Ch 3 Razvoj u Furijeov Red

Deo II Trigonometrijski redovi Furijea

Glava 3 Razvoj u Furijeov red U ovoj glavi se daje konkretna realizacija teorije iz prvog dela na primeru trigonometrijskih redova Furijea. S obzirom da su sinusne i kosinusne funkcije koje ˇcine ortonormiran sistem u L2 ([−π, π]) periodiˇcne funkcije sa periodom 2π, izlaganje poˇcinje analizom funkcija koje su 2π periodiˇcne, a potim se posmatraju funkcije proizvoljnog perioda. U posebnom poglavlju se na nekoliko karakteristiˇcnih primera ilustruje odnos polazne funkcije i njenog Furijeovog reda. U tu svrhu, koriˇsćen je programski paket Matematika.

3.1

Funkcije sa periodom 2π

Neka je data funkcija f sa osnovnim periodom 2π, f (x) = f (x + 2kπ), x ∈ R, k ∈ Z. Bez umanjenja opˇstosti, pretpostavlja se da je f definisana nad [−π, π]. Zadatak koji se posmatra u ovoj glavi je razlaganje takvih funkcija na proste periodiˇcne funkcije. Proste periodiˇcne funkcije, koje se nazivaju i prosti harmonici, su oblika A sin (ωx + α) ili, ekvivalentno, oblika a cos ωx + b sin ωx. Pri tome, broj A je amplituda, ω je (ugaona) frekvencija, a α je poˇcetna faza harmonika A sin (ωx + α). Period prostih harmonika je 2π/ω. Pri razlaganju funkcije s periodom 2π na proste harmonike, njihove ugaone frekvencije treba

64

Glava 3. Razvoj u Furijeov red

da se izaberu tako da svaki od njih bude takode 2π periodiˇcna funkcija, to = 2π, k ∈ Z, odakle sledi ω = k. jest, treba da vaˇzi 2kπ ω Dakle, za zadatu funkciju ˇciji je osnovni period 2π, potrebno je odrediti konstante a0 , a1 , b1 , a2 , b2 , ..., an , bn , ... tako da vaˇzi a0 + (a1 cos x + b1 sin x) + (a2 cos 2x + b2 sin 2x) + ... 2 +∞ a0 X + (an cos nx + bn sin nx) + ... = + (an cos nx + bn sin nx). 2 n=1

f (x) =

Pretpostavimo da se funkcija f moˇze rastaviti na uniformno konvergentan red: ∞

a0 X f (x) = + (ak cos kx + bk sin kx). 2 k=1

(3.1)

Uniformna konvergencija dozvoljava razmenu graniˇcnih procesa, odnosno, red na desnoj strani jednakosti se moˇze integraliti sabirak po sabirak, pa se dobija Z

π

a0 f (x)dx = 2 −π

Z

π

dx + −π

∞ X ¡ k=1

Z

Z

π

π

cos kxdx + bk

ak

¢ sin kxdx = πa0 .

−π

−π

Mnoˇzeći (3.1) sa cos nx, integraljenjem sabirak po sabirak od −π do π, na osnovu leme 0.1.1 dobija se Z π f (x) cos nxdx −π

a0 = 2

Z

π −π

Z ∞ X ¡ cos nxdx+ ak k=1

Z

π

π

cos kx cos nxdx+bk −π

¢ sin kx cos nxdx = πan .

−π

Analogno, mnoˇzeći (3.1) sa sin nx i integraleći sabirak po sabirak od −π do π, na osnovu leme 0.1.1 dobija se Z π f (x) sin nxdx = πbn . −π

Sada smo u mogućnosti da definiˇsemo trigonometrijski red Furijea.

