TEMA: CIRCUNFERENCIA I Es la figura geométrica plana cuyos puntos equidistan de un punto fijo del mismo plano. Al punto del cual equidistan los puntos de una circunferencia se denomina centro y a la distancia entre él y un punto de la circunferencia se denomina radio.
3. Ángulo Semi-inscrito Ejm: T
x
x
L1
P
H T M
T
Q
240º B
O
x=
A
L2
R
x =
2
4. Ángulo Interior
C
Ejm:
D
ELEMENTOS: Centro
“O”
:
Radio
:
“R”
Cuerda
:
PQ
Arco
:
PQ
Diámetro
:
AB
Flecha o Sagita
:
MH
Recta Tangente
:
L1
Punto de Tangencia :
T
Recta Secante
:
x=
q
Ángulo Exterior:
A.
A b
B.
B
22 7
T
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Ejm:
x =
2
5
L2
Ángulo Central
x
q
x
60º
La medida de una circunferencia en grados es 360°. A la unión de la circunferencia con la región interior se le denomina círculo. El perímetro de un círculo es igual a 2R. Donde: =
80º
NOTA:
1
=
β ω 2
=
β ω 2
O
b
80º
O
A x O
x
C.
O
T x=
x =
+ =180°
b
O
2. Ángulo Inscrito
P
Ejm:
P
100º
x
x
x=
NOTA:
q
2
A
x =
B
Si: P: es punto de la semicircunferencia.
1
AB : Diámetro, Entonces:
4. En una circunferencia de radio 13 m, se tiene una cuerda AB que mide 24 m, hallar la sagita de AB A) 5 M B)8 C) 7 D)6 E)4
q = 90°
PROPIEDADES FUNDAMENTALES: 1.
5. Del gráfico, determinar 2x": T A) 20° B) 25° C) 30° D) 40° x E) 50°
= 90°
R O
T Si: T: punto de tangencia
50°
2.
R
b
b=
T
N
Si: ON AB (AB : cuerda) PRÁCTICA
B) VVF E) VVV
a) 33º b) 11º c) 22º d) 44º e) 66º
C) FVV
B
a) 100º b) 110º c) 120º d) 130º e) 90º
a) 3 b) 6
c)
A
D
B
2
3 O
d) 3 3
C
65º
B
c) 3 2
B
e) 3 5
50º
60º A
C
x
2 45º
q
9. Hallar : “AB” ; “O” es centro
3. Hallar “x” ; mBC = mCD = mAD
53º
33º
50º x
A
b)
x
8. Hallar “r” ; “O” es centro. AB = 4 ; CD = 6 a) 1 b) 2 r c) 3 O d) 4 e) 5 C
2. Hallar “x” ; mAB = 160º
a)
O
7. Hallar : (q)
1. Indicar el valor de verdad de: I. Todo diámetro que biseca a una cuerda es perpendicular a dicha cuerda. II. Si dos circunferencias son secantes, entonces el segmento que une los centros intercepta a la cuerda común. III. La mediatriz de una cuerda contiene al centro de la circunferencia. A) FFV D) FFF
10º
a) 10º b) 5º c) 20º d) 70º e) 45º
B
O
A
6. Hallar “x” ; “O” es centro.
AT = TB
10. Hallar “x”
D A
a) 80º b) 70º c) 60º d) 50º e) 40º
2
d) 18º e) 20º
2
x 100º
60º
11. Del gráfico, calcular "x": A) 15° B) 18° C) 22°30' 3x D) 30° E) 45°
17. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia se trazan las tangentes , luego se ubica el punto "C" en el arco mayor AB. Hallar la: m
x
12. Según el gráfico, A, B y T son puntos de tangencia. Calcule “x”. x A) 60º B) 30º C) 45º D) 37º E) 53º 120º
18.
Del gráfico, P y T son puntos de
tangencia, además R=3r. Calcule m PT .
T r R
T
A
13.
B
P
En el gráfico, calcule x, si AE=2(BC)
y mCD 20º A) 130º B) 120º C) 110º D) 150º B E) 160º A
C
x
A) 60º C) 100º
19. Hallar “x” , “O” es centro a) 45º b) 18º x c) 72º d) 36º e) 63º
E
14. En la figura, calcule q ; si T, Q y P son puntos de tangencia y CB=2(BT)=4(AQ). T A) 53º
18º O
20. Calcula R; T es punto de tangencia , O es centro, AC=26 y BC=22. B A a) 12 C b) 13 c) 14 O d) 15 T e) 16
B
53º B) 2
C
q
P Q
A
R
15. "D", "E" y "F" son puntos de tangencia, "M" y "N" son puntos medios de DF y EF respectivamente y m < B = 80°, hallar "m < MPN". B A) 58° P B)70° E D C)40° D)65° E)60° A
M
F
N
E) 90º
D
o
C) 37º E) 45º
B) 105º D) 120º
21. Calcula , a) 16 b) 22 c) 24 d) 26 e) N.A.
CT
es tangente y O es centro.
D T
32°
C
A
16. En la figura, la circunferencias son ortogonales entre si, halla la m< BPA si PA PB son tangentes, el arco ABC = 104º y el arco BQ= 112º. A) 50 B) 70 C) 60 D) 55 E)40
B
O
C
22. Según la figura O es centro de la circunferencia; AB CF , calcula el valor de x, si mAF = 70°. A F a) 16 b) 17 c) 18 x d) 19 O C e) 20 B
3
23. Calcula , si O es centro. B
29. En la figura AD es diámetro, AB=AC=10 y M es punto de tangencia. Calcule MN.
A) 5 2 5
B) 5 4 5
O
B) 135
C) 145
D) 153
E) 120
N
A
25. en la figura : “A”; “B” y “C” son puntos de tangencia . Calcula “x” : A) 45 75° A B) 30 C) 37,5 x° D) 22,5 E) 60 C
31. Calcule
x,
D
D
30. Calcula °. A) 18,5° B) 22,5° C) 30° D) 37° ° E) 36º A
C
3°
C
B
O
si
AB=BC
=DE=FE
y
m ABC 120º . C D
B
B
26. Calcula “x”, si P y Q son puntos de tangencia.
x
o
P
E
F A
3x°
x°
A) 60º B) 70º C) 40º D) 30º E) 50º
Q
32. En una circunferencia con centro en M y radio r se traza la cuerda AB que no contiene a M. se prolonga AB hasta C de modo que BC=r y se prolonga CM hasta D sobre la circunferencia. Si la m< AMD=tm
27. En la figura adjunta: AB BC , O es el centro y mOCD 70. Halle el valor C de x. B A) 30 B) 35 C) X 40 D A ° D) 45 E) 60 O
28. En
C
D) 5 1 5 E) 5 2 2 5
24. En la figura mostrada calcula el valor de x° si mBAC = 184° (A es punto de tangencia) A) 98 A B B) 88 C) 78 x D) 48 E) 68
a) 20 b) 30 c) 36 d) 45 e) 35
M
C) 5 3 5
C
A
A) 130
B
la
figura,
AB=BC=a,
MN//BC . Calcule MN. b2 A) ab ab M B) ab P a2 b2 C) ab a2 D) B ab ab E) ab
AP=b
33. El cuadrilátero ABCD, está circunscrito a una circunferencia. Las prolongaciones de AB y DC se cortan en el punto J. las prolongaciones de BC y AD se cortan en el punto F. si: el perímetro del triangulo BJC=32; el perímetro del triángulo CDF=28 y JC=8. Hallar CF. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9
y
A
N Q
34. Si: mDRO =4 mPN . Calcular “x” A) 40º B) 53º C) 36º D) 37º E) 45º
C
4
35. Desde un punto C exterior a una circunferencia se traza la tangente CT y la secante CBA. En la prolongación de la cuerda TB se ubica el punto D tal que la m
2. EXCENTRO Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y la bisectriz interior del tercer ángulo.
36. En un triángulo ABC, se traza las alturas AP y BQ secantes en H. si AB=8 y HC=6. Calcula la distancia entre los centro de la circunferencia circunscrita a los triángulos AQP y QHP A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4
PROPIEDADES : E Excentro relativo a
E Excentro del triángulo UNI relativo a NI.
Además : a)
x=q a
N
E r b U
2q I
E Excentro relativo a NI r Exradio relativo a NI Además : a=b=r y x = 90° - q 3. BARICENTRO Es el punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo. N
b b
I Cos10°
qs10°
G C
0° I Incentro del triángulo ABCD Cos80°+ s80°+2C 0°+2Cos PROPIEDADES +2Cos40 Cos40°de un a) Para determinar el incentro bastará con trazar doss40° de sus 0°
interiores.
N
q q
I’
I
U
G Baricentro del triángulo UNI PROPIEDADES : a) Para determinar el baricentro de un triángulo bastara con trazar dos medianas.
triángulo , bisectrices
q
B
7 5 2 Sen Sec Cos 6 3 3 3 5 7 Tg Sec Csc r4 4 4
R
P G
x U
b b
3 Tg .Tg I Ctg Ctg 2 2 E A 3 Ctg .Ctg Tg .Tg 2 2
I’ Incentro del Triángulo UNI R Inradio Además : x = 90° + q b) El incentro equidista de x los lados de todo triángulo. x x ABC Si : I B Incentro del triángulo
A
BC
x
1. INCENTRO Es el punto de concurrencia de las bisectrices de los ángulos Binteriores de un triángulo.
A
I
C
PUNTOS NOTABLES Son cinco los puntos notables que resultan de la concurrencia de tres líneas notables en un triángulo.
E
N
x x x oo I b a o oo c o C oo a=b=c=r o donde r Inradio delx triángulo ABC x x x
C
Q G Baricentro del triángulo ABC BG = 2GQ AG = 2GR CG = 2GP 4. ORTOCENTRO Es el punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo. N
H
U
5
I
CARACTERÍSTICAS : a) El ortocentro es un punto interior si el y triángulo es acutangulo. b) El ortocentro es un punto del triángulo ubicado en el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo. c) El ortocentro es un punto exterior si el triángulo es H obtusángulo.
c) El circuncentro es un punto exterior si el triángulo es obtusángulo. B
A
C O R
O Circuncentro del triángulo ABC R Circunradio H Ortocentro del triángulo ABC
B
mC
A
PROPIEDADES : a) Para determinar el circuncentro de un triángulo bastará trazar dos de sus mediatrices. b) Si : O Circuncentro del triángulo UNI
B > 90°
PROPIEDADES : a) Para determinar el ortocentro de un triángulo bastará con trazar dos de sus alturas. b) Si : H Ortocentro del triángulo ABC.
N
q
B
a
z q
x=q y=b z=k
y O
b H
b x
A
c) Si : x=q
c
x
I
U y k
a=b=c=R Donde : R Circunradio Además x = 2q
C
B
y = 2
c) Si :O Circuncentro del triángulo ABC H Ortocentro del triángulo ABC
k
B x q A
q
x
k
H
C
O
TRIÁNGULO ORTICO O PEDAL Es aquel triángulo que se forma al unir los pies de las alturas de un triángulo.
A
C
x=q
5. CIRCUNCENTRO Es el punto de concurrencia N mediatrices de un triángulo.
de
las
RECTA DE EULER En un triángulo no equilátero el ortocentro, baricentro y cincuncentro están en línea recta.
tres
N
H O
P G
U
I O
O Circuncentro del triángulo UNI. CARACTERÍSTICAS : a) El circuncentro es un punto interior si el triángulo es acutángulo. b) El circuncentro se encuentra en el punto medio de la hipotenusa si el triángulo es rectángulo.
I
U
M
L
Donde : L Recta de Euler Además : NH = 20M UH = 20P HG = 2GO
6
EJERCICIOS
8. En la figura BQ = QC, AS = SC, AM = MR, BN = NM, BS= 36 B Halla PR. A) 6 N P B) 8 C) 9 D) 12 R M E) 13
1. En el triángulo ABC, m B =74º, I es el incentro. Si BI=10cm, hallar la distancia de I a AC A)5cm B)10cm C)4cm D)6cm E)8cm
2. En la figura, E es un excentro del ∆ABC m AEB 32º y el AEC 36º . Hallar la m AQC B A)32º B)73º C)83º D)46º E)68º
S
9. Se tiene un triángulo obtusángulo ABD, obtuso en “D”, tal que que AB=18. Se traza la bisectriz AM, M en BD, y luego se traza BC AM. (“C” en la prolongación de AM). SI : AM = 2.MC. Calcula DC. A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 63
Q
C
10. En un triángulo ABC, se conoce que
3. Hallar el valor de x, en el gráfico adjunto. E
mB=124, una bisectriz exterior es paralela a uno de los lados del triángulo. Calcula la mIAH. Si : I Incentro del ABC. H Ortocentro del ABC. A) 34° B) 33° C) 42° D) 46° E) 48°
B
65º 50º
A)90º B)60º C)70º D)80º E)100º
x 55º 70º C
11. En la figura calcula “x” si G es el baricentro del
A
4. En la figura calcula “x” : A) 30° B) 40° C) 45° D) 60° E) 90°
B
C
A
E
A
Q
triangulo ABC:
C
x 60°
q
A
q D
A) 6
5. calcula “MN” si G es el baricentro del triangulo ABC: A) 6 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12. En la prolongación de lado de un cuadrilátero ABCD se marca el punto E, tal que : mEBC = 48°, mCBD = 78°, mBDC = 30°, mADB = 54°. Calcule la mBAC. A) 9° B) 18° C) 36° D) 30°E) 54°
13. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base , ortocentro "H" y circuncentro "O". mOAH = mOBC. Calcule la mABO. A) 15° B) 18° C) 18°30' D) 22°30' E) 26°30'
6. En el gráfico “O” es ortocentro, “I” es el incentro del triángulo ABC. Calcular: x B a) 10° b) 30° c) 20° 60° x d) 40° e) 50°
14. En un ABC, AB = BC, se traza la altura BH y la mediana AM que se intersecta en “p”. Calcula BH. Si : PM = 2 y mBPM = 45° A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
O
50° A
C
15. Se tiene un triángulo obtusángulo ABD,
7. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas BH y CP tal que PH // BO siendo “O”
obtuso en “D”, tal que que AB=18. Se traza la bisectriz AM, M en BD, y luego se traza BC AM. (“C” en la prolongación de AM). SI : AM = 2.MC. Calcula DC. A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 63
el circuncentro del triángulo ABC. Hallar : m BCA A) 60° B) 30° C) 37° D) 45° E) 53°
7
24. En la figura : AB= BC y BH AC . Hallar el valor
16. En un triángulo ABC, mABC=120. Calcula la medida del ángulo formado por BC y la recta que pasa por el ortocentro y el circuncentro del triángulo ABC. A) 30° B) 45° C) 60° D) 15° E) 75°
de “x” , si I es incentro del ∆BQC A) 60º B) 30º C) 140º D) 120º E) 35º
17. Se tiene el cuadrilátero ABCD no convexo en “C”. Se sabe que al prolongar DC y BC intersectan perpendicularmente a los lados AB y AD en los puntos “M” y “N” respectivamente. Si : AC=2 CN. Calcula la mADB. A) 30° B) 45° C) 53° D) 60° E) 75°
25. Si E → Excentro del DRO. Hallar el valor de “x” A) 90º B) 80º C) 70º D) 60º E) 50º
18. En un triángulo acutángulo ABC, se ubica su circuncentro “O”, tal que la mOCA=10°, mOCB=20° y OC=12, Halla la distancia del punto “O” hacia AB. A) 6 B) 8 C) 9 D) 6 3 E) 4 3
Hallar la longitud del exradio relativo al lado A) 6cm B) 3cm C) 4cm D) 4√3cm E) 9cm
19. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC) en el cual se traza la ceviana CF. Si “O” es el circuncentro del triángulo AFC. Calcula la mOCF siendo la mABC=36. A) 9° B) 18° C) 27° D) 36° E) 30°
27.
C
IE en su punto medio M. Hallar el exradio m ABC ra si BI=12
b b
23.
B) 15 E) 14
C) 19
29. En un triángulo ABC, se ubica un punto P exterior y relativo a BC , tal que la longitud PC sea igual al circunradio del triángulo ABC.
q
Calcular la m< PBC. Si m
22. En la figura mostrada, calcula “x”: A) 26° B) 28° C) 27° D) 30° E) 36°
C) 30º
trazada desde B a CE corta a A) 18 D) 17
2
B) 15º E) 14º
28. En un triángulo ABC, de inradio r=5 e Incentro, el excentro relativo al lado BC es E. la perpendicular
I
x
q
En un ∆ABC, BE y CF son bisectrices interiores q se interceptan en I, la circunferencia inscrita en el cuadrilátero AEIF es tangente al
A) 60º D) 17º
x
21. En la figura mostrada calcula “x”. A) 15° B) 30° C) 20° D) 18° E) 12°
BC .
m
B
M
A=60º.
AE en M, a EI en N y a IF en P. Si m BAC =2. PMN , calcule la m BAC .
20. Si : Incentro del ABC. Calcula “x” siendo AM=MC. A) 53° B) 60° C) 71° 30’ D) 75° E) 82° A
El perímetro de un ∆ABC=24cm y
26.
150°- 28°
+12 50°-
30. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro H, sean M, P y L puntos medios de AB , AC y BH respectivamente. Si m
x
En un ∆MNP, se ubica el punto exterior Q relativo al lado MN. Si m MNP =84º, además;
31. En un triángulo acutángulo ABC, se ubica el punto interior P, de manera que m
m QMN m NMP m QPM 12 , 2 2 3 entonces la m NQP es: A) 60º D) 17º
B) 15º E) 14º
E) 2∝
C) 30º
8
5)
32. Del gráfico calcular “x”
TEOREMA DE MENELAO
A) 30º B) 130º C) 60 º D) 15 º E) 45º
x
b
a y z
a.b.c = x.y.z
33. Del gráfico calcular el valor de “x”
6)
CASO GENERAL DE SEMEJANZA
A) 30º B) 40º C) 45º D) 50º E) 60º
E
B
°
A
q°
°
q°
D
C
F
AB y DE
1)
TEOREMA DE THALES L1
AB
L2
E
B
AC y DF
L1 // L2 // L3
D
A
DE
F
C
L3
AB BC
2)
BC
EF
AC DF
DE
“También Se pueden dividir cualquier par de elementos homólogos: Alturas, medianas, bisectrices, inradios, ...............”.
EF
TEOREMA DE LA BISECTRIZ B
IMPORTANTE:
AD
A
D
AB
DC
B
BC
M
C
°
B
lados homólogos
BC y EF
AE
EC
°
N Si : MN // AC
AB
∆MBN ∼∆ABC C
BC
A PRÁCTICA
A
C
3)
1. En el gráfico: AB = 6 u; BC = 9 u; CD = 7 u; GH -
E
EF = 2 u. Si: L1 // L2 //L3//L4, hallar “FG”. L1
TEOREMA DEL INCENTRO
A
L2
B
B
I : Incentro
BI
I
ID
AB BC
L3
AC
D
4)
TEOREMA DE CEVA
G
D
A) 15 U D) 20
C
F
C
L4 A
E
H
B) 18 E) 12
C) 16
2. Calcular: “x”
B AD . BE . CF = DB . EC . FA D
E
O A
x
F
A) 6 D) 3
C
9
3 x B) 9 E) 15
12 C) 12
3. Calcular: PQ. Si: PQ // AC .
10. Calcular AB, si BF = 4 y FC = 5 B A) 4,5 B) 5,5 F C) 6 D) 8 º E) 9
B a) 5
1 Q
P
b) 10 c) 2,5
3
º
d) 4,5
A
e) N.A.
A
C
10
calcular BP
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)2,5
4. Hallar el valor de “x” x
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2
4
q
3a
q
5a
y
C
A
D
º
D
C
13. De la figura:PM = 2, AM = 3, BC = 12. Calcular B
PQ
A) B) C) D) E)
24
6. BP = 4; BQ = 3; BC B= 8. Calcular AP A) 1 B) 2 Q º C) 1,5 P D) 2,5 E) 3 A
18 15 16 12 19
P
Q
M
A
C
14. En un triángulo ABC, se trazan las alturas BH y CN ; de tal manera que : AN = 12 u, BN = 4 u y AH = 9 u. Calcule HC.
º C
B) 13,8 u E) 12,3 u
A) 15 u D) 13,2 u
7. Calcular: “x”. Si AP = 8 y SC = 1.
C) 14 u
B
B) 7 C) 2
M P
A
x
A) 9
B
12. AD = 3, DC = 9. Calcular AB B A) 5 B) 5,5 º C) 6 D 6,5 E7
5. Hallar “x – y” A) 6 B) 5 C) 4 D) 7 E) 3
C
11. ABCD: paralelogramo, BM = MC si PD = 6,
x
Q 2
x
D) 3,5 E) 4,5
15. Las longitudes de los lados de un triángulo son 4, 7 y 10 cm. Si otro triángulo semejante al primero, tiene un perímetro de 147 cm. Calcule la longitud de su lado menor. A) 28 cm B) 24 cm C) 32 cm D) 20 cm E) 48 cm
R
A
P
C
S
8. Calcular: “x” A) 1
16. De la figura, calcular PH, si
B) 2 C) 3
12
D) 4
3k
A) 6 B)16 C)20 D)8 E)9
x
E) 5
9. Hallar: “x”
AB
BP 3
,
P
BN = 2
k
BC// AD ,
C
B
A
N
H
D
17. De la figura, calcular QC, si AB = 6, BC = 4 y A) 5
BD = 3 5
8
B) 8 C) 10 D) 4
10
B
A)1 B)3 C)3,5 D)2 E)2,5
x
E) 6
ωº
Q º A
10
º
ωº
C
D
25. Los lados de un triángulo miden 18; 24 y 36 u.
18. De la figura, calcular AB, si BE = 6, EC =
9 A)8 B)12 C)11 D)9 E)10
B
qº qº
Hallar el menor lado de un triángulo semejante cuyo perímetro es 65 u. A) 16 U B) 10 C) 15 D) 20 E) 18
E
26. Hallar “AB” ; BC = 8
qº A
D
A) 8 B) 9 C) 10 D) 16 E) 18
C
19. Las bases de un trapecio miden 8m y 12m respectivamente y su altura es de 8m. Si al prolongar los lados no paralelos se forma un triángulo cuya base es la base menor del trapecio. ¿Cuál es la altura de dicho triángulo? A)10m B)16m C)14m D)12m E)20m
q
A) 10.5 B) 5 C) 10.3 D) 10.2 E) 10
B
4a
4
x
10 6
R
Q
28. Se tiene un ABC en el cual se traza la bisectriz interior AF por F se hace pasar una recta paralela P
C
S
al lado AC que corta en E a AB . Calcula EF sabiendo que AB=a y AC =b.
10, MD = 8. Calcular PH A)6 C B B)2 M C)3 P H D)8 E)4 A
A)
externo D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Calcule BD, si AB = 25 y BC = 16. A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 36
D
15 y AC = 10 A) 1,5 B)2,5 C)2 M D)1,8 qº E)1,9
30. Calcule AF en la figura, Si: BD = 5 y DF= 4.
B qº
ab ab B) C) a b D) ab E) a b ab ab
29. En un cuadrilátero convexo ABCD, el ángulo
22. De la figura, calcular MN, si MB = 3,BC =
B
N
A
A
C
23. Hallar “MA”, si: MN // AC ; MB = 4; BN = 7; BC
D
C
B A) 5 D) 6,5
M
N
A
10 A) 7
27. En la figura, halla la longitud “x” :
21. ABCD es un rectángulo. AB = 12, BC =
= 12.
C
A 5a
20. PQRS: cuadrado, AP = 4 y SC = 9,
calcular QR A)6 B)7 C)8 D)9 E)10 A
q
B
12 B) 7
C) 6
31. En un triángulo ABC se inscribe un rombo BFDE, F en AB, D en AC y E en BC . Calcule la longitud del lado de dicho rombo, si: AB = 6 y BC = 12 A) 3 B) 4 C) 8 D) 9 E) 10
C
20 C) D) 7
B) F5,5 E) 8
40 30 E) 7 7
32. En
un octágono regular ABCDEFH, las diagonales BG y DG intersectan a AE en P y Q respectivamente. Calcular PQ, si AP=2 A) 8√2 B) 2 C) 3 D)5 E) 2√2
24. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, de altura BH igual a 4 y AC = 12. Calcular el lado del cuadrado inscrito, uno de cuyos lados está en la hipotenusa. A) 3 B)4 C)6 D)2 E) 1
11
Para el caso en que la fuerza esté en contra del movimiento
SEMANA 5 Trabajo Mecánico El trabajo es la transmisión del movimiento ordenado, de un participante a otro con superación de resistencia. Matemáticamente podemos decir: “El trabajo es igual al producto del desplazamiento por la componente de la fuerza, a lo largo del desplazamiento”. El trabajo es una magnitud escalar. “Se realiza trabajo mecánico cuando aplicando una fuerza transmitimos movimiento mecánico a un cuerpo” La cantidad de trabajo desarrollado, depende del valor de la fuerza aplicada y de la distancia que recorre bajo la acción de dicha fuerza. Trabajo mecánico de una fuerza constante no paralela al desplazamiento
F B
Trabajo Neto o Resultante Es igual a la suma algebraica de todos los trabajos parciales efectuados por las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo.
