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12

CÁLCULO DE PRIMITIVAS

Página 337

REFLEXIONA Y RESUEL RESUELVE VE Concepto de primitiva ■

NÚMERO NÚM EROSS Y POT POTENC ENCIAS IAS SEN SENCIL CILLAS LAS

∫

b) 2 dx = 2 x

∫

∫

b) x dx = x 2

1

a) 1 dx = x

2

a) 2x dx = x 2

3

2 a) 7x dx = 7 x 2

4

a) 3x 2 dx = x 3

5

a) 6x 5 dx = x 6

■

6

∫ √2

dx =

√ 2 x

∫

2

2 c) 3x dx = 3 x 2

∫

b)

∫

b) x 2 dx = x 3

∫

b) x 5 dx = x 6

∫

x 2 dx = 3 6

x

c)

∫ √2

—

x dx =

√ 2 x 2 2

∫

3

3 c) 2x 2 dx = 2 x 3

∫

∫

6

6 6 c) 3x 5 dx = 3 x = x 6 2

∫

POTENC POT ENCIAS IAS DE EXP EXPONE ONENTE NTE ENT ENTERO ERO

∫ b) ∫ 5 c) ∫

a) (–1) x –2 dx = x –1 = 1 x x –2 dx =

dx = x 2

7

∫

c)

1

∫ 2 b) ∫ a)

x –1 = –1 x –1

–5 x

∫ 1 –2 = 2∫ dx dx = = x 2 x x –2

–1

dx = x –3 dx dx = = = x 3 2 x 2 –2 dx x 3

3

Unidad 12. Cálculo de primitivas

2

=

–1 x 2

1       

8

a)

b)

■

9

1 –1 ( x x – – 3) –2 –3 dx dx = ( x x – – 3) dx = = = 3 (x – – 3) 2 ( x x – – 3)2 –2

∫

∫

5 1 –5 dx = 5 dx = dx = 3 3 (x – – 3) ( x x – – 3) 2 ( x x – – 3)2

∫

∫

LASS RA LA RAÍC ÍCES ES TA TAMB MBIÉ IÉN N SO SON N PO POTE TENC NCIA IASS

3 1/2 x dx = x 3/2 = √ x 3 2

∫ 3 b) ∫ √ 2 a)

x dx =

∫ b) ∫ 7√

10 a )

√x dx = x dx

x

3 1/2 2 2 √ x 3 x dx dx = = x 3/2 = 2 3 3 3

dx

—

x

3

∫ 2√ b) ∫ 5√ 3 14 a) ∫ √5 √7 b) ∫ 13 a )

3

3

3

—

x

dx = √ x

dx = = 3 √ x ∫ 2 √1 x dx x = 5∫ x dx dx = =5 = 2 √ x 5/2 1 3 6 √ 5 x = ∫ · dx = dx = 5 √5 √ x 2 √ 7 x √ x dx = √ 7 ∫ dx = = 5

dx = 3

x 3 dx

x

5/2

3/2

dx

5

—

x 3 dx

■

2 √ 3 x 3 3

∫ ∫ ∫ √ 2 √ x dx √ 2 √ x dx √ 2 · 2 √ x = 2 √ 2 √ x = 2 √ 2 x = dx = = dx = = ∫ 5 5 ∫ 5 15 15 3 =

1 –1/2 x dx = x 1/2 = √ x 2

∫ 1 b) ∫ 2√

12 a )

∫ = 7 √ x dx ∫ dx == 143 √ x 2 3

2√3 √ x 3 dx = = √ 3 √ x dx dx = = √3x dx = √3 · √x dx = √ 3 √ x dx 3

∫ √2 b) ∫ 5

11 a )

∫

3 1/2 = x 3/2 = √ x 3 x dx dx = 2

3

5

RECUER UERDA DASS QUE D (ln x ) = 1/ x ? ¿REC

1

∫ 1 b) ∫ 5

15 a )

x

dx = ln | x |

x

dx =

1 5

= 1 ln |5 x | dx = ∫ 5 x 5 dx 5

Unidad 12. Cálculo de primitivas 2       

8

a)

b)

■

9

1 –1 ( x x – – 3) –2 –3 dx dx = ( x x – – 3) dx = = = 3 (x – – 3) 2 ( x x – – 3)2 –2

∫

∫

5 1 –5 dx = 5 dx = dx = 3 3 (x – – 3) ( x x – – 3) 2 ( x x – – 3)2

∫

∫

LASS RA LA RAÍC ÍCES ES TA TAMB MBIÉ IÉN N SO SON N PO POTE TENC NCIA IASS

3 1/2 x dx = x 3/2 = √ x 3 2

∫ 3 b) ∫ √ 2 a)

x dx =

∫ b) ∫ 7√

10 a )

√x dx = x dx

x

3 1/2 2 2 √ x 3 x dx dx = = x 3/2 = 2 3 3 3

dx

—

x

3

∫ 2√ b) ∫ 5√ 3 14 a) ∫ √5 √7 b) ∫ 13 a )

3

3

3

—

x

dx = √ x

dx = = 3 √ x ∫ 2 √1 x dx x = 5∫ x dx dx = =5 = 2 √ x 5/2 1 3 6 √ 5 x = ∫ · dx = dx = 5 √5 √ x 2 √ 7 x √ x dx = √ 7 ∫ dx = = 5

dx = 3

x 3 dx

x

5/2

3/2

dx

5

—

x 3 dx

■

2 √ 3 x 3 3

∫ ∫ ∫ √ 2 √ x dx √ 2 √ x dx √ 2 · 2 √ x = 2 √ 2 √ x = 2 √ 2 x = dx = = dx = = ∫ 5 5 ∫ 5 15 15 3 =

1 –1/2 x dx = x 1/2 = √ x 2

∫ 1 b) ∫ 2√

12 a )

∫ = 7 √ x dx ∫ dx == 143 √ x 2 3

2√3 √ x 3 dx = = √ 3 √ x dx dx = = √3x dx = √3 · √x dx = √ 3 √ x dx 3

∫ √2 b) ∫ 5

11 a )

∫

3 1/2 = x 3/2 = √ x 3 x dx dx = 2

3

5

RECUER UERDA DASS QUE D (ln x ) = 1/ x ? ¿REC

1

∫ 1 b) ∫ 5

15 a )

x

dx = ln | x |

x

dx =

1 5

= 1 ln |5 x | dx = ∫ 5 x 5 dx 5


UNIDAD 12 1 dx = ln | x x + + 5| x + 5

∫ 3 b) ∫ 2 +6

16 a )

x

■

dx =

3 2

3 dx = = ln |2 x x + + 6| ∫ 2 x x +2+ 6 dx 2

ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

∫ = 2 sen 2 sen x b) ∫ 2 π 18 a) ∫ ( + ) = sen ( x + x + π ) 2 2 1 1 b) ∫ 2 = ∫ 2 cos cos 22 x dx = dx = sen 2 x 2 2 19 a) ∫ (– ) = cos x b) ∫ = – cos cos x = – cos ( cos ( x x – – π) 20 a) ∫ ( – – π) 1 –1 = 2 sen 2 x dx = dx = cos 22 x cos b) ∫ 2 2 ∫ 2 1 1 = 2(1 + tg 2 x ) dx dx = = tg 2 x 21 a) ∫ (1 + 2 ) ∫ 2 2 1 b) ∫ 2 = ∫ (1 + tg 2 x – – 1) dx dx = = ∫ (1 + tg 2 x ) dx – – ∫ 1 dx dx = = tg 2 x – – x x 2 cos s x dx = sen x 17 a) co

cos co s x dx

cos x

dx

cos x dx

sen x dx sen

sen se n x dx

sen x

dx

sen x dx

tg 2 x dx

2

tg 2 x dx

■

2

2

ALGUNAS EXPONENCIALES

∫ b) ∫ 23 a) ∫ b) ∫

22 a) e x dx = e x x + +1 e x + 1 dx = e x

e 2x dx =

∫ 1 = ∫ 2e 2

1 1 2e 2 x dx dx = = e 2 x 2 2

e 2x + 1 dx


2 x +1 x +

dx = dx =

1 2 x e x ++ 1 2

3       

Página 339

1. Calcula las siguientes integrales:

∫ – 5 + 3 – 4 c) ∫ – 5 + 3 – 4 e) ∫ +1 7 – 5 + 3 – 4 g) ∫ — √ + √5 i) ∫ 3 a)

x 4

x 2 x

x

x 4

x 2 x

x

x 4

x 2 x 2

3 —

x 3

x

x

a)

∫

b)

∫

c)

∫

d)

∫

e)

∫

x

b)

x 2

dx

x 3 x

dx

dx

dx

x dx

3

dx

x 2 dx

x 3

dx

7 x 4 dx = 7 ·

1

∫ d) ∫ – 2 f) ∫ √ h) ∫ √5 √5 j) ∫ √3

7x 4 dx

3

x

dx

x 5 7 x 5 + k = + k 5 5

∫

1 dx = x –2 dx = x –1 + k = –1 + k x –1 x 2

∫ (

x 4 – 5 x 2 + 3 x – 4 dx = x x 3 dx = x – 2

x 3 – 5 x + 3 –

∫ (

x 2 + 2 x + 4 +

4 x 4 5 x 2 dx = – + 3 x – 4 ln | x | + k x 4 2

)

3 8 dx = x + x 2 + 4 x + 8 ln | x – 2 | + k x – 2 3

)

11 x – x – 4 x + 7 – dx = ( ∫ x + 1 )

x 4 – 5 x 2 + 3 x – 4 dx = x + 1

3

2

4 3 = x – x – 2 x 2 + 7 x – 11 ln | x + 1| + k 4 3

f)

g)

∫

∫

3/2

√ x dx = x 1/2 dx = x

3/2

7 x 4 – 5 x 2 + 3 x – 4 dx = x 2

∫

+ k =

2 √ x 3 + k 3

∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( x 3 x ) dx – ∫ ( x 4 ) dx = 3 = ∫ 7 x dx – ∫ 5 dx + ∫ dx – ∫ 4 dx = x x 7 x 4 dx – x 2

5 x 2 dx + x 2

2

2

2

2

=

4 7 x 3 – 5 x + 3 ln | x | + + k x 3

Unidad 12. Cálculo de primitivas 4 

UNIDAD 12

h)

i)

∫ 3

dx =

3 —

—

√ x + √ 5 x 3

∫

3 x

3

5 5/3 3 √ 5 x 2/3 dx = √ 5 · x + k = 3 √ 5 x + k

∫

√5 x 2

3

dx =

=

j)

√5 x 3 dx = 3 √3 x

∫

5

5/3

∫

x 1/3 dx + 3 x

—

√ 5 x 3/2

∫ 3 x

dx =

√ 5 x 1/2 dx = 1 –2/3 x dx + 3 3

∫

∫

√ 5 · x 3/2 + k = 3√ x + 2 √ 5 x 3 + k 1 x 1/3 · + 3 9 3 1/3 3/2

√5 · x 3/2 3 √3 · x 1/3

∫

dx =

√5 3 √3

∫

x 7/6

dx =

√5 3 √3

— 6 —

6 √ 5 √ x 13 x 13/6 · + k = + k 3 — 13/6 13 √ 3

Página 340

∫

∫

2. a) (3x – 5 tg x ) dx = 3 =

∫

x dx – 5 tg x dx =

3 x 2 – 5 (– ln |cos x | ) + k = 2

3 x 2 + 5 ln |cos x | + k 2

3 x + k b) (5 cos x + 3x ) dx = 5 cos x dx + 3 x dx = 5 sen x + ln 3

∫

∫

∫

∫

∫

∫

c) (3 tg x – 5 cos x ) dx = 3 tg x dx – 5 cos x dx = 3 (– ln |cos x | ) – 5 sen x + k = = – 3 ln |cos x | – 5 senx + k

∫

x x d) (10x – 5x ) dx = 10 – 5 + k ln 10 ln 5

3. a)

∫

3 dx = 3 arctg x + k +1

b)

∫

2x dx = ln | x 2 + 1| + k +1

c)

d)

x 2

x 2

x 2 – 1 dx = x 2 + 1

∫

∫ (1 + x + 1 ) dx = x – 2 arctg x + k – 2 2

(x + 1)2 x 2 + 2 x + 1 dx = dx = x 2 + 1 x 2 + 1

∫

∫


∫ (1 + x + 1 ) dx = x + ln | x + 1| + k 2 x

2

2

5 

Página 342

1. Calcula: b) ∫ 2 ∫ cos x a) ∫ cos x sen x dx = – ∫ cos x (– sen x ) dx = – + k 5 1 2 b) ∫ 2 cos x dx = 2 cos x · ln 2 dx = + k ∫ ln 2 ln 2 a) cos4 x sen x dx

sen x cos

4

5

4

sen x

x dx

sen x

sen x

2. Calcula: 5x dx x 4 + 1

∫ ∫ cos x a) ∫ cotg x dx = ∫ dx = ln | sen x | + k sen x 5 5 b) ∫ 5 x dx = ∫ 2 x dx = arc tg ( x ) + k 2 1 + ( x ) 2 x + 1 a) cotg x dx

b)

2

4

2 2

Página 343

1. Calcula:

∫

x sen x dx

∫

Llamamos I = x sen x dx . u = x , du = dx ° x cos x + ¢ I = – dv = sen x dx , v = – cos x £

2. Calcula:

∫ cos x dx = – x cos x + sen x + k

∫

x arc tg x dx

∫

Llamamos I = x arc tg x dx . 1 — dx ° 2 § 1 + x

u = arc tg x , du =

¢ § £

x 2 dv = x dx , v = — 2 I =

1 x 2 arc tg x – 2 2

∫ (

1 x 2 x 2 dx = arc tg x – 2 2 1 + x 2

)

1 (∫ 1 – 1 + x ) dx = 2

2 2 1 1 1 = x arc tg x – [x – arc tg x ] + k = x arc tg x – x + arc tg x + k = 2 2 2 2 2

=

1 x 2 + 1 arc tg x – x + k 2 2


UNIDAD 12 Página 344

3. Calcula:

∫

x 4e x dx

∫

I = x 4e x dx Resolvámosla integrando por partes: u = x 4 8 du = 4 x 3 dx ° ¢ dv = e x dx 8 v = e x £

