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Análisis de Vibraciones Vibraciones
Los desarrollos aquí presentados están orientados al trabajo de ingenieros estructurales, estructurales, y tratan el tema de la manera más simple que sea posible, sin caer por ello en resultados no aplicables en la práctica.
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Fundaciones para Maquinas Vibratorias Las fundaciones que soportan maquinas vibratorias vibratorias deben ser diseñadas diseñadas para soportar las condiciones dinámicas que los equipos inducen de forma que se pueda operar de manera segura. Entre estas condiciones se encuentran las amplitudes de vibración, velocidades, aceleraciones, factores de magnificación y transmisibilidad de los efectos, etc. Estas condiciones deben ser chequeadas para cada uno de los modos de vibrar aplicables al sistema. Al hablar de fundaciones con maquinas rígidamente ancladas a ellas, tenemos los siguientes modos fundamentales: Traslación horizontal (comúnmente en dos direcciones) Traslación vertical Cabeceo o Rocking (giro en torno a un eje horizontal en el sello de fundación) Torsional (giro en torno a un eje vertical) Acoplamiento entre los modos anteriores Además de los controles anteriores es necesario revisar efectos como fatiga en anclajes o en cualquier elemento que se vea expuesto a solicitaciones cíclicas.
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Existen básicamente dos tipos de caracterización de las fuerzas dinámicas para las máquinas vibratorias. Caso 1: La magnitud de la fuerza dinámica es constante. En este caso sólo se requieren como datos del equipo: la magnitud de la fuerza y su punto de aplicación, frecuencia de operación, peso del equipo y ubicación del centro de gravedad. Caso 2: La fuerza dinámica se genera por un desbalance de masas rotatorias (la magnitud de la fuerza depende de la frecuencia de operación). En este caso se requieren como datos del equipo: la magnitud de las masas desbalanceadas y su centro de giro, excentricidad de las mismas, frecuencia de operación, peso del equipo y ubicación del centro de gravedad. La meto metodo dolog logía ía de diseñ diseño o en ambo ambos s casos casos es idént idéntica ica,, no hay hay difer diferen encia cia en lo que que a caracterización del suelo y secuencia de cálculo se refiere, sólo para la evaluación final de la magnitud de amplitudes y fuerzas, el set de ecuaciones varía.
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Para Para el chequeo chequeo de los efecto efectos s de las máquin máquinas as vibrat vibratori orias as sobre sobre las fundaci fundacione ones s puede puede seguirse el siguiente procedimiento, a partir de las características del sistema: Datos de entrada: Suelo: lo:
Módulo ulo de Corte dinámico ico para ara baja ajas deformacio ciones y mód módulo ulo de Poisson.
Funda undaci ción ón::
Dimen imensi sion ones es y mate materi rial al..
Equi Equipo po::
Frec Frecue uenc ncia ias s de oper operac ació ión, n, peso pesos s y ubic ubicac ació ión n cent centro ros s de grav graved edad ad..
1 - Estimación de radios equivalentes, para zapatas rectangulares. 2 - Estimación de coeficientes de enterramiento para resortes equivalentes. 3 - Estimación de coeficientes de forma para resortes equivalentes, para zapatas rectangulares. 4 - Estimación de resortes equivalentes (horizontales, vertical, rocking, torsional). 5 - Estimación de coeficientes de enterramiento para amortiguamiento geométrico. 6 - Estimación de momentos de inercia y pesos para el sistema total (fundación + maquina) 7 - Estimación de razones de masas e inercias. 8 - Estimación de razones de amortiguamiento geométrico. 9 - Estimación de frecuencias naturales y razón de frecuencias (para cada dirección). 10 - Estimación de factor de magnificación dinámico, amplitud de respuestas dinámicas y factor de transmisibilidad de fuerzas (para cada dirección).
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Criterios de aceptación Gráfico de Richart (1970) El gráfico adjunto sugiere el nivel de percepción humana ante las vibraciones permanentes. Estos criterios de aceptación son los más ampliamente utilizados, pero no reemplazan a exigencias especiales de cada equipo o a verificaciones tensionales en el caso de estructuras de acero.
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Otros Criterios
Wiss 1981 El gráfico adjunto muestra una comparación entre el nivel de percepción humana a las vibraciones permanentes y transientes.
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El gráfico adjunto muestra un criterio general usado para la aceptación de la respuesta vibratoria de máquinas rotatorias.
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Baxter y Bernhard 1967 El gráfico adjunto muestra un criterio de clasificación del comportamiento de maquinaria vibratoria general.
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Recomendaciones para el diseño El centro de gravedad del equipo debe situarse en la misma vertical que el centro de gravedad de la fundación y el sello de fundación. Pueden aceptarse desviaciones de hasta 5%. La presión de contacto estática (ignorando el efecto dinámico) en el sello de fundación, no debe superar la mitad de la presión admisible del suelo. Los factores de magnificación deben ser menores que 1.5. La frecuencia de operación de la máquina debe separarse al menos un 20% de la frecuencia que produciría las máximas respuestas (resonancia). Para diseño de estructuras esta separación debe ser de un 50% o más. Los factores de transmisibilidad de las fuerzas dinámicas al suelo deben ser menores que 1.05. El efecto de acoplamiento entre el modo de traslación horizontal y el cabeceo puede ignorarse si se cumple la siguiente condición: 2 + f m2ϕ f mx
f, frecuencia de operación (Hz)
f mx f mϕ
≤
2 3 f
f mi, frecuencia de resonancia en la dirección correspondiente (Hz)
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En el caso de Fundaciones, WorleyParsons cuenta con una guía de diseño que ofrece procedimientos de evaluación del desempeño.
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En el caso de análisis de vibraciones para Fundaciones y Estructuras, una bibliografía muy recomendable es el libro “Design of Structures and Foundations for Vibrating Machines”. Este libro aborda el problema de las vibraciones desde el punto de vista de la ingeniería estructural, y no desde el punto de vista mecánico, que es como lo tratan la mayoría de las publicaciones. Se presentan metodologías análisis y criterios de aceptación.
