 ze xy x 2e z 2 z dz
c
C: camino que une los puntos A(0,0,1) con B(1,1,1) 13)
(I/2015) Calcular:
2 2 2 x y z dV V: x 2 y 2 z 2 2 y
V
14)
(I/2015) Calcular el volumen del solido encerrado por: z 0 , x 2 y 2 z , x 2 y 2 3x
15) (I/2015) Calcular el área de la parte de cono x 2 y 2 z 2 situada en el primer octante y limitada por el plano y z 6 1
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INGENIERÍA PETROLERA
π
π
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(II/2014) Que condición debe cumplir f x, y para que
16)
f x, ydA se utilice
para calcular
R
el área de una región R? 17) (II/2014) Escriba una una propiedad propiedad de las integrales dobles y anote anote un ejemplo ejemplo 18) (II/2014) Si f x, y g x, y ,en una región R, cual es el significado geométrico del Teorema:
f x, y dA g x, ydA ? R
19)
R
(II/2014) Cual es el valor de la integral
dV . S: es el solido x
2
y 2 4 , z 0 , z 2
S
20)
(II/2014) Calcular la integral
y x
2
dA R= 2,2 0,4
R
21)
(II/2014) Calcular el Área de la superficie interior a la curva: x 2 y 2 8 x 2 y 2
22)
(II/2014) Calcular
2
el volumen encerrado por las superficies: 4 x 2 y 2 z 2 4 ;
z 2 4 x 2 y 2 , z 0 interior a ambas
23)
(II/2014) Calcular el área de parte del cono z 2 x 2 y 2 ,que está en el interior del
paraboloide z 2 x 2 2 y 2 24)
(II/2014) Calcular el valor de la integral
e x
y 2
dA R= 0,2 0,3 en cada rectángulo
R
trabaje 25) (I/2014) Escriba una propiedad de la integral Doble y anote un ejemplo sencillo 26) (I/2014) Es integrable Es integrable la función f x, y x 2 y definida en el rectángulo: 1 x 2 , 0 y 2?
27) 28) 29)
(I/2014) Dibuje cuatro cuatro vectores del Campo Campo Vectorial: Vectorial: f x, y 2 x y, x 2 y (I/2014) Escriba un ejemplo para la propiedad: F G F G
(I/2014) Calcule la integral y x 1 dA , R 0,2 0,1 R
30) (I/2014) Una esfera metálica metálica de radio R=2 [cm] , es perforada en uno de sus diámetros por una broca de radio 1 [cm] . Cuanto de material metálico queda? (dibuje adecuadamente su solido) 31) (I/2014) Calcular el área de la parte de la esfera x 2 y 2 z 2 4 , situada sobre el plano z 1 32)
cosϕ (esfera) y ϕ (I/2014) (I/2014) Calcula Calcularr el volumen volumen del helad helado o ρ cos
π 4
(cono coordenadas
esféricas)
33) (I/2014) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F 2 x y,3 x y , a lo largo de los lados del triangulo (0,0), (2,0), (0,2) 2
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34) 35) 36) 37)
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(II/2013) cómo define un campo Conservativo? Escriba un ejemplo. (II/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble? (II/2013) Puede calcularse mediante integral doble el volumen de f x, y 2 x y , en la
región R 0,1 0,2 ? 38) (II/2013) Cual es el significado signifi cado del jacobiano en una transformación transform ación de coordenadas Aplicada a integrales Dobles. Dobles. π
39)
(II/2013) Dibuje el Solido y calcule el Volumen del solido, limitado por: ϕ
40)
(II/2013) Calcular el área del paraboloide z 9 x 2 y 2 ; que se encuentra arriba del plano
4
cosϕ ρ 4 cos
z 5
cos x ln y, xy 1 e y ; es CONSERVATIVO y 41) (II/2013) Demuestre que el campo F cos calcule la función potencial 42) (II/2013) Sea R la región elíptica limitada por: x 2 xy y 2 3 ; Haciendo el cambio x u v
y u v ;Calcule
e ( x
2
xy y 2 )
dA
R
43) 44) 45)
(I/2013) Escriba una propiedad de la integral Doble y anote un ejemplo sencillo (I/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble R 0,1 0,2 ? (I/2013) Calcule f x, y dA , f x, y 2 x y R
(I/2013) Graficar el campo vectorial: F 2 x y, x 2 y (I/2013) Graficar la región definida en el primer cuadrante, limitada por las curvas. xy 2 xy 4 xy 3 3 xy 3 6 ; y calcular el área
46) 47)
(I/2013) Calcular el área de la superficie: x 2 y 2 z 2 4 z
48)
z x y
49)
2
cortada
por el cono
2 1 / 2
(I/2013) Calcular el Volumen del solido limitado por los elipsoides: 4 x 2 4 y 2 z 2 4 ; 4 x 2 4 y 2 z 2 16
50)
(I/2013) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F 4 xy y 2 ,2 x 2 2 xy ; a lo largo de la
curva r (t ) (t 2 ,2t ) ; 0 t 2 (Grafique la curva) 51) (II/2012) Si R es la región triangular limitada por la curva cerrada C recorrida positivamente 2 2 con vértices en: (0,0) , (2,0) , (0,2); Calcular: (a) y 1dx x 1dy c
(b) 2 x y dydx
(c) analizar si se cumple ó no el teorema de Green
R
52)
x 2 dydx; R: encerrada por: x 2 y 2 4 x (II/2012) calcular la integral 2 2 x y R 3
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53)
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(II/2012) calcular el área del cilindro: y 2 z 2 25 comprendida entre los planos y 2 x ;
x 0
54)
(II/2012) calcular el volumen del solido encerrado por: z
y x
2
, z 0 , y x 2 , y 3 x 2 ,
y x , y 4 x
55)
(II/2012) calcular la integral: I x x 2
y 2
V
4
z 2
9
dV ; V: x 2
y 2
4
z2
9
4 en el primer
octante. 56) (I/2012) Hallar el volumen limitado por: y 6 , z 2 y , z x 2 , z 2 x 2 57)
(I/2012) Calcular el área de de la porción porción de la superficie z 2 x 2 y 2 2
, interior a
x 2 y 2 2 x
58) (I/2012) Calcular la masa de la lámina plana que se muestra en la figura, si su densidad superficial está dada por δ x, y xy 2 y
4 2 x
2
59)
(I/2012)
Calcular el área de la porción de la superficie z 2 x 2 ( y 2) 2
,interior a
x 2 y 2 2 x
60)
x 2 2 y (I/2012) Calcular : x dy y dx , si c : x 2 y 20 , en el primer cuadrante c x 0
61) (I/2012) Hallar la masa del cuerpo de densidad constante, cuya forma esta limitada según lo siguiente: Interior a la superficie x 2 y 2 z 2 4 y exterior a x 2 y 2 3z , z 0 62) 63)
(I/2012) Hallar el área del lazo de la curva: y 2 x 4 4 x (II/2011) (a) Analizar la verdad ó Falsedad de:
4
16 x
4
0
2
4
16 x
0
0
2
(2 x 3 y)dydx 2 (2 x 3 y)dydx
justifique su respuesta (b) Deducir la expresión expresión del jacobiano jacobiano en coordenadas coordenadas esféricas esféricas 4
64)
(II/2011) Invertir el orden de integración en: I 0
