คณตศาสตร ตศาสตร
แคลคลัลัส
www.clipvidva.com
แคลคล สั ในบทเร องแคลค องแคลคลัลัสน สน เป เปนบทท นบทท สสาคั า คัญมากๆ ญมากๆ ในวชาคณ ชาคณตศาสตร ตศาสตร ท ท สามารถน สามารถนาไปใช าไปใชตตอได อ ได ในว ในวชา ชา คณตศาสตร ตศาสตรขั ข ันส นสง และในเน อหาบทน อหาบทน คคอนข อนขางไม างไมยากมากเม ยากมากเม อเท อเทยบกั ยบกับอ บอ นๆ นๆ วชาฟ ชาฟสสกส ก ส ในระดับมหาลั บมหาลัยว ยวทยาลั ทยาลัย, ดังนั งนั นขอให นขอใหนนองๆตั องๆตั งใจ งใจ ท จะท จะทาความเข าความเขาใจกั าใจกับเน บเน อหาบทน อหาบทน ดดวยเพราะจะเป วยเพราะจะเปนประโยชน นประโยชนอัอันด นด ในการทาคะแนน าคะแนน สอบในวชา ชา Pat1
1.1)
1.
2.
ลมมตและความต ต และความตอเน อเน อง อง อัตราการเปล ตราการเปล ยนแปลง ยนแปลง
แคลคลัลัส 3.
หาลมมตในร ตในรปของ ปของ
หาลมมตค ตคาสั าสัมบ มบรณ รณ
1.3)
หาลมมตเป ตเปนกรณ นกรณ
1.4)
ความตอเน อเน อง อง
3.1)
อนพัพันธ นธอัอันดั นดับส บสง
3.2)
การประยกต กต
อนพัพันธ นธของฟ ของฟงก งกชัชัน
ไมจจากั ากัดเขต ดเขต
4.2)
การอนท นทเกรต เกรต
จากั ากัดเขต ดเขต
พ นท นท ปปดล ด ลอม อม ดวยเส วยเสนโค นโคง
4.3)
1
0
1.2)
4.1)
4.
0
คณตศาสตร ตศาสตร
แคลคลัลัส
ล ลม ต และความต และความตอเน เน อง อ ง
1.
ทฤษฎบทของล บทของลมมต กลาวไว าวไวววา ถา lim f ( x ) x
1. lim c x
x
a
เม อ c เปนค นคาคงตั าคงตัวใดๆ วใดๆ
c a
a
3. lim x x
n
a
n
เม อ n
N
a
cf ( x ) 4. lim cf x
a
(x ) 5. lim ( f (x x
c L เม อ c g ( x) x))
a
m(f(x) f(x) g(x) g(x))) 6. lim( x
x
a
lim g( g( x) x)
x
x
f ( x)
limf(x)
g( x )
lim g( g( x) x)
8. lim f (x (x ) a
a
f (x)
a
x
L M
L
M
a
L M
a
เม อ
lim g (x (x ) 0 x a
a
lim f (x (x) x
n
a
a
x
9. lim
lim f ( x) x)
x
x
เปนค นคาคงตั าคงตัวใดๆ วใดๆ
limf (x) lilimg(x) mg(x)
a
7. lim
x
M แลว
lim g( g ( x) x) x
a
2. lim x
x
และ
L
a
L
a
n
lim f( f(x) x
n
L
และ
n
L
R
a
2
าลมมตม ต มคคา ) x 9) (ถาล
x
4
ตัวอย วอยาง าง
จงหาคาของ าของ
lim ( x x 1
ตัวอย วอยาง าง
จงหาคาของ าของ
lim ( 2 x 2
5
2x 1
) (ถาล าลมมตม ตมคคา )
2
www.clipvidva.com
คณตศาสตร ตัวอยาง
แคลคลัส
จงหาคาของ
1.1
lim x 1
x
www.clipvidva.com
x (ถาลมตมคา ) x 1
3
2
การหาลมตของฟงกชันท อย ในรปของ 0 0
เม อโจทยกา หนดใหหา
x
ถาแทนคาเขาไปแลวไดวา
f(x)
lim
f(a)
a
=
g(a)
ในขั นแรกเลย ส งท เราตองทาคอ แทน x = a เขาไปในฟงกชันแต
g(x)
0 0
เราจะมวธ แกปญหาอย วธคอ 2
ตองแยกตัวประกอบ เม อเจอพหนามกาลัง 3 หรอมากกวา 2,3 2.คณคอนจเกต เม อเจอรากท 3 หรอรากท 2 1.