∫

∫

I = x 4e x – e x 4 x 3 dx = x 4e x – 4 x 3e x dx

∫

I 1 = x 3e x dx = x 3e x – 3 x 2e x + 6 xe x – 6e x (Visto en el ejercicio resuelto 2 de la página 344) I = x 4e x – 4[ x 3e x – 3 x 2e x + 6 xe x – 6e x ] + k = = x 4e x – 4 x 3e x + 12 x 2e x – 24 xe x + 24e x + k

4. Calcula:

∫

sen 2 x dx

∫

I = sen 2 x dx Resolvámosla integrando por partes: u = sen x 8 du = cos x dx ° ¢ dv = sen x dx 8 v = – cos x £

∫ ∫ = – sen x cos x + ∫ (1 – sen x ) dx = – sen x cos x + ∫ dx – ∫ sen x dx = = – sen x cos x + x – sen x dx ∫

I = – sen x cos x – (– cos x )cos x dx = – sen x cos x + cos 2 x dx = 2

2

2

Es decir: I = – sen x cos x + x – I

8 2 I = – sen x cos x + x 8 I =

x – sen x cos x + k 2

Página 345

1. Calcula:

∫

3x 2 – 5x + 1 dx x – 4

∫

3 x 2 – 5 x + 1 dx = x – 4

∫ (


3 x + 7 +

2 29 dx = 3 x + 7 x + 29 ln | x – 4| + k x – 4 2

)

7 

2. Calcula:

3x 2 – 5x + 1 dx 2x + 1

∫

3 x 2 – 5 x + 1 dx = 2 x + 1

∫

=

17/4 dx = (∫ 32 x – 134 + 2 x + 1) 3 x 2 13 17 · – x – ln | 2 x + 1| + k = 2 4 8 2

2 = 3 x – 13 x – 17 ln | 2 x + 1| + k 4 8 4

Página 348

3. Calcula: a)

5x – 3 dx x 3 – x

∫

b)

x 2 – 2x + 6 dx (x – 1)3

∫

a) Descomponemos la fracción: 5 x – 3 A B C 5 x – 3 = = + + 3 x + 1 x – x x ( x – 1) ( x + 1) x x – 1 5 x – 3 = A ( x – 1)( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x – 1) x ( x – 1)( x + 1) x 3 – x 5 x – 3 = A ( x – 1)( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x – 1) Hallamos A, B y C dando a x los valores 0, 1 y –1: x = 0 x = 1 x = –1

ò –3 = – A ò A = 3 ° § ò 2 = 2 B ò B = 1 ¢ § ò –8 = 2C ò C = –4 £

Así, tenemos que:

∫ x 5 x – – x 3 dx = ∫ ( x 3 + x –1 1 – x +4 1 ) dx = 3 ln | x | + ln | x – 1| – 4 ln | x – 1| + k 3

b) Descomponemos la fracción: x 2 – 2 x + 6 A A ( x – 1)2 + B ( x – 1) + C B C = + + = x – 1 ( x – 1)3 ( x – 1)3 ( x – 1)2 ( x – 1)3 x 2 – 2 x + 6 = A ( x – 1)2 + B ( x – 1) + C Dando a x los valores 1, 0 y 2, queda: x = 1 x = 0 x = 2

° A = 1 ò 5 = C § ò 6 = A – B + C ¢ B = 0 § C = 5 ò 6 = A + B + C £


UNIDAD 12 Por tanto: x 2 – 2 x + 6 dx = ( x – 1)3

∫

∫ (

)

1 5 5 + dx = ln | x – 1| – + k 3 x – 1 ( x – 1) 2( x – 1)2

4. Calcula: x 3 + 22x 2 – 12x + 8 dx x 4 – 4x 2

∫ – 4 + 4 b) ∫ – 2 – 4 + 8 a)

x 3

x 4

x 2

x 3

x

x 2

x

dx

a) x 4 – 4 x 2 = x 2 ( x 2 – 4) = x 2 ( x – 2)( x + 2) Descomponemos la fracción: x 3 + 22 x 2 – 12 x + 8 A C D = + B + + 2 2 x x x – 2 x + 2 x ( x – 2) ( x + 2) x 3 + 22 x 2 – 12 x + 8 = x 2 ( x – 2) ( x + 2) =

Ax ( x – 2)( x + 2) + B ( x – 2)( x + 2) + Cx 2 ( x + 2) + Dx 2 ( x – 2) x 2 ( x – 2)( x + 2)

x 3 + 22 x 2 – 12 x + 8 = Ax ( x – 2)( x + 2) + B ( x – 2)( x + 2) + Cx 2 ( x + 2) + Dx 2 ( x – 2) Hallamos A, B , C y D dando a x los valores 0, 2, –2 y 1: x = x = x = x =

0 2 –2 1

ò ò ò ò

ò B = –2 8 = –4 B ò C = 5 80 = 16C 112 = –16 D ò D = –7 19 = –3 A – 3 B + 3C – D ò –3 A = –9

ò

° § § ¢ § § A = 3 £

Por tanto: x 3 + 22 x 2 – 12 x + 8 dx = x 4 – 4 x 2

∫

(∫ x 3 – x 2

2

= 3 ln| x | +

+

)

5 7 – dx = x – 2 x + 2

2 + 5 ln| x – 2| – 7 ln| x + 2| + k x

b) La fracción se puede simplificar: x 3 – 4 x 2 + 4 x x ( x – 2)2 1 = = 4 3 2 2 x + 2 x – 2 x – 4 x + 8 x x ( x – 2) ( x + 2) x 3 – 4 x 2 + 4 x 1 dx = dx = ln| x + 2| + k 4 3 2 x + 2 x – 2 x – 4 x + 8 x

∫


∫

9 

Página 356

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Integrales casi inmediatas 1

Calcula las siguientes integrales inmediatas:

∫ 1 c) ∫ 2 + 7 x

a)

2

b)

∫ √ x = ∫

c)

∫

d)

∫

5

x

x sen x ) dx

∫ 5

b)

dx

(4 x 2 – 5 x + 7)dx = dx

dx

∫ √ d) ( – ∫

a) (4x 2 – 5x + 7) dx

4 x 3 5 x 2 – + 7 x + k 3 2 5

x –1/5

5 √ x 4 x 4/5 dx = + k = + k 4 4/5

1 1 dx = ln|2 x + 7| + k 2 x + 7 2 2

( x – sen x ) dx = x + cox x + k 2

Resuelve estas integrales:

∫ c) √3 ∫

∫ d) ( ∫

a) (x 2 + 4x ) (x 2 – 1) dx

b) (x – 1)3 dx sen x + e x ) dx

x dx

a)

∫

∫

b)

∫

( x – 1)4 + k 4

c)

∫

d)

∫ ( sen x + e ) dx = – cos x + e + k

( x 2 + 4 x ) ( x 2 – 1) dx =

( x – 1)3 dx =

√ 3 x dx =

( x 4 + 4 x 3 – x 2 – 4 x ) dx =

3/2

∫

√ 3 x 1/2 dx = √ 3 x

x

3/2

+ k =

x 5 x 3 + x 4 – – 2 x 2 + k 5 3

2 √ 3 x 3 + k 3

x


UNIDAD 12 s3

Calcula las integrales siguientes: b) ∫ √ 2 ∫ ( – 4) 7 c) d) ( + 3 ) ∫ ∫ x x 1 1 x 3 a) dx = x dx = + k = ∫ √ 2 √ 2 ∫ 4 √ 2 √ 2 4/3 b) sen ( x – 4)dx = – cos ( x – 4) + k ∫ 7 c) ∫ cos x dx = 7 tg x + k d) (e + 3e ) dx = e – 3e + k ∫ a)

3

x dx

cos 2 x

sen x e x

dx

3

4/3

1/3

3

dx

e – x dx 3

4

+k

3

2

x

s4

– x

x

– x

Halla estas integrales: 2

dx x – 1

x + √x dx x 2

∫ ∫ ∫ 2 a) ∫ x dx = 2 ln| x | + k dx b) ∫ x – 1 = ln| x – 1| + k x + √ x 2 1 c) dx = ( + x ) dx = ln| x | – + k ∫ x ∫ x √ x 3 d) dx = 3 arc tg x + k ∫ 1 + x a)

x

b)

dx

c)

d)

3 dx 1 + x 2

∫

–3/2

2

2

5

Resuelve las siguientes integrales: dx x – 4

dx (x – 4)2

∫ ∫ ∫ a) = ln| x – 4| + k ∫ x dx – 4 dx = –1 + k b) ∫ ( x – 4) ( x – 4) ( x – 4) c) ( x – 4) dx = + k ∫ 3 dx = ( x – 4) dx = ( x – 4) + k = –1 d) ∫ ( x – 4) ∫ –2 2( x – 4) a)

b)

c)

(x – 4)2 dx

d)

dx (x – 4)3

∫

2

2

3

–3

3


–2

2

+ k

11 

6

Halla las siguientes integrales del tipo exponencial: b) ∫ ∫ c) d) (3 – ) ∫ ∫ a) e ∫ dx = e + k –1 –1 b) e dx = –2e dx = e + k ∫ 2 ∫ 2 1 1 c) e dx = 5e dx = e +k ∫ 5 ∫ 5 3 d) (3 – x )dx = – x + k ∫ ln 3 4 a) e x – 4 dx

e –2x + 9 dx

e 5x dx

x – 4

x – 4

–2 x + 9

–2 x + 9

5 x

x

7

x 3 dx

x

5 x

5 x

x

3

–2 x + 9

4

Resuelve las siguientes integrales del tipo arco tangente: 2 dx 1 + 9x 2

5 dx 4x 2 + 1

4 dx 3 + 3x 2

∫ ∫ ∫ 2 dx 2 3 dx 2 a) ∫ 1 + 9 x 3 ∫ 1 + (3 x ) 3 5 dx 5 2 dx 5 b) ∫ 4 x + 1 2 ∫ (2 x ) + 1 2 4 dx 4 dx 4 dx 4 c) ∫ 3 + 3 x ∫ 3(1 + x ) 3 ∫ 1 + x 3 dx 1/4 1 1/2 1 d) ∫ 4 + x ∫ 1 + ( x /2) 2 ∫ 1 + ( x /2) 2 a)

b)

2 =

=

2

2 =

2 =

8

2 =

=

2

2

=

2 dx =

c)

d)

dx 4 + x 2

∫

arc tg (3 x ) + k

arc tg (2 x ) + k

2 =

arc tg x + k

2 dx =

arc tg

x + k 2

()

Expresa el integrando de las siguientes integrales de la forma: dividendo resto = cociente + divisor divisor y resuélvelas: x 2 – 5x + 4 dx x + 1

2x 2 + 2x + 4 dx x + 1

x 3 – 3x 2 + x – 1 dx x – 2

b) c) ∫ ∫ ∫ 10 x – 5 x + 4 x a) dx = ( x – 6 + dx = ) ∫ x + 1 ∫ x + 1 2 – 6 x + 10 ln| x + 1| + k 3 x + 2 x + 4 x b) dx = ( x + 1 + dx = ) ∫ x + 1 ∫ x + 1 2 + x + 3 ln| x + 1| + k a)

2

2

2

2


UNIDAD 12

c)

x 3 – 3 x 2 + x – 1 dx = x – 2

3 x – x – 1 – dx = ( ∫ x – 2 )

∫

2

3 2 = x – x – x – 3 ln| x – 2| + k 3 2

9

Halla estas integrales sabiendo que son del tipo arco seno: dx

dx

e x

∫ √1 – 4 ∫ √4 – ∫ √1 – dx 2 dx 1 1 a) = = arc sen (2 x ) + k ∫ √1 – 4 x 2 ∫ √1 – (2 x ) 2 dx 1/2 dx x b) = = arc sen ( ) ∫ √4 – x ∫ √1 – ( x /2) 2 e e c) dx = ∫ √ 1 – e ∫ √ 1 – (e ) dx = arc sen (e ) + k dx d) (*) En el libro debería decir: ∫ x √1 – (ln x ) 1/ x dx dx = ∫ x √1 – (ln x ) ∫ √1 – (ln x ) = arc sen (ln | x | ) + k a)

b)

x 2

c)

x 2

2

e 2x

dx

d)

dx

∫ √1 – (

ln x )2

(*)

2

2

+ k

2

x

x

2 x

x

x 2

2

2

2

Integrales de la forma 10

∫ ( )

f x n

· f ' ( x ) dx

Resuelve las integrales siguientes: 3 dx (x + 1)2

∫ ∫ 1 c) d) ∫ ( + 3) ∫ sen x a) cos x sen x dx = + k ∫ 4 3 b) ∫ ( x + 1) dx = 3∫ ( x + 1) dx = 3 · ( x + –11) = x + –3 1 + k 1 ( x + 3) x dx = 1 –1 c) 2 x ( x + 3) dx = · + k = ∫ ( x + 3) 2 2 –4 8( x + 3) d) ∫ x 1 ln x dx = ln 4| x | + k a) cos x sen 3 x dx

b)

x dx 5 x 2

ln 3 x dx x

4

3

2

2

2

–1

–2

5

3


–5

2

–4

2

4

+ k

4

13 

11

Resuelve las siguientes integrales:

∫ 2 c) ∫ √9 –

sen x dx cos 5 x

∫ d) ∫ √

a) sen x cos x dx

b)

x dx x 2

x dx

x 2 + 5

2

∫

a) sen x cos x dx = sen x + k 2 b)

c)

d)

12

– cos –4 x sen x dx = – (– 1 sen x ) · cos –5 x dx = + k = + k 5 – 4 4 cos 4 x cos x

∫

∫

2 x dx

∫ √9 – x ∫ 2

x dx

= – –2 x (9 – x 2) –1/2 dx = –

1 = √ x 2 + 5 2

∫

∫

2 x ( x 2

+

5) –1/2

(9 – x 2)1/2 + k = –2 √9 – x 2 + k 1/2

1 ( x 2 + 5)1/2 = √ x 2 + 5 + k dx = 2 1/2


∫ (1 + c) ∫ a)

a)

b)

∫ d) √ (1 + ∫

√ x 2 – 2x (x – 1) dx ln x )2 dx x

∫

√ x 2 – 2 x ( x – 1)dx =

∫

arc sen x dx = √ 1 – x 2

∫

d)