3.2. Funkcije sa proizvoljnim periodom

65

Definicija 3.1.1 Neka je f (x) funkcija s periodom 2π, koja na intervalu [−π, π] ima konaˇcan broj taˇcaka prekida prve vrste. Trigonometrijski red Furijea funkcije f je dat sa +∞

a0 X + (an cos nx + bn sin nx), 2 n=1 pri ˇcemu su koeficijenti definisani sa Z 1 π a0 = f (x)dx, π −π Z 1 π an = f (x) cos nxdx, n ∈ N, π −π Z 1 π f (x) sin nxdx, n ∈ N. bn = π −π U daljem tekstu koristiće se zapis +∞

(3.2)

a0 X f (x) ∼ + (an cos nx + bn sin nx), 2 n=1

a trigonometrijski red Furijea će se skraćeno zvati Furijeov red. Umesto funkcija sa periodom 2π mogu se posmatrati i funkcije definisane samo na intervalu [−π, π]. U glavi 4 će se detaljno objasniti odnosa funkcije f i njenog Furijeovog reda, a u nastavku se izvodi Furijeov red za funkcije definisane nad proizvoljnim intervalima, odnosno za periodiˇcne funkcije sa proizvoljnim osnovnim periodom. Lako se uoˇcava da, ako se funkcija pomnoˇzi konstantom, onda se njen Furijeov red mnoˇzi tom konstantom; pri sabiranju funkcija, njihovi Furijeovi redovi se sabiraju, a da bi se dobio Furijeov red funkcije f (x + c) treba u Furijeovom redu funkcije f (x) zameniti x sa x + c.

3.2

Funkcije sa proizvoljnim periodom

Neka je f (x) funkcija s proizvoljnim periodom 2l (gde je l poluperiod). Smenom x = at, dobija se funkcija f (at) perioda 2l/a. Ako je 2l/a = 2π tj.

66


a = l/π, smenom x = lt/π dobije se funkcija f (lt/π) perioda 2π, pa se analiza funkcija koje su 2l periodiˇcne svodi na analizu 2π periodiˇcnih funkcija. Pretpostavimo da je f apsolutno integrabilna na [−l, l] i da na tom intervalu f ima konaˇcno mnogo taˇcaka prekida. Ako se f moˇze razviti u uniformno konvergentan red, i ako pretpostavimo da, za zadato t ∈ R vaˇzi jednakost µ ¶ +∞ lt a0 X f = + (an cos nt + bn sin nt), π 2 n=1 onda je 1 a0 = π

µ ¶ µ ¶ Z 1 π lt lt dt; an = cos ntdt; f f π π −π π −π µ ¶ Z lt 1 π f b0 = sin ntdt, n ∈ N. π −π π

Z

π

Vraćajući se, kako u redu, tako i u formulama za koeficijente, od nove promenljive t ka staroj promenljivoj x i zapaˇzajući da je t = πx , dt = πl dx, l dobija se Furijeov red funkcije f koja je 2l periodiˇcna: ∞

(3.3)

a0 X nπx nπx f (x) ∼ + (an cos + bn sin ), 2 l l n=1

gde je (3.4)

a0

1 = l

an = bn =

1 l 1 l

Z

l

f (x)dx; −l Z l

Z

f (x) cos

nπx dx; l

f (x) sin

nπx dx, l

−l l −l

n ∈ N.

Red (3.3) sa koeficijentima (3.4), naziva se Furijeov red funkcije f sa periodom 2l. Ako je data funkcija f definisana na poluotvorenom intervalu duˇzine 2l oblika [a, a + 2l) ili (a, a + 2l], za neko a ∈ R, tada se ona moˇze (na jedinstven naˇcin) produˇziti na celu brojevnu osu, tako da se dobije funkcija s periodom 2l: f (x) = f (x + 2kl), k ∈ Z, x ∈ R,

3.3. Kosinusni i sinusni redovi

67

pa se analiza funkcija definisanih na proizvoljnom intervalu I svodi na analizu periodiˇcnih funkcija, pri ˇcemu vaˇzi ∞

a0 X nπx nπx f (x) ∼ + + bn sin ), x ∈ I, (an cos 2 l l n=1 a koeficijenti su odredeni formulama (3.4).

a0

1 = l

an = bn =

3.3

1 l 1 l

Z

l

f (x)dx; −l Z l

Z

f (x) cos

nπx dx; l

f (x) sin

nπx dx, l

−l l −l

n ∈ N.

