Chapitre 4 - Ferraillage Complet D-une Poutre

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT

___________

" BETON ARME AVANCE " Chapitre 4 Ferraillage complet d’une poutre Epure d’arrêt des barres et renfort de trémies

(Code CCV226)

Enseignant: Joseph PAIS

2017 - 2018

CNAM CCV226 – Béton armé avancé

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Sommaire 4.

FERRAILLAGE COMPLET D’UNE POUTRE ................................................................................. 3 4.1. 4.2. 4.2.1. 4.2.2. 4.2.3. 4.3. 4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.4. 4.4.1. 4.4.2. 4.4.3. 4.5. 4.5.1. 4.5.2. 4.5.3. 4.5.4. 4.6. 4.6.1. 4.6.2. 4.6.3. 4.6.4. 4.7. 4.7.1. 4.7.2. 4.8. 4.8.1. 4.8.2. 4.8.3. 4.8.4. 4.9. 4.9.1. 4.9.2. 4.9.3. 4.9.4. 4.9.5. 4.9.6. 4.9.7. 4.9.8. 4.9.9.

GENERALITES........................................................................................................................... 3 RAPPELS SUR L’EPURE D’ARRET DES BARRES. ........................................................................... 3 Introduction ........................................................................................................................ 3 Décalage de la courbe des moments fléchissant .............................................................. 3 Epures d’arrêt des barres .................................................................................................. 6 EXERCICE 1 : CALCUL D’UNE EPURE D’ARRET DES BARRES. ...................................................... 10 Estimation du bras de levier « zc » .................................................................................. 10 Calcul des moments résistants ........................................................................................ 10 Tracé de l’épure ............................................................................................................... 11 EXERCICE 2 : VERIFICATION D’UNE EPURE D’ARRET DES BARRES............................................... 12 Dimensionnement en flexion simple ................................................................................ 13 Plan de ferraillage issu d’un logiciel de calcul ................................................................. 13 Calcul manuel de l’épure d’arrêt des barres .................................................................... 14 EXERCICE 3 : EPURE D’ARRET DES BARRES AVEC 3 LITS D’ARMATURES ..................................... 15 Calcul des sollicitations .................................................................................................... 16 Dimensionnement en flexion simple ................................................................................ 16 Détermination de l’épure d’arrêt des barres .................................................................... 16 Plan de ferraillage final .................................................................................................... 18 MISE EN PLACE DES ACIERS DE PEAUX ..................................................................................... 19 Quantité des aciers de peaux .......................................................................................... 19 Position des aciers de peaux ........................................................................................... 21 Cas des sections en Té ................................................................................................... 22 Cas particuliers - Annexe J .............................................................................................. 22 CHARGES SUSPENDUES (APPUIS INDIRECTS)............................................................................ 23 Calcul des suspentes avec resserrement des cadres ..................................................... 25 Calcul des suspentes avec barres bateau ....................................................................... 27 FERRAILLAGE DES TREMIES..................................................................................................... 28 Rappels sur le treillis de Ritter-Morsch ............................................................................ 28 Ouvertures de petites dimensions. .................................................................................. 29 Ouvertures de grandes dimensions. ................................................................................ 32 Ouvertures isolées ........................................................................................................... 33 EXERCICE 2 : CALCUL DE RENFORTS DE TREMIE. ...................................................................... 43 Calcul de la poutre sans trémie ....................................................................................... 44 Calcul des efforts normaux et moments dans les linteaux .............................................. 45 Calcul des efforts tranchants dans les linteaux ............................................................... 46 Calcul des armatures du demi-linteau supérieur droit. .................................................... 47 Calcul des armatures du demi-linteau supérieur gauche. ............................................... 50 Calcul des armatures du demi-linteau inférieur droit. ...................................................... 52 Calcul des armatures du demi-linteau inférieur gauche. ................................................. 54 Calcul des armatures transversales - section entièrement tendue. ................................ 56 Plan de ferraillage ............................................................................................................ 60

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4. Ferraillage complet d’une poutre 4.1.

Généralités

Nous avons vu dans les cours précédents (CCV109) comment déterminer le ferraillage résistant d’une poutre, composé essentiellement par les aciers longitudinaux et les aciers transversaux. L’objectif de ce document est de décrire trois points complémentaires, nécessaires au ferraillage complet d’une poutre :  Un rappel sur les épures d’arrêt des barres, déjà abordées lors de l’UE CCV109.  La mise en place des aciers de peaux.  La gestion des charges suspendues  Le calcul des renforts de trémies dans les poutres.

4.2.

Rappels sur l’épure d’arrêt des barres. 4.2.1.

Introduction

Nous avons vu lors du cours CCV109 comment calculer une section d’acier théorique pour un moment de flexion donné, et ce pour les aciers tendus et les éventuels aciers comprimés. Si on prend une poutre dans sa totalité, les sollicitations (effort tranchant et moment de flexion) varient le long de cette poutre, et par conséquent les sections d’aciers théoriques également. Il serait donc absurde de mettre en place, sur toute la longueur de la poutre, une section d’armature qui corresponde au moment de flexion max. Pour cela, on trace une épure d’arrêt des barres longitudinales, à partir de la courbe du moment fléchissant enveloppe, qui permet de déterminer la longueur exacte des différents lits d’armatures à mettre en place. Bien entendu, dans les rares cas ou la poutre ne comporte qu’un seul lit d’armatures longitudinales, il n’est pas nécessaire de faire une épure d’arrêt des barres. 4.2.2.

Décalage de la courbe des moments fléchissant

Le décalage de la courbe des moments est nécessaire du fait que l’élément est sollicité à la fois par un moment fléchissant M(x) qu’il soit à l’ELU ou l’ELS et un effort tranchant V(x). En effet, dans les démonstrations abordées au chapitre sur la flexion simple (cf chapitre 9), nous avons considéré une section verticale dans laquelle les armatures en traction équilibrent un effort de compression dans le béton par le diagramme suivant :

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Contrairement au chapitre sur la flexion, on notera ici « yu », la position de l’axe neutre à l’ELU pour ne pas confondre ce terme avec « x » qui est l’abscisse d’arrêt des barres. En réalité, du fait des fissures obliques dues à l’effort tranchant, la section sur laquelle on écrit l’équilibre n’est pas droite mais inclinée (en fonction de l’angle d’inclinaison des bielles). Par conséquent, l’effort de traction supporté par une armature à l’abscisse « x » équilibre l’effort de compression dans le béton à une abscisse « x+al » (article 9.2.1.3 de l’EC2). Cette valeur al est appelée valeur de décalage de la courbe de moment.

Cette notion de décalage est décrite sur le schéma suivant :

Nc

y d

 : angle d’inclinaison des bielles

zc Ns

A

al

x x + al

Nous rappelons que «

zc » représente le bras de levier entre le centre de gravité de la section comprimé

et celui des armatures tendues (utilisé lors du dimensionnement des armatures tendues en flexion simple). Pour réaliser l’épure d’arrêt des barres, on considère que la valeur de z c est constante sur toute la longueur de la poutre et égale à z c  0.9d . D’après le diagramme ci-dessus, on voit que la valeur du décalage dépend de l’angle d’inclinaison des bielles, ce qui est une hypothèse prise lors du dimensionnement à l’effort tranchant. Nous rappelons que cet angle peut varier entre 21.8° et 45°. Il est donc impératif, pour le bon équilibre de la poutre, d’assurer une cohérence des hypothèses de calcul entre la détermination des armatures transversales et le calcul de l’épure d’arrêt des armatures longitudinales :  Faire un calcul avec un angle d’inclinaison des bielles proche de 21.8° va réduire la quantité des armatures transversales mais augmenter la longueur des armatures longitudinales.  Au contraire, faire un calcul avec un angle d’inclinaison des bielles proche de 45° va augmenter la quantité des armatures transversales mais réduire la longueur des armatures longitudinales.  Il n’y a donc pas de règle unique pour déterminer la solution la plus économique, mais c’est un choix de départ à prendre au cas par cas. Les articles 6.2.2 et 6.2.3 de l’EC2 définissent plusieurs valeurs possibles de

al :



Pour les éléments où aucune armature d’effort tranchant n’est requise (§6.2.2), on peut considérer al  d => utile pour les épures d’arrêt des barres des dalles.



Pour les éléments avec armatures d’effort tranchant (§6.2.3), on peut considérer

al  z.

cot   cot  avec z  0.9d (valeur approchée). 2

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Dans le cas des poutres, on doit toujours considérer la 2ème proposition puisque l’on doit obligatoirement mettre en place un pourcentage minimum d’armatures transversales (voir chapitre précédent sur le dimensionnement à l’effort tranchant). L’angle

 représente l’inclinaison des armatures d’effort tranchant.

Dans le cas le plus courant où les bielles sont inclinées à 45° (=45°) et que les armatures d’effort tranchant sont verticales (=90°), on a :

al  z.

cot   cot   0.5 z . 2

Pratiquement, pour prendre en compte cette influence de l’effort tranchant, il suffit de décaler la courbe enveloppe des moments de flexion (repérée « C » sur le schéma ci-dessous) de la valeur « z » parallèlement à l’axe longitudinal de la poutre, en direction des appuis, afin d’obtenir la courbe (C’) :

Comme on peut le voir sur le schéma de droite, la courbe enveloppe des moments doit être décalée sur toute la longueur de la poutre, aussi bien pour les moments en travée que les moments sur appuis. De plus, afin de simplifier les calculs, on considère le bras de levier «

z c » constant sur toute la longueur

de la poutre (égal à la valeur du point de moment max). Nous avons vu précédemment que l’on peut prendre par approximation z c  0.9d . Il est également possible (et plus précis) de considérer la valeur de

z c obtenue lors du dimensionnement

en flexion simple. Bien entendu, dans les rares cas où la section de béton armé est sollicitée uniquement par un moment fléchissant M(x) (par exemple, dans le cas d’un couple imposé), il n’y a pas lieu de décaler la courbe M(x).

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4.2.3.

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Epures d’arrêt des barres

4.2.3.1. Méthodologie En pratique pour le calcul des longueurs des armatures : 1. On dessine la courbe enveloppe des moments de flexion. 2. On calcule les armatures longitudinales nécessaires dans les sections de moment maximaux ( en travée et sur appuis). 3. On calcule les moments résistants des aciers pour chaque lit tel que défini dans les chapitres suivants. 4. On trace ensuite les longueurs de chaque lit sur le graphe de la courbe enveloppe des moments décalée de la valeur de en prolongeant les armatures de al .

4.2.3.2. Moment résistant des aciers pour chaque lit Le moment résistant correspond au moment maximal que peut équilibrer un groupe de i barres tendues : 

de section totale A 

n

A i 1



si

,

pour une hauteur utile di

A L’ELU Pour déterminer le moment résistant de chaque lit d’armatures, il suffit d’inverser les formules que l’on a vues au chapitre 9 sur la flexion simple. Pour chaque lit i, on peut donc exprimer le moment résistant

M rui par la formule M rui  Ai. s .zc

avec :  Ai : section des armatures du lit considéré,  s  f e /  s  z : bras de levier des armatures. On suppose que la valeur du bras de levier Z trouvé lors du calcul de la section d’armatures équilibrant le moment maximal (sur appui ou en travée) est constante sur la longueur de la poutre (cette simplification va dans le sens de la sécurité). Pour un groupe de barre on a  ru 

M

rui

A L’ELS De même que pour l’ELU :



avec z c  d 1 

 

  3 

M rsi  Asi   s  z c

valeur utilisée pour le calcul de Amax en travée et sur appuis.

