Filtros activos Contenido
del capítulo
9.1
Introducción
9.2
Filtros activos comparados con los filtros paSIVOS
9.3 9.4 9.5
9.6 9.7
Tipos de filtros activos La función bicuadrática Fil tras B utterworth Filtros pasabajas Filtros pasaaltas
9.1 Introducción
9.8 9.9
Filtros pasabanda Filtros de rechazo de banda
9.10 9.11 9.12
Filtros pasatodas Filtros de capacitar conmutado Recomendaciones para el diseño de filtros
RESUMEN PREGUNTAS
~ REFERENCIAS DE REPAso
~ PROBLEMAS
En ingeniería eléctrica, un filtro es un circuito selectivo de frecuencia que pasa una banda específica de frecuencias, y que bloquea o atenúa señales con frecuencias fuera de esta banda, En general, estas señales son voltajes, Los filtros que emplean sólo elementos pasivos, tales como capacitores, inductores y resistores, se llaman filtros pasivos. Los filtros que utilizan las propiedades de los ampli'ficadores operacional es, además de resistores y capacitores, se llaman filtros activos o, más a menudo, filtros analógicos, en contraste con los filtros digitales. Tanto los filtros analógicos como los digitales se pueden incluir en el mismo circuito integrado. En este capítulo se presentan los filtros activos, y se analizan y se diseñan las topologías de circuitos simples. Por su importancia práctica, los filtros analógicos a menudo se estudian en un solo curso [3, 4], Los objetivos de aprendizaje de este capítulo son los siguientes: • Comprender las diferencias entre los filtros pasivos y los activos • Examinar las características y tipos de los filtros activos • Analizar filtros activos • Diseñar filtros activos que satisfagan las especificaciones
l·
9.2 Filtros activos
l'
comparados con los filtros pasivos
en frecuencia deseadas
En los circuitos electrónicos se utilizan tanto filtros activos como pasivos. Sin embargo, los filtros activos ofrecen las siguientes ventajas sobre los filtros. pasivos: • Flexibilidad en el ajuste de ganancia y frecuencia: Dado que los amplificadores operacionales proporcionan una ganancia en voltaje, la señal de entrada en los filtros ac-
I
421
-
--~~~~-~~~.~----~---~~-.--.--
-------
---------,---- ------_-=.._----------- ---.--------..... - -~--
422
CAPíTULO
9
~
FILTROS ACTIVOS
tivos no se ve atenuada, como en los filtros pasivos. Los filtros activos son fáciles de ajustar o sintonizar. • Efecto de no carga: Debido a la alta resistencia de entrada y a la baja resistencia de salida de los amplificadores operacionales, los filtros activos no provocan efecto de carga en la fuente de entrada o en la carga. • Costo y tamaño: Los filtros.activos son menos costosos que los pasivos por la disponibilidad de los amplificadores de bajo costo y la ausencia de inductores. • Efectos parásitos: Los efectos parásitos se reducen en los filtros activos por el menor tamaño de éstos. • Integración digital: Los filtros analógicos y los circuitos digitales se pueden incluir en el mismo circuito integrado. • Funciones de filtrado: Los filtros activos son capaces de realizar más funciones de filtrado que los filtros pasivos. • Ganancia: Un filtro activo puede proporcionar una ganancia, mientras que el filtro pasivo a menudo exhibe una pérdida significativa.
'"{-
Los filtros activos también tienen algunas desventajas: • Ancho de banda: Los componentes activos tienen un ancho de banda finito, que limi· ta las aplicaciones de los filtros activos al rango de frecuencia de audio. Los filtros pasivos no adolecen de tal limitación en frecuencia y pueden usarse hasta frecuen· cias aproximadamente de 500 MHz. • Derivas: Los filtros activos son sensibles a las derivas de los componentes, ocasio· nadas por las tolerancias de fabricación o cambios ambientales; en contraste, los filo tros pasivos se ven menos afectados por tales factores. • Fuentes de alimentación: Los filtros activos requieren fueQtes de alimentación; los paSIVOS, no.
• Distorsión: Los filtros activos sólo puede manejar un rango limitado de magnitud de la señal; más allá de este rango, introducen distorsiones inaceptables. • Ruido: Los filtros activos utilizan resistores y elementos activos, los cuales producen ruido eléctrico. En general, las ventajas de los filtros activos sobrepasan sus desventajas en aplicaciones de comunicación de voz y transmisión de datos. Los filtros activos se utilizan en casi todos los sistemas electrónicos complejos en aplicaciones de comunicación y procesamiento de señales, tales como televisión, teléfono, radar, satélites espaciales y equipo biomédi· co. Sin embargo, los filtros pasivos todavía son muy utilizados.
9.3 Tipos de filtros activos
Sea V¡ L. O el voltaje de entrada al circuito de filtrado que se muestra en la figura 9.1. El voltaje de salida Vo y su corrimiento en fase (J dependen de la frecuencia w. Si se convierten dos voltajes al dominio de s de Laplace, la relación del voltaje de salida Vo(s) entre el voltaje de-entrada V¡(s) se conoce como función de transferencia de voltaje H(s): Vo(s)
H(s)
FIGURA 9.1 Circuito de filtrado
= Ves) I
La forma general de la función de transferencia H(s)
=
H(s) es
+ ... + a2i + als + ao ? para + ... + b2s- + biS + bo
amsln Sil
112: In
(9.1)
cuyos coeficientes se determinan de manera que satisfagan las especificaciones de filtrado deseadas. La sustitución de S = jw da H(jw), la cual tiene una magnitud y un retraso de fase. Según la especificación deseada de magnitud o de retraso de fase, los filtros activos se clasifican como filtros pasabajas, filtros de pasaaltas, filtros pasabanda, filtros de rechazo de banda o filtros pasatodas. En la figura 9.2 se muestran las características ideales de estos filtros. El fil~ro pasabajas deja pasar frecuencias de cd hasta una frecuencia deseada
-_
.. -_
,._-
- _., --- -- ._-----------_.
__
---' _ __
._---_
.. ---==_.
•
--------_._------~=-~,~~~.~-----------
SECCIÓN
9.3
FIGURA 9.Z
~
TIPOS
_423
DE FILTROS ACTIVOS
Características
ideales de los filtros
IHI
.
"i5.¡--+
IH[
"
B
W
"
g] rad/s) (enPasorad!s)00 ':u ~ ~-+ Wa wa ~
:'d
(b) Filtro pasaaltas ideal
" Paso--+
,
-a ~
+--
E
Paso-+
8
--+ W¡
lUz W
W¡
(en rad/s)
Wz
w (en rad/s)
(d) Filtro de rechazo de banda ideal
(e) Filtro pasabanda ideal
(= Wa/27T) y atenúa las frecuencias altas. fo se conoce comofrecuencia de corte. El rango de frecuencia baja de Oa f o se conoce como banda de paso o ancho de banda, y el rango de frecuencia alta de fo a infinito se conoce como banda de atenuación completa. El filtro pasaaltas es el complemento del filtro pasabajas, el rango de frecuencia de Oa f o es la banda de atenuación completa y el rango defo a infinito es la banda de paso. El filtro pasabanda deja pasar frecuencias de fL a fH y atenúa completamente todas las demás frecuencias. El filtro de rechazo de banda es el complemento del filtro pasabanda; se atenúan completamente las frecuencias de fL a fH, y se dejan pasar todas las demás frecuencias. En ocasiones, los filtros de rechazo de banda se conocen como filtros supresores de banda. El filtro pasatodas, o sin atenuación deja pasar todas las frecuencias de Oa infinito, aunque produce un retraso de fase. Es imposible crear filtros con las características ideales mostradas en la figura 9.2. En lugar de los cambios abruptos en el comportamiento de paso a atenuación completa y de atenuación completa a paso, los filtros reales exhiben una transición gradual de la banda de atenuación completa a la banda de paso. En los incisos (a), (b), (c) y (d) de la figura 9.3, se muestran las características de un filtro real. En el inciso (e) se combinan todas las características. La frecuencia de corte corresponde a la frecuencia a la cual la ganancia alcanza el 70.7% de su valor máximo. La fora de la transición o la rapidez con la que cambia la característica se conoce como velocidad de reducción o rapidez de atenuación profa
FIGURA 9.3 IHI
Características
de un filtro real
IHI
IHI
0.707
0.707
Wa W
(en rad/s)
w
(en rad!s)
(b) Filtro pasaaltas
(a) Filtro pasa bajas
W¡
Wa W2 w
(en rad!s)
(e) Filtro pasabanda
1-
00
(e) Características combinadas
w
(en rad!s)
W¡
Wa W2
w (en rad!s)
(d) Filtro de rechazo de banda
424
9
CAPíTULO
~
FILTROS ACTIVOS
gresiva. Si se traza la gráfica de la frecuencia con una escala logarítmica, la gráfica se conoce como gráfica de Bode, y la rapidez de atenuación gradual, o pendiente asintótica, se mide en múltiplos de ±6 dE por octava o ±20 dE por década. ASPECTOS PRINCIPALES DE LA SECCIÓN 9.3
r------------.,,-------------------------, • De acuerdo con sus características en frecuencia, los filtros se clasifican como pasabajas, pasaaltas, pasabanda, rechazo de banda o pasatodas. No es posible crear filtros con las características ideales de cambios abruptos en el comportamiento de la banda de paso a la de atenuación completa, y viceversa. Los filtros reales exhiben una transición gradual de la banda de atenuación completa a la banda de paso.
9.4 La función bicuadrática
Para un filtro activo con n > 2, la ecuación (9.1) se vuelve compleja. Por tanto, por lo general se utiliza una función de transferencia de segundo orden (es decir, una función con n = 2). Lafunción bicuadrática, que sirve como bloque básico para una amplia variedad de filtros activos, tiene la forma general H(s)
=K
+ k¡(wo/Q)s
k2s2
2
, ,1"
+ kow~
s +(wo/Q)s+wo
(9.2)
2
donde Wo es lajrecuencia natural no amortiguada (o de resonancia), Q es el factor de calidad o cifra de mérito y K es la ganancia en cd. Las constantes k2, k¡ Y ko son ± 1 o O. En la tabla 9.1 se muestran los valores posibles para cada tipo de filtro. Si se sustitu ye s = j w en la ecuación (9.2), se obtiene en el dominio de la frecuencia la H(jw) , la cual tiene una magnitud y un retraso de fase: • H(
.
)
]W
donde
w
-k2w2 + jk¡(wo/Q)w
--------
= -w2 + j(wo/ = 271"f, en rad/s
f =
+ kow~
Q)w + w~
(kow~ - k2(2) + jk¡(wo/Q)w
--------
(9.3)
(w; - (2) + j(wo/ Q)w
frecuencia de la entrada, en Hz
Se puede demostrar (apéndice B) que Q está relacionado con el ancho de banda, BW, y con Wo por medio de Wo Q--- BW
donde
WH
wL
TABLA 9.1 das a de banda zo HLP = de Funciones bicuadráticas los filtros
--:z:-=--'--
S
(9.4) -
wH -
wL
= frecuencia de corte alta, en rad/s = frecuencia de corte baja, en rad/s
Kwo
H = -K 1ko O 1k2 1 OO O de transferencia O -1 l1 Función O l k¡ Filtro - (wo Q)s + Wo s2 + + (wo/Q)s (wo/ Q)s + w~ w~ BP (wo/Q)s ++ w~ AP HP - l + BR -
.-._,' -,'~'." ~.__._.. ~~-"-'
s2
l+
(wo/Q)s
2 / Ks2 2 K(l K(wo/Q)s + w~)
+
w~
2
=====~---------------~._-----~-
'---~--'-._.""~.-~ ..-~._=.~--~ ..
... ,---_ ... _---I
SECCIÓN 9.5
..:j
~
425
FILTROS BUTIERWORTH
ASPECTOS PRINCIPALES DE LA SECCIÓN 9.4 • El factor de calidad Q es una medida del ancho de banda de un filtro. Cuanto más alto sea el valor de Q, más selectivo será el filtro . • El denominador de todas las funciones cuadráticas de filtro es el mismo; el numerador depende del tipo de filtr~.
