MATERIAL 02 – PROBABILIDADE – PROF. ADRIANO CARIBÉ ESPAÇO AMOSTRAL Chama-se espaço amostral a a um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
EXEMPLO a) Lançar uma moeda e observar a face de cima
U = {cara,
coroa}.
b) Lançar um dado e observar o número da face de cima U = {1 ; 2; 3; 4; 5 ; 6}.
EVENTO Chama-se evento a todo subconjunto do espaço amostral. Geralmente indicamos um evento por uma letra maiúscula (A, B, C, ...). Dizemos que um evento A ocorre se, realizado o experimento, o resultado obtido pertence a A. Os eventos que possuem um único elemento são chamados eventos elementares .
EXEMPLO Quando um dado é lançado, observam-se alguns eventos: A: ocorrência de número par. A = {2 ; 4; 6} B: ocorrência de número maior que 4. B = {5 ; 6} C: ocorrência do número 1. C = {1}
ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL EQUIPROVÁVEL Dizemos que um espaço amostral é equiprovável se todos os eventos elementares tiverem a mesma probabili-dade de ocorrer.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO NUM ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL EQUIPROVÁVEL Seja U um espaço amostral equiprovável e seja A ⊂ U um evento Temos que: P (A) =
n(A)
Número de elementos do evento A
n(U)
Número de elementos do espaço amostral
Probabilidade de ocorrência do evento A
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS DOIS EVENTOS Se A e B são eventos de um mesmo espaço amostral, A ∪ B é o evento que ocorre se e somente se ocorre o evento A ou ocorre o evento B, ou seja, se pelo menos um dos dois eventos ocorre. A ∩ B é o evento que ocorre se e somente se ocorrem ambos os eventos A e B. Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento A ∪ B, podemos utilizar a fórmula abaixo:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)
Observação: Se A ∩ B = ∅, os eventos A e B são chamados mutuamente excludentes e neste caso P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
1
Exemplo: Qual a possibilidade de, retirando ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas, encontrarmos uma carta que seja de copas ou seja rei? Solução:
No baralho, das 52 cartas, 13 são de copas e 4 são reis. Logo a probabilidade de retirarmos uma carta de copas é 13 4 P(copas) = e a de retirarmos um rei é P(k) = . Ora, ocorre que estes eventos não são mutuamente 52 52 excludentes, pois existe um rei de copas, ou seja existe intersecção entre estes eventos e a probabilidade de ocorrer 1 a intersecção é P(k ∩ copas) = . Finalmente para calcularmos a probabilidade de ocorrer a união destes dois 52 eventos, podemos fazer: P(k ∪ copas) = P(k) + P(copas) – P(k ∩ copas) 4 13 1 16 + − = P(k ∪ copas) = 52 52 52 52 4 P(k ∪ copas) = 13 Portanto a probabilidade da carta retirada ser rei ou ser de copas é
4
.
13
PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR Dado um evento A, chamamos de evento complementar de A e indicamos por A , o evento que ocorre se e somente se o evento A não ocorre, ou seja, calcular a probabilidade de ocorrer o evento complementar de A ( A ) é calcular a probabilidade de não ocorrer A. Isto pode ser feito com a fórmula: P( A ) = 1 – P(A)
Exemplo: Qual a probabilidade de, jogando um dado, o resultado não ser 6: Solução:
Ora a probabilidade do resultado ser 6 é P(6) =
1
e a de não ser 6 é P(6) = 1 – P(6) = 1 –
6
1 6
=
5
.