8 x
f ( x, y)dydx 4 x x 2
4
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65)
(II/2011) Calcular I 2 xz 2 y 3e 3 z cos senπ y dy x 2 1 2 y 3 z dz cos π y dx 3 y 2 z 2 2 x π e3 x sen
: C: camino
C
ABCD, A(0,0,0) A(0,0,0) ; B(2,0,0); B(2,0,0); C(2,0,0); C(2,0,0); D(2,3,1) 66) (II/2011) Calcular el área de la superficie: x 2 y 2 z 2 0 en el primer octante y limitada por x y 6 (II/2011) Calcular el volumen del solido interior a: x 2 y 2 z 2 8z
67)
z 3 x 3y 2
2
e interior a:
2
68) (II/2011) En el solido semi esférico x 2 y 2 z 2 25 ; z 0 la densidad varia proporcionalmente proporciona lmente a la distancia de todo punto al centro. Hallar las coordenadas del centro de masa de este cuerpo
donde: F x y 2 i 2 x j 2 yz k , S:
(II/2011) Calcular la integral: I F d S
69)
R
superficial del plano 2x + y + 2z = 6 en el primer octante 70)
(I/2011)
Determinar
el
volumen
limitado
por:
9 x 2 4 y 2 36z 2 36
,
9 x 2 4 y 2 36z 2 144 , 9 x 2 4 y 2 36z 2
71)
x 2 y 2 4 xy 6 (I/2011) Calcular la integral integral doble: ( x y )dydx si R : 2 2 x y 1 xy 1 R
72)
(I/2011) Resolver:
2
2
1 (2 x y ) 2 ( z x) 2 ( y 3 z ) 2 dxdydz R:
R
(2 x y)2 ( z x) 2 ( y 3z ) 2 1
73)
2sen3θ (I/2011) Determinar el área interior a x 2 y 2 4x y exterior a r
74)
(I/2011) Calcular la integral de línea
e
ysenx ysenx e xy cos cos x 2 xy 2 dx xe xy senx 2 yx 2 dy
xy
C
Donde C: es y
1 π 2π
x π que une los puntos A(0, π ) , B (2π ,1)
(II/2010) Hallar el área plana Interior a la circunferencia ρ 5 y exterior a la cardioide
75)
cosα ρ 51 cos
76) (II/2010) Hallar el volumen del combustible que transporta una cisterna, cuya sección circular tiene un radio 1[m], su longitud es de 6[m] y sus extremos son esféricos. La altura del combustible respecto del fondo tiene 1[m] 77) (II/2010) Calcular el Área del paraboloide z x 2 y 2 que esta dentro de la esfera z y x 4 z 2
78)
2
2
(II/2010) Comprobar el Teorema de Green en el Plano
2 xy x dx x y dy siendo 2
2
C
C
la curva cerrada que limita la región entre: y x , y x 2
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π
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79)
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(II/2010) Hallar el volumen volumen limitado por las superficies: superficies: x 2 y 2 z 2 9 ; x 2 y 2 z 2 25 y
z 2 3 x 2 3y 2 ; 3 z 2 x 2 y 2
80)
(II/2010) Calcular el volumen que se genera al hacer girar el área encerrada por las rectas: y 4 x , y x 10 y x 4 y alrededor del eje “y”
81)
(I/2010) (I/2010) Calcula Calcularr el área de la región región limita limitada da por por las rectas: rectas: x y 4 2 0 ,
x y 4 2 0 , x y 4 2 0
y y x 4 2 0 : que sea exterior a la circunferencia
y 2 x 2 16
82)
(I/2010) Calcular la integral:
2 zx
2
2 zy 2 dxdydz
Siendo V el volumen exterior: a
z 2 x 2 y 2 e interior a z x 2 y 2
83)
(I/2010) Calcular el área de la superficie z 2 x 2 y 2 16 que este al exterior de
z 2 x 2 y 2
84)
(I/2010) Considere la curva “C”
una parametrización parametrizaci ón de la elipse: 4 x 2 1 y 2 0
calcule la integral x y dx y x dy C
(a) DIRECTAMENTE DIRECTAMENTE (b) APLICANDO APLICANDO EL TEOREMA DE GREEN GREEN –RIEMANN 85) (I/2010) Calcule el volumen de la porción del solido comprendido entre las superficies
z 1 2 y 2 x 2 ; 86)
(I/2010)
4 z y 2 x 2 situado por encima de XY
Hallar
el
trabajo realizado por una fuerza 2 F x, y, z 2 x y z; x y z ;3 x 2 y 4 z al desplazar en sentido anti-horario una partícula alrededor de una circunferencia sobre el plano z 1 con centro en el eje z y con radio 9 2az x 2 y 2 ; 87) (II/2009) Calcular la masa de un cuerpo limitado por las superficies x 2 y 2 z 2 a 2 , z 0 ( a es una constate positiva) sabiendo que su densidad volumétrica esta
dada por ρ x, y, z 151 z 2 88)
(II/2009) Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z x 2 y 2 , xy a 2 ,
xy 2a2 , y
x
2
, y 2 x , z 0
89) (II/2009) Calcule el área de la región interior a la circunferencia x 2 y 2 4 y a la derecha de la recta x 1 90) (II/2009) Hallar el área de la parte de la superficie esférica dada por: x 2 y 2 z 2 R2 , si es perforada por agujero cilíndrico x 2 y 2 r 2 donde R r 91)
(II/2009) Considere la curva “C” una parametrización de la elipse: 4 x 2 1 y 2 0 calcule
la integral x y dx x y dy c
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92)
(II/2009) Calcular la circulación
f
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d r del campo de velocidades de un fluido dado por
c
z f x, y , z arctan x 2 ,3 x, e 3 tan z , a lo largo de la intersección de la esfera x
2
y 2 z 2 4
con el cilindro x 2 y 2 1 considerar z 0 93)
(I/2009) Sea R la región del plano R 2 , limitado por las curvas: x 2 y 2 1 , x 2 y 2 9 ,
x y 4 y x y 6 , Hallar el área de la región R (sugerencia u x y
94)
v x y )
(I/2009) Calcular el área de la parte de la superficie z 2 x 2 y 2 2 que es el interior a
x 2 y 2 2x 0
95)
(I/2009) Calcular el volumen limitado por las superficies: superficies: y
b a
a 2 x 2 ; z n donde n
es una constante. 96) (I/2009) Calcular la masa de una lámina de densidad superficial igual a δ x, y e x 2 y , sabiendo que la forma geométrica de la lamina esta dada por: x y 1 4 2
97)
(I/2009) Calcular: I e x dxdy 2
0 y 2
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ea una una Curv Curvaa C del del espa espaci cioo R 3 representada por r t x t i y t j z t k si x' t , y ' t , z ' t son continuas y no simultáneamente nulas en t t 1 , t 2 t t 1 , t 2 es
Si f ( x, y ) es función definida en una región del PLXY que contiene una curva C de longitud finita: se define
n
f x, y ds lim f x , x s 0
C
i
j
[INTEGRAL DE LINEA DE
i
i 1
LA FUNCION f x, y A LARGO DE LA CURVA “C”] ds :
Diferencial de longitud de curva (longitud de arco)
-se generaliz generalizaa para el espacio espacio R 3
I f x, y, z ds
ds
ds
dx 2 dy 2
dx 2 dy 2 dz 2
C
Si K R ; di f,g son integrales sobre “C” 1) kf x, y ds k f x, y ds C
2)
C
f g x, y ds f x, y ds g x, y ds C
C
C