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Módulo de corte G En líneas generales el módulo de corte G es el valor que mejor caracteriza a un tipo de suelo, ya que es principalmente con este dato con el que se evalúan todas las características mecánicas de un suelo que son requeridas para los diseños. El problema se presenta al reconocer la variabilidad de este valor, ya que depende del nivel de deformaciones con que se trabaje. Así, el Gmax o G0 corresponde a un nivel de deformación casi nulo, y el Gmin corresponde a deformaciones muy grandes. Cuando se evalúan deformaciones estáticas, o incluso asentamientos diferidos en el tiempo, tiende a utilizarse un valor intermedio de G, del orden de 0.5 G 0. Pero cuando se evalúa comportamiento vibratorio el objetivo mismo del diseño es que las amplitudes de deformación sean lo más pequeñas posibles, de manera que el valor adecuado de G para este tipo de cálculo es un valor cercano al G0, preferentemente no menor que 0.7 G 0.
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Amortiguamiento D Es importante precisar que el amortiguamiento total del sistema se compone de dos valores que tienen diferentes orígenes. Amortiguamiento geométrico: Es el que depende de la forma de la fundación principalmente. Se estima a través de la ecuaciones típicas. Amortiguamiento inherente: Es un v alor tradic ionalmente definido por la mecánica de s uelos. Se relaciona con las características propias del suelo y es independiente de las solicitaciones o forma de la fundación. El amortiguamiento total es la suma de estos dos valores. En general, el amortiguamiento geométrico resulta muy superior al amortiguamiento inherente, más aún cuando se corrige por efectos de enterramiento. Por esta razón y por lo complejo que resulta en ocasiones obtener este valor, es que en la práctica suele despreciarse el amortiguamiento inherente. La tabla siguiente sugiere algunos valores de amortiguamiento inherente para suelos típicos.
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La tabla siguiente sugiere algunos valores de amortiguamiento inherente para suelos típicos.
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Constantes de Resortes Equivalentes para Fundaciones Circulares y Rectangulares Rígidas en Medio de Boussinesq.
Mode of Vibration
Rectangular Footing
Circular Footing
Vertical
k z =
Horizontal
k x =
Rocking
1 −ν
⋅η z
32 ⋅ (1 −ν ) ⋅ G ⋅ r o
k ϕ =
Torsional
4 ⋅ G ⋅ r o
7 − 8ν 8 ⋅ G ⋅ r o3 3 ⋅ (1 −ν )
k θ =
k z =
⋅η x
⋅η ϕ
G 1 −ν
⋅ β z ⋅ BL ⋅η z
k x = 2 ⋅ (1 +ν ) ⋅ G ⋅ β x ⋅ BL ⋅η x
k ϕ =
G 1 − ν
⋅ β ϕ ⋅ B ⋅ L2 ⋅η ϕ
16 ⋅ G ⋅ r o3
-
3
L, dimensión horizontal de la fundación perpendicular al eje del cabeceo (rocking) B, dimensión horizontal de la fundación paralela al eje del cabeceo (rocking) G, Módulo de corte del suelo. Para análisis de vibraciones corresponde a un valor cercano a G0 ν, módulo de Poisson del suelo ηi, factor de enterramiento para estimación de resortes equivalentes βi, coeficiente de forma
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Coeficientes de corrección por enterramiento y radio equivalente para fundación rectangular.
ro for Rectangular Foundation
Coefficient
Vertical
BL
η z = 1 + 0.6 ⋅ (1 −ν )⋅ ( h r 0 )
Horizontal
BL
Mode of vibration
π
3
Rocking Torsional
η x = 1 + 0.55 ⋅ (2 − ν )⋅ ( h r 0 )
π BL 3π
η ϕ = 1 + 1.2 ⋅ (1 −ν ) ⋅ ( h r o ) + 0.2 ⋅ ( 2 −ν ) ⋅ ( h r 0 ) 3
BL ⋅ ( B 2 + L2 )
-
4
4
6π
L, dimensión horizontal de la fundación perpendicular al eje del cabeceo (rocking) B, dimensión horizontal de la fundación paralela al eje del cabeceo (rocking) h, enterramiento de la fundación (profundidad sello de fundación) ν, módulo de Poisson del suelo
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Coeficientes de forma para cálculo de constantes de resorte equivalente para fundación rectangular.
L, dimensión horizontal de la fundación perpendicular al eje del cabeceo (rocking) B, dimensión horizontal de la fundación paralela al eje del cabeceo (rocking)
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Razón de masas o Inercias y Razón de amortiguamiento geométrico.
Mode of Vibration Vertical
Mass (or Inertia) Ratio
B x =
Rocking
Bϕ =
Torsional
(1 −ν ) W ⋅ γ ⋅ r 03 4
D z =
7 − 8ν W ⋅ 32⋅ (1 −ν ) γ ⋅ r 03
D x =
B z =
Horizontal
Damping Ratio D
3 ⋅ (1 −ν ) I 0ϕ
⋅
8
Bθ =
5 0
ρ ⋅ r
I θ
ρ ⋅ r 05
ν, módulo de Poisson del suelo r 0, radio equivalente de la fundación γ , peso unitario aparente del suelo ρ, peso específico aparente del suelo ( ρ = γ /g ) W, Peso total del sistema (Wmaquina + Wfundación) I0ϕ, Inercia total del sistema en torno al eje de cabeceo (rocking) en el sello de fundación αi, factor de enterramiento para estimación del amortiguamiento
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Dϕ =
0.425 B z 0.288 B x
⋅α z ⋅α x
0.15⋅ α ϕ (1 + Bϕ ) ⋅ Bϕ
Dθ =
0.5 (1 + 2 ⋅ Bθ )
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Factor de corrección del amortiguamiento por efecto del enterramiento.
Mode of Vibration
Damping Ratio Embedment Factor 1 + 1.9 ⋅ (1 − ν ) ⋅ h
Vertical
α z =
1 + 1.9 ⋅ ( 2 −ν ) ⋅ h
Horizontal Rocking
α x =
α ϕ =
1 + 0.7 ⋅ (1 − ν ) ⋅ (h r 0 ) + 0.6 ⋅ (2 −ν ) ⋅ ( h r 0 ) 3
η ϕ
ηi, factor de enterramiento para estimación de resortes equivalentes
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Momentos de Inercia típicos.
