CAPÍTULO 21

CAPÍTULO 21: Cotes

Fórmulas de integración de Newton-

Las fórmulas de Newton-Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar:

donde f n(x) = un polinomio de la forma  f n( x  x) = a0 + a x  1x +

⋯

+a

 x  xn − 1 + a x  nxn

n−1

donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la figura 21.1a, se utiliza un polinomio de primer grado (una línea recta) como una aproximación. En la figura 21.1b, se emplea una parábola con el mismo propósito. La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por pedazos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Por ejemplo, en la figura 21.2, 21.2, se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral.

FIGURA 21.1

La aproximación de una integral mediante el área bajo a) una sola línea recta y b) una parábola.

Aunque pueden utilizarse polinomios de grado superior con los mismos propósitos. Con este antecedente, reconocemos que el “método de barras” de la figura PT6.6 emplea un conjunto de polinomios de grado cero (es decir, constantes) para aproximar la integral.

FIGURA 21.2

La aproximación de una integral mediante el área bajo tres segmentos de línea recta.

FIGURA 21.3

La diferencia entre las fórmulas de integración a) cerradas y b) abiertas. Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton-Cotes. Las  formas cerradas son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración (figura 21.3a). Las formas abiertas tienen límites de integración que se extienden más allá del intervalo de los datos ( figura 21.3 b). En este sentido, son similares a la extrapolación que se analizó en la sección 18.5. 18.5. Por lo general, las formas abiertas de Newton-Cotes no se usan para integración definida. Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales impropias y para obtener la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Este capítulo enfatiza las formas cerradas. No obstante, al final del mismo se presenta brevemente una introducción a las fórmulas abiertas de Newton-Cotes.

21.1

LA REGLA DEL TRAPECIO

La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de NewtonCotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación (21.1) es de primer grado:

Recuerde del capítulo 18 que una línea recta se puede representar como [véase ecuación (18.2)] (18.2 )]

El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de  f ( x  x) entre los límites a y b:

El resultado de la integración (véase el cuadro 21.1 para detalles) es

que se denomina regla del trapecio.

Cuadro 21.1

Obtención de la regla del trapecio

Antes de la integración, la ecuación (21.2) se puede expresar como

Agrupando los últimos dos términos:

la cual puede integrarse entre  x = a y x = b para obtener:

Este resultado se evalúa para dar:

Ahora, como b2 – a2 = (b – a)(b + a),

Multiplicando y agrupando términos se tiene:

que es la fórmula para la regla del trapecio. Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une  f (a) y f (b) en la figura 21.4. Recuerde que la fórmula para calcular el área de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases ( figura 21.5a). En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide está sobre su lado ( figura 21.5b). Por lo tanto, la integral aproximada se representa como

FIGURA 21.4

Representación gráfica de la regla del trapecio.

FIGURA 21.5

a) La fórmula para calcular el área de un trapezoide: altura por el promedio de las bases. b) Para la regla del trapecio, el concepto es el mismo pero ahora el trapezoide

está sobre su lado. o

donde, para la regla del trapecio, la altura promedio es el promedio de los valores de la función en los puntos extremos, o [  f (a) + f (b)]/2. Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes se expresan en la forma general de la ecuación (21.5). De hecho, sólo difieren respecto a la formulación de la altura promedio.

21.1.1

Error de la regla del trapecio

Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante ( figura 21.6). Una estimación al error de truncamiento local para una sola aplicación de la regla del trapecio es (cuadro 21.2)

donde ξ está en algún lugar en el intervalo de a a b. La ecuación (21.6) indica que si la función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta. De otra

manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algún error.

FIGURA 21.6

Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla del trapecio para aproximar la integral de  f ( x) = 0.2 + 25 x – 200 x2 + 675 x3 – 900 x4 + 400 x5 de x = 0 a 0.8.

Cuadro 21.2 Obtención y error estimado de la regla del trapecio Una manera alternativa para obtener la regla del trapecio consiste en integrar el polinomio de interpolación hacia adelante de Newton-Gregory. Recuerde que para la versión de primer grado con el término del error, la integral será ( cuadro 18.2)

Para simplificar el análisis, considere que si α = ( x – a)/ h, entonces dx = h d α

Debido a que h = b – a (para un segmento de la regla del trapecio), los límites de integración a y b corresponden a 0 y 1, respectivamente. Por lo tanto, la ecuación (C21.2.1) se expresará como

Si se supone que para una h pequeña, el término  f ″ (ξ )es aproximadamente constante, entonces el resultado de la integración es:

y tomando los límites de integración

Como Δ f (a) = f (b) –  f (a), el resultado puede escribirse como

Así, el primer término es la regla del trapecio y el segundo es una aproximación para el error.

EJEMPLO 21.1 Aplicación simple de la regla del trapecio Planteamiento del problema. Con la ecuación (21.3) integre numéricamente 2

 f ( x) = 0.2 + 25 x – 200 x

+ 675 x3 – 900 x4 + 400 x5

desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde de la sección PT6.2 que el valor exacto de la integral se puede determinar en forma analítica y es 1.640533.