ตัวอยาง
จงหาคาของ
lim x 1
x
2
x 2 )ถาลมต มคา ( x 1
3
คณตศาสตร ตัวอยาง
แคลคลัส 2x
จงหาคาของ lim x
1
x
3
ตัวอยาง
จงหาคาของ lim x
ตัวอยาง
Pat1
2
2
x
1 3 (ถาลมตมคา) 2x 3
6 2 มคา ) (ถาลมต x 2
x 2x 9 (ถาลมต มคา ) 3 x x 6
จงหาคาของ
lim x 3 x
ม.ค.54 จงหาคาของ lim x
0
x
2
3
x x 2
x
2
4
www.clipvidva.com
คณตศาสตร 1.2
แคลคลัส
www.clipvidva.com
การหาลมตของฟงกชันท มค า สัมบรณ
วธแ กปญหาเม อเจอฟงกชันท มค า สัมบรณคอ ตองถอดคาสัมบรณออกให ได และอกส งท เราตองทาคอ การหาลมต ทางซายและลมต ทางขวา แลวดวาลมต 2 ขางมันเทากันหรอไม ถาเทากัน แสดงวา ลมตมคา แต ถาลมต 2 ขางไมเทากัน แสดงวา ไมมล ม ต
ขอควรร
ตัวอยาง
จงหาคาของ
x lim
x 2
2
x 2 )ถาลมต มคา ( x 2
5
คณตศาสตร 1.3
แคลคลัส
www.clipvidva.com
การหาลมต ของฟงกชันท แบงเปนกรณ
ถาฟงกชันท โจทยกาหนดมาให มการแบงเปนหลายๆกรณ โดยท ฟง กชันถกแบงท ตาแหนง x=a และ โจทยกสั งใหเราหาคาของ limf(x) เราจะตองแยกหาลมต 2 ทางนั นคอ เราจะตองหา lim f (x) และ x
a
x
lim f (x) แลวดวาคา 2 คาน เปนอยางไร a 1.ถา lim f(x) = lim f(x) = L x a x a
a
x
เราจะไดวา
limf(x) = L และเราจะเรยกไดอกอยางหน งวา x a
ฟงกชัน f มลม ต ท x=a 2. lim f(x) ≠ lim f(x) x a x a
เราจะไดวา
limf(x) ไมมค า
x
a
และเรา ) หรอจะบอกวาหาคาไม ได ก ได(
จะเรยกไดอก อยางหน งวาฟงกชัน f ไมมล มต ท x=a
1
ตัวอยาง
ตัวอยาง
กาหนดให
กาหนดให
f(x)
f(x)
{
{
;x 1 จงหาคาของ lim f(x) 2 5 x x 1 ;x 1 x 1 3x 1
3x x
2
2
1;x 1
2x 3 ;x 1 x 1
6
จงหา
lim f(x)
x
1
คณตศาสตร 1.4
แคลคลัส
www.clipvidva.com
หาความตอเน อง
บทนยาม
f เปนฟงกชันตอเน องท x=a
กตอเม อ
หาคาได limf(x) หาคาได นั นคอ( lim f (x)
1.f(a) 2.
x
a
x
a
3. f(a)= limf(x) x a
ตัวอยาง
ฟงกชันตอไปน มความตอเน องท x = 2 หรอไม ก. f ( x )
8 x 2
x
3
4 ;x 2 x 2
x
ข. f ( x )
{
2
4;x 2
7
= lim f (x) ) x a
คณตศาสตร
แคลคลัส
www.clipvidva.com
;x 3 2x 10 x 13 โดยท a เปนจานวนจรง ถา f เปนฟงกชัน x 3
PAT1
ม.ค. 54 กาหนดให
f(x)
{
a; x 3
ตอเน องท จด x=3 แลว a เทากับเทาใด
2.
