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CIRCUITOS FILTROS Un filtro eléctrico es una red que impide el paso de señales cuyas frecuencias caen dentro de una banda conocida como banda de detención, y que permite que otras u otra banda, la banda de paso, pase de la entrada a la salida sin modificaciones significativas. 8.1 8.1 Usos Usos de los filt ros: Suprimir el ruido En radio, teléfonos, televisores, sistemas de control de máquinas inductivas, circuitos de computadoras y fuentes de potencia.
El grado en que una señal de frecuencia particular Wo pasan de la entrada a la salida, se mide por la función de transferencia H(jw). En un filtro ideal valdrá cero en la banda de detención y 1 ∟0 en la banda de paso. 8.2 Clases de filtros
Filtro paso bajo Dejará pasar idealmente todas las frecuencias hasta Wc y rechazará las que estén por encima de Wc, llamada frecuencia de corte. Filtro paso alto Deja pasar frecuencias altas por encima de Wc y bloquea las frecuencias por debajo de Wc.
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Filtro pasa banda Deja pasar la banda de frecuencias comprendida entre Wc 1 y Wc 2 y rechaza todas las frecuencias que están por fuera de este rango. Filtro supresor de bandas Rechaza la banda de frecuencias comprendida entre Wc 1 y Wc2 y deja pasar todas las demás frecuencias. 8.3 Frecuencia de co rte Wc Es la frecuencia a la cual la magnitud de H(jw) ha caído a 1/ √2 veces la amplitud máxima; es decir que la ganancia está a 3 dB por debajo de su valor máximo. Ejemplo: Que clase de filtro conformara la red siguiente:
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Vo =
(1 jwc) Vi
H( jw ) =
R + 1 jwc
1 1 + jWCR
La ganancia de este circuito:
H ( jw )
=
1 1 + (WCR) 2
En W=0 → IH(jw)I = 1 y será el valor máximo. Cuando W → ∞; IH(jw)I = 0. En W = 1/RC → IH(jw)I = 1/ √2 y la ganancia ha decaído 3 db, lo que significa que para este filtro Wc = 1/RC. El ángulo de fase entre la salida y la entrada será:
∠H( jw ) = − tg −1 ( WCR ) En W=0, ∠ H(jw) = 0. Cuando W → ∞; ∠ H(jw) = -90°. En W = 1/RC → ∠ H(jw) = -45°.
Usando los diagramas de bode:
H( jw ) =
1 1 + jWCR
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T = RC por lo tanto Wc = 1/T = 1/RC
Ejemplo de filtro pasoalto
Vo =
R × Vi
H ( jw ) =
R + 1 jWC
R jWC jWCR + 1
La ganancia:
H ( jw )
=
WCR 1 + ( WCR ) 2
En w=0 → IH(jw)I = 0 Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
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En w = 1/RC → IH(jw)I = 1/ √2 Cuando w → ∞; IH(jw)I = 1. W=1/RC será también la frecuencia de corte para este filtro pasoalto. El ángulo de fase:
∠H ( jw ) = 90° − tg −1 ( WCR )
En W=0, ∠ H(jw) = 90 °. En W = 1/RC → ∠ H(jw) = 90 ° - 45° = 45°. Cuando W → ∞; ∠ H(jw) = 0 °.
Usando diagramas de Bode para RC=0.1
H( jw ) =
RC jW jWCR + 1
Factores básicos
1) K = RC
2) jW
3)
1 1 + jWRC
Para RC=0.1, K=-20 dB. La frecuencia de corte del tercer factor es 1/RC=10 Rad/s.