Solución. Al evaluar la función en los límites  f (0) = 0.2  f (0.8) = 0.232

sustituyendo en la ecuación (21.3) se tiene

la cual representa un error de  E t  =

1.640533 – 0.1728 = 1.467733

que corresponde a un error relativo porcentual de ɛ = 89.5 % La razón de este error tan grande es evidente en la gráfica de la figura 21.6. Observe que el área bajo la línea recta no toma en cuenta una porción significativa de la integral que está por encima de la línea. t 

En situaciones reales, tal vez no conozcamos previamente el valor verdadero. Por lo tanto, se requiere una estimación del error aproximado. Para obtener dicha estimación se calcula la segunda derivada de la función en el intervalo, derivando dos veces la función original: 2

 f ″( x) = – 400 + 4 050 x – 10 800 x

+ 8 000 x3

El valor promedio de la segunda derivada se calcula mediante la ecuación (PT6.4):

que se sustituye en la ecuación (21.6) y el resultado es

que es del mismo orden de magnitud y signo que el error verdadero. Sin embargo, de hecho, existe una discrepancia, ya que en un intervalo de este tamaño, el promedio de la segunda derivada no es necesariamente una aproximación exacta de  f ″ (ξ ) Así, indicamos que el error es aproximado mediante la notación  E a, y no exacto usando  E t .

21.1.2 múltiple

La regla del trapecio de aplicación

Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de integración de a a b en varios segmentos, y aplicar el método a cada uno de ellos (figura 21.7). Las áreas de los segmentos se suman después para obtener la integral en todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman  fórmulas de integración, de aplicación múltiple o compuestas. La figura 21.8 muestra el formato general y la nomenclatura que usaremos para obtener integrales de aplicación múltiple. Hay n + 1 puntos igualmente espaciados ( x0,  x1, x2, … , x ) En consecuencia, existen n segmentos del mismo ancho: n

Si a y b se designan como  x0 y xn, respectivamente, la integral completa se representará como

Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene

o, agrupando términos,

FIGURA 21.7

Ilustración de la regla del trapecio de aplicación múltiple. a) Dos segmentos, b) tres segmentos, c) cuatro segmentos y d ) cinco segmentos.

FIGURA 21.8

Formato general y nomenclatura para integrales de aplicación múltiple. o, usando la ecuación (21.7) para expresar la ecuación (21.9) en la forma general de la ecuación (21.5),

Como la sumatoria de los coeficientes de  f ( x) en el numerador dividido entre 2 n es igual a 1, la altura promedio representa un promedio ponderado de los valores de la función. De acuerdo con la ecuación (21.10), a los puntos interiores se les da el doble de peso que a los dos puntos extremos  f ( x0) y  f ( x ) n

Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicación múltiple al sumar los errores individuales de cada segmento, así 

donde f ″ (ξ ) es la segunda derivada en un punto ξ , localizado en el segmento i. Este resultado se simplifica al estimar la media o valor promedio de la segunda derivada en todo el intervalo como [ecuación (PT6.3)] i

i

Por lo tanto,

y la ecuación (21.11) se reescribe como

Así, si se duplica el número de segmentos, el error de truncamiento se divide entre cuatro. Observe que la ecuación (21.13) es un error aproximado debido a la naturaleza aproximada de la ecuación (21.12).

EJEMPLO 21.2 Regla del trapecio de aplicación múltiple Planteamiento del problema. Use la regla del trapecio con dos segmentos para estimar la integral de 2

 f ( x) = 0.2 + 25 x – 200 x

+ 675 x3 – 900 x4 + 400 x5

desde a = 0 hasta b = 0.8. Emplee la ecuación (21.13) para estimar el error. Recuerde que el valor correcto para la integral es 1.640533.

Solución. n = 2(h = 0.4):

donde – 60 es el promedio de la segunda derivada, determinada anteriormente en el ejemplo 21.1. Los resultados del ejemplo anterior, junto con aplicaciones de la regla del trapecio con tres a diez segmentos, se resumen en la tabla 21.1. Observe cómo el error disminuye conforme aumenta el número de segmentos. Sin embargo, advierta también que la razón de disminución es gradual, a causa de que el error está relacionado inversamente con el cuadrado de n [ecuación (21.13)]. Por lo tanto, al duplicar el número de segmentos, el error se divide entre cuatro. En las siguientes secciones desarrollaremos fórmulas de grado superior que son más exactas y que convergen más rápido hacia la verdadera integral conforme los segmentos aumentan. Sin embargo, antes de investigar tales fórmulas, analizaremos algoritmos computacionales para implementar la regla del trapecio.

FIGURA 21.9

Algoritmos para la regla del trapecio a) de un solo segmento y b) de múltiples segmentos.

21.1.3 Algoritmos computacionales para la regla del trapecio

En la figura 21.9 se dan dos algoritmos simples para la regla del trapecio. El primero (figura 21.9a) es para la versión de un solo segmento. El segundo ( figura 21.9 b) es para la versión de múltiples segmentos con un ancho de segmento constante. Observe que ambos están diseñados para datos que se hallan en forma tabular. Un programa general deberá tener la capacidad de evaluar también funciones o ecuaciones conocidas. En el siguiente capítulo ilustraremos cómo se manipulan las funciones.

