UNIDAD I.- CINEMÁTICA DE LA VIBRACIÓN.
INTRODUCCIÓN. El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos oscilatorios de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Dado que los cuerpos poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. La mayoría de las máquinas y estructuras experimentan efectos vibratorios hasta cierto grado, y su diseño requiere de la consideración consideración de su comportamiento oscilatorio. En general los efectos de las vibraciones son perjudiciales para el buen funcionamiento de una máquina o de un elemento en particular de la misma, por lo que resulta muy importante mantener niveles de vibración relativamente bajos para un funcionamiento favorable y prevenir paros repentinos. Un sistema vibratorio se puede comportar en forma lineal o en forma no lineal . Un sistema lineal se rige por el principio de superposición y puede representarse mediante una ecuación diferencial lineal. Un sistema no lineal es es muy difícil de analizar, sin embargo su conocimiento es deseable debido a que todos los sistemas lineales tienden a volverse no lineales cuando crece la amplitud de la vibración. Clasificación Clasificación de las vibraciones. vibraciones.
Existen dos clases generales de vibraciones: vibraciones:
a).- Vibraciones libres b).- Vibraciones forzadas La vibración libre ocurre cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al sistema mismo (no existen fuerzas externas). La frecuencia de oscilación de este tipo de sistemas se conoce como frecuencia natural, la cual depende de la rigidez y la distribución de la masa del sistema. La vibración forzada tiene lugar bajo la excitación de fuerzas externas. Los sistemas sujetos a éste tipo de vibración, vibrarán a la frecuencia de excitación. Si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren oscilaciones peligrosamente grandes.
(GL) de un sistema oscilatorio. 1.1.- Grados de libertad (GL) Es el número de coordenadas coordenadas linealmente linealmente independientes independientes que se requieren para describir describir su movimiento. Por ejemplo Una partícula libre en tres dimensiones tiene tres grados de libertad (3 GL).
Un cuerpo rígido en tres dimensiones tiene seis grados de libertad (6 GL).
Un cuerpo flexible posee un número infinito de grados de libertad, ya que posee un número infinito de puntos.
1.2.- Movimiento armónico y su representación . Este es el tipo de movimiento oscilatorio más simple, y se puede definir mediante la relación x Asen Asen t --------- (1.1)
en donde A = amplitud de la oscilación (cm, pul, etc.) = frecuencia circular (rad/s) f
2
1
-------------- --------------- (1.2) (frecuencia del m movimiento ovimiento armónico en cps o Hz)
------------------ (1.3) (período en segundos)
El movimiento armónico puede representarse como la proyección sobre una línea recta tal como se representa en la siguiente figura:
Figura (1.2).- Movimiento armónico armónico como proyección de un punto que se mueve en una Circunferencia. El movimiento armónico puede ser representado representad o por medio de un vector de magnitud A a una velocidad angular constante . En la figura (1.2) el vector puede darse en función de sus proyecciones horizontal y vertical por ----------- (1.4) Cuando el tiempo se mide desde la posición horizontal del vector como punto de partida, la proyección horizontal del vector se escribe como A cos t , y la proyección vertical como Asen As en t . Cualquiera de las dos proyecciones puede tomarse como representativas de un movimiento armónico, sin embargo en muchas ocasiones se toma en cuenta la componente Asen As en t . La velocidad y aceleración del movimiento armónico puede obtenerse simplemente por diferenciación diferenciación como sigue: x Asen Asen t
x A cos t Asen Asen t 2
x 2 Asen Asent 2 Asen Asen t
Si graficamos las ecuaciones anteriores podemos observar que la velocidad y la aceleración preceden a x en 90o y 180o respectivamente.
Posición
velocidad
aceleración
En forma vectorial se tiene lo siguiente:
Aunque el uso de vectores para visualizar movimientos armónicos es un criterio muy simple, para cálculos numéricos no está bien adaptado debido a que es necesario descomponer los vectores en sus componentes vertical y horizontal, resultando un método sumamente largo y tedioso. multiplicación y división de movimiento 1.3.- Uso de fasores para la suma, resta, multiplicación armónico .