3) f x, y ds f x, y ds (sentido de anti horario positivo) C
C
4) f x, y ds f x, y ds f x, y ds (donde: C C 1 C 2 ) C
Para
C 1
C 2
calcular I f x, y ds se debe parametrizar la Curva “C” C
x x(t ) C y y (t )
t 2
I f x, y ds f x(t ), y (t ) x´(t ) 2 y´(t ) 2 dt C
t 1
“LA INTEGRAL ES DEFINIDA REAL Y SE PUEDE CALCULAR POR CAMINOS CONOCIDOS YA EN CÁLCULO I” En General se puede parametrizar C de 3 maneras
y f ( x) I fdx C
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x g( y ) I fdy
C
x x(t ) I fdt C fdt (recomendable) y y(t ) C
i f t f 1 t , f 2 t representa un campo vectorial continuo sobre una curva
suave “C” dado por r t x t i y t j z t k t t 1 , t 2 entonces
w f d r
d r dx i dx j
c
Representa al TRABAJO Total efectuado por el campo de fuerzas f t f 1 t , f 2 t sobre una partícula que se mueve a lo largo de una curva
:
Sea
la
integral
I f d r P( x, y),Q( x, y) d r P( x, y)dx Q( x, y)dy
C
C
de
línea
-Sean P,Q continuas en una
C
región R que contiene a una curva “C” - Sean P1 y P2 P2 puntos puntos inicial inicial y final final de “C” “C” Si se cumple
P Q (CONDICIÓN DE EULER) y x
Si cumple la (CONDICIÓN DE EULER) “C” solo depende de P1 y P2 puntos inicial y final de “C” - Si el camino camino de la curva curva es cerrada cerrada y y cumple cumple con la I P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
DE
C
-Un campo vectorial f x, y P( x, y ), Q x, y es
f t F
función escalar F ( x, y ) se cumple: denomina
si para alguna F F , x y
P( x, y ), Q x, y
F ( x, y ) se
de f
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C
I f d r P( x, y)dx Q( x, y)dy es
En este caso si cumple la condición de
C
P2
I f d r F d r dFd ( x, y) F x, y P1 F x, y P 2 F x, y P1
C
C
C
I F x, y P 2 F x, y P1
CALCULO DE LA INTEGRAL INTEGRAL DE LINEA DE DE PRIMERA Y SEGUNDA ESPECIE 1) PRIMERA PRIMERA ESPECIE ESPECIE Caso I x x(t ) I f x, y ds C I fdt fdt Los límite límitess de “t” “t” son son dados dados por la Curv Curvaa “C” “C” ( ) y y t C C Caso II
Cuando en la ecuación Cartesiana Cartesiana de la curva se encuentra expresiones expresiones de la la forma: cosθ x r cos n n x y si: : cos cos 2 θ sen2θ 1 y rsenθ
x r coshθ : cosh 2 θ senh 2θ 1 y rsenhθ
CIRCUNFERENCIA DESFASADA EN EL EJE “y” 3.5
y
r(t)=2sin(t)
3
x y ay 2
2.5
2
1
0.5 x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
2
ECUACION POLAR asen θ r 0θ π
1.5
-2
ECUACION ALGEBRAICA ALGEBRAICA
3
-0.5
-1
CIRCUNFERENCIA DESFASADA EN EL EJE “x” y
r(t)=2cos(t)
2
1.5
x y ax 2
1
x
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2
ECUACION POLAR cos θ a cos r
0.5
1
ECUACION ALGEBRAICA ALGEBRAICA
4
-0.5
-1
-1.5
-2
π 2
θ
π 2
-2.5
LEMNISCATA
.
ECUACION ALGEBRAICA ALGEBRAICA
8
6
( x 2 y 2 )2 a2 ( x 2 y 2 )
4
ECUACION POLAR
2
-8
--6 6
--4 4
-2
2
4
6
cos 2θ r a cos π π θ 4 4
-2
-4
-6
10
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INGENIERÍA PETROLERA
π
π
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
FOLIUM DE DESCARTE 6
y
JOSUE PAYE CHIPANA
π
ECUACION ALGEBRAICA ALGEBRAICA
r(t)=(3(2)(sin(t))(cos(t)))/((cos(t))^(3)+(sin(t))^3)
x3 y 3 3axy
4
ECUACION POLAR 2
r
x 6
-5 -5
-4
-3 -3
-2
-1 -1
1
2
3
4
5
6
3asenθ cos cosθ
3 cos cos3 θ sen sen θ π 0θ 2
7
-2
-4
-6
MARIPOSA: Templey H. Fay. 4
y
r(t)=e^(cos(t))-2cos(4t)
3
ECUACION POLAR cos 4θ r e cosθ 2 cos 0 θ 24π
2
1 x
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-1
-2
-3
-4
Vamos a
y
θ
realizar una regla por analogía tomamos una recta recta real: real: tenemo tenemoss como como refere referenci nciaa al cero cero ........ 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7........ de la misma manera trabajan con los ángulos tomamos como referencia al eje “X” como 0ºo
x
θ
0 en radianes
y
REF “X”
θ REF “X”
x
0θ
π 2
θ
11
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CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
θ
y
REF “X”
x
π 2
θ
π 2
θ θ
y
REF “X”
0θ π
x
θ y
θ REF “X”
x
π 2
θ 0
θ r θ entonces de la curva “C” r
Si se pued puedee obt obten ener er la 2
dr I fdt fdt f r θ ,θ d s si ds r d θ θ d C C 2
2) SEGUNDA SEGUNDA ESPECIE ESPECIE I
necesario ario paramétri paramétrica: ca: P( x, y)dx Q( x, y)dy Solo es neces C
x x(t ) C y y ( t )
Los límites
de “t” son dados por la Curva “C” I P( xt , yt )dxt Q( xt , yt )dyt C
12
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π
π
JOSE PAYE CHIPANA
98)
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(II/2013) cómo define un campo Conservativo? Escriba un ejemplo
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
Un campo vectorial f x, y P( x, y ), Q x, y es
f t F
función escalar F ( x, y ) se cumple: denomina
si para alguna F F , x y
P( x, y ), Q x, y
F ( x, y ) se
de f
cos x ln y, xy 1 e y ; es CONSERVATIVO y 99) (II/2013) Demuestre que el campo F cos calcule la función potencial
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
13
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π
JOSE PAYE CHIPANA
100)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(I/2013) Calcular el trabajo realizado por la fuerza F 4 xy y 2 ,2 x 2 2 xy ; a lo largo de la
curva r (t ) (t 2 ,2t ) ; 0 t 2 (Grafique la curva) SOLUCIÓN___________________________________________________________________
14
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π
π
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101)
(I/2015) Calcular:
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
yz e
2 xy
JOSUE PAYE CHIPANA
dz 2 xe z y 3e x 1dx xz 2e xy 3 y 2e x 1dy 2 ze xy x 2e z 2 z dz
c
C: camino que une los puntos A(0,0,1) con B(1,1,1) SOLUCIÓN___________________________________________________________________
15
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π
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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16
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π
π
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CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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2, 2, 2