EJEMPLO 21.3 Evaluación de integrales con la computadora Planteamiento del problema. Con software basado en la figura 21.9 b resuelva un problema relacionado con el ya conocido: paracaidista en caída. Como usted recordará del ejemplo 1.1, la velocidad del paracaidista está dada con la siguiente función en términos del tiempo:

donde υ = velocidad (m/s), g = constante gravitacional de 9.8 m/s 2, m = masa del paracaidista igual a 68.1 kg y c = coeficiente de arrastre de 12.5 kg/s. El modelo predice la velocidad del paracaidista como una función del tiempo, de la manera en que se describió en el ejemplo 1.1. Suponga que desea saber qué tan lejos ha caído el paracaidista después de cierto tiempo t . Tal distancia está determinada por [ ecuación (PT6.5)]

donde d es la distancia en metros. Sustituyendo en la ecuación (E21.3.1),

Use su propio software, para determinar esta integral mediante la regla del trapecio de aplicación múltiple con diferentes números de segmentos. Observe que realizando la integración en forma analítica y sustituyendo los valores de los parámetros conocidos se obtiene un valor exacto de d = 289.43515 m.

Solución. En el caso en que n = 10 se obtiene una integral calculada de 288.7491. Así, hemos obtenido la integral con tres cifras significativas de exactitud. Los resultados con otros números de segmentos son:

Así, hasta cerca de 500 segmentos, la regla del trapecio de aplicación múltiple obtiene excelente precisión. Sin embargo, observe cómo el error cambia de signo y empieza a aumentar en valor absoluto más allá de los 500 segmentos. Cuando se tienen 10 000 segmentos, de hecho, parece diverger del valor verdadero. Esto se debe a la aparición del error de redondeo por el gran número de cálculos para todos esos segmentos. De esta manera, el nivel de precisión está limitado y nunca se podrá alcanzar el valor exacto de 289.4351 que se obtiene en forma analítica. Esta limitación, así como la manera de superarla se analizará con más detalle en el capítulo 22. Del ejemplo 21.3 se llega a tres conclusiones principales:

• Para aplicaciones individuales de las funciones con buen comportamiento, la regla del trapecio de múltiples segmentos es casi exacta para el tipo de precisión requerida en diversas aplicaciones de la ingeniería. • Si se requiere de alta exactitud, la regla del trapecio de múltiples segmentos exige un gran trabajo computacional. Aunque este trabajo resulta insignificante para una sola aplicación, puede ser muy importante cuando: a) se evalúan numerosas integrales, o b) donde la función misma es consumidora de tiempo en su evaluación. Para tales casos, quizá se requieran métodos más eficientes (serán analizados en lo que falta de este capítulo y en el próximo). • Por último, los errores de redondeo representan una limitación en nuestra habilidad para determinar integrales. Esto se debe tanto a la precisión de la máquina como a los diversos cálculos involucrados en técnicas simples como la regla del trapecio de múltiples segmentos. Ahora analizaremos una forma para mejorar la eficiencia. Esto es, mediante polinomios de grado superior para aproximar la integral.

21.2

REGLAS DE SIMPSON

Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación más fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos. Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre  f (a) y f (b), los tres puntos se pueden unir con una parábola ( figura 21.10a). Si hay dos puntos igualmente espaciados entre  f (a) y f (b), los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio de tercer grado (figura 21.10b). Las fórmulas que resultan de tomar las integrales bajo esos polinomios se conocen como reglas de Simpson.

21.2.1

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado se sustituye en la ecuación (21.1):

FIGURA 21.10

a) Descripción gráfica de la regla de Simpson 1/3, que consiste en tomar el área bajo una parábola que une tres puntos. b) Descripción gráfica de la regla de

Simpson 3/8, que consiste en tomar el área bajo una ecuación cúbica que une cuatro puntos.

Si se designan a y b como x0 y x2, y f 2 (x) se representa por un polinomio de Lagrange de segundo grado [véase ecuación (18.23)], la integral se transforma en

Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente fórmula:

donde, en este caso, h = (b  –  a)/2. Esta ecuación se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación “1/3” se origina del hecho de que h está dividida entre 3 en la ecuación (21.14). Una alternativa para obtenerla se muestra en el cuadro 21.3, donde se integra el polinomio de Newton-Gregory para llegar a la misma fórmula. La regla de Simpson 1/3 también se puede expresar usando el formato de la ecuación (21.5):

donde a = x0 b = x2 y x1 = el punto a la mitad entre a y b, que está dado por ( b + a)/2. Observe que, de acuerdo con la ecuación (21.15), el punto medio está ponderado por dos tercios; y los dos puntos extremos, por un sexto. Se puede demostrar que la aplicación a un solo segmento de la regla de Simpson 1/3 tiene un error de truncamiento de ( cuadro 21.3)

o, como h = (b – a)/2,

donde ξ está en algún lugar en el intervalo de a a b. Así, la regla de Simpson 1/3 es más exacta que la regla del trapecio. No obstante, una comparación con la ecuación (21.6) indica que es más exacta de lo esperado. En lugar de ser proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta derivada. Esto es porque, como se muestra en el cuadro 21.3, el término del coeficiente de tercer grado se hace cero durante la integración de la interpolación polinomial. En consecuencia, la regla de Simpson 1/3 alcanza una precisión de tercer orden aun cuando se base en sólo tres puntos. En otras palabras, ¡da resultados exactos para polinomios cúbicos aun cuando se obtenga de una parábola!

