Chapitre II-Poussée et butée - Finale - Copie.doc

ECOLE MOHAMMADIA D’INGENIEURS

- GEOTECHNIQUE II Chapitre II : POUSSEE ET BUTEE 2ème génie civil

I/ TERRES AU REPOS Soit un massif de sol homogène à surface horizontale. Si le sol n’est pas soumis à un déplacement latéral (εh=0), il se trouve dans un état initial qui dépend de son histoire géologique, on nomme cet état : poussée des terres au repos (sans déplacement). Pour définir l’état des terres au repos, on relie la contrainte effective horizontale ζ’h0 à la contrainte effective verticale ζ’v0=γ’z par le coefficient de pression des terres au repos K0

 'h 0  K 0 'v

0

Géotechnique II

I/ TERRES AU REPOS

Le coefficient des terres au repos pourrait être déterminé expérimentalement à l’aide de l’appareil triaxial:

Coefficient des terres au repos:

 'h K0   'v

Géotechnique II

I/ TERRES AU REPOS La valeur de K0 varie suivant le type du sol. Elle est donnée, de façon approximative, au tableau suivant :

Pour les sols pulvérulents et les sols fins normalement consolidés, on pourra utiliser la formule simplifiée de JAKY si le terre plein est horizontal :

K0  1  sin  ' Géotechnique II

I/ TERRES AU REPOS  S’il existe un talus de pente β, la valeur de K0, avec la même définition, sera :

K 0   K 0 (1  sin  )  Par rapport aux sols normalement consolidés, la valeur de K0 augmente pour les sols surconsolidés. D’autant plus que le coefficient de surconsolidation ROC est important. On pourra utiliser la relation suivante : 1/ 2 K 0  (1  sin  ' ) ROC

Avec : ROC

 'p   'v 0

Géotechnique II

II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE 1) Cas actif: équilibre de poussée Soit un massif de sol homogène à surface horizontale, maintenu par un écran, et soit F l’effort nécessaire pour maintenir l’écran immobile.  Si l’effort F est relâché, il y a un léger déplacement Δ de l’écran.  Si le déplacement est important; il y a rupture du sol derrière l’écran (éboulement) par formation de surfaces de glissement. La rupture correspond à l’équilibre de poussée ou actif: le sol agit sur l’écran Géotechnique II

II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE 2) Cas passif: équilibre de butée Soit un massif de sol homogène à surface horizontale, maintenu par un écran, et soit F l’effort nécessaire pour maintenir l’écran immobile.  Si l’effort F est augmenté, il y a un léger déplacement Δ de l’écran.  Si le déplacement est important; il y a rupture du sol derrière l’écran (refoulement) par formation de surfaces de glissement. La rupture correspond à l’équilibre de butée ou passif: le sol subit l’action de l’écran Géotechnique II

II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE 3) Déplacements nécessaires pour atteindre les équilibres limites pour qu’il y est équilibre de poussée ou de butée, il faut qu’il y est déplacement, grossièrement, de:  l’ordre de H/1000 pour mobiliser la poussée (pour H=10m, il faut un déplacement Δa=1cm)  Supérieur à H/100 pour mobiliser la butée (pour H=10m, il faut un déplacement Δp=10cm).

Géotechnique II

II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE 4) Équilibres limites en contraintes a) équilibre limite actif ou de poussée Lors de l’expansion latérale (Le sol pousse sur l’écran), la contrainte ζ’v0 reste constante et la contrainte horizontale initiale ζ’h0 diminue, jusqu’à ce que le cercle de Mohr devienne tangent à la courbe intrinsèque pour une contrainte horizontale: ζ’a. C’est l’équilibre actif ou de poussée. Remarque: ζ’v reste la contrainte principale majeure.

Géotechnique II

II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE 4) Équilibres limites en contraintes a) équilibre limite actif ou de poussée: plans de rupture Les plans de rupture constituent un réseau de surfaces de glissement planes dont l’inclinaison est donnée par les points de contact avec la courbe intrinsèque.

Géotechnique II

II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE 4) Équilibres limites en contraintes b) équilibre limite passif ou de butée Lors de la contraction latérale (L’écran pousse sur le sol), la contrainte ζ’v0 reste constante et la contrainte horizontale initiale ζ’h0 augmente, jusqu’à ce que le cercle de Mohr devienne tangent à la courbe intrinsèque pour une contrainte horizontale: ζ’p. C’est l’équilibre passif ou de butée. Remarque: ζ’v devient la contrainte principale mineure.