อั ตราการเปล ยนแปลง ในฟงกชัน y=f(x) ใดๆเราพจารณาหา “อัตราการเปล ยนแปลงคาฟงกชัน” ไดดังน ท จด x=x1 จะได y=f(x1) ท จด x=x2=x1+h จะได y=f(x1+h) ดังนั น อัตราการเปล ยนแปลงโดยเฉล ยของ y เทยบกับ x ในชวง x1 ถง x1+h กคอ
y f (x h) f (x ) f (x h) f (x ) x (x h) (x ) h 1
1
1
1
1
1
หรอ “อัตราการเปล ยนแปลงโดยเฉล ยของ y เทยบกับ x (ในชวง x ถง x+h ใดๆ)” คอ y f (x h) f (x) หรอ h x และเม อเราบบชวง h ใหแคบลงจนใกล 0 กจะไดอัตราการเปล ยนแปลง ณ จด x ท กาหนด ฉะนั น “อัตราการเปล ยนแปลงของ y (ท จด ใดๆ)”คอ lim
h0
f (x h) f (x) h
หรอ lim
h0
y x
(ไมสามารถแทนคา h=0 ลงไปตรงๆได เพราะจะเปน 0 0 จงตองใชลมต ชวยในการคานวณ)
8
คณตศาสตร ตัวอยาง
y
แคลคลัส
www.clipvidva.com
f (x) 2x 3x 4 ใหหาอัตราการเปล ยนแปลงของ y เทยบกับ x 2
ก .โดยเฉล ยในชวง x=1 ถง 4
ข.ท จดซ ง x=2
อัตราการเปล ยนแปลงของ y=f(x) ท จด x ใดๆ เรยกอกอยางไดวา อนพันธ สัญลักษณท ใช แทน อนพันธของ f(x) ไดแก
dy
,
dx
d
f(x) , f'(x)
dx
หรอ
y'
สวนสัญลักษณท ใช เจาะจงตาแหนง เชน อนพันธท จด ซ ง x=3 จะใช f '(3) หรอ ฉะนั น อนพันธ f(x) กคอ
lim
h0
f (x h) f (x) h
=
dy dx
กราฟ y=f(x) ณ จดนั นๆดวย
ตัวอยาง
ถา y x 2x เปนสมการเสนโคง ใหหา ก.ความชันของเสนโคงน ท จ ด (2,-6) 2
9
dy dx x 3
นั นเอง และ ยังเรยกวาเปนคา ความชัน ของ
คณตศาสตร
แคลคลัส
www.clipvidva.com
ข.หาสมการความชันของเสนโคงน ณ จด x ใดๆ ( ตอบตดในรป x )
3.