∫

1 2

arc sen x dx √ 1 – x 2 cos x )3 sen x dx

∫ √ x – 2 x (2 x – 2) dx = 2

=

1 ( x 2 – 2 x )1/2 (2 x – 2) dx = 2

=

1 ( x 2 – 2 x )3/2 + k = 2 3/2

∫

√( x 2 – 2 x )3 3

+ k

arc sen 2 x arc sen x dx = + k 2 √1 – x 2

∫

(1 + ln x )2 dx = x

c)

b)

1

∫ (1 + ln

x )2

1 (1 + ln x )3 · dx = + k 3 x

∫

√ (1 + cos x )3 sen x dx = – (1 + cos x )3/2 (– sen x )dx = =–

(1 + cos x) 5/2 –2 √(1 + cos x )5 + k = + k 5/2 5


UNIDAD 12 Página 357

Integración por partes s13

Aplica la integración por partes para resolver las siguientes integrales:

∫ c) 3 ∫ e) ∫ g) ∫ a) x ln x dx ∫

∫ d) ∫ (2 – 1) f) ∫ h) ∫

b) x e 2x dx

a) x ln x dx x cos x dx

ln x

x dx e x

dx

arc tg x dx x 2 ln x dx

arc cos x dx

1 ° u = ln x 8 du = — dx § x ¢ x 2 § dv = x dx 8 v = — 2 £ 2 2 2 x ln x dx = x ln x – x dx = x ln| x | – x + k 2 2 2 4

∫ b) x e ∫

∫

2 x dx

° u = x 8 du = dx § 1 2 x ¢ dv = e 2 x dx 8 v = — e § 2 £

∫ ∫ c) 3 x cos x dx = 3 x cos x dx ∫ ∫ xe 2 x dx =

x 2 x e – 2

1 2 x x 2 x 1 2 x e dx = e – e + k 2 2 4

° u = x 8 du = dx ¢ dv = cos x dx 8 v = sen x £

[

∫

∫

]

3 x cos x dx = 3 x sen x – sen x dx = 3[ x sen x + cos x ] + k = = 3 x sen x + 3cos x + k d)

∫ ln (2 x – 1) dx °§ 2 u = ln 2 x – 1 8 du = ¢ 2 x – 1 § dv = dx 8 v = x £

—


15 

∫

2 x dx = 2 x – 1

∫ 1 = x ln (2 x – 1) – ( 1 + ∫ 2 x – 1) dx =

ln (2 x – 1) dx = x ln (2 x – 1) –

= x ln (2 x – 1) – x – e)

1 ln (2 x – 1) + k 2

x dx e x

∫

° u = x 8 du = dx ¢ dv = e – x dx 8 v = – e – x dx £ x dx = – xe – x + e x

∫ f)

∫ e

– x dx =

– xe – x – e – x + k

∫ arc tg x dx 1 °§ u = arc tg x 8 du = — dx 1 + x 2 ¢ § dv = dx 8 v = x £ 1 ∫ arc tg x = x arc tg x – ∫ 1 + x

2

= x arc tg x – g)

dx = x arc tg x –

1 2

x ∫ 1 2+ x

2

dx =

1 ln (1 + x 2 ) + k 2

∫ arc cos x dx –1 °§ u = arc cos x 8 du = — √ 1 – x 2 ¢ § dv = dx 8 v = x £

—

∫

arc cos x dx = x arc cos x +

x

∫ √1 – x

2

dx = x arc cos x – √1 – x 2 + k

∫

h) x 2 ln x dx 1 ° u = ln x 8 du = — dx § x ¢ x 3 § dv = x 2 dx 8 v = — 2 £

∫

x 2 ln x dx =

x 3 ln x x 2 x 3 ln x x 3 – dx = – + k 3 3 3 9

∫


UNIDAD 12 14

Resuelve las siguientes integrales aplicando dos veces la integración por partes:

∫ c) ∫ a) x sen x dx ∫

∫ d) ( ∫

a) x 2 sen x dx

b) x 2 e 2x dx x + 1)2 e x dx

e x sen x dx 2

° u = x 2 8 du = 2 x dx ¢ £ dv = sen x dx 8 v = – cos x

∫ x sen x dx = – x cos x + ∫ 2 x cos x dx = – x cos x + 2 ∫ x cos x dx 2

2

2

1 4 4 2 4 4 3

I 1

° u1 = x 8 du1 = dx ¢ dv = cos x dx 8 v = sen x 1 £ 1

∫

I 1 = x sen x – sen x dx = x sen x + cos x Por tanto:

∫

x 2 sen x dx = – x 2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x + k

∫

b) x 2 e 2 x dx

° u = x 2 8 du = 2 x dx § ¢ dv = e 2 x dx 8 v = — 1 e 2 x § 2 £

∫

x 2

x 2 2 x e dx = 2

∫

e 2 x – x e 2 x dx 14243

I 1

° u1 = x 8 du1 = dx § ¢ dv 1 = e 2 x dx 8 v 1 = — 1 e 2 x § 2 £ I 1 =

x 2 x 1 2 x x 1 e – e dx = e 2 x – e 2 x 2 2 2 4

∫

Por tanto:

∫

x 2 e 2 x dx =

x 2 2 x x 2 x 1 2 x x 2 x 1 2 x e – e + e + k = – + e + k 2 2 4 2 2 4


(

)

17 

∫

c) e x sen x dx

° u = e x 8 du = e x dx ¢ £ dv = sen x dx 8 v = – cos x

∫ e sen x dx = – e cos x + ∫ e cos x dx x

x

x

1442443

I 1

° u1 = e x 8 du1 = e x dx ¢ dv = cos x dx 8 v = sen x 1 £ 1

∫

I 1 = e x sen x – e x sen x dx Por tanto:

∫ e sen x dx = – e cos x + e sen x – ∫ e sen x dx 2 e sen x dx = e sen x – e cos x ∫ e sen x – e cos x e sen x dx = + k ∫ 2 x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

∫

d) ( x + 1)2 e x dx

° u = ( x + 1)2 8 du = 2( x + 1) dx ¢ dv = e x dx 8 v = e x £

∫ ( x + 1) e dx = ( x + 1) e – 2 ∫ ( x + 1) e dx 2 x

2 x

x

1442443

I 1

° u1 = ( x + 1) 8 du1 = dx ¢ dv = e x dx 8 v = e x 1 £ 1

∫

I 1 = ( x + 1) e x – e x dx = ( x + 1) e x – e x = ( x + 1 – 1) e x = x e x Por tanto:

∫ ( x + 1) e dx = ( x + 1) e – 2 x e + k = 2 x

2 x

x

= ( x 2 + 2 x + 1 – 2 x ) e x + k = ( x 2 + 1) e x + k


UNIDAD 12

Integrales racionales 15

Aplica la descomposición en fracciones simples para resolver las siguientes integrales: 1 3x 3 dx dx a) b) x 2 + x – 6 x 2 – 4 x 2 + 1 1 c) d) dx dx x 3 – 4x 2 – 25x + 100 x 2 + x 4 x 2 e) f) dx dx x 2 + x – 2 x 2 + 4x + 3 x 3 – 2x 2 + x – 1 –16 dx dx g) h) x 2 – 3x + 2 x 2 – 2x – 15

∫ ∫ ∫ ∫ 1 a) ∫ x + x – 6 dx

∫ ∫ ∫ ∫

2

A = –1/5 B = 1/5

1 A B = + 2 x + x – 6 x + 3 x – 2 1 dx = x 2 + x – 6

–1/5 dx + x + 3

∫ ∫ 3 x b) ∫ x – 4 dx

1/5 1 1 dx = – ln | x + 3| + ln | x – 2| + k x – 2 5 5

∫

3

2

3 x 3 x 2 – 4 –3 x 3 + 12 x 3 x 12 x 3 x 3 dx = x 2 – 4

3 x 3 12 x = 3 x + x 2 – 4 x 2 – 4 12 x 3 x 2 dx = + 6 ln | x 2 – 4| + k 2 x – 4 2

∫ ∫ ( 1 c) ∫ x – 4 x – 25 x + 100 3

3 x +

)

2

x 3 – 4 x 2 – 25 x + 100 = 0 1

–4 5 1

5 1

x 2 + x – 20 = 0

–25 100 5 –100 –20 0

8 x =

1 x 3 –

∫

4 x 2 –

x 3 –

25 x + 100

=

1 4 x 2 –

25 x + 100


–1 ± √1 + 80 2

x = –5 x = 4

A B C + + x – 5 x + 5 x – 4 dx =

8 A =

1 1 1 , B = , C = – 10 90 9

1 1 1 ln | x – 5| + ln | x + 5| – ln | x – 4| + k 10 90 9

19 

d)

x 2 + 1 dx x 2 + x

∫

Por el mismo procedimiento: x 2 + 1 – x + 1 1 2 = 1 + = 1 + – x 2 + x x 2 + x x x + 1 x 2 + 1 dx = x + ln | x | – 2ln | x + 1| + k x 2 + x

∫ e)

∫

x 2

4 dx + x – 2

4 A B = + x 2 + x – 2 x + 2 x – 1

∫

x 2

f)

4 3

8 A = – , B =

4 3

4 4 4 dx = – ln | x + 2| + ln | x – 1| + k + x – 2 3 3

x 2 dx x 2 + 4 x + 3

∫

x 2 4 x + 3 A B = 1 – = 1 – + x 2 + 4 x + 3 x 2 + 4 x + 3 x + 3 x + 1

(

x 2 dx = x 2 + 4 x + 3

∫

1 2

–1/2 dx = [∫ 1 – ( x +9/23 + x + 1 )]

= x –

g)

)

9 2

8 A = , B = –

9 1 ln | x + 3| + ln | x + 1| + k 2 2

x 3 – 2 x 2 + x – 1 dx x 2 – 3 x + 2

∫

x 3 – 2 x 2 + x – 1 2 x – 3 A B = x + 1 + = x + 1 + + 2 x – 3 x + 2 ( x – 2)( x – 1) x – 2 x – 1 x 3 – 2 x 2 + x – 1 dx = x 2 – 3 x + 2

∫

=

∫ (

x + 1 +

A = 1 B = 1

1 1 + dx = x – 2 x – 1

)

x 2 + x + ln | x – 2| + ln | x – 1| + k 2

h) Análogamente: –16 dx = x 2 – 2 x – 15

∫

∫ (

–2 2 + x – 5 x + 3

)] dx = –2ln | x – 5| + 2ln | x + 3| + k


UNIDAD 12 16

Resuelve las siguientes integrales: 2x – 4 dx a) b) (x – 1)2 (x + 3) 1 c) d) dx (x – 1)(x + 3)2

∫ ∫ 4 a) dx ∫ ( x – 21) x –( x + 3)

2x + 3 dx (x – 2)(x + 5) 3x – 2 dx x 2 – 4

∫ ∫

2

Descomponemos en fracciones simples: A C 2 x – 4 B = + + x – 1 x + 3 ( x – 1)2 ( x + 3) ( x – 1)2 A( x – 1)( x + 3) + B ( x + 3) + C ( x – 1)2 2 x – 4 = ( x – 1)2 ( x + 3) ( x – 1)2 ( x + 3) 2 x – 4 = A( x – 1)( x + 3) + B ( x + 3) + C ( x – 1)2 Hallamos A, B y C : x = 1 x = –3 x = 0

8 –2 = 4 B 8 B = –1/2 ° 8 –10 = 16C 8 C = –5/8 § ¢ § 8 –4 = –3 A + 3 B + C 8 A = 5/8 £

Por tanto:

∫

2 x – 4 dx = ( x – 1)2 ( x + 3)

=

b)

∫

5/8 dx + x – 1

∫

–1/2 dx + ( x – 1)2

∫

–5/8 dx = x + 3

5 1 1 5 5 x – 1 ln| x – 1| + · – ln| x + 3| + k = ln 8 2 ( x – 1) 8 8 x + 3

Ô

Ô

+

1 + k 2 x – 2

∫

2 x + 3 dx ( x – 2) ( x + 5)

Descomponemos en fracciones simples: 2 x + 3 A B A( x + 5) + B ( x – 2) = + = ( x – 2) ( x + 5) x – 2 x + 5 ( x – 2) ( x + 5) 2 x + 3 = A( x + 5) + B ( x – 2) Hallamos A y B : x = 2 x = –5

8 7 = 7 A 8 A = 1 ° ¢ 8 –7 = –7 B 8 B = 1 £

Por tanto:

∫

2 x + 3 dx = ( x – 2) ( x + 5)

∫

1 dx + x – 2

∫

1 dx = x + 5

= ln| x – 2| + ln| x + 5| + k = ln|( x – 2)( x + 5)| + k


21 

c)

∫ ( x – 1) 1( x + 3)

2

dx

Descomponemos en fracciones simples: A B 1 C = + + 2 x – 1 x + 3 ( x – 1) ( x + 3) ( x + 3)2 2 1 = A( x + 3) + B ( x – 1)( x + 3) + C ( x – 1) ( x – 1) ( x + 3)2 ( x – 1) ( x + 3)2

1 = A( x + 3)2 + B ( x – 1)( x + 3) + C ( x – 1) Hallamos A, B y C : x = 1 x = –3 x = 0

8 1 = 16 A 8 A = 1/16 ° 8 1 = –4C 8 C = –1/4 § ¢ § 8 1 = 9 A – 3 B – C 8 B = –1/16 £

Por tanto:

∫

1 dx = ( x – 1) ( x + 3)2

d)

∫

1/16 dx + x – 1

∫

–1/16 dx + x + 3

–1/4 ∫ ( x + 3)

2

dx =

=

1 1 1 1 ln| x – 1| – ln| x + 3| + · + k = 16 16 4 ( x + 3)

=

1 x – 1 1 ln + + k 16 x + 3 4( x + 3)

|

|

∫ x 3 x – – 42 dx = ∫ ( x –3 x 2) –( x +2 2) dx 2

Descomponemos en fracciones simples: 3 x – 2 A B A( x + 2) + B ( x – 2) = + = ( x – 2) ( x + 2) x – 2 x + 2 ( x – 2) ( x + 2) 3 x – 2 = A( x + 2) + B ( x – 2) Hallamos A y B : x = 2 x = –2

8 4 = 4 A 8 A = 1 ° ¢ 8 –8 = –4 B 8 B = 2 £

Por tanto:

∫

3 x – 2 dx = x 2 – 4

∫

1 dx + x – 2

∫

2 dx = x + 2

= ln| x – 2| + 2 ln| x + 2| + k = ln [| x – 2|( x + 2)2] + k Unidad 12. Cálculo de primitivas 22 