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r 0
η x
r 0, radio equivalente de la fundación h, enterramiento de la fundación (profundidad sello de fundación) ν, módulo de Poisson del suelo
m, masa total del elemento ( m = W/g )
r 0
η z
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Resumen de expresiones para sistemas de un grado de libertad cc = 2 k m
Amortiguamiento crítico:
D = c
Razón de amortiguamiento: Frecuencia natural:
cc
[ Hz , cps] f n =
ω n = k
f D = f n 1 − D 2
Frecuencia amortiguada:
Razón de frecuencias:
[rad / s]
ω D = ω n 1 − D 2
1 − D 2
F 0 = cte
Desplazamiento estático:
m
2π D
Decremento logarítmico de la amplitud: δ = Amplitud de fuerza cíclica:
ω n 2π
∆ 0 = r =
o
F 0 = mi e ω 2
F 0 k
D
f D / f n
0,01
0,9999
0,02
0,9998
0,05
0,9987
0,10
0,9950
0,20
0,9798
0,40
0,9165
0,60
0,8000
f f n
k, rigidez (en giro, rigidez al giro)
Velocidad V = 2π f ∆ = ω ∆
m, masa total del sistema (en giro, inercia)
2
Aceleración A = 4π f 2 = ω
f, frecuencia de operación de la maquina ( ω, frecuencia angular) mi, masa desbalanceada en caso de maquina rotatoria e, excentricidad masa desbalanceada
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Expresión Factor de Magnificación Amplitud con frecuencia “f” Amplitud máxima posible
Constant Force Excitation F0=Constant M =
1
M r = r 2 M
(1 − r 2 ) 2 + (2 ⋅ D ⋅ r ) 2 F Y = M ⋅ o k
Y max =
F 0
m ⋅ e Y = M r ⋅ i m
1
k 2 D 1 − D
2
Frecuencia a la cuál se produce A max (resonancia)
f m = f n 1 − 2 D 2
Factor de Transmisibilidad
T r = M 1 + (2 ⋅ D ⋅ r ) 2
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Rotating Masstype Excitation, F0=mi e ω2
Y max =
mi e
1
m 2 D 1 − D 2
f mr =
f n 1 − 2D 2
T r = r 2T r
π
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Factor de Magnificación (amplitud constante)
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Factor de Magnificación (amplitud función de la frecuencia)
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Factor de Transmisibilidad
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2 D r 2 1 − r
ψ s = arctan
Angulo de fase:
Representa el retraso de la respuesta de la estructura respecto de la fuerza aplicada. Cuando se aplica la fuerza perturbadora a frecuencias bajas (r<0.5) la respuesta permanente está en su mayor parte en fase con la fuerza (ψ s<20º). Cuando se aplica la fuerza perturbadora a frecuencias altas (r>1.5) la respuesta permanente está en su mayor parte en oposición de fase con la fuerza (ψ s>150º). Angulo de fase v/s f/fn 180 160 140 ) º ( e s a f e d o l u g n a
120 100 80 60 40 20 0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
f/fn D=1
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D=0.2
D=0.05
D=0.01
3,5
4
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Ejemplo: Fundación Equipo Vibratorio 1.- Características Fundación y Equipo: Df = 1.5 m Losa de Fundacion: Peso: W1 = 50 t Altura del CG medida desde el NSF: h1 = 0.4 m Largo :L = a1 = 5.0 m Espesor: b1 = 0.8 m Ancho: B = 5.0 m Pedestal: Peso: W2 = 65.45 t Altura del CG medida desde el NSF: h2 = 2.751 m Largo: a2 = 2.5 m Espesor: b2 = 3.75 m
NT
Equipo: Peso: W3 = 20.9 t Altura del CG medida desde el NSF: h3 = 5.725 m
NSF
Frecuencia de operación: 500 rpm (8.33Hz, 52.36 rad/s) Eje Rocking
Fuerza dinámica cte: 3.3 t
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2.- Propiedades del suelo: Módulo de corte:
G = 8500 t/m2
Módulo de Poisson:
ν = 0.4 γ = 1.9 t/m 3
Peso específico: 3.- Radio Equivalente: Vibración vertical:
r oz = B ⋅ L
π
Vibración horizontal:
r ox = B ⋅ L
π
Vibración Rocking:
r oϕ = 4 B ⋅ L
= 5⋅ 5
π
= 2.821 m
= 5 ⋅ 5 = 2.821 m π
3
3 ⋅ π
3 = 4 5⋅5
3 ⋅ π
= 2.854 m
4.- Masa y Momento de inercia de masas:
Vibración vertical:
Vibración horizontal:
m z =
∑W = (50 + 65.45 + 20.9) = 13.905 t ⋅ s i
g
∑W = (50 + 65.45 + 20.9) = 13.905 t ⋅ s
m x =
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2
9.806
i
g
9.806
m
2
m
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mi 2 2 2 Vibración Rocking: I oϕ = ∑ ⋅ (ai + bi ) + mi ⋅ hi 12
Equipo: Fundación:
I oϕ = I oϕ =
20.9 9.806 50
En torno al Eje de Rocking
⋅ 5.7252 = 69.856 t ⋅ s 2 ⋅ m
12 ⋅ 9.806
⋅ (52 + 0.82 ) +
65.45 12 ⋅ 9.806
⋅ (2.52 + 3.752 )+
50 9.806
⋅ 0.4 2 +
65.45 9.806
⋅ 2.7512 = 73.484 t ⋅ s 2 ⋅ m