Un fasor es es un vector en rotación bidimensional que se utiliza para representar una onda en movimiento armónico simple. Una forma de representarlo es mediante números complejos. Un vector X en el plano xy puede ser representado como un número complejo X a jb
donde j 1 a y b son las componentes de x y y de X respectivamente
Figura (1.3).- Representación de un número complejo. Si A representa la magnitud del vector X , y representa el argumento o ángulo entre el vector y el eje x , entonces X puede ser expresado también como X A cos jAs jAsen en Ae
j
X A(cos jsen jsen ) Ae j ------------ (1.5)
donde A a2 b2 y tan1 ba
1.3.1.- Operaciones con números complejos . Dados los números complejos z1 a1 jb1 A1e j 1 y z2 a2 jb2 A2e j 2 entonces a).- z1 z2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) b).- z1 z2 (a1 jb1)(a 2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j (a1b 2 a 2b1) A1A 2e j (1 2 ) c).-
z1 z2
a jb
( a jb )( a jb )
a1 jb1 ( a1 jb1 )( a2 jb2 ) 2
2
2
2
2
( a1a2 b1b2 ) j( a1b2 a2b1) a22 b22
2
A1 A2
j e ( 1 2 )
1.3.2.- Suma de movimientos armónicos . Para sumar dos movimientos armónicos x1 (t ) A1 cos t y x2 (t ) A2 cos(t ) de la misma frecuencia circular, en donde A , A y son valores conocidos, se pueden utilizar los métodos siguientes: 1
2
trigonométricas : a).- Usando relaciones trigonométricas: x(t ) A cos(t ) x1 (t ) x2 (t ) A(cos t cos sent sen ) A1 cos t A2 (cos t )
(i ) Asen )sent A1 cos t A2 (cos t cos sent sen ) ------ ( A cos ) cos t ( Asen De la relación ( i ) se obtienen las siguientes relaciones: A cos A1 A2 cos ----------- ( ii ) Asen Asen A2sen ------------------- ( iii )
Resolviendo el sistema anterior se obtienen los valores correspondientes de A y . vectores. b).- Usando vectores. Para un valor arbitrario de t , los movimientos armónicos x1 (t ) y x2 (t ) pueden representarse gráficamente como se muestra el la figura (1.4). Sumando vectorialmente los movimientos armónicos representados por x1 (t ) y x2 (t ) , se obtiene el vector resultante dado por x(t ) A cos(t ) .
Figura (1.4).- Suma de movimientos armónicos.
c).- Usando números complejos Los dos movimientos armónicos pueden ser representados en forma compleja por: x1 (t ) Re A1e j t -------------- ( iv )
x2 (t ) Re A2 e j (t ) --------- ( v )
La suma de x1 (t ) y x2 (t ) puede ser expresada como )
x(t ) Re Ae j (t
---------- (1.6)
Ejemplo 1.1.- Encontrar la suma de los movimientos armónicos x1 (t ) 5co 5cos(3t 1) y x2 (t ) 10co 0cos(3t 2) , utilizando a).- Relaciones trigonométricas trigonométricas b).- Suma de vectores c).- Números complejos Solución: a).- x(t ) A cos(t ) x1 (t ) x2 (t ) 5 cos(3t 1) 10 cos(3t 2) A(cos 3t ) 5 cos 3t cos 1180 sen3t sen 1180
10 cos 3t cos
2180 sen3t sen 2 180
8cos3t 13.30031sen3t A cos3t cos Asen Asen3t sen 1.45648co
1.45648 ----------- ( i ) A cos 13.3001 -------------- ( ii ) Asen Asen
Dividiendo ( ii ) entre ( i ) se obtiene o o 1.68 rad 83.75o 180 83 8 3 . 7 5 9 6 . 2 5 tan 13.30031 9 . 1 3 1 8 1.45648 En ( i ) se tiene que A 1.45648o 13.38
cos96.25
x(t ) 13.3 13.38co 8cos( s(3 3t 1.6 1.68)
b).- Representación Representación vvectorial: ectorial: Angulo entre x1 (t ) y x2 (t ) : 1.68 1 0.68 0.68 rad rad = 38.9 38.96 6o 1.68
c).- Usando números complejos. complejos. x1 (t ) Re 5e j (3t 1)
x2 (t ) Re 10e (3 2) (3 ) x(t ) Re Ae Re 5e (3 1) Re 10e ( 2) --------- ( iii ) j t
j t
j t
j t
Desarrollando y resolviendo ( iii ) se obtiene 1.68)) x(t ) Re 13.38 3.38e j (3t 1.68
