Anális Anál isis is Es Estr truc uctu turral Métodos Energéticos Carlos Carl os Alb Albert erto o Rive Rivero ross Jere Jerezz
Departame Depart ament nto o de Ingenie Ingeniería ría Sanitaria y Ambiental Facultad de Ingeniería Obras Obr as Civ Civile iless – Ing Ingeni enierí ería a San Sanita itaria ria UdeA UdeA
Métodos Energ Energéticos éticos El trabajo interno es igual a la energía almacenada en el elemento por deformación.
wi
=
∫ ∫ σε d
A
d L
L A
wi : Trabajo fuerzas internas σ : Esfuerzo ε : Deformación unitaria •
Fuer Fu erzza Ax Axia iall
•
Fuer Fu erzza Co Cort rtan ante te
•
Mome Mo men nto Fl Flec ecto torr
•
Momen Mom ento to Tor orsor sor
•
Ener En erg gía in intter ern na de defor orm mac ació ión n Obras Obr as Civ Civile iless – Ing Ingeni enierí ería a San Sanita itaria ria UdeA UdeA
Métodos Energéticos
Fuerza Axial Causa una deformación en el eje del elemento.
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Métodos Energéticos
Fuerza Axial
wi
=
∫ ∫ σε d
A
d L ;
σ xx
=
n / A;
ε xx
L A
n N wi = d A d L ; A EA L A
∫∫
wi
=
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=
N / EA =σ / E
nN
∫ EA d
L
L
Métodos Energéticos
Fuerza cortante wi
=
∫ ∫τ
xy γ xy
d A d L
L A
τ xy
γ xy
=
=
τ xy Q
G
y
Q
I z b =
Vy Q I Z b
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Métodos Energéticos
Fuerza cortante
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Métodos Energéticos
Momento Flector (eje z) Al generarse una curvatura, se genera a la vez una distribución de esfuerzos.
Eje neutro: Zona de cambio de esfuerzo de compresión a esfuerzo de tracción.
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Métodos Energéticos
Momento Flector (eje z)
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Métodos Energéticos
Momento Torsor
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Métodos Energéticos
Energía total interna de deformación wi (total ) =
nN
∫ AE d
L +
L
µ yV y
∫ G ( A / α ) d
L
L
+
L
AE
∫ G ( A / α
Z
dL
)
dL
2
Q y = dA 2 ∫∫ I Z A t Z A
+
∫ L
µ ZV Z
L
y
α y
∫
m Z M Z
2
A Q Z α Z = 2 ∫∫ dA I y A t y Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
+
m y M y EI y tT
∫ GJ d
L
L
d L +
Trabajo virtual El trabajo externo
= Energía almacenada en la estructura
we
=
∫ Fj × D j
(Desplazamiento real)
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Trabajo virtual La ecuación general dice:
Las deformaciones virtuales se asumen son iguales a las reales. Mientras que las fuerzas si se diferencian. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Principio de trabajo virtual
•
Desplazamientos internos reales tienen que ver con:
N EA •
,
VQ IbG
,
My EI
,
Tr GJ
Fuerzas internas virtuales tienen que ver con:
n A
,
Q Ib
,
my Tr , I J
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Teorema de carga unitaria
Cálculo de deflexiones para armaduras: Las barras solo trabajan a fuerza axial (tensión o compresión). Suponiendo miembros de tensión transversal constante se tiene: m
D j
=
nQi N i
∑ A E i =1
i
Li
i
M: Número de miembros.
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Teorema de carga unitaria Procedimiento 1. Si el desplazamiento requerido es una traslación, la carga virtual Q Q j jj es una carga unitaria concentrada en el punto y en la dirección de la desviación deseada.
1,0=Qj
1,0=Qj
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Teorema de carga unitaria Procedimiento 2.
Si el desplazamiento requerido es una rotación, la carga virtual es un momento o un par unitario concentrado en el punto y en la dirección de la rotación.
3.
Si el desplazamiento requerido es una traslación relativa entre 2 puntos, las cargas virtuales Q Q j jj son 2 fuerzas unitarias concentradas en direcciones opuestas a lo largo de la línea que une los puntos.
4.
Si el desplazamiento requerido es la rotación de una barra, se aplican 2 cargas unitarias Q jj en direcciones opuestas en Q j los extremos de la barra y dicho desplazamiento se divide por la longitud de la barra para obtener la rotación. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Ejemplo 1 Calcular el desplazamiento vertical en el nudo C.
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Solución- Carga real
∩ +
∑ M A
=
0 : − wL
L 2
wL2 B y
B y
=
=
2
+
+
By L − P
3L 2
=
0
∩ +
∑ M B
2
+
0 : wL
L 2
−
Ay L − P
2
wL
3PL 2
L
wL
=
3P 2 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
A y
=
A y
=
2
−
PL 2
L
wL 2
−
P 2
L 2
=
0
Solución- Carga real Corte 1-1: wL 2 ∩ +
∑ M M 1
=
−
P 2
1 = 1
wL P − 0 : M1 − X 2 2
wL 2
X −
PX 2
2
−
wX 2
Corte 2-2: ∩ +
∑ M
2 = 2
2 = −
0 : − PX
PX
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−
M 2
=
0
+
wX
X 2
=
0
Solución- Carga virtual
∩ +
∑ M A
=
0 : B y L − 1.0 B y
=
3 L 2
=
0
∩ +
∑ M B
3
=
0 : − 1.0
A y
2 Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
=
1 2
L 2
+
Ay L = 0
Solución- Carga virtual Corte 1-1: ∩ +
∑ M
1 = 1
0:
1 2
.X
+
=
0
M 2
=
M 1
M1 = − X / 2
Corte 2-2: ∩ +
∑ M
2 = 2
0 : − 1. X 2
=−
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X
−
0
Solución- Deflexión L wLX DC = ∫ 0 2 DC =
