CARDINALIDAD DE CONJUNTOS Definición Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo N(A)
1.-Determine el porcentaje de alumnos que practican fútbol y básquet, si al entrevistar a 1000 estudiantes se obtuvieron los siguientes resultados: • 600 practican fútbol. • 500 practican básquet. • 150 no practican fútbol ni básquet. Solución: A partir de la información dada, tenemos que: N(Re) = 1000 N(B) = 500 N(F) = 600 N[Re − (B
F)] = 150
RE B
850
N(B ∪ F) = N(B)+N(F)-N(B∩F) N(B ∪ F) = 1000 − 150 N(B ∪ F) = 850
F
150
RE
F
B
250
N(B∩F) = 600 + 500 − 850 N(B∩F) = 250
RE F
B
250
250
350
150
Luego: El siguiente diagrama de Venn, ilustra el análisis previamente desarrollado:
Con lo que se concluye que el número de estudiantes que practican fútbol y básquet es 250, el cual representa el 25% del total de estudiantes. Se hizo una encuesta a 1000 personas acerca del canal de televisión donde preferían ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados: 620 veían teleamazonas; 400 veían canal uno; 590 veían Ecuavisa; 195 veían teleamazonas y canal uno; 190 preferían ver canal uno y Ecuavisa; 400 veían teleamazonas y Ecuavisa; 300 preferían ver teleamazonas y Ecuavisa, pero no canal uno. Determine el número de personas que no ven estos canales. Solución: A partir de la información obtenida se deduce que: N (Re) = 1000 N(T) = 620 N( C ) = 400 N(E) = 590 N(T ∩C) = 195 N(C∩E) =190 N(T ∩E) = 400
N[(T ∩E)- C]= 300 RE
T
C
Si N(T ∩E) = 400 y N[(T ∩E)- C]= 300, entonces N (T ∩C∩E) = 100 100
E
95
300
90
N(T ∪ C ∪ E)= N(T)+N(C ) + N( E)- N(T ∩C)-N(C∩E)-N(T ∩E)+N(T ∩C∩E) N(T ∪ C ∪ E)=620+400+590-195-190-400+100 N(T ∪ C ∪ E)=925 N(T ∪ C ∪ E) =N(RE)-N(T ∪ C ∪ E) =1000-925=75 Pares Ordenados y Producto Cartesiano Objetivos
Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dados dos conjuntos, construir el producto cartesiano entre ellos. * Dados varios conjuntos, determinar la cardinalidad del producto cartesiano entre ellos. * Demostrar las leyes del producto cartesiano. Sabemos por la teoría de conjuntos que no hay diferencia entre los conjuntos { m , n } y {n , m }, ya que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, sin importar el orden. Sin embargo, cuando queremos hablar de un par de elementos sobre los cuales nos interesa un orden específico, debemos referirnos al concepto de par ordenado. Definición (Par ordenado) Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, a y b , que tiene un orden; al elemento a se lo denomina primera componente y al elemento b se lo denomina segunda componente. Se representa simbólicamente por: ( a , b ).
Como el par es ordenado, no es lo mismo (a, b) que (b, a). Una terna ordenada sería un conjunto de tres elementos ordenados y su representación es: (a, b, c). Es importante anotar que existen conjuntos ordenados que pueden formarse con más de tres componentes. Definición (Producto cartesiano) Sean dos conjuntos A y B, no vacíos, denominaremos producto cartesiano entre A y B, al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A, y la segunda al conjunto B. Simbólicamente, lo representaremos como: A x B. A x B = {(x, y)/(x A) (y B)}
La representación gráfica de A x B constituye el plano cartesiano, en el cual tanto los elementos de A como los de B se alinean en dos segmentos de recta. Un segmento representará al conjunto A y el otro al conjunto B.
Producto cartesiano entre dos conjuntos. El producto cartesiano de dos conjuntos Ay B, denotado A ×B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B. A x B = {(x, y)/(x A) (y B)}
A = {*, &, #} B = {@, $, ♣} A x B = {(*,@), (*,$), (*, ♣), (&,@), (&,$), (&, ♣), (#,@), (#,$), (#,♣)} En este e em lo la cardinalidad del con unto resultante es N(A x B) = 9.
Cardinalidad del producto cartesiano. Se refiere a la cantidad de elementos que contiene un conjunto Si A, B, C son conjuntos tales que: N(A) = 2, N(B) = 3, N(C) = 4 y N(B∩C) = 2, determine N[A x (B ∪ C)]. Solución: En base a la definición de N(A x B), tenemos que: N[A x(B∪C)] = N(A)N(B∪C) Por otra parte: N(B∪C) = N(B) + N(C) − N(B∩C) = 3 + 4 − 2 = 5 Luego: N[A x(B∪C)] = (2)(5) =10
El producto cartesiano tiene las siguientes propiedades: A x (B∪C) = (A x B)∪(A x C) A x (B∩C) = (A x B)∩(A x C) A x (B−C) = (A x B)−(A x C) (A∪B) x C = (A x C)∪(B x C)
(A∩B) x C = (A x C)∩(B x C) (A−B) x C = (A x C) −(B x C)
Demostración de propiedades del producto cartesiano. Demuestre formalmente: A x (B∪C) = (A x B)∪(A x C) Solución: (x , y ) ∈[A x(B∪C)] ≡ (x ∈A)∧[y ∈(B∪C)] Definición de producto cartesiano. ≡ (x ∈A)∧[(y ∈B)∨(y ∈C)] Definición de unión entre conjuntos. ≡ [(x ∈A)∧(y ∈B)]∨[(x ∈A)∧(y ∈C)] Aplicación de propiedad distributiva. ≡ [(x , y ) ∈(A x B)]∨[(x , y ) ∈(A x C)] Definición de producto cartesiano. ≡ (x , y ) ∈[(A x B)∪ (A x C)] Definición de unión entre conjuntos.