อนพนั ธของฟังกชัน
เปนสับเซตของจานวนจรง และ นยาม ถา y=f(x) เปนฟงกชันท ม โดนเมนและเรนจ f (x h) f (x) lim หาคาได เรยกคาลมต ท ไดน วา อนพันธของฟงกชัน f ท x แทนดวย f '( x),
h0
h
dy dx
สตรของอนพันธ ให f, g เปนฟงกชันของ x และ c เปนคาคงท ใดๆ 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ถา y=c โดยท c เปนคาคงท ใดๆ จะไดวา dy
ถา y=x แลว
dy
0
dx
1
dx
ถา y c f (x) โดยท c เปนคาคงท ใดๆจะไดวา ถา y f (x) g(x) แลว
dy
ถา y
dx
dx
n
dy
c f '(x)
f '( x ) g '( x )
ถา y x โดยท เปนจานวนจรงใดๆ จะไดวา ถา y=f(x)g(x) แลว
dy
dy
nx
n 1
dx
f(x)g'(x) g(x)f '(x)
dx
f(x)
dy
g(x)
dx
โดยท g(x) 0 แลวจะไดวา
ถา y=(fog)(x)=f(g(x)) แลวจะไดวา
dy
f ( x)g '( x) g(x)
g( x) f '( x)
f'(g(x)) g'(x)
dx
10
2
d dx
f ( x) และ
คณตศาสตร
แคลคลัส
x x 1 จงหา
dy
ตัวอยาง
y
ตัวอยาง
ถา y (x 1)( 9) จงหา
ตัวอยาง
3
2
x
2
dx
3
3
ถา
f(x)
x
2
3x 1 จงหา x 2 3
5
ตัวอยาง
ถา y (x 2x) จงหา
ตัวอยาง
(x
3
2
ถา
f(x)
2
www.clipvidva.com
dy dx
f '(x )
และ หา
dy dx
1)(x 5x) จงหา f'(x) (x 1) 3
11
f '(1)
คณตศาสตร
แคลคลัส
www.clipvidva.com
1
ถา y (x 3x 2
ตัวอยาง
2.5
3
x)
9
(x 5) จงหา 4
3
dy dx
ก.ค.52 ถา f,g และ h สอดคลองกับ f(1)=g(1)=h(1)=1 และ f '(1) g '(1) h '(1) 2 แลวคาของ (fg h)'(1) เทากับเทาไหร
PAT1
3.1
สมมต
อนพันธอันดับสง f (x)
y x 2x x 5 ดังนั นจะหาอนพันธ ไดเปน 3
2
f '(x)
dy
3x 4x 1 2
dx
และหากเราหาอนพันธของ f '(x) ตอไปอก จะเรยกวาเปนอนพันธ อันดับสง 2
เชน อนพันธอันดับสอง คอ
f''(x) =
d y dx
2
=6x-4
3
อนพันธอันดับสาม คอ
f '''(x) =
d y dx
3
=6
4
อนพันธอันดับส คอ f
(4 )
(x) =
d y dx
4
=0 n
การเขยนสัญลักษณ อนพันธอันดับท n จะเปน นยมใชเคร องหมายขด เปน f '(x ) , f''(x) , f '''(x)
12
d y dx
n
หรอ f
(n )
(x) แตอันดับท หน ง
สอง และสาม
คณตศาสตร
แคลคลัส
www.clipvidva.com
3
ตัวอยาง
Pat1
ถา
f (x)
(2x 1) ใหหาคา 2
f ''(4)และf
(4 )
)1(
ม.ค.54 กาหนดให g(x) = x 2x 5 และ f(x) = x x คาของ 2
3
(f 'og')(1)
(g' of ')(0) เทากับ
เทาใด
PAT1
ต.ค.53 กาหนดให f (x) x 2 5x 6 คาของ f (f '(f ''(2553))) เทากับเทาใด
3.2
ฟงกชันเพ ม ฟงกชันลดและคาสดขด
ความหมายของฟงกชันเพ มคอ เม อ x เพ มข นแลว f(x) กจะเพ มข นดวยหรอกลาววา ความชันเปน บวก สวนฟงกชันลดนั น เม อ x เพ มข น f(x) กลับลดลง หรอกลาววา ความชันเปนลบนั นเอง ดังนั นเม อ พจารณาถงอนพันธ f '(x ) ซ งเปนคาความชันของกราฟ จะไดกฎวา ชวงท f '(x ) > 0 เปนฟงกชันเพ ม และ ชวงท f '(x ) < 0 เปนฟงกชันลด และเน องจากตาแหนงท ฟง กชันจะเปล ยนจากเพ มไปลด หรอจากลดไปเพ มจะตองมการวกกลับของ กราฟ ซ งทาใหเกดจดยอด (จดสดขด) ข นสามารถหาโดย f'(x) = 0 เราเรยกคา x ณ ตาแหนงท f '(x ) = 0 วา คาวกฤต