9.5 Filtros Butterworth
El denominador de la función de transferencia de un filtro determina los polos y la rapidez de atenuación de la respuesta en frecuencia. Obsérvese en la tabla 9.1 que el denominador de la función bicuadrática tiene la misma forma para todos los tipos de filtros. Los filtros Butterworth [2] se obtienen del cuadrado de la magnitud.
l
I
11
Hn(jw)12
= 1+
(9.5)
(w/wo)2n
la cual da la magnitud de la función de transferencia
como
1 IHn(jw)i
= [1 +
(9.6)
(w/wo)2n]1/2
En la figura 9.4 se muestran gráficas de esta respuesta, conocida como respuesta Butterworth, para n = 1, 2, 4, 6, 8 Y 10. Este tipo de respuesta tiene las siguientes propiedades: I Hn(jO) i = 1 para todos los valores de n (ganancia en voltaje a frecuencia cero; esto es, la ganancia en voltaje decd cuando w = O) 2. Hn(jwo) = 1/v2 "'"0.707 para todos los valpres de n (ganancia en voltaje a la frecuencia w = wo) 3. I Hn(jwo) I exhibe una reducción gradual n-polos cuando w> wo' 4. Se puede demostrar que todas las derivadas de I Hn(jw) I excepto una, son iguales a cero en la vecindad de w = O. Es decir, la respuesta es máximamente plana cuando w = O.
1.
I
1
5. Cuando n > 10, la respuesta se aproxima a la característica ideal del cambio abrupto de la banda de paso a la banda de atenuación completa. Si se sustituye w = s/j en la ecuación (9.5), la función de transferencia Butterworth en el dominio s es 0.4 0.8 1.6 1.2wo 2.0 O
IHUw)1
0.2
0.6
1.0 w
0.4 0.8
(9.8)
iHn(s)12
(9.7)
=
11
+
(-I):1(s/wo)2n
I
para los filtros
426
9
CAPÍTULO
~
FILTROS ACTIVOS
donde Dn(s) es un polinomio en s, cuyas raíces tienen partes reales negativas y IDn(s) I 1
Función de Butterworth para n
Dn(
Si
-s)
wa
=
l·
= 1, para n = 2, la ecuación (9.7) toma la siguiente forma . ,~ (9.9)
=2
I
His)
12
de 1 +
La factorización
=
i
Dis)D2(-s)
11
~
s¡ I =
da D2(s)D2(
s4 +
_-
1
-
DiS)~i
I
-s)
s) como
1 -_ ( s -
-
Y2 1 - j)( s - - Y2 1 + j)( s - 1Y2 - j)( s - 1Y2 + j)
de donde
Dis)
Y
= (s - - Y2 1 - j)( s - -1Y2+ j) = s2 + Y2s + 1
= (s -
Di-s)
~)(s
-
1;1)
= s2 - Y2s +
1
Como I D2(s) 1 = I D2( - s) 1, la ecuación (9.7) da la función de Butterworth les negativas. Esto es, para D2(s) únicamente, se obtiene la forma general
H
(s)
1
= --------
w2 o
=
(s/Wo)2 + Y2(s/Wo)
2
+ 1
con partes rea-
s2 + Y2wos
(9.10)
+ w~
cuyo factor de calidad es Q = 1/Y2 = 0.707. Por tanto, con n = 2, un filtro Butterworth tiene la característica en frecuencia de un sistema de segundo ord~n (apéndice B), y la respuesta en frecuencia disminuye a razón de ,-40 dB / década o - 12 dB / octava.
Función de Butterworth para n = 3
Si wa = 1, para n = 3 la ecuación (9.7) se vuelve
IH3(s) Al factorizar 1 -
s6,
12
(9.11)
=
s61
11 ~
= I D3(S)~3(-S)
I
= (i + s +
- s + 1)(s + I)(-s
se obtiene
=
D3(s)D3(-s)
1 -
i
1)(i
+
1)
la cual da D3(s), cuyas raíces poseen partes reales negativas, como D3(s)
= (i +
La función de transferencia
s + 1)(s + 1)
para n
=3
= s3 +
2i
+ 2s +
l
está dada por 1
(s/wi
+ 2(s/wo)2 + 2(s/wo) +
(9.12) 1
w3o
s3 + 2w oi
(9.13)
+ 2w2s o + w3o
En consecuencia, para n = 3, el filtro Butterworth tiene la característica en frecuencia de un sistema de tercer orden, y la respuesta en frecuencia disminuye a razón de -60 dB/década o -18 dB / octava.
ASPECTOS PRINCIPALES • Los filtros Butterworth
DE LA SECCIÓN 9.5
producen
respuestas máximamente
planas.
.
,
i
i
SECCIÓN 9.6
~
FIL1ROS
427
PASABAJAS
• Con n > 10, la respuesta se aproxima a la característica ideal de cambio abrupto de la banda de paso a la banda de atenuación completa. Sin embargo, un filtro con n = 2 es bastante satisfactorio en la mayor parte de las aplicaciones.
9.6 Filtros pasa bajas Filtros pasa bajas de primer orden
Según el orden del polinomio bicuadrático de la ecuación 9.2, los filtros pasabajas se clasifican en dos tipos: de primero y segundo orden. La función de transferencia de un filtro pasabajas de primer orden tiene la forma general R(s)=~
s+
(9.14) Wo
En la figura 9.5(a) se muestra la característica en frecuencia típica. En la figura 9.5(b) se muestra un filtro de primer orden que utiliza una red RC de filtrado. El amplificador operacional funciona como amplificador no inversor, el cual tiene como características una impedancia de entrada muy alta y una impedancia de salida muy baja.
FIGURA 9.5 Filtro pasabajas de primer orden con K = 1
I~~I
i ,: I
-20 dB/década
,
_,~ 0.707
1_atenuaClOn Banda ~e __
Banda de paso -, o
f(en Hz)
fa
(b) Filtro
(a) Característica pasabajas
El voltaje (VX en el dominios de Laplace) en la terminal no inversora del amplificador operacional puede obtenerse con la regla del divisor de voltaje:
l/sC VxCs)
=
R
1
+ 1/ sC
=
V¡(s)
1 + sRC .
Vi (s)
El voltaje de salida del amplificador no inversor es
Vo (s)
= (1 +.
RF)vx(S) R¡
= (1 +
RF) R¡
1 + 1sRC
V¡(s)
la cual da la función de transferencia en voltaje R(s) como Vo(s)
R(s)
= --
=
V¡(s)
K 1 + sRC
(9.15)
donde la ganancia en cd es
K=
1
+RF
(9.16)
R¡
Con la sustitución de s
= jw en la ecuación (9.15), se obtiene Vo(jw)
H(jw)
h
=
V).(j'w)
K
=
1
+ jwRC
(9.17)
418
9
CAPÍTULO
~
FILTROS
ACTIVOS
de donde la frecuencia de corte fo' cuando la ganancia es 3 dB, es 1
=
fa
(9.18)
27TRC
La magnitud y el ángulo de fase de la ganancia del filtro se obtienen de la siguiente manera: IH(jw) y
4>
f =
donde
EJEMPLO 9.1 fE
I
=-
=
tan -
(9.19)
K
+ (w/wo)2]1/2
[1 1
(9.20)
(f/ fa)
frecuencia de la señal de entrada, en Hz.
Diseño de un filtro pasabajas de primer orden (a) Diseñar un filtro pasabajas de primer orden con una frecuencia de corte alta fo = 1 kHz, y una ganancia en la banda de paso de 4. Si la frecuencia deseada se cambia a f n = 1.5 kHz, calcular el nuevo valor de Rn. (b) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta de frecuencia del filtro diseñado en el inciso (a), de 10 Hz a lO kHz.
SOLUCIÓN
(a) La frecuencia de corte alta es f o = 1 kHz. Elegir un valor de C menor o igual que 1 ¡.tF; sea C = 0.01 ¡.tE El valor de R se calcula con la ecuación (9.18): R
= _1_
=
27rfaC
l = 15916 D 27r X 1 kHz X 0.01 ¡;..F
(usar un potenciómetro
de 20 kD,)
Escoger valores de R¡ y RF que satisfagan la ganancia K en la banda de paso. De acuerdo con la ecuación (9.16), K = 1 + RF/R,. Como K = 4,
RdR¡ =
=
4 - l
e:''';:'r
1
I
3 \¡
SiR1
= 10kD,RF= 30kD. Calcular el factor de escalamiento FSF = fo/
Calcular el nuevo valor de Rn
fn = Rn
en frecuencia, FSF
1 kHzj 1.5 kHz = 0.67
= FSF
= FSF x
= f o/ f n:
R
X R:
= 0.67
x 15916 = 10664 D
(usar un potenciómetro
de 15 kD)
(b) En la figura 9.6 se muestra un filtro pasabajas con los valores calculados de los parámetros del circuito y el amplificador operacional LF411. El archivo del circuito para la simulación con PSpice es el siguiente: Ejempla
9.1 Filtro pasabajas
VIN
1
O
R
1
2
AC
15916
FIGURA 9.6 2
0.01
J.LF
o 3
10 kn ;15916.0
Filtro pasabajas para la simulación UI .' 2
R R¡
de primer orden
IV
.
4
30kn o
eRF
--_+ _
con PSpice
15V Vcc
d15V VEE
•
SECCIÓN 9.6
~
C
2
O
O.OlUF
RIN
3
2
2MEG
FILTROS
429
PASABAJAS
modelo ROUT
5 4
EA
5
O
2
Rl
~
O
10K
RF
3
4
30K
RL
4
O
20K
.AC
DEC
. PRINT
AC
lineal del amplificador
operacional
750HMS 3
2E+5
100 10HZ
10KHZ
VM (4)
. PROSE
.END
De la gráfica de la ganancia en voltaje (figura 9.7), se obtiene K = 4.0 (el valor esperado es 4) 998 Hz (el valor esperado es 1 kHz) cuando I H(jw) I = 0.707 X 4 = 2.828. Por tanto, los resultados se aproximan a los valores esperados. y fa
=
FIGURA 9.7 Gráfica de la respuesta en frecuencia del ejemplo 9.1 obtenida con PSpice
Filtros pasabajas de segundo orden
La rapidez de atenuación gradual de un filtro de primer orden es de sólo -20 dB/década en la banda de atenuación. Un filtro de segundo orden tiene una reducción en la banda de atenuación de -40 dB/década y, por tanto, se le prefiere en lugar de un filtro de primer orden. Además, el filtro de segundo orden se puede convertir en el bloque básico para construir filtros de mayor orden (n = 4, 6, ... ). Si se sustituyen k2 = k¡ = O Y ko = 1 en la ecuación (9.2), se obtiene la forma general Kw2 H(s)
=
2
s
o
(9.21)
?
+ (wo/Q)s + w~
donde K es la ganancia en cd. En la figura 9.8(a) se muestra una característica de frecuencia típica; para valores grandes de Q, se presentan sobrepasas en la frecuencia de resonancia f O' Para frecuencias mayores que f o' la ganancia se reduce gradualmente a razón de -40 dB / década. El filtro de primer orden se puede convertir en uno de segundo orden agregando una red RC adicional, conocida como circuito de Sallen-Key, como se muestra en la figura 9.8(b). La red RC de entrada se muestra en la figura 9.8(c); el circuito equivalente aparece en la figura 9.8(d). La función de transferencia de la red de filtrado es K/R2R3C2C3 R3C3 + R2C3 + R2C2 s-? + s ------------R2R3C2C3
donde K !
1
= (l +
RF/R¡)
-
KR2C2
+ ----
(9.22)
R2R3C2C3
es la ganancia en cd. (Véase el problema 9.2 para la deducción.)
CAPÍTULO 9
4'30
FILTROS
ACTIVOS
FIGURA 9.8 Filtro pasabajas de segundo orden con K = 1
I~~I --40 dB / década
+
0.707 Banda de "' atenuaClOn
Banda de paso
-+
o IH
I(en
Hz)
(a) Característica pasabajas
(b) Filtro
Yx
=
YJK
.
(d) Circuito equivalente
(e) Red de retroalimentación de entrada
La ecuación (9.22) es similar en cuanto a la forma a la ecuación (9.21). Haciendo el denominador igual a cero, se obtiene la ecuación característica
. + R2C3 + R2C2
? r+s
R3C3
- KR2C2
.