102)
(II/2015) Calcular:
2 xy z dx 2 yz x dy (2 xz y )dz 2
2
2
1,1,1
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
17
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π
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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18
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π
π
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103)
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(I/2016)
Calcular:
cos xy x ysen ysen xy 2 xy e 2 x cos 2
c
2
2 x y
2 x dx e x y 1 x2 y x3sen sen xy 1 dy C: Recta que une 2
los puntos A(0,0) con B(1, π ) SOLUCIÓN___________________________________________________________________
19
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π
JOSE PAYE CHIPANA
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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20
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π
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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104)
(II/2012) Si R es la región triangular limitada por la curva cerrada C recorrida positivamente con vértices en: (0,0) , (2,0) , (0,2); Calcular: (a) y 2 1dx x 2 1dy c
(b) 2 x y dydx
(c) analizar si se cumple ó no el teorema de Green
R
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
21
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π
JOSE PAYE CHIPANA
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
22
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π
JOSE PAYE CHIPANA
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
105) (II/2009) Calcule el área de la región interior a la circunferencia x 2 y 2 4 y a la derecha de la recta x 1 SOLUCIÓN___________________________________________________________________
23
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PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
π
JOSE PAYE CHIPANA
106)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(II/2009) Considere la curva “C” una parametrización de la elipse: 4 x 2 1 y 2 0 calcule
la integral x y dx x y dy c
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
24
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π
π
JOSE PAYE CHIPANA
107)
(I/2010)
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
Hallar
JOSUE PAYE CHIPANA
el
trabajo realizado por una fuerza F x, y, z 2 x y z; x y z 2 ;3 x 2 y 4z al desplazar en sentido anti-horario una partícula alrededor de una circunferencia sobre el plano z 1 con centro en el eje z y con radio 9
SOLUCIÓN__________________________________________________________________
25
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π
π
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
: Si f esta definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la
R esta dada por:
f
n
f ( x, y)dA lim f ( x , y )A R
0
i
Si existe el límite, entonces f es
Si f integrable sobre una región plana
i
i
siempre que el límite exista
i 1
sobre
f ( x, y) 0 para todo ( x, y) en , entonces el
volumen de la región sólida que se encuentra sobre
y bajo la gráfica de f se define
como: V
f ( x, y)dA R
NOTA:
volumen de la región sólida que
se encuen encuentra tra sobre sobre
ξ
η
26
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π
JOSE PAYE CHIPANA
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
Si c es un número y f es integrable sobre una región cerrada F, entonces c.f es integrable y :
F c.f(x, c.f(x,y). y).dA dA = c. F f(x,y).dA
Si f y g son integrables sobre una región cerrada F, entonces:
F [f(x,y) + g(x,y)].dA = F f(x,y).dA + F g(x,y).dA El resultado de este teorema se puede extender a cualquier número finito de funciones integrables. Las demostraciones de los teoremas anteriores resultan directamente de la definición.
Supongamos que f es integrable sobre una región cerrada cerrada F y m f(x,y) M (x,y) F entonces si A(F) designa el área de la región F, tenemos: m . A(F)
F f(x,y).dA M . A(F)
Si f y g son integrables sobre sobre F y f(x,y) g(x,y) (x,y) F, entonces
F f(x,y).dA F g(x,y).dA
Si se hace una partición de la región cerrada F en las regiones F 1 y F2; es decir F 1 F2 = 0 y F1 F2 = F y si f(x,y) es continua en F se tiene:
F f(x,y).dA = F1f(x,y).dA + F2f(x,y).dA
Sea: I f ( x, y)dA ,el vector diferencial
Flecha (Limite Superior)
R
Cola (limite inferior)
27
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π
π
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CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
I
Caso I:
JOSUE PAYE CHIPANA
f ( x, y)dA R
f ( x) R
h( x) y f ( x) Entonces la Región R : a x b h( x, y )
f ( x ) b
a
I
b
f ( x, y)dA f ( x, y)dydx R
I
Caso II:
h ( x ) a
f ( x, y)dA R
h( y )
f ( y )
a R
h( y) x f ( y) Entonces la Región R : b y a
b
f ( y ) a
I
f ( x, y)dA f ( x, y)dxdy R
h ( y ) b
(CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MULTIPLES) Sea
f ( x, y ).dx.dy de donde
R
x ϕ (u , v ) y ψ (u , v)
(1)
y que esta transformación posee una
∂ (ϕ , ψ ) ∂ ( x , y ) u u ( x , y ) 0 por lo que el Jacobiano de (1) J ( , ) ( , ) ∂ u v ∂ u v v v ( x , y )
inversa única dada por:
DILATACIÓN O CONTRACCIÓN )Al recinto R del (JACOBINAO ES UN FACTOR DE DEFORMACIÓN DILATACIÓN plano x, y le corresponde un recinto R en el plano u, v. 28
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PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
π
π
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
Haciendo entonces una partición en R con rectas paralelas a los ejes u, v; le corresponde en el plano x, y una partición de R por curvas continuas dadas por (1).
v
y R Ri
R’
Ri R
u
x
A un subrecinto R i de R le corresponde un subrecinto R i de R. Buscamos la relación que existe entre las áreas de R i y Ri ; para lo cual podemos considerar a R i compuesto por dos triángulos iguales; lo mismo que a R i.
f ( x, y )dx.dy
R
F (u , v). J .du.dv
R
F (u , v).