6
PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo: Considere uma caixa com 10 bolas numeradas de 1 a 10, sendo que as bolas de 1 a 5 são brancas e as bolas de 6 a 10 são pretas. Vamos retirar ao acaso uma bola desta caixa e queremos saber qual a probabilidade do número 5 1 = . Agora marcado nela ser par. Ora, a priori, ou seja, antes de retirar a bola, essa probabilidade é P(PAR) = 10 2 imagine que a bola já foi retirada e você viu que ela é branca, mas não viu o número marcado nela. E agora? Qual a probabilidade dela ser par? Bom, com a certeza de que a bola é branca, a probabilidade de ser par muda. Passa a ser
2
, pois das cinco bolas 5 brancas, apenas duas são pares. A probabilidade calculada acima é chamada probabilidade condicional e é representada por P(PAR|BRANCA) que se lê probabilidade de ser par na certeza de que é branca. De uma forma geral temos: Dados dois eventos A e B, com P(A) ≠ 0, a probabilidade condicional de ocorrer B na certeza de que ocorreu A é o número: P(B|A) =
P(A ∩ B) P(A)
Da fórmula acima deriva uma outra fórmula que também pode ser muito útil que é: P(A ∩ B) = P(A) . P(B|A) 2
Exemplo: Uma urna tem 10 bolas, sendo 3 brancas e 7 pretas. Qual a probabilidade de, sorteando-se 2 bolas desta urna, encontrarmos 2 bolas brancas? Solução:
a
Admitindo que vamos sortear 1 bola de cada vez, para que as duas sejam brancas, devemos ter a 1 branca e em 3 a a a seguida a 2 também branca. A probabilidade de a 1 bola ser branca é e a probabilidade de a 2 bola ser 10 2 a branca dado que a 1 foi é . Logo a probabilidade de as duas bolas serem brancas é: 9 a
a
a
a
a
P(1 branca ∩ 2 branca) = P(1 branca) . P(2 branca|1 branca) =
3 10
Portanto a probabilidade de as duas bolas serem brancas é
1
.
2 9
=
6
90
=
1
.
15
.
15
Exercícios sobre Probabilidade 01. Uma caixa tem sete bolas pretas numeradas de 1 a 7, sete bolas brancas numeradas de 8 a 14 e seis bolas vermelhas numeradas de 15 a 20. Qual a probabilidade de, sorteando-se... a)....uma bola desta caixa, encontrarmos uma bola branca?
b)....uma bola desta caixa, encontrarmos uma bola com um número primo?
c)....uma bola preta, encontrarmos uma bola par?
d)....uma bola par, encontrarmos uma bola preta?
e)....uma bola desta caixa, encontrarmos uma bola vermelha e par?
f).... uma bola desta caixa, encontrarmos uma bola branca ou ímpar?
02. Um grupo de estudantes é constituído de 20 rapazes e 30 moças. Metade dos rapazes e um quinto das moças estudam medicina. Escolhendo-se ao acaso um estudante deste grupo, qual a probabilidade de encontrarmos um rapaz ou estudante de medicina? a) b) c) d) e)
72% 52% 36% 26% 16%
3
03. Um grupo de pessoas é formado por seis homens e quatro mulheres. Qual a probabilidade de, sorteando-se... a) ... uma pessoa desse grupo, encontrarmos um homem?
b) ... duas pessoas desse grupo, encontrarmos dois homens?
c) ... duas pessoas desse grupo, encontrarmos um homem e uma mulher?
d) ... duas pessoas desse grupo, encontrarmos duas mulheres?
e) ... cinco pessoas desse grupo, encontrarmos três homens e duas mulheres?
f) ... três pessoas desse grupo, encontrarmos três pessoas do mesmo sexo?
g) ... quatro pessoas desse grupo, encontrarmos pelo menos uma mulher?
04. Uma pessoa joga cinco moedas para o alto e depois que elas caem no chão, observa a face que fica voltada para cima em cada uma delas. Qual a probabilidade dela encontrar... a) ... cinco caras?
b) ... três caras e duas coroas?
c) ... uma cara e quatro coroas?
d) ... pelo menos uma coroa?