Géotechnique II

II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE 4) Équilibres limites en contraintes b) équilibre limite passif ou de butée: plans de rupture Les plans de rupture constituent un réseau de surfaces de glissement planes dont l’inclinaison est donnée par les points de contact avec la courbe intrinsèque.

Géotechnique II

A NOTER:

On admet que les ouvrages de soutènement sont susceptibles de se déplacer suffisamment pour qu’apparaissent dans le sol des lignes de glissement correspondant à l’équilibre plastique.

Cette hypothèse est pratiquement toujours vérifiée puisque les déplacements nécessaires pour passer de l’état de pression au repos à l’état de poussée sont faibles (Δa=H/1000).

Géotechnique II

A NOTER: 1) Principe de superposition Les sols contenus par les ouvrages de soutènement sont:  pesants  généralement cohérents  peuvent supporter des surcharges La force de poussée est obtenue en superposant les trois états d’équilibre plastique:  Pesant, non cohérent, non surchargé  Non pesant, non cohérent, surchargé  Non pesant, cohérent, non surchargé

III/ RUPTURE DES MASSIFS EQUILIBRE DE RANKINE

SEMI-INFINIS

1) Coefficients de poussée et de butée La théorie de Rankine repose sur les hypothèses suivantes:  le sol est isotrope  la présence de discontinuité (écran, mur) ne modifie pas la répartition des contraintes verticales.

-


SEMI-INFINIS

1) Coefficients de poussée et de butée • la contrainte de poussée est reliée à la contrainte verticale ζ’v0 par le coefficient de poussée Ka :  'a  K a . 'v 0 • la contrainte de butée est reliée à la contrainte verticale ζ’v0 par le coefficient de butée Kp :  ' p  K p 'v 0

-


SEMI-INFINIS

2) Massif horizontal

γ  0  a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé c'  0 q  0 

Rappel: La relation entre contraintes principales à la rupture est:   '    '    '3 2c' tan   4 2 4 2

 '1  tan 2 

  '    '    '1 2c' tan   4 2 4 2

 '3  tan 2 

- Trouver les coefficients de poussée Ka et de butée Kp.

-


SEMI-INFINIS

γ  0  c'  0 a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé: q  0  '   .z   '1 '   Coefficient de poussée Ka:  v 2  K a  tan     'a  K a . .z   '3 4 2


 Coefficient de butée Kp:

État de poussée

 'v   .z   '3   ' p  K p . .z   '1

  '  K p  tan    4 2 2

État de butée

-


SEMI-INFINIS

2) Massif horizontal a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé: La distribution des contraintes sur un écran plan varie linéairement avec z:

 a  K a . .z H

La force de poussée résultante est:

Fa   K a . .z.dz 0

1 Fa  K a . .H 2 2 La force de poussée s’exerce au tiers inférieur de H.

-


SEMI-INFINIS


γ  0  b) Milieu non pesant, non cohérent, surchargé: c'  0 q  0 

Rappel: La relation entre contraintes principales à la rupture est:   '    '    '3 2c' tan   4 2 4 2

 '1  tan 2 

  '    '    '1 2c' tan   4 2 4 2

 '3  tan 2 

- Trouver les coefficients de poussée Kaq et de butée Kpq.

-

III/ RUPTURE DES MASSIFS EQUILIBRE DE RANKINE 2) Massif horizontal b) Milieu pesant, non cohérent, surchargé:  '  q   '1  Coefficient de poussée Kaq:  v  'a  K aq .q   '3  'v  q   '3  Coefficient de butée Kpq:   ' p  K pq .q   '1

État de poussée

SEMI-INFINIS

-

γ  0  c'  0 q  0 

  '  K aq  tan    4 2 2

  '  K pq  tan    4 2 2

État de butée

N.B: la surcharge q a une valeur constante, indépendante de la profondeur.


SEMI-INFINIS

2) Massif horizontal a) Milieu pesant, non cohérent, surchargé: La distribution des contraintes sur un écran plan est uniforme:

 a  K aq .q H


Faq   K aq .q.dz 0

Faq  K aq .q.H La force de poussée s’exerce au milieu de H.

-


SEMI-INFINIS


γ  0  c) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé: c'  0 q  0 Rappel: Théorème des états correspondants 

a: la courbe intrinsèque d’un sol cohérent (c’#0 et φ’#0) avec 2 cercles de Mohr: C1 (en équilibre limite) C2 ( en équilibre surabondant).  b: la courbe intrinsèque d’un sol pulvérulent (c’=0 et φ#0) de même angle de frottement interne que le sol précédent: C1 et C2 sont obtenues par translation égale à: c' OO'  tan  '

- L’état du sol vis-à-vis de la rupture est identique dans les deux cas.