Wneto
n
Wi
i1
Importante: Si: V cte
Wneto FRd
FR 0
Luego:
Wneto 0
F cos
A
Consecuencia Importante: Consideremos una partícula que se mueve entre los puntos A y B, sobre la cual actúan fuerzas que conservan su dirección, entonces: Los trabajos parciales son:
B d
WAB = F cos d
Y
Casos particulares: a) El trabajo es positivo ( 0º 90º ) Cuando sobre el cuerpo se tienen fuerzas a favor del movimiento. V1 V2 V1 F
F
A
F2 F3
WAB 0
F1
a
A b
F3
Estas fuerzas incrementan la rapidez, por este motivo decimos que la cantidad de trabajo es positivo: WAB 0
W1 F 1 b
W2 F 2 a
W3 F 3 a
De tal modo que:
Wneto F1 b F 2 a F 3 a
b) El trabajo es cero ( 90º ) Las fuerzas que son perpendiculares a la dirección del movimiento, es decir a la velocidad, no incrementan ni disminuyen la rapidez del cuerpo, es por ello que decimos que su cantidad de trabajo es nula. F
B
F2
B
Wneto W1 W2 W3 Esta consecuencia es útil cuando se calcula el trabajo de fuerzas conservativas, como la fuerza de gravedad.
F
Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria Este trabajo sólo depende del desplazamiento vertical (h). Observando los ejemplos se puede apreciar que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es el mismo en todos los casos, y no depende de la trayectoria que sigue el móvil.
WAB 0 A
o también
Wneto W1 W2 W3 W4 FR d
F
F
WAB 0
F
A
Fsen
V2 V1
V1
B
c) El trabajo es negativo ( 90º 180º )
12
Caída Libre mg
S obre un plano inclinado mg
W Trabajo Energía ; es decir: P t Tiempo Tiempo En función de la velocidad, tenemos: P
P= F
h
h
mg
mg
d t
P FV
Abreviaturas de las unidades comerciales C.V. :Caballovapor H.P. : Caballo de fuerza, (Horse Power) kW : Kilowatts ó kilovatio
S obre superficie curva mg
Equivalencias: 1 C.V. 736 watts 75 kg m/s 1 H.P. 746 watts 76 kg m/s
h
1 watt 0,102 kg m/s
mg
1 kW 1000 watts Unidad Especial: 6
Kilowatthora: 1 kw h 3,6 10 Joules ¿Cómo evaluamos el rendimiento de una máquina? En un esquema de una máquina donde se tenga en cuenta el tipo de potencia que absorbe y además el tipo de potencia que arroja o entrega dicha máquina. Se nota que durante el proceso las máquinas experimentan debido a la fricción interna, una disipación de potencia térmica (potencia disipada) hacia el medio ambiente que muchas veces no es aprovechada.
En todos los casos, el trabajo está dado por: W mgh Trabajo realizado por una fuerza elástica Sin deformar
x
F Fe
Fe
Potencia Entregada P.E.
F
MOTOR H.P.
Potencia Útil (P.U.)
Kx Potencia Perdida (P.P.)
A
x
Por
la
Rendimiento
X
Ley
de
Hooke:
1 2 Fe Kx W área Kx 2 K: Donde: resorte (N/m) x: del resorte
constante
de
rigidez
del
Potencia útil que entrega Potencia absorbida por máquina
P.U. P.E.
P.U. 100% P.E.
… …
0 1
0 100
Además: P.E. P.P. P.U. 1. La eficiencia también se calcula relacionando sus energías de salida y entrada. E salida E entrada
deformación o elongación
La Potencia Es una magnitud física escalar, que nos expresa la rapidez con la cual se desarrolla trabajo. También se le puede definir como la energía que se transmite por unidad de tiempo. Matemáticamente la potencia media desarrollada se determina así:
2. Para varias máquinas conectadas en serie y con sus eficiencias respectivas se cumple: S is tema
P.E.
13
P.U. M1
M2
Mn
1
2
n
sistema
P.U. P.E.
1 2 3 ...n
E Pg : Energía potencial gravitatoria (J)
P.U. P.E.
m : masa (kg) g : aceleración de la gravedad ( m/s 2 )
Energía Mecánica Es una magnitud física escalar que representa la capacidad que tiene un cuerpo para poder realizar un trabajo. Es la medida de todas las diferentes formas de movimiento existentes. Existen diversas formas de energía asociadas a las formas de movimiento, así tenemos:
h : altura (m) En la relación anterior, “h” es la distancia que se mide desde el nivel de referencia (N.R.) hacia donde está concentrada la fuerza de gravedad del cuerpo (C.G.).
Cinética Potencial gravitatoria Potencial elástica
Energía Mecánica
C)Energía Potencial Elástica (E PE ) : Es la energía que tienen los resortes o muelles cuando están estirados o comprimidos una distancia “x” hay energía almacenada, expresada por:
Energía Interna - Energía Química - Energía Nuclear - Energía Atómica
E Pe
Unidades: La energía en el Sistema Internacional (S.I.) se mide en Joules (J); al igual que el trabajo mecánico. Podemos conceptuar el trabajo mecánico como la transferencia de energía de un cuerpo hacia otro, en forma básica la energía es aquello que nos expresa la capacidad de un cuerpo o sistema para realizar trabajo.
1 Kx 2 2
: Energía potencial elástica (en J) K : Constante de elasticidad (en N/m) x : Elongación (en m)
E Pe
a) Sin deformar x0
K
Clases de Energía A) Energía Cinética (E c ) : Es una magnitud física que nos expresa la medida escalar del movimiento de un cuerpo o una partícula. Matemáticamente se define por:
V EC
m
b) Deformado x
K
1 mV 2 2
F
c) En libertad
K
Unidades : m: masa (en kg) E c : Energía Cinética (en J) V: Velocidad (en m/s)
V0
V
x1
Resorte sin deformar En este caso el valor de “x” es nulo (x 0) , el resorte no tiene capacidad de transmitir movimiento al bloque entendemos así que el resorte sin deformar no le asociamos energía potencial elástica.
B) Energía Potencial Gravitatoria (E pg ) : Cuando un cuerpo se encuentra a una determinada altura respecto a un nivel de referencia y mantiene latente su capacidad de realizar trabajo debido a su peso.
Resorte deformado Ahora si al bloque lo vamos empujando hacia la izquierda se irá comprimiendo el resorte.
La energía potencial gravitatoria de un cuerpo depende del nivel de referencia (N.R.), lo cual determina que dicha energía es relativa.
E Pg mgh
x
Bloque en libertad El bloque al ser soltado inicia su movimiento gracias a la energía almacenada por el resorte comprimido.
m
Principio de la Conservación de la Energía Mecánica Si sólo fuerzas conservativas actúan sobre un cuerpo en movimiento, su energía mecánica total permanece constante, para cualquier punto de su trayectoria, o sea, que la energía mecánica del cuerpo se conserva.
g
h
N.R.
14
Cualquier forma de energía se transforma en otra porque:
A
F mg m
“La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma.” A este fenómeno se denomina "Ley de la conservación de la energía". A VA
h hA
B N.R.
0
h
Pero: h h A h B De donde: WAB mg(h A h B )
VB
WAB mgh A mgh B
N.R. Si no hay rozamiento:
hB
WAB E Pinicial E Pfinal
B
WAB E PA E PB (E PB E PA )
WAB Wneto E P
EMA EMB
E C A E PA E C B E PB
Teorema del trabajo de las fuerzas no conservativas (WFNC ) y la energía mecánica Cuando sobre un cuerpo durante una situación inicial y final actuaron fuerzas no conservativas que realizaron trabajo; entonces la variación de su energía mecánica se debe al trabajo de estas fuerzas.
Teorema del Trabajo Total o Neto y la Energía Cinética El siguiente teorema representa una de las generalizaciones más importantes que tratan cuantitativamente los procesos de trabajo con variación de energía.
A
Se sabe que: … (1)
WAB Fd mad
Pero por cinemática se sabe que: VB 2 VA 2 2ad De donde: ad
… (2) N.R.
Reemplazando (2) en (1):
B
V V 1 2 1 2 A WAB m B WAB mVB mVA 2 2 2 2
2
Hay rozamiento por lo tanto hay fuerzas no conservativas (FNC). EM WFNC
WAB E C B E C A
Finalmente: VA
EMB EMA WFNC (E C B E PB ) (E C A E PA ) WFNC
WAB Wneto E C
a
0
h
VB 2 VA 2 2
El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas diferentes al peso (fuerzas elásticas y eléctricas) sobre un cuerpo o sistema es igual a la variación de la energía mecánica.
VB
m
m
A
B
WFNC EMfinal EMinicial
d Además: El trabajo de las fuerzas de fricción está dado por: Wfr = f d ó también: Wfr = Nd
“El trabajo neto realizado por un cuerpo entre los puntos “A” y “B” es igual al incremento de energía cinética que experimenta en ese trayecto.”
Recuerde que las fuerzas realizan trabajo negativo.
Relación entre el Trabajo Total o Neto y la Energía Potencial Consideremos un bloque que desciende sobre una superficie, tal como se muestra en la figura: De A hacia B la cantidad de trabajo de la fuerza de gravedad está dada por: WAB mgh
de
rozamiento
PROBLEMITAS 1. Un bloque es empujado 1,2m sobre una superficie horizontal de 50N. La fuerza de razonamiento que actúa en el bloque es 10N. Hallar el trabajo realizado por F. a)60J b)30 c)6 d)120 e)12
15
2. En el problema anterior ¿Cuál es el trabajo de la fuerza de rozamiento? a)-12J b)12 c)-24 d)24 e)0
a) Cero d) 392 J
9 x 10
4
c) 196 J
10. Un cuerpo de 2 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. ¿Cuál es el valor del trabajo realizado? a) 300 J b) 450 J c) 900 J d) 350 J e) 500
3. Al arar un tractor arrastra el arado con una fuerza de 6000N. ¿Qué trabajo realizó en un recorrido de 15m? a) 6 x 10 4 J b) 7 x 10 4 J c) 8 x 10 4 J d)
b) 40 J e) 98 J
J e) 600j
11. Un bloque es jalado por superelectrico, produciéndole una velocidad de 5 m/s., en 10 s a partir del reposo. Si la fuerza es de 50 N. Hallar el trabajo realizado. a) 1250 J b) 350 J c) 2500 J d) 500 J e) 1000
4. La figura muestra la variación de una fuerza sobre el desplazamiento. Calcule el trabajo desde x0 0 hasta x = 8m F(N) 20
2
a) 40 J d) 320 J
b) 80 J e) 240 J
8
12. Un bloque de 1kg. es arrastrado 10m. sobre una superficie horizontal bajo la acción de una fuerza “F”. Si el coeficiente de rozamiento cinético es de 0,4 y el bloque acelera a razón de 2m/s2., determinar el trabajo realizado por “F”. (g = 10 m/s2) (en Joule) a) 60 J b) 40 J c) 48 J d) 56 J e) 34,2 J
x(m)
c) 160 J
5. Un turista de 60 Kg sube corriendo por las escaleras hasta la azotea de un edificio de 200m de alto tardándose 4min. calcule la potencia desarrollada (g=10m/s2) a) 500 w b) 600 w c) 700 w d) 800 w e) 900 w
13. ¿Qué trabajo efectúa F=75N. al cabo de 8 s., si m 1 2 kg m 2 8 kg ? No hay fricción, (g = 10 m/s2)
m2
6. Un elevador suspende hasta una altura de 3m un peso de 800N. Halle la eficiencia del elevador si en esta torre consume 3000 J a) 40% b) 50 % c) 60% d) 70% e) 80%
F
a)1200 d) - 1500
7. Un alumno tira de un bloque de manera que éste se desliza sobre el suelo con velocidad constante, como se muestra en la figura. Si la fuerza de rozamiento entre el bloque y el suelo es de 20N. ¿Qué trabajo realiza el muchacho para llevar el objeto a una distancia de 5m? (en joule)
b) - 1200 e) 1600
c) 1500
14. Un bloque de 80 N, se desplaza por acción de la fuerza “F” de 50 N. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el piso horizontal es 0,2. Determinar el trabajo realizado por “F” al cabo de 4s., si el cuerpo parte del reposo. (g = 10 m/s2)
a) 50 d) 100
m1
37°
b) 75 c) 125 e) Falta conocer el
a) 360 J d) 180 J
8. Para levantar un bloque de 2 kgf. de peso a una altura de 1 metro, se emplea un trabajo de 8kgm. ¿Con qué aceleración se le subió? a) 9,8 m/s2 b) 19,6 m/s2 c) 29,4 m/s2 d) 39,2 m/s2 e) 49 m/s2
b) 720 J e) 540 J
c) 900 J
15. ¿Qué trabajo debe realizar “F” para que el bloque de 2kg recorra 10m. partiendo del reposo con una aceleración de 200 cm/s2. Si la masa de la polea es despreciable y el coeficiente de rozamiento es 0,4? (g = 10 m/s2)
9. Un bloque de 5 kg. de masa se mueve con velocidad constante sobre una pista horizontal de u k 0,4 por acción de una fuerza “F” paralela a la pista. Si el espacio recorrido es 20m. Hallar el trabajo realizado por “F”.
F
a) 120 J b) 150 J c) 180 J
16
d) 60 J e) 30 J
16. Un bloque de 2 kg. resbala por un plano inclinado que forma un ángulo de 37° sobre la horizontal, si parte del reposo y recorre 6m. en 2 s. Hallar el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. (g = 10 m/s2) a) - 36 J b) - 40 J c) - 52 J d) -144 J e) - 72 J
A 30m
a) 10 d) 25
F
b) - 148 J c) - 392 J e) 100
F
18. Un cuerpo es desplazado de tal manera que su energía cinética aumenta de 252 J a 998 J. en un lapso de 10 s. ¿Cual es la potencia desarrollada? a) 1 / 5 HP b) 1 / 10 HP c) 1 / 20 HP d) 3 / 10 HP e) 1 / 2 HP
37° U k = 1/2
a) 6400 J d) 4500 J
b) 5600 J e) 5000 J
c) 4000 J
25. Un resorte K=1000 N/m se comprime 40cm. como indica la figura. Hallar el máximo alcance horizontal de la esfera de 10kg. de masa. Después que se suelta el resorte. (g = 10 m/s2)
19. Determinar la potencia desarrollada por una fuerza “F” sobre un cuerpo de 40kg de masa, que le hace cambiar su velocidad de 12 a 20 m/s en 10s. a) 400 w b) 512 w c) 256 w d) 144 w e) 720 w 20. Un bote se desplaza con una velocidad constante de 5 km/h. cuando su motor desarrolla 20 HP. Si la resistencia que ejerce el agua es proporcional a su velocidad. ¿Qué potencia deberá desarrollar para mantener una velocidad de 8 km/h? a) 24 HP b) 32 HP c) 12,5 HP d) 25 HP e) 51,2 HP
10m
x
a) 4 2 m d) 5m
b) 4m e) 10m
c) 5
2m
26. De una mina debe extraerse 900 litros de agua desde una profundidad 150m. Cada 3 minutos. ¿Qué potencia es necesaria?
21. Una barra AB, homogénea de 1m. de longitud y 6kg de masa, está articulada en “A”. ¿Cuál es el trabajo realizado cuando se desvié 53° de su posición de equilibrio?
1 Litro de agua = 1kg 1 C.V. = 75 kgm / s a) 20 C.V. b) 10 C.V. c) 5 C.V. d) 15 C.V. e) 7,5 C.V.
A 53°
27. Una pequeña esfera se desliza desde el reposo en “A”. ¿Cuál es la reacción de la pista semicircular lisa en “B”? Masa de la esfera = m A R
B
b) 30 J e) 12 J
c) 20
24. Un bloque de 4kg está en reposo en una superficie horizontal áspera. De pronto se le aplica una fuerza de 140 N durante 4s. Calcular el trabajo neto realizado. (g = 10 m/s2)
30°
a) 24 J d) 15 J
10m
23. ¿Cuál es la potencia de una máquina que levanta un peso de 1,96 KN. a 0.75m de altura 84 veces por minuto. Si el rendimiento de la máquina es del 70%? a) 1,96 kw b) 3,92 kw c) 3,2 kw d) 2,21 kw e) 2,94 kw
17. Si el bloque de 10 kg de masa se desplaza a velocidad constante. Calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento para una distancia de 4m.
a) - 280 J d) - 196 J
b) 15 e) 30
B
e) 18 J
22. ¿Qué velocidad tiene el cuerpo cuando pasa por “B” si parte del reposo en “A”?. No hay rozamiento. (g = 10 m/s2)
a) 3mg d) mg Sen
17
B b) 6mg c) 5mg e) 3mg Sen
28. Una masa de 1kg se suelta desde 4m, por encima de la plataforma de un resorte de k=100 N/m. determinar la máxima deformación que experimenta el resorte. (g = 10 m/s2)
a) D d) A y C
b) A c) D y E e) A, B y C
33. Un cuerpo de 2,0 kg de masa sube una pista circular, tal como se muestra en la figura. Si el cuerpo alcanza una altura máxima igual a 0,5m. ¿Cuál es el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento?
m 4m
C
K
a) 0,5m d) 1m
b) 0,4m e) 1,2m
V= 0
c) 0,8m
h V= 5m/s
29. Un jugador de béisbol lanza una pelota de 0,2kg. de masa con una velocidad inicial de20 m/s2. Otro jugador al mismo nivel recibe la pelota cuando la velocidad se ha reducido a 15 m/s. ¿Qué trabajo se hizo para vencer la resistencia del aire? a) 17,5 J b) 12,5 J c) 2,5 J d) 3,5 J e) 25J
a) - 25 J d) - 45 J
b) - 15 J e) - 50 J
c) - 30 J
34. ¿Desde qué altura debe dejarse caer una pequeña bolita para que se desprenda de la pista, mostrada en la figura, justo en el punto B? (desprecie el rozamiento)
30. Una esfera de 5 kg de masa tiene una velocidad de 20m/s y asciende por un plano inclinado sin rozamiento como se muestra en la figura. ¿Qué longitud recorre sobre el plano? (g = 10 m/s2)
A B h
30° b) 10m c) 40m e) 100m
a) 20m d) 50m
a) R d) 5R/2
V= 0
4m J c) - 60 J e) 30 J
37. Una rampa tiene una altura de 0.8 m, si una esferita es soltada en la parte superior, ¿con qué velocidad esta esferita llegará al suelo? (g = 10 m/s2) a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/s d) 4 m/s e) 5 m/s
32. Un bloque desciende por una plano inclinado bajo la acción de las fuerzas A, B, C, D y E. Por tanto las fuerzas que realizan trabajo negativo son:
38. Calcule la energía mecánica total de una pelota de 0.4 kg en el instante en que su velocidad es de 10 m/s y se halla a 6m del piso. (g = 10 m/s2) a) 20 J b) 24 J c) 34 J d) 44 J e) 60J
A
B C D q
c) 3R
36. Una pelota de 0.2 kg se deja caer desde una altura de 8m y rebota hasta una altura de 5m. ¿Qué energía se perdió en el choque? (g = 10 m/s2) a) 6 J b) 10 J c) 12 J d) 16 J e) 0
30°
3
b) 2R e) 3R/2
35. Milton y su bicicleta tienen una masa total de 80 kg. Halle la energía cinética total si cubre una distancia de 80m en 16s. a) 500 J b) 600 J c) 700 J d) 800 J e) 1000 J
31. El trabajo realizado para detener el carrito en una distancia de 4m por aplicación de una fuerza F = 30N, en la forma indicada en la figura es: F
a) 60 3 J b) - 30 d) - 60 3 J
R
B
x
E
18
39. Un monito de 20 kg sube por un árbol derecho con una rapidez de 0,4 m/s. Halle la energía potencial que ganó el mono si llegó a la copa del árbol en 20s. (g=10m/s2) a) 1600 J b) 1700 J c) 1800 J d) 1900 J e) 2000 J
45. Un bloque de 5 kg parte del reposo desde una altura de 12 m y desliza con rozamiento sobre un plano inclinado 37º. ¿Cuál es su energía mecánica cuando ha adquirido una velocidad de 4 m/s? ( g 10 m/s 2 ). a) 480 J b) 500 J c) 490 J d) 520 J e) 540 J
40. Un arquero coloca una flecha de 0.2 kg en su arco, al tensar la cuerda del arco adquiere una energía potencial de 10 J. ¿Con qué velocidad saldrá disparada la flecha? a) 2 m/s b) 4 m/s c) 6 m/s d) 8 m/s e) 10 m/s
46. Si un bloque es liberado en “A”, se observa que esta se detiene en P. Determine la altura H, si el tramo AB es liso y BP es rugoso. a) 3 m A b) 4 m 0, 5 c) 5 m 0, 6 H d) 6 m e) 8 m P B 10 m
41. ¿Hasta qué altura se debe levantar unas pesas de modo que cuando sean soltadas se estrellen en el piso con una velocidad de 5 m/s? (g = 10 m/s2) a) 0.75 m b) 1.0 m c) 1.25 m d) 1.50 m e) 1.75 m
47. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque en reposo, cuando la esfera de 1 kg que fue soltada en “A” pasa por su posición más baja ( g 10 m/s 2 ).
42. Un esquiador parte desde el reposo en la cima de una colina (A), si se desprecia la fricción con el hielo, halle la velocidad del esquiador en el valle (B). (g = 10 m/s2)
V0
A
A C
2m
5m
3.2m
a) 30 N d) 60 N
B
a) 8 m/s b) 10 m/s c) 12 m/s d) 14 m/s e) 16 m/s 43. Un proyectil es lanzado con una rapidez de 10 m/s desde una torre de 60 m. Determine la rapidez del proyectil cuando se encuentra a una altura de 20 m respecto al piso ( g 10 m/s 2 ). a) 10 m/s
MECÁNICA DE FLUIDOS Es la parte de la Física que estudia el movimiento de los fluidos (líquidos y gases), y que tiene la finalidad de analizar el comportamiento y efectos físicos que originan los fluidos en el estado de reposo y en el estado dinámico.
b) 20 m/s
FLUIDO Es toda sustancia que se deforma continuamente cuando se le somete a un esfuerzo cortante o tangencial, aun por muy pequeño que sea éste. Los fluidos pueden dividirse en líquidos y gases:
c) 30 m/s 60 m
d) 40 m/s V
PRESIÓN Es una magnitud física tensorial que expresa la distribución normal de una fuerza sobre una superficie. Magnitud tensorial implica que la presión tiene infinitos puntos de aplicación y manifestación normal sobre todas las superficies.
44. Cuando un auto de simple tracción sube por una pendiente al 2% con rapidez de 10 m/s, la fricción por rodadura en las ruedas es de 1000 N. Si la masa del carro es de 3000 kg hallar la potencia que consume el motor del auto si su rendimiento es del 80%. a) 40 kW d) 20 kW
b) 30 kW
c) 50 N e) 70 N
SEMANA 6
V= 10 m/s
e) 50 m/s
b) 40 N
c) 35 kW e) 24 kW
Presión =
19
Fuerza Normal Área
Unidades de Presión: N S.I. Pascal 1 2 1 Pa m 2
g/cm ; lb/ft
2
Los fluidos (líquidos y gases), son perfectos si rápidamente adoptan la forma del recipiente que los contiene y poseen gran movilidad, siendo perturbados por la mínima acción ejercida sobre ellos (en caso contrario se llama viscosos). El fluido perfecto, es ideal. Sin embargo el agua, el bisulfuro de carbono (líquido) y el hidrógeno (gas) poseen una viscosidad muy reducida y se pueden considerar como perfectos, por ésta razón se toma el agua como modelo para el estudio de los fluidos. Así tenemos que a la Estática de los Fluidos se le llama Hidrostática y a la Dinámica de los fluidos se le denomina Hidrodinámica, etc. En resumen vamos a estudiar la aplicación de las leyes y principios de la mecánica estudiada, llamada Mecánica de Newton, a los fluidos, para lo cual hemos dividido el estudio en. a) Hidrostática : Estudia los líquidos en equilibrio (reposo). b) Neumostática : Estudia a los gases en reposo. c) Hidrodinámica : Estudia a los fluidos en movimiento.
Otras:
etc.
Equivalencias: 1 bar 10 5 Pa 1 torricelli 1 torr 1atm La experiencia de los ladrillos Pregunta: ¿Porqué al colocar dos ladrillos idénticos sobre una superficie de aserrín, podemos notar que el ladrillo vertical se hunde, mientras que el horizontal se mantiene? P2
A 2 A1
A2
A1
Definición de Hidrostática: Es la parte de la Mecánica de Fluidos que estudia a los líquidos en reposo.