⇒ I oϕ tot = 69.856 + 73.484 = 143.34 t ⋅ s 2 ⋅ m
5.- Razón de masas: Vertical:
B z =
Horizontal:
B x =
Rocking:
Bϕ =
(1 −ν ) 4
⋅
W
γ ⋅ r oz 3
7 − 8ν
⋅
(1 − 0.4) 50 + 65.45 + 20.9 ⋅ = 0.4795 3 4 1.9 ⋅ 2.821
=
W
32 ⋅ (1 −ν ) γ ⋅ r ox3 3 ⋅ (1 −ν ) 8
⋅
I oϕ
ρ ⋅ r o5ϕ
=
=
7 − 8 ⋅ 0.4
50 + 65.48 + 20.9 = 0.6327 1.9 ⋅ 2.8213
⋅
32 ⋅ (1 − 0.4)
3 ⋅ (1 − 0.4) 143.34 ⋅ 9.806 ⋅ = 0.8791 5 8 1.9 ⋅ 2.854
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6.- Coeficientes de corrección por enterramiento para resortes equivalentes: La fundación se encuentra enterrada con h = 1.5 m Vertical:
η z = 1 + 0.6 ⋅ (1 − ν ) ⋅ ( h r oz ) = 1 + 0.6 ⋅ (1 − 0.4 ) ⋅ (1.5 2.821) = 1.191
Horizontal: η x = 1 + 0.55 ⋅ (2 − ν )⋅ (h r ox ) = 1 + 0.55 ⋅ (2 − 0.4 ) ⋅ (1.5 2.821) = 1.468 Rocking:
η ϕ = 1 + 1.2 ⋅ (1 −ν ) ⋅ ( h r oϕ ) + 0.2 ⋅ ( 2 −ν ) ⋅ (h r oϕ ) 3 = 1 + 1.2 ⋅ (1 − 0.4) ⋅ (1.5 2.854) + 0.2 ⋅ ( 2 − 0.4) ⋅ (1.5 2.854) 3 = 1.424
7.- Coeficientes de corrección por enterramiento para razón de amortiguamiento geométrico: Vertical:
Horizontal:
Rocking:
1 + 1.9 ⋅ (1 − ν ) ⋅ h
α z =
r oz
η z 1 + 1.9 ⋅ ( 2 − ν ) ⋅ h
α x =
α ϕ =
η x
r ox
1 + 1.9 ⋅ (1 − 0.4) ⋅ 1.5
=
1.191
=
2.821 = 1.472
1 + 1.9 ⋅ ( 2 − 0.4) ⋅1.5 1.468
2.821 = 2.159
1 + 0.7 ⋅ (1 − ν ) ⋅ (h r oϕ ) + 0.6 ⋅ ( 2 − ν ) ⋅ (h r oϕ ) 3
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η ϕ
=
1 + 0.7 ⋅ (1 − 0.4) ⋅ (1.5 2.854) + 0.6 ⋅ ( 2 − 0.4) ⋅ (1.5 2.854) 3 1.424
= 1.14
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8.- Determinación β z, βx y βϕ : Para L/B = 1 Se tiene: βz = 2.2 βx = 1.0 βϕ = 0.5
9.- Razón de Amortiguamiento Geométrico: Vertical:
D z =
Horizontal:
D x =
Rocking:
Dϕ =
0.425 B z
0.288 B x
0.425
⋅ α z =
0.4795
0.288
⋅ α x =
0.6327
0.15 ⋅ α ϕ (1 + Bϕ ) ⋅ Bϕ
=
⋅1.472 = 0.903
⋅ 2.159 = 0.782
0.15 ⋅1.14 (1 + 0.8791) ⋅ 0.8791
= 0.097
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10.- Constante de resorte equivalente: Vertical:
k z =
G 1 −ν
⋅ β z ⋅ BL ⋅η z =
8500 1 − 0.4
⋅ 2.2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅1.191 = 185598 t m
Horizontal: k = 2 ⋅ (1 + ν ) ⋅ G ⋅ β ⋅ BL ⋅η = 2 ⋅ (1 + 0.4) ⋅ 8500 ⋅1.0 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅1.468 = 174692 t m x x x
Rocking:
k ϕ =
G 1 − ν
⋅ β ϕ ⋅ B ⋅ L2 ⋅η ϕ =
8500 1 − 0.4
⋅ 0 .5 ⋅ 5 ⋅ 5 2 ⋅1 .424 = 1260833 t ⋅ m
11.- Frecuencias naturales “fn”: 60
k z
2 ⋅ π
m
60
k x
2 ⋅ π
m
Vertical:
f nz =
Horizontal:
f nx =
Rocking:
f nϕ =
60
k ϕ
2 ⋅ π I ϕ
60
185598
2 ⋅ π
13.905
60
174692
2 ⋅ π
13.905
=
=
=
������ ������� � ������ ����
= 1103.3 rpm
= 1070.3 rpm
60
1260833
2 ⋅ π
143.34
= 895.6 rpm
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12.- Razones de Frecuencias: Vertical: Horizontal:
f
r z =
f nz f
r x =
Rocking:
f nx
r ϕ =
=
=
f
500
500 1070.3
=
f nϕ
= 0.453
1103.3
500
= 0.467 = 0.558
895.6
13.- Factor de Amplificación M: 1
Vertical:
M =
Horizontal:
M =
Rocking:
2 2 z
(1 − r ) + (2 ⋅ D z ⋅ r z )
1 2 2 x
(1 − r ) + (2 ⋅ D x ⋅ r x )
M =
2
1 2 2
(1 − r ϕ ) + (2 ⋅ Dϕ ⋅ r ϕ )
1
=
2
2
(1 − (0.453) )
2 2
=
=
= 0.877 2
+ (2 ⋅ 0.903 ⋅ (0.453)) 1
(1 − (0.467) )
2 2
1
(1 − (0.558) )
2 2
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14.- Amplitud Fuerzas Dinámicas de Excitación: Vertical: Vo = 3.3 t Horizontal: Ho = 3.3 t Rocking: Mo = Ho x h3 = 3.3 x 5.725 = 18.893 t m 15.- Amplitud de vibración: 15.1.- Amplitud de desplazamiento en operación: V A z = M z ⋅ o
= 0.877 ⋅ (3.3 ) = 1.56 ⋅10−5 m 185598 k z
H −5 Horizontal: A x = M x ⋅ o k = 0.935 ⋅ (3.3174692 ) = 1.77 ⋅10 m x
M −5 Rocking: Aϕ = M ϕ ⋅ o k = 1.44 ⋅ (18.8931260833) = 2.15 ⋅10 rad ϕ
������ ������� � ������ ����
= 1.44 2
+ (2 ⋅ 0.097 ⋅ (0.558))
������ ������� � ������ ����
Vertical:
= 0.935 2
+ (2 ⋅ 0.782 ⋅ (0.467 ))
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15.2.- Amplitud debido al Rocking: Vertical (en el borde mas alejado del mat): A z ϕ = Horizontal (en el CG del equipo):
L 2
⋅ Aϕ =
5 2
⋅ 2.15 ⋅10 −5 = 5.4 ⋅105 m
A xϕ = h3 ⋅ Aϕ = 5.725 ⋅ 2.15 ⋅10 −5 = 12.3 ⋅105 m
15.3.- Amplitud total: Vertical:
A zt = A z + A z ϕ = 0.0156 + 0.054 = 0.069 mm = 0.0027 in
Horizontal:
A xt = A x + A xϕ = 0.0177 + 0.123 = 0.140 mm = 0.0055 in
16.- Cálculo de velocidad máxima: v=
2 ⋅ π 60
⋅ f ⋅ ∆ =
2 ⋅ π 60
⋅ 500 ⋅ 0.140 = 7.33 mm s = 0.29 in s
Según la tabla adjunta: El equipo se encuentra en un rango levemente aspero.