Cuando se suman dos movimientos armónicos, con frecuencias muy cercanas entre si, el movimiento resultante representa un fenómeno conocido como “ pulsación pulsación”. Por ejemplo, si x1(t ) X cos t y x2 (t ) X cos( )t , donde es una cantidad pequeña, la suma de estos movimientos es x(t ) x1(t ) x2 (t ) X cos t cos( )t ----------------- (1.7)
Usando la relación cos A cos B 2 cos A2 B cos A2 B , la ecuación (1.7) se puede escribir como
x(t ) 2 X cos t cos 2
2
------------------- (1.8)
La gráfica de éste movimiento resultante se representa como sigue:
1.4.- Serie de Fourier aplicada al movimiento armónico . 1.4.1.- Movimiento periódico . Un movimiento periódico tiene la propiedad de repetirse íntegramente después de un cierto intervalo de tiempo llamado periodo del movimiento . Todos los movimientos armónicos son periódicos, pero no todos los movimientos periódicos son armónicos. Por ejemplo la figura que se muestra a continuación, continuación, representa el movimiento de la ecuación x(t ) a sent a sen2 t 2
Fourier demostró que éste tipo de movimiento puede ser representado mediante una serie de
senos y cosenos de la forma a
x(t ) o a1 cos t a2 co cos 2t 2 x(t )
ao 2
b1sent b2 sen2t
an cos nt bn sen n t -------------- (1.9) n1
en donde n n ---------- (1.10) 2 ------------ (1.11)
ao , an
y bn son los coeficientes de Fourier , los cuales se determinan por
ao 2 2 2
an 2 2 2 bn 2
2 2
x(t ) dt ---------------------------- (1.12)
x(t ) co cos nt dt ----------------(1.13)
x(t ) sen nt dt ----------------- (1.14)
La serie anterior puede representarse también en términos de la función exponencial, sustituyendo jnt
e j nt -------- (a)
jnt
e j nt
sen t 1 e 2
cos nt 12 e n
--------- (b)
Sustituyendo (a) y (b) en (1.9) se obtiene: x(t ) x(t )
ao 2 ao 2
e
n 1
an 2
12 a
n
n1
x(t ) co
en donde
jnt
cn e
b
jbn e jnt 12 an jbn e j nt
jnt
n1
e jnt 2 jn e jnt e jnt
jnt
cn e
n
cn e
j nt
------------ (1.15)
co 1 ao cn
2 1 2
an jbn
cn 1 an jbn 2
Sustituyendo an y bn en cn encontramos que
j nt cn 1 2 x(t )e dt ---------------- (1.16) 2
Podemos graficar los coeficientes de Fourier contra contra
n ,
lo que da como resultado una serie de
líneas discretas que constituyen el llamado “ espectro de Fourier ” o espectro de frecuencias.
Generalmente se grafican el valor absoluto 2cn an2 bn2 y la fase n tan1 abn . n
1.4.2.- Terminología de las vibraciones . Algunos términos importantes usados en vibraciones son: Valor pico.- Indica generalmente el esfuerzo máximo que está sufriendo la parte vibrante. Valor medio.- Indica un valor estático o estacionario. Se determina mediante la expresión T x lim 1 x(t ) dt ----------- (1.17)
T T 0
Valor cuadrático medio .- .- Se determina a partir del promedio de los valores cuadráticos, integrando sobre el intervalo T del tiempo. Su expresión es T 2 x 2 lim 1 x (t )dt --------- (1.18)
T T 0
Valor de la raíz cuadrática media ( rms ).- Es la raíz cuadrada del valor medio cuadrado; esto rms ).- Es
es rms
x2
-------------------------- (1.19)
Decibel ..- Es una unidad de medida que se utiliza frecuentemente en vibraciones. Se le define
como una razón de potencias dB 10 log
------------- (1.20) P 1 P 2
En función de los desplazamientos la ecuación anterior de expresa como sigue: 2
X
dB 10 log X 1 2
20 log
X 1 X 2
Problema 1.2.- Para la función diente de sierra que se muestra a continuación, continuación, determinar: a).- La serie de Fourier en en forma trigonométrica. trigonométrica. b).- La serie de Fourier en en forma exponencial. c).- La rms de la onda mostrada. d).- El espectro de amplitud.
