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Reconstrucción con filtros Activos

RECONSTRUCCIÓN DE SEÑAL RECTIFICADA COMPLETA CON LOS PRIMEROS CUATRO ARMÓNICOS DE FOURIER

EDISON JOSÉ ACOSTA B. NOE GEOVANNY SUESCUN ANDRES GUARIN

[email protected] [email protected] [email protected] Abril de 2012

Cod: 20091283001 Cod: 20091273040 Cod: 20091073041

Resumen: Se reconstruirá la señal rectificada de un puente rectificador de onda completa, y se filtrarán los primeros cuatro armónicos que la serie de Fourier nos permite conocer. Para esto, se diseñarán e implementarán cuatro filtros pasa-banda estrecha seguidos de un sumador a su salida, el cual, que sumará las cuatro frecuencias de salida de los filtros para reconstruirla.

Palabras claves: filtro, armónicas, Fourier, reconstrucción, pasa banda, factor de calidad, frecuencia, frecuencia central, decibel.

I.

II. 

INTRODUCCIÓN

A partir de una señal seno rectificada completamente se hará el análisis de sus componentes armónicas y se filtrarán las primeras cuatro armónicas que la serie de Fourier nos permite conocer. Para esto, se diseñarán e implementarán cuatro filtros pasabanda estrecha de segundo orden y tipo Butterworht seguidos de un dispositivo sumador a su salida, el cual, como su nombre lo indica, sumará las cuatro frecuencias de salida de los filtros y como señal resultante será parecida a la señal ingresada al sistema. De acuerdo a sus características y comparación o similitud se hace su respectivo análisis y conclusiones.

Universidad Distrital Francisco José de Caldas





III.

OBJETIVOS: Analizar a partir de la señal dada usar los criterios de Fourier para determinar el uso de filtros y verificar las armonicas que le componen Examinar y evaluar el comportamiento de los filtros correspondientes a las primera cuatro armonicas de la señal Reconstruir,comparar y analizar la señal de entrada con la obtenida a la salida del sistema

MARCO TEORICO

FILTROS Es un circuito electrónico que puede ser usado para: Modificar, cambiar la forma, o manipular el espectro de frecuencia de una señal eléctrica de acuerdo con algunos requerimientos previamente definidos.

Tecnología en Electrónica


caracterizados por sus funciones de transferencia, así cualquier configuración de elementos activos o pasivos que consigan cierta función de transferencia serán considerados un filtro de cierto tipo. En particular la función de transferencia de un filtro pasa bajo de primer orden es expresa: TIPOS DE FILTROS 



(Señales continuas, al igual que muestreadas o de impulso modulado) Las señales son tensiones y corrientes variables Digitales: (Señales definidas en instantes discretos) Analógicos:

FILTROS PASIVOS El filtro pasivo es un filtro electrónico formado únicamente por elementos pasivos, es decir, resistencias, condensadores y bobinas. En los sistemas de comunicaciones se emplean filtros para dejar pasar solo las frecuencias que contengan la información deseada y eliminar las restantes. Los filtros son usados para dejar pasar solamente las frecuencias que pudieran resultar ser de alguna utilidad y eliminar cualquier tipo de interferencia o ruido ajeno a ellas. FILTROS ACTIVOS Los filtros activos son aquellos que emplean dispositivos activos, por ejemplo los transistores o los amplificadores operacionales, junto con elementos R L C, estos elementos mejoran las calidades del sistema en cuanto a estabilidad y perdidas o mejores ganancias; sin embargo debido a su baja respuesta a frecuencias más altas solo son recomendados para trabajar hasta uno cuantos MHz a menos que el dispositivo activo posea características de fabrica que le permitan soportar mayores frecuencias. Los filtros dependiendo de su uso se catalogan como filtros pasa-bajos, pasa-altos, filtros pasa-banda y filtros rechaza-banda. FILTRO PASABAJO Un filtro pasa bajo corresponde se caracteriza por permitir el paso de las frecuencias más bajas y atenuar las frecuencias más altas. El filtro requiere de dos terminales de entrada y dos de salida, de una caja negra, también denominada cuadripolo o bipuerto, así todas las frecuencias se pueden presentar a la entrada, pero a la salida solo estarán presentes las que permita pasar el filtro. De la teoría se obtiene que los filtros están Universidad Distrital Francisco José de Caldas

, Donde la constante es sólo una ponderación correspondiente a la ganancia del filtro, y la real importancia reside en la forma de la función de transferencia:

, La cual determina el comportamiento del filtro. En la función de transferencia anterior corresponde a la frecuencia de corte propia del filtro, aquel valor de frecuencia para el cual la amplitud de la señal de entrada se atenúa 3 dB equivalente a la mitad de la potencia. De forma análoga al caso de primer orden, los filtros de pasa bajo de mayor orden también se caracterizan por su función de transferencia, por ejemplo la de un filtro paso bajo de segundo orden corresponde a:

, Donde es la frecuencia natural del filtro y es el factor de amortiguamiento de este. FILTRO PASA ALTO Un filtro paso alto es tiene una respuesta en frecuencia que atenúa las componentes de baja frecuencia pero no las de alta frecuencia. La alta o baja frecuencia es un término relativo que dependerá del diseño y de la aplicación. El filtro paso alto más simple es un circuito RC en serie en el cual la salida es la caída de tensión en la resistencia. Si se estudia este circuito (con componentes ideales) para frecuencias muy bajas, en continua por ejemplo, se tiene que el condensador se comporta como un circuito abierto, por lo que no dejará pasar la corriente a la resistencia, y su diferencia de tensión será cero. Para una frecuencia muy alta, el Tecnología en Electrónica


condensador se comportará como un cortocircuito, y la caída de tensión de la resistencia será la misma tensión de entrada, lo que significa que dejaría pasar toda la señal. Por otra parte, habrá un desfase entre la señal de entrada y la de salida. El producto de resistencia por condensador (R×C) es la constante de tiempo, cuyo recíproco es la frecuencia de corte, es decir, donde el módulo de la respuesta en frecuencia baja 3dB respecto a la zona pasante:

FILTRO PASA BANDA Un filtro paso banda es un tipo de filtro electrónico que deja pasar un determinado rango de frecuencias de una señal y atenúa el paso del resto. Un circuito simple de este tipo de filtros es un circuito RLC (resistor, bobina y condensador) en el que se deja pasar la frecuencia de resonancia, que sería la frecuencia central (fc) y las componentes frecuenciales próximas a ésta, en el diagrama hasta f1 y f2. No obstante, bastaría con una simple red resonante LC. Otra forma de construir un filtro paso banda es colocando en cascada un pasa-altos y un pasa-bajos, para ello, es importante tener en cuenta que la frecuencia de corte del paso bajo sea mayor que la del paso alto, a fin de que la respuesta global sea paso banda (esto es, que haya solapamiento entre ambas respuestas en frecuencia).

lugar de señales continuas en el tiempo, pero, tiene una limitación importante: cuanto mayor precisión se requiera, mayor frecuencia de muestreo necesitaremos, que es mas consumo de RAM y CPU. Resultaría inviable implementar filtros digitales ideales para radiofrecuencia, pero en procesado de audio digital sí es posible, ya que su rango de operación está entre 20 KHz. CLASIFICACION SEGÚN SU RESPUESTA Según su respuesta en corte, pendiente, rizado y desempeño se les clasifican y algunos de estos son: 

FILTRO DE BUTTERWORTH

En el año de 1930, S. Butterworth propuso la siguiente función de ganancia:

La ganancia en expresada como:

decibeles

puede

ser

Las curvas que se muestran a continuación, corresponden a la aproximación de Butterworth en relación con las gráficas de un filtro pasa-bajos ideal:

En filtros de órdenes altos suele aparecer un rizado en las zonas de transición conocido como efecto Gibbs. Un filtro paso banda más avanzado sería los de frecuencia móvil, en los que se pueden variar algunos parámetros frecuenciales, un ejemplo es el circuito anterior RLC en el que se sustituye el condensador por un diodo varicap o varactor, que actúa como condensador variable y, por lo tanto, puede variar su frecuencia central. Realmente resulta complicado construir un filtro paso banda ideal (y, en general, filtros de respuesta ideal) en el mundo analógico, sin embargo, si nos trasladamos al procesado digital de señales, resulta sorprendente ver cómo podemos construir respuestas en frecuencia prácticamente ideales, ya que en procesado digital de señal manejamos realmente vectores con valores numéricos (que son señales discretas en el tiempo), en Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Observe que para todos los valores de n las curvas de pasan por el valor de 0.707 en la frecuencia de 1 rad. En general, para valores pequeños de w :

Y para valores grandes:

La curva de magnitud, tiene una pendiente negativa de 20n decibeles por década para valores grandes de w . Ahora se hallará la función de transferencia para la aproximación de Butterworth. Para esto



debemos empezar por encontrar los polos de ,

si pasamos la ecuación dominio de s y hallamos , obtenemos:



si igualamos a cero el denominador de esta última ecuación, encontraremos los polos de la función :

FILTRO DE CHEBYSHEV 

 

Corte más abrupto a expensas de rizado en la banda de paso. Pendiente de transición más alta Respuesta transitoria peor que Butterworth.