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17.- Severidad de la vibración Se considera el gráfico de Richart para: A = 0.0055 in f = 500 rpm Cae en la zona de “Troublesome to persons”
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18.-Frecuencias de resonancia “fm”: Vertical:
2
f mz = f nz ⋅ 1 − 2 ⋅ D z = 1103.3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0.9032
Debido a que el valor de la razón de amortiguamiento resulta alto (mayor a sen π /4) no se produce vibración, y por lo tanto no hay posibilidad de resonancia
2 2 Horizontal: f mx = f nx ⋅ 1 − 2 ⋅ D x = 1070.3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0.782
Rocking:
2
f mϕ = f nϕ ⋅ 1 − 2 ⋅ Dϕ = 895.6 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0.097 2 = 887.1 rpm f r ϕ f
=
887.1 500
= 1.77 > 1.2 ⇒
OK!
19.- Transmisibilidad: 2
2
2
2
Vertical:
T rz = M z ⋅ 1 + (2 ⋅ D z ⋅ r z ) = 0.877 ⋅ 1 + (2 ⋅ 0.903 ⋅ 0.453) = 1.13
Horizontal:
T rx = M x ⋅ 1 + (2 ⋅ D x ⋅ r x ) = 0.935 ⋅ 1 + (2 ⋅ 0.782 ⋅ 0.467 ) = 1.15
Rocking:
T r ϕ = M ϕ ⋅ 1 + (2 ⋅ Dϕ ⋅ r ϕ ) = 1.44 ⋅ 1 + (2 ⋅ 0.097 ⋅ 0.558) = 1.44 2
2
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20.- Tensiones de contacto con el suelo: Vertical:
Rocking:
σ c =
σ b =
W ± T rz V 0 L B 6 T r ϕ M 0 L2 B
=
=
(50 + 65.45 + 20.9 ) ± 1.13 ⋅ 3.3 5.6 5⋅5
6 ⋅1.44 ⋅18.893 52 ⋅ 5
=
5.3
t / m 2
= 1.3 t / m2
σ max = 5.6 + 1.3 = 6.9 t / m 2 σ min = 5.3 − 1.3 = 4.0 t / m 2
La fundación se encuentra 100% apoyada en condición de operación.
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ISO 2631 Vibración de Cuerpo Completo La exposición a vibraciones de cuerpo completo puede causar daños físicos permanentes e incluso lesiones en el sistema nervioso. También puede afectar la presión sanguínea y el sistema urológico. Los síntomas más comunes que aparecen después de un periodo corto de exposición son fatiga, insomnio, dolor de cabeza y temblores. La norma ISO 2631 trata fundamentalmente las vibraciones transmitidas al conjunto del cuerpo completo por la superficie de apoyo. Esta norma opera en el rango de frecuencias de 0.5 a 80 Hz para la evaluación de confort, seguridad y percepción, y toma como parámetro de control la aceleración máxima que el cuerpo podría tolerar sin efectos nocivos. Debido a que las vibraciones no son igualmente perjudiciales en cualquier dirección que se produzcan, esta norma define 3 ejes espaciales, dentro de los cuales los limites de seguridad, percepción y confort son diferentes.
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Ejes basicéntricos del cuerpo humano. Según los ejes presentados, la ISO 2631 limita los efectos nocivos.
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La evaluación de la vibración transmitida al cuerpo entero se basa en el cálculo del valor de exposición diaria, A(8), expresada como la aceleración continua equivalente para un periodo de 8 horas, calculada como el mayor de los valores eficaces de las aceleraciones ponderadas en frecuencia determinadas según los tres ejes ortogonales (el procedimiento detallado se describe en la norma). Los procedimientos son aplicables para transmisiones a través de las superficies soportantes: por el pié para persona erguida, nalgas, espalda y pié para persona sentada, o área soportante para persona acostada. Tal tipo de vibración se encuentra en vehículos, maquinaria y edificios. La respuesta humana a las vibraciones de cuerpo completo depende de tres factores: Criterio de afección (salud, confort, percepción o mareo). Parte del cuerpo en contacto. Dirección de la vibración (ejes basicéntricos). Se utilizan diferentes filtros para diferenciar los efectos producidos por estos tres factores, según la frecuencia característica de la vibración. El resultado final de una evaluación se obtiene ponderando los resultados obtenidos para cada banda de tercio de octava por los factores de ponderación de los filtros (el procedimiento detallado se describe en la norma).
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ISO 2631-1:1997 Anexo C
Para transporte terrestre, los máximos de aceleraciones verticales dependen tanto del vehículo como de la calidad de los caminos. Altos picos de aceleraciones verticales (del orden de 1 g) podrían causar lesiones en cuello y columna.
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AISC Steel Design Guide 11-2003 Pisos donde se desarrollan actividades humanas El gráfico adjunto presenta los picos de aceleraciones vibratorias recomendados como límite, para mantener el confort en lugares donde se desarrollen actividades humanas (Allen y Murray 1993, ISO 2631-2 1989). Estos límites dependen directamente del objetivo de ocupación del área en estudio. Existe una línea base ISO, la cuál es amplificada por una constante que depende del uso que se le dará al lugar en estudio. Si bien el plateau de la línea base se encuentra definido en el rango de 4 a 8 Hz, se acepta su uso dentro del rango de 3 a 20 Hz.
