CÁLCULO II
CIENCIA PARA COHETES INTRODUCCIÓN Un cohete espacial espacial es una una máquina que, que, utili utiliza zand ndo o un motor de motor de combustión, combustión, produce la energía cinética necesaria para la expansión de los gases, que son lanzados a través de un tubo tubo prop propul ulso sorr (lla (llama mada da prop propuls ulsió ión n a reac reacció ción). n). or or exten extensi sión, ón, el vehí vehícul culo, o, generalmente espacial, que presenta motor de propulsión de este tipo es denominado cohete o misil. misil. !orma !ormalme lment nte, e, su ob"et ob"etiv ivo o es envia enviar r arte#actos
(especialmente satélites
arti#iciales $ sondas espaciales)
o naves
espaciales $ homb hombre res s al espa espaci cio o Un cohe cohete te está #ormado por una estructura, un motor de prop propul ulsi sión ón a reac reacci ción ón $ una una carg carga a %til %til.. &a estructura sirve para proteger los tanques de combustible $ oxidante $ la carga %til. 'e llama también cohete al motor de propulsión en sí mismo. uchos cohetes, como el Pegasus XL, que en la actualidad se usa para lanzar satélites, $ el Saturn Saturn V , que #ue el que a$udó a llevar al hombre a la & una, están diseados para usar tres tres etap etapas as en su asce ascens nso o al espa espaci cio. o. Una Una primera primera etapa etapa impulsa impulsa inicialm inicialment ente e al cohete cohete hasta que se agota el combustible, momento en que la etapa se desprende para reducir la masa del cohete. &as etapas segunda $ tercera #uncionan de manera similar, $ su ob"etivo es colocar a la tripulación $ al equipo del cohete en órbita alrededor de la *ierra. (+on este diseo se requieren por lo menos dos etapas con el #in de alcanzar las velocidades necesarias, necesarias, pero el uso de tres etapas ha demostrado ser una buena opción que combina el costo $ el rendimiento.) &a meta en este caso es determinar las masas individuales de las tres etapas que se tienen que disear para minimizar la masa total del cohete para que pueda alcanzar la velocidad deseada.
1
CÁLCULO II
I.
EVOLUCIÓN DE LOS COHETES EN EL MUNDO
l desarrollo de las anteriores ecuaciones por *siol-ovs-$ se llevó a cabo en usia desde /001 hasta /234, 5ue hasta la década de los aos veinte del siglo 66 en donde los traba"os teóricos de *siol-osv-$ #ueron tomados en cuenta para llevarlos a la prác prácti tica ca $ pone ponerr a prue prueba ba el #unc #uncio iona nami mien ento to real real del del cohe cohete te como como vehí vehícu culo lo atmos#érico. or una parte, el estadounidense obert 7oddard (/0089/21:) desarrolló el primer prototipo de vehículo cohete de propelentes líquidos en el ao de /28; $ el primer cohete con una carga cientí.ca (barómetro $ cámara #otográ.ca) #otográ.ca) (ortilla, 833/) que ho$ en día se denominan cohetes sonda.
berth (/0219/202) (/0219/202) $ ?ernher @on Araun (/2/89 /2BB), /2BB), dise diseaba aban n proto prototip tipos os de cohe cohetes tes con con prope propelen lente tes s líqu líquid idos os e inve invest stig igac acio ione nes s sobre sobre el comport comportamie amiento nto del cohete en el espacio interp interplan laneta etario rio.. *ambién mbién,, el padre de la astrodinámica, el alemán ?alter =ohmann (/00 /0039/21 /21:), :), pre present sentó ó el estu studio teór teóric ico o sobre bre las tra$ectorias de mínimo consumo de combustible combustible entre dos órbitas (artos, 8332). Curante el periodo de posguerra, las dos superpotencias, stados Unidos $ la Unión 'oviética, dan comienzo a la 7uerra 5ría, iniciando una carrera armamentista, que llegó llegó a disput disputars arse e en el espa espacio cio exter exterior ior como como punto punto estrat estratég égico ico para para ataqu ataques es nuc nuclear leares esDD la deno denomi mina nada da carr carrer era a espa espaci cial al,, crea creand ndo o los los misi misile les s balí balíst stic icos os intercontinentales (E+A por sus siglas en inglés). Cespués de la 7uerra 5ría, el espa espaci cio o ultr ultrat ater erre rest stre re es util utiliz izad ado o por por las las agen agenci cias as espa espaci cial ales es,, indu indust stri rias as e instituc institucione iones s educat educativas ivas alreded alrededor or del mundo mundo para para investi investigac gacione iones s del ambiente ambiente espacial con sondas, estaciones espaciales, satélites, telescopios espaciales, naves espacial espaciales, es, comunica comunicacio ciones nes con transmis transmisión ión de seales seales de televisi televisión, ón, tele#oní tele#onía, a, Enternet a distintas partes del mundo, entre muchos otros usos.