-

III/ RUPTURE DES MASSIFS EQUILIBRE DE RANKINE 2) Massif horizontal

SEMI-INFINIS

γ  0  c) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé: c'  0 Rappel: Théorème des états correspondants (suite)  q  0

Appliquer une translation c’/tanφ’ sur un cercle de Mohr quelconque revient à appliquer une contrainte normale supplémentaire d’intensité c’/tanφ’ sur chaque facette de chaque point.

Un milieu cohérent peut être transformé en milieu pulvérulent de même angle de frottement interne, en appliquant autour du massif une pression hydrostatique d’intensité égale à c’/tanφ’.

-


SEMI-INFINIS

-


γ  0 c) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé: c'  0  Application du théorème des états correspondants: q  0

- On suppose un milieu fictif pulvérulent (non pesant) chargé en surface: q=c’/tanφ’ - on applique le théorème des états correspondants pour passer au milieu réel cohérent on soustrait la pression hydrostatique d’intensité égale à c’/tanφ’.

État de poussée

État de butée

- Trouver les contraintes de poussée et de butée ζ’a et ζ’p.

III/ RUPTURE DES MASSIFS EQUILIBRE DE RANKINE 2) Massif horizontal c) Milieu non pesant, cohérent, non

SEMI-INFINIS

γ  0  surchargé: c'  0 q  0 

 En équilibre de poussée: Milieu fictif (non cohérent) c'   '  v  tan  '    '  K . c' a  h tan  '

Milieu réel (cohérent) c'   '   '  v v  tan  '    '   '  c' h  h tan  '

 'h  2c'. K a

traction

 'h  ( K a  1).

c' tan  '

-

III/ RUPTURE DES MASSIFS EQUILIBRE DE RANKINE 2) Massif horizontal c) Milieu non pesant, cohérent, non

SEMI-INFINIS

γ  0  surchargé: c'  0 q  0 

 En équilibre de butée: Milieu fictif (non cohérent) c'   '  v  tan  '    '  K . c' p  h tan  '

Milieu réel (cohérent) c'   '   '  v v  tan  '    '   '  c' h  h tan  '

 'h  2c'. K p

compression

 'h  ( K p  1).

c' tan  '

-


SEMI-INFINIS


γ  0 d) Cas général: milieu pesant, cohérent, surchargé c'  0 q  0  Superposition des trois états:

 En équilibre de poussée:

 'h  K a .( .z  q)  2c'. K a  En équilibre de butée:

 'h  K p .( .z  q)  2c'. K p

Traction jusqu’à: zc 

2c' q   Ka 

-

Exercice: Nous avons une tranchée de 5m de profondeur à creuser dans un dépôt argileux. La résistance moyenne en compression simple est de 44 KPa et la densité du matériau est de γ=16 KN/m3 . 1) Calculer et tracer le diagramme de pression des terres requis pour le design du mur de soutènement à court terme.

1) Calculer également la force résultante et commenter le résultat.


SEMI-INFINIS

2) Massif incliné

γ  0  a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé c'  0 q  0 

Contrainte géostatique: Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontale. Le milieu est pulvérulent (d’angle de frottement interne φ et de poids volumique γ). La contrainte géostatique qui s’exerce en un point M à une profondeur h, sur la facette parallèle à la surface libre est:

 .z. cos 

-


SEMI-INFINIS

-

2) Massif incliné a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé

α

θ

Massif de sol gauche

Convention de signes:

θ

α

φ’: angle de frottement interne du sol θ: inclinaison du mur β: inclinaison du massif α: angle de frottement sol-écran

Massif de sol droite

-Massif de sol à droite -Massif de sol gauche

angles + dans le sens trigonométrique angles + dans le sens horaire.


SEMI-INFINIS

2) Massif incliné:

-

γ  0  a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé c'  0 q  0  Etat de poussée: Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontale en équilibre limite inférieur. Le milieu est pulvérulent (d’angle de frottement interne φ et de poids volumique γ). Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la répartition des contraintes de poussée est linéaire: T  K a . .r Avec K aγ coefficient de poussée: sin  . cos(   ) K a  . 1  2 sin . cos(2     )  sin 2  sin(   )

sin  

sin  sin 

α

θ


SEMI-INFINIS

2) Massif incliné

-

γ  0  a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé c'  0 q  0  Etat de poussée: L’inclinaison θ de la contrainte s’exerçant sur une facette portée par OL est constante tout le long du rayon vecteur est égale à:

tan  

sin . sin(2     ) 1  sin . cos(2     )

α θ


SEMI-INFINIS

-

2) Massif incliné a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé: Etat de poussée: La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α): T  K . .r a

l


Fa   K a . .r.dr 0

1 Fa  K a . .l 2 2

Faγ θ

La force de poussée s’exerce au tiers inférieur de l.