R
∂ (ϕ ,ψ ) ∂ (u , v )
.du.dv
Con lo que hemos obtenido obtenido la relación que liga las variables (x,y) con (u,v). (u,v). 1 x, y u, v u.v J x. y
x, y I f ( x, y)dydx f ( x , y ) J dvdu (u,v) (u,v) u.v R R'
Cuando existe expresiones de la forma:
y rsenθ
x 2 y 2
cosθ x r cos
Donde: J
por tanto
J r
x Ar cos cos P θ
Cuando existe expresiones de la forma:
( Ax) ( By) 1 K
K
por tanto
sen 2θ 1 cos 2 θ sen cos y Brsen Brsen θ J ABpr cos cos p 1 θsen p1θ P
29
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
π
π
JOSE PAYE CHIPANA
r asenθ
JOSUE PAYE CHIPANA
cosθ ”si existen signos negativos las graficas tienen r t ienen esa dirección.” a cos
J r r asenθ 3.5
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
r 2senθ
y
cosθ r a cos
r(t)=2sin(t)
cosθ r 2 cos
y
r(t)=2cos(t)
2 3 1.5 2.5 1 2 0.5 1.5
x
1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1 -0.5 0.5 -1 x
2
- 1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
-1
0 r asenθ
-2
-2.5
0θ π 2
: x 3
2
0 r a cos cosθ
-1.5
x r cos cos θ 3
2
y 3 a 3
π 2
: ( x
y rsen θ
2
θ
π 2
y ) a2 ( x 2 y 2 ) 2 2
cos 2θ r a cos cos 2θ r 2 a 2 cos J r
3
cos 2 θsen2θ J 3r cos y
8
x(t)=4cos(t)^(3) , y(t)=4sin(t)^(3)
6
6
4
4
x 4 cos θ 3
y 4 sen3θ -7
-6
-5 -5
-4
-3
-2 -2
-1
1
2
3
4
5
6
x
7
-8
-6 -6
-4 -4
π
θ
2
2
-2 -2
2
4
4
6
-2 -2
-4 -4
-6 -6
0 r a
0 r a cos cos 2θ
0 θ 2π
0θ
π 0 θ
4
π
4 solo es para ”los limites de un cuarto de la región por existir asíntotas para el total se debe multiplicar por cuatro ” :”si existen signos negativos las graficas tienen esa dirección.” la intersección con el eje “x” la realiza en “ “+ “+a y -a” la intersección con el eje “x” la realiza en “2a” y la intersección en el eje “y” “y” en “2a" y la intersección en el eje “y” “y” en “+a y -a "
r a(1 senθ ) 8
cos θ ) r a (1 cos
y
y
r(t)=2(1+sin(t)) t ))
r(t)=2(1+cos(t))
5
r a (1 sen sen θ )
6
cosθ ) r a(1 cos
4
3
2
4
1 x
-2
2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
x
-4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
1
2
3
4
5
6
7
-3
8
-4
-2
-4
0 r a(1 senθ ) 0 θ 2π
0 r a(1 cos cos θ ) 0 θ 2π
30
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
π
π
JOSE PAYE CHIPANA
:
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
r a(1 bsenθ )
cosθ ) r a(1 b cos
JOSUE PAYE CHIPANA
”si existen signos negativos las graficas tienen esa dirección.” 8
y
θ
8
r(t)=2(1+2COS(t)) f(x)=-X
π
6
y
f(x)=0
6
6
4
2
4 x
-4
-3
-2 -2
-1 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 10
11
2 -2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-2
3
4
θ
π
r a (1 bsen θ )
-4
-6
6
0 r a(1 b cos cos θ ) cos θ ) r a(1 b cos
0θ
0 r a (1 bsenθ )
π
θ
6
”los limites de π θ π
π
6
2
2
θ
2
π 2
6
6
y
π
θ 0 6
J r
3 cos cos3 θ sen sen θ
r(t)=(3(2)(sin(t))(cos(t)))/((cos(t))^(3)+(sin(t))^3)
4
0 r
2
x 6
-5 -5
-4
-3 -3
-2
6
6
3asenθ cos cosθ
r
π
por existir asintotas para el total se debe multiplicar por dos ”
π
x3 y 3 3axy
2
”los limites de 0 θ π π solo es para para un medio de la región región
2
solo es para un medio de la región por existir asintotas para el total se debe multiplicar por dos ” π
π
-1 -1
1
2
3
4
5
6
0 θ
7
-2
3asenθ cos cosθ 3 3 cos cos θ sen θ π
2
”solo para el lazo”
-4
-6
: si n es par entonces “2n” pétalos si n es impar entonces “n” pétalos pétalos
cos nθ r a cos
cos nθ r a cos
”rosas de n pétalos que intersecan a los ejes coordenados”
”rosas de n pétalos que intersecan a los ejes coordenados”
cos 2θ par r cos
J r y
cos 3θ r cos
J r
impar y
r(t)=2cos(3 t)
2.5
f(x)=(0.57735)x
r(t)=cos(2 t)
2 1
1.5
θ
1 0.5
0.5
π 6 x
x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
1
-0.5
-1 -0.5
-1.5
-1
0 r cos cos 2θ 0 θ 2π
0 r cos cos 3θ 0θ
π 6
”los limites de 0 θ
π solo es para un sexto de la 6
región por existir asintotas para el total se debe multiplicar por seis ”
31
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
π
π
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
r asen(nθ )
r asen (nθ )
”rosas de n pétalos que no intersecan a los ejes coordenados”
”rosas de n pétalos que no intersecan a los ejes coordenados”
r sin 3θ impar J r .
r sin 2θ par J r
y
r(t)=sin (3 t)
1 y
r(t)=sin (2 t)
1
0.5
0.5 x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.5
-0.5
-1
0 r a(1 senθ ) -1
0θ π
0 r a(1 senθ ) 0 θ 2π
r a cos(θ )2
MARIPOSA: Templey H. Fay.
r 3cos(θ ) 2
J r
cos 4θ r e cos 2 cos θ
y
4
r(t)=3cos(t)^2
y
r(t)=e^(cos(t))-2c
3
3 2
2 1
x
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1
3.5
-1
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-2
-1 -3
-2 -4
0 r a cos(θ ) 2
-3
0 θ 2π
-4
0 r e cos θ 2 cos cos 4θ 0 θ 24π
32
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
π
π
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
Donde la curva es cerrada para calcular el área de la región “R”
: para z f ( x, y)
I (P( x, y) dx Q ( x, y) dy) c
R
Q P )dydx x y
ρ ( x, y) 1
x
1
xρ( x, y)dA
m R
y
I x y2ρ( x, y)dA I y x2ρ( x, y)dA R R
108)
(
A 1 ( Z )2 ( Z )2 dA x y R
m ρ ( x, y)dA si es homogénea R
:
JOSUE PAYE CHIPANA
1
yρ ( x, y)dA m R
En el origen:
I 0 Ix Iy
(II/2013) Cual es el significado geométrico de una integral Doble?