UNIDAD 12

PARA RESOLVER 17


∫ ∫ ∫ 1 1 a) x e dx = 5 x e dx = e + k ∫ 5 ∫ 5 1 –1 b) x sen x dx = 2 x sen x dx = cos x + k ∫ ∫ 2 2 ( x + 3) 2 √ ( x + 3) c) √ ( x + 3) dx = ( x + 3) dx = = ∫ ∫ 7/2 7 –3 x 1 –12 x 1 d) dx = dx = ∫ 2 – 6 x 4 ∫ 2 – 6 x 4 ln|2 – 6 x | + k 5

a) x 4 e x dx

4 x 5

4 x 5

2

5

–3x dx 2 – 6x 2

∫

2

7/2

5/2

2

d)

x 5

2

18

c) √ (x + 3)5 dx

b) x sen x 2 dx

7

+ k

2

2

Resuelve estas integrales:

∫ a) x · 2 ∫

b)

∫

– x · 2 – x + ln 2

a) x · 2 – x dx

∫

x 3 sen x dx

c)

∫

d)

e x cos x dx

∫

3

x 5 e – x dx

– x dx

° u = x 8 du = dx § –2 – x ¢ dv = 2 – x dx 8 v = — § ln 2 £

x 2 – x dx = =

∫

1 2 – x – x · 2 – x dx = + ln 2 ln 2 ln 2

∫

∫ 2

– x dx =

– x – x · 2 – x – 2 2 + k ln 2 (ln 2)

b) x 3 sen x dx

° u = x 3 8 du = 3 x 2 dx ¢ £ dv = sen x dx 8 v = –cos x

∫ x sen x dx = – x cos x + 3 ∫ x cos x dx 3

3

2

14243

I 1

° u1 = x 2 8 du1 = 2 x dx ¢ dv = cos x dx 8 v = sen x £ 1 1

∫

I 1 = x 2 sen x – 2 x sen x dx 14243

I 2 ° u2 = x 8 du2 = dx ¢ dv = sen x dx 8 v = –cos x £ 2 2 I 2 = – x cos x +

∫ cos x dx = – x cos x + sen x


23 

Así: I 1 = x 2 sen x + 2 x cos x – 2 sen x Por tanto:

∫ x sen x dx = – x cos x + 3 x sen x + 6 x cos x – 6 sen x + k 3

∫

3

2

e x cos x dx

c)

° u = e x 8 du = e x dx ¢ £ dv = cos x dx 8 v = sen x

∫

I = e x sen x – e x sen x dx 1 4 4 2 4 4 3

I 1

° u = e x 8 du = e x dx ¢ £ dv = sen x dx 8 v = – cos x

∫

I 1 = – cos x e x + e x cos x dx I = e x sen x – (– cos x e x + I ) 2 I = e x sen x + e x cos x I =

e x sen x + e x cos x + k 2

∫

∫

3

3

d) x 5 e – x dx = x 3 · x 2 e – x dx

° u = x 3 8 du = 3 x 2 dx § – x 3 ¢ dv = x 2 e – x 3 dx 8 v = –1 — e § 3 £

∫

3

x 5 e – x dx = =

19

3 – x 3 – x 3 – x 3 – x 3 1 – x 3 e + x 2 e – x dx = e – e + k = 3 3 3

∫

(– x 3 – 1) – x 3 e + k 3

Calcula las integrales racionales siguientes: x + 2 dx x 2 + 1

1 dx (x 2 – 1)2

∫ ∫ 2 + 7 – 1 2 + 5 – 1 c) d) ∫ + – – 1 ∫ + – 2 x + 2 1 2 x 2 1 a) dx = dx + dx = ∫ x + 1 2 ∫ x + 1 ∫ x + 1 2 ln ( x + 1) + 2 arc tg x + k ( x + 2)dx x 2 (1) Hacemos = ( + ∫ x + 1 ∫ x + 1 x + 1 ) dx a)

b)

x 2 x x 3 x 2 x

x 2 x dx x 3 x 2 x

dx

(1)

2

2

2

2

2

2

2


UNIDAD 12

b)

1

∫

( x 2 –

1)2

dx =

∫ ( x –

1 dx ( x + 1)2

1)2

Descomponemos en fracciones simples: ( x –

1 A B C D = + + + 2 2 ( x + 1) ( x – 1) ( x – 1) ( x + 1) ( x + 1)2

1)2

1 A( x – 1) ( x + 1)2 + B ( x + 1)2 + C ( x + 1)( x – 1)2 + D ( x – 1)2 = ( x – 1)2 ( x + 1)2 ( x – 1)2 ( x + 1)2 1 = A( x – 1)( x + 1)2 + B ( x + 1)2 + C ( x + 1)( x – 1)2 + D ( x – 1)2 Calculamos A, B , C y D , dando a x los valores 1, –1, 0 y 2: x = x = x = x =

1 –1 0 2

8 8 8 8

1 1 1 1

= 4 B 8 B = 1/4 ° A = –1/4 § = 4 D 8 D = 1/4 § B = 1/4 ¢ = – A + B + C + D 8 1/2 = – A + C § C = 1/4 § = 9 A + 9 B + 3C + D 8 –3/2 = 9 A + 3C 8 –1/2 = 3 A + C £ D = 1/4

1 dx = ( x 2 – 1)2

∫

=

–1/4 dx + ( x – 1)

∫

1/4 dx + ( x – 1)2

∫

1/4 dx + ( x + 1)

∫

∫

–1 1 1 1 1 1 ln| x – 1| – · + ln| x + 1| – · + k = 4 4 ( x + 1) 4 4 ( x + 1) –1 1 1 ln| x – 1| + – ln| x + 1| + + k = 4 x – 1 x + 1

[ –1 x – 1 2 x = ln | + + k | [ 4 x + 1 x – 1 ] =

1/4 dx = ( x + 1)2

]

2

c)

2 x 2 + 7 x – 1 dx = x 3 + x 2 – x – 1

∫

2 x 2 + 7 x – 1 dx ( x – 1)( x + 1)2

∫

Descomponemos en fracciones simples (para ello, encontramos las raíces del denominador): 2 x 2 + 7 x – 1 A B C = + + ( x – 1)( x + 1)2 x – 1 x + 1 ( x + 1)2 2 x 2 + 7 x – 1 A( x + 1)2 + B ( x – 1)( x + 1 ) + C ( x – 1) = ( x – 1)( x + 1)2 ( x – 1)( x + 1)2 2 x 2 + 7 x – 1 = A( x + 1)2 + B ( x – 1) ( x + 1 ) + C ( x – 1) Hallamos A, B y C : x = 1 x = –1 x = 0

8 8 = 4 A 8 A = 2 ° § 8 –6 = –2C 8 C = 3 ¢ § 8 –1 = A – B – C 8 B = 0 £


25 

Por tanto: 2 x 2 + 7 x – 1 2 dx = dx + x 3 + x 2 – x – 1 x – 1

∫ d)

∫

2 x 2 + 5 x – 1 dx = x 3 + x 2 – 2 x

∫

3 3 dx = 2 ln| x – 1| – + k ( x + 1)2 x + 1

∫

2 x 2 + 5 x – 1 dx x ( x – 1)( x + 2)

∫

Descomponemos en fracciones simples: 2 x 2 + 5 x – 1 A B C = + + x ( x – 1)( x + 2) x x – 1 x + 2 2 x 2 + 5 x – 1 A( x – 1) ( x + 2) + Bx ( x + 2) + Cx ( x – 1) = x ( x – 1)( x + 2) x ( x – 1) ( x + 2) 2 x 2 + 5 x – 1 = A( x – 1)( x + 2) + Bx ( x + 2) + Cx ( x – 1) Hallamos A, B y C :

8 –1 = –2 A 8 A = 1/2 ° § 8 6 = 3 B 8 B = 2 ¢ § 8 –3 = 6C 8 C = –1/2 £

x = 0 x = 1 x = –2

Por tanto: 2 x 2 + 5 x – 1 dx = x 3 + x 2 – 2 x

∫

=

1/2 dx + x

∫

∫

∫

1 1 ln| x |+ 2 ln| x – 1| – ln| x + 2| + k = 2 2

= ln

20

2 –1/2 dx + dx = x – 1 x + 2

(

Para resolver la integral

( x – 1)2√ x

√ x + 2

)

+ k

∫

cos 3 x dx , hacemos:

cos 3 x = cos x cos 2 x = cos x (1 – sen 2 x ) =

= cos x – cos x sen 2 x Así, la descomponemos en dos integrales inmediatas. Calcúlala. Resuelve, después,

∫

sen 3 x dx .

sen 3 x dx = sen x – +k 3

∫ dx = ∫ cos x dx – ∫ cos x • sen x dx = sen x ( sen x ) dx = sen x (1 – cos x ) dx = ∫ ∫ ∫ cos x = sen x dx – sen x cos x dx = – cos x + ∫ ∫ 3 •

cos 3 x 3

sen 2 x

2

2

2

3


UNIDAD 12 s21

Calcula: dx 2 x – x – 2

∫ 5 c) ∫ – 3 + 3 – 1 a)

x 3

a)

x 2 x 2 x

∫

dx = x 2 – x – 2

x 4 + 2x – 6 dx x 3 + x 2 – 2x

∫ 2 – 3 d) ∫ – 2 – 9

b)

dx

x 3

x x 2

x + 18

dx

∫

dx ( x + 1) ( x – 2)

Descomponemos en fracciones simples: 1 A B A( x – 2) + B ( x + 1) = + = ( x + 1) ( x – 2) x + 1 x – 2 ( x + 1) ( x – 2) 1 = A( x – 2) + B ( x + 1) Hallamos A y B : x = –1 x = 2

8 1 = –3 A 8 A = –1/3 ° ¢ 8 1 = 3 B 8 B = 1/3 £

Por tanto: –1/3 1/3 dx + dx = ∫ x – dx x – 2 dx = ∫ x + ∫ 1 x – 2 2

=

–1 1 ln| x + 1| + ln| x – 2| + k = 3 3

|

|

= 1 ln x – 2 + k 3 x + 1 b)

x 4 + 2 x – 6 dx = x 3 + x 2 – 2 x

∫

∫ (

x – 1 +

3 x 2 – 6 dx x ( x – 1)( x + 2)

)

Descomponemos en fracciones simples: A B C 3 x 2 – 6 = + + x ( x – 1) ( x + 2) x x – 1 x + 2 A( x – 1)( x + 2) + Bx ( x + 2) + C x ( x – 1) 3 x 2 – 6 = x ( x – 1)( x + 2) x ( x – 1) ( x + 2) 3 x 2 – 6 = A( x – 1)( x + 2) + Bx ( x + 2) + C x ( x – 1) Hallamos A, B y C : x = 0 x = 1 x = –2

8 – 6 = –2 A 8 A = 3 ° 8 –3 = 3 B 8 B = –1 § ¢ § 8 6 = 6C 8 C = 1 £


27 

Por tanto: x 4 + 2 x – 6 dx = x 3 + x 2 – 2 x

∫

∫ (

x – 1 +

)

3 1 1 – + dx = x x – 1 x + 2

2

= x – x + 3 ln| x | – ln| x – 1| + ln| x + 2| + k = 2 =

c)

5 x 2 dx = x 3 – 3 x 2 + 3 x – 1

∫

|

|

x 2 x 3 ( x + 2) – x + ln + k 2 x – 1 5 x 2 dx ( x – 1)3

∫

Descomponemos en fracciones simples: 2 A 5 x 2 B C = + + = A( x – 1) + B ( x – 1) + C ( x – 1)3 x – 1 ( x – 1)2 ( x – 1)3 ( x – 1)3

5 x 2 = A( x – 1)2 + B ( x – 1) + C Hallamos A, B y C :

8 5 = C ° A = 5 8 20 = A + B + C § ¢ B = 10 § C = 5 8 0 = A – B + C £

x = 1 x = 2 x = 0 Por tanto:

5 x 2 dx = x 3 – 3 x 2 + 3 x – 1

∫

5 10 + ( ∫ x – 1 ( x – 1)

= 5 ln| x – 1| –

d)

2

+

5 ( x – 1)3

) dx =

10 5 – + k x – 1 2( x – 1)2

∫ x – 2 x 2 x – – 93 x + 18 dx = ∫ ( x – 2) ( 2x x ––3)3 ( x + 3) dx 3

2

Descomponemos en fracciones simples: A B C 2 x – 3 = + + ( x – 2) ( x – 3) ( x + 3) x – 2 x – 3 x + 3 A( x – 3)( x + 3) + B ( x – 2)( x + 3) + C ( x – 2)( x – 3) 2 x – 3 = ( x – 2)( x – 3)( x + 3) ( x – 2) ( x – 3) ( x + 3) 2 x – 3 = A( x – 3)( x + 3) + B ( x – 2)( x + 3) + C ( x – 2)( x – 3) Hallamos A, B y C : x = 2 x = 3 x = –3

8 1 = –5 A 8 A = –1/5 ° 8 3 = 6 B 8 B = 1/2 § ¢ § 8 –9 = 30C 8 C = –3/10 £


UNIDAD 12 Por tanto:

∫

2 x – 3 dx = x 3 – 2 x 2 – 9 x + 18 =

22

–1/5 1/2 –3/10 + + ( ∫ x – 2 x – 3 x + 3 ) dx = –1 1 3 ln| x – 2| + ln| x – 3| – ln| x + 3| + k 5 2 10

Resuelve las integrales siguientes: ln x dx x

∫ 1 c) ∫ a)

x ln x

dx

e x

sen (1/x ) dx x 2

∫ g) ∫ 1 + e)

2x – 3 dx x + 2 sen x dx cos 4 x

dx x 2

1 ln 2| x | + ln x dx = k x 2

a)

∫

b)

1 – sen x dx = ln| x + cos x | + k ∫ x + cos x

c)

∫

∫

1 dx = x ln x

∫

1/ x dx = ln|ln| x || + k ln x

1 + e x dx = ln|e x + x | + k x e + x

d)

∫

e)

∫

f)

∫

g)

∫

h)

e x dx x

∫ h) ∫ f)

arc tg x

ln x dx = x

1 – sen x dx x + cos x

∫ 1+ d) ∫ +

b)

∫

( )

( )

sen (1/ x ) dx = – –1 sen 1 dx = cos 1 + k x x x 2 x 2 2 x – 3 dx = x + 2

∫ (

arc tg x dx = 1 + x 2

)