R2Rl:;2C3
+----=0 1
(9.23)
R2R3C2C3
la cual tiene dos partes reales y dos raíces iguales. Haciendo s e igualando las partes reales a cero, se obtiene
= júJ en la ecuación (9.23)
/
de donde la frecuencia de corte es 1
úJo
¡; = o
= --=--=--_---:--
21f
(9.24)
21fYR2R3C2C3
Para simplificar el diseño de filtros de segundo orden, nohnalmente se utilizan resistencias y capacitancias iguales; esto es, R 1 = R2 = R3 = R, C2 = C3 = C. En tal caso, la ecuación (9.22) se reduce a H(s)
=
i
Kw2o
+ (3 -
K)úJos
+
(9.25)
? úJ~
Si se compara el denominador de la ecuación (9.25) con el de la (9.21), se ve que Q puede ser relacionada con K por medio de
K=3-- 1 Q=3-K
Q
(9.27)
(9.26)
La respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden en el punto correspondiente a 3 dB depende del factor de amortiguamiento ~, de modo que Q = 1/2~. Un valor de Q de 1v'2( =0.707), el cual representa un compromiso entre la magnitud pico y el ancho de
'1
SECCIÓN 9.6
~
FILTROS
PASABAJAS
431
banda, hace que el filtro exhiba las características de una banda de paso plana así como una banda atenuada, y que produzca una ganancia en cd fija K = 1.586: K
= 1+
RF
=3
-
V2 = 1.586
(9.28)
R1
Sin embargo, se puede obtener más ganancia con la adición de una red divisora de voltaje, como se muestra en la figura 9.9, de modo que sólo una fracción x del voltaje de salida se retroalimente de nuevo al capacitar C2. Esto es,
x=---R4 R4
(9.29)
+ Rs
la cual modifica la función de transferencia de la ecuación (9.25) a I
2
I
= ------s2 + (3
H(s)
I
Kwo - xK)wos
(9.30)
+ w~
y al factor de calidad Q de la ecuación (9.26) a
1 Q=-3 -xK
,I
(9.31)
Por tanto, con Q = 0.707, xK = 1.586, permite al diseñador obtener más ganancia K en cd al elegir un valor más bajo de x, donde x < l. FIGURA 9.9 Circuito Sallen-Key modificado
EJEMPLO 9.2 m
Diseño de un filtro pasabajas de segundo orden (a) Diseñar un filtro pasabajas de segundo orden corno el de la figura 9.9, con una frecuencia de cor= f o = 1 kHz, una ganancia en la banda de paso K = 4 Y Q = 0.707, 1, 2 e oo. te alta
h
(b) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del voltaje de salida del filtro diseñado en el inciso (a), de 10 Hz a 10 kHz.
SOLUCIÓN
(a) Para simplificar los cálculos de diseño, sean R¡ = Rz = R3 = R4 = R Y sea Cz = C3 = C. Eligir un valor de C menor o igual que 1 fLF; sea C = 0.01 fLF Con Rz = R3 = R Y Cz = C3 = C, la ecuación (9.24) se reduce a
de donde el valor de R es 1 R = --
27TfoC
I
~.
1
= --------
27T X 1 kHz X 0.01 fLF
= 1591611
(usar un potenció metro de 20 k11)
432
CAPÍTULO 9
~
FILTROS ACTIVOS
Luego, Con Q = 0.707 Y K = 4, la ecuación (9.31) da x = 1.586/ K = 1.586/4 (9.29), se obtiene Rs 1 -=--1
1=--
x
R4
x
=
(9.32)
1.525 X 15 916
n da
= 24275
,
n
,\
(usar un potenciómetro
Para Q = 1 Y K = 4, la ecuación (9.31) da 3 - xK = l o x = 2/ K
= 0.5,
Para Q = 2 Y K = 4, la ecuación (9.31) da 3 - xK = 1/2 o x = 2.5/K
=
Rs 00 y
de 30 kD)
Y
¡¡
íJ .,,
= R = 15916 D
Rs
Para Q =
'1
.¡
x
la que, con x = 0.396 Y R4 = R = 15916 Rs
= 0.396. De la ecuación
0.6R
=
9550
n
K = 4, la ecuación (9.31) da 3 -xK
= 0.333R = 5305
Rs
= 0.625, Y
= I/Q = O ox = 3/K = 0.75, Y
n
(b) El filtro pasabajas, con los valores diseñados de los parámetros del circuito y un modelo simple de cd del amplificador operacional, se muestra en la figura 9.-10. El listado del archivo del circuito para la simulación con PSpice es el siguiente: Ejemplo
9.2 Filtro pasabajas
VIN
O
1
.PARAM Rl
4
RF R2
AC
de segundo orden
IV
VAL = 15K O
15916
4
6
47748
1
2
15916
C2
2
8
O.OIUF
R3
2
3
15916
C3
3
O
O.OlUF
R4
8
O
15916
R5
6
8
(VAL)
; Define un parámetro
VAL
R5 depende del parámetro
.STEP PARAM VAL LIST 9550 15916 24275
Asigna
RIN
modelo
VAL
valores al parámetro
VAL 4
ROUT EA
3 5
5
2MEG 6
O
lineal del amplificador
operacional
750HMS 3
4
FIGURA 9.10
2E+5
Filtro pasabajas de segundo orden para la simulación
con PSpice
RF
47748 D. Parámetros: RVAL 24275
I
l
6
1
Rs
(RVALI 8 R4 15916D.
9.6
SECCIÓN * RL
6
.AC
DEC
o
~
FILTROS
433
PASABAJAS
200K 100
10HZ
10KHZ
. PROBE
.END
La gráfica generada por PSpice para la ganancia en voltaje Av [= V(R5:2)jV(Vs: +)] se muestra en la figura 9.11. Para Q = 0.797, se obtiene fa = 758 Hz (el valor esperado es 1 kHz), con una ganancia de 2.833 (el valor estimado es 4 X 0.707 = 2.828). El error en la frecuencia se debe a que la ganancia del amplificador operacional es finita y depende de la frecuencia. Si se utiliza un amplificador operacional ideal, en la simulación se aproxima mucho al valor esperado. El valor pico de la ganancia aumenta conforme lo hace el valor de Q; no obstante, el ancho de banda también aumenta un poco (fa = 1113 Hz con Q = 2).
FIGURA 9.11 Respuesta en frecuencia del ejemplo 9.2 obtenida con PSpice
Filtros Butterworth pasabajas
La respuesta Butterworth requiere que I H(jO) I = 1 (o O dB); la función de transferencia de la ecuación (9.25) para el circuito Sallen-Key da I H(jO) I = K para lograr una respuesta Butterworth con la topología de conmutador Sallen-Key. Por consiguiente, se debe reducir la ganancia en 1/ K. Considérese la parte del circuito que está a la izquierda de las terminales a y b en la figura 9.8(b). La resistencia R2 está en serie con el voltaje de entrada Vi' como se muestra en la figura 9.12(a). La reducción de la ganancia se logra añadiendo una red divisora de voltaje formada por Ra Y Rb, como se muestra en la figura 9.12(b). El circuito Sallen-Key para la respuesta Butterworth aparece en la figura 9.12(c). Los valores de Ra Y Rb deben ser tales que Rerrt = R2, Y el voltaje a través de Rb sea V¡/ K. Esto es, RaRb ---=R R +R b
a
Ra
Al despejar
Ra
(9.33) 2
Rb
1
+ Rb
K
(9.34)
Y Rb, se obtiene para IH(jO)
I
= 1 (o
O dB)
(9.35)
1 (o O dB)
(9.36)
K Rb
= -K-I
R2
para I H(jO) I
=
Las ecuaciones (9.35) y (9.36) garantizan una ganancia a frecuencia cero de O dB para todos los valores de Q. Por ejemplo, si K = 4 Y R2 = 15916 n, Ra
=4
X 15916
= 63
664
n y Rb = 4
X 15916/(4
- 1)
= 21
221
n
434
9
CAPíTULO
~
FIGURA 9.12
FILTROS ACTIVOS
Circuito Sallen-Key
para la respuesta Butterworth
+
(a)
(b)
(e)
Sin embargo, es más deseable tener una ganancia de OdB a la frecuencia de resonancia wo; es decir, I H(jwo) I = l (o O dB). Si se sustituye s = jwo en la ecuación (9.25), la magnitud de la ganancia es Kj(3 - K), de donde la reducción de ganancia requerida es (3 - K)/ K. Es decir,
.- '3
Rb
Ra
Despejando
Ra
+ Rb
- K
(9.37)
K
y Rb de las ecuaciones (9.33) y (9.37); se obtiene
K Ra
=
. = 1 (o O dB)
Rz 3 -.:... K para I H(jwo)
(9.38)
I
K Rb
= Rz
2K _ 3 para I H(jwo)
(9.39)
= 1 (o O dB)
I
Por consiguiente, se puede diseñar un filtro activo de modo que tenga una ganancia de OdB para w = O o para w = wo' En el caso donde IH(jwo) I = 1 (o O dB), la ganancia a frecuencia cero se reduce en un factor de (3 - K)/ K Es decir, I H(jO) I
=3
- K para I H(jwo)
I
=
1 (o O dB)
(9.40)
v2
y K = 3 - 1/ Q = 1.586, la ecuación (9.40) da IH(jO)1 Para Q = pre que el filtro se diseñe de modo que I H(jwo) I = 1 (o O dB).
EJEMPLO 9.3
= 3-
Diseño de un filtro Butterworth pasabajas de segundo orden para I HUwo) I
K
= 1.414 siem-
=1
(a) Diseñar un filtro Butterworth pasabajas de segundo orden como el de la figura 9.12(c), de modo que I H(jwa) I = 1 (o O dB), la frecuencia de corte sea fa = I kHz y Q = 0.707. (b) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del voltaje de salida del filtro diseñado en el inciso (a), de 10Hz a 10kHz.
SOLUCIÓN
(a) Para la respuesta Butterworth, la ecuación (9,27), K y
RF
=3=
I/Q
Q
=3-
(K - I)R,
= 0.707 1/0.707
= (1.586
Y del ejemplo 9.2,
=
e
= 0.0 I
fLF Y R
= 15 916
n. De
1.586
- 1) X 15916
= 9327 n
De la ecuación (9.38), Ra
=
RK/(3 - K)
=
15916 X 1.586/(3 - 1.586)
=
17852
n
i
De la ecuación (9.39), Rb
= RK/('2K - 3)
=
15916 X 1.586/(2
De la ecuación (9.40), I H(jO) I
=
3- K
=
3 - 1.586
=
1.414
X 1.586 - 3)
= 146760
n
J~
SECCIÓN 9.6
FILTROS
(b) Para la simulación
435
PASABAJAS
con PSpice, el circuito de la figura 9.10 se puede modificar quitando R4 y
Rs,
remplazando R2 con Ra Y agregando Rb· En la figura 9.13 se muestra este circuito modificado. El listado del archivo del circuito para la simulación con PSpice/SPICE es el siguiente: Ejemplo
9.3 Filtro Butterworth
VIN
O
1
AC
Rl
4
O
RF
4
6
9327
RA
1
2
17852
RB
2
O
146760
2
6
O.OlUF
R3
2
3
15'916
C3
3
O 4
ROUT EA .AC
5
O.OlUF 3
5
2MEG 6
O DEC
de segundo orden
15916
C2
RIN
pasabajas
lV
modelo
lineal del amplificador
operacional
750HMS 3
4
100
2E+5 10HZ
10KHZ
.PROBE .END
FIGURA 9.13
Filtro Butterworth pasabajas de segundo orden para la simulación con PSpice RF
9327 D.
.. RA
1
17852 D. 2 7
61~'~ -
Vs
__
IV RB
C2
146760D.
0.01 fLF
~I-
Vcc
'&O
15V
La gráfica producida por PSpice/SPICE para la ganancia en voltaje se muestra en la figura 9.14, de donde I H(jwa) 1 = 1.0 cuando fa = 1 kHz y I H(jO) I = 1.414, valores que corresponden a los valores esperados.
FIGURA 9.14
Respuesta en
frecuencia del ejemplo 9.3 obtenida con PSpice
¡:, j;
r
t
436
CAPÍTULO
~ NOTA:
9
~
FILTROS ACTIVOS
La simulación
se ejecutó con el modelo lineal de cd descrito en la sección 6.3.
ASPECTOS PRINCIPALES
DE LA SECCIÓN 9.6
• Se prefieren filtros de segundo{)rden con una rapidez de atenuación de 40 dBjdécada. en lugar de los de primer orden que tienen una rapidez de atenuación de 20 dBjdécada. Se pueden usar fj.ltros de primero y segundo órdenes como bloques básicos para construir filtros de mayor orden . • El circuito Sallen-Key es un filtro de segundo orden de uso común. Este circuito se puede diseñar de modo que exhiba las características de una banda de paso plana así como de una banda de atenuación, y se puede modificar para que tenga una ganancia en la banda de paso así como una respuesta Butterworth.
