P
Co n t r ai n t e d u b é to n n o n li Hypothèses d'études
Dimensions caractéristiques
Charge permanente : G charge d'exploitation : Q Moment ultime : Med Moment service : Mser Contrainte de l'acier utilisé : Fyk Contrainte du béton à 28 jours : Fck Rapport entre le moment ultime et service Coefficient d'équivalence acier / béton Es : Module de Young de l'acier
Moecar : Moment a L'ELS sous combinaison caractéristique Moepq : Moment a L'ELS : combinaison quasi permanante Coefficient de Fluage effectif
Maitrise de la fissuration = Mettre 1 si elle est requise Contrainte a la traction
Contrainte de compression du béton à l' ELU : Fcd Contrainte de traction des aciers : Fyd
Moment ultime réduit Moment Limite ultime
Ca
Section d'armatures comprimées
Déte Bras de levier : Zc Section d'aciers tendues : As1 = Med / Zc * Fyd si As2 = 0
Section minimale d'armatures Fct,eff = Fctm si la maitrise de la fissuration est non requise
Moment service sous combinaison quasi permanente
Module de déformation instantanée Module d'élasticité effectif tangent du béton
'
Contrainte de compression du béton à l' ELU : Fcd Contrainte de traction des aciers : Fyd
Moment ultime réduit Moment Limite ultime
Ca
Section d'armatures comprimées
Déte Bras de levier : Zc Section d'aciers tendues : As1 = Med / Zc * Fyd si As2 = 0
Section minimale d'armatures Fct,eff = Fctm si la maitrise de la fissuration est non requise
Moment service sous combinaison quasi permanente
Module de déformation instantanée Module d'élasticité effectif tangent du béton
'
: coe c en e n prenan en comp e n uence e a ur e u c arge
c ar ac t é r Si As2 = 0 : A's = b*h + n*(As1)
Si As2 = 0 : y’=(b*h²/2+n*As1*d)/As’
Si As2 = 0 : I=b*h^3/3+n*(As1*d²)-As’y’²
c arac Distance du haut de la poutre à l’axe neutre : x Inertie de l'inertie fissurée :
If
Contrainte de l'acier :
Moment critique
Calcul de flèche
Si L<7m Si L>7m
Vé r Valeur de l'effort tranchant : Vrd Valeur de l'effort tranchant maximale : Vrd max
Di m m en s i o n Section d'armatures transversales
UTRE RECTANGULAIRE RECTANGULAIRE A L'E.L.U. EUROCODE 2
m it é e àl'EL S : Cl as s e : X0, XCe t XA : Pal ier in c li n Données Longueur de la poutre
L=
5.50
Largeur de la poutre
b=
0.18
Hauteur de la poutre
h=
0.60
d=
0.54
d' =
0.05
G=
3.823
Q=
0.760
Med = (1.35 G + 1.5 Q + (1,5*ψi)*Qi)*L² / 8
Med,u =
0.24
Mser = (G + Q) * L² / 8
Mser =
0.17
Ha H auteur utile des aciers tendus Hauteur utile des aciers comprimés ( si nécessaire )
γ = Med / Mser αe = Es /( Ecm / 1+Φ 1+ Φeff )
Fyk =
500
Fck =
25
γ=
1.37
αe=
18
Es = 200 Gpa
Es =
200000
Fcm = Fck + 8
Fcm=
33.00
Ecm = 22000 * (Fcm/10)^0,3
Ecm=
31475.81
Moecar = (G + Q) * L² / 8
Moecar=
0.17
Moepq = G + ( 0,3*Q ) * L² / 8
Moepq=
0.15
Φeff=
1.77
λ=
0.80
Φeff = Φ∞ * (Moepq / Moecar) ; Φ∞ = 2 Coefficient λ : pour Fck < 50 Mpa : λ = 0,8 Mettre 2 Dans les autres cas Fctm = 0,3 * Fck ^2/3
2 Fctm=
2.56
Contraintes de calcul ( µ x α x Fck ) / 1.5 ; µ = α = 1
Fcd =
16.67
( Fyk / 1.15 )
Fyd =
434.78