α


SEMI-INFINIS

2) Massif incliné

-

γ  0  a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé c'  0 q  0  Etat de poussée: cas particulier d’une facette verticale Le long de la demi-droite verticale, la répartition des contraintes de poussée est linéaire:

T  K a . .z. cos 

Avec K aγ coefficient de poussée:

Ka 

cos   cos 2   cos 2  cos   cos   cos  2

2

 K a . cos  α=β


SEMI-INFINIS

2) Massif incliné

γ  0  a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé: c'  0 q  0 

Etat de poussée: cas particulier d’une facette verticale La distribution des contraintes sur un écran plan vertical varie linéairement avec H (avec une inclinaison α=β): T  K . .z. cos  a

H


Fa   K a . . cos  .z.dz 0

1 Fa  K a . . cos  .H 2 2 La force de poussée s’exerce au tiers inférieur de H.

-

III/ RUPTURE DES MASSIFS EQUILIBRE DE RANKINE 2) Massif incliné:

SEMI-INFINIS

-

γ  0  a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé c'  0 q  0  Etat de butée: Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontale en équilibre limite supérieur. Le milieu est pulvérulent (d’angle de frottement interne φ et de poids volumique γ). Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la répartition des contraintes de butée est linéaire: T  K . .r p Avec K pγ coefficient de butée:

K p 

sin  . cos(   )

sin  

sin(   )

sin  sin 

. 1  sin . cos(2     )

III/ RUPTURE DES MASSIFS EQUILIBRE DE RANKINE 2) Massif incliné

SEMI-INFINIS

-

γ  0  a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé c'  0 q  0  Etat de butée: L’inclinaison α de la contrainte s’exerçant sur une facette portée par OL est constante tout le long du rayon vecteur est égale à:

tan  

sin . sin(2     ) 1  sin . cos(2     )


SEMI-INFINIS

-

2) Massif incliné a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé: Etat de butée: La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α): T  K . .r p

l

La force de butée résultante est:

1 Fp  K p . .l 2 2

Fp   K p . .r.dr 0

La force de butée s’exerce au tiers inférieur de l.


SEMI-INFINIS

2) Massif incliné:

-

γ  0  a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement c'  0 q  0  Etat de poussée: Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la répartition des contraintes de poussée est uniforme: T  K .q aq Avec K aq coefficient de poussée: K aq 

K a cos(   )

L’inclinaison de la contrainte de poussée par rapport à la normale à OL est: sin . sin(2     ) tan   1  sin . cos(2     )

α θ


SEMI-INFINIS

2) Massif incliné:

γ  0  a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement c'  0 q  0  Etat de poussée: La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α): T  K .q aq

l

La force de poussée résultante est: Faq

  K aq .q.dr 0

Faq  K aq.q.l Faq

θ

La force de poussée s’exerce au milieu de l.

α

-

III/ RUPTURE DES MASSIFS EQUILIBRE DE RANKINE 2) Massif incliné:

SEMI-INFINIS

-

γ  0  a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement c'  0 q  0  Etat de butée: Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la répartition des contraintes de butée est uniforme: T  K pq .q Avec K pq coefficient de butée: K pq 

K p cos(   )

L’inclinaison de la contrainte de butée par rapport à la normale à OL est:

tan  

sin . sin(2     ) 1  sin . cos(2     )


SEMI-INFINIS

2) Massif incliné:

γ  0  a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement c'  0 q  0  Etat de butée: La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α): T  K .q l


Fpq   K pq .q.dr 0

Fpq  K pq .q.l

La force de butée s’exerce au milieu de l.

pq

-


SEMI-INFINIS

2) Massif incliné:

-

γ  0 a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé c'  0 q  0  Etat de poussée: Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la répartition des contraintes de poussée est uniforme: T  K .c ac Avec K ac coefficient de poussée:

 2 cos  K ac  . cos(   ) 1  sin 

Traction

L’inclinaison de la contrainte de poussée par rapport à la normale à OL est:

  (   )


SEMI-INFINIS

2) Massif incliné:

γ  0 a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé c'  0 q  0  Etat de poussée:

La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α): T  K .c l


ac

Fac   K ac .c.dr 0

Fac  K ac.c.l La force de poussée s’exerce au milieu de l.