II.
COHETES EN LATINOAMÉRICA 2
CÁLCULO II
n &atinoamérica se cuenta con la principal plata#orma de lanzamiento ubicada en la 7u$ana 5rancesa de la
III.
COHETES EN PERÚ l inventor del motor de propulsión de combustible líquido (/02:) $ del primer sistema moderno de propulsión para cohetes (/233), #ue el peruano edro aulet. l descubrió las venta"as del combustible líquido para la propulsión de los cohetes $ diseo, constru$o $ probo con éxito el primer motor cohete de combustible liquido conocido en la historia. edro aulet nació en rdGa$ H I=istoria undial de la
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de #uerza, $ agrega Ipor este hecho, aulet debe ser considerado como el pionero del motor a propulsión con combustible líquidoK.
1. LANZAMIENTO DE COHETES EN EL PERÚ Paulet I #ue el primer cohete sonda lanzado por el er%. 5ue lanzado desde la base de la 5<, en ucusana , al sur de &ima el 8; de diciembre de 833;. l alcance del cohete es de 1:3 '. &leva su nombre en honor al pionero peruano de la astronáutica $ la era espacial edro aulet., a la #echa $a se lanzaron 34 cohetes por la +omisión !acional para la Envestigación $ el Cesarrollo
aulet E (833;) aulet E9 (8332) aulet E9A (83/4)
a. Caracterít!ca "r!#c!"ale $el C%&ete Paulet I
&ongitud *otalD 8B43 mm. Ciámetro exteriorD 83; mm. eso de combustibleD ;1 Lg. eso *otalD 22 Lg. +arga %tilD : Lg.
'. O'(et!)% •
•
•
l ob"etico principal de los cohetes es el estudio $ medición de la capa de ozono $ me"oramiento de las telecomunicaciones. l estudio de del cohete sonda
c%&ete $e la Naa - $e la Ae#c!a E"ac!al /e$eral Rua. 4
CÁLCULO II
IV.
TIPOS DE COHETES n cuanto al tipo de combustible usado, existen dos tipos de coheteD
+ohete de combustible líquidoD n que el propelente $ el oxidante están almacenados en tanques #uera de la cámara de combustión $ son bombeados $ mezclados en la cámara donde entran en combustión. +ohete de combustible sólido 9 en que ambos, propelente $ oxidante, están $a mezclados en la cámara de combustión en estado n cuanto al n%mero de #ases, un cohete puede serD +ohete de una #ase 9 en este caso el cohete es JmonolíticoJ. +ohete de m%ltiples #ases 9 posee m%ltiples #ases que van entrando en combustión secuencialmente $ van siendo descartados cuando el combustible se agota, permitiendo aumentar la capacidad de carga del cohete.