Respuesta: Porque la presión en el ladrillo vertical es mayor que la presión en el horizontal. Esto se debe a que la superficie en el primer caso es menor, de donde podemos plantear: P1
W A1
Nota: La Hidráulica es una rama de la ingeniería que estudia las aplicaciones industriales y técnicas para aprovechar el movimiento de los líquidos en especial del agua.
y P2 W Se deduce que: P2 P1 A2
HIDROSTÁTICA Introducción:Los estados o fases estables de la materia son tres: sólido, líquido y gaseoso. El estado sólido se caracteriza por tener una forma definida o propia, si se les aplica una fuerza no cambian su forma ni su volumen. Esto se debe a que las fuerzas moleculares son muy fuertes, impidiendo cualquier movimiento intermolecular. En cambio en los líquidos y gases, las fuerzas intermoleculares son débiles, las moléculas pueden resbalar o deslizar unas sobre otras, decimos que fluyen y de ahí el nombre de fluidos. En los líquidos, las moléculas están en contacto, pero pueden deslizarse. Los líquidos tienen un volumen determinado son incompresibles y adoptan la forma del recipiente que los contiene; cuando su volumen es menor que el del recipiente, el líquido presenta una superficie libre que lo limita. En los gases, las moléculas están muy separadas, por lo tanto son fácilmente compresibles, adoptan la forma del recipiente que los contiene ocupando completamente el depósito, su volumen no es determinado.
S ólido
Líquido
CONCEPTOS FUNDAMENTALES Densidad ( ) Se le llama también densidad absoluta, es una magnitud escalar que mide la masa por unidad de volumen que posee un cuerpo. Se determina por la relación entre la masa de un cuerpo y su volumen. Es una magnitud escalar cuyo valor nos indica la masa por unidad de volumen que posee un cuerpo: =
m V
Donde: m:Masa de la sustancia V: Volumen del cuerpo
Unidades: 3 3 3 S.I.: kg/m 3 Otras: g/cm ; lb/pulg ; lb/pie ; etc. Densidad Relativa ( r )Es la relación entre la densidad de cualquier cuerpo y la densidad del agua, es una cantidad adimensional. r = sustancia : es adimensional r H 2O
Gaseoso
20
Peso Especifico ( ) Magnitud escalar que se define como el cociente del peso de un cuerpo entre su volumen. W = V Donde:W: Peso del cuerpo V: Volumen del cuerpo Unidades:S.I: N/m 3 Otras: kg/m 3 ; kg/lt ; g/cm 3 ; etc. Presión Hidrostática Es la presión que soporta todo cuerpo sumergido en forma parcial o total en un líquido en reposo relativo. La presión hidrostática se debe a la acción de la gravedad sobre el líquido.
Se denominan líquidos inmiscibles a aquellos que cuando se juntan no llegan a mezclarse. Los menos densos tienden a subir a la superficie y los demás tratan de quedarse en el fondo.
Fuerza W gV g A h = = = Area A A A
h
P
hC
B
hB
A
hA
Si: A B C P Ah A Bh B Ch C
P Vasos comunicantes con dos líquidos inmiscibles Sea un tubo en U nuestro vaso comunicante. Si en una de sus ramas echamos mercurio (Hg), entonces alcanzará el mismo nivel. Si a continuación echamos agua en una de sus ramas, las superficies de mercurio quedan a distintos niveles. En el gráfico:
líquido
Presión =
C
P gh
Área
Principio Fundamental de la Hidrostática “La diferencia de presiones hidrostáticas entre los puntos situados en un mismo líquido en reposo relativo es igual al producto de la densidad del líquido por la altura entre dichos puntos por la gravedad”.
P1 P2
H 2O h 1 Hg h 2
H 2O
h2 h1 1
h1
Hg
Nivel 1
h2
h
Nivel 2
P2 P1 liq gH
P1 liq gh 1
Donde: H h 2 h1 Nota: Si: h 1 h 2 (a un mismo nivel)
Nota: Todo cuerpo totalmente sumergido desaloja un volumen de líquido exactamente igual al suyo.
P2 P1 0 P2 P1
Este último resultado indica que las presiones hidrostáticas son iguales a una misma profundidad. Vasos comunicantes Son recipientes de diversas formas, comunicados entre sí por su base. Si por una de las ramas se vierte un solo líquido, la altura que alcanza dicho líquido en todas las ramas del recipiente es la misma. Esto es debido a que si un líquido se halla en reposo, las presiones en todos los puntos correspondientes a un mismo nivel es la misma. P1 P2 P3 P4 Como: h1 h 2 h 3
1
h2
2
Hg
E líq gVS ó E líq VS
P liq gH
h1
Vcuerpo
= Vlíquido
sumergido
desalojado
PESO APARENTE Se llama así a la diferencia entre el peso real de un cuerpo, (peso medido en el vacío) y el empuje del fluido en el que se encuentra el cuerpo.
Wa Wr E
h3
3
Línea isobárica
Principio de Arquímedes “Todo cuerpo sumergido parcial o totalmente en un líquido recibe una fuerza vertical de abajo hacia arriba, denominada empuje cuyo valor es igual al peso del líquido desalojado”.
P2 P1 liq g(h 2 h 1 )
P2 liq gh 2
2
W
4
21
V1
1
V2
2
V3
3
En el caso de un cuerpo sumergido en líquidos inmiscibles, el empuje se obtiene de la siguiente manera:
0,5 m. si su masa es de 80 kg, entonces su densidad será: A. 1000 kg/m3 B. 2000 kg/m3 C. 500 kg/m3 D. 4000 kg/m3 E. 400 kg/m3
E T E1 E 2 E 3 E T 1V1 2 V2 3 V3
PRINCIPIO DE PASCAL “Un líquido transmite en todas direcciones, la presión que ejerce sobre él, sin disminuir su valor”
5)
Un recipiente cuya capacidad es 0,2 m3 pesa 200 N, cuando está vacío, el recipiente lleno de aceite pesa 16 200 N, entonces la densidad de aceite es: A. 800 kg/m3 B.1600 kg/m3 C.2 500 kg/m3 D. 8000 kg/m3 E. 1000 kg/m3
6)
Un cubo de 2 m de arista y peso específico 16 000 N/m3 reposa sobre un plano horizontal, entonces la presión, debido al peso del cubo sobre el plano es: A. 10 Kpa B. 20 Kpa C. 32 KPa D. 400 Pa E. 35 KPa
7)
Un cuerpo homogéneo de 20 kg, está sumergido en agua (densidad 1000 Kg/m3), si la densidad del cuerpo es 200 kg/m3, la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es: (g = 10m/s2) A. 0,5 Kn B. 0,8 kN C. 0,1 kN D. 0,2 kN E. 2kN
8)
Una piedra pesa en el aire 60N, y sumergida completamente en agua 35N. Entonces la densidad de la piedra es: A. 2,2g/cm3 B. 2,4g/cm3 C. 2,7g/cm3 D. 2,1g/cm3 E. 2
9)
Un pedazo de metal pesa 1800 N en el aire y 1400 N cuando se le sumerge en el agua. ¿Cuál es la densidad del metal? A. 45 g/cc B. 4,5 g/cc C. 0,45 g/cc D. 450 g/cc E. 4500 g/cc
F
P0
PRENSA HIDRÁULICA Es una máquina simple que tiene por objetivo multiplicar la fuerza que se le comunica. Sus aplicaciones se dan para levantar cargas pesadas. F1 Area A1
Area A2
F1 F 2 A1 A 2
F2
Desplazamiento de émbolos h2
V2
Area A2
F1
h 1 V1
Area A1
F2 Los volúmenes de líquido desplazado son iguales, de donde se establece que: V1 V2 A1h 1 A2h 2
A1 h 2 A2 h1
10) Un bloque de madera se halla flotando en agua con la mitad de su volumen sumergido, entonces la densidad del bloque es: A. 100 kg/m3 B. 200 kg/m3C. 300 kg/m3 3 D. 400 kg/m E. 500 kg/m3
PROBLEMITAS 1)
Determine la densidad en kg/m3 de un cuerpo de 4 kg cuyo volumen es de 1 000 cm3. A) 1 000 B) 2 000 C) 3 000 D) 4 000 E) 5 000
2)
¿Qué presión ejerce el peso de una persona si está parado sobre una sección de 0,06 m2; peso de la persona = 72 N. A) 1 200 Pa B) 2 200 Pa C) 3 200 Pa D) 4 200 Pa E) 5 200 Pa
3)
Calcule la presión que soporta un gusano situado a 20 cm de profundidad en el agua. g = 10 m/s2. A) 1 200 Pa B) 1 800 Pa C) 2 000 Pa D) 4 200 Pa E) 5 200 Pa
4)
11) El 15% del volumen de un tronco que está flotando en agua se encuentra encima de la superficie del nivel del líquido. ¿Cuál es el peso en N del metro cúbico de la madera que constituye el tronco? (g =10m/s2) A. 7500 B. 6500 C. 9500 D. 8500 E. 5500 12) Sobre un líquido de densidad (1=1,2 g/cc) se vierte otro de densidad (2 = 0,6g/cc), que no se mezcla con el primero. Si se introduce en el sistema un cuerpo de densidad (= 0,9 g/cc) y 0,4 m3 de volumen, determine qué parte del volumen del cuerpo estará sumergido en el líquido más denso
Se tiene un cuerpo cuya forma es de un paralelipedo de dimensiones 0,2 m; 0,4 m; y
22
A. 0,1m3 D. 0,25m3
B. 0,15m3 E. 0,30m3
C. 0,20m3
densidad del agua (acero y vidrio) y sin embargo flota; esto se debe a que: A. La densidad promedio del barco es menor que la del agua B. No interesa la densidad promedio sino el peso del barco. C. El principio de Pascal asegura que la presión en un punto es la misma en todas las direcciones D. El acero es más intenso que el agua y se hunde E. El volumen de agua desalojada por el barco, es igual al volumen del barco
13) Un cuerpo flota en equilibrio en un recipiente que contiene agua y mercurio; se sabe que el 20% de su volumen se encuentra en el agua y el resto en el mercurio. Hallar la densidad del cuerpo. (g=10m/s2) A. 11,10 g/cm3 B. 11,08g/cm3 C. 6,2 g/cm3 D. 10,08 g/cm3 E. 12,08 g/cm3 14) En la figura se muestra un cuerpo sumergido parcialmente en cada uno de los líquidos (no miscibles). Si el sistema se encuentra en equilibrio, entonces se puede afirmar que:
A. 1 >2 >c C. 2 >c >1
20) Marcar verdadero (V) ó falso (F): Un barco en su estructura contiene materiales cuyas densidades son mayores que la densidad del agua ( vidrio, acero, cemento, etc) y sin embargo flota, esto se debe a que: ( ) El volumen del agua desalojada por el barco es igual al volumen del barco. ( ) La densidad promedio del barco es menor que la del agua. ( ) El acero tiene densidad relativa aproximadamente igual a uno A. FVF B. VVF C. VVV D. FFF E. FVV
B. 2 >1 >c D. (c >(2 >(1
15) Un cubo de madera de 20 cm de lado y que tiene una densidad de 0,65. 103 Kg/m3 flota en el agua. ¿Cuál es la distancia de la cara superior del cubo al nivel del agua? A. 7 cm B. 6 cm C. 3 cm D. 5 cm E. 8 cm
21) Un bloque cuelga de un resorte de constante K y lo estira una longitud “x”. El mismo bloque flota en un líquido de densidad ( estando sujeto al fondo por el mismo resorte. Se observa que le volumen sumergido es 2/3 del total y que el resorte se estira nuevamente x. La densidad del bloque es: A. (1/6) B. (3/4) C. (2/3) D. (1/2) E. (1/3)
16) Un cubo de madera tiene 25 cm de arista y pesa 12,5 kg. Hasta que profundidad se hundirá cuando se le coloca en el Agua. A. 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 25 cm E. 20 cm
22) Dos esferas de igual volumen tienen pesos de 20N y 80N y se encuentran en estado de flotación unidos mediante un muelle (k = 10N/cm). Halle la deformación del muelle.
17) En el interior de un líquido, una esfera maciza de masa 0,5 kg. va cayendo con velocidad constante. Entonces la fuerza total que el líquido ejerce sobre la esfera es: A. 4,9 N hacia abajo B. Cero C. 0,5 hacia abajo D. 4,9 N hacia arriba E. 4,9 N hacia arriba 18) Un barco cuyo peso es de 8 KN, navega río abajo, hasta llegar al mar. Indicar la proposición incorrecta: A. El empuje en el río era 8 KN B. El empuje en el mar es 8 KN C. La parte sumergida del barco aumenta cuando pasa del río al mar D. La parte sumergida del barco disminuye cuando pasa del río al mar E. La densidad del agua del mar, es mayor que del agua del río
k
A. 5cm D. 1cm
B. 4cm E. 8cm
C. 3cm
23) Un cuerpo se suspende de un dinamómetro registrando una lectura de 56N. Si dicho cuerpo de 2cm3 de volumen se pone sobre aceite
19) .Un barco esta construido con materiales cuyas densidades son mayores que la
23
B
(aceite = 0,8 g/cm3), ¿Cuál será el peso aparente de dicho cuerpo?
q
Aceite A. 30N D. 20N
Aceite
A A. 30º D. 37º
B. 40N C. 50N E. 60.
B. 45º E. 60º
C. 53º
27) Se tiene un recipiente con agua (en equilibrio) que esta sobre una barra. Si se coloca un bloque de tal manera que flota en el agua, luego se puede afirmar que:
24) Calcular la densidad de la esfera A, si se sabe que al ser suspendida de un resorte, lo estira x1 = 15cm, y sumergida totalmente en agua lo comprime x2= 5cm.
k k
A A A. 0,75 g/cc D. 0,50 g/cc
A. El sistema se desequilibra B. El recipiente permanece en equilibrio C. Se desequilibra porque hay un momento resultante D. Esta en equilibrio porque hay un momento resultante E. No se puede determinar lo que sucede
H2O B. 0,25 g/cc E. 0,60 g/cc
C. 0,80 g/cc
25) La figura muestra una balanza de brazos desiguales en equilibrio. Al sumergir el bloque M en el agua se necesita que una masa mA sea colocada en el punto A para que los brazos de la balanza queden nuevamente en equilibrio en posición horizontal. Calcular el empuje que sufre el bloque M al sumergirse en agua.
2d A d
28) Dentro del agua hay una balanza de brazos iguales en uno de los platillos se coloca 100 g. de aluminio. ( Al = 2,5 g/cm3 ) y en el otro, 80 g. de oro (oro = 19,3 g/cm3 ). ¿Hacia dónde se inclina la balanza? A. Hacia el lado del aluminio B. Hacia el lado del oro C. Se equilibra D. Faltan datos E. No se puede precisar
d
M
29) Una botella de cuello liso y angosto (2cm 2 ) está llena con agua y tiene un tapón liso en el cuello cuyo peso es de 200 gr. Hállese la fuerza total sobre el fondo de la botella. La sección del fondo es de 3 cm.
m
A. mAg
B. 2mAg
D. (m – mA)g
E.
C.
m
A
2
g
m g A
2
26) Una barra de densidad 0,2 g/cm3 y longitud 50cm que tiene una sección recta y uniforme que ha sido instalado de modo que en su extremo A esta sujeta a una bisagra, y en el otro extremo sobresale de una capa de aceite (a = 0,8 g/cc) de altura 20 cm. Determinar el ángulo de inclinación “q” que forma la barra con la horizontal cuando adquiere su posición de equilibrio.
20 cm
a) 4,784 kg d)8,657 kg
b)5,787 c)9,224 kg e)5,457 kg
30) Un tubo cilíndrico de paredes delgadas tiene una sección transversal de 4 cm 2 , éste se invierte y se coloca en agua tal que llega al
24
Aire
reposo así como representa. Calcúlese el peso del tubo.
SEMANA 7 ESCALAS TERMOMÉTRICAS: Para medir la temperatura se establecen escalas de medición, tomándose para ello puntos fijos de referencia que generalmente son puntos de congelación y ebullición del agua u otro elemento de características conocidas.
10 cm
CLASIFICACIÓN DE LAS ESCALAS Kelvin
a) 20 gr d) 50 gr
b) 30 gr e) 60 gr
c) 40 gr Ebullició n del agua
31) Un tubo en “U” tiene un extremo cerrado, en él se aísla una columna de aire de 20 cm. ¿Qué altura adicional de mercurio se debe derramar por el ramal abierto de modo que la columna de aire se reduzca a 10 cm. La sección transversal del tubo es uniforme?
Co ngelació n del agua
Cero Abs o luto
Celsius
Fahrenheit
Rankine
373
100
212
672
273
0
32
492
0
273
460
0
Simplificando: C F 32 K 273 R 492 5 9 5 9
76 cm
20 cm
VARIACIÓN DE TEMPERATURA T Tf T0 a)170 cm b)171 cm d)173 cm
Tf :Temperatura final inicial
c)172 cm e)174 cm
DILATACIÓN Es el fenómeno físico por efecto del calor que consiste en el cambio de dimensiones que experimenta un cuerpo, al aumentar o disminuir sus distancias intermoleculares, cuando varía su temperatura.
32) Tres troncos idénticos reposan ajustadamente en un canal, los troncos están distribuidos de modo que no llegan al fondo y uno de ellos se halla mojado hasta la mitad. Si el canal almacena agua, halle la densidad de los troncos. Desprecie las fricciones.
a) 0,83 gr/cc d 0,53 gr/cc
b)0,73 gr/cc c) e)0,43 gr/c
T0 :Temperatura
DILATACIÓN LINEAL ( L ) Es el cambio de longitud que experimenta un cuerpo que tiene una dimensión como principal, debido al cambio de temperatura. Analicemos una varilla sometida a un incremento de temperatura desde T0 hasta Tf , que definiremos como T Tf T0 . Podemos notar que se da lo siguiente:
0,63 gr/cc
Estado Inicial (a T0 ) L0
33) Al soltar una pequeña esfera cuya densidad 3 500 kg/m . es Determine hasta que
h0
2 profundidad ingresa en el agua; g 10 m/s . a) 5 m b) 6 m c) 7 m d) 8 m 5 m e) 9 m
A0
Estado Final (a Tf ) L0 L b0
Lf
El incremento en longitud se define como la diferencia entre las longitudes final e inicial:
L L f L 0 Donde:
25
… (1)
: Longitud inicial L f : Longitud final También se define como:
Analicemos un cuerpo que posee tres dimensiones como por ejemplo un cilindro sometido a un incremento de temperatura desde T0 hasta Tf , que definiremos como T Tf T0 . Podemos notar que se da lo siguiente:
L0
L L 0 T
… (2) Donde: : Coeficiente de dilatación lineal T :Variación de temperatura Longitud final: De la relación (1) podemos afirmar que: L f Sustituyendo factorizando:
Es tado Inicial (a T0 ) Es tado Final (a Tf )
L 0 L
V
(2): L f L 0 L 0 T ,
con
L f L 0 (1 T)
El incremento en volumen se define como la diferencia entre los volúmenes final e inicial: V Vf V0 … (1)
… (3)
DILATACIÓN SUPERFICIAL( A ) Es el cambio de área que experimenta un cuerpo que tiene dos dimensiones como principales, debido al cambio de temperatura.
Donde: V0 : Volumen inicial Vf :Volumen final También se define como: V V0 T … (2)
Analicemos una placa sometida a un incremento de temperatura desde T0 hasta Tf , que definiremos como T Tf T0 . Podemos notar que se da lo siguiente:
Donde: 3 cúbica T
Es tado Inicial (a T0 ) Es tado Final (a Tf )
:
Coeficiente
de
dilatación
:
Variación de temperatura
Volumen final: De la relación (1) podemos afirmar que: Vf V0 V Vf V0 V0 T , Sustituyendo con (2): factorizando:
A hf
Vf
V0
Af
Vf V0 (1 T)
… (3) Variación de la densidad con la dilatación: La expresión que define la densidad de un cuerpo está en función a su masa y su volumen, dado que un cuerpo sometido a variaciones de temperatura sufre incrementos en su volumen es obvio que durante un proceso térmico la densidad de dicho cuerpo no se mantendrá constante.
bf
El incremento en superficie se define como la diferencia entre las superficies final e inicial: A Af A0 … (1) Donde: A0 :Superficie inicial
A f :Superficie final
También se define como: A bA0 T Donde: b 2 superficial T
… (2)
Inicialmente:
:
Coeficiente
de
:
Variación de temperatura
m V0
… (1)
Al someterse un cuerpo a una variación de temperatura, tenemos un nuevo volumen, por lo cual la densidad se expresará por:
dilatación
La expresión para la densidad final: f
Superficie final: De la relación (1) podemos afirmar que: Af A0 A Af A0 bA0 T , Sustituyendo con (2): factorizando:
Af A0 (1 bT)
0
m Vf
… (2) Pero recuerde que: Vf V0 (1 T) … (3) De (1) obtenemos: m 0 V0 … (4)
… (3)
Sustituyendo (3) y (4) en (2) tenemos:
DILATACIÓN CÚBICA ( V ) Es el cambio de volumen que experimenta un cuerpo debido al cambio de temperatura. Se da para todo cuerpo que posee tres dimensiones.
f
0 V0 ; simplificando: V0 (1 T)
f
0 1 T
de aquí podemos afirmar que: “La densidad de un cuerpo disminuye con el incremento de temperatura.”
26
;
PROBLEMITAS 3
8.
A la placa que tiene un agujero se le entrega calor y se nota, que su temperatura aumenta en 100°C. En cuánto varía el área del agujero si placa = 10-4°C-1 A) Aumenta en un 2% B) Disminuye en un 2% C) Aumenta en un 4% D) Disminuye en un 4% E) Disminuye en un 3%
9.
Una vasija de vidrio contiene 1000 cm3 de mercurio lleno hasta el borde. Si se incrementa la temperatura en 100°C y el recipiente alcanza un volumen de 1009 cm3, ¿Cuánto de mercurio se derrama? Lleno (Hg = 6.10-5°C-1) A) 10cm3 B) 9cm3 C) 12cm3 D) 8cm3 E) 13cm3
1
1. A una placa metálica de 5 x10 C se le extrae un circulo de 5 cm de radio a 0°C. Calcular el radio del hueco (en cm) a 100°C a)
2 5
b) 5
5
c)
d) 10 e) 5 2
2. Se tienen dos placas metálicas A y B que tienen la misma superficie a 40°C y 20°C respectivamente. Determinar la temperatura común (en °C) para la cual ambas placas tendrán la misma superficie A 1,2 x10 B 2 x10
a) 10 d) -20
5
5
b) -10 e) -15
C
C
1
1
c)
20
3. Una varilla de metal de coeficiente de dilatación 10 5 C 1 experimenta una elevación de temperatura T = 50°C ¿ En qué porcentaje incremento su sección recta a) 0,1% b) 0,3% c)0,4% d) 0,5% e) 0,6%
10. En cuánto debe incrementarse la temperatura para que las varillas se junten (2A + 3 b = 4.10-4°C-1)
4. ¿Cuál es el aumento en tanto por ciento de la superficie de una barra cilindrica metálica entre 0°C y 100°C siendo el coeficiente de dilatación lineal del metal igual a: 9 x10 6 C 1 a) 0,15% b) 0,18% c) 0,21% d) 0,09% e) 0,12% 5.
Cuanto es la longitud final de un alambre de cobre si varia su temperatura en 100°C. la longitud inicial del alambre es 2m y su coeficiente de dilatación lineal es 17 . 10-6°C-1 A) 2 m B) 3 m C) 2,0034 m D) 3,5 m E) 4 m
6.
La longitud de un puente es 200m cuando la temperatura es 20°C. ¿en cuanto varia su longitud en un día caluroso en que la temperatura es 40°C? (puente= 2.10-4°C-1) A) 70 cm B) 80 cm C) 50 cm D) 100 cm E) 90 cm
7.
