CPGE Lissane Eddine - Laayoune
Essaidi Ali
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Classification des matrices d’ordre 2 et 3 Définitions et notations Dans tout le problème, n ∈ N∗ , A ∈ Mn (R) et f l’endomorphisme canoniquement associé à A.
Première partie Classification des matrices d’ordre 2 On suppose, dans cette partie que n = 2. 1: Montrer que card(Sp(A)) ∈ {0, 1, 2}. a 2: Montrer que si card(Sp(A)) = 2 alors ∃a, b ∈ R distincts tels que A soit semblable à la matrice 0 2 3: Montrer que si card(Sp(A)) = 1 alors ∃a ∈ R tel que πA = X − a ou πA = (X − a) . 4: On suppose que ∃a ∈ R tel que πA = X − a. Déterminer A.
0 . b
a 1 5: On suppose que ∃a ∈ R tel que πA = (X − a) . Montrer que ∃a ∈ R tel que A soit semblable à la matrice . 0 a n 2 6: Montrer que si card(Sp(A)) = 0 alors ∀e ∈ R non nul, B = (e, f (e)) est une base de R . En déduire que A est semblable 0 − det(A) à la matrice . 1 tr(A) 7: Montrer que deux matrices d’ordre 2 sont semblables si, et seulement si, elles ont même polynôme minimal. 2
Deuxième partie Classification des matrices d’ordre 2 et 3 On suppose, dans cette partie, que n = 3. 1: Montrer que card(Sp(A)) ∈ {1, 2, 3}. a 0 0 2: Montrer que si card(Sp(A)) = 3 alors ∃a, b, c ∈ R deux à deux distincts tels que A soit semblable à la matrice 0 b 0. 0 0 c 2 3: Montrer que si card(Sp(A)) = 2 alors ∃a, b ∈ R distincts tels que πA = (X − a)(X − b) ou πA = (X − a)(X − b) . a 0 0 b 0 0 4: On suppose que ∃a, b ∈ R distincts tels que πA = (X −a)(X −b). Montrer A est semblable à 0 b 0 ou 0 a 0. 0 0 b 0 0 a a 0 0 5: On suppose que ∃a, b ∈ R distincts tels que πA = (X − a)(X − b)2 . Montrer que A est semblable à la matrice 0 b 1. 0 0 b 2 6: On suppose que card(Sp(A)) = 1. Montrer que ∃a, b, c ∈ R tel que πA = X − a ou πA = (X − a) ou πA = (X − a)3 ou πA = (X − a)(X 2 + bX + c) avec b2 − 4c < 0. 7: On suppose que ∃a ∈ R tel que πA = X − a. Déterminer A. a 0 0 8: On suppose que ∃a ∈ R tel que πA = (X − a)2 . Montrer que A est semblable à la matrice 0 a 1. 0 0 a a 1 0 9: On suppose que ∃a ∈ R tel que πA = (X − a)3 . Montrer que A est semblable à la matrice 0 a 1. 0 0 a 2 2 10: On suppose que ∃a, b, c ∈ R tel que π = (X − a)(X + bX + c) avec b − 4c < 0. Montrer que A est semblable à A a 0 0 0 0 −c. 0 1 −b 11: Montrer que deux matrices d’ordre 2 sont semblables si, et seulement si, elles ont même polynôme minimal et même polynôme caractéristique. www.mathlaayoune.webs.com
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Fin du problème