13
คณตศาสตร
แคลคลัส
www.clipvidva.com
จดสดขดม 2 แบบคอจดสงสดและจดต าสด ถาความชันเปล ยนจากลดไปเพ ม จะเกดจดต าสด และถา ความชันเปล ยนจากเพ มไปลด กจะเกดจดสงสด
หมายเหต ไม ไดเปนจดสงสดหรอต าสดเสมอไป อาจเปนเพยงจดเปล ยนเวาเทานั น ซ งเราสามารถ พจารณาโดยละเอยดไดจาก อัตราการเปล ยนแปลงของความชัน หรอ f''(x) ณ จดนั นๆ หาก f''(x) > 0 แสดงวาความชันกาลังมคา มากข นเร อยๆ (เปล ยนจากลบเปนศนยและเปนบวก) จง เกดจดต าสดและหาก f''(x) < 0 แสดงวาความชันกาลังนอยลงเร อยๆ (เปล ยนจากบวกเปนศนยและเปนลบ) จงเกดจดสงสด แตหาก ณ จดนั น f''(x) =0 อาจะเปนจดเปล ยนความเวาหรอจดสงสดหรอจดต าสดก ได เร องคาสงสดของฟงกชัน ในการคานวณโจทยปญ หาท เปนเหตการณจรง เชน มฟง กชัน 2.เราใชความร กาไร P(x) แลวหาคา x ท ทาให ไดกา ไรมากท สด ดังจะไดศกษาจากตัวอยางถัดไป พจารณากราฟตอไปน เพ อทาความเขาใจเร อง สัมพัทธ และ สัมบรณ 1. f '(x ) =0
ฟงกชันหน งๆ หากมการวกกลับของกราฟ ณ จดใด กจะเรยกจดนั นวาจดสดขดสัมพัทธ (แปลวาเทยบ กับจดขางเคยง จงม ไดหลายจด) และหากจดใดมคา ฟงกชันมากท สด หรอนอยท สด ของกราฟแลว จะเรยกจด นั นวาจดสดขดสัมบรณดว ย (สงสดกับต าสด ม ไดอยางละ 1 จด) จดสงสดสัมพัทธ ไดแก จดA, C, E จดสงสดสัมบรณ คอ จด C เทานั น จดต าสดสัมพัทธ ไดแก จดB, D จดต าสดสัมบรณ ไมม
ขอควรร
14
คณตศาสตร ตัวอยาง
แคลคลัส
www.clipvidva.com
f(x) เปนฟงกชันพหนามกาลังสาม
ซ งหารดวย x+1 แลวเหลอเศษ 6 สัมผัสกับเสนตรง 12x+y+7=0 ณ จดตัดแกน y และคาวกฤตคาหน งเปน 1 ก .ใหหาฟงกชัน f(x) น
ข.ฟงกชันน มค า สงสดสัมพัทธและต าสดสัมพัทธเปนเทาใด
ค.ฟงกชันน เปนฟงกชันลดในชวงใดไดบาง
ต.ค.52 กาหนดให y f (x) เปนฟงกชันซ งมคา สงสดท x=1 ถา f ''(x) 4 ทก x และ f(-1)+f(3)=0 แลว f มคา สงสดเทาใด
PAT1
15
คณตศาสตร
แคลคลัส
www.clipvidva.com
ตองการสรางถังรปทรงกระบอกเพ อเกบน ามัน ปรมาตร 16π ลกบาศกเมตร โดยส นเปลอง ตัวอยาง วัสดกอสราง (รวมฝาบนและลาง) ใหนอ ยท สด ถังใบน จะตองมรัศมหนาตัดเทาใด
ก.ค.53 โรงงานผลต ตกตาแหงหน ง มตน ทนในการผลต ตกตา x ตัว โรงงานจะตองเสยคาใชจาย 3 2 x 450x 60, 200x 10, 000 บาท ถาขายต กตาราคาตัวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลต ตกตาก ตัว จงจะไดกา ไรมากท สด PAT1
4.