Fac

-


SEMI-INFINIS

2) Massif incliné:

-

γ  0 a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé c'  0 q  0  Etat de butée: Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la répartition des contraintes de butée est uniforme: T  K pc.c Avec K pc coefficient de butée:

2 cos  K pc  . cos(   ) 1  sin 

Compression

L’inclinaison de la contrainte de butée par rapport à la normale à OL est:

  (   )


SEMI-INFINIS

-

2) Massif incliné:

γ  0 a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé c'  0 q  0  Etat de butée:

La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α): T  K .c l


Fpc   K pc .c.dr 0

Fpc  K pc.c.l La force de butée s’exerce au milieu de l.

pc


SEMI-INFINIS

3) Insuffisance de la théorie de Rankine  Hypothèse Rankine:

de

la

théorie

de

la présence d’un écran ne modifie pas la répartition des contraintes dans le massif.  Inconvénient de la théorie de Rankine: l’angle de la contrainte de poussée avec la normale à l’écran dépend des conditions géométrique mais n’a pas la réalité physique d’un angle de frottement sol-écran.

δ=α

-


SEMI-INFINIS

-

3) Insuffisance de la théorie de Rankine  Interaction sol-écran: - le déplacement relatif du sol sur un écran rugueux

frottement d’angle δ.

- l’angle de frottement sol-écran δ dépend de l’état de surface de l’écran et de la nature du sol: 0≤ δ ≤φ - δ=0: écran parfaitement lisse (ex: palplanche métallique) - δ=2φ’/3: surface rugueuse (ex: béton lisse) - δ=φ: surface très rugueuse (ex: béton sous des fondations) δ#α

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 1) Théorie de Boussinesq:

(Boussinesq (1882) a amélioré la théorie de Rankine en prenant l’interaction réelle entre le sol et l’écran, c.à.d. en choisissant la valeur de l’angle de frottement δ sol-écran.

δ#α

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 1) Théorie de Boussinesq: a) Hypothèses  massif pesant, non cohérent et non surchargé;  massif à surface plane.  écran rugueux (angle de frottement sol-écran est δ) La mise en équation du problème a donné un système d’équations différentielles non intégrables explicitement résolution numérique de Caquot et Kérisel

Dans cet équilibre, Boussinesq considère une première zone ou on a l’équilibre de Rankine se raccordant à une seconde zone ou il tient compte des conditions aux limites sur l’écran.

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 1) Théorie de Boussinesq: b) Lignes de glissement Deux équilibres à considérer:  Equilibre de Rankine: dans la zone entre surface libre et plan de glissement passant par O.  Equilibre de Boussinesq: dans la zone entre écran et plan de glissement passant par 0 Etat de poussée

Remarque: Pour la poussée et pour un écran pas trop incliné, les courbes de glissement sont, à peu près, des lignes droites. Etat de buée

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 1) Théorie de Boussinesq: c) Calcul des contraintes

φ’: angle de frottement interne du sol λ: inclinaison du mur β: inclinaison du massif δ: angle de frottement sol-écran

Massif de sol gauche

Convention de signes:

Massif de sol droite

-Massif de sol à droite -Massif de sol gauche

angles + dans le sens trigonométrique angles + dans le sens horaire.

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 1) Théorie de Boussinesq: c) Calcul des contraintes L’intensité de la contrainte agissant sur l’écran à la distance r du sommet O est:  Poussée:

T  K a . .r

Butée:

T  K p . .r

Kaγ et Kpγ sont donnés par les tables de Kérisel et Absi en fonction de: φ’, λ, β/φ’ et δ/φ’

φ’: angle de frottement interne du sol λ: inclinaison du mur β: inclinaison du massif δ: angle de frottement sol-écran

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 1) Théorie de Boussinesq: c) Calcul des contraintes: table de Kérisel et Absi de Kaγ et Kpγ pour β=λ=0

Kaγ et Kpγ sont donnés par les tables de Kérisel et Absi en fonction de: φ’, λ, β/φ’ et δ/φ’

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 1) Théorie de Boussinesq: d) calcul des forces Etat de poussée: La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ): T  K . .r a

l


Fa   K a . .r.dr 0

1 Fa  K a . .l 2 2

Faγ λ

La force de poussée s’exerce au tiers inférieur de l.

δ

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 1) Théorie de Boussinesq: d) Calcul des forces Etat de butée: La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ): T  K . .r p

l


1 Fp  K p . .l 2 2

Fp   K p . .r.dr 0

La force de butée s’exerce au tiers inférieur de l.