Cuadro 21.3 Obtención y estimación del error de la regla de Simpson 1/3 Como se hizo en el cuadro 21.2 para la regla del trapecio, regla de Simpson 1/3 se obtiene al integrar el polinomio de interpolación de Newton-Gregory hacia adelante (cuadro 18.2):

Observe que se escribió el polinomio hasta el término de cuarto grado, en lugar de hasta el de tercer grado como se esperaría. La razón de esto se verá un poco después. Advierta también que los límites de integración van de  x0 a x2 Por lo tanto, cuando se realizan las sustituciones para simplificar (recuerde el cuadro 21.2), la integral es de a = 0 a 2:

que al integrarse tiene

y evaluando en los límites se obtiene

Observe el resultado significativo de que el coeficiente de la tercera diferencia 2 dividida es cero. Debido a que Δ f ( x0) = f ( x1) − f ( x0) y Δ f  ( x0) = f ( x2) − 2 f ( x1) +  f ( x0), la ecuación (C21.3.1) se reescribe como

Así, el primer término es la regla de Simpson 1/3 y el segundo es el error de truncamiento. Puesto que se suprime la tercera diferencia dividida, se obtiene el resultado significativo de que la fórmula tiene una precisión de tercer orden.

EJEMPLO 21.4 Aplicación simple de la regla de Simpson 1/3 Planteamiento del problema. Con la ecuación (21.15) integer 2

 f ( x) = 0.2 + 25 x – 200 x

+ 675 x3 – 900 x3 + 400 x5

desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde que la integral exacta es 1.640533

Solución.

Por lo tanto, la ecuación (21.15) se utiliza para calcular

que representa un error exacto de

que es aproximadamente 5 veces más precisa que una sola aplicación de la regla del trapecio (ejemplo 21.1). El error estimado es [ecuación (21.16)]

donde – 2 400 es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo, obtenida usando la ecuación (PT6.4). Como en el ejemplo 21.1, el error está aproximado ( E a), debido a que el promedio de la cuarta derivada no es una estimación exacta de  f (4)(ξ ). Sin embargo, como este caso tiene que ver con un polinomio de quinto grado, el resultado concuerda.

21.2.2 múltiple

La regla de Simpson 1/3 de aplicación

Así como en la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de integración en varios segmentos de un mismo tamaño ( figura 21.11):

La integral total se puede representar como

Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene

o, combinando términos y usando la ecuación (21.17),

FIGURA 21.11

Representación gráfica de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple. Observe que el método se puede emplear sólo si el número de segmentos es par.

Observe que, como se ilustra en la figura 21.11, se debe utilizar un número par de segmentos para implementar el método. Además, los coeficientes “4” y “2” en la

ecuación (21.18) a primera vista parecerían peculiares. No obstante, siguen en forma natural la regla de Simpson 1/3. Los puntos impares representan el término medio en cada aplicación y, por lo tanto, llevan el peso de 4 de la ecuación (21.15). Los puntos pares son comunes a aplicaciones adyacentes y, por lo tanto, se cuentan dos veces. Un error estimado en la regla de Simpson de aplicación múltiple se obtiene de la misma forma que en la regla del trapecio: sumando los errores individuales de los segmentos y sacando el promedio de la derivada para llegar a

donde

es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo.

EJEMPLO 21.5 Versión de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple Planteamiento del problema. Utilice la ecuación (21.18) con n = 4 para estimar la integral de 2

 f ( x) = 0.2 + 25 x – 200 x

+ 675 x3 – 900 x4 + 400 x5

desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde que la integral exacta es 1.640533.

Solución. n = 4 (h = 0.2):

A partir de la ecuación (21.18),

El error estimado [ecuación (21.19)] es

El ejemplo anterior demuestra que la versión de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple da resultados muy precisos. Por esta razón, se considera mejor que la regla del trapecio en la mayoría de las aplicaciones. Sin embargo, como se indicó antes, está limitada a los casos donde los valores están equidistantes. Además, está limitada a situaciones en las que hay un número impar de segmentos y un número impar de puntos. En consecuencia, como se analizará en la siguiente sección, una fórmula de segmentos impares y puntos pares, conocida como regla de Simpson 3/8, se usa junto con la regla 1/3 para permitir la evaluación de números de segmentos tanto pares como impares.

21.2.3

Regla de Simpson 3/8

De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo:

para obtener

donde h = (b – a)/3. Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La regla 3/8 se expresa también en la forma de la ecuación (21.5):

Así los dos puntos interiores tienen pesos de tres octavos, mientras que los puntos extremos tienen un peso de un octavo. La regla de Simpson 3/8 tiene un error de

o, como h = (b – a)/3,

Puesto que el denominador de la ecuación (21.21) es mayor que el de la ecuación (21.16), la regla 3/8 es más exacta que la regla 1/3.