7 2 – dx = 2 x – 7 ln| x + 2| + k x + 2 2 1 arc tg x dx = arc tg x + k 2 1 + x 2

∫

–3 sen x 1 –4 dx = –(cos x ) dx = – (– sen x ) (cos x ) + k = + k 4 –3 cos x 3 cos 3 x

∫

∫


29 

Página 358 23

Calcula las integrales indefinidas: sen √x

∫ √ √ c) ∫ √ e) ( ∫ ) 1 g) ∫ 1 – a)

∫ d) ∫ ( + 1) f) ∫ (1 – ) h) ∫ 1 +

b) ln (x – 3) dx

dx

x

ln x

ln x 2

dx

x

ln x 2 dx

x 2

dx

e x cos e x dx x 2 dx x

dx

a)

∫ sen√ x √ x dx = –2∫ 2 √1 x (– sen √ x ) dx = –2 cos ( √ x ) + k

b)

∫ ln ( x – 3)dx 1 ° u = ln ( x – 3) 8 du = — dx § x – 3 ¢ § dv = dx 8 v = x £

∫

ln ( x – 3)dx = x ln| x – 3| –

∫

∫

x 3 dx = x ln| x – 3| – 1 + dx = x – 3 x – 3

= x ln| x – 3| – x – 3 ln| x – 3| + k = ( x – 3) ln| x – 3| – x + k c)

ln √ x

∫ √ x dx —

1 1 1 ° u = ln √ x 8 du = — — · — — = — dx § √ x 2 √ x 2 x ¢ — 1 8 dx dv = 2 x √ § v = — — £ √ x —

— — ln √ x — dx = 2 √ x ln √ x – √ x

∫

— — 2 √ x dx = 2 √ x ln √ x – 2 x

∫

—

—

—

∫

—

1 dx = √ x

—

= 2 √ x ln √ x – 2 √ x + k = 2 √ x (ln √ x – 1) + k d)

∫ ln ( x + 1)dx 2

2 x ° u = ln ( x 2 + 1) 8 du = — dx 2 § x + 1 ¢ § dv = dx 8 v = x £ Unidad 12. Cálculo de primitivas 30 

UNIDAD 12

∫

2 x 2 dx = x 2 + 1

∫

ln ( x 2 + 1) dx = x ln ( x 2 + 1) –

2 – 2 ) dx = x ln ( x + 1) – 2 x + 2 arc tg x + k ( ∫ x + 1

= x ln ( x 2 + 1) –

e)

2

2

∫ (ln x ) dx 2

1 ° u = (ln x )2 8 du = 2 (ln x ) · — dx § x ¢ § dv = dx 8 v = x £

∫

∫

(ln x )2 dx = x (ln x )2 – 2 ln x dx = x ln 2| x | – 2 x ln| x | + 2 x + k

f)

∫ e cos e dx = sen e + k

g)

∫

x

x

x

1 dx = 1 – x 2

∫

–1 dx ( x + 1 ) ( x – 1)

Descomponemos en fracciones simples: –1 A B A( x – 1) + B ( x + 1) = + = ( x + 1 ) ( x – 1) x + 1 x – 1 ( x + 1 ) ( x – 1) Hallamos A y B : x = –1 x = 1

8 –1 = –2 A 8 A = 1/2 ° ¢ 8 –1 = 2 B 8 B = –1/2 £

Por tanto:

∫

1 dx = 1 – x 2

1/2 –1/2 + ( ∫ x + 1 x – 1 ) dx = 1 1 ln| x + 1| – ln| x – 1| + k = ln 2 2

=

h)

(1 – x )2 dx = 1 + x

∫

x 2 – 2 x + 1 dx = x + 1

∫

√

x + 1 + k x – 1

4 x – 3 + ( ∫ x + 1 ) dx =

2

= x – 3 x + 4 ln| x + 1| + k 2 Unidad 12. Cálculo de primitivas

31 

s24

Resuelve: a)

1 dx 1 + e x

∫

☛ En el numerador, suma y resta e x .

b)

x + 3

∫ √9 –

x 2

dx

☛ Descomponla en suma de otras dos.

a)

1 + e x – e x dx = 1 + e x

1 + e x e x – dx = 1 + e x 1 + e x

) ∫ ∫ ( e = (1 – ∫ 1 + e ) = x – ln (1 + e ) + k

(1) 1 dx = x 1 + e

∫

x

x

x

(1) Sumamos y restamos e x en el numerador.

b)

x + 3

∫ √9 – x

2

x

3dx

∫ √9 – x ∫ √9 – x = –2 x 3 1 = – dx + ∫ √9 – x dx = 2 ∫ √9 – x 1/3 = – √ 9 – x + 3 ∫ √1 – ( x /3) dx = x = – √ 9 – x + 3 arc sen ( ) + k 3

dx =

2

dx +

2

2

2

2

2

2

25

Resuelve por sustitución:

∫ 1 d) ∫ √ + 1 x x

dx

∫ – √ 1 e) ∫ + √

a) x √ x + 1 dx

b)

dx

x

x

x

x

x

∫ √ + 1 √ f) ∫ 1 + c)

4 —

x

dx

dx

x dx x

☛ a), c), d) Haz x + 1 = t 2 . b) Haz x = t 4 . e), f) Haz x = t 2 .

∫

a) x √ x + 1 dx Cambio: x + 2 = t 2

∫

x √ x + 1 dx =

=

8 dx = 2t dt

∫

(t 2 – 1) t · 2t dt =

5 3 (2t 4 – 2t 2 ) dt = 2t – 2t + k = 5 3

∫

2 √ ( x + 1)5 2 √ ( x + 1)3 – + k 5 3


UNIDAD 12

b)

∫

dx 4 x – √ x

Cambio: x = t 4

∫

dx = 4 x – √ x =

c)

8 dx = 4t 3 dt 4t 3 dt = t 4 – t

∫

∫

4 |3 3t 2 dt = ln t – 1| + k = 3 t 3 – 1

∫

4 | 4√ x 3 ln – 1| + k 3

∫

x dx √ x + 1

8 dx = 2t dt

Cambio: x + 1 = t 2

∫

x dx = √ x + 1 =

d)

4 4t 2 dt = 3 t 3 – 1

(t 2 – 1) · 2t dt = t

∫

∫

(2t 2 – 2) dt =

2t 3 – 2t + k = 3

2 √ ( x + 1)3 – 2 √ x + 1 + k 3

∫

1 dx x √ x + 1

8 dx = 2t dt

Cambio: x + 1 = t 2

∫

1 dx = x √ x + 1

∫

2t dt = 1) t

(t 2 –

∫

2 dt (t + 1 ) (t – 1)

Descomponemos en fracciones simples: 2 A B A(t – 1) + B (t + 1) = + = (t + 1 ) (t – 1) t + 1 t – 1 (t + 1 ) (t – 1) 2 = A(t – 1) + B (t + 1) Hallamos A y B : t = –1 t = 1

8 2 = –2 A 8 A = –1 ° ¢ 8 2 = 2 B 8 B = 1 £

Por tanto:

∫

2 dt = (t + 1 ) (t – 1)

–1 1 + ( ∫ t + 1 t – 1 ) dt = – ln|t + 1| + ln|t – 1| + k =

= ln

| t +t – 11 | + k

Así:

√ x + 1 – 1 + k 1 dx = ln | ∫ x √ x + √ x + 1 + 1 | 1 Unidad 12. Cálculo de primitivas

33 

e)

∫

1 dx x + √ x

Cambio: x = t 2

8 dx = 2t dt

∫

1 dx = x + √ x

∫

2t dt = t 2 + t

∫

2 dt = 2 ln|t + 1 | + k = t + 1

= 2 ln ( √ x + 1) + k f)

√ x

∫ 1 + x dx Cambio: x = t 2

√ x

∫ 1 + x

8 dx = 2t dt

dx =

∫

t · 2t dt = 1 + t 2

2t 2 dt = 1 + t 2

∫

2 – 2 ) dt = ( ∫ 1 + t 2

= 2t – 2 arc tg t + k = 2 √ x – 2 arc tg √ x + k

26

Resuelve, utilizando un cambio de variable, estas integrales:

∫ c) ∫ a)

b)

e 3x – e x dx e 2x + 1

☛

dx

∫ – 3 1 d) ∫ 1 + √

√ 1 – x 2 dx

e 2x

e x

x

dx

a) Haz x = sen t.

a) Hacemos x = sen t

∫

√ 1 – x 2 dx = =

(1) cos 2 t =

8 dx = cos t dt

∫

∫

(1)

√ 1 – sen 2 t cos t dt = cos 2 t dt =

dt = (∫ 12 + cos 2t 2 )

t 1 t 1 + 2 cos 2t dt = + sen 2t + k 2 4 2 4

∫

1 + cos 2t 2

Deshacemos el cambio: sen t = x

8 cos t = √ 1 – x 2 ; t = arc sen x

sen 2t = 2 sen t cos t = 2 x √ 1 – x 2 Por tanto:

∫

√ 1 – x 2 dx =

1 (arc sen x + x √ 1 – x 2 ) + k 2


UNIDAD 12

b)

∫

dx 3e x

e 2 x –

Hacemos el cambio: e x = t dx = e 2 x – 3e x

∫

8 x = ln t 8 dx =

1/t dt = t 2 – 3t

∫

1 dt = t 3 – 3t 2

∫

1 dt t

1 dt t 2 (t – 3)

∫

Descomponemos en fracciones simples: A B At (t – 3) + B (t – 3) + C t 2 1 C = + + = t t 2 t – 3 t 2 (t – 3) t 2 (t – 3) 1 = At (t – 3) + B (t – 3) + C t 2 Hallamos A, B y C :

8 1 = –3 B 8 B = –1/3 ° § 8 1 = 9C 8 C = 1/9 ¢ § 8 1 = –2 A – 2 B + C 8 A = –1/9 £

t = 0 t = 3 t = 1

Así, tenemos que:

∫

1

t 2 (t –

3)

1/9 + dt = (∫ –1/9t + –1/3 t t – 3 )

dt = =

2

–1 1 1 ln|t | + + ln|t – 3| + k 9 3t 9

Por tanto: dx –1 x + 1 + 1 ln|e x – 3| + k = = ln e e 2 x – 3e x 9 3e x 9

∫

1 1 1 = – x + x + ln|e x – 3| + k 9 3e 9 c)

e 3 x – e x dx e 2 x + 1

∫

Hacemos el cambio: e x = t e 3 x – e x dx = e 2 x + 1

∫

8 x = ln t 8 dx =

t 3 – t 1 · dt = t 2 + 1 t

∫

t 2 – 1 dt = t 2 + 1

∫

1 dt t

(∫ 1 – t 2+ 1 ) dt = 2

= t – 2 arc tg t + k = e x – 2 arc tg (e x ) + k d)

1

∫ 1 + √ x dx Hacemos el cambio: x = t 2 1 2t dt dx = = 1 + t 1 + √ x

∫

∫

8 dx = 2t dt

∫ (

2 –

2 dt = 2t – 2 ln|1 + t | + k = 1 + t

)

= 2 √ x – 2 ln (1 + √ x ) + k


35 

s27

Encuentra la primitiva de f (x ) = F ( x ) =

1 que se anula para x = 0. 1 + 3x

∫ 1 +13 x dx = 13 ∫ 1 +33 x dx = 13 ln|1 + 3 x | + k

F (0) = k = 0 Por tanto: F ( x ) =

28

Halla la función F para la que F ' (x ) = F ( x ) =

1 x 2

y F (1) = 2.

∫

1 dx = –1 + k x x 2

F (1) = –1 + k = 2 Por tanto: F ( x ) = 29

–1 ln|1 + 3 x | 3

ò k = 3 –1 +3 x

De todas las primitivas de la función y = 4x – 6, ¿cuál de ellas toma el valor 4 para x = 1? F ( x ) =

∫ (4 x – 6) dx = 2 x – 6 x + k 2

F (1) = 2 – 6 + k = 4

ò k = 8

Por tanto: F ( x ) = 2 x 2 – 6 x + 8 30

Halla f (x ) sabiendo que f '' (x ) = 6x , f ' (0) = 1 y f (2) = 5. ° 6 x dx = 3 x 2 + c § f ' ( x ) = 3 x 2 + 1 ¢ § £ f ' (0) = c = 1 f ' ( x ) =

∫

° (3 x 2 + 1) dx = x 3 + x + k § ¢ § £ f (2) = 10 + k = 5 f ( x ) =

∫

ò k = –5

Por tanto: f ( x ) = x 3 + x – 5 31

Resuelve las siguientes integrales por sustitución: a)

e x

∫ 1 – √

e x

☛ a) Haz

b)

dx

√ e x

= t. b) Haz

√ e x – 1

∫

√ e x – 1 dx

= t.


UNIDAD 12

a)

e x dx 1 – √ e x

∫

√ e x = t 8 e x /2 = t 8 x = ln t 8 dx = 2 dt

Cambio:

2

e x = 1 – √ e x

∫

t 2 · (2/t ) dt = 1 – t

∫

∫

2t dt = 1 – t

t

2 –2 + ( ∫ 1 – t ) dt =

= –2t – 2 ln|1 – t | + k = –2 √ e x – 2 ln|1 – b)

√ e x | + k

∫

√ e x – 1 dx √ e x – 1 = t 8 e x = t 2 + 1 8 x = ln (t 2 + 1) 8 dx =

Cambio:

∫

∫

√ e x – 1 dx = t · 22t dt = t + 1

2t 2 dt = t 2 + 1

∫

2t dt +1

t 2

∫ (2 – t 2+ 1 ) dt = 2

= 2t – 2 arc tg t + k = 2 √ e x – 1 – 2 arc tg √ e x – 1 + k

32

Calcula

sen 2 x dx . 1 + cos x

∫

☛ Multiplica el numerador y el denominador por 1 – cos x.

sen 2 x dx = 1 + cos x

∫

sen 2 x (1 – cos x ) dx = (1 + cos x ) (1 – cos x )

sen 2 x (1 – cos x ) dx = 1 – cos 2 x

∫ ∫ sen x (1 – cos x ) = ∫ sen x dx = ∫ (1 – cos x ) dx = x – sen x + k En el ejercicio resuelto de la página 344, se ha calculado la integral ∫ de dos formas: 2

2

33

cos 2 x dx

— Aplicando fórmulas trigonométricas. — Integrando por partes. Utiliza estos dos métodos para resolver:

∫ 1 cos 2 x x 1 • sen x dx = ( – dx = ∫ ∫ 2 2 ) 2 – 4 sen 2 x + k sen 2 x dx 2

(1)

(1) Aplicando la fórmula: sen 2 x =

1 – cos 2 x 2

• Por partes:

° u = sen x 8 du = cos x dx ¢ dv = sen x dx 8 v = – cos x £ Unidad 12. Cálculo de primitivas

37 

I = – sen x cos x +

∫ cos x dx = – sen x cos x + ∫ (1 – sen x ) dx 2

2 I = – sen x cos x + x I = s34

2

8 I =

– sen x cos x 1 + x 2 2

x 1 1 x 1 – · sen 2 x + k = – sen 2 x + k 2 2 2 2 4

Encuentra una primitiva de la función f (x ) = x 2 sen x cuyo valor para x = π sea 4.

