Segunda Edición
CAPÍTULO
4
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Geometría Descriptiva Autor: Víctor Vidal Barrena Universidad Nacional de Ingeniería
EL PLANO
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GEOMETR GEOME TR A DESCRI DESCRIPTIV PTIVA A
Víctor Vidal Barrena
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GEOMETR GEOME TR A DESCRI DESCRIPTIV PTIVA A
Víctor Vidal Barrena
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GEOMETR GEOME TR A DESCRI DESCRIPTIV PTIVA A
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3.1 Su determinación:
El plano es una superficie en la que una recta que conecte dos puntos cualquiera descansa por completo sobre ella. Dos líneas cualquiera trazadas en un plano deben intersectarse o ser paralelas entre sí.
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3.1 Su determinación:
La figura muestra cuatro formas de representar un plano oblicuo o inclinado, ya sea mediante dos rectas concurrentes o bien utilizando dos rectas paralelas, tres puntos no colineales o un punto y una recta, como se indica en las figuras siguientes .
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3.1.1 EL PLANO ESTA FORMADO POR :
DOS RECTAS QUE SE SE CORTAN.
DOS RECTAS
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3.1.1 EL PLANO ESTA FORMADO POR:
UNA RECTA Y UN PUNTO EXTERIOR
TENER MINIMO TRES PUNTOS. Y MAS PERO COPLANARES.
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3.2 POSICIONES PARTICULARES DE UN PLANO EN EL ESPACIO:
Es la posición que adopta un plano de ser paralelo o perpendicular a los planos principales de proyección, para ambas posiciones el plano se proyecta de canto en uno de los planos principales.
3.2.1 CON RESPECTO AL PARALELISMO Un plano al ser paralelo a un plano de proyección, se proyectará sobre él en dimensión verdadera; se tienen tres tipos de planos: 1.- Plano horizontal 2.- Plano frontal 3.- Plano de perfil
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1. PLANO HORIZONTAL:
Es aquel plano que aparece de canto y paralelo al plano principal horizontal proyectándose sobre él en dimensión verdadera. PROYECCION TRIDIMENSIONAL
DEPURADO
dv
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2. PLANO FRONTAL.-
Es aquel plano que aparece de canto y paralelo al plano principal frontal, proyectándose sobre el en dimensión verdadera. PROYECCION TRIDIMENSIONAL
DEPURADO
dv
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3. PLANO DE PERFIL.Es aquel plano que aparece de canto y paralelo al plano principal de perfil, proyectándose sobre el en dimensión dimensión verdadera. PROYECCION TRIDIMENSIONAL
DEPURADO
dv
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3.2.2 CON RESPECTO A LA PERPENDICULARIDAD:
Un plano al ser perpendicular a un plano de proyección, se proyectará sobre él de vista de canto; se tienen los siguientes tipos de planos: 1.- Plano vertical 2.- Plano normal 3.- Plano ortoperfil
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1. PLANO VERTICAL.Es aquel plano que es perpendicular al plano principal horizontal y se proyecta sobre sobre el de canto . PROYECCION TRIDIMENSIONAL
DEPURADO
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2. PLANO NORMAL.-
Es aquel plano que es perpendicular al plano principal frontal y se proyecta sobre el de canto. PROYECCION TRIDIMENSIONAL
DEPURADO
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3. PLANO ORTOPERFIL.Es aquel plano que es perpendicular al plano principal de perfil y se proyecta sobre el de canto. PROYECCION TRIDIMENSIONAL
DEPURADO
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3.3 RECTA CONTENIDA EN UN PLANO.Si una recta intercepta dos rectas de un plano en puntos no coincidentes, entonces esta contenido en el plano. NOTAR QUE LA RECTA PQ CORTA AL PLANO ABC EN LOS PUNTOS 1y 2 . AL PLANO ABC LO CORTA EN EL PUNTO 1 EN EL LADO AC , y AL PUNTO 2 EN EL LADO BC. TANTO EN LA VISTA FRONTAL COMO HORIZONTAL . ENTONCES LA RECTA ESTA CONTENIDA EN EL PLANO ABC.