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________ V
f ( x, y)dA R
NOTA:
volumen de la región sólida que
se encuentra sobre
ξ
η
33
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
π
π
JOSE PAYE CHIPANA
109)
(b)
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
Justificando
y 6 2
la
respuesta,
analizar
JOSUE PAYE CHIPANA
la
verdad
o
falsedad
de:
3 2 x
cos x dxdy cos cos x dydx cos 2
0 0
2
0 0
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
34
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
π
π
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II 4 2
110)
JOSUE PAYE CHIPANA
(I/2009) Calcular: I e x dxdy 2
0 y 2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
35
INGENIERÍA CIVIL
PAYE
INGENIERÍA PETROLERA
π
JOSE PAYE CHIPANA
111)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
(II/2011) (a) Analizar la verdad ó Falsedad de:
JOSUE PAYE CHIPANA
4
16 x 2
4
16 x 2
4
0
0
0
(2 x 3 y)dydx 2 (2 x 3 y)dydx
justifique su respuesta (b) Deducir la expresión expresión del jacobiano jacobiano en coordenadas coordenadas esféricas esféricas SOLUCIÓN___________________________________________________________________
36
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π
JOSE PAYE CHIPANA
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II 4
112)
(II/2011) Invertir el orden de integración en: I 0
JOSUE PAYE CHIPANA
8 x
f ( x, y)dydx 2 4 x x
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
113)
(I/2010) Calcular el área de la región limitada por las rectas: x y 4 2 0 ,
x y 4 2 0 , x y 4 2 0
y y x 4 2 0 : que sea exterior a la circunferencia
y 2 x 2 16
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
37
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π
JOSE PAYE CHIPANA
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
38
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π
JOSE PAYE CHIPANA
114)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
x 2 y 2 4 xy 6 (I/2011) Calcular la integral doble: ( x y )dydx si R : 2 2 x y 1 xy 1 R 2
2
SOLUCIÓN____________________________________________________________
39
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π
JOSE PAYE CHIPANA
115)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(II/2010) Hallar el área plana Interior a la circunferencia ρ 5 y exterior a la cardioide
cosα ρ 51 cos
SOLUCIÓN____________________________________________________________
40
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π
JOSE PAYE CHIPANA
116)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(II/2015) Hallar el área encerrada por: x 1 , 2 y 1 x 2 , 2 y x 2 2x
SOLUCIÓN____________________________________________________________
41
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π
π
JOSE PAYE CHIPANA
117)
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(II/2013) Sea R la región elíptica limitada por: x 2 xy y 2 3 ; Haciendo el cambio
x u v
y u v ;Calcule
e
( x 2 xy y 2 )
dA
R
SOLUCIÓN____________________________________________________________
42
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π
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
118)
(I/2013) Graficar la región definida en el primer cuadrante, limitada por las curvas. xy 2 xy 4 xy 3 3 xy 3 6 ; y calcular el área
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
43
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119)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
x 2 dydx; R: encerrada por: x 2 y 2 4 x (II/2012) calcular la integral 2 2 x y R
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
44
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120)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(I/2012) Hallar el área del lazo de la curva: y 2 x 4 4 x
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
45
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121)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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I/2009) Sea R la región del plano R 2 , limitado por las curvas: x 2 y 2 1 , x 2 y 2 9 ,
x y 4 y x y 6 , Hallar el área de la región R (sugerencia u x y
v x y )
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
46
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π
π
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
CASOS DEL VALOR ABSOLUTO 122)
(II/2014) Calcular la integral
y x
2
dA R= 2,2 0,4
R
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
47
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CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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**
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**
49
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
APLICACIONES 123)
(I/2009) Calcular la masa de una lámina de densidad superficial igual a δ x, y e x 2 y ,
sabiendo que la forma geométrica de la lamina esta dada por: x y 1 SOLUCIÓN___________________________________________________________________
50
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124)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(II/2015) Calcular el centro de gravedad de la región: x 2 y 2 4 , x y 2 , ρ xy
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
51
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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52
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π
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125)
(II/2015) Calcular:
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
3 y e dx 7 x cos x
JOSUE PAYE CHIPANA
y 1 dy C: 4 x 2 y 2 1 4
c
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
53
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π
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126)
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
(I/2010) Considere la curva “C”
JOSUE PAYE CHIPANA
una parametrización parametrizaci ón de la elipse: 4 x 2 1 y 2 0
calcule la integral x y dx y x dy C
(a) DIRECTAME DIRECTAMENTE NTE (b) APLICANDO APLICANDO EL TEOREMA DE GREEN –RIEMANN SOLUCIÓN___________________________________________________________________
54
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(I/2016) Si a la esfera x 2 y 2 z 2 4 se le efectúan dos cortes cilíndricos mediante
127)
x y 2 x calcular el área de de la parte restante de la esfera 2
2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
55
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CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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128) (I/2015) Calcular el área de la parte de cono x 2 y 2 z 2 situada en el primer octante y limitada por el plano y z 6 SOLUCIÓN___________________________________________________________________
56
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π
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129)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(I/2014) Calcular el área de la parte de la esfera x 2 y 2 z 2 9 , situada sobre el plano
z 2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
57
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130)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(II/2009) Hallar el área de la parte de la superficie esférica dada por: x 2 y 2 z 2 R2 , si
es perforada por agujero cilíndrico x 2 y 2 r 2 donde R r SOLUCIÓN___________________________________________________________________
58
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π
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131)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
(I/2013) Calcular el área de la superficie: x 2 y 2 z 2 4 z
z x y 2
JOSUE PAYE CHIPANA
cortada
por el cono
2 1 / 2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
59
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132)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(II/2012) calcular el área del cilindro: y 2 z 2 25 comprendida entre los planos y 2 x ;
x 0
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
60
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133)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(II/2015) Calcular el volumen del solido encerrado por: x 2 y 2 4 , x z 2 , y 4 , x 0 ,
z 0
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
61
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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134) (I/2014) Una esfera metálica de radio R=2 [cm] , es perforada en uno de sus diámetros por una broca de radio 1 [cm] . Cuanto de material material metálico queda? queda? (dibuje adecuadamente adecuadamente su solido) SOLUCIÓN___________________________________________________________________