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Design for Walking Excitations En líneas generales, el procedimiento recomendado para la evaluación del comportamiento de losas de piso, con o sin vigas, ante solicitaciones similares a una caminata es el siguiente. Se evalúa la frecuencia y masa asociadas al modo fundamental de vibración de la losa de piso en estudio, incluyendo el sistema de envigado que la soporta. Luego, se calcula la máxima aceleración asociada a través de la ecuación que se muestra a continuación, y se compara con los límites recomendados.
a p
ap/g, aceleración máxima a0/g, aceleración límite f n, frecuencia fundamental del sistema W, peso efectivo del sistema
������ ������� � ������ ����
g
=
P 0 exp(− 0.35 f n )
β W
≤
a0 g
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Para la evaluación de la frecuencia y la masa asociada al modo fundamental Allen y Murray (1993) proponen un procedimiento simple aplicable a todo tipo de losas, con o sin vigas, el cuál se detalla en la Sección 4.2 de Steel Design Guide 11-2003. Debido a que hoy en día es posible encontrar pisos muy livianos, los cuales tienden a tener una alta frecuencia de vibración, se hace necesario realizar algunas verificaciones de rigidez adicionales cuando la frecuencia natural del sistema supera los 9 Hz. Es importante mencionar que para el cálculo de las frecuencias naturales de un sistema compuesto por vigas de acero y losa de hormigón se puede usar un aumento de la rigidez del hormigón de un 35% sobre el valor estático. nest=Es/Ec
ndin= nest/1.35
Design for Rhythmic Excitations Para actividades rítmicas, diferentes a las de tipo caminata, como ejercicios aeróbicos, baile, etc. AISC propone el siguiente procedimiento de revisión.
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f n, frecuencia fundamental del sistema f n req, frecuencia fundamental requerida f, frecuencia forzada a0/g, aceleración límite wp, peso efectivo de participantes wt, peso efectivo total (incluye wp) k, 1.3 para baile, 1.7 para lively concert y eventos deportivos, 2 para ejercicios aeróbicos
f n ≥ f n req = f 1 +
k α i w p a0
g
wt
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La tabla adjunta contiene la aplicación de los criterios anteriores a algunos casos comunes. Estos resultados representan un buen punto de partida para el diseño detallado posterior.
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Design for Sensitive Equipment En líneas generales, los requerimientos que deben cumplir las estructuras que albergan equipos sensibles a las vibraciones son entregados por los proveedores, en ausencia de criterios más estrictos pueden utilizarse los valores de la tabla y la figura adjunta. En pisos con presencia de varios equipos sensibles suele controlarse el criterio más exigente. También pueden disponerse los equipos de mayor sensibilidad en zonas de baja vibración (mayor rigidez) o incorporarse sistemas de aislación. El procedimiento de verificación se detalla en Steel Design Guide 11-2003.
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Ejemplo: Viga de Acero con Losa Colaborante BL1
1. Esquema de la viga: L H
2.- Propiedades de la viga:
Bs1
H1= 700 mm
1 s e
Bs1= 200 mm esi = 10 mm
1 d
t1
1 X H
t1 = 8 mm
X
Bi1= 300mm
1 i e
ei1 = 12 mm ⇒ h = H1 – es1 – ei1 = 678 mm Bi1
Area: A = Bs es + Bi ei + ht = 110.24 cm2 Distancia desde el centro de gravedad medida desde ala superior: y =
e s 2
+
1 e e h e Bi ⋅ e h + i + s + h ⋅ t + s A 2 2 2 2
⇒ y = 39.93 cm
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Momento de Inercia:
I xx =
( B
s
⋅ e s3 + t ⋅ h 3 + Bi ⋅ ei3 ) 12
2
⇒ Ixx = 84429 cm4 Modulo Resistente:
W xx sup =
I xx
W xx inf =
y I xx ( H − y )
⇒ Wxxsup = 2115 cm3 ⇒ Wxxinf = 2808 cm3
3.-Propiedades Materiales Hormigón :
Acero Viga:
f c' = 250 kg cm 2 E c = 15100 f c' = 238.75 t cm 2 F y = 2.53 t cm 2 E s = 2000 t cm 2
4.- Longitud, Separación y Solicitación - Longitud de la viga: Lf = 15 m - Separación entre vigas: s = 2 m - Sobrecarga: SC = 500 kg/cm2
������ ������� � ������ ����
⇒
2
e ei h e + h + s + h ⋅ t + s − Ay 2 2 2 2 2
+ Bi ⋅ ei
n = Es/Ec = 8.4
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5.- Sección Compuesta: HL = 150 mm
d1 = 0
- Ancho losa colaborante según AISC I3.1a
1 1 B L1 = min 2 ⋅ ⋅ L f ;2 ⋅ ⋅ s⇒ L1 2 B = 2000 mm 8
- Inercia sección compuesta: Se desprecian armaduras. z* = 66.31 cm Ixxestatico = 280618 cm4
- Módulos Resistentes: I xxestatico
Tope superior l osa:
W xxc =
Tope superior v iga:
W xx sup =
( H 1 + H L − z *)
W xx inf =
Nivel inferior viga
I xxestatico ( H 1 − z *) I xxestatico z *
= 15014 cm 3
= 76048 cm 3
= 4232 cm 3
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- Cargas Sección Compuesta: Viga:
q ppviga = Aviga ⋅ γ acero = 86.54 kg m
Losa:
q pphormigon = s ⋅ H L ⋅ γ hormigon = 720 kg m
Sobrecarga:
q sc = s ⋅ SC = 1000 kg m
6.- Momento no Compuesto (solo trabaja la viga de acero) M xx = (q ppviga + q pphormigon )⋅
L2f 8
- Tensiones de trabajo:
= 2268 t - cm f bx1sup = f bx1inf =
- Deformación:
∆1 =
5 ⋅ q ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I
M xx W xx sup
= 1.073 t cm 2
M xx = 0.808 t cm 2 W xx inf
= 3.15 cm
7.- Momento Compuesto (Trabaja la sección compuesta) M xx = q sc ⋅
L2f 8
= 2813 t - cm
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- Tensiones de trabajo:
f c =
M xx n ⋅W xxc
f bx 2sup = f bx 2inf =
- Deformación:
∆2 =
5 ⋅ q ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I eff
= 0.0223 t cm 2
M xx
= 0.037 t cm 2
W xx sup M xx W xx inf
= 0.665 t cm 2
= 1.57 cm
De acuerdo a AISC CI3.1 I eff = 0.75 I xxestatico
8.- Losa F c = 0.45 ⋅ f c'
⇒ FU =
f c F c
= 0.20 OK!