A. COHETES DE VARIAS ETAPAS Un cohete es una clase de vehículo o de transporte (de ob"etos, instrumentos, explosivos, animales, personas, etc.) que utiliza uno o varios motores de propulsión a chorro. s decir que el principio #ísico que utiliza para impulsarse el cohete es arro"ar materia hacia atrás, como también hace un avión jet o un simple regador giratorio de "ardín que expulsa agua en todas las direcciones. 'in embargo, las ecuaciones que rigen el movimiento del cohete (con las que se determina su velocidad, tra$ectoria $ alcance), son mu$ di#erentes, $a que el cohete no utiliza alas para guiarse, ni está su"eto a un e"e de rotación. ientras el cohete se ale"a o se mueve rozando la atmós#era ba"o la in#luencia gravitatoria de &a *ierra, o mientras via"a en el espacio interestelar, va perdiendo masa. Un cohete de varias etapas es un cohete cu$a estructura está #ragmentada en partes o JetapasJ, cada una con motores de propulsión a chorro, combustible $ oxidante, con propulsión independiente del resto. l extraordinario cohete de tres etapas Saturno V #ue desarrollado por la National Aeronautics and Space Administration (!<'<) para el rograma spacial
A.
0ENE/ICIOS DE VARIAS ETAPAS *ener varias etapas sirve para alcanzar velocidades ma$ores $ por lo tanto
5
CÁLCULO II
llegar más le"os. ste es el caso del Saturno V , cu$a réplica auténtica se observa en la siguiente #otogra#ía. &as tres marcas negras superiores, indican la zona superior (o #inal) de cada etapa
+. PROPULSIÓN CARACTER2STICAS DE LA ETAPA DEL COHETE
SATURNO V
&a secuencia de encendido, duración de cada motor, #orma de
separación, etc.
La "r!3era eta"a, de 44 pies (/3.3; m) de diámetro, tuvo : motores 59/ con -erosene $ oxígeno líquido, obteniendo un total de B.; millones de libras (unas 411B toneladas) de empu"e. l empu"e de esta etapa dura 8.: min, alcanzando una altura de 6
CÁLCULO II
;/ -m, una velocidad de 0;33 -mMh $ una aceleración de 1 g (42 mMs8), con 8 millones de -g de propulsor. &a separación se produce a los ;8 -m de altura, $ sigue subiendo hasta los //3 -m, cuando empieza su caída al >céano
La eu#$a eta"a tuvo : motores N98 con hidrógeno líquido $ oxígeno líquido, con /./:: millones de libras (:84.2 tn) de empu"e total. &a duración del empu"e de esta etapa es ; min, alcanzando /0: -m de altura $ una velocidad de 81;33 -mMh, casi la velocidad orbital. 5inalmente cae a unos 1833 -m de la plata#orma.
La tercera eta"a, con 8/.B pies (;.;/1 m) de diámetro, tuvo / motor N98 con hidrógeno líquido $ oxígeno líquido, alcanzando 3.830818 millones de libras (21.1; tn) de empu"e, cu$a duración total es de unos 8.: min. n esta %ltima tercera etapa iba la unidad de instrumentos (con el equipo de JnavegaciónJ o guiado). l correspondiente módulo
V.
PROPELENTE COM0USTI0LE l motor cohete es un con"unto de dispositivos que con#orman un sistema de propulsión. 'u ma$or característica es que la masa propulsada como #uente de energía cinética se encuentra auto contenida en #orma de energía química, siendo capaz de proporcionar la #uerza de empu"e necesaria para generar un movimiento opuesto a la salida de los gases de escape mediante el principio #ísico de la tercera le$ de !eGton, acción $ reacciónD I< toda acción corresponde una reacción igual $ en sentido contrarioK. sta le$ es equivalente al rincipio de +onservación de momento para un sistema de partículas aislado, en este caso el sistema lo con#orman el cohete, $ los gases expulsados. n el motor cohete químico de propelente sólido (' H 'olid roc-et motor) el propulsante (molécula mezcla de parte oxidante $ combustible) está #ormado por granos o bloques su"etos a la estructura del motor cohete o a la cámara de combustión, $ generando las siguientes características en el motorD
O
CÁLCULO II
O *ienen una alta #iabilidad de #uncionamiento. l sistema motor cohete de propelente solido se encuentra con#ormado por un con"unto de piezas que permiten su rendimiento $ óptimo #uncionamiento, como de observa en la #igura a continuaciónD
l
propelente es la mezcla química entre el oxidante $ el combustible. 'u creación surge mediante di#erentes procesos químicos, para dar como resultado un bloque compacto que contiene la energía química necesaria, que luego será trans#ormada por la ignición en energía cinética, proporcionando la velocidad necesaria de los gases de escape. n este tipo de cargas o combustibles, se puede variar la #orma geometría del área expuesta, aumentado o disminu$endo la super#icie de quemado, lo que permite modi#icar las presiones $ tiempos de quemado del propelente, de allí que el propulsor tiene una #orma característica dependiendo de la misión del motor cohete. &a cámara de combustión es el lugar donde se almacena el propelente solido, $ ocurre la ignición del mismo, expandiendo sus gases $ haciendo que esta zona soporte las cargas $ #uerzas producto de la combustión. or %ltimo la tobera es el ducto propulsivo, donde los gases a ba"a velocidad son comprimidos en la zona convergente para aumentar su velocidad $ luego expandirse al ambiente en la zona divergente de la tobera, adquiriendo velocidades en regímenes supersónicos e hipersónicos característicos de estos motores a reacción que producen grandes #uerzas de empu"e.