Pour un groupe de barre on a  s 

M

si

Dans ce cours, nous nous intéresserons uniquement à l’épure d’arrêt des barres ELU.

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4.2.3.3. Longueur d’arrêt des barres Lorsque l’on arrête dans une même section toutes les barres d’un groupe (supposées de même diamètre), leur moment maximal admissible décroît linéairement de M (Mru ou Ms ) à 0 sur la longueur d’ancrage de ces barres. Il suffit de remarquer que :  M rui  Ai   s  zc est, pour 

 s o o

f yk

s

Ai et z constant, proportionnel à  s ,

varie linéairement de sa valeur maximale à 0 sur la longueur d ‘ancrage

la :

la  lbd pour un ancrage droit. la  lbd ,eq pour un ancrage courbe M ru

la

la

Bien entendu, le raisonnement inverse est vrai également : lorsque l’on démarre une barre à une abscisse donnée, le moment résistant et la contrainte admissible dans la barre croient de 0 à la valeur maximale sur la longueur d’ancrage.

4.2.3.4. Diagramme d’épure d’arrêt des barres Dans une poutre de hauteur constante, le diagramme du moment résistant d’un groupe de barres arrêtées se compose donc :  d’un segment de droite parallèle à l’axe de la poutre,  de deux segments inclinés, aux extrémités du groupe de barres, de longueur lbd en projection sur l’axe de la poutre.

La droite inférieure en rouge correspond à l’épure d’arrêt des barres et ne doit jamais croiser la courbe de moment.

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Avant l’abscisse B de départ du 2ème lit, seule le 1er lit est présent, ce qui correspond à un moment résistant égal à

M1 .

Le fait que le lit 2 commence à l’abscisse B ne veut pas dire qu’il soit « mobilisable » à 100% à cette abscisse => il faut ajouter la longueur d’ancrage droit nécessaire pour que ce lit puisse résister à 100% de ces capacités. Ainsi, on aura le moment résistant total ci-dessus.

M1  M 2 qu’à partir du point A sur le schéma

Pour plusieurs groupes de barres arrêtés à des niveaux différents, il est important de vérifier si la distance entre deux points d’arrêt permet de placer la longueur d’ancrage Lbd :

Le schéma ci-dessus résume deux cas de figure :  Si la distance entre les deux points d’arrêt (DB) est supérieure à la longueur d’ancrage, on retombe sur le même type de diagramme que celui vu précédemment => Diagramme de type I.  Si cette même distance est inférieure à la longueur d’ancrage, on est dans le cas du diagramme II. Le principe de fonctionnement du diagramme II est le suivant :  Entre le point D et le point C, on a l’ancrage du lit 2.  Entre le point B et le point A, on a l’ancrage du lit 3.  A partir du point B, le segment B1-C1 représente la part du moment admissible des barres As3 qui vient s’ajouter à celui des barres As2. Cette part nous permet de reprendre une partie de moment supplémentaire :

M  M 3

x la3

.

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4.2.3.5. Principe de la construction de l’épure d’arrêt des armatures longitudinales PRINCIPES Arrêter toujours les armatures par groupes symétriques par rapport au plan moyen. Pour les armatures inférieures :  Commencer par celles de la nappe la plus haute,  Dans chaque nappe, arrêter d’abord les barres les plus proches du plan moyen (si elles ne sont pas toutes arrêter simultanément).

Pour les armatures supérieures : mêmes règles que ci-dessus, en commençant par les nappes les plus basses.

ARRET DES ARMATURES INFERIEURES : Il faut veiller que la courbe d’arrêt des barres soit bien située à l’extérieur de la courbe des moments fléchissants :

NON le segment passe à l’intérieur de la Courbe du moment fléchissant

OUI le segment ne passe pas à l’intérieur

ARRET DES ARMATURES SUPERIEURES Même principe que pour les armatures inférieures

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4.3. Exercice 1 : calcul d’une épure d’arrêt des barres. Le but de cet exercice est de tracer l’épure d’arrêt des barres d’une poutre de section rectangulaire.        

Section : 20 cm x 60 cm ; d = 55cm. Matériaux : o Béton C20/25 o Acier S400B Portée : 5,40 m Poutre soumise à une charge répartie de valeur Pu= 55 KN/ml Le calcul en flexion simple nous donne les valeurs suivantes : o 1er lit : 3HA20 (9.42 cm²) o 2e lit : 2HA16 (4.02 cm²) Inclinaison des bielles pour dimensionnement effort tranchant (= 45°). Classe d’exposition : X0 Condition d’adhérence médiocre. 4.3.1.

Estimation du bras de levier « zc »

Le détail du calcul en flexion est le suivant

20  13.33Mpa 1.50



Fcd 



Moment de flexion



 cu 



 u  1.25(1  1  2  0.248 )  0.362 zc  0.55(1  0.4  0.362)  0.470  47cm



M Ed bw .d 2 . f cd

On prendra donc

0.055  5.4²  0,200 MN.m d’où : 8 0,200   0,248 0,20  0,55² 13,33 M Ed 

zc  47 cm pour le calcul des moments résistants et la détermination de l’épure

d’arrêt des barres.

4.3.2. 

Calcul des moments résistants

On trace le moment fléchissant :

Mu = 0,200 MNm

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

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rui  Ai.. s .zc f yk 400   347.83Mpa o Dimensionnement ELU avec palier horizontal :  s   s 1.15

On calcule les moments résistants des aciers :

o

1er lit : 3HA20 (9.42 cm²) filant sur appui Mru(1) = 9,42 10-4 x 347.83 x 0,47 = 0,154 MNm.

o

2eme lit : 2HA16 (4.02 cm²) Mru(2) = 4,02 10-4 x 347.83 x 0,47 = 0,066 MNm.

Au total : Mru (1+2) = 0,220 MNm > 0,2 MNm.

4.3.3.

Tracé de l’épure

Pour le calcul de la longueur d’arrêt du 2e lit on pratique de la manière suivante :  On détermine la distance entre le nu de l’appui gauche et le point d’intersection entre le 1 er lit et la courbe des moments.  Pour cela, on détermine l’équation du moment fléchissant en considérant une charge uniformément répartie : o o

Pu .x² Pu .L.x .  2 2 P .x² P .L.x 0.055  x² 0.055  5.4  x M u ( x)   u  u    0.0275x²  0.1485x 2 2 2 2 Mu  

 

On a déterminé dans l’exercice que le moment résistant du 1er lit vaut Mr1= 0.154 MN.m On cherche donc à résoudre l’équation M u ( x)  0.0275x ²  0.1485x  0.154MN .m



Soit  0.0275x²  0.1485x  0.154  0 . La résolution de ce polynôme du 2nd degré nous donne deux solutions : x1= 1.40m et x2= 4.00m A droite du 1er point il faut la longueur mettre en place une longueur équivalente à la longueur d’ancrage droit (voir chapitre 6 pour plus de détails), ce qui nous donne en considérant tous les coefficients i=1 et de mauvaises conditions d’adhérence : o



lbd  lb ,rqd 

 . sd 4. f bd



  347.83 4 1.57

 55  55 1.6  88cm

A gauche du 1er point, il faut retrancher la distance « al » car nous avons calculé le point d’intersection en considérant une courbe de moment non-décalée : o



al  z.

cot g  cot g cot g 45  cot g 90  z c  0.5 z c  23.5cm 2 2

La demi longueur du 2e lit est donc de 153.5 cm soit une longueur total de 307 cm que l’on arrondi à 310 cm.

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1er lit 3HA 20 Mru = 0,154 MNm

140 2eme lit 2HA16 Mru = 0,066 MNm

23.5

88

153.5 270

4.4.

Exercice 2 : vérification d’une épure d’arrêt des barres

Prenons l’exemple de la poutre suivante :

Les hypothèses de calcul sont les suivantes :  Section : b= 28cm, h= 65cm, d=58,5cm et d’=4 cm.  La longueur entre appuis est de 6 m.  La poutre est soumise à un moment de M Ed  0.385MN.m , ce qui correspond à une     

charge répartie de 0.075MN en considérant une portée entre-axes de 6.40m Matériaux : o Béton: C30/37 o Acier: S500B Enrobage des armatures : 3cm Classe d’exposition XC1 Densité du béton : 25KN/m3 Bonnes conditions d’adhérence.

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4.4.1.

13

Dimensionnement en flexion simple



Hauteur utile : d=0,9h= 0,9*0,65= 0,585m



 cu 



 u  1,25 1  (1  2 cu )  1,25 1  (1  2  0,200)  0,282



zc  d (1  0,4 u )  0,585(1  0,4  0,282)  0,519m



Calcul de la section d’armatures :



M Ed 0,385   17,06.10 4 m²  17,06cm² z c . f yd 0,519  434,78 On doit donc mettre en place 17,06 cm² d’armatures en partie inférieure.



o



M Ed 0,385   0,200 bw .d ². f cd 0,28  0,585²  20







As 

On peut mettre en place 4HA20 + 4HA14 (18,73cm²) : o 4HA20= 12.57 cm² o 4HA14= 6.16 cm²

4.4.2.

Plan de ferraillage issu d’un logiciel de calcul

Ci-dessous, le plan de ferraillage obtenu avec un logiciel de calcul :

On remarque que le 2ème lit d’armatures (4HA14) est arrêté à 110cm du nu de l’appui de gauche (soit à 130cm de l’axe de l’appui. Nous allons déterminer cette valeur manuellement.

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4.4.3.

14

Calcul manuel de l’épure d’arrêt des barres

Moment résistant de chaque lit d’armatures :  4HA20= 12.57cm² => Mr1= 0.001257*434.78*0.519=0.284 MN.m  4HA14= 6.16cm² => Mr2= 0.000616*434.78*0.519=0.139 MN.m On a bien Mr1+Mr2= 0.423 MN.m > MEd= 0.385MN.m On trace le diagramme du moment de flexion (attention, ce schéma correspond à la courbe de moment non-décalée de al) :

0.504 m Mr1= 0.284 MN.m

1.56 m (sans décalage) par rapport à l’axe de l’appui Mr1 + Mr2 = 0.423 MN.m



Le point d’intersection entre la droite Mr1 et la courbe de moment peut se déterminer graphiquement où en reprenant l’équation du moment de flexion. Dans ce cas, on cherche x tel que M(x)= 0.284 MN.m o La portée entre axes vaut 6.40m et la charge répartie ELU vaut 0.075MN.m. o o





dessus) Il faut tenir compte du décalage de la courbe de moment d’une valeur de

al  0.5 zc  26cm

(bielles à 45° et armatures transversales verticales), soit un arrêt de barre à 1.56-0.26= 1.30m depuis l’axe de l’appui, ce qui correspond à 1.10m depuis le nu de l’appui. On vérifie ensuite que l’ancrage de la barre est bien respecté et que l’on ne coupe pas la courbe de moment théorique : o



Px² Plx   0.0375x ²  0.24 x  0.284 2 2  0.0375x²  0.24x  0.284  0  x  1.56m (de l’axe de l’appui - voir schéma ciM ( x)  

La longueur d’ancrage vaut lbd  lb , rqd 

 . sd 4. fbd



  434.78 43

 36  36  1.4  50.4cm

pour un HA14. o Notre épure est correcte. La demi-longueur des barres en HA14 est donc de 3-1.10= 1.90m, soit une longueur totale de barre de 3.80 m.