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La suma de los factores será la curva total:
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8.4 Filtros Pasabanda El prototipo de un filtro pasabanda tiene la siguiente función de transferencia:
H(S) =
bS S2
,
+ 2ξWnS + Wn 2
H( jw ) =
b jW ( jW ) 2
H ( jw ) =
b / Wn ⎛ W − Wn ⎞ 2ξ + j ⎜ ⎟ ⎝ Wn W
=
b / Wn
+ 2ξWn jW + Wn 2
La ganancia o amplitud:
H( jw )
⎛ W − Wn ⎞ ( 2ξ ) + ⎜ ⎟ ⎝ Wn W ⎠ 2
2
Cuando W=0; IH(jw)I = 0 Para W = Wn; IH(jw)I = b/2 ξWn Cuando w → ∞; IH(jw)I = 0. Por ser pasabanda debe tener dos frecuencias de corte, W c1 y Wc2, y ocurren cuando la amplitud cae a 1/ √2 la amplitud máxima; es decir, cuando:
⎛ W − Wn ⎞ = ±2ξ ⎜ ⎟ ⎝ Wn W
(1)
Para este valor de W se tiene que:
H ( jw )
=
b / Wn
Wc
−
Wn
2ξ
×
1 2
De la ecuación (1) se tiene:
Wn
Wc 2
Wc
= ±2ξ
− Wn 2 = ±2ξ Wn Wc
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±2ξ Wn ±
Wc =
4ξ2 Wn 2
+ 4Wn 2
2
Las raíces serán:
Wc1
= −ξ Wn + Wn ξ 2 + 1
Wc 2
= ξ Wn + Wn ξ 2 + 1
El ancho de banda:
Wc 2
− Wc1 = 2ξ Wn
Observaciones Como la amplitud es inversamente proporcional a ξ en su valor máximo, si ξ aumenta, el pico baja y el ancho de banda aumenta; si por el contrario ξ disminuye el ancho de banda disminuye. Ejemplo: Determinar que clase de filtro es la red que se muestra para R=10 Ω, L=0.1h, C=500 μF.
Z1
=
1 SC
SL =
V0
=
SL / SC 1 + SL SC
=
LS LCS2
+1
Z1
Vi Z1 + R
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⎛ LS ⎞ ⎜ ⎟ 2 Z1 ⎝ ⎠ LCS 1 + H (S) = = LS ⎞ Z1 + R ⎛ ⎜ R + ⎟ ⎝ LCS2 + 1 ⎠ H(S) =
H(jw)=
LS RLCS
jWL RLC(jW) 2 +jWL+R
H(jW)
=
2
+ LS + R
(1 RC ) jW (jW)2 + (1 RC) jW+ ( 1 LC )
(W
=
RC ) 2
⎛ 1 − W2 ⎞ + ⎛ W ⎞ ⎜ LC ⎟ ⎜ RC ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
Cuando W=0; IH(jw)I = 0 Para W = (1/ √LC) → IH(jw)I =1 Cuando w → ∞; IH(jw)I → 0.
Por diagramas de Bode: H(jW) =
(1 RC ) jW ( L R ) jW = 2 2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 RC jW jW L 1 ) ⎢⎜ jW ⎟ + ( + 1⎥ ⎜ ⎟ + jW + 1 LC ⎢⎝ 1 LC ⎠ 1 LC ⎥⎦ ⎝ 1 LC ⎠ R ⎣
H(jW) =
0.01jW 2
⎛ ⎞ + 0.01jW + 1 ⎜ 141.421 ⎟ ⎝ ⎠ jW
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Factores básicos:
1) K = 0.01; 3)
K dB =-40dB
2) jw
1 2
⎛ jw ⎞ + 0.01jw + 1 ⎜ 141.421 ⎟ ⎝ ⎠
Wn = Wc = 141.421 Rad/Seg 2ξ Wn
=0.01 → ξ = 0.707
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Curvas Totales:
Un filtro pasabanda se puede diseñar empleando un filtro pasobajo y otro pasoalto conectados en cascada. En este caso, los elementos se deben seleccionar de tal forma que la frecuencia de corte del filtro pasoalto, sea menor que la frecuencia de corte del filtro pasobajo.