∫

F ( x ) = x 2 sen x dx Integramos por partes:

° u = x 2 8 du = 2 x dx ¢ £ dv = sen x dx 8 v = – cos x

∫

F ( x ) = – x 2 cos x + 2 x cos x dx 14243

I 1

° u1 = x 8 du1 = dx ¢ dv = cos x dx 8 v = sen x £ 1 1

∫

I 1 = x sen x – sen x dx = x sen x + cos x Por tanto: F ( x ) = – x 2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x + k ° ¢ F (π) = π2 – 2 + k = 4 ò k = 6 – π2 £ F ( x ) = – x 2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x + 6 – π2 s35

Determina la función f (x ) sabiendo que: f '' (x ) = x ln x , f ' (1) = 0 y f (e ) =

∫

f ' ( x ) = f '' ( x ) dx

e

4

∫

8 f ' ( x ) = x ln x dx

Integramos por partes:

° 1 dx § u = ln x 8 du = — x ¢ x 2 § dv = x dx 8 v = — 2 £ x 2 x x 2 x 2 x 2 1 f ' ( x ) = ln x – dx = ln x – + k = ln x – + k 2 2 2 4 2 2

∫

(

)


UNIDAD 12

( ) x 1 1 f ' ( x x ) = ln x – – + 2 ( 2) 4

1 1 1 – + k = – + k =0 k = k = 2 2 4

f ' (1) =

1 4

ò k = k =

2

∫

f (( x f x ) = f ' ' (( x x ) dx

8 f f (( x x ) =

x 2 x 2 1 1 1 1 ln x – – + dx = dx = ln x – – dx dx + + x 2 2 4 2 2 4

∫ [

(

) ]

∫

(

)

144424443

I Integramos por partes:

° 1 1 – — 8 du = — dx § u = ln x – 2 x ¢ 2 3 x x § dv dv = = — dx 8 v v = = — 2 6 £

(

I = I =

)

x 3 1 x 2 x 3 1 x 3 ln x – – – dx = dx = ln x – – – + k 6 2 6 6 2 18

(

) ∫

(

)

Por tanto: x 3 1 x 3 1 f (( x f x ) = ln x – – – + x x + + k 6 2 18 4

(

f ((e ) = f

)

e 3 e 3 e e 3 e e – + + k k = = + + k k = = 12 18 4 36 4 4

ò

° § § § ¢ e 3 § § k = k = – 36 § £

x 3 1 x 3 1 e 3 ln x – – – + x – – f ( x x ) = 6 2 18 4 36

(

s36

)

2

x y que Calcula la expresión de una función f (x ) tal que f ' (x ) = x e – x 1 f (0) = . 2

∫

2

f (( x f x ) = x e – x dx dx = = – f ((0) = – f

1 1 + k k = = 2 2

Por tanto: f f (( x x ) = – s37

∫

2 2 1 1 –2 x e – x dx dx = = – e – x + k 2 2

ò k k = =1 1 – x 2 e + 1 2

De una función y = f (x ), ), x > –1 sabemos que tiene tiene por derivada y ' =

a 1 + x

donde a es una constante. Determina la función si, además, sabemos que f (0) = 1 y f (1) = –1. y = y =

∫

a dx 1 + x + x

8 f f (( x x ) = a ln (1 + x + x ) + k


( x > x > –1)

39       

f (0) f (0) = 1 f (1) f (1) = –1

8 a ln (1 + 0) + k k = = 1 8 k k = =1 8 a ln 2 + k k = = –1 8 a ln 2 = –1 – 1 8 a =

Por tanto, f f (( x x ) =

–2 ln 2

–2 ln (1 + x + x ) + 1, x x > > –1. ln 2

Página 359 s38

Dada la función f : Á 8 Á definida por f (x ) = ln (1 + x 2), halla la primiti va de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas. + x ) dx ∫ ln (1 + x 2

Integramos por partes: u = ln (1 + + x x 2) dv = dv = dx

∫

2 x 1 + x + x

°

§ 8 du = — 2 dx ¢

8 v v = = x

§ £

2 x 2 dx = dx = 1 + x + x 2

∫ 1 = x ln (1 + x + x ) – 2 ( 1 – dx = ∫ 1 + x + x )

ln (1 + + x x 2 ) dx dx = = x ln (1 + + x x 2 ) – 2

2

= x ln (1 + + x x 2 ) – 2( x x – arc – arc tg x ) + k F ( x x ) = x = x ln (1 + + x x 2) – 2 x x + + 2arc 2arc tg x + x + k

8 F (0) (0) = 0 F (0) (0) = 0 – 2 · 0 + 0 + k k = = 0 8 k k = =0 Debe pasar por (0, 0)

Así, F F (( x x ) = x = x ln (1 + + x x 2) – 2 x x + + 2arc tg x . s39

∫

Calcula a para que una primitiva de la función (ax 2 + x cos x + 1) dx pase por (π, –1).

∫

∫

∫

I = I = (ax 2 + x cos x + x + 1) dx dx = = (ax 2 + 1) dx dx + + x cos x dx = dx = =

ax 3 + x x + + x cos x dx 3 14243 I 1

∫

Calculamos I 1 por partes: u = x 8 du = dx ° ¢ dv = dv = cos x dx 8 v v = = sen x £

∫

I 1 = x sen x – – sen x dx = dx = x sen x + x + cos x + x + k


UNIDAD 12 ax 3 + x x + + x sen x + x + cos x 3

F ( x x ) =

Como pasa por (π, –1): F (π) = –1

8

aπ3 +π+ 3

aπ3 + π – 1 = –1 3

8

π · sen π + cos π = –1

aπ3 = – π 3

8 a=

–3π

π

3

=

–3

π2

x 3 –3 x 3 Así, F F (( x x ) = 2 + x x + + x sen x + x + cos x = x = – 2 + x x + + x sen x + x + cos x π π 3 s40

∫

Halla e ax (x 2 + bx + c ) dx en función de los parámetros a , b y c .

∫

I = I = e ax ( x x 2 + bx bx + + c) dx Integramos por partes:

8 du = (2 x x + + b )dx °

u = x 2 + bx bx + +c e ax dx

dv = dv =

8

§ ¢ § £

1 v = v = — e ax a

Así: I = I =

1 ax 2 1 e ( x x + bx bx + + c) – e ax (2 x x + + b ) dx a a 14243

∫

I 1 Volvemos a integrar por partes: u = 2 x x + +b e ax dx

dv = dv = I = I =

s41

8 du = 2dx 2dx ° 8

1 ax § v = v = — e ¢ § a £

1 ax 2 1 e ( x x + bx bx + + c ) – I 1 = a a

=

1 ax 2 1 1 ax 1 ax e ( x x + bx bx + + c ) – e (2 x x + + b ) – e 2dx = a a a a

=

1 ax 2 1 2 e ( x x + bx bx + + c ) – 2 e ax (2 x x + + b ) + 3 e ax + k a a a

[

∫

]

Encuentra la función derivable f : [–1, 1] 8 Á que cumple f (1) = –1 y f ' (x ) =

° x 2 – 2x si –1 Ì x < 0 ¢ x £ e – 1 si 0 Ì x Ì 1

• Si x ? 0: x – 2 x ) dx ∫ ( x ∫ (e – 1) dx 2

∫

f (( x f x ) = f ' ( x x ) dx


x

si –1 Ì x < x < 0 si 0 Ì x < x < 1

41       

°§ x 3 – x 2 + k si –1 ≤ x < 0 f ( x ) = ¢ — 3 § e x – x + c si 0 < x ≤ 1 £ • Hallamos k y c teniendo en cuenta que f (1) = –1 y que f ( x ) ha de ser continua en x = 0. f (1) = –1

ò e – 1 + c = –1 ò c = – e

° § § k = 1 – e ¢ lím f ( x ) = 1 – e § § x 8 0+ £ lím f ( x ) = k

x 8 0 –

°§ x 3 – x 2 + 1 – e si –1 Ì x < 0 Por tanto: f ( x ) = ¢ — 3 § e x – x – e si 0 Ì x Ì 1 £ s42

De una función derivable se sabe que pasa por el punto A (–1, – 4) y que su ° 2 – x si x Ì 1 derivada es: f ' (x ) = ¢ £ 1/x si x > 1 a) Halla la expresión de f (x ). b) Obtén la ecuación de la recta tangente a f (x ) en x = 2. a) Si x ? 1:

° 2 x – x 2 + k si x < 1 — § 2 f ( x ) = ¢ § ln x + c si x > 1 £ Hallamos k y c teniendo en cuenta que f (–1) = –4 y que f ( x ) ha de ser continua en x = 1: f (–1) = –

5 + k = –4 2

ò k = – 3 2

° 3 3 – = 0 § 2 2 § c = 0 x 8 1 ¢ § § lím + f ( x ) = c £ x 8 1 lím – f ( x ) =

° 2 x – x 2 – 3 si x < 1 — — § 2 2 Por tanto: f ( x ) = ¢ § ln x si x ≥ 1 £ b) f (2) = ln 2; f ' (2) =

1 2

La ecuación de la recta tangente será: y = ln 2 +

1 ( x – 2) 2


UNIDAD 12 s43

Calcula:

∫ c) | 2 – 1 | ∫ a) |1 – x | dx ∫

a) |1 – x | dx x

∫ d) | – 2 | ∫ 2

b) (3 + | x |) dx

dx

x

dx

° 1 – x si x < 1 |1 – x | = ¢ £ –1 + x si x Ó 1

2 ° x – x — + k si x < 1 § 2 f ( x ) = |1 – x | dx = ¢ x 2 § – x + — + c si x Ó 1 2 £

∫

En x = 1, la función ha de ser continua: £ 1 lím f ( x ) = + k § ¢ 1 + k = – 1 + c 2 x 8 1 – § 2 2 1 lím + f ( x ) = – + c ° 2 x 8 1

ò c = 1 + k

Por tanto: 2 ° x – x — + k si x < 1 § 2 |1 – x | dx = ¢ x 2 § – x + — + 1 + k si x Ó 1 2 £

∫ b)

∫ (3 + | x |) dx 3 + | x | =

° 3 – x si x < 0 ¢ £ 3 + x si x Ó 0

2 ° 3 x – x + k si x < 0 — § 2 f ( x ) = (3 + | x |) dx = ¢ x 2 § 3 x + — + c si x Ó 0 2 £

∫

En x = 0, f ( x ) ha de ser continua: £ lím – f ( x ) = k § x 8 0 ¢ § c = k lím + f ( x ) = c ° x 8 0

Por tanto: 2 ° 3 x – x + k si x < 0 — § 2 (3 + | x |) dx = ¢ x 2 § 3 x + — + k si x Ó 0 2 £

∫


43 

∫ |2 x – 1| dx

c)

° –2 x + 1 si x < 1/2 | 2 x – 1 | = ¢ £ 2 x – 1 si x Ó 1/2 1 ° – x 2 + x + k si x < — § 2 f ( x ) = | 2 x – 1 | dx = ¢ 1 § x 2 – x + c si x Ó — 2 £

∫

f ( x ) ha de ser continua en x =

1 : 2

£ 1 + k § lím – f ( x ) = 4 ¢ 1 + k = – 1 + c x 8 (1/2) § 4 4 1 ° lím f ( x ) = – + c 4 x 8 (1/2)+

ò c = 1 + k 2

Por tanto: 1 ° – x 2 + x + k si x < — 2 | 2 x – 1 | dx = §¢ 1 1 + k si x Ó — § x 2 – x + — 2 2 £

∫ d)

|∫ x 2 – 2 | dx ° – x + 2 si x < 4 § — 2 x – 2 = ¢ x 2 – 2 si x Ó 4 § — 2 £

|

|

2 ° – x — § 4 + 2 x + k si x < 4 x f ( x ) = – 2 dx = ¢ 2 2 x § — – 2 x + c si x Ó 4 £ 4

∫ | |

f ( x ) ha de ser continua en x = 4: £ lím f ( x ) = 4 + k § ¢ x 8 4 – § 4 + k = –4 + c lím + f ( x ) = –4 + c °

ò c = 8 + k

x 8 4

Por tanto: 2 ° – x + 2 x + k si x < 4 § — x 4 – 2 dx = ¢ 2 2 x § — – 2 x + 8 + k si x Ó 4 £ 4

∫ | |


UNIDAD 12

44

1

∫

Calcula

dx . sen 2 x cos 2 x

☛ Utiliza la igualdad sen 2 x + cos 2 x = 1.