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4.5.

15

Exercice 3 : épure d’arrêt des barres avec 3 lits d’armatures

L’objectif de cet exercice est de déterminer l’épure d’arrêt des barres sur une poutre avec trois lits d’armatures longitudinales en fibre inférieures. Prenons la poutre suivante :

Les hypothèses de chargement et de calcul de la poutre sont les suivantes :  Section : b= 35cm, h= 75cm, d=67cm et d’=5 cm.  La longueur entre appuis est de 6.80 m.  La poutre est soumise au chargement suivant : o Charges permanentes : G= 35KN/ml (hors poids propre) o Surcharges d’exploitation : Q= 45KN/ml  Matériaux: o Béton: C30/37 o Acier: S500B  Enrobage des armatures : 3cm  Classe d’exposition XC1  Densité du béton : 25KN/m3  Bonnes conditions d’adhérence.

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4.5.1.

16

Calcul des sollicitations

Le calcul des sollicitations nous donne (calcul entre-axes) :  Poids propre : p  0.35  0.75  25  6.56 KN / ml  

qu  1.3535  6.56  1.50  45  123.61KN / ml 123.61 7.2² Moment max ELU : M Ed   801KN .m 8 Charges réparties :

Sous charge répartie, l’équation du moment s’écrit 

M ( x)  

M ( x)  

qu .x ² qu .l.x , ce qui nous donne :  2 2

0,124.x ² 0,124  7,2.x   0,062.x ²  0,446x 2 2

Attention => dans cet exercice, on considère l’origine (x=0) à l’axe de l’appui de gauche.

4.5.2.

Dimensionnement en flexion simple

Le dimensionnement en flexion simple nous donne :  Hauteur utile : d= 0,67m

M Ed 0,801   0,255 bw .d ². f cd 0,35  0,67²  20



 cu 



 u  1,25 1  (1  2cu )  1,25 1  (1  2  0,255)  0,375



zc  d (1  0,4 u )  0,67(1  0,4  0,375)  0,570m M Ed 0,801 As    32,32.104 m²  32,32cm ² zc . f yd 0,570  434,78











On peut mettre en place 3 lits d’armatures en choisissant : 2 lits de 4HA20 + 1 lit de 4HA16, soit une section totale de 33.18cm².

4.5.3.

Détermination de l’épure d’arrêt des barres

Pour déterminer le moment résistant de chaque lit d’armatures, nous allons considérer le bras de levier déterminé précédemment en flexion simple: zc  0.57m   

4HA20= 12.57 cm² => Mr1= 0.001257*434.78*0.57=0.311 MN.m 4HA20= 12.57 cm² => Mr2= 0.001257*434.78*0.57=0.311 MN.m 4HA16= 8.04 cm² => Mr3= 0.000804*434.78*0.57=0.199 MN.m

On a bien Mr1 + Mr2 + Mr3 = 0.821 MN.m > MEd= 0.801MN.m

2017-2018


17

On trace le diagramme du moment de flexion (attention, ce schéma correspond à la courbe de moment non-décalée de al) :

Arrêt du 3ème lit. 

Le point d’intersection entre la droite « Mr1 + Mr2 » et la courbe de moment peut se déterminer graphiquement où en reprenant l’équation du moment de flexion. Dans ce cas, on cherche x tel que M(x)= 0.622 MN.m o M ( x)  0,062.x ²  0,446 x  0.622 =>  0,062.x ²  0,446 x  0.622  0 o La résolution du polynôme du 2nd degré nous donne deux valeurs  x1  1.89m (depuis l’axe de l’appui gauche).

x2  5.30m (depuis l’axe de l’appui gauche).  Le décalage de la courbe de moment d’une valeur de al  0.5 zc  28.5cm (bielles à 45° et 



armatures transversales verticales) nous donne un arrêt de barre à 1.89-0.285= 1.60m depuis l’axe de l’appui, ce qui correspond à 1.40m depuis le nu de l’appui. On vérifie ensuite que l’ancrage de la barre est bien respecté et que l’on ne coupe pas la courbe de moment théorique : o



La longueur d’ancrage vaut lbd  lb ,rqd 

 . sd 4. f bd



  434.78 43

 36  36 1.6  57.6cm

pour un HA16. o Notre épure est correcte. La demi-longueur des barres en HA16 est donc de 3.4-1.40= 2.00m, soit une longueur totale de barre de 4.00 m.

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18

Arrêt du 2ème lit. 

Le point d’intersection entre la droite « Mr1» et la courbe de moment peut se déterminer graphiquement où en reprenant l’équation du moment de flexion. Dans ce cas, on cherche x tel que M(x)= 0.311 MN.m o  0,062.x ²  0,446 x  0.311  0 o La résolution du polynôme du 2nd degré nous donne deux valeurs  x1  0.78m (depuis l’axe de l’appui gauche).

x2  6.41m (depuis l’axe de l’appui droit).  Le décalage de la courbe de moment d’une valeur de al  0.5 zc  28.5cm (bielles à 45° et 



armatures transversales verticales) nous donne un arrêt de barre à 0.78-0.285= 0.50m depuis l’axe de l’appui, ce qui correspond à 0.30m depuis le nu de l’appui. On vérifie ensuite que l’ancrage de la barre est bien respecté et que l’on ne coupe pas la courbe de moment théorique : o



La longueur d’ancrage vaut lbd  lb ,rqd 

 . sd 4. f bd



  434.78 43

 36  36  2  72cm pour

un HA20. o Notre épure est correcte. La demi-longueur des barres en HA20 est donc de 3.4-0.30= 3.10m, soit une longueur totale de barre de 6.20 m.

4.5.4.

Plan de ferraillage final

Le plan de ferraillage final est le suivant :

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4.6.

19

Mise en place des aciers de peaux

Les aciers de peaux, également appelés aciers de non-fissuration, sont des armatures constructives à placer sur la hauteur de la poutre pour éviter l’apparition de fissures. Ces armatures constructives sont définies dans les articles suivants de l’EN1992-1-1 :  Article 7.3.3(3)  Article 9.2.4  Annexe J 4.6.1.

Quantité des aciers de peaux

L’article 7.3.3(3) stipule que dans le cas des poutres d’une hauteur totale supérieure ou égale à 1m, dans lesquelles les armatures principales sont concentrées sur une petite portion de la hauteur, il convient de prévoir des armatures de peaux supplémentaires pour maitriser la fissuration sur les joues de la poutre. Ces armatures de peaux sont à répartir dans la partie tendue (partie située entre l’axe neutre et les aciers de flexion), à l’intérieur des cadres. D’après la Clause 9.2.1.1 (1) NOTE 2 de l’Annexe Nationale Française, les armatures de peau peuvent être prises en compte lors de la vérification de la section minimale d’armatures. Autrement dit, les aciers de peau peuvent s’ajouter à la section d’armatures longitudinales tendues lorsque l’on vérifie que celle-ci est bien supérieure à As,min (donnée par les articles 7.3.2 et 9.2.1.1). La section d’aciers de peau est donnée par la formule :

As , min  k c  k  Fct .eff   

Act

s

As: section d'armature mini dans la zone tendue. Act: aire de la zone de béton tendue juste avant la formation de la première fissure, ce qui correspond à la partie de béton située sous l’axe neutre, en zone tendue.



s = Fyk



Fct.eff: résistance effective sur le béton au moment où les fissures sont censées se produire, à défaut de renseignement exact, on peut prendre Fct.eff = Fctm (soit 2,56MPa pour un C25/30).

 

k = 0.5 kc: coefficient prenant en compte la nature de la distribution des contraintes dans la section et qui dépend bien entendu du type de sollicitations: o En traction pure: kc = 1,0. o En flexion simple: kc = 4,0 o

En flexion composée:

  c k c  0,4.1   1 *  k1 h / h . f ct ,eff 

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20

Avec 

c



Définition de h :

: contrainte moyenne dans le béton =>

c 

N ed (Ned est positif si compression). bh

*

o

h *  h pour h < 1,0m. h *  10m pour h  1,0m.

o Définition de k1 : o k1  1,5 si Ned est un effort de compression



o

k1 

2h * si Ned est un effort de traction. 3h

Exemple : Soit la poutre suivante  Section : b= 40cm, h= 100cm, d=90cm  Matériaux : o Béton : Fck= 25 Mpa. o Acier : Fyk= 500 Mpa.  La poutre est soumise à une charge ponctuelle appliquée à mi-travée qui nous donne un moment réduit de 𝜇𝑐𝑢 = 0,246. Le calcul EC2 donne :        









  1,25 1  (1  2cu )  1,25 1  (1  2  0,246)  0,359 Position de l’axe neutre : x   .d  0,359  0.90  0.323m Act  (h  x)  b  (1.00  0.323)  0.40  0.271m²  s  f yk  500Mpa Fct.eff = 2.56MPa k = 0.5 kc = 0,4 (flexion simple) A 0,271 As  k c  k  Fct .eff  ct  0,4  0,5  2,56   2.77cm ² d’aciers de peau s 500

Les diamètres et espacements sont donnés par les tableaux suivants, en considérant une contrainte de l’acier deux fois plus faibles que pour les aciers de flexion (du fait de la valeur de k qui est fixée à 0.50 au lieu de 1 pour les aciers de peaux) :

Pour des barres pour lesquelles Fyk = 400MPa, on utilisera cette ligne des tableaux

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4.6.2.

21

Position des aciers de peaux

L’article 7.3.3 (3) de l’EC2 indique que les aciers de peaux ainsi calculés doivent être placés à l’intérieur des cadres et régulièrement répartis entre les armatures longitudinales de traction et l’axe neutre. Le problème est que la position de l’axe neutre est variable sur la longueur de la travée, nous adopterons donc les principes ci-dessous, afin de simplifier le plan de ferraillage et éviter de mettre en place une épure d’aciers de peaux. On distinguera le cas des sections rectangulaires et le cas des sections en Té.

4.6.2.1. Section rectangulaire A On calcul avant tout la valeur As , min  k c  k  Fct .eff  ct , formule que nous avons vu précédemment.

s

On calcul ensuite la hauteur de calcul « h’ » en fonction du cas de figure :  En travée, h’ représente la distance entre le nu de l’armature inférieure la plus haute et l’axe neutre (voir schéma suivant).  Sur appui, il suffit d’inverser et h’ représente la distance entre le nu de l’armature supérieure tendue la plus basse et l’axe neutre.

On calcul

As , min h'

afin d’avoir une section à répartir en cm²/ml.

On réparti ensuite ces aciers de peaux sur une hauteur  

h" :

En travée, cette hauteur correspond à la distance (entre faces) entre le dernier lit des armatures inférieures et le dernier lit des armatures supérieures. Sur appui, on considère la même valeur, mais inversée.

On peut résumer ces valeurs sur les deux schémas suivants :

On réparti ensuite les armatures de peaux sur toute la travée, en considérant la valeur la plus faible de h'  min( h'travée ; h'appui ) .