µcu = Med / ( b x d² x Fcd )
µcu=
0.272
µlu = µls = 0,3717 : S 500
µlu=
0.3717
Calcul des moments réduits
Pas d'aciers comprim
Vérification : Si µcu < µLu => As2 = 0 ; sinon As2 > 0
s ou aciers comprimés est necessaires Mlu = µlu * b * d² * Fcd α1 = 1/λ * (1-racine(1-2*µlu) εs2,u = εcu2 * ((α1 - δ')/(α1))
; εcu2 = 3,5/1000
εyd = Fyd / Es ; Es = 200000 Mpa
Mlu=
0.325
α1=
0.617
εs2,u=
0.003
εyd=
0.002 palier
Condition : εyd > εs2,u => droite de Hooke ; sinon palier ζs2,e = 0,6*αe*γ*Fck - δ' * (A*Fck + B) : palier A = -5 / αe + 13 B = 6855 / αe - 9
ζs2,e=
298.009
A=
12.716
B=
380.775
ζs2,e=
Droite de Hooke : ζs2,e = Es * εs2,u As2 = Med - Mlu / (d-d')*ζs2,e
594.918
As2=
-5.951
As2 adoptée=
-5.951
Zc=
0.407
As1=
13.472
As,min = Max ( 0,26*Fct,eff *b*d / Fyk ; 0,0013*b*d)
As,min=
1.296
sinon = Max (1,6 - h /1000)*Fctm ; Fctm)
Fct,eff=
2.6
As1 adoptée=
14.07
Moepq=
0.2
Fcm = Fck + 8 Mpa
Fcm=
33.000
Ecm = 22000 *((Fcm)/(10)^0,3)
Ecm=
31475.8
Eceff=
10491.9
Section d'armatures comprimées adoptée
mination de la section des aciers tendues Si µcu < 0,225 => Zc = d*(1-0,6*µcu) sinon Zc = d*(1-λ/2 * αu)
As1 = Mlu / Zc * Fyd + As2 * ζs2,e / Fyd si As2 > 0
Section d'armatures tendues adoptée
C al cu l d e la f l c h e Données de calcul Moepq = ((G +γ2*Q)*(L²)) / 8
Ec,eff = Ecm(t0) / (1+Φ) ; Φ = 2
γ2 = 0,3
1,0 dans le cas d'un chargement unique de courte durée
0,5 dans le cas d'un chargement prolongé ou d'un grand nombre de cycles de chargement.
β=
0.500
A's=
0.133
Si As2 > 0 : y’=(b*h²/2+n*As1*d + As2 *d')/As’
y'=
0.341
y=h-y’
y=
0.259
Si As2 > 0 : I=b*h^3/3+n*(As1*d²+As2*d'²)-As’y’²
I=
0.005
y''=
0.003
x = 1/b * ((-(n*As) + ((n*As)² + (2*n*b*d*As))^0,5) : 0
x=
0.272
If = b*y^3 / 3 + n*As*(d-x)²
If=
0.003
y'=Mser/(Eceff*If)
y'=
0.006
ζs = αe * Mser * (d - x) / If
ζs=
274.034
Verification : ζs < ζs lim = 0,8*Fyk
Condition verifiée
s tiq u e de la sec tio n n o n f is s u ré e Si As2 > 0 : A's = b*h + n*(As1+As2)
y''=Mser /(Eceff*I)
ristique de la section fiss ur
Fl c he to tale Mcr= fctm*I/(y)
=1- β*(Mcr/Ms)² f= *y''+(1- )*y'
Mcr=
0.047
=
0.953
f=
0.004
Fl èc h e L im it e f
0.011
f
Vérification : f
Condition verifiée
fication d e l'effort tranchant Vrd = ((1,35G + 1,5Q)*(L)) / 2 Vrd max = αcw * b * z * v1 * ((Fcd)/(cotanθ + tan θ))
αcw = 1 d'apès l'annexe Français v1 = 0,6 * ((1)-(Fck/250)) z = 0,9 d
Vrd=
0.173
Vrd,max=
0.271
αcw=
1.000
v1=
0.540
z=
0.486
On adopte une valeur de cotanθ = 2,5 => tan θ = 0,4
Vérification : Vrd < Vrd,max Donc la valeur de cotanθ = 2,5 est bien valide
Condition verifiée
nem ent des armatures transv ersales Asw / s > V rd / z * Fyd * cotan θ
Asw / s=
3.280
Annexe EC2
m m m m
m T/m T/m MN.m MNm MPa MPa
Mpa MPa MPa MNm
MPa
MPa
EC 2 – 3.1.7 (3)
MPa
MN.m
és
Mpa
MPa cm² cm²
m cm²
cm² Mpa cm²
MNm Mpa MPa Mpa
EC 2 – 7.1 (2)
m² m m m4 m
m m^4 m Mpa
MNm
m
MN MN
m
cm²/ml
POUTRE RE
Co n trai n te d u b é to n es t li m it é e Hypothèses d'études
Dimensions caractéristiques
