Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUC/RS Faculdade de Engenharia – FENG Curso de Arquitetura Prof. Jairo José de Oliveira Andrade Data: 29/9/2008
MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO – GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Uma barra com diâmetro igual a 1,25 cm suporta uma carga de 6500 kgf. Qual a tensão atuante na barra? Se o material da barra possui um módulo de elasticidade igual a 21000 2 kgf/mm , qual a deformação que a barra sofre ao ser solicitada pela carga de 6500 kgf?
R.: σ= σ=
F
=
A
6500 122,72
=
52,97 kgf mm 2
E⋅ε
52,97 = 21000 ⋅ ε ε=
0,0025 = 0,25% 2
2) Uma liga de cobre possui um módulo de elasticidade de 11000 kgf/mm , um limite de 2 2 escoamento de 33,6 kgf/mm e um limite de resistência de 35,7 kgf/mm . (a) Qual a tensão necessária para aumentar em 0,15 cm o comprimento de uma barra de 3 m? (b) Que diâmetro deve ter uma barra desta liga para que a mesma suporte uma carga de 2300 kgf sem deformação permanente?
R.: ε=
Δl
=
l0 σ=
1,5
=
3000
σ=
0,0005
F A
E⋅ε
33,6 =
σ = 11000 ⋅ 0,0005 = 5,5 kgf
mm 2
2300 A
A = 68,45mm 2 ∴ d = 9,33mm
3) Uma barra de aço de seção retangular (0,6 x 1,25 cm) com 300 m de comprimento suporta uma carga máxima de 7600 kgf sem deformação permanente. (a) Qual o limite de elasticidade da barra? (b) Determine o comprimento final da barra solicitada por esta carga, sabendo que o 2 módulo de elasticidade do aço é igual a 21000 kgf/mm .
R.: σ=
E⋅ε
101,33 = 21000 ⋅ ε σ=
σ=
F
ε=
A 7600
ε=
75
= 101,33 kgf
mm 2
0,0048 Δl
l0 0,0048 =
Δl
300 Δl = 1,44m
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O comprimento final da barra é de 301,44m. 4) Uma liga de alumínio possui um módulo de elasticidade de 7000 kgf/mm 2 e um limite de 2 escoamento de 28 kgf/mm . (a) Qual a carga máxima que pode ser suportada por um fio de 0,275 cm de diâmetro sem deformação permanente? (b) Admitindo-se que um fio desse diâmetro com 30 m de comprimento esteja sendo solicitado por uma carga de 44 kgf, qual o aumento total no comprimento do mesmo?
R.: A = 5,94 mm2 σ=
F
σ=
σ=
A 28 =
F
σ=
5,94
F
7,4 = 7000 ⋅ ε
A 44
ε= ε=
5,94
F = 166,32kgf
σ=
E⋅ε 0,0011 Δl
l0
7,4kgf
0,0011 =
Δl
30 Δl = 0,0317 m = 3,17cm
5) Uma barra de aço com 100 mm de comprimento e que possui uma seção reta quadrada com 20 mm de aresta é puxada em tração com uma carga de 89000 N e apresenta um alongamento de 0,1 mm. Admitindo que a deformação seja inteiramente elástica, calcule o módulo de elasticidade do aço.
R.: A = 20 x 20 = 400mm
2
F = 89000 N = 9078 kgf
σ=
ε=
F A Δl l0
=
=
9078 400 0,1
=
100
=
22,69 kgf mm 2
σ=
E⋅ε
22,69 = E ⋅ 0,001 0,001
E = 22690 kgf mm 2
6) Para uma liga de bronze, a tensão na qual a deformação plástica tem início é de 275 MPa e o módulo de elasticidade é de 115 GPa. Qual a carga máxima que pode ser aplicada a um corpo-de-prova com área da seção reta de 325 2 mm sem que ocorra deformação plástica? Se o comprimento original do corpo-de-prova é de 115 mm, qual é o comprimento máximo para o qual ele pode ser esticado sem que haja deformação plástica?
R.: 275 MPa = 2805 kgf/cm 2 = 28,05 kgf/mm2 E = 115 GPa = 115000 MPa = 1173000 kgf/cm 2 = 11730 kgf/mm 2 σ =
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUC/RS Faculdade de Engenharia – FENG σ= σ=
F A
→
28,05 =
F 325
∴ F = 9116,25kgf
E⋅ε
ε=
l0
28,05 = 11730 ⋅ ε ε=
0,0024
Δl
0,0024 =
Δl
115
∴ Δl = 0, 275mm
Assim, o corpo de prova pode ser esticado até um comprimento máximo de 115,275 mm.