Por lo cumún, se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una exactitud de tercer orden con tres puntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión 3/8. No obstante, la regla de 3/8 es útil cuando el número de segmentos es impar. Como ilustración, en el ejemplo 21.5 usamos la regla de Simpson para integrar la función con cuatro segmentos. Suponga que usted desea una estimación con cinco segmentos. Una opción podría ser utilizar una versión de la regla del trapecio de aplicación múltiple, como se hizo en los ejemplos 21.2 y 21.3. Quizá esto no sea recomendable, sin embargo, debido al gran error de truncamiento asociado con dicho método. Una alternativa sería aplicar la regla de Simpson 1/3 a los dos primeros segmentos y la regla de Simpson 3/8 a los últimos tres ( figura 21.12). De esta forma, podríamos obtener un estimado con una exactitud de tercer orden durante todo el intervalo.

FIGURA 21.12

Ilustración de cómo se utilizan en conjunto las reglas de Simpson 1/3 y 3/8 para manejar aplicaciones múltiples con números impares de intervalos.

EJEMPLO 21.6

Regla de Simpson 3/8

Planteamiento del problema. a) Con la regla de Simpson 3/8 integre 2

 f ( x) = 0.2 + 25 x – 200 x

+ 675 x3 – 900 x4 + 400 x5

desde a = 0 hasta b = 0.8. b) Úsela junto con la regla de Simpson 1/3 con la finalidad de integrar la

misma función en cinco segmentos.

Solución. a) Una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8 requiere cuatro puntos

equidistantes:

Utilizando la ecuación (21.20),

 E t  = 1.640533 − 1.519170 = 0.1213630ɛt  = 7.4 %

b) Los datos necesarios para una aplicación con cinco segmentos ( h = 0.16)

son

La integral para los dos primeros segmentos se obtiene usando la regla de Simpson 1/3:

Para los últimos tres segmentos, la regla 3/8 se utiliza para obtener

La integral total se calcula sumando los dos resultados:  I = 0.3803237 + 1.264753 = 1.645077  E t  =

1.640533 − 1.645077 = − 0.00454383ɛ = − 0.28 % t 

21.2.4 Algoritmos computacionales para las reglas de Simpson En la figura 21.13 se muestran seudocódigos para las diferentes formas de las reglas de Simpson. Observe que todas están diseñadas para datos en forma tabular. Un programa general deberá tener la capacidad de evaluar tanto las funciones como las ecuaciones conocidas. En el capítulo 22 ilustraremos cómo se manipulan las funciones. Advierta que el programa de la figura 21.13d está escrito para usar un número de segmentos par o impar. En el caso par, la regla de Simpson 1/3 se aplica a cada par de segmentos y los resultados se suman para calcular la integral total. En el caso impar, la regla de Simpson 3/8 se aplica a los tres últimos segmentos; y la regla 1/3, a los segmentos anteriores.

21.2.5 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes de grado superior  Como se observó antes, la regla del trapecio y las dos reglas de Simpson son miembros de una familia de ecuaciones de integración conocidas como fórmulas de integración cerrada de Newton-Cotes. Algunas de las fórmulas se resumen en la tabla 21.2, junto con el error de truncamiento. Considere que, como en el caso de las reglas de Simpson 1/3 y 3/8, las fórmulas de cinco y seis puntos tienen el mismo orden de error. Esta característica general se satisface para fórmulas con más puntos y lleva al resultado de que las fórmulas con segmentos pares y puntos impares (por ejemplo, la regla 1/3 y la regla de Boole) usualmente son los métodos de preferencia.

FIGURA 21.13

Seudocódigo para las reglas de Simpson. a) Regla de Simpson 1/3 para una sola aplicación, b) regla de Simpson 3/8 para una sola aplicación, c) regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple, y d ) regla de Simpson de aplicación múltiple para un número de segmentos tanto impares como pares. Observe que para todos los casos n debe ser ≥ 1.

Sin embargo, se debe resaltar que, en la práctica de la ingeniería, las fórmulas de grado superior (es decir, con más de cuatro puntos) son poco utilizadas. Las reglas de Simpson bastan para la mayoría de las aplicaciones. La exactitud se puede mejorar al usar la versión de aplicación múltiple. Además, cuando se conoce la función y se requiere de alta precisión, otros métodos como la integración de Romberg o la cuadratura de Gauss, descritos en el capítulo 22, ofrecen alternativas viables y atractivas.

21.3

INTEGRACIÓN CON SEGMENTOS DESIGUALES

Hasta aquí, todas las fórmulas de integración numérica se han basado en datos igualmente espaciados. En la práctica, existen muchas situaciones en donde esta suposición no se satisface y se tienen segmentos de tamaños desiguales. Por ejemplo, los datos obtenidos experimentalmente a menudo son de este tipo. En tales casos, un método consiste en aplicar la regla del trapecio a cada segmento y sumar los resultados:

donde hi = el ancho del segmento i. Observe que éste fue el mismo procedimiento que se utilizó en la regla del trapecio de aplicación múltiple. La única diferencia entre las ecuaciones (21.8) y (21.22) es que las h en la primera son constantes. Entonces, la ecuación (21.8) podría simplificarse al agrupar términos para obtener la ecuación (21.9). Aunque esta simplificación no puede aplicarse a la ecuación (21.22), es posible desarrollar fácilmente un programa computacional para acomodar los segmentos de tamaño desigual. Antes de desarrollar este algoritmo, en el siguiente ejemplo ilustraremos cómo se aplica la ecuación (21.22) para evaluar una integral.