20cm A
30cm B 8mm
A) 100°C B) 200°C D) 250°C E) 300°C
C) 150°C
11. Se tiene una plancha circular, la cual fue elaborada usando vidrio común. Determine el cociente al dividir la variación del área entre el área inicial de la plancha si se incrementa la temperatura en 20°C (bvidrio común = 18.10-6°C-1) A) 36.104 B) 36 r C) 36.10-5 D) 18 E) 18.10-2 12. En cuanto debe variar la temperatura de una sustancia para que su densidad disminuya en 0,1% (considera = 10-4°C-1) A) 6°C B) 8°C C) 9°C D) 10°C E) 11°C
Se tienen dos barras como se muestra en la figura y se encuentra a 0°C ¿Qué temperatura final deben alcanzar ambas barras para que sus extremos se junten? (1 = 15. 10-4°C-1; 2 = 10-3°C-1)
13. Se tiene una olla de aluminio (aluminio = 23.106 °C-1) cuyo volumen a la temperatura de 10°C es 1 m3 ¿Qué cantidad adicional de agua
L1 L2
46
1
A) 50°C D) 30°C
podría almacenar a la temperatura de 40°C.? A) 4500 L B) 100 L C) 450 D) 45 E) 45.10-3
2
60c m
6c m
30c m
14. Una varilla de metal (metal = 15.10-6°C-1) de 20m de longitud sobre un rodillo de 4cm de
B) 40°C C) 60°C E) 45°C
27
radio se calienta desde 20°C hasta 220°C, Lo cual hace que el rodillo ruede sin resbalar ¿Determine que ángulo giró al rodillo debido a la variación de longitud de la varilla? A) 1,2 rad B) 1 rad C) 2rad D) 1,5 rad E) 2,5 rad
19. Un reloj de péndulo marca exactamente las horas a la temperatura de 15°C. ¿Qué sucede con el tiempo que marca el reloj si se incrementa la temperatura? A) E y B B) Faltan más datos C) Se atrasa D) Se mantiene igual E) Se adelanta
20. Columna A Columna B La variación de La variación de 15. El alambre de la figura, esta doblado en longitud sí. longitud sí: forma de circunferencia. La distancia entre los L0 = 2m L0 = 0,5 m puntos P y Q es 6cm a 20°C. ¿Cuál será la =10-8°C-1 = 10-6°C-1 distancia entre dichos puntos a 60°C? (alambre T = 50°C T = 200°C = 10-3°C-1) A) A < B B) A > B C) A = B A) 5cm D) No utilice esta opción E)Faltan más P H) Q B) 7cm datos 6cm C) 6,3cm D) 6,4cm 21. Se tiene un cubo metálico con un vacío r = 15cm E) 6,24 interior en forma esférica. ¿Qué sucede con el volumen de la esfera si se incrementa la 16. Se tiene un esfera de acero temperatura? (acero=11.10-6°C-1) a cierta temperatura. Si a A) Disminuye esa temperatura la longitud del radio es 1m, B) Se mantiene igual cuanto será la variación del volumen de la C) Aumenta esfera al variar la temperatura en 100°C. D) Falta más información E) No utilice esta opción A) 0,0044m3 B) 44m3 r=1m 22. Una varilla de 3 metros se alarga 3mm al C) 0,044m3 3 elevar su temperatura en 100 ºC. Hallar su D) 0,44m 3 coeficiente de dilatación lineal, en º C 1 . E) 0,4m a) 10 5 b) 10 6 c) 2 10 6 17. Después de un incremento de temperatura el d) 2 10 5 e) 3 10 5 sector circular incrementa su área ¿Qué puede manifestar de los ángulos y 1? 23. ¿En cuántos cm2 aumenta el área de un P J) Q P disco de plomo de 50cm de radio a 0 ºC I) Q 1 cuando la temperatura pasa a 100 ºC, sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal es 3 10 5 º C 1 ? a) 23, 2 b) 15 c) 30 metal d) 1,5 e) 15 A) B) C) D) E)
(1) (2) Varían sus medidas Permanecen constantes. No se puede determinar Faltan datos AyD
24. ¿Qué fracción del volumen de un depósito de vidrio debe llenarse con mercurio a 0 ºC para que el volumen de la parte vacía permanezca constante cuando el conjunto sea sometido a un calentamiento? ( vidrio 2,5 10 5 º C 1 ; Hg 1, 8 10 4 º C 1 ).
18. Se tiene una varilla metálica ( = 10-3°C-1 y 1) según la figura. ¿En cuánto varía la longitud de la varilla para que llegue a la pared, si se incrementa exactamente la temperatura en 100°C?
2m
A) 50cm D) 40cm
B) 20cm E) 25cm
a) 5
12
b) 1 9
c) 5
18
d) 5
36
e) 1
2
CALORIMETRÍA Es una rama de la termodinámica que se encarga de medir la cantidad de energía generada en procesos de intercambio de calor. CALOR (Q) El calor es la energía que se transmite de un cuerpo a otro por diferencia de temperatura entre los cuerpos.
L
C) 30cm
28
PROPAGACIÓN DEL CALOR Se ha visto que el calor es una manifestación del tránsito de energía. Sólo tiene sentido hablar de calor cuando nos referimos a una transferencia de energía interna de un lugar a otro. El calor puede transmitirse a través de un medio sustancial o en ausencia de él, aún transmitiéndose en un medio sustancial puede que esté fijo o bien se desplace, por ello, encontramos tres formas de propagación del calor: conducción, convección y radiación. a) Por conducción Es la propagación que se da en los sólidos y se realiza por transferencia de energía cinética de molécula a molécula. Se puede aumentar el contenido energético de las moléculas de una región del material por calentamiento, al aumentar las vibraciones de éstas, chocan con sus contiguas y les transmiten parte de su energía. De este modo se transmite la energía desde la zona en que se suministra al material a la totalidad de él. Si colocamos el extremo de una barra metálica al fuego, al cabo de unos instantes el calor se habrá extendido en toda la barra (de izquierda a derecha).
entre la tierra y el Sol, más allá de la atmósfera no hay materia, entonces entendemos que la energía que viene del Sol se propaga a través del vacío. Q
Unidad: La caloría (cal).- Representa la cantidad de calor que se le debe de suministrar a un gramo de agua para que aumente su temperatura en 1 ºC (de 14,5 ºC a 15,5 ºC).
14,5 º C
15,5 º C
1g H 2O
1g H 2O
Con el mismo propósito de medir el calor también se usa un múltiplo que es la kilocaloría.
1 kcal 1000 cal B.T.U. (Unidad Térmica Británica)
Q
Es la cantidad de calor que requiere 1 libra de agua para elevar su temperatura en 1 ºF.
1 B.T.U. = 252 cal b) Por convección Esta propagación se da en los fluidos (líquidos y gases). Las moléculas del recipiente tienen una energía de vibración capaz de ser transmitida al fluido en contacto con las paredes. De este modo las capas de fluido que se encuentran en contacto con las paredes del recipiente incrementan su energía y causa la dilatación en su volumen y un descenso en su densidad por consiguiente ascienden dejando acceso a las paredes de un nuevo fluido frío. Si colocamos un recipiente con agua en una estufa, las moléculas de las capas inferiores de agua se calientan disminuyendo su densidad y siendo más livianas ascienden a la superficie dejando su lugar a las capas frías.
Equivalente mecánico del calor Mediante el siguiente montaje, el año 1878, James Joule pudo demostrar por primera vez la equivalencia entre el trabajo mecánico y el calor. Mientras desciende la pesa, su energía potencial mecánica hace girar las paletas, calentando de esta manera el agua.
g Pesa H2O
Demostrándose la relación existente entre la energía mecánica y la energía calorífica.
1 cal 4,18 Joule
ó también 1
J 0,24 cal
Equilibrio Térmico Cuando mezclamos una sustancia caliente con otra fría, observamos que la primera se enfría (disminuye su temperatura) y la otra se va calentando (aumenta su temperatura) hasta que la temperatura de todo el sistema se hace uniforme, esta es llamada temperatura de equilibrio o ley cero de la termodinámica.
c) Por radiación El intercambio de energía por radiación se realiza sin que los cuerpos que la intercambian estén en contacto directo, y consiste en la emisión y absorción por dichos cuerpos de la energía del campo electromagnético La superficie de nuestro planeta se calienta con la energía que viene del Sol y comprobamos que
29
LEY DE EQUILIBRIO TÉRMICO (Principio Fundamental de la Calorimetría o Ley Cero de la Termodinámica) Si dos cuerpos a diferentes temperaturas entran en contacto, el calor se transfiere del cuerpo de mayor temperatura al de menor temperatura. “El calor perdido por el cuerpo caliente debe ser igual al calor ganado por el cuerpo frío”.
Ce
A TA TB
A
cal J 4200 g ºC kg º C
C e (H 2O) 1
cal J 2100 g ºC kg ºC cal J C e (hielo) 0, 5 2100 g ºC kg º C
C e (vapor) 0, 5
Q0
B
Unidades:
Calor específico del agua ( H 2O )
Calorímetro
Q
cal Kcal ; gº C Kgº C
Q m T
B
NOTA: Las sustancias que tienen un bajo calor específico son buenos conductores del calor. Equivalente en Agua de un calorímetro Es la masa de agua que se encuentra dentro de un calorímetro en relación con la masa de éste y sus respectivos calores específicos. Como el agua y el calorímetro se encuentran en equilibrio térmico, entonces: Ce m Q H 2O Q calorímetro MH 2O C C Ce H 2 O
T´ A T´ B TE
TE: Temperatura de equilibrio Del gráfico podemos decir que el calor que pierde un cuerpo (–Q) es ganado por el otro (+Q) y podemos decir: A Q gana QB pierde 0
Capacidad Calorífica (C) Es la energía necesaria para aumentar en un grado la temperatura de un cuerpo. . Si un cuerpo intercambia cierta cantidad de energía térmica Q y se produce un incremento de temperatura ΔT, la relación entre ambas magnitudes es: Q cal Kcal C , T Unidades: º C º C Donde C es la capacidad calorífica del cuerpo. Por ejemplo aumentar o disminuir la temperatura de un gas encerrado en un recipiente se puede realizar a volumen o a presión constante, por lo que en el caso de las sustancias gaseosas se habla de capacidad calorífica a volumen constante, C V , y de capacidad calorífica a presión constante, C P . También es posible expresar la capacidad calorífica de un cuerpo proporcional a la cantidad
Ce H 2OMH 2O T Ce C m C T CAMBIO DE FASE Es el fenómeno que consiste en el paso de un estado físico a otro que experimenta una sustancia, debido a su reordenamiento molecular, como consecuencia de la ganancia o pérdida de calor, bajo determinadas condiciones de presión y temperatura. Sublimación Inversa
Vaporización
Solidificación
GAS EOS O
LÍQUIDO
S ÓLIDO Fusión
Condensación
Sublimación Directa
A continuación describiremos cada uno de los cambios de fase: Fusión – Solidificación A la cantidad de calor necesaria por unidad de masa para que una sustancia cambie de fase de sólido a líquido. Lo denominamos Calor latente de Fusión ( L f ) y cuando el cambio es de líquido a sólido, calor latente de solidificación ( L s ). Para el agua a 1 atm de presión ( T 0 º C ) L s 80 cal/g L f 80 cal/g y
de masa presente: C mC e La constante C e se denomina calor específico o, más comúnmente, calor específico y sólo depende del tipo de sustancia de que se trate, pero no de su cantidad. Calor Específico (Ce) Llamado también capacidad calorífica especifica, es una magnitud escalar que indica la cantidad de calor que debe de suministrarse a la “unidad de masa” de una sustancia para que su temperatura aumente en un grado. También se dice que es la energía necesaria para elevar en un grado la temperatura de un kilogramo de una sustancia.
Vaporización y Condensación A la cantidad de calor necesario por unidad de masa para cambiar de fase a una sustancia de líquido a vapor lo denominamos Calor latente de Vaporización ( L V ) y cuando es de vapor a líquido, Calor latente de Condensación ( L C ). Para el agua a 1 atm de presión ( T 0 º C )
30
Calor latente condensación:
L C 540 cal/g y Calor de Transformación ( Q T ) Es la cantidad de calor que se debe suministrar o extraer a cierta cantidad de sustancia para cambiar de fase, cuando está lista para hacerlo. m : masa Q mL L : calor latente Calor Latente (L): Es aquella cantidad de calor necesario que se debe entregar o sustraer a una unidad de masa de una sustancia para que ésta pueda cambiar de fase. L V 540 cal/g
L
Q m
Donde: L 540
1.
kg
Sublimación Existen algunas sustancias que a temperatura ambiente pasan de la fase sólida a la fase gaseosa, sin pasar por la fase líquida, a esta transición directa lo llamamos sublimación, ejemplos de ello es lo que ocurre con la naftalina y con el CO 2 sólido, comúnmente conocido como “hielo seco”, pero este fenómeno puede producirse en cualquier sustancia y ello depende de la presión y la temperatura a la cual es sometida. El equilibrio que tiene lugar cuando la velocidad de sublimación y la de condensación son iguales se caracteriza por una presión de vapor que depende de la naturaleza del sólido y de la temperatura. Lo que desarrollaremos a continuación nos permitirá entender bajo qué condiciones, puede manifestarse la sublimación. Equilibrio de Fase La experiencia nos muestra que bajo determinadas condiciones de presión y temperatura, una sustancia puede encontrarse a la vez en dos fases. Por ejemplo, si tenemos agua en un recipiente cerrado. Sobre la superficie libre del agua hay vapor de agua debido a que las moléculas del líquido que tienen mayor movilidad salen de él, sin embargo el número de moléculas que salen es igual al número de moléculas que regresan por lo que nivel del líquido no cambia lo que significa que el líquido y el vapor están en equilibrio. De forma parecida ocurre cuando colocamos hielo a 0 ºC de agua líquida a 0 ºC en agua líquida a 0 ºC, el conjunto se mantiene en equilibrio. Como se puede observar se tiene tres formas de equilibrio de fase: Sólido – líquido Líquido – vapor Sólido – vapor Calor latente de Fusión – solidificación: T 0 ºC
Donde: L 80
Vaporización
–
T 100 º C
Unidades: cal ; J g
de
cal kJ 340 g kg
31
cal kJ 2300 g kg
PROBLEMITAS Una villa de acero de 50g esta a 20ºC. ¿Hasta que temperatura se calentará si recibe 220cal?. (Ceacero=0,11cal/gºC) a) 40ºC b) 60ºC c) 80ºC d) 100ºC e) 120ºC
2.
¿Que cantidad de calor se libera cuando 200g de cobre se enfrían de 90ºC hasta 20ºC? (Cecobre=0,093cal/gºC) a) -1203cal b) -1232cal c) -1223cal d) -1302cal e) 1225cal
3.
Determine la cantidad de calor que se le debe suministrar a un trozo de metal de 3kg (Ce=0,05cal/gºC) para elevar su temperatura de 10ºC a 210ºC (1cal=4,2J) a) 148kJ b) 126kJ c) 148J d) 124MJ e) 126MJ
4.
Si para elevar la temperatura de un bloque de oro (Ce=0,03cal/gºC) cuya masa es de 4kg hasta 215ºC se han necesitado 100KJ, determinar cual fue la temperatura inicial de dicho metal en ºF (1J=0,24cal) a) 43ºF b) 47ºF c) 59ºF d) 73ºF e) 29ºF
5.
Que cantidad de calor necesitan 2l de agua, si inicialmente estaban a 25ºC y son calentados hasta 373K. a) 150kcal b) 120kcal c) 180kcal d) 210kcal e)100
6.
Que cantidad de calor se necesita para que 120l de cierta sustancia cuyo calor especifico es de 0,5cal/gºC y densidad 1,3g/cm3 pueda elevar su temperatura desde 234ºC hasta 236ºC. a) 156kcal b) 155kcal c) 153kcal d) 151kcal e) 150kcal
7.
2000g de agua a 20ºC se mezclan con 3000g de agua a 30ºC ¿Qué temperatura de equilibrio alcanzara la mezcla? a) 24ºC b) 25ºC c) 26ºC d) 27ºC e) 28ºC
8.
Se mezclan diferentes masas de agua en las siguientes condiciones 20g a 20ºC, 40g a 40ºC, 80g a 80ºC. Determinar la temperatura de equilibrio. a) 40ºC b) 50ºC c) 60ºC d) 70ºC e) 55ºC
9.
Para obtener 40g de agua a 80ºC se mezclan agua de 30ºC con agua de 90ºC . Halle la cantidad de agua de 90ºC que fue usada. a) 33,3g b) 34,3g c) 35,3g d) 36,3g e) 37,3g
A
10cm
B C
10. En un calorímetro de capacidad calorífica 80cal/ºC se tiene 20g de agua a 20ºC. Al sistema se hace ingresar un bloque de 100g a 140ºC. Si la temperatura de equilibrio resulto 60ºC, determine el calor específico de dicho bloque. a) 0,2cal/gºC b) 0,3 c) 0,5 d) 0,8 e) 0,9
a) 10cm d) 40cm
20cm
b) 20cm e) 50cm
c) 30cm
16. En un deposito se tiene 1,8m3 de agua a 5ºC se dispone de agua a 65ºC que se vierte por un grifo a razón de 100cm3/s. determine el tiempo que debe estar abierto el grifo para que la temperatura de la mezcla sea 35ºC, desprecie toda influencia externa sobre el sistema. a) 1hora b) 2 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 9horas
11. Se colocan 50g de latón a 100ºC dentro de 100g de agua a 20ºC. La temperatura final de la mezcla resulta ser 25ºC. Halle el calor específico del latón. a) 0,10cal/gºC b) 0,11 c) 0,12 d) 0,13 e) 0,14
17. Un recipiente de capacidad calorífica despreciable contiene cierta cantidad de Hg a 15ºC, si se introduce una esfera de platino a 120ºC el sistema alcanza una temperatura de equlibrio de 40ºC, pero si el Hg se encuentra a 20ºC, entonces la temperatura de equilibrio seria de 50ºC. ¿Cuál es la temperatura inicial del platino en el segundo caso? a) 126ºC b) 136ºC c) 146ºC d) 156ºC e) 166ºC
12. .En un calorímetro de capacidad calorífica despreciable se mezclan 400cm3 de agua a 0ºC y se vierten en el 300cm3, 600cm3 y 200cm3 de agua a las temperaturas de 60ºC, 80ºC y 90ºC respectivamente. Halle entonces la temperatura final del sistema. a) 36ºC b) 46ºC c) 56ºC d) 66ºC e) 76ºC 13. Se tiene 100g de una aleación de oro y cobre a 75,5ºC, La cual se introduce en 600g de agua que se encuentra a 25ºC, si la temperatura final de equilibrio es de 25,5ºC. Determine la composición de la aleación sabiendo que: CeCu= 0,09cal/gºC y CeAu=0,03cal/gºC. a) 60g de Au y 40g de Cu b) 30g de Au y 70g de Cu c) 50g de Au y 50g de Cu d) 70g de Au y 30g de Cu e) 20g de Au y 80g de Cu
18. Un calorímetro de metal esta a 10ºC y tiene un equivalente en agua de 2kg, si 500g de aceite a 100ºC es colocado en este calorímetro la temperatura final del conjunto se estaciona en 20ºC. Halle el calor específico del aceite. a) 0,2cal/gºC b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6 19. En un calorímetro de equivalente en agua igual a 200g se tienen 400g de agua a TºC, si se vierten 700g de agua a 2TºC, la temperatura de equilibrio es 20ºC. ¿Cuál será la nueva temperatura de equilibrio, si se vierten 650g mas de agua a 2TºC? a) 23ºC b) 22ºC c) 37ºC d) 33ºC e) 30ºC
14. Se tiene dos cubos del mismo material de 4cm y 8cm de arista a las temperaturas de 9ºC y 18ºC respectivamente las cuales se ponen en contacto por una de su caras, determine la temperatura de ambos una vez que se alcanza el equilibrio térmico. a) 13ºC b) 17ºC c) 15ºC d) 14ºC e) 12ºC
20. 4 litros de agua se echan en una olla de aluminio cuya masa es de 1kg, la temperatura del medio ambiente es 20ºC, colocada la olla en una estufa. ¿Qué masa de gas debe ser quemado en esta estufa hasta que el agua empiece a hervir?. Considere: Cealuminio=0,2cal/gºc Poder calorífico del gas=1120cal/g a) 285g b) 300g c) 305g d) 310g e) 200g
15. Tres cilindros A , B y C del mismo material cuyas temperaturas iniciales son 80ºC , 60ºC , 20ºC se colocan tal como se indica. Si la temperatura final del sistema es 50ºC. Determine la altura del cilindro B (solo existe transferencia de energía entre ellos)
32
21. Un calentador a base de carbón utiliza 6kg del mismo para elevar la temperatura de un recipiente de 2kg (Ce=0,1cal/gºC), que contiene 5 litros de agua a 10ºC hasta 30ºC. Determinar el poder calorífico del carbón, sabiendo que la eficiencia del calentador es del 80% (1cal=4,2J). a) 91kJ/kg b) 87 c) 93 d) 85 e) 74
alta de la catarata se convierte en energía térmica debido al impacto en la base. Determine en cuanto aumentaría la temperatura de esta (g=10m/s2), (1cal=4,2J) a) 0,50ºC b) 0,25ºC c) 0,75ºC d) 0,30ºC e) 0,60ºC 28. Una masa de 200g que se encuentra a 50ºC posee un calor especifico que depende de la temperatura según la siguiente expresión CeT 0,1 0,001T , Donde T esta en ºC y Ce en
22. Un calentador de 500W se coloca en un depósito que contiene 2 litros de agua a 20ºC. ¿Cuánto tiempo se requiere para llevar el agua a su temperatura de ebullición suponiendo que el 80% de la energía disponible es absorbida por el agua? a) 50min b) 1,6min c) 28min d) 20min e) 15min
cal/gºC. Determine la cantidad de calor que se le debe suministrar para elevar su temperatura hasta 100ºC. (1cal=4,2J) a) 7,35kJ b) 2,25kJ c) 5,45kJ d) 6,05kJ e) 4,55kJ 29. Una bala de plomo que lleva la velocidad de 400m/s, choca contra una pared y penetra en ella, suponiendo que el 10% de la energía cinética de la bala se invierte en calentarla. Calcular cuantos grados se elevará su temperatura. Ceplomo=6cal/molºC Peso molar plomo=207 a)44ºC b)66ºC c)88ºc d) 55ºC e) 98ºC
23. Un calentador eléctrico cuya eficiencia es de 80% demora 13 minutos para calentar 5 litros de agua que se encuentran en equilibrio térmico a 10ºC dentro de un recipiente de aluminio de 1kg (Ce=0,2cal/gºC) hasta una temperatura de 70ºC. Determinar la potencia eléctrica suministrada al calentador. (1J=0,24cal) a) 2,04kW b) 3,06 c) 1,96 d) 2,08 e) 3,0
30. Determine la masa de hielo a 0ºC que se debe de agregar a un recipiente en donde 100g de agua y 100g de vapor en equilibrio térmico con la finalidad de conseguir un temperatura de equilibrio de 70ºC. a) 200g b) 400g c) 600g d) 800g e) 300g
24. Un motor de 200W se utiliza para agitar 40 litros de aceite (cada litro de aceite pesa 0,6kg), el motor es empleado durante 1 hora. ¿En cuanto aumenta la temperatura del aceite cuyo calor especifico es 0,5cal/gºC? (1J=0,24cal) a) 12,4ºC b) 10,2ºC c) 13,2ºC d) 14,2ºC e) 14,4ºC 25.
31. En un recipiente de capacidad calorífica despreciable se mezclan 10kg de hielo a 40ºC con 2kg de vapor de agua a 120ºC. Determinar la energía intercambiada una vez alcanzado el equilibrio térmico. (1cal=4,2J) a) 3,75MJ b) 7,25MJ c) 5,25MJ d) 4,50MJ e) 7,50MJ
Un clavo de 60g (Ce=250J/kgK) viene siendo golpeado por un martillo de 3kg, la velocidad de impacto es 5m/s, suponiendo que la mitad de la energía cinética del martillo es convertidas en energía térmica por el clavo. Determinar cuántos golpes habría que darle para elevar su temperatura en 20ºC. a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20
32.