∫

sen 2 x + cos 2 x dx = sen 2 x cos 2 x

∫ x cos x = dx + dx = ∫ sen sen x cos ∫ x sen x cos x = ∫ cos 1 x dx + ∫ sen1 x dx = tg x – cotg x + k

1 dx = 2 sen x cos 2 x

2

2

2

2

2

2

45

2

∫

cos 4 x dx utilizando la expresión:

Calcula

cos 2 x =

cos 4 x = =

2

(

1 cos 2x + 2 2

1 cos 2 x 2 1 cos 2 2 x cos 2 x (1) 1 1 1 cos 4 x cos 2 x + = + + = + + + = 4 2 2 4 2 4 4 2 2 2

)

(

)

1 1 cos 4 x cos 2 x 3 cos 4 x cos 2 x + + + = + + 4 8 8 2 8 8 2

(1) cos 2 2 x =

1 cos 4 x + 2 2

Por tanto:

∫

cos 4 x dx =

46

(∫ 38 + cos 48 x + cos 22 x ) dx = 38 x + sen324 x + sen42 x + k

Resuelve:

∫ b) √9 – 4 ∫ a)

√4 – x 2 dx x 2 dx

☛ a) Haz x = 2 sen t. b) Haz x = 3/2 sen t.

a)

∫ √4 – x dx 2

Hacemos x = 2 sen t

8 dx = 2cos t dt

∫ √4 – x dx = ∫ √4 – 4 sen t 2cos t dt = ∫ √4 (1 – sen t ) 2cos t dt = 1 cos 2t t 1 = 4cos t dt = 4 ( + dt = 4 ∫ ∫ 2 2 ) ( 2 + 4 sen 2t ) + k = 2

2

2

2

= 2t + sen 2t + k


45 

Deshacemos el cambio con t = arc sen

x : 2

sen 2t = 2 sen t cos t = 2 sen t √1 – sen 2 t = 2 · I = 2arc sen b)

x 2

√

x 2 1 – — 4

x x + √4 – x 2 + k 2 2

∫ √9 – 4 x dx 2

Hacemos x =

∫

√9 – 4 x 2

3 sen t 2

8 dx =

3 cos t dt 2

cos t dt = ∫ √ ∫ 3 9 1 cos 2t 9 t 1 = 3cos t dt = + dt = ( 2 2 ) 2 ( 2 + 4 sen 2t ) = 2 ∫ 2 ∫ 3 3 9 9 – 4 · — sen 2 t · cos t dt = 2 2 4

dx =

√9(1 – sen 2 t )

2

=

9 9 t + sen 2t + k 4 8

Deshacemos el cambio: 2 x = sen t 3

8 t = arc sen

2 x 3

sen 2t = 2 sen t cos t = 2 sen t √1

I =

47

– sen 2

2 x t = 2 · 3

√

4 x 4 x 2 1 – — = 9 – 4 x 2 √ 9 9

9 2 x 9 4 x 9 2 x x 9 – 4 x 2 + k = arc sen arc sen + + √9 – 4 x 2 + k √ 4 3 8 9 4 3 2

(

) (

)

Halla una primitiva F (x ) de la función f (x ) = 2x tal que F (x ) Ì 0 en el intervalo [–2, 2].

∫

F ( x ) = 2 x dx = x 2 + k x 2 + k Ì 0 en [–2, 2] x 2

Debe ser k Ì –4; por ejemplo, la función F ( x ) = x 2 – 4 es menor o igual que 0 en [–2, 2]. Representamos x 2 y x 2 – 4:

x 2 – 4 –2

2


UNIDAD 12 48

Busca una primitva F (x ) de la función f (x ) = 2x – 4 que verifique F (x ) Ó 0 en el intervalo [0, 4]. x 2 – 4 x + 4

∫

F ( x ) = (2 x – 4) dx = x 2 – 4 x + k

Ó 0 en [0, 4].

Debe ser F ( x )

Representamos y = x 2 – 4 x : Para que F ( x )

x 2 – 4 x

Ó 0 en [0, 4] debe ser k Ó 4.

Por ejemplo, F ( x ) = x 2 – 4 x + 4.

49

Halla f (x ) sabiendo que: f '' (x ) = cos

x

2

, f ' (2π) = 0 y f (0) = 1

∫

x 1 x x dx = 2 cos dx = 2 sen + k 2 2 2 2

∫

∫

f ' ( x ) = f '' ( x ) dx = cos f ' ( x ) = 2 sen

∫

x + k ; como f ' (2π) = 0 2

∫

f ( x ) = f ' ( x ) dx = 2 sen

8 2 sen

2π + k = 0 2

8 k = 0

(

)

x 1 x x dx = 2 · 2 sen dx = 4 – cos + k' 2 2 2 2

∫

x f ( x ) = –4cos + k' ; como f (0) = 1 2

8 f (0) = –4cos 0 + k' = 1 8 8 –4 + k' = 1 8 k' = 5

x Por tanto, la función que buscamos es f ( x ) = –4cos + 5 2 50

a) Halla la familia de curvas en las que la pendiente de las rectas tangentes a dichas curvas en cualquiera de sus puntos viene dada por la función: x – 2 f (x ) = 2x + 4 5 3 b) Determina, de esa familia, la curva que pasa por el punto A – , . 2 4

(

)

a) La pendiente de la recta tangente a la curva en uno de sus puntos viene dada por la derivada de la curva en ese punto. x – 2 Por tanto, m = F ' ( x ) = . 2 x + 4 Buscamos F ( x ) = F ( x ) = =

x – 2 dx . 2 x + 4

∫

x – 2 dx = 2 x + 4

∫

∫ (

1 4 1 2 – dx = x – 2 dx = 2 2 x + 4 2 2 x + 4

)

∫

x – 2ln |2 x + 4| + k 2


47 

b) Debe ser:

( 52 ) = 34

F –

8 k = 51

8

–5/2 5 3 – 2ln 2 – + 4 + k = 2 2 4

|( ) |

3 5 + =2 4 4

8 F ( x ) =

8

–5 3 – 2ln 1 + k = 4 4

8

x – 2ln|2 x + 4| + 2 2

Calcula la función f (x ) sabiendo que f '' (x ) = x , que la gráfica de f pasa por el punto P (1, 1) y que la tangente en P es paralela a la recta de ecuación 3x + 3 y – 1 = 0.

∫

f ' ( x ) = f '' ( x ) dx

∫

f ( x ) = f ' ( x ) dx

8

8

f pasa por P (1, 1)

x 2 f ' ( x ) = x dx = + k 2

∫

x 2 1 x 3 + k dx = + kx + k' 2 2 3

∫ (

)

8 f (1) = 1 8

1 + k + k' = 1 6

(1)

La pendiente de la recta tangente en P es m = –1; por ello: f ' (1) = –1

8

1 + k = –1 2

(2)

De las igualdades (1) y (2) obtenemos los valores de k y k' : k = –1 –

1 3 1 1 3 7 = – ; k' = 1 – – k = 1 – + = 2 2 6 6 2 3

Por tanto, la función que buscamos es: f ( x ) =

x 3 3 7 – x + 6 2 3

CUESTIONES TEÓRICAS s52

Prueba que si F (x ) es una primitiva de f (x ) y C un número real cualquiera, la función F (x ) + C es también una primitiva de f (x ).

ï F ' ( x ) = f ( x ) ( F ( x ) + C )' = F ' ( x ) = f ( x ) ò F ( x ) + C es primitiva de f ( x ).

F ( x ) primitiva de f ( x )

53

a) Representa tres primitivas de la función f cuya gráfica es la siguiente: 2

f

f

b) Representa tres primitivas de la siguiente función:

2 1 1


UNIDAD 12 a) f ( x ) = 2

ò F ( x ) = 2 x + k

F 2

Por ejemplo:

F 1 F 3

2

F 1 ( x ) = 2 x

1

F 2 ( x ) = 2 x + 1 F 3 ( x ) = 2 x – 1

1

2

3

2

3

4

–1

cuyas gráficas son: b) f ( x ) = 2 x

ò F ( x ) = x 2 + k

Por ejemplo:

8 7 6 5 4 3 2

F 1 ( x ) = x 2 F 2 ( x ) = x 2 + 1 F 3 ( x ) = x 2 – 1 cuyas gráficas son:

1 –4

–3

–2

–1

1 –1

54

1 Sabes que una primitiva de la función f (x ) = es F (x ) = ln | x |. ¿Por qué x se toma el valor absoluto de x ? f ( x ) =

1 está definida para todo x ? 0; y es la derivada de la función: x

F ( x ) =

° ln x si x > 0 ¢ £ ln (– x ) si x < 0

es decir, de F ( x ) = ln| x |.

Página 360 55

En una integral hacemos el cambio de variable e x = t . ¿Cuál es la expresión de dx en función de t ? e x = t

56

8 x = ln t 8 dx = 1 dt

Comprueba que

t

∫

1

cos x

dx = ln | sec x + tg x | + k

Tenemos que probar que la derivada de f ( x ) = ln| sec x + tg x | + k es f' ( x ) =


1 . cos x

49 

Derivamos f ( x ) = ln

x + k : | 1 + sen cos x |

cos 2 x + sen x (1 + sen x ) cos 2 x + sen x + sen 2 x cos 2 x cos x f ' ( x ) = = = 1 + sen x 1 + sen x cos x =

57

1 + sen x 1 = (1 + sen x ) cos x cos x

Comprueba que

∫

1

sen x cos x

dx = ln | tg x | + k

Tenemos que comprobar que la derivada de la función f ( x ) = ln|tg x | + k es 1 f ' ( x ) = . sen x cos x Derivamos f ( x ): f ' ( x ) = 58

1 1/cos 2 x 1/cos 2 x = = tg x sen x /cos x sen x cos x

Sin utilizar cálculo de derivadas, prueba que: 1 – x 4 y ( ) = G x 1 + x 4 1 + x 4 son dos primitivas de una misma función. F (x ) =

Si F ( x ) y G ( x ) son dos primitivas de una misma función, su diferencia es una constante. Veámoslo: F ( x ) – G ( x ) =

– x 4 1 + x 4 1 – = =1 1 + x 4 1 + x 4 1 + x 4

(

)

Por tanto, hemos obtenido que: F ( x ) = G ( x ) + 1 Luego las dos son primitivas de una misma función. 59

Sean f y g dos funciones continuas y derivables que se diferencian en una constante. ¿Podemos asegurar que f y g tienen una misma primitiva? No. Por ejemplo: f ( x ) = 2 x + 1 g( x ) = 2 x + 2

8 F ( x ) = x 2 + x + k ° ¢ 8 G ( x ) = x 2 + 2 x + c £

f ( x ) y g ( x ) son continuas, derivables y se diferencian en una constante (pues f ( x ) = g( x ) – 1). Sin embargo, sus primitivas, F ( x ) y G ( x ), respectivamente, son distintas, cualesquiera que sean los valores de k y c. Unidad 12. Cálculo de primitivas 50 

UNIDAD 12 60

Calcula f (x ) sabiendo que:

| x – 1 | 3

∫ ( ) = ( + 2) + | x – 1 | F ( x ) = f ( x ) dx = ln +c ∫ ( x + 2) f x dx ln

2

x

c

3

2

Sabemos que F ' ( x ) = f ( x ). Por tanto, calculamos la derivada de F ( x ). Aplicamos las propiedades de los logaritmos antes de derivar: F ( x ) = 3ln | x – 1 | – 2ln ( x + 2) + c F' ( x ) =

3 2 3( x + 2) – 2( x – 1) x + 8 – = = 2 2 x – 1 x + 2 x + x – 2 x + x – 2

Por tanto, f ( x ) = 61

x + 8 . + x – 2

x 2

Las integrales: (arc tg x )2 dx y 1 + x 2

∫

∫ (

tg 3 x + tg 5 x ) dx

∫ En caso afirmativo, identifica, en cada una de ellas, ¿son del tipo f (x )n f ' (x ) dx ?

f (x ), n y f ' (x ).

∫ 1 (arc tg x ) • dx = (arc tg x ) · dx 1 + x ∫ 1 + x ∫

Ambas son del tipo f ( x )n f' ( x ) dx . 2

2

2

2

1 f ( x ) = arc tg x ; n = 2; f ' ( x ) = 1 + x 2 •

∫ (tg x + tg x ) dx = ∫ tg x (1 + tg x ) dx 3

5

3

2

f ( x ) = tg x ; n = 3; f ' ( x ) = 1 + tg 2 x

PARA PROFUNDIZAR 62

Para integrar una función cuyo denominador es un polinomio de segundo grado sin raíces reales, distinguiremos dos casos: a) Si el numerador es constante, transformamos el denominador para obtener un binomio al cuadrado. La solución será un arco tangente: dx = x 2 + 4x + 5

∫

∫ (

dx

x + 2)2 + 1

(Completa la resolución). Unidad 12. Cálculo de primitivas

51 

b) Si el numerador es de primer grado, se descompone en un logaritmo neperiano y un arco tangente: (x + 5) dx 1 = x 2 + 2x + 3 2

∫

2x + 10 dx = + 2x + 3

∫ 1 2 +2 = 2 ∫ + 2 + 3 x 2

x

x 2

x

dx +

1 2

∫

x 2

8 dx + 2x + 3

(Completa su resolución). a)

b)

∫

dx = x 2 + 4 x + 5

∫

dx = arc tg ( x + 2) + k ( x + 2)2 + 1

5)dx = 1 2 x + 10 dx = ∫ x ( x ++ 2 x + ∫ 2 x + 2 x + 3 3 1 2 x + 2 dx + 1 8 dx = = ∫ ∫ 2 x + 2 x + 3 2 x + 2 x + 3 1 dx = ln ( x + 2 x + 3) + 4 ∫ ( x + 1) + 2 = 2 1 dx = ln ( x + 2 x + 3) + 2 = ∫ — 2 x + 1 ( ) +1 2

2

2

2

2

2

2

2

—

√2

1 = ln ( x 2 + 2 x + 3) + 2 √ 2 2

—

(1/√ 2 ) dx

∫ — ( x + 1 ) + 1 2

=

—

√2

= 63

(

)

x + 1 1 ln ( x 2 + 2 x + 3) + 2 √ 2 arc tg + k 2 √2

Observa cómo se resuelve esta integral: I =

x + 1 dx x 3 + 2x 2 + 3x

∫

x 3 + 2x 2 + 3x = x (x 2 + 2x + 3)

La fracción se descompone así:

x + 1 A Bx + C = + x 3 + 2x 2 + 3x x x 2 + 2x + 3

Obtenemos: A =

1 1 1 , B = – , C = 3 3 3

Sustituimos: I =

1 3

1

∫

1

dx – 3 x

∫

x 2

x – 1 dx + 2x + 3

(Completa su resolución). Completamos la resolución: Unidad 12. Cálculo de primitivas 52 

UNIDAD 12

∫ x x + 2– x +1 3 dx = 1 1 1 1 2 x – 2 2 x + 2 – 4 dx = = ln| x | – dx = ln| x | – 3 6 ∫ x + 2 x + 3 3 6 ∫ x + 2 x + 3 1 1 2 2 x – 2 dx = ln| x | – = dx + 3 6 ∫ x + 2 x + 3 3 ∫ x + 2 x + 3

I =

1 3

∫

1 1 dx – x 3

2

2

2

(*)

2

2

√ 2 arc tg x + 1 + k = 1 ln| x | – 1 ln ( x 2 + 2 x + 3) + 3 3 6 √2

(

(*)