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3.3 RECTA NO CONTENIDA EN UN PLANO.Si una recta no esta contenida en un plano como en el caso anterior entonces se debe hallar su intersección. NOTAR QUE LA RECTA PQ CORTA AL PLANO ABC, EN VISTA HORIZONTAL EN 1y EN 2, EN LOS LADOS AC y EN BC , COSA QUE NO OCURRE AL PROYECTAR ESTOS PUNTOS AL PLANO FRONTAL DONDE LOS PUNTOS 1 y 2 SOLO ESTAN EN EL PLANO y NO EN LA RECTA , DE MODO QUE LA UNION DE ESTOS PUNTOS 1y 2 CORTARAN A LA RECTA PQ HALLANDO SU INTERSECCION. ENTONCES LA RECTA NO ESTA CONTENIDA EN EL PLANO.
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3.4 PUNTO CONTENIDO EN UN PLANO.Si un punto esta en un plano entonces esta contenida en una recta del plano. TRAZAMOS POR EL PUNTO P , UNA RECTA CUALQUIERA QUE CORTE AL PLANO TAL COMO A1, EN VIS VISTA TA HORIZONTAL AL PROYECTAR ESTA RECTA A1 EN VISTA FRONTAL EL PUNTO P DEBE ESTAR SOBRE ESTA RECTA A1. EN ENTO TONC NCES ES EL PUNTO ESTA SOBRE LA RECTA A1 Y TAMBIEN EN EL PLANO ABC.
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3.4 PUNTO QUE NO ESTA CONTENIDO EN UN PLANO.NOTAR QUE AL TRAZAR LA RECTA A1, POR EL PUNTO P. EN VISTA FRONTAL. ESTA AL PROYECTARSE AL PLANO HORIZONTAL NO PASA POR EL PUNTO P. ENTONCES LA RECTA A1 QUE ESTA CONTENIDA EN EL PLANO ABC NO CONTIENE AL PUNTO P. LO CUAL INDICA QUE EL PUNTO P NO ESTA EN EL PLANO ABC.
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3.5 RECTAS NOTABLES EN UN PLANO.-
Las rectas notables son aquellas rectas que están contenidas en un plano oblicuo y que permiten proyectar de canto a un plano oblicuo. Se tienen las siguientes rectas notables: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Recta Horizontal, Recta Frontal, Recta de Perfil, Recta Vertical, Recta Normal, Recta Ortoperfil.
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1. LA RECTA HORIZONTAL RECTA AX HORIZONTAL.
d v
ES LA RECTA PARALELA AL PLANO PRINCIPAL HORIZONTAL Y SE PROYECTA SOBRE EL EN DIMENSION VERDADERA, DICHA RECTA ESTA CONTENIDA EN EL PLANO. ESTA RECTA NOS DARA LA ORIENTACION DEL PLANO.
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2. LA RECTA FRONTAL RECTA BX FRONTAL
ES LA RECTA PARALELA AL PLANO PRINCIPAL FRONTAL Y SE PROYECTA SOBRE EL EN DIMENSION VERDADERA, DICHA RECTA ESTA CONTENIDA EN EL PLANO ABC. v d
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3. RECTA DE PERFIL. RECTA CX DE PERFIL
ES LA RECTA CONTENIDA EN EL PLANO ABC. QUE ES PARALELA AL PLANO PRINCIPAL DE PERFIL Y SE PROYECTA SOBRE EL EN DIMENSION VERDADERA.
v d
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3.6 RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE.
La RMP es aquella recta que esta contenida en un plano oblicuo y perpendicular a la recta horizontal de este plano. La pendiente de esta recta es la misma que la del plano.
LA RMP.- Indica el sentido del recorrido que sigue un objeto cuando rueda sobre este plano. Y su recorrido se mide trazando un plano de elevación paralelo al recorrido; proyectándose en dimensión verdadera la recta de máxima pendiente y al mismo tiempo el plano se proyectara de canto.
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3.6 RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE. CD RECTA DE MAXIMA PENDIENTE PERPENDICULAR A LA RECTA HORIZONTAL AX. d v
LA RECTA DE MAXIMA PENDIENTE SE EXPRESA EN TERMINOS DE BUZAMIENTO, 30%SO 30% =PENDIENTE DEL PLANO. SO = SENTIDO DE LA RECTA DE MAXIMA PENDIENTE.
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3.7 PROYECCION DE CANTO DE UN PLANO OBLICUO.-
Un plano oblicuo se proyectará de canto o de filo, en cualquier plano de proyección; cuando una recta notable de este plano oblicuo se proyecte de punta.
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3.7 PROYECCION DE CANTO DE UN PLANO OBLICUO
SE DAN LAS PROYECCIONES DEL PLANO ABC. SE PIDE LLEVAR EL PLANO DE CANTO.