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Ejemplo:
a) Calcular las frecuencias de corte de los dos filtros. b) Calcular la función de transferencia del filtro equivalente cuando se conectan en cascada. Solución: a) El filtro A es paso alto cuya Wc 1=1/R1C1 = 666.667 R/Seg. El filtro B es paso bajo cuya Wc 2=1/R2C2 = 6250.000 R/Seg. b)
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Usando el método de nodos:
Nodo 2
(V2
− Vi )SC1 +
V2 R 1
+
V2 R 2 + 1 SC 2
=0
⎡ C 2S ⎤ 1 C S + + ⎢ 1 R R C S + 1⎥ V2 = C1SVi ⎣ ⎦ 1 2 2 V2
=
C1R 1S(R 2 C 2S + 1)Vi C1C 2 R 1R 2S2
V0
=
(1)
+ (C1R 1 + C 2 R 2 + C 2 )S + 1
(1 SC 2 ) V2 R 2 + 1 SC 2
=
V2
(2)
R 2 C 2S + 1
Reemplazando (1) en (2):
V0
=
C1R 1S Vi C1C 2 R 1R 2S
2
+ (C1R 1 + C 2 R 2 + C 2 )S + 1
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H(S) =
V0 Vi
=
H(jw) =
H(jw)
=
(1.5 ×10−6 )S (4 ×10−12 )S2 + (S ×1.66 ×10−6 ) + 1 (1.5 ×10−6 ) jW 2
⎛ jW ⎞ + (1.66 × 10−6 ) jW + 1 ⎜ 5 ×105 ⎟ ⎝ ⎠ (1.5 × 10 −6 )W 2
⎡ ⎛ W ⎞2 ⎤ + (W ×1.66 ×10 −6 ) 2 ⎢1 − ⎜ 5 ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ 5 ×10 ⎠ ⎥⎦ En W=0 → IH(jw)I = 0 Para W = Wn = 5 x 10 5 R/Seg; IH(jw)I = 0.9036 Cuando w → ∞; IH(jw)I = 0.
Ejemplo: Analizar la siguiente red y determinar que clase de filtro constituye.
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Usando los parámetros Z para la red demarcada
Z11
V1
= Z11I1 + Z12 I 2
(1)
V2
= Z 21I1 + Z 22 I 2
(2)
= 1+ S +
1 2S
Z12 V2
,
Z 22
= Z 21 =
= S+
1 2S
1 2S
= V0 = -I2 → I 2 = −V2
(3)
Reemplazando (3) en (1) y (2) :
V1
= Z11I1 − Z12 V2
V2
(4)
= Z 21I1 − Z 22 V2
De (5):
I1
=
(5)
(1 + Z 22 )V2
(6)
Z 21
Reemplazando (6) en (4):
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V1 H(S) =
V2
=
V1
H( jW ) =
⎡Z + Z Z − Z Z ⎤ = ⎢ 11 11 22 12 21 ⎥ V2 Z 21 ⎣ ⎦ 1 / 2S
⎛ 2S2 + 2S + 1 ⎞⎛ 2S2 + 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟⎜1 + ⎟− 2 ⎜ ⎟ ⎜ 2S 2S ⎟ 4S ⎝ ⎝ 1/ 2
( jW )
3
=
1/ 2 S3 + 2S2
+ 2S + 1
1/ 2
=
+ 2( jW ) 2 + 2 jW + 1 1 − 2W 2 + j(2W − W 3 ) H( jW )
=
1/ 2 1+ W6
Para esta red se tiene: En W=0 → IH(jw)I = 1/2 Para W = 1; IH(jw)I = (1/2)/ √2 Cuando w → ∞; IH(jw)I = 0. Es un filtro paso bajo con frecuencia de corte 1 Rad/Seg. Usando diagramas de Bode partiendo de H(S):
H (S) =
1/ 2 S3 + 2S 2
+ 2S + 1
=
1/ 2 (S 2
+ S + 1)(S + 1)
1/ 2
H(jW) =
(( jW) 2
+ jW + 1)
( jW + 1)
Factores:
1
2
K = 1/ 2
KdB = -6.02 dB
1 (jW)
2
+ jW + 1
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Wn = 1
ξ = 1/2
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3
1 jW + 1
Wc = 1
Curvas totales:
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8.5 Filtro supresor de banda
V0
=
(SL + 1 SC) Vi R + SL + 1 SC
H( jW) =
H( jW )
=
,
H (S) =
LCS2 LCS2
+1
+ RCS + 1
1 − LCW 2 (1 − LCW 2 ) + RCjW 1 − LCW 2
(1 − LCW 2 )2 + R 2C 2 W 2
En W=0 → IH(jw)I = 1 Para W = 1/ √(LC); IH(jw)I = 0 Cuando W → ∞; IH(jw)I = 1. Donde W = 1/ √(LC) es la frecuencia de resonancia de un circuito serie RLC. Ejemplo:
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Determinar que clase de filtro es la red anterior.