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22

4.6.3. Cas des sections en Té Dans le cas des sections en Té, le principe est le même hormis le fait que l’on réparti les aciers de peaux en dessous de la table. Cela peut se résumer par les schémas suivants :

4.6.4.

Cas particuliers - Annexe J

L’annexe J définie les aciers de peaux pour 2 cas particuliers :  Le cas ou le diamètre des barres principales est supérieur à 32mm  Le cas ou l’enrobage des aciers transversaux est supérieur à 7cm Si le diamètre des barres principales est supérieur à 32mm : On utilisera pour les aciers de peaux des barres de petit diamètre (ou des treillis soudés) que l’on placera à extérieur des cadres, et dans ce cas, la section d’aciers de peau sera donnée par :

As  0,01Act,ext où

Act,ext est la section de béton tendu extérieure aux cadres :

Cette règle s’applique également dans le cas des paquets de barres de diamètre équivalent supérieur à 32mm. Enrobage est supérieur à 7cm : Là aussi, on utilisera pour les aciers de peau des barres de petit diamètre (ou des treillis soudés), et la section sera égale à 0,005 Act ,ext dans chaque direction. ATTENTION, contrairement à l’article 7.3.3, dans ces cas particuliers, les armatures doivent être placées à l’extérieur des cadres, en respectant un enrobage cnom. Dans certains cas, il faudra donc décaler l’ensemble des armatures (armatures longitudinales et transversales).

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4.7.

23

Charges suspendues (appuis indirects)

Bien souvent, en construction, on est en présence de réseaux de poutres qui portent les unes sur les autres, avec des hauteurs différentes :

Cette notion d’appuis indirects (la poutre secondaire n’est pas reprise par un porteur vertical) est définie à l’article 9.2.5 de l’EN1992-1-1. Dans ce cas, la réaction d’appuis de la poutre secondaire sur la poutre principale n’est pas appliquée en fibre supérieure et on distingue essentiellement deux cas de figure :  Si la hauteur de la poutre portée (poutre 1 sur le schéma ci-dessus) est de faible hauteur par rapport à la poutre porteuse et que les fibres supérieures sont alignées => la réaction d’appui est appliquée en zone de compression et la résistance de l’assemblage ne pose aucun soucis.  Dans le cas contraire, la réaction d’appui de la poutre portée (charge suspendue) doit être remontée en partie supérieure de la poutre porteuse : o Soit par un resserrement local des cadres :

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CNAM CCV226 – Béton armé avancé o

24

Soit par la mise en place de barres « bateau » :

Dans le cas de croisement de poutres, il convient donc d’appliquer l’article 9.2.5 de l’EN1992-1-1 qui indique :

On voit notamment que cet article de l’Eurocode 2 limite la longueur de répartition des armatures transversales nécessaires à la remontée de la charge, ce qui correspond à la zone pochée en gris sur le schéma ci-dessus. Nous reviendrons sur ce point ci-après.

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4.7.1.

25

Calcul des suspentes avec resserrement des cadres

L’armature de suspente à mettre en place doit être capable d’équilibrer la réaction d’appui Vu de la poutre portée :  As= Vu / fyd On obtient donc une section en cm² qui doit être répartie sur une certaine longueur (limitée par l’EC2 comme nous l’avons vu précédemment), dans le cas d’une reprise de la charge par resserrement des armatures transversales. Lorsque l’on a déterminer la section totale à mettre en œuvre, il convient de la distribuer sur une longueur L (afin d’avoir des cm²/ml) qui dépend de la géométrie du nœud :

Poutre portée

h’

h1

Poutre porteuse b2 L

  

Soit « h1» : la hauteur de la poutre principale. Soit « h’ » : le décalage de la réaction d’appui depuis la fibre inférieure, qui en général doit peut être prise égale à d (hauteur utile de la poutre portée). Soit « b2 » : la largeur de la poutre suspendue

La longueur de répartition « L » est calculée à partir de la formule suivante : L= b2 + 2*(h1-h’), qui reviet à considérer une diffusion de la bielle à 45°. Comme nous l’avons vu précédemment, cette longueur L de distribution de ces armatures transversales doit respecter l’article 9.2.5 de l’EC2 repris ci-dessous, qui donne une limite de h1/2 à partir de l’axe de la poutre portée et une limite de h1/3 depuis le nu de la poutre portée.

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26

En d’autres termes, la longueur L (totale) de répartition des armatures transversales doit être considérée comme étant inférieure à : ℎ1  𝐿 ≤ min⁡(ℎ1 ; 𝑏2 + 2 × ) 3 Illustration Prenons l’exemple suivant :  Pour largeur de charge = 0.4m, hauteur h1= 1.40m et décalage de la charge h’= 1.15m, la répartition des suspentes se fait sur une longueur L= 0.40 + 2(1.40 - 1.15)= 0.9m ≤ min(1.40 ; 0.4+ 2*1.40/3)= 1.33m => La condition de l’article 9.2.5 de l’EC2 est vérifiée.;  Pour largeur de charge = 0.4m, hauteur h1= 1.40m et décalage de la charge h’=0.5m , la répartition des suspentes se fait sur une longueur L= 0.40 + 2(1.40 – 0.50)= 2.20m > min(1.40 ; 0.4+ 2*1.40/3)= 1.33m => La condition de l’EC2 n’est pas vérifiée, on devra dans ce cas appliquer la limite de l’EC2 (voir application numérique ci-dessous). Attention, la section d’armatures transversales ainsi obtenue (en cm²/ml) doit être ajoutée à la section nécessaire pour reprendre l’effort tranchant de la poutre porteuse. Application numérique Prenons l’exemple d’une soumise à une charge ponctuelle de 705 KN à mi- travée qui engendre un effort tranchant de 353 KN au droit de cette charge. Supposons que le calcul à l’effort tranchant nous donne une section d’armatures transversale de 6.80cm²/ml => si la charge ponctuelle est appliquée en partie supérieure de la poutre, la section ainsi trouvée correspond bien à la section totale d’armatures transversales à mettre en place. Supposons maintenant que cette charge ponctuelle correspond à la réaction d’appui (ELU) d’une autre poutre perpendiculaire à l’élément considéré et donc le point d’application est décalé depuis la fibre supérieure :  La section nécessaire pour remonter la charge est de As= Vu / fyd= 0.705/435= 16.2cm² (en considérant un acier à 500Mpa). Il faut ensuite déterminer la longueur de répartition des armatures transversales nécessaires pour remonter la charge suspendue et cumuler ces valeurs avec les armatures transversales d’effort tranchant calculées précédemment :  Prenons le cas précédent d’une charge suspendue avec un décalage de h’=1.15m et une largeur de charge b2= 0.40m) => la longueur de répartition est de L= 0.40 + 2*(1.40-1.15)= 0.9m < 1.33m (condition EC2 déterminée précédemment) => on a donc une section transversale théorique de 6.80 + 16.2/0.90= 24.80 cm²/ml  Prenons le cas de la même charge suspendue avec un décalage de 0.50m (largeur de charge= 0.40m) => la longueur de répartition est de L= 0.40 + 2*(1.40-0.50)= 2.2m => on a donc une section transversale théorique de 6.80 + 16.2/2.20= 14.20 cm²/ml. Le problème est que cette longueur de répartition de 2.20m est supérieure à la limite imposée par l’article 9.2.5 de l’EC2.  Il nous faut donc limiter la longueur de répartition et recalculer la section d’armatures nécessaire => en considérant donc L= 1.33m (limite calculée précédemment), on obtient une section totale d’armatures transversales de 6.80 + 16.2/1.33= 18.98cm²/ml => on voit donc que cette limite de l’EC2 amène à concentrer les armatures transversales pour remonter la charge.

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4.7.2.

27

Calcul des suspentes avec barres bateau

Dans le cas où l’on souhaite « remonter » la charge suspendue par barre bateau, le calcul est un peu plus simple car ces armatures sont indépendantes des armatures transversales d’effort tranchant et nous ne sommes pas tenu d’appliquer la limitation de longueur de répartition de l’article 9.2.5 de l’EC2. La géométrie de la barre est définie par la géométrie de la poutre portée (hauteur et largeur) :

Décalage de la charge 

Largeur de la poutre portée

Si on considère un angle «  » d’inclinaison des barres bateau (généralement pris égale à 45°) et une réaction ELU Vu à remonter, l’aire totale As de barres bateau à mettre en place vaut :  As= 0.5*Vu*cos/Fyd Bien entendu, il est possible de mettre autant de barre bateau que voulu sur la largeur de la poutre => en général, on place autant de barres bateau que d’aciers longitudinaux par lits.

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4.8.

28

Ferraillage des trémies

Il est très courant d’avoir des ouvertures dans les poutres afin que les corps d’état secondaires puissent faire passer les différentes gaines de ventilation, électricité… La présence de trémies dans les poutres nécessite la plupart du temps le calcul des aciers de renforcement autour de la trémie. Pour le calcul des trémies, on distingue trois cas de figure :  Les trémies de petites dimensions nécessitant quelques vérifications simples.  Les trémies de grandes dimensions dimensionnées à l’effort tranchant.  Les trémies de grandes dimensions dimensionnées en flexion. Le distinguo entre les deux derniers types de trémie se fait en fonction des dimensions (largeur-hauteur) de la trémie et a une influence sur la répartition de l’effort tranchant, comme on le verra un peu plus loin dans ce cours. On utilisera les termes suivants pour distinguer les éléments constitutifs autour de la trémie :  Linteau supérieur : partie de la poutre située au-dessus de la trémie.  Linteau inférieur : partie de la poutre située au-dessous de la trémie, que l’on peut également appelé allège.

4.8.1.

Rappels sur le treillis de Ritter-Morsch

Nous avons vu, lors du cours sur l’effort tranchant (CCV109) qu’une poutre fonctionne, vis-à-vis de l’effort tranchant, comme une poutre treillis :





 

   

Une membrure supérieure comprimée représentée par la zone comprimée de béton. Une membrure inférieure tendue représentée par les armatures longitudinales. Des bielles comprimées de béton inclinées d’un angle . Des armatures transversales tendues, éventuellement inclinées d’un angle .

En réalité, une poutre est composée de plusieurs treillis simples successifs, on parle alors de treillis multiple. Un treillis simple est défini par une bielle comprimée et une armature transversale faisant office de tirant.

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29

La hauteur du treillis simple est « z » et la longueur en base du treillis est de z (cot   cot  ) : Tirant (Armature transversale)

Bielle comprimée

z 



Z(cot + cot)

Armature longitudinale

Le nombre « m » de treillis élémentaires correspond au nombre de tirants qui coupent une bielle :



m  z.

cot   cot  . s

Chaque treillis élémentaire reprendra donc un effort 4.8.2.

V m

.

Ouvertures de petites dimensions.

