Chapitre 7 Modulation et Démodulation d’amplitude et de fréquence Pour quoi la modulation Dans un système de communication un signal est transmis par un émetteur, passe à travers un "canal de communication", puis est reçu par un récepteur. La transmission simultanée de plusieurs "messages" dans le même canal de communication est effectuée par un multiplexage des signaux communiqués. Ce multiplexage est appliqué ou dans le temps ou en fréquence. Le multiplexage en fréquence est effectué en modulant les différents messages par des différentes porteuses, de sorte que les messages occupent des bandes
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distinctes de la bande passante du canal et sont adéquatement séparés pour éviter le recouvrement des spectres et ainsi la distorsion des messages. La modulation sert aussi à atteindre un autre but de grande importance. Si le canal de communication est l'espace libre une antenne effectue la radiation du signal à transmettre. Or les antennes opèrent efficacement seulement si leur dimension est de l'ordre de la longueur d'onde du signal transmis. La relation entre la longueur d'onde
et la fréquence f s'écrit
f c où c est la vitesse de la lumière c 3 x 105 km/s
58
Pour une fréquence d'un signal audio de 1kHz nous avons = 300 km, une longueur d'antenne hors question. Si, par contre, le signal est translaté à une fréquence de 10 MHz la longueur d'onde correspondante devient 30m et une antenne de quelques mètres opérera efficacement. Nous remarquons de plus qu’un signal audio s’étend disons de 50 Hz à 10 KHz. Le rapport de la fréquence la plus élevée à celle la plus basse, est de 200. Une antenne conçue pour transmette efficacement les fréquences élevées sera très inefficace pour transmettre les fréquences basses et vice versa. Par contre, si ce même signal est modulé tel que son spectre est translaté de 1 1.01 MHz le rapport des deux fréquences sera de 1, 00005 1.01 .
L’antenne
fonctionnera ainsi efficacement sur toute la gamme spectrale du message.
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En ce qui suit nous étudions des différents systèmes de modulation en amplitude et en fréquence des signaux continus.
DÉFINITION ET TERMINOLOGIE DE LA MODULATION Moduler un signal, consiste à transposer sans perte d'information, le spectre du signal des masses fréquences vers les hautes fréquences. Comme montre la figure 1, la modulation est essentiellement une opération spectrale. lé signal modulant, généralement dans une "bande de base", son spectre s'étendent de Fmin à Fmax, dans une bande différente, il s'étend de fmin à fmax . Modulation Figure 1 Fmin
Fmin
fmin Démodulation
fmin
60
On a recourt à la modulation pour deux raisons principales : Adaptation du message aux contraintes d'émission-réception, satisfaire les conditions imposées par un canal de transmission ou faciliter certaines opérations du traitement du signal (changement de fréquence en réception radio par exemple). Adaptation du canal de transmission pour assurer une opération de partage entre plusieurs signaux transmis simultanément (multiplexage fréquentiel). Le schéma bloc d'une chaîne de modulation - démodulation est illustré par la figure 2.
Signal Modulé
Source
message
Modulateur
Signal modulant
Transmetteur
Canal de transmission Enregistrement Amplification
Porteuse Auxiliaire
Démodulateur
Signal
Destinataire
démodulé
Récepteur 61
Figure 2 En télécommunication, la modulation est une étape indispensable avant toute transmission des signaux. Elle est largement utilisée dans le cadre des systèmes de la télégraphie, téléphonie, transmission des données, radiophonie etc., .... Soit m(t) un signal modulant (message), s(t)=s0cos(2fot + ) la porteuse sinusoïdale non modulé . On peut utiliser pour la modulation : Soit une modulation d'amplitude, en modifiant s0 au rythme de m(t). Soit une modulation angulaire, en modifiant l'expression (2fot + ) selon le rythme du signal modulant m(t).
62
MODULATION D'AMPLITUDE (AM) La modulation d'amplitude consiste à faire varier l'amplitude d'une porteuse s(t)=socos((2pfot+) au rythme du signal modulant m(t). La modulation d'amplitude s'obtient donc par une multiplication analogique. Il existe quatre types fondamentaux de modulation d'amplitude linéaires. - Modulation Double Bande avec Porteuse (DBAP) Définition La modulation d'amplitude est dite BDAP, lorsque le signal modulant est positif ou nul. Dans ce cas, le signal modulé est de la forme : s(t)=so(1+Km(t))cos(2fot+).