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 2) Théorie de Prandtl: a) Hypothèses Théorie de Boussinesq

Théorie de Prandtl

massif pesant, non cohérent et non massif non pesant, non cohérent surchargé . surchargé uniformément.

et

massif à surface plane (inclinaison β) massif à surface plane (inclinaison β) écran rugueux (angle de frottement écran rugueux (angle de frottement solsol-écran est δ) écran est δ) mise en équation du problème: mise en équation du problème : - système d’équations différentielles - système d’équations différentielles non intégrables explicitement: analogues à celles régissant les équilibres de Boussinesq: résolution numérique de Caquot et Kérisel Intégration analytique possible

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 2) Théorie de Prandtl: b) Lignes de glissement Les lignes de glissement est une juxtaposition de deux zones en équilibre de Rankine reliées par une zone en équilibre de Prandtl.

L’évantail de Prandtl est un faisceau de droites issues de l’origine coupées par des spirales logarithmiques

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 2) Théorie de Prandtl: b) Lignes de glissement

O Ω

Équilibre de Rankine (les lignes de glissement sont constituées de deux familles de plans faisant entre eux un angle de π/2±φ)

Équilibre de Rankine

Équilibre de Prandtl (les lignes de glissement sont constituées: -d’une part, par des plans rayonnants passant par O -D’autre part, par des spirales logarithmiques.

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 2) Théorie de Prandtl: c) Calcul des contraintes: cas de la poussée Soient OT et OT’ les plans limitant les formes d’équilibre, on désignera par:

• µ: l’angle TOA • Ψ: l’angle TOT ' • ε: l’angle BOT ' Le calcul conduit aux formules générales suivantes:

q2  q1

cos   sin  cos  2 tan  e  K 'a .q1 cos   sin  cos 

sin  

sin  sin 

sin  

sin  sin 

1          2 2 

 

1          2 2 

 

  

         2 2

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 2) Théorie de Prandtl: c) Calcul des contraintes: cas de la poussée Les conventions de signe relatives à α et δ sont données comme suit:

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 2) Théorie de Prandtl: c) Calcul des contraintes: cas de la butée Le calcul conduit aux formules générales suivantes: cos   sin  cos  2 tan  q2  q1 e  K ' p .q1 cos   sin  cos  1          2 2 

 

1          2 2 

sin  

sin  sin 

sin  

sin  sin 

 

  

         2 2

Les conventions de signe relatives à α et δ

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 2) Théorie de Prandtl: c) Calcul des contraintes: coefficients de poussée L’intensité de la contrainte agissant sur l’écran à la distance r du sommet O est:  Poussée:

q2  K 'a .q1

Butée:

q2  K ' p .q1

K’a et K’p sont donnés par les tables de Kérisel et Absi en fonction de: φ’, Ω, α et δ

φ’: angle de frottement interne du sol α: obliquité de la surcharge q1 δ: angle de frottement sol-écran λ: inclinaison du mur       β: inclinaison du massif 2

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 2) Théorie de Prandtl: c) Calcul des contraintes: tables de Kérisel et Absi

K’a et K’p sont donnés par les tables de Kérisel et Absi en fonction de: φ’ et δ pour Ω=π et α=0

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 2) Théorie de Prandtl: d) Calcul des forces: Etat de poussée: La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ): T  K ' .q a

l

La force de poussée résultante est: Faq

  K 'a .q.dr 0

Faq  K 'a .q.l Faq

λ

La force de poussée s’exerce au milieu de l. δ

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 2) Théorie de Prandtl: d) Calcul des forces: Etat de butée: La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ): T  K ' .q l


Fpq   K ' p .q.dr 0

Fpq  K ' p .q.l

La force de butée s’exerce au milieu de l.

p

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE DE BOUSSINESQ 3) Prise en compte de la cohésion: L’application du théorème des états correspondants consiste à appliquer une pression hydrostatique H’=c’/tanφ’ aux limites du massif.

L’écran, dans ce cas, est soumis à deux actions: 1.action correspondant à H’: perpendiculaire au mur et s’exerçant au milieu de l: C  H '.l 2.action de la poussée des terres sous l’effet de la surcharge H’ (calculée par la théorie de Prandtl pour surcharge normale à la surface libre) s’exerçant au milieu de l: P  K 'a .H ' La force de poussée résultante à prendre en compte est: Pc (traction): résultante de P et de C

Exercice n°1: le remblai en sable de la figure ci-contre est retenu par un mur de soutènement à paroi verticale. il est mal drainé et il est complètement saturé.

c’=0 φ=30° γd=16KN/m3 γs=27KN/m3

Sachant qu’est appliquée sur le remblai une surcharge uniforme q=50KPa, déterminer la force de poussée exercée sur le mur (δ=10°). déterminer aussi les composantes normales et tangentielle de la force de poussée

V/ METHODE DE COULOMB

Mise au point par Coulomb en 1773, cette méthode (la plus ancienne) permet de déterminer les forces de poussée et de butée limites s’exerçant dans le sol derrière un écran quelconque sans considération de l’état des contraintes dans le sol derrière le mur.