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3.7 PROYECCION DE CANTO DE UN PLANO OBLICUO.-
d v
PLANO DE CANTO
TRAZAMOS LA RECTA AX .NOTABLE HORIZONTAL DENTRO DEL PLANO ABC. PROYECTAMOS AX DE PUNTA TRAZANDO EL PLANO DE ELEVACION H1 PERPENDICULAR A LA PROYECCION DE LA RECTA HORIZONTAL AX. EN EL PLANO H1 PASAMOS LOS DEMAS PUNTOS DEL PLANO CON LAS COTAS, QUEDANDO ESTOS PUNTOS EN LINEA , DANDO FORMA AL PLANO DE CANTO O DE FILO.
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3.8 DETERMINAMOS LA PENDIENTE DEL PLANO OBLICUO PENDIENTE DEL PLANO 80%SO.
d v
O O 1
0 8
PLANO DE CANTO
PARA MEDIR LA PLANO OBLICUO. EL PLANO DEBE DE ESTAR DE CANTO. Y ES EL ANGULO QUE HACE EL PLANO DE CANTO CON RESPECTO A UN PLANO HORIZONTAL, PUEDE ESTAR MEDIDO EN GRADOS O EN PORCENTAJE.
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3.9 DIMENSION VERDADERA DEL PLANO OBLICUO.Un plano oblicuo que sea paralelo a un plano de proyección se proyectará sobre este en dimensión verdadera.
SE DAN LAS PROYECCIONES DEL PLANO OBLICUO ABC. HALLAR SU DIMENSION VERDADERA.
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3.9 DIMENSION VERDADERA DEL PLANO OBLICUO.PENDIENTE DEL PLANO 80%SO.
d v
O O 1
0 8
PARA LLEVAR EL PLANO OBLICUO A DIMENSION VERDADERA. DEBEMOS PRIMERO LLEVAR EL PLANO DE CANTO. DONDE SU PENDIENTE, TRAZAR OTRO PLANO AUXILIAR
PLANO DE CANTO PARALELO AL PLANO 12
PLANO DE CANTO.
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3.9 DIMENSION VERDADERA DEL PLANO OBLICUO PENDIENTE DEL PLANO 80%SO.
d v
CON LOS ALEJAMIENTOS UBICAMOS LOS PUNTOS ABC , DEL PLANO Y HALLAMOS SU DIMENSION VERDADERA EN VISTA 2.
O O 1
0 8
PLANO DE CANTO PARALELO AL PLANO 12
dv
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3.10 ORIENTACIÓN DE UN PLANO OBLICUO
Es el ángulo comprendido entre una recta horizontal contenida en el plano oblicuo con respecto al meridiano (línea norte - sur). Definido de otra manera diremos que es la dirección de una línea horizontal que esta contenida en el plano.
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3.10 ORIENTACIÓN DE UN PLANO OBLICUO
SE DAN LAS PROYECCIONES DEL PLANO OBLICUO ABC. HALLAR SU ORIENTACION.
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3.10 ORIENTACIÓN DE UN PLANO OBLICUO
TRAZAMOS POR EL PLANO ABC UNA RECTA HORIZONTAL. EN ESTE CASO LO TRAZAMOS POR EL PUNTO A DEL PLANO ABC. UNA RECTA AX QUE CORTA AL PLANO EN EL LADO BC.
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3.10 ORIENTACIÓN DE UN PLANO OBLICUO
N O
LA RECTA HORIZONTAL AX NOS DA LA ORIENTACION DEL LA ORIENTACION PLANO. SOLO EN EL N PLANO E HORIZONTAL E O
S
S
DE AX= SØ°E
N
DE XA =NØ°O
E
O S
E
O
N
N
S
E
O S
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GEOMETR A DESCRIPTIVA PROBLEMAS RESUELTOS.
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PROBLEMA 3.1: del punto M que esta contenida en el plano Una billa parte
El plano ABC tiene una orientación de N60°E y una pendiente del 120%NO, rueda sobre este hasta el borde y cae verticalmente sobre el plano normal PQR; que tiene una pendiente del 50% descendente, rodando también sobre este, finalmente por gravedad cae al suelo . Completar las proyecciones principales de los planos ABC y PQR, y determinar la trayectoria, la posición final de la billa y la longitud recorrida. Resolver sin vistas auxiliares. ESCALA 1:1000 A(3, 7, 11.5) , B(7, - , 17.5) , C(11, 9.5, - ); P(3.5, 4, 16), Q(7.5, - , 17.5) R( 10, - , 12.5); M(8.5, - , 14), nivel del piso (- , 1, -).