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������������� ����� ������������ ����������� ����� �������� ������������������� f b sup = f bx1sup + f bx 2 sup = 1.11 t cm 2
9.- Viga:
f b inf = f bx1inf + f bx 2 inf = 1.473 t cm 2 F bx = 0.6 ⋅ F y = 1.518 t cm 2
⇒ FU =
max( f b sup ; f b inf ) F bx
Sección no sujeta a volcamiento
= 0.97 OK!
10.- Deformación ∆ = ∆1 + ∆ 2 = 4.72 cm ∆ adm =
L 300
= 5 cm > ∆ OK!
11.- Conectores Stud De acuerdo a AISC 360-05 Sección I3.2.d Considera Deck perpendicular a la viga de acero
Diámetro: D = 0.75 in Longitud: L = 100 mm Cantidad por fila: 2 Separación Stud: Bs1/2 = 100 mm Separación filas: s = 45 cm
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������������� ����� ������������ ����������� ����� �������� �������������������
- Tensión de rotura: Fu = 4.08 t/cm2 (A36) - Capacidad de conectores: En este caso la distancia entre momento máximo y momento cero es: Lf /2 Se tiene de acuerdo a sección I.3.2d que: Qn = 0.5 ⋅ A sc ⋅ f c' ⋅ E c ≤ R g ⋅ R p ⋅ A sc ⋅ F u
donde: Asc : área de los conectores de corte Rg = 1.0 Rp = 1.0 Qn = 367 t ≤ 388 t
⇒ Q n = 367 t
-Capacidad requerida: V ' = min( 0.85 ⋅ f c' ⋅ Ac ; F y ⋅ A s )
⇒ V ' = 278.9 t ≤ Q n
OK!
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12.- Análisis de vibraciones: De acuerdo a Design Guide 11 AISC En nuestro caso consideramos Footbriges-Outdoor:
De acuerdo a la Tabla 4.1: Po = 41.8 kg β = 0.01
- Se considerará 50% de la sobrecarga como parte de la masa. - Número de vigas con losa presente en el ancho total de análisis: Nsegmentos = 2 - Razón Dinámica de Módulos: n dinamico =
E s 1.35 ⋅ E c
= 6.21
- Ancho losa colaborante: BL1 = min (0.4 Lf; s) ⇒
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BL1 = 2000 mm
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- Inercia compuesta viga: z* = 68.69 cm I j = 295321 cm4 - Carga: w j = q ppviga + q pphormigon + 0.5 ⋅ q sc = 1307 kg/m
- Frecuencia natural: f n =
π g ⋅ E s ⋅ I j ⋅ 2 w j ⋅ L4
1/ 2
⇒ f n = 4.66 Hz ⇒ 4 ≤ f n ≤ 8 OK!
- Peso efectivo: W = L f ⋅ N segmento ⋅ w j = 39210 kg
-Peak de aceleraciones verticales esperado a p g
⇒
=
P o ⋅ exp(−0.35 ⋅ f n )
a p g
β ⋅W
≤
ao g
= 2.09 %
-De la tabla 4.1 se tiene que ao/g = 5.0 % a a ⇒ p ≤ o OK! g
g
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Niveles sugeridos para amortiguamiento en Estructuras
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Ejemplo: Análisis de Vibraciones en Estructuras utilizando SAP2000 El ejemplo considera un edificio de 7 metros de ancho, 9.5 metros de largo y 8.4 metros de altura. El edificio en altura consta de tres plataformas, en la segunda se encuentra apoyado un Harnero Vibratorio. El harnero se modela como un equipo rígido apoyado en cuatro puntos de la segunda plataforma (según plano vendor).
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Características del harnero Peso Harnero: 5.44 t Peso material en operación: 3.1 t Carga dinámica vertical: 1.8 t Carga dinámica horizontal: 0.9 t Frecuencia de la vibración = 730 - 940 rpm
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Incorporación de Cargas Estáticas Todas las cargas del harnero son asignadas en el centro de gravedad.
Carga Peso Propio Harnero
Carga Peso Material Harnero
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Incorporación de Cargas Dinámicas
Carga Dinámica horizontal (Foy)
Carga Dinámica vertical (Foz)
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Definición análisis tiempo historia Para la realización del análisis de vibraciones de la estructura es necesario definir una función tiempo historia de la excitación. La fuerza es representada por una función periódica aplicada en el sentido vertical y longitudinal al mismo tiempo alrededor del centro de masas del harnero. Para la definición de las funciones se utilizan tres frecuencias: 1) fr maxima = 940 rpm 2) fr promedio = 835 rpm 3) fr minima = 730 rpm Luego tenemos que los periodos asociados a las frecuencia son: 1) T = 0.064 s 2) T = 0.072 s 3) T = 0.082 s Para este ejemplo se realizarán los cálculos para la frecuencia promedio
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Definición de las funciones seno y coseno en el programa Define → Functions → Time History → Choose Functi on Type to Add → Sine Function
→ Cosine Function
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Se define el caso de análisis “Fo-dinámico” que incluye ambas funciones, combinando fuerza dinámica con las funciones seno y coseno anteriormente definidas: Define → Analysis Cases
Se considera lo siguiente: Analysis Case Type: Time History Analysis Type: Linear Time History Type: Modal Time History Motion Type: Periodic Number of Output Time Steps: n puntos x nciclos Output Time Step Size: Period / n puntos
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Análisis de Resultados
1.-Elaboracion de video de la fuerza “Fo_dinamico” definida anteriormente, con el fin de determinar los principales puntos que requieren ser analizados: File→ Create Video → Create Multi-step Animation Video Se genera la ruta de ubicación del video
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������������� ����� ������������ ����������� ����� �������� �������������������
2.-Parámetros de la animacion: Case Name: Fo_Dinamico Start Time: 0 End Time: Multiplo del periodo Time Increment: Periodo/npuntos Display Opcion: Cubic Curve Magnification Factor Frames per Second
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������������� ����� ������������ ����������� ����� �������� �������������������
3.-El punto en estudio se encuentra en la primera plataforma: Joint 130
������ ������� � ������ ����
4.- En la barra de herramientas principal: Display → Show Plot Functions Se selecciona Joint 130 en Functions → Define Plot Function
List
of
������������� ����� ������������ ����������� ����� �������� �������������������
5.- Se selecciona Functions.