9.7 Filtros pasaaltas
Filtros pasaaltas
Los filtros pasaaltas se clasifican de manera general en dos tipos: de primer orden y de segundo orden. Los filtros de mayor orden se sintetizan a partir de estos dos tipos básicos. Como la escala en frecuencia de un filtro pasabajas va de O a fa y la de un filtro pasaaltas va de fa a 00, sus escalas en frecuencia guardan una relación recíproca. Por consiguiente, si se diseña un filtro pasabajas, puede ser convertido en uno pasaaltas mediante una transformación RC-CR. Esta transformación se logra remplazando Rn con Cn y Cn con Rn. El amplificador operacional, modelado como una fuente de voltaje controlada por voltaje, no es afectado por esta transformación. Los resistores utilizados para establecer la ganancia en cd del amplificador operacional, tampoco son afectados. • La función de transferencia
de un filtro pasaaltas de primer orden tiene la forma general
sK
de primer orden
H(s)
= -s+
(9.41) Wo
En la figura 9 .15( a) se muestra una característica en frecuencia pasaal taso Se puede formar un filtro pasaaltas de primer orden intercambiando el resistor y el capacitar dependientes de la frecuencia del filtro pasabajas de la figura 9.5(b). Esta configuración se muestra en la figura 9.l5(b). El voltaje en la terminal no inversora del amplificador operacional se obtiene con la regla del divisor de voltaje. Esto es,
s
R Vx(s)
=
R
+ l/sC
V¡(s)
= s+
l/RC
V¡(s)
El voltaje de salida del amplificador no inversor es
FIGURA 9.15 Filtro pasaaltas de primer orden
I~~I 0.707
o
-/( atenuación Bandade+-
Banda __ de paso
f(en Hz) (a) Característica pasaaltas
--_..----:.--:-'''-'n- -
---_._------
(b) Filtro
---::-'--=--'-----._----=----=--=--=---===========~~------------
SECCIÓN 9.7
~
FILTROS
437
PASAALTAS
de donde la ganancia en voltaje es H(s)
Vo(s)
= ---
V¡(s)
s
= --
sK
+
(9.42)
l/RC
donde K = 1 + RF/R¡ es la ganancia en voltaje de cd. Sustituyendo s = jú} en la ecuación (9.42), se obtiene Vo(jw) H(jw)
=
jwK
=
Vi(jw)
de donde la frecuencia de corte
+
1/RC
f o cuando
jw
+ Wo
=
271"
(9.43)
la ganancia es 3 dB es
1
Wo
fo =
jw
jwK
(9.44)
21TRC
como en la ecuación (9.18). La magnitud y el ángulo de fase de la ganancia del filtro pueden obtenerse de (w / wo)K
[1 y
4J
= 90° -
+
tan-1
(w/wo)2]l/2
(f/fo)K
[1 + (f/fo)2]1/2
(9.45) (9.46)
(f/fo)
Este filtro deja pasar todas las señales que tengan frecuencias mayores que f o' Sin embargo, el límite de frecuencia alta queda determinado por el ancho de banda del propio amplificador operacional. El producto ganancia-ancho de banda de un amplificador operacional real ¡.LA 741 es de 1 MHz.
--'. ~L
EJEMPLO 9.4 l1J
SOLUCIÓN
Diseño de un filtro pasaaltas de primer orden Diseñar un filtro pasaaltas de primer orden con una frecuencia de corte fa = 1 kHz y una ganancia en la banda de paso de 4. Los filtros pasaaltas se forman intercal1)biando R y e de la red Re de entrada, así que también se aplican los procedimientos de diseño y de escalamiento en frecuencia para filtros pasabajas. Ya que fa = 1 kHz, se pueden utilizar los valores de R y e calculados para el filtro pasabajas del ejemplo 9.1; es decir,
e
= 0.01
R
=
¡.¡.F
15 916 D (usar un potenciómetro
de 20 kD)
Asimismo, se utiliza R1 = 10 kD Y RF = 30 kD para obtener K = 4. Se puede ejecutar una simulación con PSpice/SPICE que confirme los valores de diseño, intercambiando las posiciones de R y e en la figura 9.6, de modo que los enunciados para R y e son los siguientes:
Filtros pasaaltas
de segundo orden
e
2
O.OlUF
Con C conectado
R
o
15916
Con R conectado entre los nodos 2 y O
El filtro pasaaltas de segundo orden tiene una característica de banda de atenuación 40 dE/década. La forma general de un filtro de pasaaltas de segundo orden es H(s)
.,
';
~
entre los nodos 1 y 2
=------
i
+
de
s2K
(wo/ Q)s
(9.47)
+ w~
donde K es la ganancia de frecuencia alta. En la figura 9 .16( a) se muestra una respuesta en frecuencia caracteóstica. Como en el caso del filtro de primer orden, el filtro pasaaltas de segundo orden se forma a partir de un filtro pasabajas de segundo orden, intercambiando los resistores y capacitores dominantes en frecuencia. En la figura 9 .16(b), se muestra un filtro pasaaltas de segundo orden derivado del circuito Sallen-Key de la figura 9.8(b). La
438
CAPÍTULO
9
FIGURA 9.16
~
FILTROS ACTIVOS
Filtro pasaaltas de segundo orden R¡
I~~I + 0.707 va Banda de atenuación
Banda de paso
o ¡(en Hz) (a) Característica pasa altas
(b) Filtro
¡. 7
función de transferencia se puede deducir aplicando la transformación RC en CR y sustituyendo l/s en lugar de s en la ecuación (9.22). Con R[ = R2 = R3 = R Y C2 = C3 = C, la función de transferencia es S2K
= ------s2 + (3 - K)(Vé +
H(s)
(9.48) w~
:.
y la ecuación (9.24) da la frecuencia de corte como 1
fo =
w~~~ 2TT
-_o
'--1-\
=;;rVk2R3C2C3 "'---'-' /
í
1.
(9.49)
2TTRC
Q y K del circuito no cambian. Se puede agregar una red divisofc1 de voltaje, como se muestra en la figura 9.17, de modo que sólo una fracción x del voltaje de salida se retroalimente de nuevo a través del resistor R2• La función de transferencia de la ecuación (9.48) se vuelve entonces, (9.50)
FIGURA 9.17 Filtro pasaaltas de segundo orden modificado
+
EJEMPLO 9.5
m
Diseño de un filtro pasaaltas de segundo orden (a) Diseñar un filtro pasaaItas de segundo orden como el de la figura 9.17, con una frecuencia de cor. te fa = 1 k.Hz, una ganancia en la banda de paso de K = 4 Y Q = 0.707, 1, 2 e oo.
(b) Usar PSpice/SPICE filtro diseñado
SOLUCIÓN
,
para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del voltaje de salida del en el inciso (a), de 10 Hz a 100 kHz.
(a) Como los filtros pasaaltas se forman con intercambiar tan sólo las R y las C de la red RC de entrada y como fa = 1 kHz, entonces se pueden usar los valores de R y C determinados para el filtro
SECCIÓN 9.7
FILTROS
439
PASAALTAS
pasabajas de segundo orden del ejemplo 9.2; es decir,
Para Q
Para Q
=
=
R4
=
Rs
= 24275
R
=
15916 D.
e = 0.01
(usar un potenciómetro
fLF, Y
de 20 kD.)
0.707, D.
(usar un potenciómetro
de 30 kD.)
1,
,
l'
Rs=R=15916D.
,1
Para Q = 2, ;1
Rs
= 0.6R =
Rs
= 0.3333R = 5305
9550 D.
'1
Para Q =
¡i
00, .
·1
FIGURA 9.18
D.
Filtro pasaaltas de segundo orden para la simulación con PSpice RF
Parámetros: RVAL 24275
4774811 R¡
1591611 VEE
1
Rs 6
8{RVAL}
R4
1591611
(b) En la figura 9.18 se muestra el la figura 9.10. En la figura 9.19 se ba, la ganancia en voltaje muestra PSpicejSPICE para R y son los
e
C2 R3
83 O O.OlUF 15916 conectado 2 1.15916
h15V 1 -
'--
+
O
Vcc 15V
e
circuito que se obtiene al intercambiar las posiciones de R y en mueslran las gráficas producidas por PSpice. Tal como se esperaun valor pico mayor para un valor alto de Q. Los enunciados de siguientes:
entre Con los Con C3 C2 R2 R3 conectado entre los
R2 C3
nadas 1 Y 2 nadas 2 y B nadas 2 y 3 nadas 3 y O
FIGURA 9.19 Gráficas de PSpice de la respuesta en frecuencia del ejemplo 9.5
~.' '(-.
Se notará el decaimiento a las capacitancias MA74 1.
más pronunciado
internas del amplificador
debido
f'
.' 9
~
~.~
-440
CAPÍTULO
-Filtros Butterworth
Como la escala de frecuencia de un filtro pasabajas es el recíproco de la de un filtro pasaaltas, la respuesta Butterworth de la ecuación (9.6) también se puede aplicar a los filtros pasaaltas. La magnitud de la función de transferencia se vuelve
pasaaltas
FILTROS ACTIVOS
1 !Hn(jw)
I
= [1 +.(wo/w)2n]I/2
(9.51)
donde I Hn(joo I = 1 para toda n, en lugar de I Hn(jO) I = 1. La respuesta Butterworth requiere que I H(j 00) I = 1 (o O dB); sin embargo, la función de transferencia de la ecuación (9.48) da I H(j 00) I = K. Por consiguiente, la ganancia se debe reducir en l/K. La reducción de la ganancia se logra agregando a la figura 9.20(a) una red divisora de voltaje, formada por Ca y Cb, como se muestra en la figura 9.20(b). El circuito completo aparece en la figura 9.20(c). Los valores de Ca y Cb deben ser tales que Cent = C2, y que el voltaje a través de Cb sea VJ K. Es decir, Ca
+ Cb
Ca
Al despejar
(9.52)
= C2
Ca
1
+ Cb
K
(9.53)
se tiene
Ca y Cb,
C2 Ca=J(
paraIH(joo)¡
=1(oOdB)
para I H(joo)I
=
(9.54)
K-I Cb
= C2 -K-
(9.55)
1 (o O dB)
Las ecuaciones (9.54) y (9.55) garantizan una ganancia a frecuencia alta de O dB para todos los valores de Q. Para C2 = 0.01 fLF Y K = 4, se tiene Ca = 0.01 fLF/4 = 2.5 nF
FIGURA 9.20
Filtro Butterworth
y
Cb = 0.01 fLF X (4 - 1)/4 = 7.5 nF
pasaaltas de segundo orden R¡
+
(b)
(a)
(e)
Sin embargo, como en el caso ganancia de O dB a la frecuencia de tituir s = jwo en la ecuación (9.48), reducción de ganancia requerida es maen
de los filtros pasabajas, es más conveniente tener una resonancia wo; es.decir, I H(jwo) I = l (o O dB). Al susla magnitud de la ganancia es K/O - K), de donde la (3 - K)/K. Por lo tanto, la ecuación (9_53) se transfor-
3-K K
==~_~_ ~.__ ._~ __ ~~~_ ~~~~ -"=
__ ~ ._"-.'~~~_ ~_~.__ . ,__ -_~_~~__
-~T·~
_
(9.56)
¡ .
~
í
SECCIÓN 9.7
~.,,* .' .-. ~1".1
~
FILTROS
441
PASAALTAS
J
~
Al despejar Ca y Cb de las ecuaciones (9.52) y (9.56), se obtiene
j
- K
.3 Ca
= .C2
Cb
=
--
K
para I H(jwo)
I
= 1 (o O dB) .
para I H(jwo)
I
= 1 (o O dB)
(9.57)
2K- 3 K
C2
(9.58)
Por consiguiente, se puede diseñar un filtro Butterworth pasaaltas con una ganancia de OdB para w = 00 o w = wo' No obstante, en el caso donde se especifica I H(jwo) I = 1 (o O dB), la ganancia a frecuencia alta se reduce en un factor de (3. - K)/ K Es decir,
.'~
IH(joo) I . "
= 3 -: K para .
. ..:. .
_
_
) I
IH(j~
= dCl\9 dB)
(9.59)
,".' _ ;:~,:.::,.~;;,}'. ... ~"::;'¡¡~'::~;~J \;
Para Q = V2 y K =3 -i/Q =.1.'586, la·~cJa'ci
,;,~
.: .. '
.~.
= 3-
K
= 1.414,
";i'~: ';. ,::,
'. ···"·:~¡~';:(I:.,;;:;.·~:;~··::tt:\'. ,:
".:'\': ¡'./
EJEMPLO 9.6 fE
Diseño de un filtro Butterworth piisaaltas~~(S~~~d'~~;~den para
I RU=) I
=1
(a) Diseñar un filtro Butterworth pasaaltas de~segundQ,;prden, como el de la figura 9.20(c), con I H(j=) I = 1 (o O dB), una f~ecuencia d~tortefo,.=.)kBz y Q = 0.707. (b) Usar PSpice/SPICE pa~~ trazar la g~áfi~~ d~:i~;~s'~~esta en frecuencia del voltaje de salida del ..,. ,.,;; '. filtro diseñado en el inciso (a), de 10 Hz aJOornz.. h~', _",.;.
SOLUCIÓN
n. De
(a) Para Q = 0.707, el ejemplo 9.5 da C = 0.01 ¡.¡.FY R = 15 916 (9.27), K = 3 - l/Q y
RF
=3-
acuerdo con la ecuación
1/0.707 = 1.586
= (K - l)R¡ = (1.586 - 1) X 15916 = 9327
n
De la ecuación (9.54), Ca = C/K
=.0.01 ¡.¡.F/1.586 = 6.305 nF
De la ecuación (9.55), Cb = C(K - l)/K
= 0.01 ¡.¡.FX (1.586 - 1)/1.586
= 3.695 nF
(b) Para la simulación con PSpice/SPICE, el circuito de la figura 9.13 se puede transformar en el circuito de la figura 9.21, quitando R4 y Rs, intercambiando las posiciones de R y C, remplazando C2 con Ca y agregando Cb entre los nodo s a y b. Los enunciados de PSpice para R y C son los siguien-
~s:
.