05. (BB2011) Para disputar a final de um torneio internacional de natação, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 francês e 2 brasileiros. Considerando que todos os atletas classificados são ótimos e têm iguais condições de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja entre os três primeiros colocados é igual a:
(A)5/14 (B) 3/7 (C) 4/7 (D)9/14 (E)5/7
4
06. Em uma cidade de colonização alemã, a probabilidade de uma pessoa falar alemão é de 60%. Selecionandose ao acaso 4 pessoas desta cidade, a probabilidade de exatamente 3 delas não falarem alemão é, em valores percentuais, igual a : a)
6,4.
b) 12,26. c) 15,36. D) 3,84. e) 24,5.
07. Uma pessoa esta diante de duas caixas com canetas. A primeira caixa contem 10 canetas, sendo 8 vermelhas e duas azuis. A segunda caixa contem 9 canetas sendo 3 vermelhas e 6 azuis. A pessoa vai retirar aleatoriamente uma caneta da primeira caixa e colocar na segunda. Em seguida ela vai retirar aleatoriamente uma caneta da segunda caixa. Qual a probabilidade da caneta retirada da segunda caixa ser azul ? a) b) c) d) e)
14% 42% 48% 60% 62%
08. Um dado em forma de cubo tem 6 faces, sendo que uma esta pintada de branco, duas estão pintadas de azul e três estão pintadas de vermelho. Se lançarmos no chão três dados iguais a esse, a probabilidade de encontrarmos voltadas para cima duas faces vermelhas e uma branca é: a) b) c) d) e)
1/3 1/4 1/5 1/6 1/8
09. O encarregado do controle de qualidade de uma máquina verificou que, em média, para cada 8 peças perfeitas, a máquina produzia 3 com pequenos defeitos e 2 com defeitos graves. Num lote de 13 peças, cuja distribuição de defeitos é a descrita, retiram-se 3 peças ao acaso. A probabilidade de que nenhuma delas seja perfeita é: a)
b)
c)
5 143 10
d)
143 25
e)
286
15 143 115 143
10. Zilda faz parte de um grupo composto de 6 moças e 4 rapazes. Ela pretende fotografar 5 pessoas do grupo, escolhidas aleatoriamente entre as 9 restantes. A probabilidade de que sejam escolhidos 2 rapazes e 3 moças é:
a)
b)
5 21 8 21
c)
d)
10 21
e)
6 7
5 7
5
11. Suponha que para o nascimento de uma criança os dois sexos tenham a mesma probabilidade de ocorrer. Se um casal tem 3 filhos, a probabilidade de não serem todos do mesmo sexo é 1
a)
3 3
b)
8 2
c)
3
3
d)
4 7
e)
8
12. Um dado em forma de cubo tem 6 faces, sendo que duas estão pintadas de azul e 4 estão pintadas de vermelho. Se lançarmos no chão quatro dados iguais a esse, a probabilidade de encontrarmos voltadas para cima duas faces azuis e duas faces vermelhas é a fração irredutível
a) b) c) d) e)
a b
. Determine b – a.
11 13 17 19 23
13. Em uma urna há 9 bolas numeradas de 1 a 9. Se três bolas são sorteadas simultaneamente dessa urna, a probabilidade de que a soma dos números marcados nas três bolas seja ímpar é:
a)
b)
c)
8 21 3 7
d)
e)
11 21 4 7
10 21
14. Em um curso preparatório para concursos existem 3 turmas ( A; B e C ) com as seguintes quantidades d e alunos:
TURMA A TURMA B TURMA C
HOMENS 20 30 10
MULHERES 30 20 40
Com base nas informações, considere as seguintes afir mativas: I) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, ele ser homem é 0,4. II) A probabilidade de, sorteando-se um aluno da turma B, ele ser homem é 0,6. III) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, ele ser mulher ou ser da turma B é 0,8 Podemos afirmar que:
a) b) c) d) e)
apenas as afirmativas I e II são corretas. apenas as afirmativas I e III são corretas. apenas as afirmativas II e III são corretas. apenas uma afirmativa é correta. todas as afirmativas são corretas. 6
15. Uma caixa tem 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Qual a probabilidade de, sorteando-se 3 bolas desta caixa, encontrarmos 2 bolas brancas e 1 bola preta?