26. Una bala (Ce=125J/kgK) se dispara contra una pared metálica, si la velocidad de impacto es de 100m/s y suponiendo que el 25% de la energía cinética de la bala se convierte en energía térmica. Determine en cuanto aumento la temperatura de la bala. a) 5ºC b) 10ºC c) 15ºC d) 25ºc e) 30ºC
En un calorímetro de capacidad térmica despreciable se mezclan 30g de agua a 20ºC con 20g de hielo a 0ºC. ¿Cuál será la temperatura de equilibrio? ¿Cuál será la composición final de la mezcla? a) 2ºC ; 30g (agua) ; 20g (hielo) b) 3ºC ; 10g (agua) ; 40g (hielo) c) 0ºC ; 37,5g (agua) ; 12,5g (hielo) d) 0ºC ; 40g (agua) ; 10g (hielo) e) 0ºC ; 50g (agua) ; 0g (hielo)
33. en un recipiente de capacidad calorífica despreciable, se tiene 20g de hielo a -10ºC . Si se logra verter 20g de agua a 25ºC en dicho recipiente, determinar la composición final de la mezcla. a) 5g de hielo , 35g de agua liquida b) 10g de hielo; 30g de agua liquida
27. Una catarata tiene 105m de altura si toda la energía potencial del agua en la parte más
33
c) 15g de hielo; 25g de agua liquida d) 4g de hielo; 36g de agua liquida e) 34g de agua liquida; 6g de hielo
40. Se tiene una cuña de hielo como se muestra en la figura, si sobre el hielo se hace descansar un bloque de acero de 10Kg de masa, hallar la cantidad de hielo que se derrite debido a la fricción, suponiendo que todo el calor generado se emplea en derretir el hielo. (μk=0,1; 1J=0,24cal; g=10m/s2)
34. Si en un calorímetro de capacidad calorífica despreciable se mezclan 6kg de hielo a 0ºC con 10kg de vapor a 100ºC. Determinar la temperatura final de equilibrio y la composición final de la mezcla. a) 0ºC ; 5kg (hielo) ; 11kg (agua) b) 0ºC ; 16kg (agua) c) 80ºC ; 16kg (agua) d) 100ºC ; 8kg (agua) ; 8kg (vapor) e) 100ºC ; 12kg (agua) ; 4kg (vapor)
45º
a) 0,3g d) 0,5g
35. Un cubo de hielo de 50g de masa y cuya temperatura es de -10ºC, se coloca en un estanque de agua, el cual se encuentra a 0ºC. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla y que cantidad de agua se solidifica? a) 2ºC ; 6,25g b) 0ºC ; 3,125g c) 0ºC ; 2,65g d) -2ºC ; 2,65g e) -2ºC ; 6,25g
c) 0,6g
42. En una cazuela se echa agua fría a 10ºC y se pone a calentar en un hornillo. Pasado 10minutos el agua comienza a hervir, a partir de ese instante, ¿Dentro de cuanto tiempo el agua se vaporizara por completo? a) 50min b) 60min c) 70min d) 40min e) 55min
37. Un bloque de plata de 200g (Ce=0,06cal/gºC) se encuentra a 19ºC. ¿Qué cantidad de calor se le debe suministrar para derretirlo por completo, si su temperatura de fusión es 961ºC (LfAg=21cal/g) a) 15504cal b) 12306cal c) 16940cal d) 14320cal e) 10654cal
43. Se tiene un calorímetro de cobre de 200 gramos de masa conteniendo 250 gramos de agua a la temperatura de 20 ºC. Un bloque metálico de 100 gramos se calienta hasta 100 º C y se introduce en el calorímetro. Si se observa que la temperatura de equilibrio es 22 º C , hallar el calor específico del bloque metálico en cal/g ºC. ( Ce Cu 0, 09 cal/g º C ). a) 0,05 b) 0,068 c) 0,025 d) 0,015 e) 0,5
38. Un proyectil de 1,6kg se acerca a una gran pared de hielo a 0ºC con una velocidad de 10 10 m/s, al chocar queda incrustada en ella, si el 60% de la energía del proyectil se utiliza para deformar el bloque de hielo determine cuanto de hielo se funde. (1cal=4,2J a) 2,5g b) 5,0g c) 7,5g d) 1,0g e) 6,0g
44. Aplicando 200 N de fuerza se mueve a un bloque una distancia de 5 m. Determinar las calorías producidas en este proceso. ( 1 J 0, 24 cal ). a)120 cal b)240cal c)360cal d)480cale)180
39. Un bloque de hielo a 0ºC se lanza sobre una superficie rugosa. Determine que masa tiene el bloque de hielo, cuando se detiene si el 50% de la energía cinética se disipa al medio en forma de calor (m=2kg)
45. Un joven midió la diferencia de temperatura entre las aguas de arriba y las de debajo de una catarata de 50 m de altura; determine aproximadamente dicha diferencia. a)0 ºC b)0,12 ºC c)0,25 ºC d)4 ºC e) 5 ºC
v=100m/s m
b) 1970g e) 1890g
b) 1,0g e) 2,0g
10m
41. En un recipiente de capacidad calorífica despreciable se tiene 1kg de hielo a -20ºC ¿Qué mínima cantidad de un liquido a 80ºC debe ingresar al sistema para que finalmente quede 225g de hielo? El liquido tiene un calor especifico que varia con la temperatura (T) según Ce=10+2T(cal/gºC) a) 100g b) 80g c) 50g d) 30g e) 10g
36. En un recipiente de capacidad calorífica 20cal/ºC se tiene 106g de agua a 50ºC. ¿Qué masa de hielo a -30ºC se debe introducir al sistema a fin de que el 60% de su masa se fusione a)100g b)200g c)300g d)400g e) 500g
a) 1960g d) 1990g
hielo a 0ºC
46. Un litro de agua a 50 ºC se transforma en vapor a 150 ºC. ¿Cuántas calorías se consumen en este proceso? a) 640 b) 1500 c) 615 d) 745 e) 525
c) 1985g
34
1.6 TABLA PERIÓDICA ACTUAL (Características). Diseñado por J. Werner en base a la ley de Moseley, la configuración electrónica y la referencia de la Tabla Periódica de Mendeleev. Los elementos están ordenados de acuerdo a su número atómico (Z) creciente. Está constituido por 7 periodos y 16 grupos (8 grupos A y 8 grupos B). 1.6.1 PERIODO. Son (filashorizontales) en la cual los elementos se encuentran ordenados de acuerdo a sus niveles energéticos
SEMANA 5 1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA TABLA PERIÓDICA. Los antiguos químicos entendieron que el estudio de los elementos era más fácil agrupándoles, según sus propiedades, semejanzas o analogías. 1.2 TRIADAS DE DÖBEREINER (1817) El químico alemán Johan Dobereiner intentó ordenar los elementos químicos conocidas en su época en serie de tres elementos (triadas). Los elementos que pertenecen a una triada tienen propiedades químicas semejantes.
Cos10° 0° Cos80°+ 0°+2Cos P.Cos40° A. Sr 0°
q
40 137 88,5 2
7 5 2 Sen Sec Cos
6 3 3 1.3 OCTAVAS DE NEWLANDS (1864) 3 5 7 Tg Sec Csc El químico Alexander Reina Newlands 4 4inglés John 4 propuso el ordenamiento de los elementos químicos según su masa atómica creciente en 7 3 Tg .Tg Ctg Ctg filas horizontales, de tal forma que el octavo 2 2 E 3 elemento semejantes al primer Tg .Tg Ctg tenía .Ctgpropiedades 2 2 elemento.
1º Li
x
2º 3º x Bex B
4º C
5º 6º N O
7º F
8º Na
2. GRUPOS «A» Están formados por los elementos representativos. PERIODO = NIVEL ENERGÉTICO
1, 2, 3 : P. corto 4 y 5 : P. Largo 6 y 7 : P. Extra largo 1.6.2 GRUPO. Son(columnas verticales) Existen 18 columnas en la cual se encuentranordenados de acuerdo a sus electrones de valencia.
9º Mg
Propiedades Semejantes x x x oo 1.4 TABLA PERIÓDICA DE DIMITRI. oo MENDELEIEV (1869) oo observó que los elementos se ordenan de Mendeleiev x acuerdo la variación periódica de las propiedades x de xlos elementos, por lo cual se le llamó Tabla Periódica. x Los 63 elementos conocidos hasta ese entonces fueron xx ordenados en función creciente a su peso atómico en series (filas) y grupos (columnas).
GRUPOS « B «
Están formados por elementos de transición
O
O
1.5 LEY PERIÓDICA MODERNA. Propuesto por Henry Moseley en 1913, que establece lo siguiente: «Las propiedades de los elementos químicos es una función periódica de su número atómico (Z)», es decir Hla2 variación sistemática o periódica se debe 2O a la H carga nuclear.
O O2
-
Radio
35
1.7
CLASIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS. Los elementos químicos se clasifican de acuerdo a sus: 1.7.1 POR BLOQUES.
Debido a su afinidad electrónica al reaccionar con metales tienden a ganar electrones (reducción). Los compuestos formados en su totalidad por no metales son sustancias moleculares. 1.7.5 METALOIDES O SEMIMETALES (8) Tienen propiedades intermedias entre los metales y no metales, por ejemplo el silicio parece un metal pero es quebradizo en lugar de maleable y no conduce calor y electricidad tan bien como los metales. Son semiconductores eléctricos. Al incrementar la temperatura incrementa la conductividad eléctrica Son principales elementos empleados en la fabricación de circuitos integrados y chips de computadora. (aleaciones de Si) Se encuentran en estado sólido y son : B, Si, Ge, As, Sb. Te, Po, At
SEGÚN SU ORIGEN Elementos naturales: Se producen en la naturaleza en forma natural: Del Z = 1 (H) hasta Z = 92 (U). Excepto: 43Tc y 61Pm Elementos Artificiales: Se producen mediante transmutaciones nucleares en el laboratorio son: todo el transuránico incluido Tc y el Pm. 1.7.2 SEGÚN SUS PROPIEDADES FÍSICAS Y QUÍMICAS:
1.7.6 GASES NOBLES (6) Son gases mono atómicos: He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn Poco reactivos Son componentes de la atmosfera salvo el Rn que es un radio isótopo de vida corta. Se utiliza como protectores para que no se oxiden las soldaduras 1.8 PROPIEDADES ATÓMICA. 1.8.1 CARÁCTER METÁLICO (C.M.). Es la capacidad que tiene un átomo para perder electrones, es decir para oxidarse, por lo cual se llama electropositivo.
1.7.3 METALES (89) Representan el 80% del total de los elementos. Densidades variados pero generalmente altas Son buenos conductores térmicos y eléctricos, que disminuye con la temperatura. El mejor conductor es la plata. Son maleables y dúctiles, Son sólidos a temperatura ambiente (excepto el Hg que es líquido) Alto punto de fusión y ebullición Presenta brillo metálico plateado gris, excepto el Cu de color rojo y el oro de color amarillo. Tienen energías de ionización bajas, por tanto tienden a formar iones positivos con relativa facilidad. Se oxidan (pierden electrones) Los compuestos de metales suelen ser iónicos al interactuar con los no metales.
1.8.2 RADIO ATÓMICO (R.A.). Es el promedio de las distancias entre los núcleos de dos átomos idénticos que forman un enlace químico. El radio atómico determina el volumen o tamaño relativo de un átomo. Cos10° Cos80°+
q
7 5 2 Sen Sec Cos 6 3 3 3 5 7 Tg Sec Csc 4 4 4
Cos10° os10° 3 10° Tg .Tg Ctg Ctg 2 2 1.8.3 RADIO IÓNICO (R.I.). ° E 3 Cos80°+ iones. Tg .Tg .Ctg Representa el tamaño Ctg relativo delos 2 2 os80°+2 La tendencia en el tamaño de los iones depende de su 80°+2Co carga nuclear (Z),°+2Cos4 del número de electrones que x orbitales en los que residen los posee y de los 2Cos40° x Cos40° electrones de capa externa. Los cationes xsonos40° más pequeños que sus átomos 40° progenitores. x ° x
+
1.7.4 NO METALES.(11) Baja densidad Generalmente son malos conductores del calor y la electricidad. Excepto: grafito. Son buenos aislantes térmicos. (Excepto el diamante). No son dúctiles ni maleables. A temperatura ambiente se encuentran en estado sólido, líquido y gaseoso. 5 son gases: diatómicos (Cl2, O2, H2, N2, F2);1es líquido: (Hg) y 5 son sólido(C, P, S, Se, I2), el iodo es un sólido volátil, pueden ser duros como el diamante o blandos como el azufre. Generalmente tienen bajo punto de fusión (aunque el diamante funde a 3570 ºC). Generalmente no presentan brillo,excepto el grafito.
36
Los aniones sonq más grandes que sus átomos progenitores. x 7 5 oo Sen 2 Cos Sec aumenta al el En iones de la misma carga, tamaño 6 3 3 oo bajar por un grupo. 3 5 7 oo Tg Sec Csc 4 4 Ca 2 Mg 2x 4 x o En una serie isoelectrónica de iones por el radio 3 x Ctg Ctg 2 .Tg la del ión disminuye alTgaumentar carga nuclear, 2 x E 3 x x Ctg .Ctg Tg .Tg
O
2
2
porque los electrones son más atraídos fuertemente hacia el núcleo. El radio atómico y el radio iónico aumentan igual al carácter metálico.
( ) Mendeleiev agrupo a los elementos en función a sus propiedades físicas y químicas siguiendo un orden creciente a su número atómico ( ) Moseley comprobó que las propiedades de los elementos dependen de su número atómico ( ) Los elementos que tienen propiedades químicas similares pertenecen a un mismo grupo o familia A)FVV B)VFV C) VVV D)VVF E) FFF
O2 , F , Na , Mg 2 , Al 3 1.8.4 CARÁCTER NO METÁLICO (C.NM.) Capacidad que tiene un elemento para ganar electrones, es decir para reducirse, por lo que se le denomina electronegativos
2.
De las siguientes posiciones sobre los elementos representativos y de transición, ¿cuáles son correctas? I. Los elementos de transición pertenecen a la zona “d” mientras que los representativos a la zona “s” y “p” II. Los elementos representativos tienen variaciones en un grupo o familia III. Todos los elementos de transición pertenecientes a los períodos 4 y 5 son naturales IV. Existen más elementos en el bloque s y p que elementos del bloque d y f. Es o son correctas: A)SoloI B)II y III C)Solo III D)I y IV E) I y II
3.
Respecto a la Tabla Periódica Moderna, indica la proposición verdadera (V) o falsa (F) según corresponda: I. Las propiedades de los elementos son función de su número atómico. II. Los elementos de un mismo grupo (columna vertical) tienen propiedades químicas similares. III. Los elementos de un mismo periodo (fila horizontal) presentan la misma cantidad de capas en su configuración electrónica. A) VVF B) VFV C) FVV D) VVV E) FVF
4.
Coloca verdadero o falso: ( ) Los anfígenos poseen 6 electrones en la capa de valencia ( ) El selenio (Z=34) se ubica en el cuarto período ( ) Los metales de transición termina su configuración en el sub nivel f ( ) El elemento del tercer período y grupo VA, tienen como número atómico 15 A) VVVV B)VVFV C)VFVF D)FFFF E) VVFV
5.
Respecto a la Ley Periódica Moderna, indica la proposición verdadera (V) o falsa (F). I. Las propiedades químicas de los elementos varían en función a su grupo II. Fue establecido por Meyer III. Las propiedades físicas y químicas de los elementos varían en función periódica de sus número atómico(Z) A) VVF B) VFV C) FVV D)FFV E) FVF
6.
Indica como verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Los elementos que presenta la misma cantidad de capas, corresponden a un período
1.8.5 ENERGÍA DE IONIZACIÓN (E.I.)
Es la cantidad mínima de energía que se requiere para remover al electrón enlazado con menor fuerza en un átomo aislado para formar un ión con carga +. La primera energía de ionización EI1 es la energía necesaria para quitar el primer electrón de un átomo neutro, la segunda EI 2 es la energía requerida para arrancar el segundo electrón. 1.8.6 AFINIDAD ELECTRÓNICA (A.E.) Es la cantidad de energía que absorbe o libera un átomo cuando se añade o acepta un electrón a un átomo gaseoso aislado para formar un ión con carga – 1. 1.8.7 ELECTRONEGATIVIDAD (EN.) La electronegatividad de un elemento mide la tendencia relativa del átomo a atraer los electrones hacia sí, cuando se combina químicamente con otro átomo. El Cs es menos electronegativo y el Fel más electronegativo, según la escala de Linus Pauling les corresponde (0,7) y (4.0).
C.NM, EI, AE, EN CM, RA, RI
+
-
CM
+
CM
CNM
+ -
CNM
+
PRACTIQUEMOS 1.
Marca la alternativa correcta:
37
II. Los elementos que tienen propiedades físicas similares e igual número de electrones en la última capa constituye los grupos de la tabla periódica III. Los elementos que terminan su configuración en el sub nivel “d” se les denomina metales de transición IV. Los que terminan su configuración en el sub nivel “f” pertenecen al grupo IIIB A) VVVV B) VFVF C) FVVV D) VFVV E) FFVV 7.
Un elemento nitrogenoide del cuarto periodo ocupa el casillero. A) 34 B) 33 C) 31 D) 30 E) 32
8.
¿Cuál será la alternativa que presenta un elemento que no pertenece al grupo? A) Sr, Ba, Ra B) N, Sb, Bi C) K, Rb, Cs D) S, Te, Po E) F, In, At
9.
¿A qué periodo y grupo pertenece un elemento químico cuya carga nuclear es igual a 32? A) 4º, VI A B) 4º, II A C) 4º, IV A D) 4º, V A E) 3º, IV A
A) 11Na: 3, IA D) 29Cu: 4, IIB
17. A los elementos del grupo IB se les llama cuño o acuñación, estos elementos son: A) Ca, K, Be B) Cu,Cd, Hg C) Ca, Cu, Hg D) Cu, Au, Ag E) Cu, Ag, Hg, Br 18. Indica qué proposición (es) es (son) correcta(s), respecto a los elementos de transición. I. El grupo se determina de acuerdo a los sub niveles ns y (n-1)d. II. Hay configuraciones de valencia que debiendo 4 9 5 10 terminar d y d , terminan en d y d , es el caso del 24Cr y 29Cu, respectivamente III. Todos los elementos de transición son metales. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I, II y III E) II y III 19. Respecto a los elementos químicos de la tabla periódica; Indica la alternativa incorrecta. A) Existen 11 elementos en estado gaseoso B) De los 114, 8 son elementos metaloides C) Todos los elementas artificiales son conocidas como tierras raras D) Los metales son los más abundantes E) Los no metales a temperatura ambiente pueden ser sólidos, líquidos y gaseoso
10. Los elementos denominados "tierras raras" se ubican en la zona:
A) s
B) p
C) d
D)f
E) g
11. El grupo IIIA se le conoce también como familia de los ... A) Nitrogenoides B) Alcalinos C) Anfígeno D) Térreos E) Halógenos
20. Dadas las proposiciones: I. A temperatura ambiente existen dos elementos líquidos, once gaseosos y los restantes son sólidos II. Los metales alcalinos son los más reactivos y generalmente existen en la naturaleza formando compuestos. III. Son semiconductores B, Si, As Son correctas: A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I, II y III
12. ¿A qué periodo y grupo pertenecerá un elemento cuyo cuarto nivel presenta 7 electrones? A) 4º, VII A B) 3º, VI A C) 4º, V A D) 4º, VIII A E) 3º, VII A 13. Indica el periodo y grupo al cual pertenecen los átomos cuyos Z son 35 y 29 respectivamente. A) VA (17); 3 y IB (11); 4 D)VIIA(17);4 y IB(11);4 B) VIIB (17); 3 y IB (11); 4 E)VB (17);3 y IB (11);4 C) VIIA (16); 4 y IIB (11); 4
21. Indica la relación correcta: A) Los elementos de un periodo poseen propiedades similares por tener la misma cantidad de niveles B) Los elementos de un grupo poseen propiedades químicas similares porque tienen la misma cantidad de electrones en sus niveles interiores C) A temperatura ambiente, los semimetales son sólidos y a medida que aumenta la temperatura, también aumenta su conductividad eléctrica D) Todos los gases nobles presentan 8 electrones en la última capa E) El H es un alcalino
14. Indica el grupo, periodo y número atómico que corresponde respectivamente al átomo cuyo último electrón tiene los números cuánticos (3, 2, 0, +1/2) A) VB (5); 4 y 22 D) VA (5); 4 y 23 B) VB (5); 4 y 23 E) VB (4); 4 y 22 C) VA (5); 3 y 23 15. Identifica, ¿qué relación elemento-grupo notable es incorrecta?: A) Na: Metal Alcalino. B) Cl: Halógeno C) Ca: Alcalinotérreo E) Rn: Gas noble
B) 17Cl: 3, VIIA C) 34Se: 4, VIA E) 27Co: 4, VIIIB
22. Dadas las proposiciones: I. Los metales tienden a perder electrones y se comportan como agentes reductores II. A temperatura de 30°C el Ga, Ce, Fr son líquidos III. Son gases: H2, I2, F2,He, Rn Es verdadera (s): A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
D) S: Halógeno
16. ¿Cuál de los siguientes elementos no está acompañada del período y grupo al cual pertenecen realmente?
38
23. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: - Los metales son buenos conductores de calor y la electricidad. - En general, los no metales no conducen el calor ni la electricidad. - Los metales son dúctiles y maleables. A) VVV B) VVF C) VFF D) FFV E) FVV
29. Indica verdadero o falso según corresponda: El par Ne, O posee mayor diferencia de electronegatividad que el par Cl, N El orden de tamaños: Mg Al Si P es correcto El Np, U, Lr pertenecen al grupo IIIB A) VFV B) VVF C) FVF D) VFF E) FFF
24. No es característica de los elementos metálicos: A) Buena conductividad térmica y eléctrica B) Opacos porque impiden el paso de luz C) Todos son sólidos a temperatura ambiente (excepto el mercurio) D) Generalmente presentan bajas densidades E) Tienden a formar cationes por lo que su energía de ionización es baja relativamente
SEMANA 6 - 7 ENLACE QUÍMICO DEFINICIÓN: Fuerza que une y mantiene en esa condición a los átomos (neutros o electrizados) para formar moléculas, CO2; H2O o sistemas cristalizados (iones, metálicos o covalentes) y moléculas para hacer posible la manifestación condensada de la materia (sólido y líquido).
25. Marca la siguiente correspondencia definición – propiedad. a) Energía necesaria para atraer el electrón de más alta energía, en estado basal b) Capacidad del átomo para atraer electrones hacia si cuando está químicamente combinado c) Facilidad que tienen los átomos para perder electrones de su ultimo nivel d) Mitad de la distancia entre los centros de los átomos iguales de una molécula ( ) Carácter metálico ( ) Energía de ionización ( ) Radio atómico ( ) Electronegatividad A) dbac B) cadb C) dbca D) cabd E) cbad
OBJETIVO: Formar sistemas estables de menor contenido energético y estable
Alta Alta
Cos10° 10° Cos80°+ 80°+2Co 2Cos40° s40°
q
Energía Energía liberada liberada
q
7 5 2 Sen Sec Cos 5 3 7 3 Sen 6 2 Cos Sec 3 3 5 3 7 6 Tg Sec Csc 34 54 7 4 Tg Sec Csc 4 4 4
Baja Baja
26. Se tiene los elementos X, Y, Z cuyos números atómicos son 5. 20, y 31. Indica la afirmación que no cumple A) X, Z son boroides B) Radio atómico Y Z X C) Y es alcalino terreo D) Electronegatividad XZ Y E) X, Y, Z son buenos conductores eléctricos
–– Átomos Átomos unidos unidos Cos10° – Alta estabilidad 3 – Alta estabilidad Tg °.Tg Ctg Ctg
2 Cos80°+ 2 Ctg 3 Tg Ctg .Tg 2 2 °+2Cos4 3 Ctg E.Ctg Tg .Tg 3 2 2 s40° Ctg .Ctg Tg .Tg 2 2 7 5 2 Sen Sec Cos x 3 6 3 x 3 5 x 7 Tg Sec Csc 4 4 4 DEL xENLACExQUIMICO
E
q
Avance Avance de de Enlace Enlace
FACTORES x 1. ELECTRONESx DE VALENCIA. x x 3 Electrones externos de la o nivel Tg capa Ctg de Ctg x última .Tg x 2 2 E energía que presentan los átomos x oo 3 Tg .Tg .Ctg Son aquellos que oo Ctg 2 en oose encuentran la periferia del 2 átomo (los delooúltimo oonivel) y que participan oo activamente en xla formación de enlaces por tener x xx mucha energía. x xx x xx x 2. SÍMBOLO LEWIS. xx x xlos electrones Representación de de valencia mediante x xx puntos o aspas oo oo oo x x x x 3. REGLA DEL OCTETO. x x
27. ¿Cuál de las siguientes especies presenta menor radio iónico? +1 +2 -1 -2 A) 19K B) 20Ca C) 17Cl D) 16S E) Iguales 28. En la Tabla Periódica de elementos químicos, dados los siguientes diagramas la variación creciente es: (I) EN (II) PI
O
O
(III) RA
–– Átomos Átomos libres libres –– Baja Baja estabilidad estabilidad
Cos10° 10° Cos80°+ 80°+2Co +2Cos40 Cos40° 40°
(IV) CM
O
O
O
Es cierto: A) I y III D) II, III y IV
O Un octeto de electrones en subcapas s y p H O H O consiste H2
B) I y IV E) I y II
2
C) III y IV
2
H2O llenas de un átomo. OUn octeto se visualiza como cuatro 2 O2 pares de electrones -de valencia dispuestos alrededor Radio del átomo. Radio io atómic dio atómic mico
O
39
O
Los átomos tienden a ganar, perder o compartir electrones hasta estar rodeados por ocho electrones de valencia, igual al número de electrones de los gases nobles más cercanos a ellos en la tabla periódica.