Para el caso de n=2 , los polos son de +45º lo cual, expresado en una función resulta de la forma:

Es claro que sólo los polos ubicados en el semiplano izquierdo del plano s hacen parte de la consecución de la función de transferencia característica de los filtros de Butterworth: 

 

Ganancia lo más plana posible en la banda de paso a expensas de un corte poco abrupto. Pendiente de transición mediocre. Respuesta transitoria satisfactoria



FILTRO DE BESSEL

Mínima deformación de la señal: Desfase lineal con la frecuencia ⇔ tiempo de propagación constante. Pendiente de transición peor que Butterworth.




VI.

DESARRALLO

Se analiza una señal seno rectificada de onda completa de frecuencia de 100Hz con amplitud constante no definida.

Mediante el analisis de Fourier (1.) se obtiene la función:

Estos valores fueron determinados bajo las formulas para un filtro Butterworth pasabanda de 2º orden (3.), (4.), (5.), (6.); adicionalmente se observo y comparo con la funcion de trasferencia (7.) de este tipo de filtro en los diagramas de bode y fase mediante el programa matlab y multisim:

  ()     ∑()     () (2.)

Mediante un programa graficador matematico (Derive) se toman las 4 primeras  correspondientes a las primera armonicas de la señal evaluada para graficar la señal resultante:

Y ya comprobado su comportamiento se procede al diseño de los filtros correspondientes. Para esto se escoge un filtro pasa-banda estrecha Butterworth de 2º orden y sintonizable con Rf=R2

Figura 1a. Filtro 1ª armonica 100Hz

Para los cálculos de los filtros pasa-banda se dejaron los condensadores con una capacitancia fija de 100nF. Y se calcularon los valores resistivos con la aplicación matemática de Windows Excel. Figura 2a. Bode y fase de 100Hz Matlab




Figura 1b. Filtro 3ª armonica 300Hz

Figura 1b. Filtro 2ª armonica 200Hz

Figura 2c. Bode y fase de 300Hz Matlab

Figura 2b. Bode y fase de 200Hz Matlab

Figura 1d. Filtro 4ª armonica 400Hz




FORMULAS USADAS Coef. Fourier     ∫ ⁄ () ()    ⁄    ∫ ()    

(1.)

  ()     ∑()     () (2.)

Filtro Butterworth Figura 2d. Bode y fase de 400Hz Matlab

(3.) En la practica, cada salida de los 4 filtros mostraba una señal senoidal como componente, o armonica de la rectificada completa pero con amplitudes cada vez mas pequeñas al ser vistas a la frecuencia fundamenta de 100Hz, esto obedece a la funcion de fourier al cambiar las variables a medida que se variaba n, el cual indica a que armonica pertenece y su valor constante es la amplitud de la señal resultante. Los datos mostrados en las anteriores graficas son solo de margen teorico, con el montaje respectivo de los 4 filtros y un sumador para su reconstruccion y comparacion, se obtuvo:

(4.) (5.)

(6.) Funcion de trasnferencia 2

 R  R3C   3  Vi  2 R1  R2  R1 

Vo

R1 R2 R3C 2

Con

s

2

R3C

= F(s)

ss

s  j 0   j 2 f0 

Si C  C1  C 2

(7.)

Codigo Matlab ejemplo para 400Hz

Al compararla no sale exactamente la señal de salida mas si una gran aproximacion de esta lo que permite concluir que los filtros y sus armonicas se encuentran bien calculados.

(8.)

Se examinaron por individual cada filtro para verificar su ancho de banda y asi determinar el factor de calidad Q de cada uno de ellos; los resultados obtenidos fueron iguales a los valores calculados en la tabla anterior.



2


V.

CONCLUSIONES

Al sintonizar las frecuencias correspondientes de los armónicos podemos observar como la señal original se reconstruye con esta resultante. El filtro pasa banda es una herramienta útil para procesar, hacer tratamientos y moldeamiento de señales. Podemos observar que al trabajar en conjunto los filtros con la generación de la señal original los armónicos se generan en la mitad de las frecuencias con las cuales habíamos calculado estos mismos originalmente. Al analizar el espectro de esta forma de onda podemos observar que se anulan en términos pares.

VI.

BIBLIOGRAFÍA

AMPLIFICADORES OPERACIONALES CIRCUITOS INTEGRADOS LINEALES Robert F. Coughlin. 4ª Ed 1993

Y

http://www.angelfire.com/electronic2/elect ros601/E_tarea_para_pdf.pdf

Diseño de Circuitos y Sistemas Electrónicos//DCSE.pdf



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