การอนทเกรต 4.1
การอนทกรัลไมจา กัดเขต
การกระทาท ตรงขามกับกระบวนการหาอนพันธ เราเรยกวา การอนทเกรต (Integration) นั นคอ ถา
d dx
F(x)
f (x) แลว
การหาอนพันธ)
(
จะไดวา f ( x)dx F( x) (การอนทเกรต) สัญลักษณ เรยกวาเคร องหมายอนทกรัล และเรยก f(x) วาตัวถกอนทเกรต(Integrand) ทกส งท หาอนพันธ ไดตรงตามคาท ตอ งการ จะเรยกไดวา ปฏยานพันธ (Antiderivative) เชน F1 (x)
x 2 , F2 (x) x 2 1 ตางกเปนปฏยานพันธของ f(x)=2x เน องจากลวนทาให
16
d dx
F(x)
f (x)
คณตศาสตร
แคลคลัส
www.clipvidva.com
เหนไดวา รปทั วไปของปฏยานพันธของ f(x) = 2x คอ x2+c เม อ c เปนคาคงท ใดๆ ซ งเราจะเรยก กัดเขต (Indefinite Integral) ของ f(x) และเขยนสัญลักษณ “รปทั วไปของปฏยานพันธ” น วา อนทกรัลไมจา เปน f(x)dx สตรการหาอนทกรัล .1 x dx n
x
n 1
c ,n 1
1 2. c f x dx , c R 3. u v dx udx vdx n cf x dx
ตัวอยาง
ใหหาคาอนทกรัลตอไปน ก. (x 2x 3)dx 3
2
ข. (4t 3t 2t 1)dt 3
2
ค. 6( x 2)( x 1)dx
17
คณตศาสตร ตัวอยาง
ตัวอยาง
ถา F'(x) =
ถา
dy dx
แคลคลัส 2 x x
3
www.clipvidva.com
และ F(-1)=1 จะไดฟง กชัน F(x) เปนอยางไร
5x 3x 4x และ –y(1) = y(-1) แลว ใหหาคาของ y(0) 4
2
ถาเสนโคง y=f(x) ผานจด (0,1) และ (4,c) เม อ c เปนจานวนจรงและความชันเสนโคงน ท จ ด ตัวอยาง (x,y) ใดๆ มคา เทากับ x 1 แลว c มคา เทาใด
ตัวอยาง คาเทาใด
กาหนดให f เปนฟงกชันซ ง
f (2)
1, f '(1) 3, และf '')x( 3 ทกๆคา x แลว f(0) ม
18
คณตศาสตร
แคลคลัส
www.clipvidva.com
ขอควรร
ในเวลา t วนาท รถไฟว งดวยความเรง a ฟตตอวนาท โดย a 12t 6t 10 หากเม อ ตัวอยาง เวลาเร มตนพบวาระยะทางเปน 10 ฟต และความเรวเปนศนย ใหหาระยะทางเม อเวลาผานไป 5 วนาท 2
2
ถากาลังคนของบรษัทแหงหน งท ม ในป จจบันทาให ไดผลผลต 3,000 ช นตอวัน และเม อมคน ตัวอยาง เพ ม x คน จะมอัตราการเปล ยนแปลงผลผลต 80-6 x ช นตอวัน ถามวาเม อเพ มคน 25 คน บรษัทแหงน จะ ไดผลผลตก ช นตอวัน
การอนทกรัลจากัดเขต
4.2
ให f เปนฟงกชันตอเน องบนชวง [a,b] ถา F เปนฟงกชันท มอ นพันธบนชวง [a,b] โดยท F '( x) f (x) แลว b
f ( x )dx F (b) F (a)
a b
เรยก f(x)dx วา อนทกรัลจากัดเขตของฟงกชัน f บน [a,b] ใชสัญลักษณ F(x) ba แทน F(b)-F(a) a
19
คณตศาสตร ตัวอยาง
แคลคลัส
www.clipvidva.com
จงหาคาอนทกรัลตอไปน 3
ก. ( x 2)dx 3
1
0
ข. (t t)(t 1)dt 2
3
ตัวอยาง
ถากาหนดฟงกชัน
a
f (x)
x 4x ใหหาคา a ท ทาให 2
a
PAT1
1
f(x)dx =
2 3
ก.ค.52 ถา f '(x) 3x x 5 และ f(0)=1 แลว f(x)dx มคา เทากับเทาใด 2
1
20
คณตศาสตร PAT1
แคลคลัส
www.clipvidva.com
1
ต.ค.52 ถา f '(x) x 1 และ f ( x)dx 0 แลว f(1) มคา เทากับเทาใด 2
0
4.3
พ นท ใต โคง
กาหนดใหฟง กชัน f(x) ตอเน องบน [a,b] พ นท ปดลอมดวยเสนโคงของ f(x) จาก x=a ถง x=b หมายถง พ นท ของบรเวณท ลอมรอบดวยกราฟของ f แกน X เสนตรง x=a และเสนตรง x=b x=a 1.