Kosinusni i sinusni redovi

Ukoliko je na intervalu [0, l] definisana neka funkcija, tada se ona moˇze (na jedinstven naˇcin) produˇziti na celu brojevnu osu tako da se dobije parna funkcija s periodom 2l. U stvari, za x ∈ [−l, 0] definiˇse se f (x) = f (−x), ˇcime se dobija parna funkcija na [−l, l]. Zatim se sa f (x + 2kl) = f (x), x ∈ [−l, l], k ∈ Z, definiˇse parna funkcija na R, sa periodom 2l. Restrikcija ovako dobijene funkcije na [0, l] jednaka je polaznoj funkciji. Odavde sledi da je Furijeov red po kosinusima funkcije f na intervalu [0, l] dat sa ∞ a0 X nπx f (x) ∼ + an cos , 2 l n=1 gde je: 2 a0 = l

Z

l

f (x)dx; 0

2 an = l

Z

l

f (x) cos 0

nπx dx, l

n ∈ N.

Ukoliko je na intervalu [0, l] definisana neka funkcija, tada se ona moˇze (na jedinstven naˇcin) produˇziti na celu brojevnu osu tako da se dobije neparna funkcija s periodom 2l. Postupak je analogan kao i pri periodiˇcnom produˇzenju u sluˇcaju parnih funkcija, s tim ˇsto se za x ∈ [−l, 0] definiˇse f (x) = −f (−x),

68


ˇcime se dobija neparna funkcija na [−l, l]. Tako se dobija Furijeov red funkcije f po sinusima: ∞ X nπx f (x) ∼ bn sin , l n=1 gde je: 2 bn = l

Z

l

f (x) sin 0

nπx dx, l

n ∈ N.

Komentar 3.3.1 Iz navedenih razmatranja sledi da je za funkciju f koja je po delovima neprekidna nad proizvoljnim intervalom moguće definisati njen Furijeov red po kosinusima, odnosno po sinusima, pri ˇcemu se, za sada, ne ispituje odnos izmedu polazne funkcije i njenog razvoja u red.

3.4

Primeri Furijeovih redova

Primer 3.4.1 Predstaviti funkciju f (x) = sin x, 0 < x < π, u obliku (Furijeovog) reda po kosinusima. Grafik funkcije je dat na sledećoj slici.

Furijeov red koji sadrˇzi samo kosinusne izraze se dobija samo ako je funkcija parna. Stoga razvijamo u red periodiˇcno produˇzenje funkcije sin x:

3.4. Primeri Furijeovih redova

69

S obzirom da je funkcija parna, sledi da je bn = 0, a izraˇcunavanjem se dobija −2(1 + cos nπ) , n 6= 1, an = π(n2 − 1) pa je ∞ 2 2 X (1 + cos nπ) f (x) ∼ − cos nπx. π π n=2 n2 − 1 Za f = 2/P i − 2/P i ∗

m X

((1 + Cos[n ∗ P i])/((n ∗ n) − 1)) ∗ Cos[n ∗ t];

n=2

P lot[Evaluate[f ], {t, −4 ∗ P i, 4 ∗ P i}, P lotStyle → {RGBColor[0, 0, 0]}, P lotP oints → 10000, P lotRange → {{−10, 10}{−0.1, 1.1}}]; programski paket Matematika za razliˇcite vrednosti m daje: m=2:

m=5:

70


m = 20 :

m = 100 :

Restrikcijom razvoja na [0, π] dobija se traˇzeni razvoj. Primer 3.4.2 Neka je f (x) = x na intervalu [−π, π]. Odrediti Furijeov red date funkcije. Grafik funkcije je dat na sledećoj slici.


71

Koeficijenti Furijeovog trigonometrijskog reda a0 , an , bn , n ≥ 1 se raˇcunaju na uobiˇcajen naˇcin: Z 1 π xdx = 0, a0 = π −π Z 1 π an = x cos nxdx = 0, n ∈ N, π −π ˇsto je moglo da se zakljuˇci na osnovu ˇcinjenice da je data funkcija neparna na [−π, π]. Dalje, vaˇzi 1 bn = π

Z

π

x sin nxdx = −π

2(−1)n+1 , n ∈ N, n

pa je Furijeov red funkcije f (x) = x dat sa x∼

∞ X 2(−1)n+1 n=1

Za

n

sin nx.