Z = SL 1 SC = LS (LCS2 + 1)
Si
V0
=
Rc Vi R + Rc + Z
Rc
H(S) =
R + Rc +
H ( jW ) =
H ( jW )
=
=
LS LCS2
Rc ( LCS2
+ 1) (R + Rc) ( LCS2 + 1) + LS
+1 Rc (1 − LCW 2 )
( R + Rc) (1 − LCW 2 ) + jWL Rc (1 − LCW 2 )
[(R + Rc) (1 − LCW )] 2
2
+ W 2 L2
En W=0 → IH(jw)I = Rc/(R+Rc) Para W = 1/ √(LC); IH(jw)I = 0 Cuando W → ∞; IH(jw)I = Rc/(R+Rc). Por lo tanto es un supresor de banda.
W=
1 LC
≅ 377 R/Seg
(60Hz)
La señal sinusoidal a 60Hz es completamente rechazada.
Ejemplo: Por medio del diagrama de Bode de magnitud determinar que clase de filtro es la red siguiente:
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⎛ ⎞ ⎜ 0.1S - 150S V2 20 ⎟ ⎟V2 = − V0 = ⎜ (10 + 0.1S) (500 + 20S) ⎜⎜ 10 + 0.1S 20 + 500 ⎟⎟ ⎝ S
(1)
Ecuación del nodo 2:
V2
− Vi +
V2 10 + 0.1S
+
V2 20 + 500 S
=0
⎡ 2.1S2 + 280S + 5500 ⎤ ⎢ (10 + 0.1S) (500 + 20S) ⎥ V2 = Vi ⎣ ⎦ V2
=
(10 + 0.1S) (500 + 20S) Vi 2.1S 2
(2)
+ 280S + 5500
Reemplazando (2) en (1):
V0
=
− 150S Vi 2.1S2 + 280S + 5500
H(S) =
− 150S 2.1S2 + 280S + 5500
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H( jW ) =
− 150 jW − 0.0273 jW = 2.1( jW ) 2 + 280( jW ) + 5500 ⎛ jW ⎞ 2 ⎜ ⎟ + 0.051 jW + 1 51 . 18 ⎝ ⎠
Factores:
1 K = −0.0273 KdB = -31.276 dB 2 jW 3
1 2
⎛ jW ⎞ + 0.051 jW + 1 ⎜ ⎟ ⎝ 51.18 2ξ Wn
Wn
= 51.18
= 0.051 → ξ = 1.31
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Curva total:
8.6 Filtro pasa banda Ejemplo: Determinar la clase de filtro que constituye la siguiente red:
Usando el método de nodos: Nodo V
V − Vi 20k
+
V − Vx 20k
+
V − 2Vx
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2000 / S
=0 Págin a 22
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( 2 + 10S) V − (1 + 10S) VX Nodo X
VX
= Vi
(1)
− V SVX + =0
20k
2000
− V + (1 + 10S) VX = 0 De (2):
(2)
V = (1 + 10S)VX
(3)
Reemplazando (3) en (1):
[( 2 + 10S)(1 + 10S) − (1 + 10S)]VX = Vi VX V0
=
Vi 100S 2
= 2VX =
H (S) = H ( jW ) =
+ 20S + 1 2Vi
100S
2
+ 20S + 1
2 100S2
+ 20S + 1 2
2
⎛ jW ⎞ + 20 jW + 1 ⎜ ⎟ ⎝ 0.1
¿Qué clase de filtro es?
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8.7 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determinar que tipo de filtro constituye el circuito número 1. Comprobar su respuesta haciendo los correspondientes D iagramas de Bode de magnitud y ángulo de fase.
Circuito número 1
2. A partir de los Diagramas de Bode, determinar la clase de filtro que corresponde al circuito núm ero 2.
Circuito núm ero 2
3. A partir de los Diagramas de Bode, determinar la clase de filtro que corresponde a la red número 3 si la salida es Vo .
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Red nú mero 3
4. A partir de los Diagramas de Bode, determinar la clase de filtro que corresponde a la red número 4.
Red nú mero 4
RESPUESTAS DEL TALLER.
1. Filtro pasa alto 3. Filtro pasa banda 4. Filtro pasa banda
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