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CARTAS c Y u (PARA DEFECTOS)
Es frecuente que en control de calidad se requiere evaluar variables discretas como el numero de defectos por articulo (rollos fotográficos, zapatos, prendas de vestir, circuitos electrónicos, muebles); en las que en cada producto se puede tener mas de un defecto o atributo no satisfecho, y sin embargo no catalogar a tal producto como defectuoso. Por ejemplo, un disco de computadora puede tener uno o varios de sus sectores dañados y se puede utilizar con relativa normalidad. Otro tipo de variables que también es importante evaluar son las siguientes: numero de errores por trabajador, cantidad de accidentes, numero de quejas por mal servicio, numero de nuevos clientes, cantidad de llamadas telefónicas, clientes atendidos, errores tipográficos por pagina en un periódico, numero de fallas en un equipo. Muchas de estas variables, que se pueden ver como el numero de eventos que ocurren por unidad, se comportan de acuerdo con la distribución de Poisson, la cual tiene dos características esenciales: que el numero de oportunidades o situaciones potenciales para encontrar defectos es g rande, y que la probabilidad de encontrar un defecto en una situación es pequeña. Las variables que se ajusten moderadamente moderadamente bien a una distribución de P oisson pueden analizarse a través de las cartas c y u, y lo hacen analizando el numero de defectos por subgrupo o muestra (carta ( carta c) o el numero promedio p romedio de defectos por unidad (carta u). Carta c (numero de de defectos). El objetivo de la la carta c es analizar v ariabilidad del numero de defectos. En esa carta se grafica
que es igual al numero de defctos
en la i-ésima unidad (muestra). Los limites de control se obtienen como sigue:
LCS =
Linea central = LCI =
donde
es el numero promedio de defectos por subgrupo, y se obtiene al
dividir el total de de defectos encontrados entre el total de subgrupos.
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Ejemplo: En una empresa que elabora productos agroquímicos se tiene el problema de intoxicación de los trabajadores debido al contacto con agentes toxicos. Para evaluar el numero de obreros intoxicados por mes, en los últimos dos años se recurre a los registros de la enfermería de la empresa. Los datos obtenidos se muestran en la tabla siguiente para analizar estos datos mediante una carta c, lo primero que debemos hacer es estimar el numero promedio de intoxicados por unidad (mes),
, que e obtiene al sumar el numero de intoxicados (las
dividirlo entre el total de unidades (meses). control de la carta c están dados por MES 1 2 3 4 5 6 7 8
INTOXICADOS 6 5 4 4 1 3 3 7
9 10
5 7
11 12 13 14 15 16 17 18
5 12 5 4 7 2 4 2
LCS =
= 4.78
= 11.34
Linea central = 4.78 LCI =
= -1.78
) y
= 4.78, por lo que los limite s de
Cruz c
maria Elizabe £
¡
¢
¥
¤
garcia sanc ez Le bardo, ruis del valle jorge luis ¤
¢
Observece que el LCI dio negativo, pero como no puede e istir -1 intoxicado, ¦
entonces el limite inf erior es cero. La carta obtenida se muestra mas adelante a partir de ella se aprecia que en el mes 12 hubo una situación especial que causo un número alto de intoxicados, mas de los que ordinariamente se esperarían. Recurriendo a los expedientes de la enf ermería se encontró que ese punto fuera de los limites ocurrió cuando se introdu jo por primera vez cierto tóxico, y que no se les dio las instrucciones adecuadas a los traba jadores. Con lo que se tiene un elemento ob jetivo para evitar en lo futuro tal tipo de descuidos.
Por lo anterior, para fi jar los limites de control definitivos se decidió eliminar el dato correspondiente al mes 12, y los limites de control a usarse en el futuro son:
Línea central = 4.35 LCI = 0 LCS = 10.61 Interpretando los datos, se espera que ordinariamente el numero de traba jadores intoxicados por mes varié entre 0 y 10.61, con un promedio de 4.35. evidentemente estas cantidades son altas, por lo que se requiere un plan de acción que redusca esta problemática, y una forma natural de empezar seria estratificando el problema, es decir, localizando el area, traba jadores o agentes químicos donde se presentan mayores problemas.
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El representar a través de una carta de control este tipo de variables, no solo ayudara a detectar situaciones anormales, que en el futuro se debe n prevenir, sino que además provoca en la administración una mayor consiencia de la magnitud e importancia del problema; además de que será muy fácil evaluar el impacto de las acciones de mejora. La carta es aplicable donde el tamaño de subgrupo pued e verse como constante; por ejemplo, una semana, una pieza, 100 articulos, un metro de tela o cualquier otra cantidad que pueda verse como unidad, pero siempre debe permanecer constante. Cuando no permanece constante se aplica la carta
.
CARTA u (NUMERO DE DEFECTOS POR UNIDAD)
Cuando en las cartas el tamaño de subgrupo no es constante o cuando, aunque sea constante, se prefiere cuantificar el numero promedio de defectos por unidad en lugar del total de defectos en la muestra, se usa la carta u. En esta, para cada subgrupo, se grafica el numero promedio de defectos por unidad,
, que se obtiene al dividir el total de defectos encontrados en el
subgrupo entre el total de unidades en el subgrupo. Es decir,
Donde
es la cantidad de defectos en la muestra y es el tamaño de la
muestra de esta manera los limites de control en una carta están dados por:
Donde
es el numero promedio de defectos por unidad en todo el conjunto
de datos. Cuando el tamaño de subgrupo, subgrupos, entonces o por
, no es el mismo en todos los
se sustituye por el tamaño promedio de subgrupo,
,
en este ultimo caso se obtiene una carta con limites variables.