SELECCIÓN DEL PROPELENTE &a mezcla del propelente es seleccionada de acuerdo con el ma$or impulso especí#ico que pueda desarrollar, este es el #actor primordial de diseo debido a que relaciona la #uerza de empu"e de un motor cohete en #unción del #lu"o másico del propelente $ la gravedad como se observa en la siguiente ecuaciónD 8
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Conde los términos ( Isp) representan el impulso especí#ico del propelente en segundos, ( F ) la #uerza de empu"e ideal. ( g ) la constante de gravedad en la super#icie de la tierra, ( ) el #lu"o másico de los gases en el motor cohete, $ (Ve) la velocidad de salida de los gases de escape en la tobera. l impulso especí#ico es determinado por la temperatura $ la masa molecular del propelente, entre ma$or sea el impulso especí#ico del propelente tiene ma$or energía química para trans#ormarla en energía cinética, que de acuerdo con la misión es seleccionada en #unción del empu"e o la velocidad a desarrollar como en este caso. 'e observan los di#erentes tipos de propelente sólidos más comunes en la industria espacial, $ se comparan en la tabla siguiente para seleccionar el de ma$or impulso.
VI.
/UNCIONAMIENTO /ÓRMULAS 04SICAS *siol-ovs-i de#inió que los vehículos de transporte espacial adquieren la energía necesaria para su movimiento a partir de un sistema de motores cohete, los cuales permiten el desarrollo de grandes velocidades con la trans#ormación de la energía química de sus propelentes en energía cinética de gases de escape mediante el direccionamiento en un ducto propulsivo (tobera). &a expulsión de una cantidad signi#icativa de masa en poco tiempo (#lu"o másico) es lo que hace posible que los cohetes generen altas velocidades, acompaadas de #uerzas de empu"e, pero limitados a causa del poco tiempo que dura la combustión (=umble, =enr$ P &arson, /22:). &a ecuación que relaciona la masa $ la velocidad del sistema con su cantidad de movimiento lineal esD
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Conde mom es el momentum lineal del sistema, m la masa $ @ la velocidad. Cerivando esta ecuación respecto al tiempo se obtieneD
Cando como resultado que 5m es la #uerza de empu"e generada por el cambio del momentum del cohete respecto al tiempo, o el producto de la variación de masas dmQdt por la velocidad de salida de los gases respecto al vehículo representada por ve. n otras palabras, el movimiento del cohete en una dimensión, sin considerar #uerzas externas (es decir, un cohete ideal) $ en #unción de la #uerza de empu"e se puede expresar comoD
'iendo m el #lu"o másico de los gases (tasa de salida de material e$ectado por unidad de tiempo), Esp Q veQgo el impulso especí#ico de los mismos $ g3 la aceleración de la gravedad en la super#icie de la *ierra. l cambio de velocidad del cohete en el vacío depende entonces de la velocidad de expulsión de los gases $ la pérdida de masa respecto al tiempoD
n la #igura se observa la dirección de los vectores velocidad del cohete @ opuesto al vector velocidad de los gases de escape en la tobera veD
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CÁLCULO II
@elocidades del +ohete Entegrando la ecuación en límites de la masa inicial del cohete mi $ la masa #inal m# , para velocidades correspondientes a @i $ @# , tenemosD
donde la velocidad #inal @# depende de la #racción de masa consumida, o la relación entre la masa inicial $ la masa #inal (=umble, =enr$ P &arson, /22:).
LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO ara modelar adecuadamente el movimiento del cohete se hace necesario comprender los parámetros #ísicos $ matemáticos que lo regulan de la manera más aproximada posible. or tal motivo, lo primero es entender el medio donde se está desplazando el vehículo, el .ruido atmos#érico $ sus variaciones en #unción de la altitud debido a que genera las #uerzas aerodinámicas sobre el cuerpo del cohete que serán considerables para el análisis de la tra$ectoria de vuelo. *ambién se hace necesario conocer las variaciones gravitacionales en #unción de la ubicación sobre la super.cie de la *ierra así como su altitudR con ello se conoce la componente de la #uerza de peso para cada instante de tiempo considerando el cohete como un sistema de masa variable. ara conocer la ubicación del cohete se hace necesario establecer sistemas de re#erencia para .#i"ar la posición del vehículo respecto al centro de masas de la *ierra, durante su ascenso $ vuelo orbital. < lo largo de este capítulo se describen las ecuaciones que rigen el movimiento del cohete teniendo en cuenta los parámetros mencionados anteriormente.
MODELO ATMOS/ÉRICO Curante el ascenso del cohete a órbita es necesario que el vehículo atraviese la atmós#era del planeta *ierra. n esta etapa de vuelo sobre el cuerpo se generan cargas aerodinámicas productos de la presión dinámica, $ la densidad atmos#éricaR en otras palabras, el .ru!$% at3%+5r!c% e#era
+uer,a aer%$!#63!ca %'re el cuer"% c%3% el arratre - la 11
CÁLCULO II
ute#tac!7#. ara modelar matemáticamente esas #uerzas que a#ectan la dinámica de la tra$ectoria de vuelo, se hace necesario incluir un modelo de la atmós#era terrestre para conocer las condiciones #ísicas del .ruido como la densidad, presión $ temperatura en #unción de la altitud geométrica. xisten varios modelos matemáticos para el modelamiento de la atmós#era terrestre que han sido creados a lo largo de los aos, tales comoD • • • • • •
•
VII.
la U' 'tandard (Enternational +ivil rganization). <C+ (<+E) es el E'< con límites de datos hasta los 48 -m $ el modelo completo hasta los 23 -m de altitud (
OPTIMIZACIÓN l proceso de optimización del cohete se encarga de disminuir la cantidad de masa total en #unción del combustible, relacionando la masa estructural deD las etapas $ n%mero de etapas del vehículo, con la velocidad de los gases $ el impulso especí#ico del propelente de cada etapa. s posible, mediante un proceso iterativo, obtener los parámetros de masas en las etapas del cohete, respecto a la masa de la carga %til en el lanzamiento. 'eg%n los parámetros de con#iguración a nivel +olombia $ la misión, el impulso especi#ico Esp/ para propelente sólidos que actualmente se desarrollan en el país por las industrias militares es del orden de 883 s8 . Cebido al escaso desarrollo de propelente químicos en el país, este se toma como un estándar para impulso especí.co de todas las etapas Esp-. artiendo de la ecuación #undamental del movimiento del cohete S que depende de los gases de escape de la etapa ve- $ la relación de masas iniciales m3- con la .#inal m#-, donde el subíndice - indica el n%mero de etapas a analizar (Loelle, /2;/R *eGari, 833;), se obtieneD
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CÁLCULO II
'i se reemplazan las masas por los #actores de carga estructural S-, el #actor de relación de masas iniciales $ .#inales S-, se encuentra que la ecuación anterior queda de la #ormaD
'iendo ms- la masa estructural de la etapa $ m prop- la masa del propelente químico.