63
Le facteur K est appelé "taux de modulation". La modulation d'amplitude n'est DBAP que pour 0 < K < 1. Dans ce cas, l'onde enveloppe reproduit le signal modulé s(t). Prenant par exemple m(t)= mocos (2Ft). D'une manière générale, le signal modulant m(t) est de spectre borné, M(f) = 0 pour f [-F, F]. La figure 3 illustre la représentation temporelle du signal modulant m(t) et du signal modulé s(t) . Signal modulant
m(t)
Signal modulant (message)
s(t) Porteuse
Signal modulé K < 1
Figure 3
64
Représentation spectrale du signal modulé On a s(t)=so(1+Km(t))cos(2fot+). - Le signal modulant m(t) est de spectre M(f) borné pour f [-F, F]. - La quantité so(1+m(t)) possède une densité spectrale sous la forme : s0[(f) + K2M(f)] - La densité spectrale du cos(2fot + ) est de la forme : [(f + fo) + (f fo)]/2
Donc le signal modulé possède une densité spectrale (figure 4) devient ; - S(f) = s0[(f) + K2M(f)]*[(f + fo) + (f - fo)]/2 = so2[(f + fo) + ((f - fo))]/2 + K2so2[M(f + fo) + M(f - fo)]/2 65
Bande Latérale M(f) Inférieure (BLI)
Bande Latérale Supérieure (BLS)
S(f)
f -F
0
f
+F
-F-f0
2F
-f0 2F
F-f0
-F+f0
+f0
F+f0
2F
Figure 4 Si le support spectral du signal modulant m(t) est 2F, le support spectral du signal modulé s(t) est 4F. Donc la modulation DBAP, double la largeur de la bande spectrale occupée. La modulation d'amplitude avec porteuse DBAP présente l'avantage de permettre une simple démodulation par détection d'enveloppe. Elle est encore largement utilisée en radiodiffusion (Ondes longues, moyennes et courtes). La puissance moyenne calculée à partir du spectre ci-dessus est : 66
Pmoy = so2(1 + K2Pm)/2 où Pm est la puissance du signal modulant. Donc le cas d'une modulation à 100 % (k=1), la puissance moyenne nécessaire au total est de so2(1 + Pm)/2 supérieure à celle so2Pm/2 nécessaire en l'absence de modulation (K=0). On définit le rapport rendement de la modélisation
par le rapport de la
puissance dans les bandes latérales sur la puissance totale : m
Puissance émise par les bandes latérales qui ont le sin formations Puissance totale
où Pm = M(f )df . Par exemple dans le cas d'un signal sinusoïdal d'amplitude unité. On montre que Pm = 1/2, et pour un taux de modulation K=1, le rendement de la modulation m vaut 33,3%, ce qui implique : 2/3 de la puissance est réservée à la porteuse. 67
1/3 de la puissance est réservée au signal modulant, dont 1/6 de la puissance à la BLI et 1/6 à la BSL. Génération du signal modulant DBAP La modulation d'amplitude à DBAP se caractérise ainsi sur le plan spectral par une simple translation du spectre bilatéral du signal modulant d'une quantité correspondante (a fo). Comme on a une modification du spectre, l'organe qui effectue la modulation, appelé modulateur, est un organe non linéaire. Le principe général d'un modulateur d'amplitude est illustré par le schéma bloc de la figure 5
68
m(t)
x(t) +
Signal modulant
Elément nonlinéaire quadratique
y(t)
Filtrage Passe-Bande
s(t)
Signal modulé
p(t)=cos(2f0t+) Porteuse
Figure 5 Le schéma bloc ci-dessus, est un modulateur quadratique, il comporte un additionneur, un organe non linéaire quadratique et un filtre passe-bande.