En la siguiente tabla se presentan el numero de defectos observados en las muestras (subgrupos) de 24 lotes consecutivos de circuitos electrónicos. El
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numero de circuitos inspeccionados en cada lote es variable. Es claro que la
columna del numero de defectos por muestra,
, no se puede analizar con
una carta c porque esta influido por el numero de circuitos: entre mas circuitos es natural esperar mas defectos. Por ello es mejor analizar el numero promedio de defectos por unidad (circuito),
, mediante la carta . Para
calcular los limites de control, a partir de la tabla tenemos que. Lote 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Tamaño de muestra 20 20 20 20 15 15 15 25 25 25 25 30 30 30 30 30 30 30 15 15 15 15 15 15 Total = 525
Tabla de defectos, 17 24 16 26 15 15 20 18 26 10 25 21 40 24 46 32 30 34 11 14 30 17 18 20 Total = 549
No. Promedio de defectos por circuito, 0.9 1.2 0.8 1.3 1.0 1.0 1.3 0.7 1.0 0.4 1.0 0.7 1.3 0.8 1.5 1.1 1.0 1.1 0.7 0.9 2.0 1.1 1.2 1.3
Como el tamaño de la muestra es variable, se tienen dos alternativas: usar el tamaño de la muestra promedio o construir una carta con limites variables. Se harán ambas. El tamaño de muestra promedio se obtiene dividiendo el total de
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unidades inspeccionadas (525 entre el numero de muestras o lotes (24
esta manera,
§
§
¨
de
Con esto tenemos que los limites de control son:
= 0.38
La carta obtenida le presentamos adelante, en la que se observa que el proceso estuvo fuera de control estadí stico, ya que en el lote 21 el numero promedio de def ectos por circuito se sale del limite de control superior. Por lo tanto, en la fabricación de tal lote ocurrió alguna causa especial que empeoro la calidad de los circuitos. Se debe identificar tal causa para en el futuro evitarla. Además del punto fuera de los limites no hay ningún patrón no aleatorio.
Como se a dicho anteriormente, los limites de control para analizar el proceso en el futuro, pueden ser los ya obtenidos, o los recalculados una vez que se elimine el punto fuera de los limites. En este proceso se opto por usar los limites calculados inicialmente, por lo que se espera que, en los lotes similares en
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tamaño y características a los de la tabla anterior, el numero promedio de defectos por circuito fluctue de manera aleatoria entre 0.38 y 1.69, con una media de 1.04. Cabe hacer notar que estos limites son una aproximación a los limites reales, y puede ser que un punto que aparesca dentro de los limites promedio, en los limites variables no lo este, y viceversa. Para construir una carta con limites variables para estos mismos datos, lo que se necesita hacer es calcular un limite para cada tamaño de muestra. Por ejemplo cuando se tiene tamaño de muestra n = 25, los limites para tales lotes son
LCS=1.04+3
LCI=1.04-3
Así calculando tanto limites como tamaños de muestra distintos, se obtiene la carta u, en la grafica se aprecian que además del punto correspondiente al lote 21, también del 10 aparece fuera del control; aunque este ultimo por el limite inferior.de esta manera en la fabricación del lote 10 ocurrió algo especial que mejoro el desempeño del proceso, nótese en la carta o grafica anterior no se había detectado esto, aunque si estaba muy cerca del límite inferior. La ventaja que tienen los limites promedio es que solo son limites, y no necesitan estarlos calculando para dada punto; pero su desventaja es q en ocasiones no detectan cambios, o pueden ser que registren un cambio cuando en realidad no ocurrió. De esta manera se deben evaluar ambos aspectos para tomar una mejor decisión. Una buena alternativa seria usar los limites promedio cuando los tamaños muéstrales no discrepen mucho entre si, y en caso de tener un punto muy cercano a los limites, ya sea por fuera o por dentro, revisar la situación de tal punto mediante los limites exactos. Si los tamaños muéstrales son muy distintos entre sí, entonces se tiene que contribuir la carta con los limites variables. Claro que si se dispone de una computadora, hacer una carta con los lim ites variables no es mayor problema. Una alternativa a usar cuando hay diferentes tamaños de muestra y muy distintos entre si, es construir una carta u estandarizada, en la cual en lugar de graficar Ui, se grafique la siguiente variable estandarizada.
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La línea central en esta carta es igual a cero, y los límites de control inferior y superior son -3 y 3, respectivamente. Tamaño y frecuencia de muestreo. En las cartas c y u, al igual q en las n y np, el tamaño y frecuencia de muestro están relacionadas, ya que si el muestreo es 100% entonces al elegir como tamaño de muestra u aun lote la frecuencia será cada lote. Si la frecuencia es cada turno, entonces ya estas condicionando el tamaño de muestra. Si el muestro no es al 100% y se puede elegir el tamaño de la muestra, una recomendaciones que se elija de tal forma que el límite inferior sea mayor que cero, lo cual se logra tomando a n mas grande que 9/u(media). Cuando una carta u se combinan varis tipos de de fectos, y estos, no tienen la misma importancia, entonces se puede construir una variable que tome eso y obtener la carta correspondiente.