V/ METHODE DE COULOMB La méthode de Coulomb repose sur des hypothèses très différentes de celles de Boussinesq. Le principe de la méthode repose sur:  L’ouverture d’une fissure au remblai, suivant une surface plane passant par le pieds de l’écran, lors de la rupture La ligne de glissement est une droite.  La séparation d’une masse de sol qui suit le mur dans son déplacement  La force agissante sur l’écran a une direction connue l’angle de frottement δ entre l’écran et le sol est connu.

La méthode repose sur l’étude de l’équilibre d’un prisme à base triangulaire: c’est le coin de Coulomb

V/ METHODE DE COULOMB La théorie du coin de Coulomb s’applique aux milieux pulvérulents, pesants et surchargés. Elle est moins satisfaisante que la théorie de l’équilibre limite puisqu’elle ne considère qu’une surface de rupture plane. Cependant, elle a retrouvé un regain d’intérêt pour une raison totalement matérielle.

Fa

Cette méthode consiste à étudier l’équilibre du prisme limité par un plan incliné. Le prisme est soumis à son poids W, à la surcharge éventuelle q, à la réaction R inclinée de –φ (poussée) et de +φ (butée) et à la réaction de l’écran –Fa ou –Fp inconnue mais d’inclinaison δ.

V/ METHODE DE COULOMB 1) Principe de la méthode: Soit un mur de soutenant un massif de sol pulvérulent, d’angle de frottement interne φ. On suppose que la surface de rupture est le plan AC faisant l’angle θ avec l’horizontale. En chaque point M du plan de rupture s’exerce une contrainte ζ faisant l’angle φ avec la normale au plan est située d’un coté ou de l’autre de cette normale, suivant que le massif est en poussée ou en butée. Donc la réaction totale R du sol sur ce plan de rupture fait avec la normale à ce plan l’angle φ.

V/ METHODE DE COULOMB 1) Principe de la méthode: le calcul de la force agissante sur le mur consiste à considérer l’équilibre statique des forces agissantes sur le coin de sol ABC. Ces forces sont:  le poids W;  la réaction R exercée par le mur sur le plan de rupture AC; La force F exercée par le mur: inclinée de l’angle δ sur la normale au parement du mur; cette force est notée Fa ou Fp selon que la force de réaction est inclinée de +φ ou de –φ sur la normale au plan de rupture avec l’horizontale. On détermine ainsi la valeur de la force F en fonction de l’angle θ que fait le plan de rupture avec l’horizontale. La méthode de Coulomb consiste à prendre le maximum F+ ou le minimum F- de F(θ) pour calculer Fa ou Fp: dans les deux cas on a: dF ( ) 0 d

V/ METHODE DE COULOMB 2) Calcul: milieu pesant, non surchargé Le diagramme des forces appliquées sur le coin ABC donne, dans le cas de la poussée: sin(   ) 1 sin(   ). sin(   ) F W Avec: W  l 2 sin(       ) 2 sin(   )

Pour trouver l’orientation du plan de rupture, il faut déterminer le maximum de F+, c’est-à-dire chercher la valeur de θ qui vérifie:

dF  ( ) 0 d

V/ METHODE DE COULOMB 2) Calcul: milieu pesant non surchargé 1 K a l 2 2 sin 2 (   )

La force de poussée est: Fa 

K a 

2

 sin(   ). sin(   )  sin(   ) 1   sin(    ). sin(    )   La force de butée a, de même, pour expression générale: F  1 K l 2 p p 2 sin 2 (   ) K  2 Avec: p  sin(   ). sin(   )  sin(   ) 1   sin(    ). sin(    )   Avec:



 a    arc cot cot(   )  

sin(   ) sin(   )   sin(   ) sin(   ) sin(   )  1

V/ METHODE DE COULOMB 2) Calcul: cas simple d’un écran vertical, d’un massif horizontale et δ=0: Cas de la poussée:

Ka  ?