L'élément non linéaire quadratique est un circuit qui présente une non-linéarité indépendante du temps, et un transfert y(t)= f(x(t)) de la forme :
69
y(t) = a1x(t) + a2x (t) . 2
y(t)
x(t) = m(t) + p(t) x(t)
y(t) = a1[m(t) + p(t)] + a2[m(t) + p(t)]2 = a1m(t) + a1p(t) + a2m2(t) + a2p2(t) + 2a2m(t)p(t) Les termes a1p(t) et 2a2m(t)p(t) sont les termes utiles que l'on doit garder par filtrage passe-bande à la sortie du filtre passe-bande, on a : s(t) = a1p(t) + 2a2m(t)p(t) = a1[1 + (2a2/a1)m(t)]p(t) dans ce cas, le taux de modulation K vaut (2a2/a1) 70
Réalisation On réalise un modulateur d'amplitude DBAP moyennant le circuit à diode de la figure suivante : i(t) uD e(t)
D
R
uR
D+R
e(t)
Figure6
uD
uR
D'après la courbe, représentant i(t) en fonction de e(t), le montage ci-dessus, peut être considéré comme un élément non linéaire quadratique, donc on peut décomposer en série, le courant i(t) en fonction de p(t) et m(t), d'où on a :
71
- i(t) = ao + a1(p(t) + m(t)) + a2(p(t) + m(t))2 = a1p(t) + 2a2m(t)p(t) + (p(t) + m(t))
Terme utile
Terme parasite
Le spectre de i(t) comporte des termes utiles et des termes gênants, plus ou moins facile à éliminer. Pour améliorer le fonctionnement, il est commode d'introduire un montage symétrique à quatre diodes
s(t) = R[(i1-i2) - (i4-i3)]
72
on obtient comme tension aux bornes des diodes D1 : m(t) + p(t)
D3 : -m(t) -p(t)
D2 : -m(t) + p(t)
D4 : m(t) - p(t)
La tension à la sortie : s(t) = R(i1 - i4) - R(i2 - i3) = R[(i1 - i4) - (i2 - i3)] Si on suppose que les quatre diodes sont parfaitement identiques, on obtient ainsi :
i1 = ao + a1[p(t) + m(t)] + a2[p(t) + m(t)]2 + ...
i2 = ao + a1[p(t) - m(t)] + a2[p(t) - m(t)]2 + ...
73
i1 - i2 = 2a1m(t) + 4a2m(t)p(t) + [p(t) +
m(t)]2 + ...
i4 = ao + a1[-p(t) + m(t)] + a2[-p(t) + m(t)]2 + ...
i3 = ao - a1[p(t) + m(t))] + a2[p(t) + m(t)]2 + ... i1 - i2 = 2a1m(t) 4a2m(t)p(t) -
[p(t) + m(t)]2 + La sortie modulé est donnée par : ...
s(t) = 8Ra2m(t) p(t) 74
Démodulation DBAP : Détection d'enveloppe La démodulation par détection d'enveloppe, est l'une des techniques la plus utilisée dans le cas d'une modulation DBAP. Elle est largement utilisée dans les récepteurs AM de radiodiffusion. Un détecteur d'enveloppe est un dispositif non linéaire, son principe de fonctionnement est illustré par le schéma bloc de la figure 8. Il comprend un opérateur de valeur absolue (redresseur bipolaire), suivi d'un filtre passe-bas éliminant les composantes redressées indésirables .
s(t)
Redresseur bipolaire
y(t)
Filtre Passe-Bas
~ Km(t)
Figure 8 En pratique, le détecteur d'enveloppe est souvent réalisé approximativement à l'aide d'un simple redresseur à crête, à une alternance, avec charge capacitive 75
R1C1 jouant le rôle de filtre passe-bas et découplage capacitif C2 éliminant la composante continue (figure 9) . ~ Km(t)
y(t)
s(t)
Figure 9 Pour que le circuit de démodulation ci-dessous (figure 9) fonctionne d'une manière correcte, il faut que la fréquence maximal Fmax du signal modulant m(t) reste très négligeable devant la fréquence fo de la porteuse non modulé, et que la constante de temps de démodulation 1 = R1C1 remplie la double inégalité suivante : 1/fo << 21 << 1/Fmax 76
Par définition, on appelle "rendement de détection" d le rapport (mo/so) où mo ~ ). Si on désir un rendement est la valeur moyenne du signal redressé (1+ Km(t)
~ élevée, il faut que m(t) tend vers m(t), c-à-d il faut choisir une résistance de
détection élevé R1. Si la valeur de R1 est élevée, le courant moyen id reste faible (R1 id ) par conséquent la diode reste bloquée et la distorsion devient importance. Le choix de R1 résulte donc d'un compromis entre rendement élevé et faible distorsion. Par définition, on appelle rapport signal sur bruit : "RSB", le rapport
Var(m(t)) RSB 10Log ~ Var(m(t) m(t))
RSB << 0, le signal modulant m(t) est très éloigné de celle détecté m(t). RSB = 0 , mauvaise détection
RSB >> 0, très bonne détection. 77
Modulation Double Bande Sans Porteuse (DBSP) Définition La modulation d'amplitude dite DBSP, se résume par une simple multiplication analogique s(t) = m(t)cos(2fot + ).