ถา
ทฤษฎบท กาหนดใหฟง กชัน f ตอเน องบน [a,b] และ A เปนพ นท ท ปด ลอมดวยเสนโคงของ f จาก ถง x=b จะหาไดจากสตรตอไปน b
f (x)
0 สาหรับทก x ในชวง [a,b] และ A f (x)dx a
2.
ถา
b
f (x)
0 สาหรับทก x ในชวง [a,b] และ A f (x)dx a
ตัวอยาง
พ นท ท ปดลอมดวยเสนตรง y=3-x กับแกน x ในชวง x=0 ถง 4
21
คณตศาสตร ANet 50
ตัวอยาง
แคลคลัส
www.clipvidva.com
พ นท ท ปดลอมดวยเสนโคง y x 3 2x 2 2x กับแกน x ในชวง x=0 ถง 4
ใหหาพ นท ท ลอ มดวยโคง ก .ในชวง x=1 ถง 2
f (x)
x 2 1 กับแกน x ในชวงท กา หนดใหตอไปน
ข .ในชวง x=-1 ถง 1
ค .ในชวง x=-2 ถง 0
22
คณตศาสตร ตัวอยาง เทากับเทาใด
แคลคลัส
www.clipvidva.com
พ นท ปดลอมดวยโคง y x 2 3x 2 จาก x=0 ถง 2 เฉพาะสวนท อย เหนอแกน x
ให f (x) x 2 c โดย c เปนคาคงตัว ซ ง c 4 ถาพ นท ท ปดลอมดวยเสนโคง y=f(x) ตัวอยาง จาก x=-2 ถง x=1 เทากับ 24 ตารางหนวย แลว c มคา เทาใด
กาหนดฟงกชัน y=f(x) มกราฟเปนเสนตรงตัดแกน x ท จด (-1,0) และผานจด (3,6) แลว คา
ตัวอยาง 3
ของ
f(x)dx
เทากับเทาใด
1
23
คณตศาสตร ตัวอยาง
แคลคลัส
www.clipvidva.com 3
เม อ f(x) เปนกราฟเสนตรงท ผา นจด (3,5) และ (2,2) ใหหาคา
f(x)dx
2
กาหนดให กราฟของ y=f(x) มความชันท จด (x,y) ใดๆ เปน 2x+2 และ f มคา ต าสดสัมพัทธ เทากับ -3 พ นท ปดของอาณาบรเวณท ปดลอมดวยกราฟของ y=f(x) แกน X เสนตรง x=-1 และเสนตรง x=0 เทากับขอใดตอไปน
ANET 49
24
คณตศาสตร
แคลคลัส
www.clipvidva.com
เอกสารอางอง คณต มงคลพทักษสข ,
MATH E-BOOK Release2.5 ,
“
”
สานักพมพ Science Center, 2554.
ชัยรัตน เจษฎารัตตกร, เอกสารประกอบคา สอนโครงการ Band Summer Camp 2010 “
”
สมัย เหลาวานชย, รศ., ตะลยคลังขอสอบเขามหาวทยาลัย วชาคณตศาสตร สาระการเรยนร พ น ฐานและ “
เพ มเต ม , สานักพมพ ไฮเอด พับบลชช ง. ”
http://kruaun.wordpress.com/testbank/pat1/ http://th.wikipedia.org/wiki/ แคลคลัส
25