Charge permanente : G charge d'exploitation : Q Moment ultime : Med Moment service : Mser Contrainte de l'acier utilisé : Fyk Contrainte du béton à 28 jours : Fck
Es : Module de Young de l'acier
Moecar : Moment a L'ELS sous combinaison caractéristique Moepq : Moment a L'ELS : combinaison quasi permanante Coefficient de Fluage effectif Maitrise de la fissuration = Mettre 1 si elle est requise Résistance a la traction
C
Contrainte de compression du béton à l' ELU : Fcd Contrainte de traction des aciers : Fyd
Calc Moment ultime réduit Moment Limite ultime
Cas ou acie
Section d'armatures comprimées
Détermination
Bras de levier : Zc
Section d'aciers tendues : As1 = Med / Zc * ζs1 si As2 = 0
Section minimale d'armatures Fct,eff = Fctm si la maitrise de la fissuration est non requise
Cal Moment service sous combinaison quasi permanente Module de déformation instantanée Module d'élasticité effectif tangent du béton
β : coefficient prenant en compte l'influence de la durée du chargement ou de la ré
caracté ristiq u Si As2 = 0 : A's = b*h + n*(As1)
Si As2 = 0 : y’=(b*h²/2+n*As1*d)/As’
Si As2 = 0 : I=b*h^3/3+n*(As1*d²)-As’y’²
c arac t r is ti Distance du haut de la poutre à l’axe neutre : x Inertie de l'inertie fissurée :
Contrainte du béton :
Contrainte de l'acier :
Moment critique
Calcul de flèche
If
Si L<7m Si L>7m
Vé rif icatio Valeur de l'effort tranchant : Vrd Valeur de l'effort tranchant maximale : Vrd max
On adopte une valeur de cotanθ = 2,5 => tan θ = 0,4
Dim m en s io n n em e Section d'armatures transversales
TANGULAIRE A L'E.L.U. EUROCODE 2
l'ELS : Class e : XD , XF et XS : Palier inc lin é
Annexe EC
EC 2 – 7.2 (2)
Données Longueur de la poutre
L=
5.50 m
Largeur de la poutre
bw =
0.18 m
Hauteur de la poutre
h=
0.60 m
Hauteur utile des aciers tendus
d=
0.54 m
d' =
0.05 m
G=
3.823 T/m
Q=
0.760 T/m
Hauteur utile des aciers comprimés
Med = (1.35 G + 1.5 Q + (1,5*ψi)*Qi)*L² / 8
Med,u =
0.238 MN.m
Mser = (G + Q) * L² / 8
Mser =
0.173 MNm
γ = Med / Mser αe = Es /( Ecm / 1+ Φeff )
Fyk =
500 MPa
Fck =
25 MPa
γ=
1.375
αe=
18
Es = 200 Gpa
Es =
200000 Mpa
Fcm = Fck + 8
Fcm=
33.000 MPa
Ecm = 22000 * (Fcm/10)^0,3
Ecm=
31476 MPa
Moecar = (G + Q) * L² / 8
Moecar=
0.173 MNm
Moepq = G + ( 0,3*Q ) * L² / 8
Moepq=
0.153
Φeff=
1.768
λ=
0.800
Φeff = Φ∞ * (Moepq / Moecar) ; Φ∞ = 2 Coefficient λ : pour Fck < 50 Mpa : λ = 0,8 Mettre 2 Dans les autres cas Fctm = 0,3 * Fck ^2/3
ontraintes de calcul
2 Fctm=
2.6 MPa
( µ x α x Fck ) / 1.5 ; µ = α = 1
Fcd =
16.67 MPa
( Fyk / 1.15 )
Fyd =
434.78 MPa
l des moments réduits µcu = Med / ( b x d² x Fcd ) µlu = Fck / ((4,62-1,66* γ)*Fck + (165,69-79,62* γ)) * K
µcu=
0.272 MN.m
µlu=
0.238
K=
1.090
A = 75,3*Fck - 189,8
A=
1692.700
B = -5,6*Fck + 874,5
B=
734.500
C = 0,04*Fck - 13
C=
-12.000
K = (A+B*αe + C*αe²) * 0,0001
Vérification : Si µcu < µLu => As2 = 0 ; sinon As2 > 0
Aciers comprimés necessaires
s comprimés est necessaires Mlu = µlu * b * d² * Fcd
Mlu=
0.208
ζs2,e = 0,6*αe*γ*Fck - δ' * (A*Fck + B)
ζs2,e=
298.009 Mpa
ζs1,e = (A*Fck + B) - 0,6*αe*γ*Fck