Figure 10 Représentation spectrale du signal modulé Le signal modulant est de spectre M(f) borné pour f [-F, F]. La porteuse sinusoïdale est de spectre 78
Le signal modulé
S(f) = M(f)*[(f + fo) + (f - fo)]/2
= [M(f + fo) + M(f - fo)]/2 S(f)
M(f) -F
+F
2F
-F-f0
-f0
F-f0
2F
F-f0
f0
F+f0
2F
Figure 11 La largeur de bande spectrale occupée est la même qu'en modulation DBAP, mais les deux raies à f = fo ont disparu. La puissance totale dans ce cas, est identique à celle émise dans les bandes latérales contenant toute l'information. Le rendement de la modulation est ainsi m = 100%. 79
Génération du signal modulant DBSP : modulation en anneau Dans son principe, on utilise un signal rectangulaire périodique de période 1/fo. C(t) +1
1/fo
t
Figure 12
-1
C(t) est une fonction périodique C(t) est développable en Seri de Fourrier :
C(t) = C0 + n1Cn cos2 nf o t n
80
On a ainsi :
m(t)C(t) = C0m(t) + Cn m(t)cos2 nf o t n n 1
Spectre(m(t)C(t)) = C0M(f) +
Cn [M(f + nf 0 ) + M(f - nf 0 )] / 2
n1
Spectre(m(t)C(t)) M(f)
-F
C2/2
C1/2
-2f0
-f0
+F
C0
C1/2
+f0
C2/2
+2f0
Figure 13 Si on effectue un filtrage passe-bande qui coupe entre fo et 2fo, et si ou plus le signal C(t) est à moyenne nulle (Co = 0), à la sortie du filtre passe-bas, on va récupérer un signal modulé. 81
Réalisation On réalise un modulateur DBSP moyennant d'un circuit permutateur, permettant soit la conduction directe, soit la conduction croisée.
m(t)
y(t)
Filtre Passe-Bande
s(t)
p(t)
à la sortie du permuttateur, on a y(t) = m(t) signe de p(t). On réalise un permuttateur moyennant quatre diodes formant un treillis. Ce circuit déplie forme un anneau, d'où le non modulation en anneau.
82
m(t)
s(t)
p(t)
fonctionnent du montage. 1°/ Cas p(t) = +1 ( p(t) est positive).
m(t)
s(t) Schéma équivalent
- D1 et D2 sont passantes - D3 et D4 sont bloquées. m(t)
2°/ Cas p(t) = -1 (p(t) est négative)
s(t) Schéma équivalent
D1 et D2 sont bloquées D3 et D4 sont passantes 83
Démodulation DBSP : Détection synchrone La démodulation par détection synchrone consiste à multiplier le signal modulé s(t) par un signal auxiliaire périodique de même fréquence que la porteuse. On a
s(t) = m(t)cos(2fot + ), multiplions s(t) par cos(2fot + ).
s(t).cos(2fot + ’) = m(t) cos(2fot + )cos(2fot + ’) o = (m(t)/2)[cos( - ’) + cos(4fot + ( + ’))] d'où le spectre de s(t).cos(2fot + ’) vaut : M(f)cos( - ’)/2 + [M(f + 2f0) + M(f - 2f0)] Spectre(s(t).cos(2fot + ’) cos( - ’)/2
-2f0
-F
+F
+2f0
f
84
Si on effectue un filtrage passe-bande qui coupe en fo et 2fo, à la sortie du filtre, on va récupérer un signal proportionnel au signal modulant m(t)cos( - ’)/2. En particulier dans le cas où la détection est cohérente (ou isochrone), on a = - ’ = 0. Le signal auxiliaire utilisé dans la démodulation synchrone est généralement généré de l'aide d'un oscillateur de référence dont la fréquence d'oscillation est synchrone à celle de la porteuse non modulé. Le principe général d'un démodulateur synchrone est illustré par le bloc diagramme suivant :
85
S(t) = m(t)cos(2fot + ’)
Multiplicateur analogique
Filtre Passe-Bande
m(t)cos(’ - )/2
cos(2fot + )
Filtrage de f0 par synchronisation
Déphaseur réglable
Oscillateur de cos(2fot) référence synchrone f0
86
Modulation à Bande Latérale Unique (BLU) Définition Dans de nombreuses applications, toute l'information du signal modulant se trouve en fait représentée par une seule bande latérale du spectre du signal modulé. Donc il est possible de réduire la bande occupée en éliminant l'une des bandes du spectre. Le résultat est la modulation BLU. Cette technique est largement utilisée par les signaux ne contenant pas de composantes base fréquences, comme dans le cas en téléphonie où le signal de la parole est filtré entre 300 Hz et 3400 Hz avant d'être utilisé.