4.8.2.1. Définition On placera dans la catégorie des ouvertures de petites dimensions les ouvertures qui ne perturbent pas le fonctionnement de cette « poutre-treillis » vis-à-vis de l’effort tranchant :  La zone comprimée n’est pas coupée par une ouverture.  La trémie ne coupe pas les armatures longitudinales tendues.  La trémie ne doit pas couper les cours d’armatures à calculer.  Les largeurs de bielles sont suffisantes pour reprendre la compression. Prenons l’exemple ci-dessous, issus de l’ouvrage de Paillé :

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30

On voit que les cadres 2 et 5 sont inefficaces car les bielles comprimées qui sont situées à gauche de ces cadres sont perturbées. Il faudra donc s’assurer que l’effort tranchant VEd pourra être remonté par les cadres 1, 3 et 4. En d’autres termes, cela signifie que l’on peut considérer une ouverture ou un ensemble d’ouvertures comme étant de petite dimension si on peut tracer dans cette poutre au moins un treillis isostatique qui assure la reprise du moment et de l’effort tranchant. Ces conditions sont représentées dans le schéma suivant :

On a donc deux vérifications à effectuer :  Non-écrasement de la bielle de compression (voir cours effort tranchant et rappels ci-dessous)  Traction dans les montants (en fonction du nombre de treillis simple que l’on peut disposer entre les trémies)

4.8.2.2. Non-écrasement de la bielle comprimée Il est impératif de vérifier que la largeur « a » de la bielle comprimée (indiquée en blanc sur le schéma ci-dessus) puisse reprendre l’effort de compression Fcd (à ne pas confondre avec f cd qui représente la limite de compression du béton à l’ELU) :   

VEd . sin  F VEd   Rd ,max . La contrainte dans la bielle de largeur « a » doit vérifier :   cd  bw .a bw .a. sin  L’effort Fcd dans une bielle de béton inclinée d’un angle  vaut :

 

 Rd ,max  0,61 

Fcd 

f ck  . f cd 250 

La largeur de la bielle doit donc vérifier : 

a

VEd

bw . Rd ,max . sin 



VEd f   bw .0,61  ck . f cd . sin   250 

Si la largeur de la bielle n’est pas suffisante pour vérifier cette équation, il faut réduire la dimension des trémies et donc augmenter la distance entre deux trémies adjacentes (et par la même la largeur de la bielle de compression).

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31

4.8.2.3. Traction dans les montants Lorsque l’on a plusieurs ouvertures côte à côte, les armatures transversales doivent permettre de remonter l’effort tranchant qui passe dans la bielle comprimée : Armatures transversales qui doivent équilibrer les bielles comprimées de largeur « a ».

Asw/s z.cot Les montants (armatures transversales) doivent pouvoir « remonter » l’effort tranchant La section d’armatures transversales doit donc vérifier

Dans cette vérification, la valeur de

VEd .

Asw V  Ed . f yd . s z. cot 

VEd doit être prise à une distance z. cot  du centre du cours

d’armature que l’on vérifie. Si cette vérification n’est pas satisfaite, il peut être judicieux de mettre en place des barres relevées pour venir renforcer les armatures transversales. Lorsque l’on fait cette vérification, il convient (le cas échéant) de prendre en compte la transmission directe. Remarques importantes : On voit que ces vérification sont longues et fastidieuses, il est donc conseiller d’éviter de couper les brins d’armatures transversales avec des trémies, sauf à dimensionner une ouverture de grande dimensions. Il est également fortement déconseillé de placer une ouverture, même de petite dimensions dans la bielle d’about, car cela imposerait alors de mettre en place des aciers de bielles : dans le schéma cidessous, si la 1ère trémie est placée plus haut, elle va couper la bielle d’about et compromettre l’équilibre de la poutre sur appui.

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4.8.3.

32

Ouvertures de grandes dimensions.

Par opposition aux ouvertures de petites dimensions, lorsqu’une trémie ne respecte un des points illustrés au paragraphe précédent, on est dans le cas des ouvertures de grandes dimensions => il n’est plus possible de faire passer un treillis isostatique. On doit donc dimensionner des aciers de renfort. Attention, une série d’ouvertures de petites dimensions, proches les unes des autres peut amener à considérer une ouverture équivalente de grandes dimensions (cerclées en rouge sur le schéma cidessous).

On distingue dans ce cas deux familles de grandes ouvertures :  Les ouvertures isolées.  Les ouvertures successives (non-traitées dans ce cours => voir livre de Paillé) On dit qu’une ouverture est isolée si sa distance à une autre ouverture proche (ou à un appui) est supérieure à 2 fois la hauteur de la poutre.

h

> 2h

> 2h

Dans le cas contraire, on considère bien entendu des ouvertures successives. Cette limite n’est pas indiquée dans l’Eurocode mais est donnée dans l’ouvrage de Mr Paillé. Il apparait que cette limite est trop contraignante et amène à devoir considérer, dans la plupart des cas, des ouvertures successives.

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33

Une condition moins-contraignante est de vérifier que la distance entre deux trémies est suffisantes pour pouvoir dimensionner une bielle unique qui relie le haut des cadres de la 1 ère trémie avec le bas des cadres de la 2ème trémie :

h

z Bielle comprimée

zcot On voit donc sur ce schéma que la distance minimale entre deux trémies dépend donc de l’angle de l’inclinaison de la bielle. Cet angle peut aller jusqu’à 60°(ce qui est au-delà de la limite que l’EC2 fixe pour les bielles courantes). En considérant z=0.8h (valeur approchée), on a donc une distance minimale de z0.5h, en considérant un angle de 60°. Bien entendu, il faut également vérifier que la compression dans la bielle ne dépasse pas la valeur admissible :  La largeur maximale de la bielle vaut « z.sin ».  L’effort dans la bielle vaut : « V/sin » (V étant l’effort tranchant au droit de la trémie). 

La contrainte de compression maximale dans la bielle vaut :

 

 Rd ,max  0,61 

f ck  . f cd 250 

Si la compression dans la bielle n’est pas vérifiée ou si la distance entre les deux trémies est inférieure à z.cot, on devra alors faire une étude en considérant des « ouvertures successives ».

4.8.4.

Ouvertures isolées

On considère les efforts à reprendre (effort tranchant et moment de flexion) calculés à l’abscisse correspondant au milieu de la trémie. La méthode consiste à étudier séparément les deux linteaux situés au-dessus et au-dessous de l’ouverture (comme deux demie-consoles). Ces deux linteaux doivent transmettre les efforts suivants :  Transmission de l’effort tranchant par un système de bielles (fonctionnement en treillis).  Transmission de la flexion par des efforts de compression et de traction dans les linteaux.

2017-2018


34

4.8.4.1. Sollicitations dans les linteaux Soit une poutre de largeur

bw , comportant une trémie de largeur « a » et de hauteur « c », située à une

abscisse « x » :

Vu

h1

Mu

c

h b

h2

a

x

On calcul les sollicitations Vu et Mu (effort tranchant et moment de flexion) à l’abscisse x+a/2 (milieu de la trémie) en considérant la poutre sans ouverture. Les hauteurs des linteaux supérieurs et inférieurs sont respectivement h1 et h2. Il faut donc répartir ces efforts internes (Vu et Mu) dans les deux linteaux :  Répartition de l’effort tranchant Vu dans les deux linteaux, au prorata des inerties ou des sections (fonction du rapport entre la largeur de l’ouverture et la hauteur des linteaux).  Reprise du moment de flexion Mu en traction-compression par le bras de levier « z ». Répartition de l’effort tranchant au prorata des inerties Lorsque la largeur « a » de la trémie est plus grande que la hauteur de chaque linteau, on considère que les déformations des linteaux sont dues essentiellement à la flexion et la répartition de l’effort tranchant se fait au prorata des inerties des linteaux : 

a ≥ max (h1, h2) alors Vu1= Vu * h13/(h13+h23) Vu2= Vu * h23/(h13+h23)

Vu1

h1 c

h Vu2

h2

x

a/2

2017-2018


35

Répartition de l’effort tranchant au prorata des sections Lorsque la largeur « a » de la trémie est plus petite que la hauteur de chaque linteau, on considère que les déformations de ces linteaux sont dues essentiellement à l’effort tranchant et la répartition de Vu se fait alors au prorata des sections : 

Si a < min (h1, h2) alors

Vu1= Vu * h1/(h1+h2) Vu2= Vu * h2/(h1+h2)

Répartition du moment de flexion à l’ELU Lorsque l’on équilibre une section en flexion simple, on a un effort de compression

Fc sur le béton

Fs sur les aciers tendus (voir cours de flexion) : avec x   .d

comprimé et un effort de traction 

Fc   Fs  0,8.b.x. f cd

La détermination de l’axe neutre « x » se fait donc en considérant la poutre sans ouverture, par un calcul classique à l’ELU (axe neutre théorique noté usuellement 𝑥𝑢 en flexion simple à l’ELU). En fonction de la position de l’axe neutre de la poutre (considérée sans trémie), on a les efforts

Fc et

Fs qui sont excentrés par rapport au centre de gravité des deux linteaux. On ramène donc ces efforts à ces centres de gravité de façon à pouvoir faire un calcul des linteaux en flexion composée.

Ce principe est décrit sur le schéma suivant :

Pour le linteau supérieur, on a :  

h  M u1  Fc . 1  0,4.x  2  Nu  Fc (compression)

Pour le linteau inférieur, on a :  

h   M u 2  Fs . h  d  2  2  Nu  Fs   Fc (traction)

2017-2018


36

Répartition du moment de flexion à l’ELS A l’ELS, le diagramme de répartition du moment de flexion est le suivant :

La position de l’axe neutre se calcul à partir de la formule suivante (pour une section rectangulaire) :

1 .bw .x1 ²  Ast . e .( d  x1 )  Asc . e .( x1  d ' )  0 2 Pour calculer la position de l’axe neutre, il faut donc avoir calculée au préalable la section d’armature ELS. On calcul ensuite la contrainte dans les aciers tendus et le béton comprimé à partir des formules ELS. Par exemple, dans le cas d’une section sans acier comprimé, on a : 



s 

M ser

x1 ) 3  x  bc  s . 1  e d  x1 A(d 

A partir des contraintes, on en déduit les efforts dans le béton et les armatures :  Dans les aciers : Fs  A. s 

Par équilibre de la section, on a pour le béton :

Fc  Fs

Puis les efforts dans les linteaux :  Linteau haut : o N ser  Fc (compression) o 

h x  M ser  Fc . 1  1  2 3

Linteau bas : o N ser   Fs (traction) o

h   M ser  Fs . h  d  2  2 

2017-2018


37

Cas particulier de l’ouverture en zone comprimée Les schémas que nous venons d’appliquer correspondent au cas où l’axe neutre (sans considérer la trémie) tombe dans la hauteur du linteau haut. Dans le cas où l’axe neutre tombe dans l’ouverture, on doit considérer que la compression est reprise en intégralité par le linteau haut. On considère alors que le béton travaille à sa contrainte maximale (

f cd à l’ELU, f ck ou 0.6 f ck à l’ELS)

et on place des aciers comprimés pour reprendre l’effort manquant (aciers placés symétriquement). On fait ensuite un calcul en section entièrement comprimée (voir cours de flexion composée).

4.8.4.2. Calcul des armatures longitudinales On calcul ensuite les armatures longitudinales des linteaux en flexion composée, sans tenir compte des effets du second ordre. Ces calculs sont menés au droit des sections d’encastrement des linteaux (calculés comme 2 demi-consoles) :  

Pour le linteau supérieur, on considère les efforts déterminés précédemment en y ajoutant, le cas échéant, les sollicitations émanant des charges appliquées directement sur le linteau. Dans ce cas, on doit considérer ce dernier comme une console encastrée. Pour le linteau inférieur, on ne considère que les sollicitations déterminées précédemment (pas de charges extérieures appliquées).