EJEMPLO 21.7 Regla del trapecio con segmentos desiguales Planteamiento del problema. La información de la tabla 21.3 se generó usando el mismo polinomio que se utilizó en el ejemplo 21.1. Con la ecuación (21.22) determine la integral para estos datos. Recuerde que la respuesta correcta es 1.640533.

Solución. Si se aplica la ecuación (21.22) a los datos de la tabla 21.3 se obtiene

que representa un error relativo porcentual absoluto de ɛt = 2.8%.

FIGURA 21.14

Uso de la regla del trapecio para determinar la integral de datos irregularmente espaciados. Observe cómo los segmentos sombreados podrían evaluarse con la regla de Simpson para obtener mayor precisión. Los datos del ejemplo 21.7 se ilustran en la figura 21.14. Observe que algunos segmentos adyacentes son de la misma anchura y, en consecuencia, podrían evaluarse mediante las reglas de Simpson. Esto usualmente lleva a resultados más precisos, como lo ilustra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 21.8 Empleo de las reglas de Simpson en la evaluación de datos irregulares Planteamiento del problema. Vuelva a calcular la integral para los datos de la tabla 21.3, pero ahora utilice las reglas de Simpson en aquellos segmentos donde sea apropiado.

Solución. El primer segmento se evalúa con la regla del trapecio:

Como los siguientes dos segmentos que van de  x = 0.12 a 0.32 son de igual longitud, su integral se calcula con la regla de Simpson 1/3:

Los siguientes tres segmentos también son iguales y, por lo tanto, pueden evaluarse con la regla 3/8 para obtener  I = 0.2726863. De manera similar, la regla 1/3 se aplica a los dos segmentos desde  x = 0.44 hasta 0.64 para dar  I = 0.6684701. Finalmente, los dos últimos segmentos, que son de distinta longitud, se evalúan con la regla del trapecio para dar valores de 0.1663479 y 0.1297500, respectivamente. Se suma el área de esos segmentos individuales para tener como resultado una integral total de 1.603641. Esto representa un error de ɛ = 2.2 % que es mejor al resultado que se obtuvo mediante la regla del trapecio en el ejemplo 21.7. t 

Programa computacional para datos irregularmente espaciados Programar la ecuación (21.22) es bastante simple. Un posible algoritmo se da en la figura 21.15a. No obstante, como se demostró en el ejemplo 21.8, el procedimiento mejora si se implementan las reglas de Simpson siempre que sea posible. Por tal razón se desarrolla un segundo algoritmo que incorpora esta capacidad. Como se ilustra en la

figura 21.15b, el algoritmo verifica la longitud de los segmentos adyacentes. Si dos segmentos consecutivos son de igual longitud, se aplica la regla de Simpson 1/3. Si tres son iguales, se utiliza la regla 3/8. Cuando los segmentos adyacentes tienen longitud desigual, se implementa la regla del trapecio.

FIGURA 21.15

Seudocódigo para integrar datos desigualmente espaciados. a) Regla del trapecio y b) combinación de las reglas de Simpson y del trapecio.

Así, no sólo permite la evaluación de datos con segmentos desiguales, sino que al usar la información igualmente espaciada, se reduce al empleo de las reglas de Simpson. De esta manera, representa un algoritmo básico, para todo propósito en la determinación de la integral de datos tabulados.

21.4

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN ABIERTA

De la figura 21.3b recuerde que las fórmulas de integración abierta tienen límites que se extienden más allá del intervalo de los datos. La tabla 21.4 resume las fórmulas de integración abierta de Newton-Cotes. Las fórmulas se han expresado en la forma de la ecuación (21.5) de manera que los factores de ponderación sean evidentes. Como en el caso de las versiones cerradas, pares sucesivos de las fórmulas tienen el mismo orden de error. Las fórmulas para segmentos pares y puntos impares son generalmente los métodos de preferencia, ya que requieren menos puntos para alcanzar la misma precisión que las fórmulas de segmentos impares y puntos pares. Las fórmulas abiertas no se utilizan con frecuencia para la integración definida. No obstante, como se verá en el capítulo 22, tienen utilidad para analizar integrales impropias. Además, tendrán relevancia en nuestro análisis de los métodos de pasos múltiples, para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias en el capítulo 26.

21.5

INTEGRALES MÚLTIPLES

Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo, una ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional puede escribirse como sigue (recuerde la ecuación PT6.4):

Al numerador se le llama integral doble.

FIGURA 21.16

Integral doble sobre el área bajo la superficie de la función. Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para evaluar integrales múltiples. Un ejemplo sencillo sería obtener la integral doble de una función sobre un área rectangular ( figura 21.16). Recuerde del cálculo que dichas integrales se pueden calcular como integrales iteradas.