Joint
130
en
Plot
6.- Vector Type: Displ, para cada una de las componentes en estudio.
Choose Function Type to Add: Add Joint Disps/Forces
→ Add Plot Fuction
������ ������� � ������ ����
������������� ����� ������������ ����������� ����� �������� �������������������
7.-Se seleccionan las funciones en estudio
8.-Display Plot Function Traces
→ Display
En la barra de herramientas principal: Display → Show Tables Select Analysis Cases: Fo_dinamico Analysis Results → Joint Displacement
������ ������� � ������ ����
TABLE: Joint Displacements Joint OutputCase CaseType StepType Text Text Text Text 130 Fo_dinamico LinModHist Max 130 Fo_dinamico LinModHist Min
U1 U2 U3 in in in 0.008818 0.002261 0.061922 -0.008818 -0.002261 -0.061922
������������� ����� ������������ ����������� ����� �������� �������������������
9.- Tradicionalemente y en ausencia de criterios concretos por parte de los proveedores, se evalua conceptualmente el comportamiento obtenido en el Grafico de Richart
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������������� ����� ������������ ����������� ����� �������� �������������������
A continuación evaluaremos el efecto de estos desplazamientos en los esfuerzos de los elementos. Para evaluar el potencial daño producido por los efectos de fatiga usamos las disposiciones de AISC 360-05 Apéndi ce 3. Es tas disposiciones limitan el rango de variación dentro del cuál deben encontrarse los diferentes tipos de esfuerzos inducidos por las cargas variables en el tiempo. El rango de variación admisible depende del número de ciclos de variación de carga al que este expuesto el elemento en estudio. La verificación de fatigas opera para tensiones calculadas en base a cargas de servicio. En nuestro caso, la excitación de 13.9 Hz genera una cantidad de ciclos muy alta (lo que ocurre en equipos vibratorios), por lo tanto los rangos de variación admisibles corresponden a los mínimos definidos por AISC. En general, para todos los tipos de elementos (vigas, columnas, arriostramientos), será la tensión longitudinal el valor que presenta las mayores variaciones, ya que varía tanto con el esfuerzo axial como de flexión. Según AISC, en nuestro caso (secciones laminadas, categor í a A) : FTH = 24 ksi = 1.688 t/cm2 FTH, variación de tensiones admisible para control de fatiga
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10.- Se selecciona el elemento en estudio:
En nuestro caso, la única carga variable en el tiempo es la que proviene del Harnero Vibratorio, la cuál se invierte durante los ciclos de carga con una amplitud de igual magnitud en ambos sentidos. Por esta razón, controlaremos las tensiones máximas provocadas por la carga variable, las que no podrán superar el valor FTH/2 (la mitad del rango admisible). (f c max + f b max) < FTH/2 = 0.844 t/cm2 f c max, tensión axial máxima del elemento (tracción o compresión) debida a la carga cíclica f b max, tensión flexural máxima del elemento (tracción o compresión) debida a la carga cíclica
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������������� ����� ������������ ����������� ����� �������� �������������������
En la barra de herramientas principal: Display → Show Tables Select Analysis Cases: Fo_dinamico Element Output → Frame Output La tabla siguiente muestra la variación de los esfuerzos en el elemento escogido y las tensiones longitudinales resultantes. Output SAP2000
TABLE: Element Forces - Frames Frame Station OutputCase StepType Text cm Text Text 135 0 Fo_dinamico Max 135 39 Fo_dinamico Max 135 78 Fo_dinamico Max 135 117 Fo_dinamico Max 135 117 Fo_dinamico Max 135 154.667 Fo_dinamico Max 135 192.333 Fo_dinamico Max 135 230 Fo_dinamico Max 135 0 Fo_dinamico Min 135 39 Fo_dinamico Min 135 78 Fo_dinamico Min 135 117 Fo_dinamico Min 135 117 Fo_dinam ico Min 135 154.667 Fo_dinam ico Min 135 192.333 Fo_dinam ico Min 135 230 Fo_dinamico Min
P Ton 0.068 0.068 0.068 0.068 0.006 0.006 0.006 0.006 -0.068 -0.068 -0.068 -0.068 -0.006 -0.006 -0.006 -0.006
M2 Ton-cm 0.000 0.004 0.009 0.013 0.013 0.009 0.004 0.000 0.000 -0.004 -0.009 -0.013 -0.013 -0.009 -0.004 0.000
M3 Ton-cm 0.000 7.305 14.611 21.916 21.916 14.611 7.305 0.000 0.000 -7.305 -14.611 -21.916 -21.916 -14.611 -7.305 0.000
A cm2 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47 9.47
W2 cm3 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360 5.360
W3 cm3 39.600 39.600 39.600 39.600 39.600 3 9.600 39.600 39.600 39.600 39.600 39.600 39.600 39.600 39.600 39.600 39.600
fc t /cm2 0.007 0.007 0.007 0.007 0.001 0 .001 0.001 0.001 -0.007 -0.007 -0.007 -0.007 -0.001 - 0.001 -0.001 -0.001
fb2 0 .000 0.001 0.002 0.002 0.002 0.002 0.001 0.000 0.000 -0.001 -0.002 -0.002 -0.002 - 0.002 - 0.001 0.000
Para el elemento estudiado la variación de tensiones resulta aceptable (f max < FTH/2)
������ ������� � ������ ����
fb3 0 .000 0.184 0.369 0.553 0.553 0.369 0.184 0.000 0.000 -0.184 -0.369 -0.553 -0.553 - 0.369 - 0.184 0.000
ft 0 .007 0.192 0.378 0.563 0.557 0.371 0.186 0.001 0.007 0 .192 0.378 0.563 0 .557 0.371 0.186 0.001