Pour le calcul des linteaux, il ne faut pas oublier de ramener les sollicitations calculées précédemment au droit de la section d’encastrement (voir exercice ci-après). Attention, du fait que l’on a un point d’inflexion au centre de la trémie (voir schéma ci-dessous), il y a un changement du bras de levier entre la console de gauche et la console de droite :

Les armatures calculées doivent être ancrées au-delà de l’appui sur une longueur au moins égale à :  h1  lbd , req pour le linteau supérieur. 

h2  lbd , req pour le linteau inférieur.

Bien entendu, du fait d’un dimensionnement en flexion composée, on distinguera les différents cas de figures possibles (section partiellement comprimée, entièrement comprimée ou entièrement tendue) définis dans le cours sur la flexion composée. Cette même distinction devra se faire pour le dimensionnement des armatures d’effort tranchant (voir ci-dessous).

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38

4.8.4.3. Calcul des armatures transversales Pour calculer les armatures transversales, il est impératif de bien tenir compte des sections en flexioncompression ou en flexion-traction. En effet, en fonction de l’état de sollicitation de l’élément, la résistance des bielles de compression ne sera pas la même. De même, le schéma « poutre-treillis » à utiliser pour le dimensionnement des armatures transversales sera différent, selon que l’on est dans le cas d’une section partiellement comprimée \ tendue ou entièrement tendue.

Cisaillement ultime sous flexion composée avec compression En flexion composée avec compression, l’effort tranchant résistant dans les bielles comprimées vaut : 

VRd , max 



 cw  1

 cw .bw .z. 1. f cd cot   tan 

(formule considérant des armatures transversales verticales).

pour les structures non-précontraintes ou non soumises à un effort normal sous

chargement externe. 



 1  0,61  

f ck   250 

Cisaillement ultime sous flexion composée avec traction Dans le cas d’une flexion composée avec traction, l’effort tranchant résistant dans les bielles comprimées vaut :

 cwt .bw .z. 1. f cd cot   tan    1  ct où  ct est



VRd , max 



 cwt

f ctm

la contrainte de traction en Mpa (comptée négative) et

f ctm la

résistance moyenne du béton en compression (comptée positive).

Dans un linteau de largeur aura

 ct 

bw et de hauteur h1 , soumis à un effort normal de traction Nu (<0), on

Nu . bw .h1

ATTENTION, dans le cas où

 ct   f ctm

=>

 cwt  0 et VRd ,max  0

=> l’effort tranchant doit alors être

repris intégralement par les armatures (voir ci-dessous). Autre remarque importante : dans le cas d’une section en flexion composée avec traction, l’angle des bielles doit respecter la condition suivante : 

1

 ct f ctm

 cot   2,5. 1 

 ct f ctm

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39

Cisaillement ultime sous-section entièrement tendue Dans le cas où l’on a une section entièrement tendue (ce qui peut être le cas du linteau inférieur), il n’y a plus de zone comprimée en partie supérieure permettant de faire « fonctionner » un treillis multiple, tel que décrit dans la théorie des EC2. L’effort tranchant doit alors être repris intégralement par les armatures (cas de figure qui n’est d’ailleurs pas traiter dans l’EC2, sauf dans l’annexe nationale Allemande). Une des méthodes consiste donc à revenir au fonctionnement de base d’une poutre-treillis, de type poutre-treillis de Howe (treillis simple). Dans ce cas de figure, l’angle d’inclinaison des bielles doit être compris entre 45 et 90°(cas des éléments entièrement tendus) Voici un exemple de configuration :

Sur ce schéma, les lignes en gras correspondent aux parties tendues (en haut à gauche et en bas à droite) des membrures supérieures et inférieures. Si on prend une bielle à 45°, on aura une largeur de référence de treillis de z.cot45= z. Il en résulte que la largeur de référence du module ne peut pas être supérieure à z. Sur le schéma ci-dessus, on peut voir la répartition des efforts dans les bielles comprimées (efforts positifs) et dans les tirants. Si on regarde le tronçon de gauche, on a :  Une traction maximale de « -2Vcot » dans l’armature longitudinale supérieure.  Une traction de « -V » dans les montants verticaux qui représentent les armatures transversales.  Un effort de compression de V/sin dans la bielle comprimée. La hauteur du treillis simple, notée « z » correspond à la distance entre le centre de gravité des deux nappes (inférieures et supérieures) d’armatures longitudinales du linteau

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40

On voit sur ce schéma que sous l’effet de l’effort tranchant, une bielle de compression (de largeur variable) va se former. La largeur de cette bielle est limitée à

z . 2

Il nous faudra donc faire deux vérifications de contraintes dans la bielle de compression :  Une vérification en partie centrale de la bielle.  Une vérification à la naissance de la bielle Lorsque les efforts à reprendre dans la bielle sont trop importants (et que l’on ne peut pas jouer de façon plus importante sur l’angle d’inclinaison des bielles), on admet un treillis multiple mais toujours en limitant la largeur de la bielle comprimée à z/2 (voir exercice un peu plus loin).

Vérification de la bielle en partie centrale Nous avons vu que la largeur de la bielle en partie centrale est limitée à

z , ce qui nous donne la 2

contrainte suivante : 

c 

F V  bw .0,5 z bw .0,5 z. sin 

La limite de compression dans la bielle est définie par l’article 6.5.2 qui nous donne la formule suivante (cours effort tranchant – CCV109) : 



 Rd , max  0,61  

On doit donc vérifier  c

f ck  . f cd 250 

  Rd , max .

Vérification de la compression à la naissance de la bielle Si on zoom sur le schéma précédent, on voit que la bielle est reprise sur un nœud dans lequel on a un cadre transversal et une armature longitudinale. On considère alors une surface d’impact de « 3 diamètres », ce qui nous donne la contrainte suivante dans la bielle :



c 

F V  bw .3 bw .3 . sin 

Cette surface d’impact est celle qui est définie dans l’EC2.

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41

Le fascicule d’application FD P18-717 propose d’optimiser la surface d’impact à la naissance de la bielle de la façon suivante : soit ’ le diamètre des armatures longitudinales et  le diamètre des armatures transversales, voici l’extrait du fascicule :

Soit une surface d’impact de √((𝑘. ∅)2 + (3. ∅′)², la valeur de k étant :  k= 3 si une file de cadre.  k= 5 si deux files de cadres  k= 7 si trois files de cadres. Dans le cas d’un seul cadre, on retrouve le schéma qui est dans l’ouvrage de Jean-Marie PAILLE (aux éditions Eyrolles) :

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42

La résistance de la bielle est définie à l’article 6.5.4(c) de l’EC2 qui traite des nœuds soumis à compression et traction avec armatures dans deux directions :



k3  0.75 => valeur qui peut être modifiée par l’annexe nationale de chaque pays. Cette valeur a été adoptée par la France.



f   v '  1  ck   250 

L’EC2 indique qu’il est possible de majorer cette résistance de 10% si au moins une des conditions suivantes est satisfaite :  Une compression tri-axiale est assurée.  Tous les angles des bielles et tirants sont  55 .  Les contraintes au droit des appuis ou des charges ponctuelles sont uniformes, et le nœud est confiné par des armatures transversales.  Les armatures sont disposées selon plusieurs cours.  Le nœud est confiné de manière fiable par une disposition particulière d’appui ou par frottement. Dans le cas qui nous intéresse, le linteau comporte des armatures transversales (qui confinent le nœud), ce qui nous permet de retenir comme résistance finale de la bielle de compression :   Rd , max  1,10.k3 .v'. f cd On devra également vérifier

 c   Rd ,max

Lorsque cette vérification n’est pas satisfaite, il convient de rajouter des cadres latéraux dans la poutre (voir exercice ci-après).

Vérification des armatures transversales D’après le schéma du treillis-simple que nous avons vu précédemment, les cadres devront remonter un effort V, ce qui nous donne la vérification suivante : 

Asw 

V f yd

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43

4.8.4.4. Etude de la zone de raccordement Il est important de vérifier la zone de raccordement entre la zone de trémie et la zone courante de flexion et effort tranchant. Il faut mettre en place des aciers verticaux qui bordent l’ouverture et qui doivent remonter la charge Vu1à droite de l’ouverture et Vu2 à gauche. Ces aciers doivent également retourner le moment d’encastrement des linteaux. Par conséquent, ces armatures transversales en bord de trémie devront également vérifier :

h1 ht

Atw A2 h2

4.9.

Ate  A1.

A1 Ate

h1 V  u1 ht   f yd

Atw  A2 .



h2 V  u2 ht   f yd

Exercice 2 : calcul de renforts de trémie.

Prenons la poutre suivante :  Section de 0.50 x 1.10 m  Béton C25/30  Acier S500B  Enrobage 2cm  Trémie de 0.60x0.50.  Classe d’exposition XC  Calcul avec loi de comportement de l’acier à palier horizontal. La définition de la trémie est la suivante:

35 cm 1,10 m

50 cm 25 cm 60 cm

Le but est de calculer les renforts de trémies et de donner un schéma de ferraillage. Pour cela, on donne les sollicitations de la poutre, à l’abscisse correspondant au centre de la trémie :  Charges permanentes : o Effort tranchant => VG= 0.290MN. o Moment de flexion => MG= 0.232MN.m  Surcharges d’exploitation : o Effort tranchant => VQ= 0.210MN. o Moment de flexion => MQ= 0.168MN.m

2017-2018


4.9.1.

44

Calcul de la poutre sans trémie

Calcul des sollicitations Il suffit de reprendre les sollicitations données dans l’énoncé et de les pondérer avec les coefficients ELU et ELS. Ces sollicitations ont été calculées en flexion simple, sans tenir compte de l’ouverture. A l’ELU, on a :  VEd  1,35.VG 

M Ed  1,35.M G  1,50.M Q  1,35  0,232  1,50  0,168  0.565MN.m

A l’ELS, on a :  Vs  VG 

 1,50.VQ  1,35  0,290  1,50  0,210  0,707MN

 VQ  0,290  0,210  0,500MN

M s  M G  M Q  0,232  0,168  0,400MN .m

Calcul des armatures longitudinales Les caractéristiques des matériaux sont les suivantes : 

Béton C25/30 =>



Acier S500B :

f cd 

f yd 

f ck



c

f yk

s



25  16,67Mpa 1.5

500  434,78Mpa 1,15

On calcul les armatures longitudinales, en flexion simple, de la façon suivante :  Hauteur utile : d=h-5cm= 1,05m

 cu 



Calcul du moment réduit :



Calcul de  :



Calcul du bras de levier zc :



Calcul de la section d’armatures : o



M Ed 0,565   0,061 bw .d ². f cd 0,50 1,05² 16,67







 lu  1,25 1  (1  2 cu )  1,25 1  (1  2  0,061)  0,079

Au 

zc  d (1  0,4 lu )  1,05(1  0,4  0,079)  1,02m

Mu 0,565   12,74.10  4 m²  12,74cm ² zb Fed 1,02  434,78

On voit donc que le dimensionnement en flexion de la poutre nous donne une section d’armatures longitudinales inférieures de 12,74cm².

2017-2018


4.9.2.