-
OCTETO INCOMPLETO Número de electrones necesarios para es tabilizarse
Átomo
Na C l Na 1
Hidrógeno; Helio
2 e - (1 DUETO)
Berilio; Mercurio
4 e - (2 DUETOS) 6 e - (3 DUETOS)
OCTETO EXPANDIDO electrones)
(tiene
Cl Cl PCl 5
Cl
Cl
+
Cl
de
8
ENLACE COVALENTE: Se produce mediante la compartición de electrones principalmente entre átomos de elementos no metálicos (también pueden intervenir metales poco activos, ej.: Be, Al, Hg). Se produce la superposición de orbitales atómicos (OA), llamado solapamiento, generando orbitales moleculares (OM). Propiedades de las sustancias covalentes: A condiciones ambientales pueden ser sólidas, líquidas o gases. El agua (H2O); El metano (CH4), La sacarosa(C12H22O11) Generalmente tienen bajo punto de fusión. El agua 100°C Son muchos más compuestos covalentes que iónicos. El 90% un total de 7000000 sus soluciones son pésimas conductoras de electricidad. Ej. el limón, el vinagre los ácidos son conductoras de la electricidad. Constituyen moléculas que son agregados de un número definido de átomos iguales o diferentes.(O2; H2SO4; HNO3; CO2) Generalmente:∆E.N <1,7 : Ej: SO3; O3; H3PO4;HNO3
Cl
Cl
Cl
OCTETO COMPLETO: consiste en llegar a 8 electrones exactos (SCl2)
Cl Electrones solitarios
S
1-
2)
P Cl
Cl
Fuerza electrostática de atracción
Cl
P
Son compuestos iónicos exclusivos en cargas +1 -1 como: (NH4) (NO3) etc. Se debe tener en cuenta que existe la presencia de compuestos como el LiH, EN=1,1<1,7; sin embargo es iónico debido a que el litio es el metal más ligero y su conductividad térmica. Ejemplo : Cloruro de sodio: NaCl (E.N=3,0 – 0,9 = 2,1)
Los 3 átomos
Cl completan el octeto Par de ecompartidos
CLASES DE ENLACE QUÍMICO 1) ENLACE IÓNICO (ELECTROVALENTE) A. A condiciones ambientales son sólidos cristalinos. Son sólidos duros y quebradizos. B. La atracción iónica es polidireccional. C. La fuerza que los une es electrostática D. Son conductores eléctricos sólo estando fundidos o en disolución.se les considera conductores de segundo orden E. No forma moléculas; sólo agregado ordenado de iones. F. En compuestos iónicos binarios, generalmente la diferencia de electronegatividades (E.N) cumple: ∆E.N ≥ 1,7 G. Los compuestos iónicos binarios están constituidas por metal y no metal: (NaCl, K2O, CaF2). H. Presentan altos puntos de fusión y ebullición, el Cloruro de Sodio(NaCl) =810°C; El fluoruro de Litio(LiF) =845°C I. Son solubles en solventes polares, ya que sus estructuras son polares. J. Representan el 10% de compuestos iónicos
Por el origen de los electrones compartidos Covalente normal: cuando los 2 átomos se unen compartiendo 1 par de electrones H-Br
/ Cl H , H 3C CH 3 , H H
Covalente coordinado o dativo: cuando 1 solo átomo aporta un par de electrones compatidos AB Ejemplo: O3
Excepciones del Enlace Iónico Son compuestos covalentes BeCl2; BeO; BeF2; BeBr2; AlCl3
40
Cos10° Cos10° 0° ° Cos80°+ Cos80°+ Cos10° 0°+2Cos Cos10° Cos10° 0° Cos40° 0° °+2Cos4 Cos10° Cos10°s40° ° 0° Cos80°+ Cos80°+ Cos10° Cos10° Cos80°+ Cos80°+ 0°+2Cos 0°+2Cos q q Cos80°+ Cos10°+2Cos40 2 7°+2Cos4 7 5 5 Cos80°+ Cos 2 Cos40° Cos40°SenSen 2Cos40° +2Cos40 Sec Cos10° Cos Sec s10° Cos80°+ 0° 6 6 3 3 Cos10° s40° 3 3 0° 0° ° 2Cos40° 3 0° 3 Cos80°+ 5 5 7 q q Tg2Tg Cos80°+ q q 7 Sec Csc Sec 5 Csc q q Cos80°+ 7os40° 5 24 4 57 2 7Sec 4Cos 4 4 5 7 os40° 2 Sen 4Sen Cos Cos Sen 77Sec Sen3 55 Sec Cos 6Sen s80°+2C 3Cos diferentes. Sec Sen q qPolar.q 563232Sec 3 Sec 6 3 3Cos 6 3 Covalente son 3 elementos 23 Los 3 6 3 6 3 7 2 7 5 °+2Cos4 5 7 5 3 7Sec 7 5 Sen Cos Sen 37Cos 2 3∆EN≠0 Sec 5Sec Csc 5Tg Sec 7Sec TgSen Cos diferente núcleo, la Csc Tg Sec Csc 3 5 7 5 3 3 Csc 6 7 3 Cos40° Tg34 3 Sec 46 434 6 Tg 3Sec Csc 4 Sec 44 Csc 4 43 3 4 4 Ctg 4 Tg Tg 73 Ctg 5 .4 4 7 4.Tg 4Ctg Ctg 4 4 3 3 Tg5Tg5 s40° Tg 7Sec Tg Tg Sec 2 Csc 2 2 2Csc Sec Csc 44 ° 4 4 E E 4 4 4 4 4
3 3 Tg .Tg.Tg .Ctg .Ctg Ctg Ctg 3 2 Tg 3 Ctg 3 Ctg .Tg 3 Tg 2 2 Ctg Tg Tg Ctg 2 2 2Ctg Tg5 .Tg Ctg 33Ctg Tg 7 .Tg Ctg Sen E Cos 2.Ctg Ctg 2Ctg Tg .Tg 2 2 Sec 3Tg E 2 2 2 .Tg 2 Ctg 2 2 2 6E 3 3 3E 3
q
HCl H
PRACTIQUEMOS
xx x
C l xx xx
(3,0 -2,1= 0,9) Covalente Apolar. Átomos iguales. Igual núcleo, ∆EN= 0 Son puros F
1.
F
(
Tener en cuenta que este se presenta en núcleos puros; además la diferencia de electronegatividades es = 0. NOTA: tener cuidado con el PH3 que por diferencia de electronegatividades es = 0 pero por su núcleo son átomos diferentes, este es enlace polar no confundirse. Por el número de pares compartidos Enlace simple: 1 solo par de electrones compartidos ( o -) tener en cuenta que este enlace contiene al dativo el cual se le considera como simple, y que el enlace sigma se toma en cuenta como simple. A-B O AB Enlace múltiple: Doble: 1 pi y sigma Triple: 2 pi y 1 sigma
(
( (
(
H 2C CH 2 ; H C N
2.
ENLACE METÁLICO: Es aquel que se caracteriza por la presencia de electrones de valencia deslocalizados en todo el metal. Los átomos están en forma de cationes inmersos en un mar de electrones de valencia moviéndose dentro de la estructura tridimensional del sólido metálico. Por ejemplo: La plata, un metal típico, consiste en una formación regular de átomos de plata que han perdido cada uno un electrón para formar un ión plata. Los electrones negativos se distribuyen por todo el metal formando enlaces no direccionales o deslocalizados con los iones platas positivas. Esta estructura, conocida como enlace metálico, explica las propiedades características de los metales: son buenos conductores de la electricidad al estar los electrones libres para moverse de un sitio a otro, y resultan maleables (como se muestra en la ilustración) porque sus iones positivos se mantienen unidos por fuerzas no direccionales. Exclusivo de los metales quienes presentan iones catiónicos inmersos en un mar electrónico. Así por ejemplo, en la estructura cristalina del sodio cada átomo de sodio está ionizado según: 0 Na (s)
Na 1 (s)
Son verdaderas (V) o falso (F), sobre la formación de un enlace químico, trae como consecuencia: ) Un cambio en el número atómico de los elementos implicados. ) Una redistribución de todos los electrones que presentan cada átomo. ) Absorción de energía. ) Desprendimiento de energía por alcanzar mayor inestabilidad química. ) Estabilizar a las sustancias libres y alcanzar sistemas de baja energía. A) FVFFV B) FVFVV C) FFVVV D) VFVFV E) FFFFV Respecto al enlace químico, indique la proposición incorrecta. A) Cuando se forma un enlace se libera energía. XX
B) E
Cuando se disocia un enlace se
XX
absorbe energía. C) Cuando se forma un enlace el sistema es más estable. D) El NaCl; H2O nos muestran que si existió enlace químico E) Los enlaces interatómicos son de menor intensidad que un enlace intermolecular. 3.
Determinar el grupo de la TPA del siguiente XX
elemento
que
muestra:
E XX
el
cual
es
considerado elemento vital A) III A B) IIA C) IV A D) VA E) VIA 4.
Realice Ud. las notaciones Lewis para los siguientes elementos: 15P, 38Sr, 17 Cl y de cómo respuesta el número de electrones de valencia de cada átomo mencionado A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
5.
¿Cuál de los siguientes compuestos no cumple con la regla del octeto? A) O2 B) CCl4 C) CO2 D) MgCl2 E) BCl3
1e1
41
6.
El átomo X presenta tres niveles. Determinar el número atómico del átomo indicado. A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17
7.
Determinar el número atómico de un átomo
O = 3,5 Na = 0,9 Ba = 1,3 Cl = 3,0 ¿Cuántos de los siguientes compuestos son iónicos y cuáles covalentes respectivamente?. * NaF * BaCl2 * H2O * CaS * CO2 A) 1-4 B) 2-3 C) 3-2 D) 4-1 E) 5-1
• •
•
E • si su elemento pertenece al segundo •
periodo de la tabla periódica A) 14 B) 5 C) 6 D) 16 E) 8 8.
9.
12. ¿Cuál de los siguientes compuestos presentan enlace iónico? A) PH3 B) CO2 C) Ba(NO3)2 D) BeCl2 E) PH3
Sobre los enlaces interatómicos: I. En un enlace interatómico se puede transferir o compartir un electrón. II. El enlace iónico se da generalmente entre elementos metálicos y no metálicos. III. Los compuestos iónicos conducen la corriente eléctrica fundidos o en solución acuosa. IV. Son compuestos covalentes : BeCl2, CaCO3, C2H2H2O Es (son) incorrecto(s): A) IyII B) IIyIII C) II y IV D)I,II.IV E)Iy IV
13. Respecto al enlace iónico, señala Ud. si las proposiciones son verdaderas o falsas. ( ) En su formación, se produce transferencia de todos los electrones del átomo menos electronegativo, hacia el más electronegativo. ( ) Las fuerzas de unión son de naturaleza electrostática. ( ) Se establece únicamente entre átomos metálicos y no metálicos. ( ) Las unidades mínimas de todo compuesto iónico, son las molécula. A) FVFV B) VVFF C) FVFF D) VFVF E) FVVV
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Energía de enlace, es aquella energía absorbida o liberada en la ruptura o formación de un enlace respectivamente. II. Los compuestos iónicos: NaCl(s), KCl(s) son muy buenos conductores de la electricidad. III. No todos los compuestos iónicos son solubles en agua. A) VFV B) FVF C) VVV D) FFF E) VFF
14. Un elemento químico de notación Lewis A se une otro elemento B de notación xx
Lewis
, cual es la fórmula mínima del
x
compuesto. A) AB2 B) A2B D) A3B2 E) AB3
10. Respecto a las propiedades generales de los compuestos iónicos, es incorrecto afirmar: A) Son sólidos a temperatura ambiente. B) La mayoría son solubles en el agua. C) Pasan al estado líquido (se funden) a altas temperaturas. D) Al estar disueltos en el agua, conducen la corriente eléctrica. E) En estado sólido son malos conductores de corriente eléctrica, pero al ser fundidos su conductividad se incrementa. 11. Según el siguiente cuadro electronegatividades. H = 2,1 Ca = 1,0 S = 2,5 F=4,0
B xx
x
C) A2B3
15. Cuando el azufre y el oxígeno se unen entre sí para dar lugar al compuesto oxido de azufre (SO), se establece un tipo de enlaces simbolizado : A) S+1 O-1 B) S-2 O+2 C) S+2 O-2 D) S+1O-2 E) Ba+1 S-3 16. Realice la representación Lewis para el ácido fosfórico (H3PO4)? e identifica los tipos de enlace covalente simple: A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7
de
42
17. Indique el número de enlaces simples, en cada uno de los siguientes compuestos : I. NH3 II.H2S III. C2H4 A) 3; 2; 2 B) 5; 2; 3 C) 5; 3; 4 D) 3; 2; 4 E) 3; 4; 2
( ) Todos los electrones de valencia forman enlaces covalentes. A) VFV B) FVF C) VVF D) FVV E) VVV 23. Indique las proposiciones incorrectas: I. HNO3 : Tiene un enlace covalente dativo II. SO3 : Presenta enlace covalente III. NH4Cl: Compuesto iónico IV. O2 : covalente polar A) I B) II C) III D) IV E) II y IV
18. Realice la estructura Lewis del ácido carbónico (H2CO3) e indique lo que presenta: A) Cuatro enlaces múltiples B) Doce pares de electrones enlazantes C) Cinco uniones sigma D) Dos enlaces dobles E) Un enlace dativo. 19. Respecto a la molécula del ácido sulfúrico (H2SO4), indique lo incorrecto. A) Tiene cuatro enlaces covalentes simples. B) Presenta dos enlaces dativos C) Contiene diez pares de electrones libres o no enlazantes. D) Contiene seis tipos de uniones sigma. E) Comparten 12 electrones.
24. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: ( ) Todo enlace covalente es por compartición equitativa de electrones de valencia. () No todos los electrones de valencia de un elemento al formar un enlace covalente es compartido. ( ) Los compuestos covalentes por lo general son malos conductores de la electricidad. A) FFV B) VFV C) VVF D) FVF E) FVV
20. El ácido salicílico tiene propiedades antipiréticas (reduce la fiebre) y analgésicas (alivia el dolor). Si su estructura molecular, es:
25. Indicar verdadero (V) o falso (F) en la siguientes proposiciones: ( ) Los compuestos NaCl, CH4, SO3 poseen enlace covalentes. ( ) En la molécula H2SO4 existen 2 enlaces covalentes dativos. ( ) La glucosa (C6H12O6) posee enlaces covalentes. ( ) El CuSO4. 5 H2O presenta solubilidad en agua A) FVVV B) FVFV C) VFVF D) VVFF E) FVVF
Determine la cantidad total de enlaces sigma y pi respectivamente. A) 17 , 4 B) 16 , 4 C) 18 , 4 D) 15 , 3 E) 17 , 5
26. Respecto a la estructura molecular del pentaóxido de difosforo se puede afirmar que: I. Presenta 2 enlaces múltiples. II. Existen 2 enlaces covalentes coordinados. III. Hay un enlace triple. IV. No cumple la regla del octeto el fosforo . A) I y II B) I y III C) III y IV D) I y IV E) I, II, y IV
21. Realice la estructura de heptóxido de dicloro Cl2O7 e indique la proposición correcta. A) Presenta 9 enlaces sigma. B) presenta enlaces pi. C) Tiene siete enlaces dativos D) contiene 3 enlace múltiple E) Presenta cuarenta electrones no enlazados.
27. De las siguientes proposiciones indicar lo correcto: A) Las sustancias covalentes son quebradizas con puntos de fusión elevado. B) Al formarse un enlace químico se absorbe energía.
22. Respecto al enlace covalente, indique verdadero (V) falso (F): ( ) Es de naturaleza electromagnética. ( ) Generalmente se establece entre átomos no metálicos.
43
C)
El PH3 es un compuesto cuyos enlaces son del tipo covalente apolar. D) Los enlaces covalentes se observan por la interacción de un elemento no metálico y con un elemento metálico. E) El HCN presenta enlace múltiple.
33. Ordene los siguientes, según la secuencia: enlace iónico, covalente polar y metálico. I. Ar II. CH3Cl III. Ag – Ag IV. K2O A) I; II y III B) IV; II y III C) II; III y IV D) IV; III y II E) III; IV y II
28. Indique la proposición incorrecta: A) Es BeCl2 y PCl5, no cumple con la regla del octeto respecto al átomo central. B) Entre Nal y NaF el compuesto iodado posee mayor punto de fusión. C) Los metales son los conductores eléctricos de primer orden: ejemplo la plata. D) Existe más compuestos covalentes que iónicos. E) Los compuestos covalentes son sólidos y líquidos en condiciones ambientales. 29. No es una propiedad de los compuestos covalentes: A) Son aislantes eléctricos B) Sus átomos se une compartiendo electrones. C) Pueden ser polares y apolares D) Son gases solamente E) El agua es un compuesto covalente
34. Indica cuáles de las siguientes moléculas presentan enlaces moleculares pi (π) I.COCl2 II.C2H2 III.O2 A) I, II y III B) Sólo I C) Sólo II D) I y II E) I y III 35. ¿En cuál de las siguientes moléculas existen dos enlaces covalentes y un enlace covalente coordinado respectivamente? A) CH4 B) NH3 C) H3O1+ D) NH 41 E) BCl3 36. Determina el número de enlaces simples en el compuesto de B2H6 A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8 37. Aplicando el método de Smith – Hannay se demostró que el MgO presenta los porcentajes de carácter iónico y covalente respectivamente: A) 55,3% - 46,7% B) 44,7 % - 55,3% C) 55,5 % - 74,7 % D) 55,3% - 44,7% E) 51 % - 49%
30. Un elemento químico A de electronegatividad 2,1 se une a otro elemento químico B de electronegatividad 2,8 y forma la especie química A2B. Luego la sustancia presenta enlace: A) Iónico B) Covalente coordinado C) Metálico D) Covalente apolar E) Covalente polar
SEMANA 7 FUERZAS INTERMOLECULARES Molécula polar Resulta por lo general cuando la estructura molecular es asimétrica y cuando el átomo central (si lo hay) presenta electrones libres, a mayor EN, el enlace se polariza más.
31. La representación: 3 nAl(s) → nAl( s ) + 3ne-
muestra la estructura del aluminio al estado sólido, cuyos átomos están unidos por enlace: A) Covalente coordinado B) Covalente apolar C) Covalente polar D) Iónico E) Metálico
Ejemplo:
H
O
H 32. Marca la secuencia correcta para las principales propiedades de las sustancias con enlace metálico. ( ) Baja conductividad térmica ( ) Alta conductividad eléctrica. ( ) Brillo metálico A) FFF B) VFV C) VVF D) FVV E) VVV
44
+
C
+
H Contiene a la F.I :PH > D.D>FL Se encarga de presentar la mayor de temperatura de ebullición ellos pueden ser los de P.H y los de D.D Los líquidos asociados son aquellos que tienen puente de hidrógeno (lo polar disuelve a lo polar)
Líquidos no miscibles son aquellos que tienen moléculas apolares (bencina, tetracloruro de carbono)
primarias y secundarias mas no las aminas terciarias; las amidas como (NH2-CO-NH2) b)
Molécula apolar (𝛍 = 0) Resulta cuando la estructura molecular es simétrica y/o cuando el átomo central no presenta electrones libres y deben ser iguales los átomos laterales Ejemplo: CC 4
N2
C
NN
C C C
o o
o
+
C
+
Molécula Apolar
c)
ENLACE DIPOLO – DIPOLO O FUERZAS DE KEESOM: Es la fuerza de atracción eléctrica entre las cargas parciales de las moléculas polares (dipolo positivo y dipolo negativo) Moléculas polares μ≠0 El que tenga mayor diferencia de electronegatividades será el mayor momento dipolar HCl>HBr>HI En orden creciente de polaridad es H2O> NH3>HF
ENLACE POR FUERZAS DE LONDON O DISPERSIÓN Con frecuencia se presentan en moléculas apolares.(μ=0) Estas fuerzas son más intensas en moléculas apolares grandes que en las pequeñas, porque se debe a mayor superficie de contacto, esto motiva a una mayor atracción entre las moléculas, por ejemplo la atracción entre el I2 es más intensa que el Br2 y está es más intensa que el F2
momento dipolar es =0; no presenta electrones libres el átomo central; los átomos que le rodean deben ser iguales de lo contrario es molecular polar su enlace puede ser polar o apolar Es simétrico Ej. Gases diatómicos: O2;Cl2; N2,H2,F2 ; gases nobles; hidrocarburos; H2O2; CO2; CCl4; CS2, Br2 Contiene a la Fuerza intermolecular: Fuerza de London o dispersión La fuerza de London son las que permiten licuar los cuerpos (gases)
RESUMEN: Fuerzas intermoleculares : PH > D.D > F.L Enlaces interatómicos : M > I > C PRACTIQUEMOS 1. Indica las moléculas que formarán líquidos asociados I. H2SO4 II. H2O2 III. CH3CHO A) II y III B) I y II C) I, II y III D) I y III E) II
a) ENLACE PUENTE DE HIDRÓGENO (EPH) Esto es una interacción dipolo dipolo particularmente fuerte cuya fuerza está determinada por la atracción coulombica entre el par libre de electrones de un elemento altamente electronegativo (como el flúor, oxígeno y nitrógeno)
2. Señala las especies que entre sus moléculas manifiestan solo fuerzas de London: I. CH3 OH II. H2S III C Cl4 IV NH3 A) III B) I C) IV D) III y IV E) I y III
Se da en moléculas polares. Ej. - El agua líquida forma 4 puentes de hidrógeno intermolecularmente - Las especies orgánicas como ácidos carboxílicos (R-COOH y los alcoholes R – OH forman puentes de hidrógeno) - Los compuestos NH3, HF, H2O: son los más altos en cuanto infiere a los puntos de ebullición, siguiendo el orden es creciente es : HF< NH3,< H2O Se encuentran aquí también las aminas (CH3-NH2) tener en cuenta que lo conformaran las aminas
3. Señala la molécula que no es polar A)NF3 B)AsH3 C)NO2 D)H2O E) Si H4 4. Indica que compuesto no presenta fuerzas de puentes de hidrógeno A) H2SO4 B) H2O C) C6H5OH D) CO(NH3)2 E) CH3OH(l)
45
5. Indica el compuesto cuya molécula resulta ser apolar A) CH3OH B) HCl C) K20 D) CF4 E) NH3
II. Son más fuertes que el enlace covalente. III. Son de naturaleza eléctrica. A)II y III B)solo III C)I y II D)I y III E)solo I
6. Indica aquella sustancia que presenta entre sus moléculas fuerzas de Keesom. A) CCI4 B) CH3-CH3 C) C6H6 D)He E) NF3
12. ¿En qué sustancias las moléculas se unen solo por fuerzas de London? I. Br2 II. HCI III. CH4 A) I y III B) solo I C) I, II y III D) I y II E) solo III
7. Señala cuál de las siguientes moléculas posee momento dipolar mayor a cero y contiene enlaces apolares. A) CCl4 B) NH3 D) Cl2 C) CH3Cl E) O3
13. ¿En qué sustancias las moléculas se unen por puentes de hidrógeno? I. NH3 II. CH3F III. H2O2 A) I y II B) I y III C)solo I D)I, II y III E)solo III
8. Al enfriar el nitrógeno (N2) a menos de 63 K, el elemento se cristaliza. Las fuerzas intermoleculares de atracción responsables de mantener las moléculas en sus sitios de red se denominan A) enlaces simples. D) puentes de hidrógeno. B) fuerzas dipo-dipolo. E) enlaces triples. C) fuerzas de dispersión.
14. ¿Qué tipo de interacción se rompe en la evaporación del sulfuro de carbono? A) fuerzas dipolo-dipolo B) puentes de hidrógeno C) fuerzas dipolo-dipolo inducido D) enlace covalente E) fuerzas de dispersión de London 15. Respecto a las fuerzas de dispersión de London, indique las proposiciones que son correctas. I. Se establece entre moléculas con dipolos permanentes. II. Se producen entre moléculas con dipolos temporales. III. Su intensidad se incrementa al aumentar el número de electrones en una molécula. A) II y III B) solo III C) I y II D) I y III E) solo II
9. El bromo líquido (Br2) y el ICl tiene casi los mismos pesos moleculares; a pesar de ello, este último hierve a una temperatura 38 °C mayor que la del bromo. Esto se debe a que A) la longitud de enlace de la molécula de Br2 es mayor que en el ICl. B) el ICl es un compuesto iónico y el Br2 es molecular. C) las fuerzas de dispersión en el ICl son más intensas que en el Br2. D) el enlace Br-Br es más fuerte que el enlace E) El ICl es una molecular polar y el Br2 es apolar.
16. Indique la alternativa que contiene la secuencia correcta después de determinar si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. Las fuerzas puente de hidrógeno ejercen efectos notorios sobre las propiedades del NH3, HF y H2O. II. Debido al puente de hidrógeno, el agua tiene alta temperatura de ebullición. III. Cada molécula de agua en estado líquido es capaz de formar 4 enlaces puentes de hidrógeno. A) FVV B) FFV C) FFF D)VVV E) VVF
10. En relación a las fuerzas intermoleculares, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Las moléculas no polares solo experimentan atracción dipolo-dipolo. II. Las moléculas más polarizables tienen fuerzas de dispersión más intensas. III. Las de puente de hidrógeno suelen ser el tipo más intenso de fuerza intermolecular. A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF
17. El metanol, es un líquido miscible con el agua. ¿Qué razones justifican este hecho? I. Formación del enlace covalente entre ambas sustancias. II. Interacción por fuerzas de London. III. Interacción por puentes de hidrógeno.