ara este caso T - representa la relación de velocidades de escape, * la relación entre la carga paga o carga %til mpa$ (masa a transportar) con la masa inicial total del vehículo m i/ (&a.eur, 5leming P 'aleh, 83/8). >ptimización del cohete portador ara el caso de estudio se calcula una velocidad neta a desarrollar por el cohete ideal de 2RB -mMs, debido a que este valor se reduce por la in#luencia de la gravedad $ arrastre atmos#érico de"ando una 13
CÁLCULO II
velocidad neta (orbital) del orden de los B.B -mMs (*eGari, 833B). 'e comparan datos estadísticos de otros cohetes lanzadores para órbitas ba"as determinado el #actor de masa estructural S- Q 3R/ que sería el peor episodio posible en las tres etapas, es decir, el cohete más pesado estructuralmente, $ los S Q / porque todas las etapas tienen el mismo propelente e impulso especí.co (=umble, =enr$ P &arson, /22:). &os resultados obtenidos del proceso iterativo del código de optimización se presentan en la tabla a continuación.
+on las masas halladas en el código de optimización se procede a realizar un diseo conceptual del cohete portador seg%n las líneas base que se a"usten a nivel mundial con los requerimientos de este cohete, como el n%mero de etapas $ la masa de la carga %til, obteniendo las dimensiones aproximadas para realizar el cálculo aerodinámico e incluir estos datos de rendimiento en el código de tra$ectoria de vuelo. < partir de una línea base (cohetes construidos a nivel mundial con las mismas o similares características) se puede determinar estadísticamente las dimensiones del cohete. +on ellas se estima el rendimiento aerodinámico $ con la selección de lugares de lanzamiento en el código se puede obtener una aproximación del comportamiento real del cohete (=umble, =enr$ P &arson, /22:). @EEE.
RENDIMIENTO DE LOS MOTORES COHETE l primer parámetro que depende de las masas es la relación con la #uerza de empu"e a desarrollar por los motores cohete de cada etapa. ara ello se identi#icar la relación empu"eMpeso (*Q?) en el momento del encendido del motor de los cohetes históricos o líneas bases (=umble, =enr$ P &arson, /22:R 'utton P caso que nos ocupa se selecciona el valor medio de /R4. n los motores de etapas superiores $ de posicionamiento orbital el valor es in#erior a /R3.
CÁLCULO II
Una de las venta"as tecnológicas de realizar un cohete portador de varias etapas es que la estructura de las dos primeras etapas puede ser recuperada mediante paracaídas una vez consumido el propelente, para ser reutilizada en otro lanzamiento, mientras que la estructura de la etapa superior puede quedar en órbita ba"a para luego reingresar a la atmós#era terrestre donde se desintegra por e#ectos de la #ricción $ las altas temperaturas que se generan.
n la tabla anterior se muestra la comparación de las principales propiedades del cohete colombiano (caso de re#erencia) con otros cohetes de la misma categoría (líneas bases), es decir, que sean de propelentes sólidos $ transporten cargas %tiles a órbitas ba"as de la tierra (=umble, =enr$ P &arson, /22:). +on esta comparación se busca determinar cuales son las venta"as del sistema lanzador desarrollado #rente a otros que existen en el mercado mundial de países como Arasil, stados Unidos, 5rancia e Endia. 'e puede observar que una de las venta"as del cohete es el hecho que solo tiene tres etapas #rente a los demás cohetes que son de cuatro etapas, pero a su vez esto aumenta la masa total del lanzador porque debe suministrar el cambio de masas necesario para generar la velocidad orbital seg%n la ecuación del cohete ideal (ecuación ;). stos cohetes son diseados para el transporte de satélites mini a excepción del @ega 5rancés $ el inotauro estadounidense (@ought, /203R Aotb$l, /224). l cohete propuesto para el caso de estudio cumple con los requerimientos de los demás sistemas portadores a nivel mundial $ de la región como es el caso de Arasil, para el transporte de cargas %tiles a órbitas ba"as. 15
CÁLCULO II
I8.