45

Calcul des efforts normaux et moments dans les linteaux

On détermine les efforts dans les linteaux aux ELU et aux ELS. Efforts dans les linteaux à l’ELU Les efforts dans les linteaux sont calculés à partir du schéma suivant :





Calcul du linteau haut : o Le calcul en flexion simple sans trémie nous permet de connaître la position de l’axe neutre : x   lu .d  0,079 1,05  0,083m . o

On vérifie que la hauteur de la zone comprimée est bien inférieur à la hauteur du linteau supérieur : x= 0,083 m < h1= 0,35 m.

o

N u  Fc  0,8.b.x. f cd  0,8  0,50  0,08316,67  0,553MN

o

h   0,35  M u1  Fc . 1  0,4.x   0,553  0,4  0,083  0,078MN .m (tend la fibre  2  2 

inférieure) Calcul du linteau bas : o N u  Fs   Fc o

 0,553MN

h  0,25    M u 2  Fs . h  d  2   0,5531,10  1,05    0,041MN .m 2 2   

Distribution de ces efforts dans les consoles gauches et droites D’après le schéma que l’on vient de voir, on a la distribution des efforts suivantes :

2017-2018


46

Pour le calcul des linteaux, on considère deux consoles de part et d’autres du point d’inflexion de la poutre, ce qui nous amène à considérer (par le principe d’équilibre) les conventions suivantes : Vu1 Mu1

Nu1

G0

Nu1 Vu1 Mu2

G0

Nu2

G0 Mu1

Mu2

Vu2

Nu2

G0

Vu2 Ensuite, en fonction des signes, ces efforts seront ramenés au centre de gravité de chaque encastrement. Toute la complexité de l’exercice est donc de ne pas se tromper dans les conventions de signe lors de ce transfert à la section d’encastrement.

4.9.3.

Calcul des efforts tranchants dans les linteaux

Il faut maintenant déterminer la répartition de l’effort tranchant dans les linteaux haut et bas. On est dans le cas suivant :  A= 0,60m ≥ max (h1, h2)= 0,35 alors Vu1= Vu * h13/(h13+h23) Vu2= Vu * h23/(h13+h23)

On a donc :

h13 0,353  V .  0,733.Vu u h13  h23 0,353  0,253



Vu1  Vu .



h23 0,253 Vu 2  Vu . 3  Vu .  0,267.Vu h1  h23 0,353  0,253

Ce qui nous donne :  Vu1  0,733  0,707  0,518MN 

Vu 2  0,267  0,707  0,189MN

2017-2018


4.9.4.

47

Calcul des armatures du demi-linteau supérieur droit.

4.9.4.1. Sollicitations dans la section d’encastrement Les calculs précédents nous ont donné les valeurs d’efforts suivantes : Vu1 Nu1

G0 Il faut ramener ces efforts à la section d’encastrement du linteau, notée G0 dans le schéma ci-contre.

Mu1

30cm En considérant qu’il n’y a pas de charges directement appliquées sur le linteau, on a les efforts suivants au droit de l’encastrement :  M G 0  M u1  0,30.Vu1  

VG 0  Vu NG 0  Nu

Ce qui nous donne :  M uG 0  0,078  0,30  0,518  0,233MN.m  

VuG 0  Vu  0,518MN N uG 0  N u  0,553MN 4.9.4.2. Calcul des armatures longitudinales

Les armatures longitudinales sont déterminées en flexion composée avec compression, en négligeant les effets du second ordre (car élément travaillant principale en flexion)

Estimation de l’enrobage au centre de gravité des aciers inférieurs : cnom  20mm   

Cadre HA10 maximum et aciers longitudinaux en HA20 maximum (à vérifier après calcul) Enrobage= 20+10+10= 40mm

Estimation de l’enrobage au centre de gravité des aciers supérieurs :

2017-2018




48

cnom  20mm

 Cadre HA10 maximum et aciers longitudinaux en HA10 maximum (à vérifier après calcul)  Enrobage= 20+10+5= 35mm La position des aciers des aciers tendus est donnée par le schéma suivant :

Il faut ensuite ramener les sollicitations ELU au centre de gravité des aciers tendus :  N uG 0  N u  0,553MN  

M h 0,35 0,233  0,42m e A  e0  (d  )  0,42  (0,31  )  0,56m avec e0  u  N u 0,553 2 2 M uA  0,553 0,56  0,310MN.m

Vérification si section partiellement comprimée On calcule le moment réduit : 

 cu 

Puis on calcul



M uA 0,310   0,387 bw .d ² Fcd 0,50  0,31² 16,67

 BC

:

h d

h d

 BC  0,8 (1  0,4 )  0,8

0,35 0,35 (1  0,4 )  0,495 0,31 0,31

On est donc bien en section partiellement comprimée.

Dimensionnement des armatures en flexion simple Dimensionnement ELU :  Hauteur utile : d=0,31m  Moment réduit :  cu  0,387 

Bras de levier

zc  0,27m (voir schéma précédent).

Pour une classe d’exposition XC, le moment réduit limite vaut On a donc

 cu  lu

lu  0,372 .

=> présence d’aciers comprimés.

2017-2018


49

Calcul des aciers tendus (section A1)   

Le calcul des aciers tendus doit être mené avec un moment correspond à

lu

:

M lu => M lu  lu .bw .d ². f cd  0,372  0,50  0,31² 16,67  0,298MN .m bw .d ². f cd M lu 0,298   25,38cm² Calcul de la section d’armatures : A1  zc . f yd 0,27  434,78

 lu 

Calcul des aciers comprimés (section A’) 

Calcul de l’allongement des aciers comprimés :

3,5 3,5 ( lu d  d ' )  (0,617  0,31  0,035)  0,0029 1000   lu  d 1000  0,617  0,31 f yd 434,78   0,00217 On est dans le cas  sc  E 200000

 sc  

 sc  f yd  434,78Mpa



On prend donc



Calcul des aciers comprimés : o



M u  M lu 0,310  0,298   1cm ² (d  d ' ) sc (0,31  0,035)  434,78

Calcul des aciers A2 pour équilibrer A’ : o



A' 

A2  A'

 sc 434,78  1,00  1,00cm ² e 434,78

Section totale à mettre en œuvre o A=A1+A2=26,38cm² en partie inférieure (aciers tendus) o A’=1cm² en partie supérieure (aciers comprimés)

Armatures en flexion composée En flexion composée, on a donc :  A’= 1,00 cm²  A= A – N/Fed= 26,38.10-4 – 0,553/434,78= 13,66 cm² On met en place :  5HA10 en aciers comprimés (aciers en face supérieure du linteau)  5HA20= 15,70 cm² en aciers tendus (aciers en face inférieure du linteau).

4.9.4.3. Calcul des armatures transversales On fait un calcul classique en considérant l’effort tranchant repris par le linteau haut. Pour ce calcul, on considère un angle d’inclinaison des bielles de 45°. Vérification de la bielle comprimée de béton En flexion composée, la contrainte maximale dans la bielle de béton s’écrit :

2017-2018


50

cot  cot 



VRd , max   cw . 1. f cd .zu .bw



zu  0,9d  0,9  0,31  0,28



f  25    v1  0,6 1  ck   0,61    0,54  250   250 

1  cot 2

Ce qui nous donne : 

VRd , max  1,00  0,54  16,67  0,28  0,50 

On a bien

cot 45  0,630MN 1  cot ²45

VEd  0,518MN  VRd , max .

Calcul des armatures transversales On détermine les armatures transversales en considérant des aciers verticaux (= 90°).

Asw VEd .tg 0,518  tg 45    42.55cm ² / ml 500 s zu . f ywd 0,28  1,15 On peut mettre en place 2 cadres + 1 étrier, soit Asw  6 HA10  4,71cm² , ce qui nous donne un 4,71 espacement de  11cm (voir plan de ferraillage un peu plus loin) 42.55 

4.9.5.

Calcul des armatures du demi-linteau supérieur gauche.

4.9.5.1. Sollicitations dans la section d’encastrement Attention, lorsque l’on ramène les efforts ELU dans la section d’encastrement, il faut bien considérer une valeur négative de l’effort tranchant. Mu1 G0

Nu1 Vu1

  

M uG 0  0,078  0,30  0,518  0,077MN.m  0.08MN.m VuG 0  Vu  0,518MN N uG 0  N u  0,553MN

2017-2018


51

4.9.5.2. Calcul des armatures longitudinales ATTENTION, pour le linteau haut de gauche, les aciers tendus sont en fibre supérieure. On prend une hauteur utile de d=35-3.5= 31.5 cm. Il faut ensuite ramener les sollicitations ELU au centre de gravité des aciers tendus, en suivant le schéma suivant : Aciers tendus

d

euA e0u

h/2

d’ Nu

Aciers comprimés

 



N uG 0  N u  0,553MN h h 0,35 euA  e0   (h  d )  e0  (d  )  0,145  (0,315  )  0,29m avec 2 2 2 M  0,08 e0  u   0,145m Nu 0,553 M uA  0,553 0,29  0,160MN.m

Vérification si section partiellement comprimée On calcul le moment réduit : 

 cu 

M uA 0,160   0,193 bd ² Fbu 0,50  0,315² 16,67

Puis on calcul



 BC h d

:

h d

 BC  0,8 (1  0,4 )  0,8

0,35 0,35 (1  0,4 )  0,494 0,315 0,315

On est donc bien en section partiellement comprimée.

2017-2018


52

Dimensionnement des armatures en flexion simple on fait un dimensionnement à l'E.L.U.  

Hauteur utile : d=0,315m Moment réduit :  cu  0,193

On a donc

bu  lu  0,372

=> pas d’aciers comprimés.

Calcul des aciers en flexion simple

bu  0,193



Moment réduit :



zc  0,27m




A 

M uA 0,160   13,63cm ² zb Fed 0,27  434,78

Armatures en flexion composée En flexion composée, on a donc :  A’= 0  A= A – N/Fed= 13,63.10-4 – 0,553/434,78= 0,92 cm² D’un point de vue théorique, il suffirait de mettre en place le pourcentage minimum. Mais pour des raisons de facilité de mise en œuvre, on prolongera les aciers supérieurs du linteau droit sur toute la longueur du linteau haut (soit 5HA10).

4.9.5.3. Calcul des armatures transversales Le calcul des armatures transversales est le même que pour le demi-linteau supérieur droit.

4.9.6.

Calcul des armatures du demi-linteau inférieur droit.

On a le schéma suivant :

2017-2018


53

4.9.6.1. Sollicitations dans la section d’encastrement Les calculs précédents nous ont donné les valeurs d’efforts suivantes :

Il faut ramener ces efforts à la section d’encastrement du linteau, notée G0 dans le schéma ci-contre.