FIGURA 9.21
Filtro Butterworth pasaaltas de segundo orden para la simulación con PSpice RF
9327 D. R¡
15916D.
v s +_
Ca 6.305 nF
Rz
15916D.
IV Cb
3.695 nF
l .._._._ .... __ ~. __ ..._... _.,,. ___ .
442
9
CAPÍTULO
~
FILTROS ACTIVOS
CA
1
2
6.305NF
Para CA conectado
entre los nadas 1
CB
2
O
3. 695NF
Para CB conectado
entre los nadas 2 y O
y
2
R2
2
6
15916
Para R2 conectado
entre los nadas 2 y 6
C3
2
3
O.OlUF
Para C3 conectado
entre los nadas 2 y 3
R3
3
O
15916
Para R3 conectado
entre los nadas 3 y O
La gráfica producida pr PSpice para la g~nancia se muestra en la figura 9.22, de donde se observa que IH(joo)1 = 1.0 cuando w = oo.
FIGURA 9.22
Gráfica de PSpice de la
respuesta en frecuencia del ejemplo 9.6
.~ .¡ .'
ASPECTOS PRINCIPALES
DE LA SECCIÓN 9.7
• Un filtro pasabajas se puede convertir en un filtro pasaaltas aplicando la transformación
RC
a CR: Rn se remplaza con Cn; y Cn, con Rn. • El circuito pasabajas Sallen-Key se puede modificar para que exhiba una característica pasaaltas de segundo orden tanto con una ganancia en la banda de paso, como con una respuesta Butterworth. '
9.8 Filtros pasabanda
h
Un filtro pasabanda posee una banda de paso entre dos frecuencias de corte y fH, de modo que fH > fL. Cualquier frecuencia que esté fuera de este rango es atenuada. La función de transferencia de un filtro pasabanda tiene la forma general
H
(s) BP
i
KpB(wc!Q)s
= -----+ (we/
Q)s
(9.60)
+ úJ~
donde KpB es la ganancia en la banda de paso y úJc es la frecuencia central en rad/s. Existen dos tipos de filtros pasabanda: de banda ancha y de banda angosta. Aunque no hay una línea divisoria'entre los dos, es posible identificarlos a partir del factor de calidad Q. Un filtro se puede clasificar como de banda ancha si Q:S 10, y como de banda angosta si Q > 10. Cuanto mayor sea el valor de Q, más selectivo será el filtro o más angosto será su ancho de banda (BW). Por lo tanto, Q es la medida de la selectividad de un filtro. La relación de Q con el ancho de banda de 3 dB y la frecuencia central fe es
fe Q=-=-BW fH-k úJe
Para un filtro de banda ancha, la frecuencia central
fe = VkfH
(9.61)
•• fe se define como (9.62)
. "
~.,.
SECCIÓN 9.8
~
FILTROS
443
PASABANDA
t·
donde
fL
= frecuencia de corte baja, en Hz
fH =
frecuencia de corte alta, en Hz '
"
En un filtro de banda angosta, la salida alcanza su valor pico en la frecuencia central
fe-
La característica en frecuencia de un filtro de pasabanda ancha se muestra en la figura Esta característica se obtiene aplicando la ecuación (9.60), la cual 9.23(a), donde fH > quizás no de una ganancia de banda media plana dentro de un ancho de banda amplio. Una configuración alternativa consiste en usar dos filtros: un filtro pasabajas y uno pasaaltas. La salida se obtiene multiplicando la respuesta de frecuencia baja por la de frecuencia alta, como se muestra en la figura 9.23(b); esta solución se 9btiene simplemente poniendo en cascada las secciones pasaaltas y pasabajas de primer ¿r,den (o de segundo orden). El orden del filtro pasabanda depende del orden de las secciones pasabajas y pasaaltas. Esta configuración tiene la ventaja de que la rapidez en 1<). que aumenta o disminuye la atenuación así como la ganancia a banda media se pueden fijar de una manera independiente, Sin embargo, requiere más amplificadores operacionales y componentes. En la figura 9.23(c) se muestra un filtro pasabanda de banda an'cha de±20 dB/década construida con filtros pasabajas y pasaaltas de primer orden. En este caso, la magnitud de la ganancia en voltaje es igual al producto de las magnitudes de la ganancia en voltaje de los filtros pasaaltas y pasabajas. De acuerdo con las ecuaciones (9.15) y (9.42), la función de transferencia del filtro pasabanda de banda mediu para la realización de primer orden se convierte en
Filtros pasabanda de banda ancha
h.
(9.63)
FIGURA 9.23 O
Filtro pasabanda de banda ancha
I~~I
I~~I !L
atenuación
I~:I
Banda de
0.707 -
0.707
0.707
x
Barda. de paso
O
O
A
leen Hz)
leen Hz)
(b) Producto de las características pasaaltas
(a) Característica pasabanda de banda ancha
R' I
R'F
i. Sección pasabajas
Sección pasaaltas (e) Filtro
L_ ,l..
__._""
•
_
.fH y
leen Hz)
pasabajas
444
9
CAPÍTULO
~
FILTROS ACTIVOS
Con las ecuaciones (9.21) y (9.47) se obtiene la función de transferencia de segundo orden:
para la realización
2 2 H(s)
=
donde KpB sabajas Kv
EJEMPLO 9.7 (i]
KpBWHS
= ------------
[i
+ (wL/
ganancia total en
+ wt][s2 + (wH/ Q)s + w~] la banda de paso = ganancia pasaaltas
(9.64)
Q)s
Diseño de un filtro pasabanda de banda ancha (a) Diseñar un filtro pasabanJa de banda ancha con banda de paso KPB = 16.
KH X
h = 10 kHz, fH = 1 MHz
ganancia pa-
.~ t
y
una ganancia en la
~
.;)
(b) Calcular el valor de Q parael filtro. (c) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado en el inciso (a), de 100 Hz a 10 MHz.
SOLUCIÓN
(a) Sea
= 4, la ganancia de la sección pasaaItas. Para la sección de pasaaltas de primer orden, e = 1 nF. Entonces,
KH
fH = 10 kHz. Siguiendo los pasos del ejemplo 9.4, sea
R = 1/(27T X 10 kHz X 1 nF) = 15.915 kil KH = 1 + RF/R¡ = 4
Y Si
o
RdRJ
= 4- 1= 3
= 10 kil, RF = 3R¡ = 30 kil. Para la sección pasabajas de primer orden, fH = 1 MHz y la ganancia deseada es KpB/KH = 16/4 = 4. Siguiendo los pasos del ejemplo 9.1, sea C = 10 pI;. Entonces RJ
KL
R' = 1/(27T X I MHz X 10 pF) = 15.915 kil
Y
I
KL=
+ Rp/R; =4
o
Rp/R'¡ =4-1
=3
Si R; = 10 kil, Rp = 3R; = 30 kil. (b) De acuerdo con la ecuación (9.62),
fe = VIO kHz X 1 MHz = 100 kHz BW = I MHz - 10kHz = 990 kHz
y
De la ecuación (9.61), se tiene que Q = 100 kHz/(1 MHz - 10 kHz) = 0.101
(c) En la figura 9.24 se muestra el filtro pasabanda de banda ancha con los valores calculados. El listado del circuito para la simulación con PSpice es el siguiente: Ejempio VIN 1
9.7 Filtro pasabanda O AC lV
Rl
3
O
10K
RF
3
q
30K
C
1
2
1NF
R
2
O
15915
R1P
7
O
10K
RFP
7
8
30K
CP
6
O
RP
q
6
15916
Xl
3
2
q
O
X2
7
6
8
O
.SUBCKT RIN
1
ROUT EA
2 5
5
OPAMP llamadas
O PAMP 1
2
3
q
2MEG 3
q
de banda ancha
10PF
OPAMP
750HMS 2
1
2E+5
.ENDS .AC
DEC
.PROBE .END
100
100HZ
10MEGHZ
-
del subcircuito
definición
op-amp
del subcircuito
9.8
SECCIÓN
FIGURA 9.24
~
FILTROS
445
PASABANDA
Filtro pasabanda de primer orden para la simulación con PSpice
.fi -~
1 :1 •
¡' .
.•..
Rp
8
15915 i1
La respuesta en frecuencia se muestra en la figura 9.25, de donde KpB = 15.842 (el valor espe= 10.04 kHz (el valor esperado es 10 kHz) y fH = 997 kHz (el valor esperado es 1 rado es 16), MHz). Con un valor bajo del ancho de banda, es posible que la respuesta del filtro pasaaltas no alcance el valor esperado antes de que el filtro pasabajas entre en operación. Por consiguiente, la ganancia en la banda de paso puede ser mucho menor que 16.
h
FIGURA 9.25 Gráfica de PSpice de la respuesta en frecuencia del ejemplo 9.7
Filtros pasabanda de banda angosta
I j
I I
En la figura 9.26(a) se muestra la respuesta en frecuencia típica de un filtro pasabanda de banda angosta. Esta característica se puede deducir estableciendo un valor alto de Q para el filtro pasabanda mostrado en la figura 9.26(b). Este filtro utiliza sólo un amplificador operacional en el modo inversor. Ya que posee dos trayectorias de retroalimentación, también se conoce como filtro de retroalimentación múltiple. Con un valor bajo de Q, también exhibe la característica de un filtro pasabanda de banda ancha. En general, el filtro pasabanda de banda angosta también se diseña para valores específicos de fe y Q o fe y BW. El amplificador operacional, junto con C2 y R2, se puede considerar como un diferenciador inversor, de modo que Vo(s) = (- sC2R2) VxC.I\ el circuito del. filtro equivalente se muestra en la figura 9.26(c). La función de transferencia de la red de filtrado es Vo(s)
;
I i !
L
HBP(s)
=
V.(s) I
(-I/R,C1)s
=
S2
+ (l /
R2)(l
/
C 1 + .l/C) 2
s
+
l/R 1R 2 C1 C2
(9.65)
446
CAPÍTULO
9
~
FIGURA 9.26
FILTROS ACTIVOS
;,
.•..
t;:~¡.~'t ~!
~¡ ~
Filtro pasabanda de banda angosta
, j~~ ! 1~
CI
t CI
I ~~ I
+
0.707 Vi
o
A
fe
tH tren
-
Hz)
(c) Circuito equivalente
(b) Filtro
(a) Característica de banda angosta
cuya forma es similar a la de la ecuación (9.60). (Véase el Probo 9.15 para la deducción.) Con C¡ == C2 == C, la ecuación (9.65) proporciona lo siguiente 1
1
w
YR¡R2C¡C2
C -
.
(9.66)
CYR1R2
(9.67)
Q=~ 2~R; (R;
(~C) =
KpB
(9.68) R/C¡
Las soluciones de estas ecuaciones dan los valores de los componentes: (9.69) \
I
=--Q
R 2
i
.
(9.70)
R·
K
PB
\.
7TfCC
==
-l
=
?R - 1
2Q2
(9.71)
1
La resistencia R¡ puede ser remplazada por RA, y la resistencia RB puede ser conectada entre los nodos a y O, de modo que se satisfaga la especificación de diseño I HBP(jwd I ~ 1 (o O dB) para la respuesta Butterworth. El método para calcular los valores de RA y RB correspondientes a una reducción de ganancia de l/ KpB (= 1/2Q2) se explica en la sección 9.6. Obsérvese que, de acuerdo con la ecuación (9.71), para un valor conocido de Q, el valor de KpB es fijo. Sin embargo, se pueden obtener dos valores diferentes de KpB y Q eligiendo un solo valor de RB sin que se cambie el valor de R l' El nuevo valor de la ganancia KpB está relacionado con 2Q2 por KpB
RB
2Q2
R) +RB
de donde el valor de
RB
es R,KpB
RB=--2---
(9.72)
2Q -KpB
••
sIempre que KpB
< 2Q
2
(9.73)
9,8
SECCIÓN
~
FILTROS
447
PASABANDA
Por otra parte, la frecuencia central fe se puede cambiar a un nuevo valor fe sin cambiar la ganancia en la banda de paso (o ancho de banda) tan sólo con cambiar RB a RB, de modo que (9.74)
i' RB = RB (fe fe )2
<~
~ o,,
E}EMPL09.8 rn
Diseño de un filtro pasabanda de banda angosta (a) Diseñar un filtro pasabanda de banda angosta, como el de la figura 9.26(b), de modo que fe 1kHz, Q = 4 Y KpB = 8.