62
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π
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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63
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π
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135)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
(II/2012) calcular el volumen del solido encerrado por: z
JOSUE PAYE CHIPANA
y x
2
, z 0 , y x 2 , y 3 x 2 ,
y x , y 4 x
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
64
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136)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(I/2012) Hallar el volumen limitado por: y 6 , z 2 y , z x 2 , z 2 x 2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
65
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π
π
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CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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137) (I/2012) Calcular la masa de la lámina plana que se muestra en la figura, si su densidad superficial está dada por δ x, y xy 2 y
4 2
2
x
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
66
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138)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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x 2 2 y (I/2012) Calcular : x dy y dx , si c : x 2 y 20 , en el primer cuadrante c x 0
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
67
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π
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139)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(I/2010) Calcular el área de la superficie z 2 x 2 y 2 16 que este al exterior de
z 2 x 2 y 2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
68
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140)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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2 (I/2009) Calcular el área de la parte de la superficie z 2 x 2 y 2 que es el interior a
x 2 y 2 2x 0
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
69
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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70
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π
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141)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
(I/2009) Calcular el volumen limitado por las superficies: superficies: y
JOSUE PAYE CHIPANA
b a
2 2 a x ; z n donde n
es una constante. SOLUCIÓN___________________________________________________________________
71
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π
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142)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
(II/2010) Calcular el Área del paraboloide z x 2 y 2
JOSUE PAYE CHIPANA
que esta dentro de la esfera
z 2 y 2 x 2 4 z
SOLUCIÓN__________________________________________________________________
72
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143)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(2016) Calcular el volumen del solido limitado por: z 0 , x 2 y 2 z , x 2 y 2 6x
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
73
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π
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π
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CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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Si la región R no es de uno los tipos citados anteriormente, se intenta descomponerla en subregiones Ri
(i = 1,......,n) 1,......,n)
sin elementos interiores comunes, siendo los Ri de los
modelos antes citados. Por la propiedad de la aditividad respecto a la región de integración, es : n
f (x ,y ,z )dxdydz R
i 1
Ri
f (x , y , z )dxdydz
Sean R* y R dos regiones en los espacios (u,v,w) y (x,y,z) x x(u, v, w) respectivamente Sea : y (u, v, w) z (u, v, w)
un homeomorfismo de R* sobre R continuamente diferenciable diferenciable sobre R* y tal que el J del mismo no cambie de signo en R*. Sea f(x,y,z) continua sobre R. Entonces
f ( x, y, z )dxdydz
R *
R R
El J
f x (u , v, w), y (u , v, w), z (u , v, w) J (u , v, w) dudvdw
representa un factor de ampliación o reducción local del volumen, al aplicar . El elemento de volumen en R en coordenadas curvilineas es : dV= J (u , v, w) dudvdw
75
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π
π
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CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
Cuando existe expresiones de la forma:
x 2 y 2
cosθ ____r 0, x r cos y rsenθ ____θ 0,2π _o _θ π , π z z ________ z R
J r
x Ar cos cos P θ y Brsen Pθ
cos p 1 θsen p 1θ J ABC Pr cos
z Cz
Cuando existe expresiones de la forma: x
2
y 2 z 2
x ρsenφ cos cos θ ____ ρ 0, y ρsenφsenθ ____ θ 0,2π
cos φ ________ φ 0, π z ρ cos J r sen senφ 2
x arsen φ cos cos θ ____ r 0, p
q
y brsen φsen θ ____ θ 0,2π p
q
z cr cos cos φ ________ φ 0, π p
2 p 1
J abcpqr sen sen 2
cos p1 φsenq1θ cos cosq1 θ φ cos
76
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π
π
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CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
I ( y2 z 2)ρ( x, y, z)dv x v 2 2 I y ( x z )ρ( x, y, z)dv v 2 2 I z ( x y )ρ( x, y, z)dv v
m ρ ( x, y, z)dv v
x
1
xρ ( x, y, z)dv mv
JOSUE PAYE CHIPANA
y
1
yρ ( x, y, z)dv mv
z
1
zρ ( x, y, z)dv mv
77
INGENIERÍA CIVIL
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π
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
x, y, z Anote las expresiones (I/2016) (a) Deducir la expresión del Jacobiano J expresiones de ρ ,θ ,φ transformación a coordenadas esféricas. SOLUCIÓN__________________________________________________________________
144)
78
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π
π
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145)
(I/2011) Resolver:
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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1 (2 x y ) 2 ( z x) 2 ( y 3 z ) 2 dxdydz R:
R
(2 x y)2 ( z x) 2 ( y 3z ) 2 1
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
79
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π
JOSE PAYE CHIPANA
146)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
(II/2011) Calcular el volumen del solido interior a: x 2 y 2 z 2 8z
e interior a:
z 2 3 x 2 3y 2
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
80
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π
π
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147)
(I/2015) Calcular:
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
x 2 y 2 z 2 dV V: x 2 y 2 z 2 2 y
V
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
81
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π
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148)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(II/2013) Dibuje el Solido y calcule el Volumen del solido, limitado por: ϕ
π 4
cosϕ ρ 4 cos
SOLUCIÓN_____________________________________________________________________
82
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π
π
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149)
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
(I/2016) Calcular: I V
2
x
5
2
y 2 z 2 2
JOSUE PAYE CHIPANA
dV V :encerrado por 4 x 2 y 2 z 2 16
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
83
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π
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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84
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π
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150)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(I/2013) Calcular el Volumen del solido limitado por los elipsoides: 4 x 2 4 y 2 z 2 4 ;
4 x 2 4 y 2 z 2 16
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
85
INGENIERÍA CIVIL
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π
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151)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
(II/2012) calcular la integral: I x x 2
y 2
V
4
z 2
9
JOSUE PAYE CHIPANA
dV ; V: x 2
y 2
4
z2
9
4 en el primer
octante. SOLUCIÓN___________________________________________________________________
86
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π
π
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152)
(I/2010) Calcular la integral:
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
2 zx
2
2 zy 2 dxdydz
JOSUE PAYE CHIPANA
Siendo V el volumen exterior: a
z 2 x 2 y 2 e interior a z x 2 y 2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