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PASO 1:
H 17.5
QH
PH 16
MH
13.5 12.5
RH
AH
11.5
CF
9.5
7
AF
TAMBIEN TRAZAMOS EL NIVEL DEL PISO
PF 4
1
Nivel del piso 3 3.5
SE UBICAN LOS PUNTOS Y SE UNEN SEGUN CORRESPONDAN
7
7.5 8.5
10
11
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PASO 2:
BH Q H
17.5
0 ° E N 6
PH
16
YH XH
MH
13.5 12.5
CH dc
RH
AH
120
11.5 XH 100
CF
9.5
7
XF
AF
YF
dc
PF 4
BF 1
Nivel del piso 3 3.5
7
7.5 8.5
10
11
BH
SE TRAZA LA DIRECCIÓN N60 E DEL PUNTO A y POR EL PUNTO B UNA RECTA DE MAXIMA PENDIENTE QUE ES PERPENDICULAR A LA DIRECCION DEL PLANO CON LA RECTA BX y PENDIENTE DE 120% POR DIFERENCIA DE COTAS COMPLETAMOS LAS PROYECCIONES DEL PLANO ABC.
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PASO 3:
BH Q H
17.5
0 ° E N 6
PH
16
YH XH
12.5
CH
MH
13.5
dc
RH
AH
120
11.5 XH 100
CF
9.5
7
XF
AF
YF
dc
PF 4
100 50
BF 1
QF
Nivel del piso
RF 3 3.5
7
7.5 8.5
10
11
BH
COMO EL PLANO PQR ES NORMAL ESTARA DE CANTO EN EL PLANO FRONTAL DONDE PODEMOS MEDIR SU PENDIENTE DE 50% AL ESTE ENCONTRANDO LOS PUNTOS Q y R.
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PASO 4:
H
H
17.5
16
0 ° E 6 N
4-5
PH
2-3
YH XH
12.5
CH
MH
13.5
1
dc
RH
AH
120
11.5 XH 100
CF
9.5
1
7
XF
AF
YF
dc
PF 4
100 50
2
3
1
MF
Nivel del piso
BF
QF
4
5
RF 3 3.5
7
7.5 8.5
10
11
BH
POR EL PUNTO M TRAZAMOS LA RECTA DE DE MAXIMA PENDIENTE PARA PODER VER EL MOVIMIENTO DE LA BILLA, PROYECTANDO EL RECORRIDO AL PLANO FRONTAL DONDE SE OBSERVARA MEJOR EL RECORRIDO.
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PASO 5:
BH Q H
17.5
0 ° E N 6
4-5
PH
2-3
16 YH XH
MH
13.5 12.5
CH
1
dc
RH
AH
120
11.5 XH 100
CF
9.5
1
7
AF
YF
SOLUCION FINAL
dc
RECORRIDO TOTAL DEL PUNTO 1 AL PUNTO 5.
100 50
2
BF
3
1
MF XF
PF 4
BH
Nivel del piso
QF
4
5
RF 3 3.5
7
7.5 8.5
10
11
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PROBLEMA 3.2.
La recta RS de 60% de pendiente ascendente esta contenida en el plano oblicuo ABC. Determinar las proyecciones principales del plano y su pendiente en porcentaje. Resolver sin vistas auxiliares. A(8.5, 2, 16), B(13.5, - , 11) C(3, 6, - ). R(7, 5 , 13.5), S(11, - , 9.5)
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A H
16
13.5
EL GRAFICO DE LAS COORDENADAS
RH
11
BH
9.5
SH
CF 6 5
RF
2
A F 3
7
8
8.5
11
13.5
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CON PENDIENTE DE 60% Y
A H
16
13.5
RH
11
BH
9.5
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SF SH
LA PROYECCIÓN HORIZONTAL DE LA RECTA RS COMPLETAMOS LA PROYECCION DE LA RECTA RS EN EL PLANO FRONTAL.
c d
CF
dc
6 5
60
RF
RH
2
A F 3
7
8
8.5
11
13.5
100
SH
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PASO 3:
A H
16
13.5
RH dc
11
BH RH
9.5
SF
SH
c d
CF 6
RF
F
2
A F
3
7
8
8.5
11
100
SH
SE PROYECTA LA RECTA RS HASTA CORTAR A LA RECTA AC DEL PLANO ABC. EN EL PUNTO X.