=
(b) Calcular el valor de RB requerido para cambiar la frecuencia central de 1 kHz a 1.5 kHz.
o,
(e) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del filtro de paso de banda angosta diseñado en el inciso (a), de 100 Hz a 1 MHzo '.
SOLUCIÓN
=
(a) fe
= 4.
1 kHz y' Q
= C2 =' e .= 0~()o47·¡l,F.Yerificar' si se satisface la condición de la ~2 X 4-2.~ ~2~ él c~~lés\ih~~lor mayor que KpB = 8. Por tanto, se
Sea C¡
ecuación (9.73). Es decir~. debe usar RB en la figma9.26(b). R ~
.,oQ:',
Cori lasecuaciolles
'(9:69);C9.70),
(9.71) y (9.72), se obtiene
,:=' F_':'.~}-/"~{:'~;~o~:~~:'~" = 16.93 kn
::~!C:P:riii~F~~1{f~;98ill '¿¡ ,"' ~ " l ',' ','. ,'. '''''0:':''-,'
=: ,':
R
Q,', 27ifcC(2Q2 -
B
,~.-: KpB)
":/./
4
;",
271' X 1 kHz X 0.0047 ¡.¡..FX (2 X 42 - 8)
= 5 64 kn .
(b) De la ecuación (9.74), se ve que el nuevo valor de RÍl es 1 kHz R'B = R B (fe)2 fe = 5.64 kn( 1.5 kHz )2~.0 , 2:51o, k~ 00
1,
i
:'
,1
(c) En la figura 9.27 se muestra el filtropasabanda de banda angosta con los valores de diseño. El listado del circuito para la simulación con PSpice es el siguiente: Ejemplo
9.8 Filtro pasabanda
VIN
O
1
AC
Rl
1
2
l6.93K
Cl
2
3
O.0047UF
RB
2
O
5,64K
FIGURA 9.27 simulación
de banda angosta
lV
Filtro pasabanda de banda angosta para.la
con PSpice
'1
el 407 nF
Rz
,270.9kfi
3 4
R¡
16.93 kfi
r '. I
2
__
VEE
±
~
+
Vcc 15 V
~O
--------- •. j
448
CAPÍTULO
9
~
FILTROS
C2
2
6
0.0047UF
R2
3
6
270.9K
RIN
3
ROUT
O 5
.¡
modelo lineal
del
amplificador
~ ~
operacional
7S0HMS
EA
5
O
O
RL
6
O
20K
DEC
100
.AC
t;,j-7~
2MEG
6
"1
ACTIVOS
3
2E+5 100HZ 10KHZ
. PROBE
,END
La respuesta en frecuencia se muestra en la figura 9.28, de donde fe '" l kHz (el valor esperado es 1 kHz) y KpB = 8. FIGURA 9.28 Gráfica de PSpice de la respuesta en frecuencia del ejemplo 9.8
'~~.
1ASPECTOS PRINCIPALES
DE LA SECCIÓN 9.8
• La característica pasabanda de banda ancha se obtiene poniendo en cascada un filtro pasaaltas con un filtro pasabajas . • Un filtro pasabanda de banda angosta posee una frecuencia central claramente sintonizada, y se puede realizar con sólo un amplificador operacional que funcione en modo inversor.
I
9.9 Filtros de rechazo de banda
El filtro de rechazo de banda atenúa las señales dentro de la banda de atenuación y deja pasar las que se encuentran fuera de esta banda. También se llama filtro de eliminación o supresión de banda. La función de transferencia de un filtro de rechazo de banda de segundo orden tiene la forma general H
(s) BR
=
i
+ w~) 2 + (wc/Q)s + Wc KpB(i
(9.75)
donde KpB es la ganancia de la banda de paso. Los filtros de rechazo de banda se clasifican como supresores de banda ancha o supresores de banda angosta. En general, un filtro supresor de banda angosta se conoce como filtro de ranura. Debido a su Q más alto (> 10), el ancho de banda de un filtro supresor de banda angosta es mucho más pequeño que el de un filtro supresor de banda ancha.
Filtros supresores de banda ancha
La característica en frecuencia de un filtro supresor de banda ancha se muestra en la figura 9.29(a). Esta característica se obtiene agregando una respuesta pasabajas a una pasaaltas, como se muestra en la figura 9.29(b); la solución se obtiene sumando las respuestas de una
~,.~
J.
1 SECCIÓN 9.9
~
FIGURA 9.29
Filtro supresor de banda ancha
449
FILTROS DE RECHAZO DE BANDA
..•..
.;'
"
I~;I
I~;I
Banda suprimida
0.707
I~;I
0.707 Banda
Banda
de paso
de paso
o
+
0.707
o
o
¡(en Hz) (a) Característica de ranura
fH
!L
¡(en Hz)
f(en
Hz)
(b) Suma de las características pasabajas y pasaaltas
..•.
~.~f' 'r-. "' :.:ea' . "o
(c) Filtro . f'
sección pasaaltas de primer orden (o de segundo orden) y de una sección pasabajas con un amplificador sumador. Esta configuración se muestra en la figura 9.29(c). El orden del filtro supresor de banda depende del orden de las secciones pasaaltas y pasabajas. Para obtener una respuesta de supresión de banda, la frecuencia de corte del filtro pasaaltas debe ser mayor que la frecuencia de corte fH del filtro pasabajas, Además, las ganancias en la banda de paso de las secciones pasaaltas y pasabajas deben ser iguales.
h
EJEMPLO 9.9
m
Diseño de un filtro supresor de banda ancha (a) Diseñar un filtro supresor de banda ancha, como el de la figura 9.29(c), con = 10 kHz y una ganancia en la banda de paso KpB = 4. (b) Calcular el valor de Q para el filtro.
h = 100 kHz,
fH
(c) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado en el inciso (a) de 10 Hz a 10 MHz. I 1
.j., ;1
SOLUCIÓN
h
= 10 kHz y fH = I MHz. (a) En el ejemplo 9.7 se diseñó un filtro pasabanda de banda ancha con En este ejemplo, = 100 kHz y fH = 10 kHz. Es decir, > fH• Sin embargo, se pueden seguir los pasos de diseño del ejemplo 9.7 para determinar los valores de los componentes, siempre que se intercambien las secciones pasaaltas y pasabajas. Por tanto, para la sección pasaaltas = 100 kHz, e = 100 pF Y R = 15.915 kU y para la sección pasabajas fH = 10 kHz, C' = 1 nF y R' = 15.915 kil. Para una ganancia en la banda de paso KPB = 4, usar R¡ = R; = 10 kil Y RF = RF = 30kil.
h
h
h
'"'
_
..._-
---------_._---------------------
"¡
450
CAPÍTULO 9
FILTROS ACTIVOS
Para el amplificador sumador, establecer una ganancia de l. Seleccionar (b) De la ecuación (9.62),
fe
BW
y
VIO kHz x 100 kHz ,
==
==
100 kHz - 10kHz
R2
==
R3
==
R4
==
10
kil.
31.623kHz
== ,o;", ==
90 kHz
De la ecuación (9.61), se obtiene
Q
==
31.623 kHz/(lOO kHz - 'lO kHz)
==
0.351
(e) En la figura 9.30 se muestra el circuito para la simulación da ancha. El listado del circuito es el siguiente: Ejemplo
9.9 ·Filtro supresor
VIN
O
1
AC
RI
O
4
10K
RF
4
5
30K
RIP
7
O
10K
7
6
30K
C
1
3
100PF.
R
3
O
15916
RP
1
2
15916
CP
2
O
1NPF
R2
5
8
10K
R3
6
8
10K
R4
8
9
10K
Xl X2
4 7
3 2
5 6
X3
8
09
O O
OPAMP OPAMP
O
OPAl1P
OPAMP
1
2
vi- vi+ vo+ voRIN
1
ROUT EA
2 5
5
Invoca al subci¡¡cuito del amplificador operacional .,-
3
Definici6n del subcircuito del amplificador operacional
2MEG 3
4
de banda ancha
IV
RFP
.SUBCKT
con PSpice del filtro supresor de ban-
750HMS 2
1
2E+5
.ENDS
FIGURA 9.30
Filtro supresor de banda ancha para la simulación
con PSpice
e 100 pF
+
3
Vcc
J±: + 15V VEE· _
5
6 6
15V
~ o ."'
~:{'~,~ •.
9.9
SECCIÓN .AC DEC
100
~
FILTROS
DE RECHAZO
451
DE BANDA
100HZ 10MEGHZ
. PROBE
.END
La respuesta en frecuencia se muestra en la figura 9.31, donde se observa que fe = 31.376 kHz (el valor esperado es 31.623 kHz) y KpB = 4 (el valor esperado es 4). FIGURA 9.31 Gráfica de PSpice de respuesta en frecuencia del ejemplo 9.9
En la figura 9.32(a) se muestra la respuesta en frecuencia de un filtro supresor de banda angosta. Este filtro, a menudo llamado filtro de ranura, ep general se utiliza en instrumentos de comunicación y biomédicos para eliminar frecuencias indeseables, tales como la interferencia de las líneas de transmisión de energía eléctrica de 60 Hz. En general como filtro de corte se utiliza una red en T gemela, compuesta de dos redes en T, como se muestra en la figura 9.32(b). Una red se compone de dos resistores y un capacitar; la otra, de dos capacitores y un resistor: Para aumentar el factor de calidad Q de una red en T gemela, ésta se utiliza junto con un seguidor de voltaje. Se puede demostrar [7] que la función de transferencia de una red en T gemela está dada por
Filtros supresores ~
.. ~~.~
de banda angosta
"
=
HNF(s)
7 7 KpB(S~ +w~) 7
s-
(9.76)
2
+
(wo/ Q)s
+ Wo
donde Wn w()
Q
= 1/v'3RC = V3j4
KpB
FIGURA 9.32
I/RC
=
1
Filtro supresor de banda angosta R¡
I~I
C¡
=
R..'
=-
=R
C
C, = C
1--
0.707
+
\'¡
-
+
,
R
o ./H
k:
A
nen Hz)
(a) Característica de supresión de banda angosta
----_--L.
:c',.__.
..
•
.
(b) Filtro
452
CAPÍTULO 9
FILTROS ACTIVOS
Por consiguiente, la frecuencia de supresión de ranura, que es la frecuencia a la cual ocurre la máxima atenuación, está dada por (9.77)
EJEMPLO 9.10
m
Diseño de un filtro de ranura (a) Diseñar un filtro de ranura, como el de la figura 9.32(b), con iN
= 60
Hz.
(b) Usar PSpice/SPICE para trazar la gráfica de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado en el inciso (a) de l Hz a 1kHz.
SOLUCIÓN
(a) iN = 60 Hz. Elegir un valor de C menor o igual que l f-lF; sea C do con la ecuación (9.77),
= --.
R
l
= --------
27r!NC R3
=
=
C3
= 2C = 0.094 fLF
R/2
= 56.44 kil
27r X 60 Hz X 0.047 fLF
= 0.047
f-lF.Entonces, de acuer-
un resistor estándar de 59 kil, 0% de tolerancia) dos resistores de 59 kil en paralelo)
28.22 kil
dos capacitores
de 0.047 fLF en paralelo)
(b) En la figura 9.33 se muestra el circuito del filtro de ranura para la simulación tado del circuito es el siguiente: Ejemplo VIN Rl
9.10 Filtro de ranura
1
O
AC
IV
1
2
56.44K
R2
2
4
56.44K
R3
3
O
28.22k
Cl
1
3
0.047UF
C2
3
4
0.047UF
C3
O
0.094UF
RL
O
20K
4
5
Xl
con PSpice. El lis-
5
.SUBCKT
O
OP.~P
OPAMP 1
2
Invoca al subcircuito 3
Definición
del amplificador
del circuito
del amplificador
operacional operacional
vi- vi+ vo+ voRIN
1
ROUT EA
2 5
5
2MEG 3
4
750HMS 2
1
FIGURA 9.33 3
2E+5
Filtro supresor de banda ancha para la simulación
28.22 kíl 0.047 floF 56.44 kíl C¡ C2 floF C3 0.094 4 2R3 R2 R¡
_ 15 V
+
~
O
con PSpice VEE
O
Vcc
+
56.44 kíl
+
i
SECCIÓN
9.10
~
453
FILTROS PASATODAS
.ENDS
.AC DEC
1001HZ
1KHZ
. PROBE
.END
La respuesta en frecuencia del filtro se muestra en la figura 9.34, donde se observa que iN 60.9 Hz (el valor esperado ~s 60 Hz) y KpB =o l (el valor esperado es 1).