87
Représentation spectral du signal modulé S(f) M(f)
-F
+F
-F-f0
-f0
F-f0
F-f0
F
2F
Bandes éliminées
f0
F+f0
f
F
Génération du signal modulant BLU On appelle filtre d'Hilbert, le filtre déphaseur définie par : /2
j H(f) j
f 0 f 0
f -/2
Soit m (t) est la transformée d'Hilbert de m(t).(composante en quadrature), on a jM(f) M(f) = H(f)M(f) jM(f)
f 0 f 0 88
On va construire deux signaux analytiques
1 m (t) m(t) jm(t) 2
m (t)
on a
1 m(t) jm(t) 2
=
1 M (f) M(f) jM(f) 2
=
1 M (f) M(f) jM(f) 2
1 2 2 M(f) j M(f) 1 M(f) j 2 M(f) 2
1 2 2 M(f) j M(f) 1 M(f) j 2 M(f) 2
+F
f 0
f 0 f 0
=
=
M(f) f 0 0 f 0
0 f 0 M(f) f 0
M+(f)
M(f)
-F
f 0
-F
+F
M-(f)
-F
+F 89
On a aussi
m+(t)e
j2f0t
M-(f+ f0)
M+(f-f0) m-(t)e
-j2f0t
s(t) = m+(t)ej2f0t +m-(t)e-j2f0t
S(f)
f0
f0+F
-f0-F
-f0
-f0-F
-f0
f0
f0+F
Montrer que le signal modulé s(t) est de la forme : s(t) = m(t)cos(2fot) + m (t) sin(2fot)
90
Le principe général d'un modulateur BLU est illustre par le schéma suivant : X
m(t) Filtre d’Hilbert (t) m
cos(2fot) sin(2fot)
+
s(t)
-
X
91
Démodulation BLU : Détection synchrone Comme dans le cas de modulation DBSP, la démodulation BLU par détection synchrone consiste à multiplier le signal modulé par un signal périodique de même fréquence que la porteuse. On a le signal modulé : s(t) = m(t)cos(2fot + ) + m (t)sin(2fot + ) A(t) = 2 cos(2fot + ’)s(t)
= 2m(t)cos(2fot + )cos(2fot + ’) + 2 m (t)sin(2fot + )cos(2fot + ’)
De la même procédure que la démodulation DBSP, on montre A(t) = m(t)[cos(4fot++’) + cos( - ’)] - m (t)[sin(4fot++’) + sin(-’)]
Après filtre passe-bas 92
A(t) = m(t)cos( - ’) - m (t)sin(-’) Détection cohérente = - ’ = 0
A(t) = m(t)
- Modulation à Bande Latérale Résiduelle (BLR) Définition
La modulation d'amplitude à BLR est un compromis entre la modulation à BLU et la modulation d'amplitude DBSP ou DBAP. En conservant un vestige de la bande latérale non désirée, on diminue les exigences imposées au filtre de bande latérale et on facilite la transmission d'un signal modulant ayant des composantes basse fréquences importantes. Cette modulation est largement utilisée pour la transmission d'un signal vidéo (en télévision) où la largeur de la bande occupée est d'environ 1.25F. 93
Représentation spectrale du signal modulant M(f)
-F
S(f)
+F
f0
-f0
f0+F
F (1+)F
Génération du signal modulant On montre que s(t) = [m(t)cos(2fot) - m (t)sin(2fot)]h(t) Bande Latérale Unique où h(t) est la réponse impulsionnelle d'un filtre passe-haut. Le principe général d'un modulateur à BLR est donné par : m(t)
Modulateur BLU
Signal modulé BLU
Filtre H(f)
s(t)
94
H(f) est une fonction de transfert à symétrie localement impaire au voisinage de fo. La démodulation d'un signal modulé à BLR peut être faite moyennant un détecteur synchrone.
95
Multiplexage en fréquence Le multiplexage en fréquence peut servir à communiquer un ensemble de signaux sur un même canal de transmission. La bande passante du canal de transmission est divisée en sous-bandes occupées par les différents messages, chacun d’eux assignés à une porteuse correspondante. Au récepteur une bande de filtres est utilisée pour dé-multiplexer les messages. Le principe est illustré à la figure suivante :
Figure 96