Solución.- De la figura figura tenemos tenemos que 2 , 2 1 , m 21 , x(t ) 21 t . a).- Forma trigonométrica:
ao 2 2 2
2 0
2
2
2 0
tdt 1 2 1
1 2
t2
1
2 2 1 2 sen ntdt 0 x(t ) co t cos n ntt dt 1 2 t sen nt cos nt dt 1 2 n 0 0 2 0 2 n
2 2
2 2 1 2 cos ntdt x(t ) sen nt dt 1 2 t sen nt dt 1 2 t cos nt n n 0 0 2 0 2
2
an 2 2 2 bn 2
x(t ) dt 2
2
1 2 n
2
sennt 0
bn 2 2 1 2 2n
n1
x(t )
La serie trigonométrica de Fourier es es
1 2
1
n1 sen nt
n1
b).- Forma exponencial: exponencial: cn 1
cn
2 2
j nt
x(t )e
dt 1
2
1 2 e jnt dt te jnt dt 1 2 t e jnt jn 0 0 4 jn 0
1 2
2
2
j 2n
La serie de Fourier en forma exponencial es
x(t )
j 2
n
1 e jnt n
c).- Cálculo de la rms rms . x(t ) 1 t x2 (t ) 1 2 2 4
2 1 2 0 4 2
T 2 x 2 lim 1 x (t ) dt 1
x T 0
rms
2 x
1 3
d).- Espectro de amplitud. 2cn 1 n n
2cn
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.31831 0.15951 0.10610 0.07957 0.06366 0.05305 0.04547 0.03978 0.03536 0.03183
Espectro de amplitud
8
2
3 0
t 2 dt 1 3 1 t 3
13
1.5.- Diagnóstico de fallas en la maquinaria rotatoria a partir del registro de la vibración. La finalidad de un diagnóstico es la de establecer las causas de una vibración. Para tal fin, la información que se obtiene por medio de sensores deberá ser comparada con mediciones de referencia o con características de fenómenos vibratorios conocidos. Por medio de las mediciones y el análisis de las vibraciones, tenemos un método no destructivo y de costo efectivo de diagnóstico diagnóstico para establecer condiciones condiciones de falla. Algunas fallas que pueden detectarse mediante un análisis de vibraciones son: a).- Ausencia de lubricación. lubricación. b).- Ejes flexionados. flexionados. c).- Alabes rotos. d).- Daño o desalineamiento de transmisiones flexibles. e).- Cojinetes dañados o desgastados. f).- Excentricidad. g).- Corrosión por frotamiento. h).- Montaje incorrecto. i).- Componentes inseguros. J).- Aflojamiento mecánico. k).- Inicios de cavitación. cavitación. l).- Engranes desgastados desgastados o dañados. m).- Desbalance estático o dinámico. n).- Presencia de cuerpos cuerpos sólidos (transmisión (transmisión de fluidos). fluidos). En el análisis de vibraciones, la frecuencia es la clave para diagnosticar fuentes de vibración. Al caracterizar una fuente de vibración se debe conocer la naturaleza del fenómeno que causa esa vibración. Es fundamental establecer un modelo para conocer los síntomas que caracterizan un determinado problema, los cuales se comprueban con la evidencia experimental. El proceso de diagnóstico involucra un análisis de señales que puede ir desde una medición simple de amplitudes rms posiblemente trazos en forma rms , hasta un análisis espectral que incluya posiblemente de onda con extensión a formas más sofisticadas de procesamiento de señales en un rango de conceptos físico-matemáticos. Los defectos que se pueden presentar durante la rotación de un eje, y que son posibles de detectar mediante un análisis orbital son: a).- Fase orbital de un eje. b).- Vórtice y/o chicoteo de aceite. c).- Eje con precarga. d).- Frotamiento o chicoteo seco.
En la tabla siguiente se muestra un diagnóstico de defectos en ejes por medio de sensores de proximidad. El uso de un transductor de proximidad con un osciloscopio puede indicarnos algunos defectos típicos debidos debidos a la rotación de un eje.
CAUSA Desequilibrio
AMPLITUD Es proporcional al desequilibrio desequilibrio
Desalineamiento Grande en la de coples y dirección axial, chumaceras 50% o más de la vibración radial Chumaceras en Inestable. Usar mal estado del la medición de tipo antifricción velocidad si es posible Muñones Generalmente no excéntricos es grande Engranes Es baja. Usar la defectuosos o medición de ruido en los velocidad si es mismos posible
FRECUENCIA 1xRPM Generalmente 1xRPM. En ocasiones 2 y 3 veces RPM Muy alta. Es muchas veces un múltiplo de las RPM 1xRPM 2XRPM
FASE Marca de referencia simple Sencilla, doble o triple Errática Marca sencilla Errática
Dos marcas Desajuste --------------------de mecánico 2xRPM referencia. Ligeramente errática Bandas de Errática 1,2,3,4 xRPM Una o dos, accionamiento o pulsativa de las bandas dependiendo defectuosas de la frecuencia Desaparece 1xRPM o 1 o Marca cuando se 2xfrecuencia simple o Eléctrica desconecta el sincrónica rotatoria suministro de energía 1xRPM o Fuerzas número de aerodinámicas --------------------- aspas de ----------------o hidráulicas ventilador o de impelentes xRPM Fuerzas 1,2 y múltiplos reciprocantes --------------------- mayores ----------------xRPM