11. Respecto a las fuerzas intermoleculares, indique las proposiciones que son correctas. I. Están relacionadas con las propiedades físicas de las sustancias moleculares.
46
A) II y III D) I y II
B) solo II E) solo I
C) solo III
C) El proceso ocurre con emisión de calor. D) El volumen del agua disminuye. E) Se rompen los enlaces hidrógeno-oxigeno del agua.
18. Indique la alternativa que contiene la secuencia correcta después de determinar si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. Las fuerzas intermoleculares en el Br2 son más intensas que en el Cl2. II. Las fuerzas dipolo-dipolo en el HCI son más débiles que en el HBr. III. El HI tiene mayor temperatura de ebullición que el HCI. A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) VVF
22. La glicerina, es un líquido de sabor dulce. Esta sustancia se emplea en la elaboración de jabones, pastas dentales, nitroglicerina, etc. ¿Qué proposiciones son incorrectas respecto a la glicerina?
19. Indique la alternativa que contiene la secuencia correcta después de determinar si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. Las fuerzas intermoleculares solo se establecen entre moléculas de una misma sustancia. II. Las moléculas con mayor grado de polarizabilidad presentan mayor intensidad de las fuerzas de dispersión. III. Al incrementar la temperatura, las fuerzas dipolo-dipolo se debilitan. A) VVF B) FVV C) VFF D) FVF E) VFV
I. Puede disolverse en solventes polares como el agua. II. Hierve a menor temperatura que el etanol III. Las moléculas se unen principalmente por fuerzas de London. A) I, II y III B)I y II C) II y III } D)solo I E) I y III 23. ¿Cuál de las siguientes moléculas posee un momento dipolar resultante mayor que cero? A)BH3 B) C5H12 C) AlCI3 D) NCI3 E) Br2 24. Respecto a las moléculas del NH3 y NF3, indica la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. El momento dipolar resultante en ambas moléculas es diferente de cero. II. La molécula más polar es el NF3. III. El NH3 posee mayor solubilidad en el agua. A) FVF B) FVV C) VFF D) VVV E) VFV
20. Respecto a los siguientes compuestos, indica las proposiciones correctas. CH3-CH2-CH2-CH2-CH3 pentano. I. En cada sustancia, las moléculas se unen por fuerzas de dispersión. II. El pentano tiene mayor temperatura de ebullición que el isopentano. III. El neopentano se evapora con mayor facilidad que el pentano. A)I, II y III B)I y II C)II y III D)solo I E) I y III
25. Indica la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las fuerzas intermoleculares. I. Son más intensas que los enlaces interatómicos, II. Justifican las propiedades físicas de toda la materia condensada. III. Se pueden presentar en las especies químicas CH3OH, KOH y H2O A) VVV B) FVV C) FFF D) FVF E) VVF
21. ¿Qué proposición es correcta respecto a la fusión del hielo común? A) Se rompen principalmente las fuerzas de London. B) La masa del agua disminuye.
47
SEMANA 05 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Reducir un ángulo al primer cuadrante consiste en relacionar a las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud con las razones trigonométricas de un ángulo agudo (ángulo del primer cuadrante), obteniéndose una equivalencia. RECORDAR
05).Calcular el valor de: P Sen805
A) 2 06).Reducir:
D) Tg(-20) 2K
(4K–1) 2
A) -2 D) 2
tg 99 x .cos 37 x .sec(90 x) 2 F ctg 91 x .sen 40 x 2 C) – tgx
D) -1
C) Tg20
E) Ctg(-70)
B) -1 E) 0
C) 1
3 13 3 Sec x Cos x Tan x 2 2 2 T 5 Sen x Ctg x Cscx 4 2 2
A) Ctgx Tanx D) –Ctgx
3 Tg .Tg Ctg Ctg 2 2 E 3 Ctg .Ctg Tg .Tg 2 2
C) 1
B) Tg(-70)
08).Simplificar:
02). Simplifica:
B) 0
E) -1
7 5 2 Sen Sec Cos 6 3 3 3 5 7 Tg Sec Csc 4 4 4
PROBLEMAS PROPUESTOS 01). simplificar:
A) -2
D) -2
07).Calcular el valor de:
K Z
B) – secx E) – cosx
C) 0
Vers880º Vers1420 º Cov 1100º Cov 920º
A) Ctg20 (4K+1) 2
(2K–1)
A) – senx D) – ctgx
B) 1
Cos 317 Tg 625 6 3 4
B) –Tanx
C)
E) -1
09).Calcular el valor de la siguiente expresión: 245 163 77 M Sen Cos Tg 6 4 3 A) 6 / 2 B) 6 / 3 C)
E) 2
6 /4
D) 6 / 5
03). Si a y b son ángulos complementarios, simplificar la expresión: Sen 6a 7b.Tg 13b 14a M Cos 4b 5a.Tg 10a 11b A) -2
B) -1
C) 2
D) 0
E) 6 / 6
10).Calcular un valor de q si: 2 3 4 5 tan tan tan c os q tan 7 7 7 7
E) 1
A) 3
B)
D)
E)
2 0
3
C)
2
04). Calcular el valor de:
C 3Sec 45º Csc330ºCos240ºSen150º A) -2 6 D) 2 6
B) 3 3 2 1
11).Si: Sen q Cos1340º , hallar el valor de q positivo en el IVQ y menor que 360º. A) 330º B) 350º C) 320º D) 310º E) 280º
C) 6 2
E) 6 2
48
19). Reducir: F=tg 2A+B .ctg A C donde A y B son los ángulos de un triángulo. A) 1 B) 1 C) 1 D) tg2B E) Ctg2B
12).Reduzca al tercer cuadrante: tan 2480º A) tan 220º B) tan 240º C) tan 200º D) tan 240º E) tan 220º
2
57 2 tan 57 q 3 cot q 2 13).Reduzca: G 79 4sen 82 q 5 cos q 2
A) 5 sec q
B) 1 sec q C) 5 sec q
D) csc q
E)
9
1
1 4 1 2 cos 2 2 = cos sen 3 <<2 20).Si: 2
9 2 csc q 9
Calcule el valor de: F=16 ctg-cos
π 4
14).Si: =
A)
D) 54 21).SI:
Calcular:
Csc( 73 )Ctg ( 65 )Ctg ( 417 ) 2 2 2 H Cos( 35 ) Sen( 27 ) tan( 111 ) 2 2 2 A) -2 2 B) 2 2 C) -4 2 D) -8 2 E) - 2
Calcular: A) 2 D)
sen( 2b) cos(2 b) 1 cos( 2b) cos( 2b 90º ) 1
A) – 1
B) –
1 2
C) 0
D)
1 2
E) 1
f f 1 3 3 2
E)
3 2
23
C) 5 3 2
sen(A B C) cosD sec(A B C)
A) – 2
tan(A B).cot(C D)
B) – 1
C) 0
D) 1
6 2 4
E) 2
C)
6 2
17).Sí; Cos10° = n Hallar en términos de "n": F=
Rango de valores del seno:
| Cos170 | Cos350 Sen260 Sen90 Cos640 | Sen2150 |
A) -
1 n2 n
B)
D)
3 1 n2 2n
E)
1 n2 n
C)
2 1 n2 3n
2 1 n2 3
18).Si tanx + cot y = 2; x + y = . Hallar: Cotx A) 2 B) 1 2 C) - 1 2 1 2 2 1 D) E) 2
E) 2
A. LÍNEA SENO: El seno de un arco se representa en la C.T. mediante la ordenada trazada por su extremo.
6 2 D)
tanD
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
6 2 4
B)
7
27 7
B)
32 3
E
6 2 q 4 15 13 q Halle: F csc 30 6 2
E)
C) 61
7
22).Sean A, B, C y D los ángulos interiores de un cuadrilátero, entonces reduzca la siguiente expresión:
16).Si cos
A)
7
B) 67
f(q) Cos(3q) 1 Sen2(2q) Cos2q
15).Si + b =, simplifique:
F
73 7
1 senq 1
Máx (sen q ) = 1 Mín (sen q ) = –1
2
49
B.LÍNEA COSENO: El coseno de un arco se representa en la C.T. mediante la abscisa trazada por su extremo.
complementos), luego se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco hasta que corte al eje en un punto: la abscisa de este punto de intersección será la cotangente del arco.
Rango de valores del coseno:
Rango de valores de la cotangente:
cot q Lo cual implica que: cot q R
1 cos q 1
E.LÍNEA SECANTE: La secante de un arco se representa en la C.T. mediante la abscisa del punto que se determina al intersectar la recta tangente trazada a la C.T. por el extremo del arco y el eje de abscisas.
Máx (cos q ) = 1 Mín (cos q ) = –1 C.LÍNEA TANGENTE: Para representar la tangente de un arco en la C.T. trazamos primero el eje de tangentes (recta tangente a la C.T. trazada por el origen de arcos), luego se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco hasta que corte el eje en un punto: la ordenada de este punto de intersección nos representará la tangente de arco.
Observación: sec q 0 q IC o IVC Si Rango sec q 0 q IIC o IIIC de valores de la secante:
Rango de valores de la tangente
tanq
Lo cual implica que: tan q R Sugerencias Importantes
1 senx 1 0 sen2 x 1 Si 1 cos x 1 0 cos 2 x 1 2 tan x 0 tan x
sec q 1 sec q 1
Máx (sec q ) =1 Mín (sec q ) = -1 F. LÍNEA COSECANTE:
D.
La cosecante de un arco se representa en la C.T. mediante la ordenada del punto al que se determina al intersecar la recta tangente a la C.T.
LÍNEA COTANGENTE:
Para representar la cotangente de un arco en la C.T. trazamos primero el eje de cotangentes (recta tangente a la C.T. trazada por el origen de
50
D) 1 ;2 3
trazada por el extremo del arco y el eje de ordenadas.
E) 2; 1 3
05).Determine para que valores de a la siguiente igualdad se verifica. tan2 2b 5a 4 5
csc q 0 q IC o IIC Si csc q 0 q IIIC o IVC
C) 0;
B) 5 ; 4 E) 0; 4 5
A) 0; 4 5 4 D) ; 5
06).Si IIC; determine la variación de b que verifica la igualdad tan 2b 1
Rango de valores de la cosecante:
4
A) 1 ;
B)
2
C) ; 1
1 ; 2
2
E) ; 1
D) ; 1
2
2
07).Si los puntos: A 1 ; a y B 2 ; b 4
Mín (csc q ) = 1
PROBLEMAS 01).Afirmar si es (V) o (F) ( ) El seno en el IIC, decrece entre (0) y (-1) ( ) El coseno en el IIIC, crece entre (-1) y (0) ( ) La tangente en el IIC crece A) FFF B) FVF C) VFV D) FVV E) VVV
A) 1 / 3 D) 1
3m 1 sen q 10 5 B) 1 E) 2
o
2;
1 3
C) 25 28 28
A) 4 ; 1
B) ; 0
D) ; 1
E) ; 4
3
C) 1 ;0 3
3
09).Determine la variación de la expresión: 9sen 2 24sen 7 ; ; 9 2 2
C) 0
A) 7 ; 6 9 9 D) 1; 40 9
C) 1 ;0 2
B) 1 ; 1 9 9
C) 8 ; 40 9 9
E) 1;1
10).Si es un arco que pertenece al segundo cuadrante, además, es positivo y menor a 1 2 , determine la variación de sen 2 .
A) 3 ; 3
4 2 D) 3 ; 3 4 2
Determine la variación de X. B)
28 5 35 E) 28
3
7
2
25 D) 7 35 35
3
04).Si b IV y cos b 1 3x A) 1 ;2
B) 3 35
el valor de x.
4
B) 5 ; 1 4 2 E) 1 ; 5 2 4
A) 7 35
6 2
03).Si q IIIC , calcule el intervalo de variación de la siguiente expresión. 3.senq 2 A) 5 ; 1 4 2 D) 1 ;0 2
08).Si x.senq x senq 1 y q ; , determine
02).Determine el máximo valor de m en la siguiente igualdad.
5
Pertenecen a la circunferencia trigonométrica y están ubicados en el IIC y IVC, respectivamente, determine el valor de a.b1
csc q 1 csc q 1
Máx (csc q ) =-1
C) 1 ;2 3
51
B) 3 ; 3 4 2 E) 3 ; 3 4 2
6
C) 3 ; 3 4 2
2
11).Determine el máximo valor que toma la
17).Determine la variación aproximada de la expresión: 2 1 3 37 tan q ;q ; 2 4 4 180
5 3 2.sen2q 1;q ; 12 4
expresión. A) 1
2 2
B)
4 D) 1
C)
3 2
4 16
E) 2
A) 1 D) 4
B) 2 E) 0
C) 3
A) 1; 3
B) 5
C) 3
D) 1
2
2
2
2
B
E) 3 2
; , determine el intervalo de 6 3
A’
cosq . 3 3 1 ; 2 2
D) 1 ;0 2
3 ;1 2
2
1 ;1 2
B)
C)
A) 1/6cos q D) 1/3cos q
E) 0;1
desigualdad. A) 7 11
2
;
12 12 D) 2 ; 5 3 6
3
12
A)]1; 5[ D) [-1; 5]
12
3
4
A) 1;1 D) ;1
C) 2/3cos q
B) [1; 5] E) [1; 5]-{2}
C) [-1; 5]
A 3sen 3x 4 cos2 y 5sen 4 z;(x y z) ;0 ; determine los valores que
A) 1 D) 13
puede asumir a para que se cumpla la igualdad
a . a 1
B) 1/5cos q E) 1/2cos q
21).Hallar la diferencia entre el máximo y mínimo valor de:
E) 2 ;
B’
x2 5x 6 cos q 2(x 2)
C) 5 ; 11 6
2
20).Indicar el intervalo de «x» a partir de:
Para que cumpla con la
B) 2 ; 11
;
q
A
x+y=1
3 ;1 2
1 3 , determine los valores 15).Si cos 2 2 2
tan q
C) 0;1
A) 1 ;0 2
16).Sí
4 E) 1 ;1 2
19).Calcular el área de la región sombreada:
A) 7
que toma
B) 0; 3
2 D) 0; 1 2
cos 2 q 3 5 ;q ; 2 4 4
variación del
4
16
1 2 sen 2 . tan q ;q ; 4 4 3
1 cos q 2 cos q
13).Calcule la suma del máximo y mínimo valor que toma la expresión.
14).Si q
E) 0; 3
C) 0;1 D) 0; 37
18).Determine la variación de la expresión:
12).Determine el número de valores enteros que puede asumir la expresión:
B) 1 ; 3 4 4
A) 3 ; 37
B) R 1
22).Si:
C) 0;
B) 3 E) 15
5 11 q 6 6
Indicar la variación de: 4senq A) [1; 7] B)]-1; 7[ D) [1; 7[ E) [-1; 7[
E) 1 ;0 2
52
C) 10
5 C) [-7;-1]
24).Si:
3 q 6 4
29).Sabiendo que:
indicar la variación de:
M cos 2q cos 2q B) 3 ;0
D) 3 ;0
E) 0; 3
4
A) 1; + D) R+ – {1}
C) 0; 3
4
4
, indique el conjunto de valores
2 1 de: E 2 tan 3 sen x 1 A) -1; 0] B) [1; 2 D) [0; 1 E) 0; 1]
23).Calcular el área de la región sombreada: B C.T.
A’
3 tan x 6
f
B) [1; + C) R+ – {2 E) [0; 1 [3; +
5 3 x 6 2
30).Si:
4
determine el
conjunto de valores de f, siendo:
2
A) 0; 3 4
x 6 3
C) 0; 2]
31).De la gráfica mostrada, hallar las coordenadas del punto “R” en términos de .
A
y P
B’
A) 1 sen cos 1 2 1 C) sen cos 1 2 1 E) 1 sen cos 2
B) 1 sen cos 1 2 1 D) sen cos 1 2
x
3
B) 1;
D) ;1
E) 0;
3
C) ; 1
32).Del gráfico, hallar las coordenadas del baricentro del triángulo PQR y A) (cos – 1; sen + 1) 2 2 Q .x +y =9 B) cos 1; sen 1
3 26).Si: 2 x 1 x 2 x 3 4 Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada una de las siguientes proposiciones:
E)
cos x 1 cos x 2 cos x 3 cos 2 x 1 cos 2 x 2 cos 2 x 3 B) VVV E) FVV
3
3
C) (sen ; cos ) D) sen 1; cos 1
sen x 1 sen x 2 sen x 3
A) VFV D) FFF
C.T.
B) (1 – senq; –s enq) D) (1 + senq; cosq)
A) (1 + senq; senq) C) (1 – cosq; cosq) E) (1 + cosq; cosq)
25).Determine la variación de: 2 ctg 2 cos A) 1;
R
Q
3
3
R x
sen 3 1; cos 3 1
P
33).De la figura, expresar el área de la región sombreada en términos de “”.
C) FFV
y
27).Si x R, hallar el máximo valor de A y el mínimo valor de B que cumplen:
x
2
A 2sen x sen x 1 B A) –2; 1 D) –3/4; 2
B) –3/8; 1 E) –2/3; 3
2
C) –9/8; 2 A) C)
28).Hallar la suma del máximo y mínimo valor de: f(x) = sen x cov x A) 8/3 B) 1/4 C) –2 D) –7/4 E) 5/2
E)
53
1 (sen+cos+1) 8 1 (sen2+cos2+1) 8 1 (cos–sen–1) 4
2
.x +y =1 4
B) D)
1 (cos–sen+1) 4 1 (cos2–sen2+1) 8
34).Determinar la variación de “x”, si:
directa de operaciones algebraicas elementales; dentro de estas
2 q 4 3 Además:
4
2
2
Sen6 x Cos6 x 1 – 3Sen2 x.Cos2 x Tanx Cot x Sec x.Csc x
2
( x 1) cos q 3 2 x , x 1 A)
3 5 3 ; 2
B)
D)
5 2 ; 3
E)
5 ;4 4
5 3 ; 3 4
C)
Sec2 x Csc2 x Sec2 x.Csc2 x
1 ;3 3
Sen4 x – Cos 4 x Sen2 x – Cos 2 x Sec 4 x – Tan4 x Sec2 x Tan2 x Csc 4 x – Cot 4 x Csc2 x Cot 2 x
SEMANA 06 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Es una igualdad establecida entre expresiones que involucran razones trigonométricas de una o más variables, las cuales se verifican para todo valor admisible de dichas variables. La igualdad: Sen2 x Cos2 x 1 , se verifica para cualquier valor real que le asignemos a la variable x; por consiguiente:
4
tenemos: Sen x Cos x 1 – 2Sen x Cos x
Sen2 x Cos 2 x 1
Sen x Cos x 2 1 2Sen x Cos x 1 Senx Cos x 2 2 1 Senx 1 Cos x De:Sen2x 1–Cos2x 1 Cos x 1–Cos x Sen x 1 Cos x Sen x 1 – Cos x 1 – Cos x Sen x 1 Cos x Sen x
es una
identidad . CLASIFICACIÓN DE LAS IDENTIDADES 1. Identidades pitagóricas: 2
De:Cos2x=1– Sen2x= 1+Senx 1– Senx Cos x 1 Sen x Cos x 1 – Sen x 1 – Sen x Cos x 1 Sen x Cos x
2
Sen x Cos x 1 1 Tan2 x Sec 2 x
Si:a Sen x b Cos x a2 b2
1 Cot 2 x Csc 2 x
Sen x
2. Identidades recíprocas:
Sen x Csc x 1
Tan x.Cot x 1 3. Identidades de división:
Sen x Cos x
Cot x
Cos x Senx
a2 b2
Cos x
b a2 b2
PROBLEMAS PROPUESTOS 01).Si: 3.Senx + 4.Cosx = 5. Calcular el valor de: E=Tgx + 1/4 A) 2 B) 3 C)1 D) -1/2 E) N.A
Cos x.Sec x 1
Tan x
a
02).Reduzca la siguiente expresión:
M = sec2 tan 2 sec4 tan 4 tan8
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES Aparte de las identidades trigonométricas fundamentales, hay aquellas igualdades que aparecen frecuentemente en la resolución de problemas y su conocimiento sería de mucha utilidad para facilitar la resolución de estos problemas; estas igualdades son de simple verificación y en muchos casos son consecuencia
A) cos
B) cos6
D) sec8
E) csc8
03).Hallar E sabiendo:
E A) 2 D) 8
54
C) sec2
Sen 2 x Senx 1
Cos 2 x Cos 4 x 7 Cos 4 x Sen 2 x 2 B) 4 E) 8/3
C)0
11).Simplifique la siguiente expresión:
04).Si la siguiente identidad es idéntica, C calcule: A B .
1 2sec2 q .tan 2 q tan 4 q sec q 1 2 csc2 q .ctg 2q ctg 4q 4
1 cos 4 x 1 sen8 x Asen4 x Bsen2 x C 2 2 2 sen x cos x 1 sen x A) 2 D) 4
C) 3
B) 2 E) 8
C) 1 2 tan 2 q
A) 1 2ctg 2q
B) 2 ctg 2q
D) 2ctg 2q
E) 2 tan 2 q
12).Determine el equivalente de la siguiente 05).Hallar p + q si:
expresión si:
Senx.Cosx pSenx qCosx c Senx Cosx 1 A) 1/2 D) 0
B) 1 E) N.A
2 1 sec x tan x 2 1 C) sec x tan x 1 2 E) 2 1 sec x tan x
x cos2 x 2 B) 2 E) 4
07).Si: Csc x = k Ctgx sabiendo que:
C) 3
determinar el valor de K
B) 1 E) 3
K A) 2 D) 2 cos x
C)2
08).Si:
Tg 2 x
K Tg x K C tg 2 x
1 17 2 2 17 D) 2 A)
C) Csc2x
09).Si: tan x senx
1 Calcule: A senx.cos x B)
2 1
E)
2 1 4
2 1 4
C)
10).Si se cumple que:
K sec x 1 sec x 1;0
2
,
1 cos x 1 cos x 3 ,
C)
2 sec x
2 B) K 2 E) 2 K
1 17 2 3 17 E) 2
B)
C)
2 17 2
15).Si:
sec x tan x n
Hallar:
P csc x ctgx
A)
n 1 n 1
D)
n2 5
n2 1 n 1 n2 3 E) n 1 B)
C)
n 1 n2 1
16).Calcular “n” para que la siguiente expresión, sea independiente de x.
Calcule el valor de: W sec x tan x
K 2 1 A) 2 K2 D) 2
2 sec x tan x 1 2
senx sen3 x=cos4 x, x IIC Calcule: A senx csc x
Entonces la expresión para K es: A) 1-Tg2x B) Tg2x - 1 2 D) Sec x E) 1-Ctg2x
1 2 1 D) 4
D)
14).Si:
4
A)
B) 2 1 sec x tan x
13).Simplificar la siguiente expresión:
C tg x Cscx 1 2(C tg x Cscx).Cosx C tg x Cscx 1
A) -1 D) -2
A)
2
4
2
1 cos x 1 senx cos x 1 senx 1 senx cos x
C) -1
06).Si: se n x senx 1 Calcule: R cos A) 1 D) 5
B csc6 x ctg 6 x n sec x cos x
K C) 2
A) 2 D) 3
55
B) 3 E) 4
2
C) 2
17).Obtener el valor de:
1+tanx+secx E=
1 tan x sec x sec x 1 sec x
A)
1
B)
D)
8
E)
2
2 1 2
23).Calcule el máximo valor de la siguiente expresión:
2
M 1 sen4 x cos4 x 2 sen6 x cos6 x
A) 2 D) 8
4
C)
A)
1 cos x 1 senx cos x 1 senx 1 senx cos x
2 1 sec x tan x 2
A)
B) 2 1 sec x tan x
1 sec x tan x 1 2 E) 2 1 sec x tan x C)
D)
D)
2 sec x tan x 1 2
sec4 csc4 2sec2 2csc2 2 E)
D) 1- 2 20).Si: x
B)
2cov x C) versx
2 cos x versx
2versx 2versx E) 2 cov x cosx
C) 2
B) - 2
2
2 cos x 2versx
ARCOS COMPUESTOS 01. LA SUMA DE DOS ÁNGULOS Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles de sus variables y son las siguientes:
19).Hallar ctg tan el valor de si se cumple que: A)
C) 6
24).Expresar en función de verso y coverso la siguiente expresión: 1 senx cos x 1 senx cos x , x 0; K 2 1 senx cos x 1 cos x
18).Si: x IIC Calcule la siguiente expresión:
P
B) 4 E) 10
6 2
5 5 , 6 4
2 tan x senx tan 2 x sec x 1 B) cosx C) 2senx cos x E) cos x
Reducir: S senx 1 A) senx D) -senx
x IIIC 11senx 60cos x 61 M csc x ctgx
21).Dada la condición: Calcule: A) 1
1 D) 11
B) -1 11 E) 60
02. DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles de sus variables y son las siguientes:
C) 0
22).Dada la desigualdad: 3
1 ;2 8
56
02).Determine el conjunto de valores:
03. IDENTIDADES AUXILIARES
Sen(x y) Tanx Tany CosxCosy
A
Sen(x y)Sen(x y) Sen2x Sen2y
sen x cos x 1 tan x 1 cot x
Sen(x y)Sen(x y) Cos 2y Cos 2x
A) x - 2 ; 2 -{0; 1} C) x - 2 ; 2 E) x [- 2 ; 2 ] - {1; -1}
Cos(x y)Cos(x y) Cos2 x Sen2y
03).Si
B) x- 2 ; 2 -{-1; 1} D) x [- 2 ; 2 ]
tg (45º – a) = 3 ; tg (45º + b) = 13 ,
Tan(x y) Tanx Tany Tanx.Tany.Tan(x y)
9
4
Halle tg (2a + b).