CASOS PR4CTICOS xaminaremos ahora, el movimiento de un cohete que es lanzado verticalmente desde la super#icie de la *ierra. 'upondremos que se trata de un cohete pequeo, que alcanza una altura limitada. odemos considerar que la intensidad de la gravedad g es aproximadamente constante e igual a 2.0 mMs8.
Cesde que se lanza hasta que agota el combustible Cesde el momento en el que agota el combustible, hasta que alcanza la máxima altura. +onsideremos un cohete que en el instante t, tiene una masa m que lleva una velocidad v respecto a un 'istema de e#erencia Enercial (por e"emplo, la *ierra). n el instante t, el cohete de masa m lleva una velocidad v. l momento lineal es p(t)Qmv n el instante tVWt •
•
l cohete tiene una masa m- W μ , su velocidad es ! W . &a masa expulsada W μ lleva una velocidad "u respecto del cohete o una velocidad "uV , respecto de *ierra
l momento lineal en este instante es p(t! Wt )#(m- W μ )(! W )! W μ (HuV ! W )
l cambio de momento lineal entre los instantes t $ t! Wt es W p# p(t! Wt )- p$t%#m& W- u& W μ- W μ& W n el límite cuando W t'3
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CÁLCULO II
l cambio de momento lineal se debe a la acción de las #uerzas exteriores al sistema (la #uerza de atracción gravitatoria, que apunta en sentido contrario al momento lineal).
or otra parte, la masa M del sistema #ormado por el cohete m $ el combustible expulsado μ es constante M#μ!m, por lo que dμ!dmQ3. &a masa del cohete disminu$e en dm $ aumenta la masa del combustible expulsado en la misma cantidad. &a ecuación del movimiento del cohete se escribe
'uponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, (, es constante, (#-dm)dt* &a masa m del cohete en el instante t valdrá m#m+ (&t* Conde m+ es la suma de la carga %til más el combustible inicial, $ (&t es el combustible quemado al cabo de un cierto tiempo t*
Un cohete puede considerarse una partícula de masa variable m sometida a dos #uerzas de la misma dirección pero de sentidos contrariosD el empu"e de los gases u( $ el peso mg* +omo caso particular, mencionaremos que en el espacio exterior el peso mg vale cero, $ sobre el cohete actuaría %nicamente la #uerza de empu"e que le proporciona la expulsión de los gases al quemarse el combustible. &a ecuación anterior la podemos escribir
Fue se puede integrar de #orma inmediata
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CÁLCULO II
obteniéndose la expresión de la velocidad en #unción del tiempo
@olviendo a integrar
'e obtiene la posición , del móvil en cualquier instante t .
E(e3"l% El e3"u(e e 3a-%r *ue "e%
+ombustible total en el cohete, /.3 -g
+arga %til que transporta, 8.3 -g
+ombustible quemado por segundo, CQ3./ -gMs
@elocidad de salida de los gases u+ Q/333 mMs
'e considera despreciable la masa del recipiente que contiene el combustible 5uerzas sobre el cohete asa total del coheteQcarga %tilVcombustible m+ Q8.3V/.3Q4.3 -g
l peso del cohete m+ Xg (82.1 !) es menor que el empu"e u&( (/33 !) 8. *iempo que tarda en agotarse el combustible
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CÁLCULO II
+omo ha$ /.3 -g de combustible que se queman a razón de 3./ -gMs. &uego, el combustible se agota en el instante t +Q /3 s. 4. @elocidad máxima alcanzada por el cohete
1.
:. Una vez que ha agotado el combustible, el cohete prosigue su movimiento hasta que alcanza la máxima altura. &as ecuaciones del movimiento son
Conde , +, + es la posición, velocidad del cohete en el instante t + en el que se ha agotado el combustible. &a altura máxima se alcanza cuando Q3, en el instante t Q1/.1 s. &a posición del cohete en dicho instante es , Q;884 m.