ζs1,e =
335.967 MPa
A = -5 / αe + 13 B = 6855 / αe - 9 As2 = Med - Mlu / (d-d')*ζs2,e Section d'armatures comprimées adoptée
A=
12.716
B=
380.775
As2=
2.081 cm²
As2 adoptée=
2.36 cm²
de la section des aciers tendues αu = 1/λ * (1-racine(1-2*µcu)) Valeur de µab
αu=
0.344
µab=
0.1019
Valeur de µcu : Si As2 = 0 : µcu ; sinon : µcu = µlu Vérification : µcu><µab : Si µcu > µab : pivot B sinon pivot A
Valeur Classe A
0.238
Classe B
pivot B
Classe C
εs1 = εc * 1 - αu / αu : Pivot B : εc = 3,5 ‰
εs1=
0.007
Pivot A :
εud=
0.0225
S500 A
εyd = Fyd / Es ; Es = 200000 Mpa
εyd =
0.002
S500 B
Condition :
εs1=
0.007
S500 C
Palier
Condition : εs1 > εyd => Palier ; sinon droite de Hooke Cas de palier : valeurs de ζs1
ζs1=
439.1
Droite de Hooke : ζs1 = Es * εs1
ζs1=
1331.943
Condition :
ζs1=
439.053
Si µcu < 0,225 => Zc = d*(1-0,6*µcu) sinon Zc = d*(1-λ/2 * αu)
As1 = Mlu / Zc * ζs1 + As2 * ζs2,e / ζs1,e si As2 > 0
Zc=
As1=
0.466 m
12.015 cm²
As,min = Max ( 0,26*Fct,eff *b*d / Fyk ; 0,0013*b*d) sinon = Max (1,6 - h /1000)*Fctm ; Fctm) Section d'armatures tendues adoptée
As,min=
1.296 cm²
Fct,eff=
2.6 Mpa
As1 adoptée=
12.57 cm²
cul de l a fl c h e onnées de calcul Ms = ((G +γ2*Q)*(L²)) / 8
γ2 = 0,3
Ms=
0.2 MNm
Fcm = Fck + 8 Mpa
Fcm=
33.000 Mpa
Ecm = 22000 *((Fcm)/(10)^0,3)
Ecm=
31475.8 MPa
Eceff=
10491.9 Mpa
Ec,eff = Ecm(t0) / (1+Φ) ; Φ = 2
1,0 dans le cas d'un chargement unique de courte durée 0,5 dans le cas d'un chargement prolongé ou d'un grand nombre de cycles de chargement.
β=
0.500
d e la s ec ti o n no n fi s s u ré e Si As2 > 0 : A's = b*h + n*(As1+As2)
A's=
0.134 m²
Si As2 > 0 : y’=(b*h²/2+n*As1*d + As2 *d')/As’
y'=
0.332 m
y=h-y’
y=
0.268 m
Si As2 > 0 : I=b*h^3/3+n*(As1*d²+As2*d'²)-As’y’²
I=
0.005 m4
y''=
0.004 m
x = 1/b * ((-(n*As) + ((n*As)² + (2*n*b*d*As))^0,5) : 0
x=
0.249 m
If = b*x^3 / 3 + n*As*(d-x)²
If=
0.003 m^4
y'=Mser/(Eceff*If)
y'=
0.006 m
ζc = Mser * x / If
ζc=
Vérification : ζc < ζc lim = 0,6*Fck
Condition verifiée
ζs = αe * Mser * (d - x) / If
ζs=
Vérification : ζs < ζs lim = 0,8*Fyk
Condition verifiée
y''=Mser /(Eceff*I)
ue de la section fissu r
14.587 MPa
298.963 Mpa
lèc h e t o ta le Mcr= fctm*I/(y)
=1- β*(Mcr/Ms)² f= *y''+(1- )*y'
l c h e L im ite
Mcr=
= f=
0.044 MNm 0.958 0.004 m
EC 2 – 7.1 (
f
0.011 f
Vérification : f
Condition verifiée
n d e l'effort tranchant Vrd = ((1,35G + 1,5Q)*(L)) / 2 Vrd max = αcw * b * z * v1 * ((Fcd)/(cotanθ + tan θ))
αcw = 1 d'apès l'annexe Français v1 = 0,6 * ((1)-(Fck/250)) z = 0,9 d
Vérification : Vrd < Vrd,max
Vrd=
0.173 MN
Vrd,max=
0.271 MN
αcw=
1.000
v1=
0.540
z=
0.486
Condition verifiée
Donc la valeur de cotanθ = 2,5 est bien valide
t des armatures transversales Asw / s > Vrd / z * F yd * c otan θ
Asw / s=
3.280 cm²/ml
2
de µab
εud : Pivot A
0.1019
0.0225
0.0561
0.045
0.0387
0.0675
439.1 S 500 A : ζs1 = 432,71+ 952,38.εs1 >/ 454 (MPa) 438.0 S 500 B : ζs1 = 433,20 + 727,27.εs1 >/ 466 (MPa) 438.8 S 500 C : ζs1 = 432,84 + 895,52.εs1 >/ 493 (MPa)
2)
EC 2 – 3.2.7 (2b) note 1 + voir AN