Importante:
1 3 1 D) 5
1 4 1 E) 2
A) –
f(x) aSenx bCosx a2 b2 f(x) a2 b2
B) –
C)
2 11
04).Halle el equivalente de: F 2 en términos de “a”, siendo:
F= 3 cos 28 sen28 1 tg 32º a Además: 1 tg 32º
03. PROPIEDADES PARA TRES ÁNGULOS Estas propiedades se cumplen siempre que los tres ángulos estén relacionados bajo una condición:
a2 1 A) 2a
Siendo; x y z ó K, K Z
D)
Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz
2(a 2 1) (a 1)
M
ó (2K 1) ; K Z Siendo; x y z 2
Cotx Coty Cotz CotxCotyCotz
A)
2 3 5
TanxTany TanxTanz TanyTanz 1
D)
3 3
Observación:
3 n cosx= , 2 2
A) n 2 D) n
B) n
(1 cot 69º )(1 cot 66º ) cot80º cot 40º 3 cot80º cot 40º B) E)
5 3 3
C)
2 3 7
2 3 3
5
, hallar la
suma de los valores que toma “a” A) 2 B) 3 C) -2 D) 1 E) -3
PROBLEMAS PROPUESTOS
a 1 E) a 1
E 2sen(x 45º ) a cosx es:
Tan ±Tanβ ±TanTanβ=1
Calcule: sen x+60o -senx+
(a 1)
06).Si el mínimo valor de la expresión:
π Si: ± β = 45° = , se cumple: 4
01).Si: cos x 30o +
2
a 1
C) a 1
2
05).Halle el valor de:
CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1
2
B) 1/2
a2 1
07).Si:
S 3senq 4sen(q 60º )
3 cos x 2
Calcule la suma de valores enteros que puede tomar “S” A) 18 B) 20 C) 21 D) 19 E) 22
C) n 2
E) n+1
57
08).Determine el conjunto de valores de “E” Siendo:
E 3sen2 cos 2 ;
senB qsenAsenC ..................(1)
3 ; 2 4
B) 2 : 1 E) [-2; -1
A) 2;2 D) 3 1 ; 1
15).Si A, B y C son los ángulos de un triángulo y se cumple que:
C)
cosB p cosA cosC................(2) Determine tg B en términos de “p” y “q”
2 : 1
09).Si: tgq = 2tg; además: IIIC, halle el 2 máximo valor de: tg (q )
A)
1 3
B)
2 3
1 5
C)
D)
1 8
E
A) Tg65º D) tg20º
E)
q (p 1) p
E)
q 1 p
30 2
3sen5º 4 cos 5º 5 cos 58º 35 2 cos13º cos 5º B) 40 C) 50 D) 70 E) 50 2
Halle: tg (40º +) tg En términos de “K” A) 1 K B) K D)
E) tan a
Halle: ctg2b A) 1 2p B)
E cos(x y) cos(y z) cos(z x)
a 2 b2 1 2
E)
a 2 b2 2 2
C)
1 P
1+ P
D)
1 + 2p
E) p
19).Si: tg = sen2 Ctg b = sec2 + tg2
Halle en términos de “a” y “b” el equivalente de:
B)
K 1+ K
tg2 ( +b) [1 + ptg2b] = p + tg2b
2
a 2 b2 1 2
C)
1 K E) 12+KK
K K +1 K
18).Si se cumple: tg( 2b) 1 2p
C) tan2b
a 2 b2 3 A) 2
p q
Sen 50º – cos sen (50º –) = Ksen (50º – 2)
C) tg5º
B) 0
C)
17).Dada la igualdad:
12).Si: senx + seny + senz = a cosx + cosy + cosz = b
D)
D)
A)
Y sen(a b) sec2 asen(a b) sec2 b tg 2 b 2 2 D) tg a tg b
p 1 q
R
11).Obtenga el equivalente de:
A) tana + tanb
B)
16).Hallar el valor de:
sen x y cos x y sen x y cos x y
B) tg10º E) tg40º
q p
1 7
10).Si: tgx + tgy + tgx tgy = tg55º Determine el equivalente de la siguiente expresión:
A)
Calcule: sec ( +b); si y b ángulos agudos. A) 3 B) 5 C) 2 D) 2 E) 7
a 2 b2 3 C) 2
20).Calcule el valor de: M cos2 20º cos2 50º cos2 110º2 cos 20º. cos50º. cos110º
13).Sabiendo que: sen4x tg 4x 7 cos3x cos x ctg3xctgx Además: tg(x + y) = 2 Halle: tg (y-3x) A) 1 B) 15
D)
1 3
E)
B) –1 C) 1
A) 0
21).Calcule el valor de:
L
1 3
E) –2
D) 2
C)
1 5
A) D)
1 15
3 /5 5 /4
(sen2 70º sen2 40º ) 2 (sen2 80º sen2 50) 2 sen20º B) E)
2 /8
C)
3 /8
7 /8
22).Halle l valor de “A – B” si:
14).En un triángulo ABC. Calcule tgB, si se cumple: (1+ tgA)(1+ ctgC) = 2tgA A) 1/3 B) 1 C) 1/5 D) 4/5 E) 2/3
A) D)
58
3
2 /3
A = cos24ºcos6º (cos215º+sen29º) B = sen24ºsen6º (sen215º+sen29º) B) 3 / 2 C) 3 / 4 E) 5 / 4
23).Sabiendo que:
senx seny sen( x y) a b c
x = + 2
1 - Cosx 2
x lR
x Cos 2 = + -
1 + Cosx 2
x lR
x Tan 2 = + -
1 - Cosx 1 + Cosx
x lR - {(2n + 1)}; n Z
x Cot 2 = + -
1 + Cosx 1 - Cosx
x lR - {2n}; n Z
Sen
Halle: tg x ctg y A) D)
a 2 + b2 + c2 a
2
2
b +c
B)
2
a 2 c2 b2
E)
a 2 b2 c2 a b c 2
2
2
C)
a 2 b2 c2 c2 a 2 b2
a 2 b2 c2 a 2 b2
24).Si se cumple: sen( x y)
sen x sen y sen z
0
1
cos x cos y cos z sen( y z) 1 0 1 1 1 sen(z x ) 1 1
Halle: A) 1
F
senx cos z senz cos y seny cos x
Observación: El signo que aparece en los radicales depende del cuadrante en el cual se ubique el ángulo
D) –1
mitad y del operador que lo afecte; así por
B) 2
C) 3
x 2
E) –2
SEMANA 07 ÁNGULOS MULTIPLES I.IDENTIDADES FUNDAMENTALES
ejemplo:
x x IIC Sen será () 2 2
Si:
x 2
x 2
Si: IIIC Cos será ()
x x IVC Tan será () 2 2
Si:
II. IDENTIDADES AUXILIARES II. IDENTIDADES AUXILIARES 2Sen2x 1 Cos2x
Cotx Tanx 2Csc2x III.
TANGENTES
1
+
–
x 1 + Cosx = Cscx + Cotx = 2 Senx
π
2Sen
2n
2Tanx Sen2x = 2 1 + Tan x
x
–
2Tanx
2Cos
π 2n
= 2–
2x
1 - Tan x 2 1 + Tan x
2+
2 +...+ 2
n –1 radicales
= 2+
2
Cos2x =
2+
2 +...+ 2
n –1 radicales
IV. FÓRMULA RACIONALIZADA DEL ÁNGULO MITAD
2
1 - Tan x
Otras identidades auxiliares: 3 1 4 4 – Sen x+Cos x= + Cos4x 4 4
x 2
A. Tan Cscx – Cotx x 2
B. Cot Cscx Cotx
5 3 – Sen x+Cos x= + Cos4x 8 8 6
Cot
Otras identidades Auxiliares:
ÁNGULO DOBLE EN FUNCIÓN DE
2
x 1 - Cosx = Cscx - Cotx = 2 Senx
2Cos2x 1 Cos2x
Cotx Tanx 2Cot2x
n Ta
Tan
6
V. IDENTIDADES AUXILIARES Sabemos:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO MITAD
•
59
Cscx Cotx Cot
x ..... I 2
x 2
• Cscx – Cotx Tan ..... II
03).Simplificar: E Tg
I II
2Cscx Cot
x x T an 2 2
I – II
2Cotx Cot
x x – T an 2 2
x 2 D) Ctgx A) Tg
B) Ctg
A) –Tg q D) 3Tg q
ÁNGULOS TRIPLES
Sen3x 3Senx – 4Sen3 x Sen3x Senx 2Cos2x 1 Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x
Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x Tan3x
II.
3Tanx – Tan3 x
Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x
1 2 5 Sen 2q Tgq Tg 2q B) –3Tg q C)–2Ctg q E) –2Tg q
06).Calcular la diferencia entre el máximo y mínimo valor de: P 17Cos (3Sen 2Cos ) 3Sen (2Sen 3Cos ) A) 43 B) 15 C) 58 D) 28 E) 32
III.
1 – 3Tan2 x
C) Tgx
05).Hallar la extensión de: 1 Cos6 x 1 Cos6 x Y 2 2(1 Sen x) 2(1 Cos 2 x) A) [2; 10[ B) [2; 10] C) [3; 10[ D) [2; 11] E) [0; 10[
Cos3x 4 Cos 3 x – 3Cosx Cos3x Cosx 2Cos2x –1
x 2
E) 1
04).Simplificar: P I.
x 2Ctgx 2
5 ; 90 180 13 Calcular: 5Sen Cos 2 2 A) 26 B) 7 3 D) 7 3 E) 0 07).Si: Sen
VI.
Cot3x CotxCot 60 – x Cot 60 x
C) 26
Triángulo notable 08).Si: Sen
72°
4
A) 3 6 / 2
5–1
D) 3 6 / 4
18°
2 , calcular: Csc3 3 B) 6 / 3
C) 2 6 / 3
E) 4 6 / 9
09).Si: Tg3q mTgq Calcular: Sen3q Cscq A) 2/m – 1 B) 2/m+1 C) 2m/m – 1 D) 2m/m+1 E) (2m+1)/2m – 1
10 + 2 5 PROBLEMAS PROPUESTOS 01).Dado: Cosx
3 3
10).Simplificar:
Hallar: Sec3x
5 3 9 3 3 D) 5 A)
5 3 9 3 E) 3 B)
02).Calcular: M Ctg 37 Ctg 53 Tg1830' Tg 2630' A) 1,5 B) 2 D) 5,5 E) 6,5
C)
3 3 5
A) 1 D) Secx
x C tg Tgx 4 2 E x Secx Tg 4 2 B) –1 E) Cosx
11).Simplifique: M (1 Cos 2 x) x C tg Cscx 2 A) Senx B) Cosx D) 2Cosx E) Sen2x
C) 2,5
60
C) Cscx
C) 2Senx
12).Sabiendo que: Calcular: Sen 2 A) 12 13 D) 2 13 13
Sen Cos ; ( : agudo) 2 3 5 13 5 E) 12
B)
C)
21).Calcule: cos 20o. cos 40o.sen10o A) 1 / 4 B) 1 / 8 D) 1 E) 1 / 16
3 13 13
o
o o o 23).Calcule el valor de sen50o .sen70 o. cos 80 o
5
q q Obtener el valor de: K tg 2 sen 2 c tgq 2 2 4 4 4 A) B) C) 5 5 5 3 D) E) 3 5 5
sen5o
A) sen20
C) 1
A) csc x D) senx
4
B) 4 E) 1
C) 3
o 76 o 27).Determine el valor de sen44 .sen 2sen580 1 A) 1 / 14 B) 1 / 2 D) 1 / 3 E) 1
C) 1 / 8
C) 3 28).Si: senx 3 cos x 1 , calcule sen3x 2
A) 11 / 16 D) 3 / 8
1 . tan 3x 1 3 tan 2 x tan3 x . 3 B) ctgx E) sec x
C) 3 / 8
29).Calcule:
1 cos 156 1 cos 84 1 cos 36 . csc o
sen3q a.senq
I
cos 3q b. cos q
II
B) a b 2 6 E) a b 10
B) 5 / 8 E) 9 / 11
C) tan x
20).Elimine la variable θ de las siguientes expresiones.
A) 2a 3b 7 D) a b 2
o C) sen5
tan 18
A) 5 D) 2
sec 3 x
B) cos 5 4 o o E) sen20 . cos 5 4
o o 26).Simplifique 4 cos 18 3osec 18
18).Si: ctgx 3 , calcule: sec x
19).Reduzca la expresión
o
o 20o 25).Calcule el valor de 2. tan 80 tan . tan 40o o tan 80 3 3 A) B) C) 3 3 2 D) 2 3 E) 3
17).Si: 2senx. cos 2 x a.sen3x bsenx , calcule b a A) 0 B) 1 C) 1 D) 1 / 2 E) 1 / 2
B) 1 E) 2
o
4 o D) cos 10 4
3 16).Simplifique la expresión: 2.sen q sen3q 2 cos 2q A) senq B) sen2q C) cos 2q D) sen3q E) cos 3q
A) 3 D) 1 / 3
E) 1
24).Reduzca la expresión: sen10o. cos 20o.sen50o. cos 80o
15).Calcule el valor de:
sen3x. csc x sec x. sec 3 . cos 3x B) 1 E) 2
tan 20 . tan 80 . tan 40 B) 3 C) 3 12 10
A) 3 24 D) 3 9
14).Calcule el valor de: cos 42o 4 cos 3 74o A) 7 / 25 B) 20 / 23 C) 21 / 23 D) 7 / 54 E) 21 / 24
ctg 3x
o
22).Reduzca: sec 2 . sec 62 sec122 . A) tan 28o B) 1 C) tan 42o o o D) 2. sec 6 E) 4. sec 6
13).Si se sabe que: cos q 3
A) 0 D) 2
o
C) 1 / 2
A) 1 / 4 D) 2
o
B) 1 / 2 E) 1 / 3
o
2
54o
C) 5 / 3
30).Calcule: cos 3q 3 cos q cos 3q sen3q 3senq sen3q cos 3 2q A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 5
C) a 2 b 2 5
61
31).Determine el equivalente de 2 cos 2q 1 2 cos q 1 A) 2 cos q B) cos q C) cos q 1 D) 2 cos q 1 E) 2 cos q 1
39).Simplificar:
E
33).Si:
3 2 tan (x) 6 tan(x) 2 3 0
E)
2 3 3 2 3
D)
B) Tg E) Cos
1 sen(x) 1
E
1 sen(x) 1
x ) 4 x D) 2ctg ( ) 2
34).Calcular aproximadamente: Tg915'
10 1 3 E) 10 3
B)
C)
5 1 2
4a2 b
C)
a 4b
E)
4a2 b2 b 8
2
B) 2
Para: q
A) 2,
a2 4b2 (x) a
3/4 E) 2 3 / 3 B)
C) – 1
D) 0
2
. Evaluar la expresión:
L A) –1 D) –3
C) 3 3 / 2
x x x c tg sen 2 2 4 4 sen x 1 C) –2
B) 4 E) –4
44).Si:
ctg2q tan2 x tan2 2x=tan2 x.tan2 2x
37). En la siguiente identidad: 8sen(x).cos3(x) = Asen (4x) + B sen (2x). Halle: A –B.
1 2
E) , 2 2,
cos 2 x cos
Sea una identidad
A) – 2 B) –
x ) 2
, . Halle su intervalo 2 2 B) R C) , 2
x
43).Para:
x Cos 3 x mCosx 6 6
D) 3 3 / 4
C) ctg (
2, 2
D)
igualdad: Cos 3
3 /8
. 2
2
36).Hallar el valor de m, para que la siguiente
A)
B) ctg (
a 4b a 2
D)
x 0;
42).Al analizar la expresión: M tg 2q c tg 2q
35).Determine el máximo valor de la expresión: E = sen(x) cos(x) [a.cos(2x)+b. sen(x)cos(x)] A)
,
x ) 4 x E) tan ( ) 4
A) 2ctg (
10 1 3 D) 10 3
C) Sec
41).Simplifique la siguiente expresión:
2 3 3 2 6
A)
C) Csc q
B) –1 E) Cos q
A) Ctg D) Csc
B) 3 2 2 3
C) 2 3 3 2
q
) 4 2
1 Sen 2 Cos 2 1 Sen 2 Cos 2
E
2
2 3
40).Simplificar:
Calcular: tan (2x) A)
q
) Tgq 4 2
A) 1 D) Sec q
x Sen 2 x E (1 Cos 2 x)C tg 2 Cosx B) 2Cosx C) Tgx E) Sen2x
Secq Tg (
32).Simplificar la expresión:
A) 2Senx D) Ctgx
C tg(
Halle el equivalente de: E)
2 A)
38).Simplifique la siguiente expresión E = tan (2x)+2tan (4x)+4tan (8x)+8ctg (16x) A) Ctg (2x) B) Cot (4x) C) 1 D) tan (4x) E) tan (2x)
D)
62
tan2x tan x
tan 4x tan x
B)
E)
2 senq tan4x tan2x ctg4x ctgx
C)
ctg2x ctgx
TRANFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS I. DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
Es importante tener presente:
Sen2 x-Sen2 y Sen(x+y).Sen(x-y)= Cos 2 y-Cos 2 x
Se le suele llamar también factorización trigonométrica y consiste en expresar mediante un producto una de-terminada suma o diferencia. Para transformar a producto una expresión, esta deberá estar compuesta por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con ángulos ordenados de mayor a menor. Los ángulos resultantes en los factores del producto serán la semisuma y la semidiferencia de los ángulos iniciales.
Cos(x+y).Cos(x-y)=1-Sen2 x - Sen2 y PROBLEMAS PROPUESTOS
A. Suma o diferencia de senos a producto
01).Si sen20 sen8 2a cos 6 , Calcule: sen14o en términos de a . A) 1 a B) a D) a 2 E) a 1
A B
02).Reduzca la siguiente expresión:
Considerando:
o
A B A B SenA SenB 2Sen Cos 2 2 A B A B SenA SenB 2Sen Cos 2 2
Considerando:
B) cot 2q E) tan 2q
C) 2a
C) cot 4q
03).Simplifique la siguiente expresión:
cos q cos 5q cos 3q cos 2q 2
A B
A B A B CosA CosB 2Cos Cos 2 2 A B A B CosA CosB 2Sen Sen 2 2
B) cos q E) senq
A) sen2q D) sec q
C) cot 4q
04).Elimine q a partir de:
Se debe tener en cuenta que: Si A>B
A+B A-B Sen 2 2
CosB-CosA = 2Sen
II. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA Se le suele llamar también desdoblamiento del producto y consiste en expresar mediante una suma o diferencia un determinado producto.
sen3q senq 2a
I
sen3q senq 2b cos 2q
II
A)
2a 2b3 b
B)
a 3 2b 1
D)
a 3 b3 a
E)
2b a 2b3
C)
2a b 2a 3
05).De la siguiente identidad
cos 3q cos q sen5q sen3q AsenBq
Calcule A+B. A) 5 D) 15 / 12
Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos. Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y la diferencia de los ángulos iniciales. Considerando:
o
sen6q 6sen2q cos 6q cos 2q
A) sec 4q D) tan 4q
B.Suma o diferencia de cosenos a producto
o
B) 7 E) 17 / 12
C)11
06).Simplifique la siguiente expresión:
A B
A) tan 3q D) tan 5q
2SenACosB Sen(A B) Sen(A B) 2SenBCosA Sen(A B) Sen(A B) 2CosACosB Cos(A B) Cos(A B) 2SenASenB Cos(A B) Cos(A B) 2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)
07).Si
senq sen3q sen5q cos q cos 3q cos 5q B) cot 3q E) tan 4q
C) cot 5q
7q , calcule el valor de:
sen6q sen4q sen3q senq
A) 2 D) 2
63
B) 1 E) 1
C) 3
17).Si: A=Sen1°+Sen2°+Sen3°+ ...... + Sen180° B=Cos1°+Cos2°+Cos3°+......+Cos180° Calcular: A. B
08).Calcule el valor de a en la siguiente igualdad.
cos 80 2 cos 40 a cos 10 o
o
A) 3
B) 2 3
D) 2
E) 1
09).Si
o
C) 3 3
1 2
f x cos 3x cos x cos 4 x,
calcule f 20o A) 0,225 D) 0,15
B) 0,25 E) 1,25
E)
D)
1 2
E)
15).Simplificar: E A) Cos27° D) 4Cos27°
C) CscxSen (2 x x/ 4) E) SecxSen (2 x /x 4x)
A) 2
Cos 2 A) 3/4 D) 5/2
2 2
24).Calcular: A) 1 D) 4
Cos 42 Cos12 Sen75
C) –1
D) 1
O H2
H2O
23).Calcule el valor de:
O
O
7 H2O O2
-
2 32 Cos 2 7 7 Radio O
2 2 HCos
C) 3Cos27°
E) –2
64
atómic C) 1 o
B) 3/2 E) 5/4
O
Radio
H2 4Cos 20 3C tg 20
H2O O2
-
B) 2 E) 3
Radio dio 25).Transformar a producto: atómic A) CosxCos2x C) Cos3xCos4x mico E) Cos2x . Cos5x o
Sen 23x Sen7 x Sen14 x Sen 2 x
B) 1/2
O
2CscxSen (2 x / 4)
O O
16).Si: 21x calcular:
D)
O
C) 2 2
B) 2Cos27° E) 5Cos27°
B) Cos2xCos15xCos5x x D) Cos2xCos15xCsc5x x
O
3 Senx
3 Cosx
B) 2
7
oo xx oo x 21).Calcular el valorx de: Csc10° –oo 4Cos20° oo x x A) 1/2 B) 3 / 2 x C) 3 / 4 oo x oo x D) 3 oo E) 2 xoo x xoo xx 22).Factorizar: 2(xSenx Cosx) Secx x A) 2Sen(2 x /x4x) B) 2SecxSen (2 x / 4) xxx
3 Sen . Sen 8 8 E 5 Cos Cos 12 12 2
2
4Sen2xCos 4 xCos 6x 2SenxCos 3x
A)Sen2xSen15xSen5x x xx C) Sen2xCsc15xCos5x xx E) Sen2xSen15xCsc5x
14).Encontrar el valor de:
A)
q
3 x Ctg .Ctg Tg .Tg 2 .Tg x Ctg Ctg 2 3 Tg 2 2 E x 3 x Ctg 2 .Ctg x Tg .Tg 2
20).Factorizar:
13).Simplifique: K=Sen (30°+x) +Sen (30° – x) D) 1
Cos10° Cos80°+ 2Cos40° 5
19).En un triánguloqABC la 3 transformar 5 a7producto Tg Sec Csc Tg Ctg 7 54 .Tg 4 2 – 4 expresión: Sen2A+Sen2B Sen2C Sen Cos Sec 2 6 E 3 A) 4SenASenBSenC 3 3 B) 4CosACosBSenC 5 7 .Ctg Tg Ctg Tg Sec Csc 2 3 C) 4SenASenBCosC 4 D) 44CosACosBCosC 4 Tg .Tg Ctg Ctg 2 2 E) 4SenACosBSenC E
12).Factorizar la expresión: E= 1+Sen2x A) 2Sen(45 x)Cos(45 x) B) 2Sen(45 x)Sen(45 x) C) 2Cos(45 x)Cos(45 x) D) Sen(45 x)Cos(45 x) E) 2Sen(45 x)Cos(45 x)
C)
E) –1
C) 2a
11).Sea la ecuación cuadrática ax 2 bx c 0 cuyas raíces son cosq y cos calcule cosq cosq A) 2c / a B) a / c C) c / a D) ac E) 2a / c
B) Cosx
D) 1
1 2
C) C tg
Sen Sec Cos Cos80°+ Cos10° 6 3 3 80°+2Co Cos80°+ 3 5 7 Tg Sec Csc q+2Cos40 4 4 4 7 5 2 os40° Sen Sec Cos 6 3 0° 3
10).Si
A) Senx
B) –1/2
18).De la figura, calcular "q " A) 30° B) 37° C) 75° D) 60° Cos10° 10° E) 45°
C) 3,25
3 2 cos 10o a, calcule el valor de: sen70o sen100o en términos de a . A) a B) 3a D) a / 2 E) a / 4
A) Tg
C) 3
Cos 2 2 x Sen 2 3x B) Cos2x. Cos3x D) Cosx . Cos5x