El e3"u(e e 3e#%r *ue "e%
19
•
+ombustible total en el cohete, 8.3 -g
•
+arga %til que transporta, 2.3 -g
•
+ombustible quemado por segundo, (Q3./ -gMs
•
@elocidad de salida de los gases u+ Q/333 mMs
CÁLCULO II
'e considera despreciable la masa del recipiente que contiene el combustible /. 5uerzas sobre el cohete l peso del cohete (8.3V2.3)X2.0Q/3B.0 ! es ma$or que el empu"e u&(Q/333X3./Q/33 ! 'e va quemando el combustible sin que se mueva el cohete hasta el momento en el que el peso se iguala al empu"e. (c V2)X2.0Q/33 +uando el combustible c Q/.831 -g el cohete empieza a elevarse. 'e han desperdiciado 89/.831Q3.B2; -g de combustible. 8. asa inicial del cohete al despegue m+ #/.831V2.3Q/3.831 -g
4. *iempo que tarda en agotarse el combustible +omo ha$ /.831 -g de combustible que se queman a razón de 3./ -gMs. &uego, el combustible se agota en /8.31 s. 1. @elocidad máxima alcanzada por el cohete
:.
;. *iempo que tarda en alcanzar la máxima altura 3QB.:;92.0( t 9/8.31) t Q/8.0 s 20
CÁLCULO II
osición del cohete en dicho instante , Q82.;8VB.:;X3.BB91.2X3.BB 8Q48.: m
"ercicio Un cohete de masa total , de la cual # , con # menor que uno, es de combustible, descansa verticalmente antes de encender los motores. 'i se encienden los motores, que arro"an masa a razón constante Y (Y Q ZdmMdt) con rapidez relativa al cohete de magnitud U3, establezca la condición que debe cumplirse para que el cohete comience a despegar de inmediato. ara este caso, determine la máxima altura que alcanza, suponiendo aceleración de gravedad constante $ despreciando el roce con el aire.
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CÁLCULO II
8.
8I.
CONCLUSIONES
er% tiene la dicha de tener a edro aulet como pionero de la astronomía a nivel mundial, pero es una pena que tales investigaciones no se ha$an continuado ni aprovechado en el er%.
< nivel de &atinoamérica Arasil lidera en tecnología $ conocimientos en relación a la astronomía.
stados Unidos $ usia son países que encabezan el avance tecnológico $ conocimiento en tema de los cohetes.
stados Unidos comenzó el estudio de la astronomía mas pro#undidad , lanzando varios cohetes para la medición de parámetros #ísicos $ sus variaciones con respecto a la altura. er% a la #echa solo lanzo 34 cohetes similares.
'e utilizan cohetes de di#erentes #ases para alcanzar ma$ores distancias, generalmente las estructuras de las primeras etapas se pueden reutilizar.
&a a$oría de los cohetes lanzados con éxito al espacio son de tres etapas.
&a expulsión de una cantidad signi#icativa de masa en poco tiempo (#lu"o másico) es lo que hace posible que los cohetes generen altas velocidades, acompaadas de #uerzas de empu"e, pero limitados a causa del poco tiempo que dura la combustión
'e utilizan varios modelos matemáticos para el modelamiento de la atmós#era terrestre que han sido creados a lo largo de los aos, siendo el mas reciente $ avanzado el modelo de la !<'< arth 7ram 83/3/.
l proceso de optimización del cohete se encarga de disminuir la cantidad de masa total en #unción del combustible, relacionando la masa estructural deD las etapas $ n%mero de etapas del vehículo, con la velocidad de los gases $ el impulso especí#ico del propelente de cada etapa.
&a multiplicada de &a7range es un apo$o para la optimización del cohete.
&os cálculos para la optimización generalmente son realizados por programas computacionales. Cebido a que se mane"an diversos datos de dinámica $ aerodinámica por e"emplo.
&a me"or #orma de optimizar el combustible en relación al peso $ carga neta para llevar un cohete, es me"orar la e#iciencia del combustible en relación de tener altas #uerzas de empu"e en pequeos tiempos de actuación. .
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CÁLCULO II
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