7) Uma liga de latão é conhecida por possuir um limite de elasticidade de 275 MPa, um limite de resistência à tração de 380 MPa e um módulo de elasticidade de 103 GPa. Um corpo-de-prova cilíndrico dessa liga, com 39,89 mm de perímetro e 250 mm de comprimento é tracionado. Encontrou-se que seu alongamento é de 7,6 mm. Com base na informação dada, é possível calcular a magnitude da carga necessária para produzir essa alteração no comprimento? Caso isso seja possível, calcule essa carga. Caso contrário, explique o porquê.
R.:
P = 2πr
∴
r = 6,35 mm
→ A
= 126,67 mm
2
σ =
2
2
275 MPa = 2805 kgf/cm = 28,05 kgf/mm 2 2 E = 103 GPa = 103000 MPa = 1050600 kgf/cm = 10506 kgf/mm Calculando a deformação máxima até o limite de elasticidade: σ=
E⋅ε
ε=
l0
28,05 = 10506 ⋅ ε ε = 0,0027
Δl
0,0027 =
Δl
∴ Δl = 0,675mm 250 Admitindo o alongamento apresentado, a deformação que o corpo-de-prova sofreu foi igual a:
ε=
Δl
l0 ε=
7,6
250 ε = 0,03 Como ele alongou além da deformação na fase elástica (plastificou), não pode-se empregar a lei de Hooke para calcular a carga necessária para atingir a deformação de 7,6 mm, pois ela só é valida para deformações até 0,675 mm. Graficamente tem-se que:
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σ
k f/mm2
???? Limite de elasticidade = 28,05
0,27
3
ε
%
8) Um bastão cilíndrico com 320 mm de comprimento e diâmetro de 12 mm deve ser submetido a uma carga de tração. Se o bastão não deve experimentar deformação plástica ou um alongamento de 0,9 mm quando a carga aplicada for de 24200 N, qual dos quatro metais ou ligas listados abaixo são possíveis candidatos? Justifique a sua resposta. Material Liga de alumínio Liga de latão Cobre Liga de aço
Módulo de elasticidade (GPa) 70 100 110 207
Limite de escoamento (MPa) 255 235 250 450
Limite de resistência à tração (MPa) 420 420 290 550
R.: Material
Módulo de elasticidade 2 (kgf/mm ) 7140 10200 11220 21114
Liga de alumínio Liga de latão Cobre Liga de aço
Limite de escoamento 2 (kgf/mm ) 26,01 23,97 25,50 45,90
Limite de resistência à tração (MPa) 420 420 290 550
d = 2r ∴ r = 6 mm → A = 113,097 mm 2 F = 24200 N = 2468,4 kgf σ=
F A
ε=
24,68,4 113,097
∴σ =
21,82kgf / mm 2
Δl
l0 ε=
=
0,9
320 ε = 0,0028
σ=
E⋅ε
21,82 = E ⋅ 0,0028 E = 7758,22 kgf mm 2
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Para este caso específico, devemos escolher um material que apresente um valor do 2 limite de escoamento superior à 21,28 kgf/mm e um módulo de elasticidade superior à 7758 kgf/mm2 simultaneamente. Comparando os resultados com a tabela acima, conclui-se que todos os materiais podem ser empregados nesse caso específico, pois seus valores de σe e E são superiores aos exigidos. 9) Uma carga de 450 kgf quando aplicada em um fio de aço com 240 cm de comprimento e 0,16 2 cm de área da seção transversal provoca uma deformação elástica de 0,3 cm. Calcule (a) a tensão, (b) a deformação e (c) o valor do módulo de Young.
R.:
ε=
Δl
l0 σ=
F A
=
450 0,16
∴σ =
2812,5kgf / cm 2
Dados: 1 N = 0,102 kgf 1 MPa = 1 N/mm 2 = 10,2 kgf/cm2 3 1 GPa = 10 MPa
ε=
0,3
240 ε = 0,0013
σ=
E⋅ε
2812,5 = E ⋅ 0,0013 E = 2163461,53 kgf cm 2