V/ METHODE DE COULOMB 2) Calcul: cas simple d’un écran vertical, d’un massif horizontale et δ=0: Cas de la poussée: F W

sin(   )  W tan(   ) cos(   )

1 Avec: W  H 2 cot  2

1 F   H 2 cot  tan(   ) 2

On cherche le maximum de F:  1 dF  ( ) 1 2  tan(   ) cot  2  sin 2  sin 2(   )   H   0   H  2 2  2 2 d 2 sin  cos (    )   4  sin  cos (   )       Le maximum a lieu pour    Ce qui correspond à: K a  tan 2    4 2 4 2 La valeur de la force de poussée Fa est alors:

1    Fa  H 2 tan 2    2 4 2

V/ METHODE DE COULOMB 2) Calcul: milieu pesant non surchargé (Formule de Poncelet): 1 Cas de la poussée: Fa  K a . .l 2 2 K a 

cos 2 (   )  sin(   ). sin(   )  cos(   ) 1   cos(    ). cos(    )   

 a    arc cot tan(   )  

2

sin(   ) cos(   )   cos(   ) sin(   ) cos(   ) 

Cas de la butée: Fp  K p 



1

1 K p . .l 2 2

cos 2 (   )  sin(   ). sin(   )  cos(   ) 1   cos(    ). cos(    )  

2

 2



V/ METHODE DE COULOMB 2) Calcul: milieu non pesant, surchargé:

Faq  K aq.q.l

Cas de la poussée:

K aq 

K a cos(   )

Cas de la butée:

Fpq  K pq .q.l Fa

K pq 

K p cos(   )

VI/ METHODE DE CULMANN

Lorsque les conditions géométriques ne permettent pas de déterminer analytiquement la force de poussée ou de butée, on utilise alors la méthode graphique de Culmann.

VI/ CONSTRUCTION DE CULMANN on détermine, grâce au graphique de la résultante générale des forces appliquées (Wi, Ri, Fi), la force correspondante Fi exercée sur le parement du mur. Pour cela: La masse de sol derrière le mur est subdivisée en une succession de coins. Pour chacun de ces coins, délimité par un plan de rupture passant par le point B au pied du mur et incliné de l’angle θi sur l’horizontale, on reporte:  les poids Wi des différents coins sur un axe BX faisant l’angle φ avec la direction horizontale;  les forces Fi qui sont tracées à partir des extrémités des Wi, parallèlement à l’axe BY faisant l’angle (δ+η) avec l’axe BX .

 Les extrémités des forces Fi sont sur les plans de rupture inclinés de θi (constituent la ligne de Culmann).

VI/ CONSTRUCTION DE CULMANN Le point où la tangente à cette courbe est parallèle à l’axe BX correspond à la valeur maximale de F, soit à la poussée limite Fa, et détermine le plan de rupture le plus dangereux, incliné de l’angle θa sur l’horizontale.

METHODES DE COULOMB ET CULMANN 1) Avantages et cas d’utilisation  Méthode simple  Prise en compte de configurations compliquées facile à résoudre graphiquement (massifs non rectilignes, surcharges non uniformes, forces d’écoulement,…)

 Bons résultats en poussée pour des écrans peu inclinés.

2) Inconvénients et cas de non utilisation  Théoriquement insuffisante (surface de rupture rectiligne)

 Inclinaisons marquées (les poussées sont sous-estimées)  Inexactes dans le cas de la butée ( grandes courbures dans les lignes de rupture).

VII/ CAS PRATIQUES 1) Massif stratifié:

VII/ CAS PRATIQUES 1) Massif stratifié: Remarque A la limite de deux couches; par exemple au point A, la contrainte peut être différente selon que le point A est considéré: comme étant situé à la base de la couche i-1 de caractéristiques ci-1 et φi-1 (point A-) ou comme étant situé en tête de la couche i de caractéristiques ci et φi (point A+).

Il est donc indispensable de considérer séparément les points A- et A+ pour établir le diagramme de pression des terres. Le calcul conduit à des discontinuités parfois importantes. Dans la pratique, de telles discontinuités ne sauraient exister de façon brutale.

VII/ CAS PRATIQUES 2) Massif à nappe d’eau La présence d’une nappe d’eau dans le massif de sol implique la superposition de: l’action de la poussée du sol immergé; la poussée hydrostatique de l’eau; Remarque: la poussée de l’eau sur les ouvrages est considérable; c’est pour cette raison que, dans les murs on prévoit toujours des systèmes de drainage et des évacuations (barbacanes) pour éviter la mise en pression hydrostatique. Beaucoup d’accidents survenus sur des ouvrages de soutènement proviennent du mauvais fonctionnement du système de drainage (du au colmatage par exemple).

Chapitre II-Poussée et butée - Finale - Copie.doc

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