m X f= (2 ∗ (−1)n+1 Sin[n ∗ x])/n; n=1

P lot[Evaluate[f ], {x, −P i, P i}, P lotStyle → {RGBColor[1, 0, 0]}, P lotP oints → 10000, P lotRange → {{−4, 4}{−4, 4}}]; programski paket Matematika za razliˇcite vrednosti m daje: m=2:

m = 10 :

72


m = 100 :

Na ovom primeru se vidi da je Furijeov red u krajnjim taˇckama intervala [−π, π] jednak nuli, a unutar intervala on konvergira ka x. Primer 3.4.3 Neka je f (x) = |x| na intervalu [−π, π]. Odrediti Furijeov red funkcije f. Grafik funkcije je dat na sledećoj slici.

Koeficijenti Furijevog trigonometrijskog reda a0 , an i bn , n ≥ 1 su dati sa Z 1 π a0 = |x|dx = π π −π


73

½ Z 1 π −4/πn2 , ako je n paran broj; a0 = |x| cos nxdx = 0, ako je n neparan broj. π −π S obzirom da je zadata funkcija parna, sledi bn = 0, n ∈ N. Furijeov red je dat sa ∞ π X 4 |x| ∼ − cos(2k − 1)x. 2 k=1 π(2k − 1) Za

m

f=

Pi X 4 Cos[(2 ∗ k − 1) ∗ x]; − 2 2 P i ∗ (2 ∗ k − 1) k=1

P lot[Evaluate[f ], {x, −2 ∗ P i, 2 ∗ P i}, P lotStyle → {RGBColor[1, 0, 0]}, P lotP oints → 10000, P lotRange → {{−5, 5}{−0.5, 4}}]; programski paket Matematika za razliˇcite vrednosti m daje: m=2:

m = 20;

Primer 3.4.4 Neka je f (x) = sgn(x), x ∈ [−π, π], odnosno   1, 0 < x < π 0, x = 0 f (x) =  −1, −π ≤ x < 0 Odrediti Furijeov red funkcije f.

74

Glava 3. Razvoj u Furijeov red Grafik funkcije je dat na sledećoj slici.

Oˇcigledno da je funkcija neparna ˇsto znaˇci da je an = 0. Za koeficijente bn vaˇzi ½ Z 1 π 4/πn, n paran bn = sgn(x) sin nxdx = 0, n neparan π −π Furijeov red ove funkcije je dat sa f (x) ∼

∞ X k=1

Za f=

m X

4 sin(2k − 1)x. π(2k − 1)

(4 ∗ Sin[(2 ∗ k − 1) ∗ x])/((2 ∗ k − 1) ∗ P i);

k=1

P lot[Evaluate[f ], {x, −P i, P i}, P lotStyle → {RGBColor[1, 0, 0]}, P lotP oints → 10000, P lotRange → {{−5, 5}{−2, 2}}]; programski paket Matematika za razliˇcite vrednosti m daje: m=2:

m = 10 :


75

m = 100 :

Primer 3.4.5 Neka je f (x) = x2 na intervalu x ∈ [−π, π]. Odrediti Furijeov red funkcije f. Grafik funkcije je dat na sledećoj slici.

Funkcija je parna, pa je bn = 0 za sve n. Za izraˇcunavanje koeficijenata an parcijalnom integracijom se dobija Z 1 π 2 4(−1)n an = x cos nxdx = , n ∈ N. π −π n2

76


Takode, 1 a0 = π

Z

π

x2 dx =

−π

2π 2 . 3

Furijeov red zadate funkcije je, prema tome, ∞

π 2 X 4(−1)n cos nx. x ∼ + 2 3 n n=1 2

Za f = P i2 /3 +

m X

(4 ∗ (−1)n Cos[n ∗ x])/(n2 );

n=1

P lot[Evaluate[f ], {x, −4 ∗ P i, 4 ∗ P i}, P lotStyle → {RGBColor[0, 0, 1]}, P lotP oints → 10000, P lotRange → {{−10, 10}{−1, 9}}]; programski paket Matematika za razliˇcite vrednosti m daje: m=2:

m = 10 :

m = 100 :


77

78


Ch 3 Razvoj u Furijeov Red

Recommend Documents