FIGURA 9.34
Gráfica de PSpice de la
'.
respuesta en frecuencia del ejemplo 9.10
=o
"
..i,_,
L
~
ASPECTOS PRINCIPALES DE LA SECCIÓN 9.9 • La característica de supresión de banda anchase obtiene agregando la salida de un filtro pasabajas a la de un filtro pasaaltas ~ediañte un iunplificador sumador. • El filtro supresor de banda angosta posee una frecuencia de supresión claramente sintonizada, y se logra con sólo un amplificador operacional que funcione en el modo no inversor.
j :j
9.10 Filtros pasa todas
Un filtro pasatodas deja pasar todQs los componentes de frecuencia de las señales de entrada, sin atenuación. Sin embargo, este filtro produce corrimientos en fase predecibles para las diferentes frecuencias de las señales de entrada. Las líneas de transmisión (por ejemplo, los cables telefónicos) en general introducen cambios de fase en las señales; para compensar estos cambios de fase comúnmente se utilizan filtros pasatodas. El filtro pasatodas también se conoce como ecualizador de retraso o corrector de fase. En la figura 9.35(a) se muestra la característica de un filtro pasatodas; en la figura 9.35(b) se muestra el diagrama del circuito. El voltaje de salida en el dominio de Laplace puede obtenerse con el teorema de superposición: V (s)
o
Si se supone que
RF
= --
= R¡,
+
V.(s)
RF R1
1
R
+l/sC 1/ sC (
1+
-
RF) R1
V¡(s)
(9.78)
la ecuación (9.78) se reduce a 2
Vo(s)
=-
Vi (s)
+
1
+ sRC
V¡(s)
de donde da la ganancia en voltaje es Vo(s) H(s)
.- ...
=
V(s) 1
=
1 - sRC 1 + sRC
_~~--------------~---_. __ ._--._--_._---~---------------------------~--~
(9.79)
·r ..• ¡ .J
CAPÍTULO
454
9
~
FILTROS
ACTIVOS
.; ¡~: -,:-:;;;:._~:r,. ~ •..
Al sustituir s cama
= jw
en la ecuación (9.79), se abtiene la magnitud de la ganancia en valtaje
, = 1
IH(jw)!
,
y el ángulo. de fase c/>
c/>
cama
,,
'.1.[','
:".
11,
= -2 tan-1 (wRC) = -2 tan-I (27TjRC)
(9.80)
°
La ecuación (9.80) indica que, para valares fijas de R y C, el ángulo. de fase c/> cambia de a-180°, canfarme la frecuencia f de la señal de entrada cambia de O a oo. Par ejemplo., si R = 21 k.fl Y C = 0.1 f.LF, se abtiene c/> = -64.4° a 60 Hz. Si se intercambian las pasicianes de R y C, el carrimiento en fase c/> es pasitiva. Es decir, la señal de salida se adelanta a la señal de entrada.
j 11
FIGURA 9.35. , Filtro pasatodas
v
R
+ wt
c/J
=
e
90°
(a) Característica pasatodas
ASPECTO PRINCIPAL
~
(b) Filtro
~4~(~'~~)~
DE LA SECCIÓN 9.10
• Un filtro pasatodas no produce ninguna atenuación en la ganancia, pero introduce cambios de fase predecibles para las diferentes frecuencias de las señales de entrada.
í \
I
'.
9.11 Filtros de capacitar canmutada
Resistares de capacitar canmutada
'f
Las filtras de capacitar canmutada utilizancapacitares en circuitas integradas e interruptares MOS para simular resistores. Las frecuencias de carte san proparcianales a la frecuencia del relaj externa, y quedan determinadas par ésta. Además, la frecuencia de carte a central se puede programar para que se reduzca dande quiera, dentro de un ranga extremadamente amplió de frecuencias (por la general, un ranga de más de 200,000: 1). Las filtras de capacitar canmutada cada vez san más papulares, puesta que no. requieren campanentes reactivas externas, capacitar~s a inductares. Ofrecen las ventajas de baja casta, pacos campanentes externas, gran exactitud y excelente estabilidad can respecta a la temperatura.'Na abstante, generan más ruido. que las filtros activas estándares. En tadas las filtras hasta ahara analizadas, se canectaron resistares y capacitares discretas a una a más amplificadores aperacianales para abtener las frecuencias de carte y la ganancia en valtaje deseadas. En las circuitas integradas se evita el usa .de resistares para reducir el tamaño. del circuito.; en su lugar, se simula su campartamienta mediante interruptares activas. En general, el resistar es simulada par un capacitar e interruptares. El valar de este resistor simulado es inversamente praporcianal a la rapidez can la que las interruptares se abren y se cierran. Cansidérese un capacitar con das interruptares, cama se muestra en la figura 9.36. De hecha, las interruptares san transistares MOS que se abren' y se cierran alternadamente. Cuando. S 1 se cierra y S2 se abre, se aplica el valtaje de entrada al capaci tar. Par cansiguiente, la carga tatal en el capacitor es . (9.81) .
SECCIÓN
9.11
~
FILTROS
DE CAPACITOR
455
CONMUTADO
FIGURA 9.36 Resistor de capacitor conmutado
(a) Circuit(l
•
(b) Circuilo equivalente
Cuando S 1 se abre y S2 se cierra, la carga q fluye'~ tierra. Si los. inrerruptores son ideales (es decir, que se abren y se cierran instántáneamente, y tienen resistencia cero cuando están cerrados), el capacitar C se carga y se descarga d~ manera instantánea. La corriente de carga ¡ent Y la corriente de descarga ¡sal dei capacitar se muestran en la figura 9.37. Si los interruptores se abren y se cierran con mayor rapidez, los impulsos de corriente son de la misma magnitud y ocurren más a menudo. Es decir, la corriente promedio aumenta si también lo hace la velocidad de conmutación. La corriente promedio que fluye por el capacitar de la figura 9.36 es q V¡C =-=T T
1 prom
= donde
(9.82)
V¡Cfreloj
q
= carga del capacitar
T
= tiempo entre los cierres de SI o los cierres de S2' en segundos
freloj
=
1fT
= frecuencia del reloj, en Hz
La resistencia equivalente vista por el voltaje de entrad~ es R
=
V _1/prom
=
V. ---.J..-.. V¡Cfreloj
= --
l
(9.83)
Cfreloj
FIGURA 9.37 Corriente de entrada
Aprendido
y de salida de un
resistor de capacitor conmutado
Apagado
(a) SI prendido (l apagado
Aprendido
Apagado
t (in s)
(b) S2 prendido o apagado
t (in s)
(c) Corrienle de carga
-.\
Ii~~~ t (in s)
(d) Corriente de descarga
.08846 ----- -
-
------ -----_._-----_.-
456
CAPÍTULO
9
~
FILTROS ACTIVOS
la cual indica que el valor de R es una función de e y freloj. Para un valor fijo de e, el valor de R se puede ajustar si se ajusta freloj. Por consiguiente, el resistor de capacitar conmutado, también conocido como resistor ajustable por reloj, se puede construir en forma de circuito integrado con un capacitar y dos interruptores MOS. Obsérvese que cualquier cambio en Vi debe ocurrir a una velocidad mucho menor que freloj' sobre todo cuando señal de ca.
In t egra do res de
es una
Se puede usar un resistor simulado como parte de un circuito integrado para formar un integrador de capacitar conmutado, como se muestra en la figura 9.38. Los interruptores SI Y S2 nunca deben cerrarse al mismo tiempo. Eso significa que la forma de onda del reloj q\}e excita a los interruptores MOS no debe traslaparse, si el filtro ha de funcionar correctamente.
capacitor conmutado
FIGURA 9.38 Integrador de capacitor conmutado
1 'hRe;:
~~r
-ICllt
+ Vi
Filtro universal
Vi
-
o ~
__
e
I(ens)
e
+
• Elfiltro universal combina muchas características en un amplificador operacional, y se puede usar para sintetizar cualquiera de los tipos normales de filtro: pasabanda, pasabajas, pasaaltas, de ranura y pasatodas. Los filtros universales están disponibles comercialmente (por ejemplo, el tipo FLT-U2 fabricado por Datel-Intersil). El filtro de capacitar conmutado es un tipo de filtro activo universal. Tiene las características de un filtro de segundo orden, y se puede poner en cascada para obtener pendientes de atenuación muy inclinadas. La figura 9.39 presenta el diagrama de bloques de los circuitos internos del MF5 de National Semiconductor. El filtro básico se compone de un amplificador operacional, dos integradores positivos y un nodo sumador. Un interruptor MOS, controlado por un voltaje lógico en la terminal 5 (S A)' conecta una de las entradas del primer integrador ya sea a tie-
de
capacitor conmutado
FIGURA 9.39 Semiconductor,
Filtro monolítico Inc.)
universal de capacitor conmutado
N/APfHP
BP
SI
I
l
MF5 (Cortesía de National
LP 14
2
3
+
AGND CLK
Reloj no traslapante
I I r
r
r
50/100
Control ;.
~SA
5
12 INVz
LSh
--~-----------------------------------------------_.-_.'
•...•....
.. _-
--
fLF
SECCIÓN 9.11
~
FILTROS
DE CAPACITaR
457
CONMUTADO
rra o a la salida del segundo integrador, lo que permite una mayor flexibilidad en la aplicación. El MF5 incluye una terminal (9) que establece la relación de la frecuencia del reloj (freloj) respecto de la frecuencia central (fe)
como 50: 1 o 100: 1. La frecuencia de reloj máxima recomendada es de 1 MHz, lo que da por resultado una frecuencia central máxima de 20 kHz con una relación de 50:10 10 kHz con una relación de 100:1, siempre que el producto Qf C sea menor que 200 kHz. Se dispone de un amplificador operacional extra no comprometido, para el procesamiento adicional de las señales. Una característica muy conveniente del MF5 es que f o se puede controlar independientemente de Q y de la ganancia en la banda de paso. Sin que se vean afectadas las demás características, se puede sintonizar fo simplemente con variar freloj' La selección de los valores de los resistores externos es muy simple, de modo que el procedimiento de diseño es mucho más fácil que en el caso de filtros activos Re normales.
EJEMPLO 9.11
Diseño de un filtro Butterworth de segundo orden con un filtro universal Con el MF5, diseñar un filtro Butterworth pasabajas de segundo orden, con una frecuencia de corte de 1 kHz y una ganancia en la banda de paso de -4. Suponer una fuente de alimentación de ±5 V y un reloj CMOS.
m SOLUCIÓN
Paso 1. Elegir el modo en el que el filtro MF5 va a funcionar. Seleccionar el modo más simple: el modo 1, el cual tiene una salida pasabajas, pasabanda y de ranura, e invierte la polaridad de la señal de salida. Paso 2. Determinar los valores de los resistores externos. El MF5 requiere tres resistores externos para fijar Q y la ganancia del filtro. Los resistoresexternos se conectan como se muestra en la figura 9.40. Para el modo 1, la relación entre Q, KLP Y los resistores externos viene en la hoja de datos (en la que sólo se muestran tres de los seis modos posibles) como
Q
= :~
=
(9.84)
~3z
= -- Rz
K LP
(9.85)
R¡
En este modo, la impedancia de entrada del filtro es igual a R l' puesto que la señal de entrada se aplica a INV (terminal 3) a través de R l' Para generar una impedancia de entrada más o menos alta, sea R 1 = 10 kÜ. De la ecuación (9.85), se obtiene Rz = -KLpRl =: -(-4)
FIGURA 9.40
1 R2
RI
-
43
Vcc = +5 V SI
10
X 10kÜ = 40 kÜ
MF5 configurado como filtro pasabajas de segundo orden
-
-VEE=-5V 8N NC 12 MF5 11BP RL '9 28.28 40k!1 50k!1 kHz, V_
JUl..f
LPCLK AGND L Sh V02 R) INV2 INV¡ ~'siJl C2
IOW
7
NC
:!:5V 501100
.~
CAPÍTULO 9
458
~
FILTROS ACTIVOS
j,
~,~,~ ." l·
Para un filtro Butterworth (9.84) da R3
=
pasabajas
=
QR2
de segundo orden, Q
0.707 X 40 kíl
=
=
0.707. Por consiguiente,
la ecuación
28.28 kíl
Paso 3. Eligir las fuentes de alimentación y completar sus conexiones. En vista de que requiere una fuente de alimentación de :!:5 V, V + (terminal 6) se conecta a + 5 V, V _ (terminal 10) se conecta a -5 V, Y AGND (terminal 11) se conecta a tierra. Para elimÍnar cualquier rizo, se conectan dos capacitores de 0.1 IJ.F a través de las fuentes de alimentación. Paso 4. Seleccionar la frecuencia del reloj freloj' La 50/100 (terminal 9) se debe conectar a V+ (terminal 6) para obtener una relación 50: loa V _ (terminal 10) para una relación de 100: l. Seleccionar una relación frelOj respecto de fa de 50: 1. Eso significa que la 50/100 (terminal 9) se debe conectar a V + (terminal 6). Como la frecuencia de corte es de 1kHz, la frecuencia del reloj externo es freloj = 50 X 1 kHz = 50 kHz. Paso 5. En el caso de un reloj CMOS, la terminal7(L Sh) se debe conectar a tierra (terminal 11). El filtro pasabajas SA (terminal 5) se conecta a V+ (terminal 6), y SI (terminal 4) se conecta a tierra (terminal 11). En la figura 9.40 se muestra el circuito completo para el filtro pasabajas de segundo orden.