153)
(II/2009) Calcular la masa de un cuerpo limitado por las superficies
2az x 2 y 2 ;
x 2 y 2 z 2 a 2 , z 0 ( a es una constate positiva) sabiendo que su densidad volumétrica esta
dada por ρ x, y, z 151 z 2 SOLUCIÓN___________________________________________________________________
87
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π
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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88
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π
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154)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(II/2009) Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z x 2 y 2 , xy a 2 ,
xy 2a , y 2
x
2
, y 2 x , z 0
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
89
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π
π
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155)
(I/2011)
Determinar
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
el
volumen
limitado
π
JOSUE PAYE CHIPANA
por:
9 x 2 4 y 2 36z 2 36
,
9 x 2 4 y 2 36z 2 144 , 9 x 2 4 y 2 36z 2
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
90
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PAYE
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π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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π
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156)
π
CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
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(I/2015) Calcular el volumen del solido encerrado por: z 0 , x 2 y 2 z , x 2 y 2 3x
SOLUCIÓN___________________________________________________________________
92
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PAYE
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π
π
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CODEX-CÁLCULO CODEX-CÁLCULO II
π
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PROBLEMAS DE RETO RETO PERSONAL EXÁMENES ( UNI LIMA PERU ) INGENIERÍA EXÁMENES ( U.TOKIO – JAPON) 2 2 2 2 (I/2010) Evaluar x x y dV donde “S” es el sólido exterior a x y 2y y limitado
157)
S
por las superficies z x 2 y 2 , x 2 y 2 z 12 , x y 0 1 1 x
158)
(I/2010) Calcular:
y
e
x y
dydx
0 0
y
dA ,donde R es la región limitada por: x 5 e 2
R
y
x e y , x y e 5 , x 2
y
2
y
2
y
2
,
y
e2
(I/2010) (a) T u, v u 2 v, u v x, y , A UV limitada por u v 1 , u v 1 , u 0 , v 0 Graficar la región R T ( A) en XY y calcular su área (b) la siguiente suma de integrales
159)
π π 3 4
π 2 π 2 6 cosϕsen ϕ
0 0 0
0π 3
F ρ ,ϕ ,θ d ρd ϕd θ F ρ ,ϕ ,θ d ρd ϕd θ
está dada en coordenadas esféricas
0
cosθ sen2ϕ expresarla como una sola integral y calcular su donde F ρ , ϕ, θ ρ 3 senθ cos valor 160) (I/2010) (a)Hallar el trabajo que realiza el campo de fuerzas F x, y x 2 y 2 ,2 xy x 2 al desplazar una particula de masa “m” en sentido anti-horario a lo largo de la frontera de la región y 4 x 2 limitada por (b) Dado el campo vectorial x y 2 ,
x 2
x2
F x, y, z 1 2 x 2 e seny, xe cos cos y 2 y 2 z, f y .Hallar la función escalar f de modo que F
sea gradiente y calcular F x d x donde ζ
B 5e,
π 4
ζ
es la trayectoria que une los puntos A(0,0,9),
,10 , C ln 7,5,6 y D1,2π ,1 desde A hasta D
161) (I/2009) Dadas la trasformación T u, v u 2 v, u v y la región A contenida en el plano UV y acotada por u v 1 , u 0 v 0 (a) Determinar Determinar el á área rea la región región R T ( A) donde , T u, v x, y (b) Usando la transformación T, calcular
R
1 2 2 x y
dxdy
162) (I/2009) La siguiente suma de integrales está dada en coordenadas cilíndricas, Usando un cambio adecuado, expresar como una sola integral y luego evaluar: 2π 2
4 z z 2 2
senθ r sen 0 1 2π 2
cos θ z dr dzd θ r cos 2
2
0
3 z
senθ r sen 2
0 0
2 cos 2 θ z 2 dr dzd θ r cos
0
4 r
2
senθ r sen 2
0 0
2π 1 2
cos 2 θ z 2 dzdrd r 2 cos drd θ
2
93
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π
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163)
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(I/2009) Usando coordenadas esféricas, calcular la masa total del solido S interior al 1 2 2
elipsoide 4 x y z 16 y exterior al paraboloide y z 12x si f x, y, z y z es la densidad de masa en cada punto sólido S. cos ydx e x senydy Donde “C” esta expresada paramétricamente por 164) (I/2009) Calcular e x cos 2
2
2
2
2
2
C
cos t x(t ) cos
y(t ) sen sen3t
3
165)
(I/2009)
Dados
los
cos yz ,2 x yz y cos cos yz F x, y, z 2 xyz , x z z cos 2
2
2
2
campos
vectoriales
y x 1 Calcular las integrales de línea de F y G a lo largo , 2 2 2 2 x y 2 x 1 x y 2 x 1
G x, y
de las curvas ζ 1 y ζ 1 respectivamente, si ζ 1 es una trayectoria que va desde A(0,0,1) hasta B (1,
π 2
,2)
ζ 2 c'2 c' ' 2 c' ' '2 , siendo c' 2 el contorno del rectángulo de vértices 5, 1 , 2,1 , c' ' 2 la curva cerrada y formada por las partes de las rectas x y 2 0 , x y 2 0 y la
parábola x 4 y
2
2
2
y c' ' '2 : x 5 3 y 1 3
166) (I/2006) Sea T u, v u 2 v 2 ,2uv una transformación y sea A una región en el plano UV limitada por u v 1 , u 0 , v 0 (a) Calcular el área de la región R T ( A) (b) Hallar el valor de
x y dxdy 2
2
R
x 2 z 2 dV Donde arctg 167) (I/2006) Calcular x y z x y z x y z dV S 1 S 2 y S1 esta limitado por x y z 0 , x y z 0 , x y z 0 , 2 x z 1 S2 es el solido que se obtiene al rotar alrededor del eje Y la región del primer cuadrante acotado por: x 3y , y 3x y x 2 y 2 4 , 168) (I/2006) Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide z x 2 y 2 4 x 6 y 17 y el plano z x 8 169)
(I/2006) (a)Calcular
y
2
e x dx x arctg y dy Donde
ζ
es la frontera de la región
ζ
comprendida entre las parábolas 4 x y 2 , 2 x 8 y 2 con orientación antihoraria, (b) Aplicar el Teorema de Green para hallar el área encerrado por el lazo de la curva ζ Descrita por:
x t t 1, t t .
170)
2
3
y (I/2005) Hallar x 2 y x 3 y 2 dA exp dxdy ,donde x R R 1
2
R1 Es la región acotada por las curvas y x 3 , y x 94
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π
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R2 Es la región acotada por las curvas y x , y 2 x , x 1, x 2 171) (I/2005) La región acotada por las curvas y 3 , x 2 y 2 1 , y 3 gira alrededor del eje Y (a) Hallar las ecuaciones esféricas de las superficies de revolución (b) Hallar el volumen del sólido de revolución (I/2005) Calcular
y
2
2 2 2 y 1dV x y z dV Donde
S 1
S 2
y
2 x y 2e ,
S1 es el solido limitado por los cilindros
2
y
y
x y e , x y e 2 5 , 2
y
2 x y 10 2e 2 y los planos z 4 , z 4
S2 es el solido acotado por las superficies z x 2 y 2 . z 3 (I/2005) Hallar el centro de masa del solido S limitada superiormente por x 2 y 2 z 2 9 e
172)
interiormente por z x 2 y 2 ,si la densidad de masa en cada punto de S es x 2 y 2 z 2 xyz
173)
(I/2005)
Hallar
el
trabajo
que
realiza
el
campo
de
fuerzas
F x, y 2 x 5 x 3 6 xy 1 y 2 , 5 sen2 y 5 3x 2 al mover una partícula de masa “m” a lo largo
de
la
curva
C:
x 2 y 2 4
x dx x(2 y 1)dy zdz donde ζ 2
recorrida
en
sentido
anti
horario.
(b)
calcular
cos t , y sent , z t , t 0,2π es la espiral x cos
ζ
174)
(I/2003) (a) Hallar el valor de la siguiente suma de integrales:
y y y
0
3 f y 3 x
0
x
y x y dxdy dxdy y x y dxdy
x y dxdy 2
2
x 2 y 2
Donde f y 3 9 y
3 y
0
3
2
2
f y
g y
2
2
3 3
2
2 f x, y 2 f x, y dxdy Donde R , g y 3 9 y (b)Hallar 2 2 x y R 2
c2 R2 es la región limitada x y 1 , x y , x y 1 , y x 2 y f
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π
TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES
TABLA DE DERIVADAS
TABLA DE INTEGRALES
Potencias 1.
y u
n
(n R)
y' n u
n1
u'
n
u u ' dx
u
n 1
n 1
k (n 1)
Exponenciales 2.
y eu
3.
u
y' eu u'
u u e u ' dx e k
a
y ' a u Lna Lna u '
y a
u
u ' dx
au Ln a
k
Logarítmicas 4.
y Lnu
5.
y lg a u
y '
y '
u' u
u'
u'
u dx Ln | u | k
u
lg a e
Recuerda que: lg a b
lg c b lg c a
Trigonométricas 6.
y sen sen u
y ' cos cos u u '
7.
cos u y cos
y ' sen u u '
8.
y tg u
y ' sec2 u u '
9.
y arc arc sen sen u
y '
10.
cos u y arc arc cos
y '
11.
y arc arc tg u
u'
1 u
u ' 1 u
y '
2
2
cos u u ' dx sen sen u k cos cos u k sen u u ' dx cos sen sec u u' dx tg u k 2
u ' dx
1 u
2
u ' dx
1 u
2
u ' dx
u'
1 u 2
1 u
2
arc arc sen sen u k arc cos u k arc cos arc tg u k
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Operaciones más usuales en derivadas e integrales
π
12.
y k u
y' k u'
(u v) dx u dx v dx
13.
y u v
y ' u ' v'
Integración Integración por partes: partes:
14.
y u v
y ' u ' v u v'
u dv u v v du
15.
16.
y
u v
v y u
y '
v u 'u v ' v
2
dy dx
y' v u u' u Lnu Lnu v' v 1
Regla de la cadena: Si y(x)=y[u(v(x))]
v
dy du dv du
dv dx
Derivada de la función inversa: Si y = f(x) ; x = g(y) g ’=1/f ’
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