Primero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta primera integración se incorpora en la segunda dimensión. La ecuación 21.24 establece que no importa el orden de integración. Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se aplican métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos múltiples, a la primera dimensión manteniendo constantes los valores de la segunda dimensión. Después, se aplica el método para integrar la segunda dimensión. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 21.9 Uso de la integral doble para determinar una temperatura promedio.

Planteamiento del problema. Suponga que la temperatura en una placa rectangular se describe mediante la siguiente función: 2

T ( x, y) = 2 xy + 2 x –  x

 – 2 y2 + 72

Si la placa tiene 8 m de largo (dimensión  x) y 6 m de ancho (dimensión  y), calcule la temperatura promedio.

FIGURA 21.17

Evaluación numérica de una integral doble usando la regla del trapecio con dos segmentos.

Solución. Primero, se usará la regla del trapecio con dos segmentos en cada dimensión. Las temperaturas en los valores  x y y necesarios se representan en la figura 21.17. Observe que un promedio simple de estos valores es 47.33. La función también se evalúa analíticamente, cuyo resultado sería 58.66667. Para realizar numéricamente la misma evaluación se emplea primero la regla del trapecio a lo largo de la dimensión  x con cada uno de los valores de  y. Estos valores se integran después a lo largo de la dimensión  y para dar como resultado final 2 688. Dividiendo éste entre el área se obtiene la temperatura promedio: 2 688/(6 × 8) = 56. También podemos emplear la regla de Simpson 1/3 de la misma manera con un solo segmento. Esta integral da como resultado de 2 816 y un promedio de 58.66667, que es exacto. ¿Por qué pasa esto? Recuerde que la regla de Simpson 1/3 dio resultados perfectos con polinomios cúbicos. Como el término del grado

mayor en la función es de segundo grado, en el presente caso se obtiene el mismo resultado exacto. Para funciones algebraicas de grado superior, así como con funciones trascendentes, será necesario emplear segmentos múltiples para obtener estimaciones exactas de la integral. Además, el capítulo 22 presenta técnicas más eficientes que las fórmulas de Newton-Cotes, para la evaluación de integrales de funciones dadas. Éstas con frecuencia proporcionan mejores recursos para la integración numérica de integrales múltiples.

PROBLEMAS 21.1

Evalúe la integral siguiente:

a) en forma analítica; b) con una sola aplicación de la regla del trapecio; c) con aplicación múltiple de la regla del trapecio, con n = 2 y 4; d ) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3; e) con la aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3, con n = 4; f ) con una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8, y g) con aplicación múltiple de la regla de Simpson, con n = 5. Para los incisos b) a g),

determine el error relativo porcentual de cada una de las estimaciones numéricas, con base en el resultado del inciso a). 21.2

Evalúe la integral siguiente:

a) en forma analítica; b) con una sola aplicación de la regla del trapecio; c) con aplicación múltiple de la regla del trapecio, con n = 2 y 4; d ) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3; e) con aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3, con n = 4; f ) con una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8; y g) con aplicación múltiple de la regla de Simpson, con n = 5. Para cada una de las estimaciones numéricas de los incisos b) a g), determine el error relativo porcentual con base en el inciso a). 21.3

Evalúe la integral siguiente:

a) en forma analítica; b) con una sola aplicación de la regla del trapecio; c) con la regla del trapecio compuesta, con n = 2 y 4; d ) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3; e) con la regla de Simpson 3/8; y  f ) con la regla de Boole. Para

cada una de las estimaciones numéricas de los incios b) a f ), determine el error relativo porcentual con base en el inciso a). Integre la función siguiente en forma analítica y con el empleo de la regla del trapecio, con n = 1, 2, 3 y 4: 21.4

Use la solución analítica para calcular los errores relativos porcentuales verdaderos para evaluar la exactitud de las aproximaciones de la regla del trapecio. Integre la función siguiente en forma tanto analítica como con la regla de Simpson, con n = 4 y 5. Analice los resultados. 21.5

Integre la función siguiente tanto en forma analítica como numérica. Emplee las reglas del trapecio y de Simpson 1/3 para integrar numéricamente la función. Para ambos casos, utilice la versión de aplicación múltiple, con n = 4. Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados numéricos. 21.6

Integre la función siguiente tanto analítica como numéricamente. Para las evaluaciones numéricas use a) una sola aplicación de la regla del trapecio, b) la regla de Simpson 1/3, c) la regla de Simpson 3/8, d ) la regla de Boole, e) el método del punto medio,  f ) la fórmula de integración abierta de 3 segmentos y 2 puntos, y g) la fórmula de integración abierta de 4 segmentos y 3 puntos. Calcule los errores relativos porcentuales de los resultados numéricos. 21.7

Integre la función que sigue tanto en forma analítica como numérica. Para las evaluaciones numéricas utilice a) una sola aplicación de la regla del trapecio; b) la regla de Simpson 1/3; c) la regla de Simpson 3/8; d ) aplicación múltiple de reglas de Simpson, con n = 5; e) la regla de Boole;  f ) el método del punto medio; g) la fórmula de integración abierta de 3 segmentos y 2 puntos; y h) la fórmula de integración abierta de 4 segmentos y 3 puntos. 21.8

Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados numéricos.

Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire sobre un objeto que cae es proporcional al cuadrado de la velocidad. Para este caso, la velocidad se calcula con 21.9

donde cd  = coeficiente de arrastre de segundo orden. a) Si g = 9.8 m/s2, m = 68.1 kg y cd = 0.25 kg/m, use integración analítica para determinar qué tan lejos cae el objeto en 10 segundos. b) Haga lo mismo, pero evalúe la integral con la regla del trapecio de segmento múltiple. Use una n suficientemente grande para obtener tres dígitos significativos de exactitud. Evalúe la integral de los datos tabulados a continuación, con a) la regla del trapecio, y b) las reglas de Simpson: 21.10

Evalúe la integral de los datos que se tabula en seguida, con a) la regla del trapecio, y b) las reglas de Simpson: 21.11

21.12

Determine el valor medio de la función 2

 f ( x) = – 46 + 45 x – 14 x

+ 2 x3 – 0.075 x4

entre x = 2 y 10, por medio de a) graficar la función y estimar visualmente el valor medio, b) con la ecuación (PT6.4) y la evaluación analítica de la integral, y c) con la ecuación (PT6.4) y una versión de cinco segmentos de la regla de Simpson para estimar la integral. Calcule el error porcentual relativo. La función  f ( x) = 2e – 1.5x se puede utilizar para generar la tabla siguiente de datos espaciados en forma desigual: 21.13

Evalúe la integral de a = 0 a b = 0.6, con el uso de a) medios analíticos, b) la regla del trapecio, y c) una combinación de las reglas del trapecio y de Simpson; emplee

las reglas de Simpson siempre que sea posible a fin de obtener la exactitud más alta. Para los incisos b) y c), calcule el error relativo porcentual (ɛ ). t 

21.14

Evalúe la integral doble siguiente:

a) en forma analítica; b) con una aplicación múltiple de la regla del trapecio, con n = 2; y c) con aplicaciones únicas de la regla de Simpson 1/3. Para los incisos b) y

()

c), calcule el error relativo porcentual ɛt 

Evalúe la siguiente integral triple, a) en forma analítica, y b) con el uso de aplicaciones únicas de la regla de Simpson 1/3. Para el inciso b) calcule el error relativo porcentual (ɛ ) 21.15

t 

Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario para la aplicación múltiple de la regla del trapecio, con base en la figura 21.9. Pruebe su programa con la replicación del cálculo del ejemplo 21.2. 21.16

Desarrolle un programa de cómputo amigable para el usuario para la versión de la aplicación múltiple de la regla de Simpson, con base en la figura 21.13c. Pruébelo con la duplicación de los cálculos del ejemplo 21.5. 21.17

Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario a fin de integrar datos espaciados en forma desigual, con base en la figura 21.15 b. Pruébelo con la duplicación del cálculo del ejemplo 21.8. 21.18

21.19

ecuación

Una viga de 11 m está sujeta a una carga, y la fuerza cortante sigue la 2

V ( x) = 5 + 0.25 x

donde V es la fuerza cortante y  x es la distancia a lo largo de la viga. Se sabe que V = dM/dx, y M es el momento flexionante. La integración conduce a la relación

Si M 0 es cero y x = 11, calcule M con el empleo de a) integración analítica, b) aplicación múltiple de la regla del trapecio, y c) aplicación múltiple de las reglas de Simpson. Para los incisos b) y c) use incrementos de 1 m.

El trabajo producido por un proceso termodinámico a temperatura, presión y volumen constantes, se calcula por medio de 21.20

W = ∫ pdV 

donde W es el trabajo,  p la presión, y V el volumen. Con el empleo de una combinación de la regla del trapecio, la de Simpson 1/3, y la de Simpson 3/8, utilice los datos siguientes para calcular el trabajo en kJ (kJ = kN • m):

21.21

Determine la distancia recorrida para los datos siguientes:

a) Use la regla del trapecio, b) la mejor combinación de las reglas del trapecio y de Simpson, y c) la integración analítica de polinomios de segundo y tercer orden,

determinados por regresión. 21.22

La masa total de una barra de densidad variable está dada por

donde m = masa,  ρ( x) = densidad,  Ac( x) = área de la sección transversal,  x = distancia a lo largo de la barra y  L = longitud total de la barra. Se midieron los datos siguientes para una barra de 10 m de longitud. Determine la masa en kilogramos con la exactitud mejor posible.

Un estudio de ingeniería del transporte requiere que usted determine el número de autos que pasan por una intersección cuando viajan durante la hora pico de la mañana. Usted se para al lado de la carretera y cuenta el número de autos que pasan cada cuatro minutos a varias horas, como se muestra en la tabla a continuación. Utilice el mejor método numérico para determinar a) el número total de autos que pasan entre las 7:30 y las 9:15, y b) la tasa de autos que cruzan la intersección por minuto. ( Recomendación: tenga cuidado con las unidades.) 21.23