ASPECTO PRINCIPAL
DE LA SECCIÓN 9.11
• Los filtros de capacitor conmutado utilizan capacitores en interruptores MOS en el circuito integrado para simular resistores. Las frecuencias de corte dependen de la frecuencia de un reloj externo. Además, la frecuencia de corte o central se puede programar para quedar comprendida dondequiera dentro de un rango extremadamente amplio de frecuencias.
9.12 Recomendaciones para el diseño de filtros
El diseño de filtros requiere la selección de los valores de R y e, que satisfagan dos requisitos: el ancho de banda y la ganancia. Normalmente se requieren más de dos resistores y capacitores, y el diseñador tiene que proponer los valores de algunos de ellos, Tazón por la que no hay una solución única al problema. Las recomendaciones generales para el diseño de un filtro activo son las siguientes:
Paso 1. Decidir las especificaciones
de diseño, las cuales pueden incluir las frecuencias de corte y fH, la ganancia en la banda de paso KpB, el ancho de banda BW, el factor de amortiguamiento S = 0.707 para una respuesta plana, I H(jwo) I = 0.707 Y I H(jO) I =
h
l.
Paso 2. Proponer un valor adecuado para el capacitor. Los valores recomendados de
e
van de 1 ¡J.F a 5 pE (Se recomiendan capacitores de Mylar o tantalio, porque tienen un mejor desempeño respecto de otros tipos de capacitores.)
Paso 3. Habiendo propuesto el valor del capacitor, determinar el, valor del resistor que satisfará el requisito de ancho de banda o de frecuencia.
Pasó 4. Si el valor de R no queda comprendido
dentro del rango práctico de 1 k!1 a
500 k!1, elegir un valor diferente de C.
Paso 5. Determinar los valores de las demás resistencias que satisfagan los requisitos de ganancia y que queden comprendidos
dentro del rango de l k!1 a 500 k!1.
Paso 6. De ser necesario, cambiar la frecuencia de corte del filtro. El procedimiento para la nueva frecuencia de corte f n' se llama es(pero no ambos) por la respecto de la nueva frecuencia de corte f n' El nuevo
convertir la frecuencia de corte original
f o en
calamiento enjrecuencia. Se logra multiplicando el valor de R o relación de la frecuencia original valor de R o se obtiene de
e
fo
Frecuencia de corte original R(o e ) = ---------R Frecuencia de corte nueva fn
fo
n
n
e
(o C)
(9.86)
:[
SECCIÓN
9.12
RECOMENDACIONES
ASPECTOS PRINCIPALES
459
PARA EL DISEÑO DE FILTROS
DE LA SECCIÓN 9.12
• El diseño de filtros implica la selección de los valores de R y C para satisfacer las especificaciones de ancho de banda y ganancia en cd. Normalmente, se utilizan más de dos resistores y capacitores, y se deben suponerIos valores de algunos de ellos (normalmente, C). No existe una solución única a un problema de diseño . • Una vez que el filtro se ha diseñado para una frecuencia de corte dada, se pueden determinar nuevos valores de R y C multiplicando el valo~ de I? o C (pero no am\:Jos) por la relación de la frecuencia original f o respecto de la nueva frecuenG!a . de corte!.: n:'"
Resumen
Los filtros activos ofrecen muchas ventajas, comparadas con los filtros pasivos': Los diversos tipos de filtros activos (pasabajas, pasaaItas, pasabanda, supresores de banda y pasatodas) se basan en las características en frecuencia. El filtro de segundo orden posee una banda de atenuación bien definida, y se prefiere en lugar de uno de primer orden. El filtro pasatódás produce un corrimiento en fase proporcional a la frecuencia de la señal de entrada. Los filtros universales son muy populares por su flexibilidad para sintetizar características en frecuencia, con una exactitud muy alta. El filtro de capacitor conmutado es. un filtro de tipo universal que utiliza capacitores en interruptores MOS en un circuito integrado para simular resistores. Su frecuencia de corte es proporcional a la frecuencia del reloj externo, y queda determinada por ésta.
:1
;/
~I ,1 '1
I I !
-¡
Referencias
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2.
R. Schaumann,
3.
W. K. Chen, Passive and Active Filters-Theory Sons, 1986.
4.
M. H. Rashid, SPICE for Circuits and Electronics Using PSpice. Englewood Hall, Inc., 1995, capítulo 10.
5.'
Preguntas de repaso
1982.
M. S. Ghausi y K. R. Laker, Design of Analog Filters-Passive, Active RC, and Switched Capacitar. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc., 1990 • .
. R. A. Gayakwad, 1993.
and lmplementation. Nueva York: John Wiley and Cliffs, NJ: Prentice
Op-Amps and Linearlntegrated Circuits. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, lnc., .
6.
L. P. Huelsman y P. E. Allen, lntroduction to the Theory and Design of Active Pilters. Nueva York: McGraw-Hill, lnc., 1980.
7.
G. C. Temes y L. Lapatra, lntroduction to Circuir Synthesis and Design. Nueva York: McGraw-Hill, lnc., 1977.
l.
¿Qué es un filtro activo?
2.
¿Cuáles son las ventajas de los filtros activos, comparados
3.
¿Cuáles son los tipos de filtros activos?
4.
¿Qué son la banda de paso y la banda de atenuación de un filtro?
5.
¿Qué es una frecuencia de corte?
6.
¿Qué es la respuesta Butterworth de un filtro?
7.
¿Cuáles son las diferencias
8.. 9.
¿Qué es un filtro de ranura?
¿Qué es el escalamiento
' ;
en frecuencia de los filtros?
¿Qué es una frecuencia de supresión de ranura?
11.
¿Qué es un filtro pasatodas?
12.
¿Qué es un filtro universal?
·14. 15.
'. '\
entre los filtros de primero y segundo órdenes?
10.
13.
con los pasivos?
¿Qué es un resistor de capacitor conmutado? ¿Qué es un filtro de capacitor conmutado? ¿Qué es un resistor ajustable por reloj?
460
CAPÍTULO 9
Problemas
El símbolo m indica que se trata de un problema de diseño. El símbolo m indica que la solución al problema se puede verificar con PSpice/SPICE o con Electronics Workbench. Para la simulación con PSpice/SPICE, suponga amplificadores operacionales de parámetros R¡ = 2 Mn, Ro = 75 n y Ao = 2 X 105.
~ 9.6
mm mm mm
Filtros
~
FILTROS ACTIVOS
pasabajas
9.4 9.5 9.6 9.3 9.1
Diseñe un filtro pasabajas de primer orden, como el de la figura 9.5(b), con una frecuencia de corte baja f o = 2 kHz y una ganancia en la banda de paso de l. Si la frecuencia deseada se cambia a f n = 1.5 kHz, calcule el nuevo valor de Rn.
9.2
Deduzca la función de transferencia
H(s) de la red de la figura 9.8(d).
Diseñe un filtro pasabajas de segundo orden, como el de la figura 9.9, con una frecuencia de corte baja fo = lO kHz, una ganancia en la banda de paso K = 5 Y Q = 0.707, l e DO. Diseñe un filtro Butterworth pasabajas de segundo orden, como el de la figura 9 .12(c), con I H(jwo) I = I (o O dB), una frecuencia de corte fo = 10 kHz, y una Q = 0.707. Diseñe un filtro Butterworth de segundo orden, como el de la figura 9.9, con I H(jO) I una frecuencia de corte fo = 10 kHz y una Q = 0.707.
=
l (o O dB),
Diseñe un filtro Butterworth pasabajas de tercer orden, como el de la figura P9.6, con una frecuencia de corte alta fo = lO kHz y una ganancia en la banda de paso de lO. La función de transferencia tiene la forma general IOw3
H (s) 3
=
s3
+
2w o
i
+
o
?
2w-s o
+
w3o
FIGURAP9.6 Rf
e
m
9.7
Diseñe un filtro Butterworth pasabajas de cuarto orden, como el de la figura P9.7, con una frecuencia de corte alta f o = 10kHz y una ganancia en la banda de paso de 25. La función de transferencia tiene la forma general 25w4 H4(s)
=
(s2
+
o
V2wos
+
w~)2
FIGURAP9.7 Rf
+
e;
CAPÍTULO
~ 9.7
9
~
461
PROBLEMAS
Filtros pasaaltas
Diseñe un filtro pasaaltas de primer orden, como el de la figura 9.15(b). que tenga una frecuencia de corte baja fe = 400 Hz y una ganancia en la banda de paso K = 2. Si la frecuencia deseada se cambia a f n = 1kHz, calcule el nuevo valor de Rn. Diseñe un filtro pasaaltas de segundo orden, como el de la figura 9.17, que tenga una frecuencia de corte baja fe = 2 kHz y una ganancia en la banda de paso de 2. Si la frecuencia deseada se cambia a fn = 3.5 kHz, calcule el nuevo valor de Rn.
IiJm 9.10
Diseñe un .filtro Butterworth pasaaltas de segundo orden, como el de la figura 9 .20( c), con I H(joo) I = 1 (o O dB), una frecuencia de corte fe = 10 kHz y Q = 0.707.
IiJm 9.11
Diseñe un filtro Butterworth pasaaltas de segundo orden, como el de la figura; 9.20( c). con I H(jwe) l (o O dB), una frecuencia de corte fe = 10 kHz y Q = 0.707.
IiJm 9.12
I
=
Diseñe un filtro Butterworth pasaaltas de tercer orden, como el de la figura P9.12, que tenga una frecuencia de corte baja fe = 10 kHz y una ganancia en la banda de paso de 10..La función de transferencia tiene la forma general lOS3
H3(s)
=
2 s 3 +2ws o 2 +2ws+w o
3
o
FIGURA P9.12
~ 9.8
Filtros pasabanda
h con h =
Diseñar un filtro pasabanda de banda ancha con = 400 Hz, da de paso KpB = 4. Calcule el valor de Q para el filtro. Diseñe un filtro pasabanda de banda ancha da de paso KpB
= 20.
fH
= 2.kHzy
una ganancia en la ban-
1kHz. fH = 10 kHz y una ganancia en la ban-
Calcule el valor de Q para el filtro.
Deduzca la función de transferencia
H(s) de la red de la figura 9.26(c).
Diseñe un filtro pasabanda, como el de la figura P9.16, que tenga fe = 5 kHz, Q = 20 Y KpB = 40.
FIGURA P9.16
+
:7
I
••
.~
rl
J.
. .._.._.... .~_.._~_~
462
9
CAPÍTULO
•
FILTROS ACTIVOS
(a) Diseñar un filtro pasabanda 2 kHz, Q
= 20. Y KpB =
de banda angosta, como el de la figura 9.26(b), de modo que fe
10.
=
, .
(b) Calcule el valor.de RB requerido para cambiar la frecuencia central, de 2kHz a 5.5 kHz.
~ 9.9 .:-,
~
9.18 9.22 9.19 9.20
Filtros de rechazo de banda
Diseñe un filtro supresor de banda ancha como el de la figura 9.29(a), qu~;tknga las siguientes características fH = 40.0. kHz,fL = 2 kHz y KpB = !O. Calcule el valor de Q para el filtro.
'fjJm
mm 9.21 mm mI])
de 40. dB/década,
Diseñe un filtro supresor de banda ancha con una rapidez de atenuación
con las si-
h= ~
kHz y y KpB = 40., guientes características: fH = 400 kHz, Diseñe un filtro activo, de ranura como el de la figura 9.32(b), con fN Deduzca
la función de transferencia
= 100
Hz.
R(s) de la 'red de la figura 9.32(b).
Diseñe un filtro activo, de ranura como el de la figura P9.22, con
fN
=
400 Hz y Q
= 5.
FIGURA P9.22
..•.
+ + Vi
~ 9.10 9.23 9.24
.<
-
,~
Filtros pasa todas
Diseñe un filtro pasatodas, ::t: 1500 a 60 Hz. Utilizando
como el de la figura 9.35, de modo que el corrimiento
el MF5, diseñe un filtro Butterworth
en fase sea
4>
=
.; pasabajas de segundo orden con una frecuencia de
corte de 2 kHi Y una ganancia en la banda de paso de -2. Suponga unafuen,te ::t:5.y y un reloj CMOS.
---_
.. _--
--
pe alimentación
de
'~,~:.:)