Esperanza Matemática o Valor Esperado: Definición:
de X.
El valor esperado de una Variable Variable Aleatoria X es el promedio o valor promedio p romedio
La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria tiene sus orígenes en los juegos de azar, debido a que los apostadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar repetidamente un juego, por lo tanto, el valor esperado representa la cantidad de dinero promedio que el jugador está dispuesto a ganar o perder después de un número grande de apuestas. En conclusión, el valor esperado de una variable aleatoria después de un número grande de experimentos es su valor esperado. Ahora bien, el valor esperado o la cantidad promedio que se ganaría en cada juego después de un número grande de éstos, se determina multiplicando cada cantidad que se gana o se pierde por su respectiva probabilidad y se suman suman los resultados. De acuerdo a lo anteriormente dicho, podemos decir que: El valor esperado de una variable aleatoria X es el promedio o valor medio de X y está dada por: Definición:
E(X)= ∑ xp(x) si x es discreta y, x
E(X)= ∫ xf(x)dx si x es continua Esperanza Matemática de una función de una Variable Aleatoria Discreta
Sea X una variable aleatoria aleatoria discreta cuya función es P(X=x) y sea Y= g(x) una función d esa variable aleatoria. La esperanza matemática o valor esperado de g(x), denotada por : E(g(X))= ∑ g(x)P(X=x) x Es decir, para obtener la esperanza matemática se suman los valores de g(x), evaluados en cada punto de x, multiplicados por las correspondientes probabilidades P(X=x) Ejemplo:
Supóngase que se tiene una moneda normal y el jugador tiene tres oportunidades para que al lanzarla aparezca “cara”. El juego termina en el momento en el que cae cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece “cara” el jugador recibe 2BsF ,4BsF y 8BsF respectivamente. Si no cae cara en ninguno de los tres lanzamientos pierde 20BsF. 20BsF.
Ahora bien, para determinar la ganancia o pérdida promedio después de un número muy grande de juegos, declaramos a X como la variable aleatoria que representa la cantidad que se pierde o se gana cada vez que se juega. Después de un número grande de juegos se espera ganar 2BsF en cualquiera de los dos lanzamientos, 4BsFen cualquiera de los cuatro lanzamientos, 8BsF una vez cada 8 lanzamientos y se espera perder 20 BsF una vez en cada 8 intentos. Por lo tanto, X= {2,4,8} por ser la variable discreta sustituimos en su respectiva ecuación: E(X)= 2BsF(1/2)+4BsF(1/4) +8BsF(1/8)+ (-20BsF)(1/8) = 0.50BsF
Ejercicio: Sea X una Variable Aleatoria Discreta con su función: x
1
P(X=x)
0.25
3 0.50
5 0.25
Hallar la esperanza matemática de d e Y= (x -3)2 . Utilizando la definición de esperanza matemática tenemos: X= {1,3,5} E(X)= ∑ ((x -3)2 P(X=x) x =(1 -3)2 (0.25) +=(3 -3)2 (0.50) +=(5 -3)2 (0.25) =2
Esperanza Matemática de una función de una Variable Aleatoria Continua
La idea de media o esperanza de una variable aleatoria continua es equivalente al cálculo de la esperanza esperanza de una variabl variablee aleato aleatoria ria continua continua pero es algo más complicado complicado porque porque requiere emplear el concepto de integral.
Ejercicio:
Sea X una variable aleatoria continua, la cual representa la proporción de accidentes automovilísticos fatales en Mérida. Cuya función es: F(x)= 42x(1-x)5
tomando en cuenta que 0< x ≤ 1
1
42 0 ∫xf(x)dx
E(x)=
1
= 42∫ 0
x2(1 – x)5dx 1
(
= 42 x3
1 3
-
5x 4
+ 2x
2
-
5x3 3
+
5x3 7
-
X5 8
) 0
= 0.25
Propiedades de la Esperanza Matemática:
La esperanza tiene las siguientes propiedades: E{ k } = k k es una constante E{ k X } = k E{ X } E{ X + Y - Z } = E{ X } + E{ Y } - E{ Z }