)

( Ver en el ejercicio 62 apartado b) el cálculo de ∫ x +dx 2 x + 3 ). 2

64

Resuelve las siguientes integrales: 2x – 1 1 a) b) dx dx 3 3 x + x x + 1

∫ c) ∫ e) ∫

∫ 2 + 10 d) ∫ + + 1 f) ∫ ( + 1) (

x 2 + 3x + 8 dx x 2 + 9

x

x 2

2 dx x 2 + 3x + 4

x

x

dx

dx 2 x 2 + 1)

☛ e) Multiplica el numerador y el denominador por 4.

a)

2 x – 1 dx = x 3 + x

∫

2 x – 1 dx x ( x 2 + 1)

∫

Descomponemos la fracción: 2 x – 1 A Bx + C A( x 2 + 1) + Bx 2 + C x = + = x ( x 2 + 1) x x 2 + 1 x ( x 2 + 1) 2 x – 1 = A( x 2 + 1) + Bx 2 + C x Hallamos A, B y C : x = 0 x = 1 x = –1

° A = –1 ° 8 –1 = A § § 8 1 = 2 A + B + C 8 3 = B + C ¢ B = 1 ¢ § § C = 2 £ 8 –3 = 2 A + B – C 8 –1 = B – C £

Por tanto: 2 x – 1 dx = x 3 + x

∫

(∫ –1 x + x x ++ 21 ) dx = –1 1 2 x dx = dx + dx + 2 ∫ x 2 ∫ x + 1 ∫ x + 1 = 2

2

= – ln| x | +


2

1 ln( x 2 + 1) + 2 arc tg x + k 2

53 

b)

∫

x 3

1 dx = +1

dx ( x + 1) ( x 2 – x + 1)

∫

Descomponemos la fracción: 1 = ( x + 1) ( x 2 – x + 1) A Bx + C A( x 2 – x + 1) + Bx ( x + 1) + C ( x + 1) = + = x + 1 x 2 – x + 1 ( x + 1) ( x 2 – x + 1) 1 = A( x 2 – x + 1) + Bx ( x + 1) + C ( x + 1) Hallamos A, B y C : x = –1 x = 0 x = 1

8 1 = 3 A 8 A = 1/3 8 1 = A + C 8 C = 2/3 8 1 = A + 2 B + 2C 8 B = –1/3

° § ¢ § £

Por tanto:

∫

x 3

1 1/3 dx = dx + +1 x + 1

∫

1 2 – — x + — 3 3 dx = x 2 – x + 1

∫ 1 1 x – 2 = ln| x + 1|– dx = 3 3 ∫ x – x + 1 1 1 2 x – 4 = ln| x + 1| – dx = 3 6 ∫ x – x + 1 1 1 2 x – 1 – 3 = ln| x + 1| – dx = 3 6 ∫ x – x + 1 1 1 2 x – 1 1 dx = ln| x + 1| – dx + = 3 6 ∫ x – x + 1 2 ∫ x – x + 1 1 1 1 dx = ln| x + 1| – ln( x – x + 1) + = 3 6 2 ∫ 1 3 ( x – ) + 2

2

2

2

2

2

—

2

—

2

=

1 1 1 ln| x + 1| – ln( x 2 – x + 1) + 3 6 2

∫ — ( )

1 1 √3 = ln| x + 1| – ln( x 2 – x + 1) + 3 6 3

=

4

4/3 dx = 2 x + 1 2 +1 — √3 —

2/√ 3 dx = 2 x + 1 2 +1 — √3

∫ — ( )

1 1 √3 arc tg ln| x + 1| – ln( x 2 – x + 1) + 3 6 3

(

2 x – 1

√3

) + k


UNIDAD 12

c)

(∫ 1 + x 3 x +– 91 ) dx = x + ∫ x 3 x + 9 dx – ∫ x dx + 9 = 3 2 x 1/9 = x + dx – ∫ ( x /3) + 1 dx = 2 ∫ x + 9 3 1 x = x + ln ( x + 9) – arc tg ( ) + k 2 3 3

x 2 + 3 x + 8 dx = x 2 + 9

∫

2

2

2

2

2

2

d)

2 x + 10 dx = x 2 + x + 1

∫

2 x + 1 + 9 dx = x 2 + x + 1

∫

= ln ( x 2 + x + 1) + 9

2 x + 1 1 dx + 9 dx = x 2 + x + 1 x 2 + x + 1

∫

∫

∫ (

dx = 2 1 3 x + — + — 2 4

)

—

= ln ( x 2 + x + 1) + 6 √ 3

2/√ 3 dx = 2 x + 1 2 +1 — √3

∫ — ( )

= ln ( x 2 + x + 1) + 6 √ 3 arc tg

e)

∫

x 2

2 dx = + 3 x + 4 =

=

f)

∫

4 x 2

8 dx = + 12 x + 16

(

2 x + 1

√3

) + k

8 dx = (2 x + 3)2 + 7

∫

8 √7 8/7 dx = · 2 2 x + 3 2 7 +1 — √7

∫ — ( )

—

2/√ 7 dx = 2 x + 3 2 +1 — √7

∫ — ( )

2 x + 3 4√7 arc tg + k 7 √7

(

)

dx ( x + 1)2 ( x 2 + 1)

∫

Descomponemos la fracción: ( x +

1 A B Cx + D = + + 2 2 2 ( x + 1) x + 1 ( x + 1) x + 1

1)2

1 = A( x + 1) ( x 2 + 1) + B ( x 2 + 1) + C x ( x + 1) 2 + D ( x + 1) 2 Hallamos A, B , C y D : x = x = x = x =

–1 0 1 –2

8 8 8 8

1 1 1 1

= 2 B 8 B = 1/2 ° A = 1/2 ° § § = A + B + D § B = 1/2 § ¢ ¢ = 4 A + 2 B + 4C + 4 D § C = –1/2 § § § = –5 A + 5 B – 2C + D £ D = 0 £


55 

Por tanto: dx = ( x + 1)2 ( x 2 + 1)

∫

=

(∫ x +1/21 + ( x +1/21)

2

–

)

1 x · 2 dx = 2 x + 1

1 1 1 ln| x + 1| – – ln ( x 2 + 1) + k 2 2( x + 1) 4

Página 361 65

Se llama ecuación diferencial de primer orden a una ecuación en la que, además de x e y , figura también y' . Resolverla es buscar una función y = f (x ) que verifique la ecuación. Por ejemplo, resolvamos x y 2 + y' = 0: y' = – x y 2

dy = – x y 2 dx

8

8

dy = – x y 2 dx

Separamos las variables: dy = – x dx 8 y 2

–

1 y

=–

x 2

2

dy = y 2

∫ ∫ (– )

+ k 8 y =

x dx

2 x 2 –

2k

Hay infinitas soluciones. Busca la que pasa por el punto (0, 2) y comprueba que la curva que obtienes verifica la ecuación propuesta. • Buscamos la solución que pasa por el punto (0, 2): y =

8 2= 2

2 x 2 – 2k

Por tanto: y =

ò –4k = 2 ò k = –1

–2k

x 2

2

2 +1

• Comprobamos que verifica la ecuación xy 2 + y ' = 0:

(

xy 2 + y ' = x = 66

2 2 x + 1

2

) – ( x 4 x + 1) 2

2

= x ·

( x 2

4 4 x – = 2 2 + 1) ( x + 1)2

4 x 4 x – =0 2 2 + 1) ( x + 1)2

( x 2

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden: a) y y' – x = 0

b) y 2 y' – x 2 = 1

c) y' – x y = 0

d) y' √ x – y = 0

e) y' e y + 1 = e x

f ) x 2 y' + y 2 + 1 = 0

☛ En todas ellas, al despejar y ' se obtiene en el segundo miembro el producto o el

cociente de dos funciones, cada una de ellas con una sola variable.


UNIDAD 12 a) y y' – x = 0 y ' =

x y

dy x = dx y

ò

y 2 x 2 = + k 2 2

∫

∫

ò y dy = x dx ò y dy = x dx

ò y 2 = x 2 + 2k ò y = ± √ x 2 + 2k

b) y 2 y' – x 2 = 1 1 + x 2 y' = y 2

∫

dy 1 + x 2 = dx y 2

ò

∫

y 2 dy = (1 + x 2 ) dx

ò

ò y 2 dy = (1 + x 2 ) dx

y 3 x 3 = x + + k 3 3

ò y 3 = 3 x + x 3 + 3k ò

3

ò y = √ 3 x + x 3 + 3k c) y' – x y = 0

ln|y | =

dy = x y dx

ò

y ' = x y

x 2 + k 2

dy = x dx y

ò

ò

dy = x dx y

∫

∫

ò | y | = e ( x /2) + k ò y = ±e ( x /2) + k 2

2

d) y' √ x – y = 0 y ' =

y

√ x

dy y = dx √ x

ò

ln|y | = 2 √ x + k

ò

dy dx = y √ x

ò

dy dx = y √ x

∫

∫

ò | y | = e 2 √ x + k ò y = ± e 2 √ x + k

e) y' e y + 1 = e x y ' =

e x – 1 e y

dy e x – 1 = dx e y

ò

e y dy = (e x – 1) dx e y = e x – x + k

ò

∫ e dy = ∫ (e – 1) dx y

x

ò y = ln |e x – x + k |

f) x 2 y' + y 2 + 1 = 0 –1 – y 2 y ' = x 2

∫

ò

dy –1 = dx 2 1 + y x 2

y = tg

∫

dy –(1 + y 2) = dx x 2

ò arc tg y =

ò

dy –1 = dx 1 + y 2 x 2

1 + k x

1 + k x

(

)


57 

Página 361

AUTOEVALUACIÓN Resuelve las integrales siguientes:

∫ sen x (cos x + tg x ) dx = cos x dx + ∫ ∫ ∫ cos x dx = sen x – ln |cos x | + k

1. (cos x + tg x ) dx

2.

(∫ 2 + √ ) x 2 x | | + dx = 2ln x + ∫ ( x √ x ) 3/2 x

x

x

dx

3/2

3.

∫ 1 2 x + 1 dx = √ x 4 x (2 x + 1) ∫ 4 ∫

2 x 3 + k √ 3

3

x √2x 2 + 1 dx 3

4.

= 2ln | x | +

2

2

1/3

dx =

1 3 3 3 √(2 x 2 + 1)4 + k (2 x 2 + 1)4/3 · = 4 4 16

tg 2 x dx cos 2 x

∫ tg x tg x dx = + k ∫ cos x 3 2

3

2

5.

∫ x x arc tg x dx = ∫ 2 x arc tg x dx

(1)

2

1 arc tg x – 2

2 x 2 1 1 (2) x dx = arc tg x – x + arc tg x + k 1 + x 2 2 2 2

∫

1 4 4 2 4 4 3

I 1 (1) Por partes: 1 ° arc tg x = u 8 — dx = du § 1 + x 2 ¢ x 2 § x dx = dv 8 — = v 2 £ (2) I 1 =

x 2 dx = 1 + x 2

∫

1 1 – 2 dx = x – arc tg x x + 1

∫ (

)


UNIDAD 12 1

6.

∫ ( ) 1 ∫ x sen (ln x ) dx = – cos (ln x ) + k

7.

∫

x

sen ln x dx

x dx x 2 + 4x – 21

∫

I =

x 2

x dx . Descomponemos en fracciones simples: + 4 x – 21 x = –7 x = 3

x 2 + 4 x – 21 = 0

x A B = + ( x – 3)( x + 7) x – 3 x + 7

3 7 , B = 10 10

3/10 7/10 3 7 dx + dx = ln | x – 3| + ln | x + 7| + k x – 3 x + 7 10 10

∫

I =

8.

8 x = A ( x + 7 ) + B ( x – 3) 8 A =

∫

1

∫

3x 2

+4

dx —

√3 1 1 dx = 2 3 x + 4 4

∫

1

1 2 dx = · 4 √3 3 x 2 +1 — 4

∫

2

∫ — √3 x ( 2 ) +1 —

2

9. Resuelve, por el método de sustitución, la integral: I =

dx =

1 + x

∫ 1 + √

x

6

arc tg

√3 x 2

+ k

dx

1 + x

∫ 1 + √ x dx

Hacemos el cambio √ x = t 1 + t 2 · 2t dt = 2 1 + t

8 x = t 2 8 dx = 2t dt

(1) t + t 3 dx = 2 1 + t

∫ ∫ t t = 2( – + 2t – 2ln |t + 1|) 3 2

I =

√3

—

3

∫ (

t 2 – t + 2 –

2 dt = t + 1

)

2

(1) Dividimos (t 3 + t ) : (t + 2) y expresamos de la forma: dividendo = cociente + resto divisor Deshaciendo el cambio: I =


2 √ x 3 – x + 4 √ x – 4ln (√ x + 1) + k 3

59 

10. Aplica la integración por partes para calcular I =

∫

cos (ln x ) dx .

∫ cos (ln x ) dx °§ 1 cos (ln x ) = u 8 – — sen (ln x ) dx = du ¢ x § dx = dv 8 x = v £

∫

I = x cos (ln x ) + sen (ln x ) dx 1442443

I 1

°§ 1 sen (ln x ) = u 8 — cos (ln x ) dx = du ¢ x § dx = dv 8 x = v £

∫

I 1 = x sen (ln x ) – cos (ln x ) dx 1442443

I I = x cos (ln x ) + x sen (ln x ) – I

8 I =

x cos (ln x ) + x sen (ln x ) + k 2

11. De la función f (x ), se sabe que: f ' (x ) =

3 ; f (2) = 0 (x + 1)2

a) Determina f . b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, 1). a) f ( x ) =

∫

–1 3 –3 –2 dx = 3( x + 1) dx = 3 ( x + 1) + k = + k 2 ( x + 1) –1 x + 1

∫

f (2) =

–3 + k = –1 + k 2+1

f ( x ) =

–3 x – 2 +1= x + 1 x + 1

b) g( x ) =

x – 2 dx = x + 1

∫

∫ (

1+

8 Como f (2) = 0, –1 + k = 0 8 k = 1

–3 dx = x – 3ln | x + 1| + k x + 1

g(0) = 0 – 3ln |0 + 1| + k = k

)

8 Como g(0) = 1, k = 1.

La primitiva de f que pasa por (0, 1) es g( x ) = x – 3ln | x + 1| + 1.


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