Vu2 G0 Nu2

Mu2 30cm

Les efforts ELU calculés dans le linteau inférieur sont :  N u 2  Fs   Fbc  0,553MN (traction)  

M u 2  0,041MN.m Vu 2  0,189MN

En considérant qu’il n’y a pas de charges directement appliquées sur le linteau, on a les efforts suivants au droit de l’encastrement :  M G 0  M u 2  0,30.Vu 2  

VG 0  Vu 2 NG0  Nu2

Ce qui nous donne : M uG 0  0,041 0,30  0,189  0,098MN.m   

VuG 0  Vu  0,189MN N uG 0  N u  0,553MN 4.9.6.2. Calcul des armatures longitudinales

Les armatures longitudinales sont déterminées en flexion composée avec traction. On prend une hauteur utile de d=25-3= 22 cm (voir schéma ci-dessus). Il faut ensuite ramener les sollicitations ELU au centre de gravité des aciers tendus : Mg0 N

G0

 e0 eA

 



h/2

G0

A

N

N uG 0  N u  0,553MN h 0,25 e A  e0  (d  )  0,177  (0,23  )  0,072m avec 2 2 M 0,098 e0  uG 0   0,177m Nu  0,553 M uA  0,553 0,072  0,040MN.m

2017-2018

d


54

Vérification si section entièrement tendue On calcul l’excentricité à l’ELU, on a : e0  0,177m On vérifie que

e0u  d 

h 0,25  0,23   0,105m 2 2

On est donc en section partiellement tendue car l’effort normal est en dehors des armatures.

Dimensionnement des armatures en flexion simple 

Hauteur utile : d=0,23m



Moment réduit :

 cu 

0,040  0,091 0,50  0,23²  16,67

Calcul des aciers en flexion simple

z c  0,19



Bras de levier :




A 

Mu 0,040   4,84cm ² zb Fed 0,19  434,78

Armatures en flexion composée En flexion composée, on a donc :  A’= 0  A= A – N/Fed= 4,84.10-4 –(-0,553)/434,78= 17,6 cm² On peut mettre en place 5HA16 + 4HA16= 18cm² (en partie inférieure).

4.9.6.3. Calcul des armatures transversales On fera le calcul des armatures transversales lors de l’étude de la partie de gauche (voir ci-dessous)

4.9.7.

Calcul des armatures du demi-linteau inférieur gauche.

4.9.7.1. Sollicitations dans la section d’encastrement Les calculs précédents nous ont donné les valeurs d’efforts suivantes :

Il faut ramener ces efforts à la section d’encastrement du linteau, notée G0 dans le schéma ci-contre. Mu2 G0

Nu2

Vu2

Les efforts ELU calculés dans le linteau inférieur sont :  A l’ELU : o N u 2  0,553MN (traction) o o

M u 2  0,041MN.m Vu 2  0,189MN 2017-2018


55

En considérant qu’il n’y a pas de charges directement appliquées sur le linteau, on a les efforts suivants au droit de l’encastrement :  M G 0  M u 2  0,30.Vu 2  

VG 0  Vu 2 NG0  Nu2

Ce qui nous donne à l’ELU:  M uG 0  0,041 0,30  0,189  0,016MN.m  

VuG 0  Vu  0,189MN N uG 0  N u  0,553MN 4.9.7.2. Calcul des armatures longitudinales

Les armatures longitudinales sont déterminées en flexion composée avec traction. On prend une hauteur utile de d=25-3= 22 cm (voir schéma ci-dessus). On calcul l’excentricité à l’ELU, on a : On vérifie que

e0u  d 

e0 

M uG 0  0,016   0,029m Nu  0,553

h 0,25  0,22   0,095m 2 2

On est donc dans le cas d’une section entièrement tendue avec le schéma suivant (du fait que l’excentricité est positive) : A1 d1 eA1 zs

e0u eA2

h/2

d2 A2

Calcul des excentricités. Le calcul des excentricités nous donne : 

e A1 

h  d1  e0u  0,125  0,03  0,029  0,066m 2



e A2 

h  d 2  e0u  0,125  0,03  0,029  0,124m 2

2017-2018


56

Calcul des armatures Pour la nappe supérieure : 

A1 

N u  e A2 0,553 0,124   8,30.10 4 m²  8,30cm² (e A1  e A2 )  Fed (0,066  0,124)  434,78

Pour la nappe inférieure : 

A2 

N u  e A1 0,553 0,066   4,42.10 4 m²  4,42cm ² (e A1  e A2 )  Fed (0,066  0,124)  434,78

On peut mettre en place :  5HA16= 10,05cm² en aciers supérieurs.  On prolonge les aciers inférieurs du linteau gauche pour plus de facilité de ferraillage, quitte à avoir un linteau inférieur gauche surdimensionné.

4.9.8.

Calcul des armatures transversales - section entièrement tendue.

Nous venons de voir que la partie gauche du linteau inférieure, il nous faut donc faire un calcul particulier pour les armatures transversales. Nous allons appliquer ce calcul à l’ensemble du linteau inférieur. Comme nous l’avons précédemment, on peut partir du treillis classique suivant (il s’agit d’un treillis simple) :

Nous avons vu que la largeur de référence ne doit pas dépasser z, de façon à avoir un angle de bielle supérieure ou égal à 45°. De plus, il est conseillé de mettre en place un nombre pair d’espacements pour avoir une symétrie des efforts. L’ouverture à une largeur totale de 60cm, on choisit donc de mettre en place 3 cours de cadres, soit 4 espacements de 15cm. On peut donc calculer l’angle  d’inclinaison des bielles :

cot  

15 15 19     arctg  51.71 . z 19 15

2017-2018


57

4.9.8.1. Efforts de traction dans les tirants et les montants L’effort de traction max dans la membrure supérieure gauche vaut :  F  2V .cot   2  0.189  cot 51.71  0.298MN  Il nous faut donc une section d’armatures longitudinales

A 

supérieures

de

F 0.289   6.65cm ² f yd 434.78

Le calcul précédent en flexion nous a amené à mettre en place 5HA16 (10.04cm²), ce qui est suffisant.

Vérifions maintenant la traction dans les armatures transversales :  Les armatures transversales sont composées de 2 cadres et 1 étrier en HA10, soit une section Asw  6 HA10  4,71cm² .



Chaque cours de cadre doit reprendre un effort V=0.189MN (voir schéma du treillis), ce qui nous donne une contrainte de

 sw 

0.189  401.27Mpa  f yd  434.78Mpa => OK 0.000471

4.9.8.2. Vérification de la compression de la bielle Comme nous l’avons vu précédemment, il faut vérifier la contrainte dans la bielle, en partie courante et à la naissance de celle-ci. Vérification de la bielle en partie centrale Nous avons vu que la largeur de la bielle en partie centrale est limitée à

z , ce qui nous donne la 2

contrainte suivante : 

c 

V 0.189   5.1Mpa bw .0,5 z.sin  0.50  0.19  0.50  sin 51.71

La limite de compression dans la bielle est définie par l’article 6.5.2 qui nous donne la formule suivante : 

 

 Rd ,max  0,61 

On vérifie donc

f ck  25   . f cd  0.60  1    16.67  9Mpa 250   250 

 c   Rd ,max .

Vérification de la compression à la naissance de la bielle

2017-2018


58

La contrainte de compression à la naissance de la bielle vaut (en considérant un diamètre de cadres de 10mm): 

c 

V 0.189   16.05Mpa bw .3 .sin  0.50  3  0.01 sin 51.71

La contrainte max dans la bielle vaut : 

 

 Rd ,max  1.10.k3 .v'. f cd  1.10  0.75  1 

25    16.67  12.38Mpa 250 

On voit qu’il y a un problème de contrainte à la naissance de la bielle. Pour le résoudre, plusieurs solutions sont possibles :  Augmenter la qualité de béton => à faire en dernier recours.  Réduire l’espacement des cadres mais en conservant toujours un treillis simple.  Augmenter le diamètre des aciers transversaux.  Optimiser la surface d’impact à la naissance de la bielle. Si on réduit l’espacement des cadres :  Prenons un espacement de 10cm au lieu de 15cm => on a un angle d’inclinaison des bielles de

  arctg 

0.189 19  62.24 =>  c   14.24Mpa 0.50  3  0.01 sin 62.24 10

On voit que cette disposition n’est pas suffisante.

Si on augmente le diamètre des cadres, il nous faut mettre en place des HA14 pour pouvoir vérifier la condition de compression sur la bielle :

V 0.189   11.47Mpa bw .3 . sin  0.50  3  0.014  sin 51.71



c 



Cette solution fonctionne mais impose un diamètre de cadre assez important.

Si on optimise (selon la méthode de PAILLE) la surface d’impact de la bielle :

On a =0.01 et ’= 0.016, soit √(3 ∗ 0.01)2 + (3 ∗ 0.016)² = 0.057𝑚

2017-2018


59

Soit une contrainte de :

c 

V 0.189   8.45Mpa bw . (3 )²  (3 ' )² . sin  0.50  0.057  sin 51.71

On voit que cette vérification est bien moins contraignante.

4.9.8.3. Calcul des renforts latéraux Comme nous l’avons vu précédemment, il faut mettre des cadres de part et d’autres de l’ouverture de façon à satisfaire les conditions suivantes :

h1 ht

A1

Atw

Ate  A1.

Ate

A2 h2



h1 V  u1 ht   f yd

Atw  A2 .

h2 V  u2 ht   f yd

Côté gauche de l’ouverture  Aw  10,05cm² => on prend la section théorique obtenue lors du calcul du linteau inférieur gauche. 

Vu 2  0,189MN



Atw  10,05.104 

0.25 0,189   6,70.104 m²  6,70cm ² 1.10  0.03 434,78

En considérant deux cadres et 1 étrier (voir schéma ci-dessous) en HA10, on a donc 6HA10 en section transversale, ce qui nous donne At  4,74cm ² . Il faut donc placer n 

6.70  1,41 , soit 2 cadres espacés de 5cm. 4,74

Côté droit de l’ouverture Ae  15,70cm² => on prend la section réelle obtenue lors du calcul du linteau supérieur droit.  

Vu1  0,518MN



Ate  15,70.10  4 

0.35 0,518   17,05.10  4 m²  17,05cm ² 1.10  0.03 434,78

En considérant deux cadres et 1 étrier (voir schéma ci-dessous) en HA10, on a donc 6HA10 en section transversale, ce qui nous donne At  4,74cm ² . Il faut donc placer n 

17,05  3,60 , soit 4 cadres espacés de 5cm. 4,74

2017-2018


4.9.9.

60

Plan de ferraillage 5HA10

2 cadres HA10 +1 étrier espacés de 10cm

5HA20 h1+Lbd

2*(2 cadres HA10 +1 étriers) espacés de 7 cm

4*(2 cadres HA10 +1 étriers) espacés de 7 cm h2+Lbd 5HA16

5HA16 + 4HA16 Cours composés de 2 cadres HA10 +1 étriers espacés de 7.5cm

Remarques sur le plan de ferraillage   

Les aciers supérieurs (5HA10) seront prolongés sur toute la longueur de la poutre pour servir d’aciers de montage. Les aciers horizontaux qui bordent l’ouverture (5HA20 et 5HA16 sur le schéma ci-dessus) seront ancrés sur une distance hi  lbd ( hi étant la hauteur du linteau considéré). En ce qui concerne les aciers inférieurs du linteau inférieur (5HA16+4HA16) : o Le 1er lit (5HA16) sera prolongé sur toute la travée et ancrer sur appuis. o Le 2ème lit sera arrêté en fonction de l’épure d’arrêt des barres (sans tenir compte de l’ouverture). Cependant, la longueur au-delà de l’ouverture ne pourra pas être inférieure à hi  lbd .

2017-2018

Chapitre 4 - Ferraillage Complet D-une Poutre

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