a) b) c) d) e)
5 42 5 21 5 14 5 7 NRA
16. Cinco livros diferentes, sendo três de Estatística e dois de Matemática Financeira, são colocados aleatoriamente numa estante, um ao lado do outro. A probabilidade de que os livros de mesmo assunto fiquem todos juntos, é:
a) b) c) d) e)
10% 15% 20% 24% 40%
17. Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a: a) b) c) d) e)
1/3 1/5 9/20 4/5 3/5
18. Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João, 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz em 5 % das vezes e Maria em 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que esta salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a: a) b) c) d) e)
0,15 0,25 0,30 0,20 0,40
19. André e Bruno fazem parte de um grupo de 10 pessoas dentre as quais 4 serão sorteadas para fazer uma viagem. Qual a probabilidade de André e Bruno serem sorteados? a) b) c) d) e)
2/15 4/15 1/30 1/90 1/45 7
20. Um jogador de basquete acerta 80% dos lances livres que faz. Este jogador fará dois lances livres consecutivos. Qual a probabilidade dele acertar apenas um deles ? a) b) c) d) e)
16% 20% 25% 32% 40%
21. Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor? a) 11,53% b) 4,24% c) 4,50% d) 5,15% e) 3,96%
22. Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pesssoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? a) 0,98% b) 1% c) 2,94% d) 1,30% e) 3,96%
23. Numa caixa existem 6 bolas brancas numeradas de 1 a 6; 7 bolas amarelas numeradas de 1 a 7;
8 bolas pretas numeradas de 1 a 8 e 9 bolas vermelhas numeradas de 1 a 9. Qual a probabilidade de, sorteando 1 bola desta caixa, encontrarmos uma bola amarela ou par?
a) b) c) d) e)
2/3 3/5 7/10 11/15 19/30
8
24. Escolhendo-se ao acaso dois números distintos, de 1 a 20, qual a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar? a)
b)
c)
9 38 1 2
d)
e)
1 4 8 25
9 20
25. Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Qual a probabilidade de, sorteando-se 3 bolas desta urna, encontrarmos 1 bola branca e 2 pretas? a)
1 2
b)
1 3
c)
1 4
d)
1 5
e)
1 6
26. Qual a probabilidade de, jogando dois dados, a soma dos resultados ser 10? a)
1
b)
1 6
d)
1 11
3 c)
1 10
e)
1 12
27. Sete lugares, dispostos lado a lado, de uma fila de um teatro vão ser sorteados entre 7 pessoas, sendo 3 homens e 4 mulheres. Qual a probabilidade de as mulheres sentarem juntas? a) b) c) d) e)
3/7 1/35 4/35 3/28 5/28
28. Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando- se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24 9
Questões CESPE. Questões 29 a 31: Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus , espadas , copas e ouros . Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes.
29. A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta d e um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a 3/13 .
30. Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1/52 .
31 A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a 11/26. 32. Um dado comum contém 4 faces brancas e 2 faces pretas. Sendo assim a probabilidade de, jogando-se este dado 3 vezes, encontrarmos 1 face branca e 2 pretas é igual a aproximadamente 22%.
33. A probabilidade de, jogando dois dados, a soma dos resultados ser oito é igual a 1/12 .
Questões 34 e 35. Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
34. A probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários é inferior a 0,005.
35. As chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos seja de professor é superior a 80%.
Gabarito 1a)7/20 b)4/5
c)3/7
d)3/10
e)3/20
3a)3/5
c)8/15
d)2/15
e)10/21 f)8/105 g)13/14
b)1/3
f)7/10
2.b
4a)1/32 b)10/32 c)5/32
d)31/32
5.d
6.c
7.e
8.e
9.a
10.c
11.d
12.d
13.c
14.e
15.c
16.c
17.a
18.d
19.a
20.d
21.e
22.c
23.b
24.a
25.a
26.e
27.c
28.d
29.C
30.E
31.C
32.C
33.E
34.C
35.E
10