5
x
60
13.5
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PASO 4:
A H
16
xH 13.5
RH dc 11
BH
60
RH
9.5
SF
6
SE UBICA EL PUNTO X SOBRE LA PROYECCION DE LA RECTA RS, TANTO EN EL PLANO FRONTAL COMO HORIZONTAL.
RF
5
x
F
2
A F 3
7
8
8.5
11
SH
SH
c d
CF
100
13.5
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PASO 5:
A H
16
xH 13.5
CH RH
dc 60
11
BH
9.5
RH
100
SH
SF SH
PASAMOS POR EL PUNTO A Y EL PUNTO X UNA RECTA HASTA QUE CORTE LA LINEA DE PROYECCION DEL PUNTO C, Y SE HALLA EL PUNTO C EN VISTA HORIZONTAL.
c d
CF 6
RF
5
xF 2
A F 3
7
8
8.5
11
13.5
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PASO 6:
A H
16
SE COMPLETA EL PLANO ABC EN VISTA HORIZONTAL, CORTANDO A LA RECTA RS EN UN PUNTO Y.
xH 13.5
CH RH
YH BH
11
SH 9.5
dc
SF 60
RH YF
CF 6
c d
100
SH
BF
RF
5
SE COMPLETA EL PUNTO B, EN FORMA SIMILAR AL PUNTO ANTERIOR
xF 2
A F 3
7
8
8.5
11
13.5
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PASO 7:
A H
16
pH xH
13.5
qH
CH RH
YH
ZH
BH
SE TRAZA LA RECTA HORIZONTAL PQ, PARA OBTENER LA RECTA DE MAXIMA PENDIENTE, Y PODER HALLAR LA PENDIENTE DEL PLANO
11
SH 9.5 c d
SF 110
Z F YF
CF 6
c d
BF
Z H 100
A H
RF
5 c d
xF
dc
qF
pF
60
2
A F 3
7
8
8.5
RH 11
13.5
100
SH
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PASO 8: SOLUCION FINAL A H
16
pH xH
13.5
qH c d
CH RH
YH
ZH
110
BH
11
A H
Z H 100
SH 9.5
SF dc Z F YF
CF 6
c d
BF
RF
60
RH
100
SH
5 c d
xF
RESPUESTA : PENDIENTE = 110%NE
qF
pF
2
A F 3
7
8
8.5
11
13.5
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PROBLEMA 3.3:
El plano ABC, tiene orientación S70°E y pendiente de 70% SO. Del punto M del plano ABC, parte una billa que resbala en dicho plano. Al llegar al borde cae verticalmente al plano normal PQ, de 50% ascendente. Diga cual es la distancia recorrida por la billa, si llega hasta el punto R. A(3, 5, 13.5), B(6, 4 , -), C(7.5, -7, - ) R(9, 1, - ). M(5.5, - , 13)
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PASO 1:
H
13.5 13
MH
GRAFICO DE LOS PUNTOS CF
7
5
A F
4
BF
1
RF 3
5.5 6
7.5
9
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PASO 2:
A H 13.5 13
H 1
MH S 7 0 °E
7
5
H F
COMPLETAMOS LAS PROYECCIONES DEL PLANO ABC
C O T A
A 1 CF
A T O C
TRAZAMOS S70°E Y PERPENDICULAR A LA DIRECCION SE TRAZA EL PLANO H1 PARA OBTENER EL PLANO DE CANTO Y GRAFICAR LA PENDIENTE.
A F
4
BF
1
RF 3
5.5 6
7.5
9
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PASO 3:
A H 13.5 13
PLANO DE CANTO CON 70% DE PENDIENTE AL SO
H 1
MH S 7 0 °E
7
5
1 00
H F
A 1
7 0
CF A F
COMPLETAMOS LAS PROYECCIONES DEL PLANO ABC
4
BF
1
RF 3
5.5 6
7.5
9
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PASO 4:
C O T A
C O T A
A H 13.5 13
H 1
MH
C1
PLANO DE CANTO CON 70% DE PENDIENTE AL SO
S 7 0 °E C
7
A T O C
H F CF
5
A T O C
A F
4
BF
1
RF 3
5.5 6
7.5
9
A 1 1 00 7 0
B
B1
SOBRE EL PLANO DE CANTO SE UBICAN LOS PUNTOS CON SUS COTAS.
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PASO 5:
CH A H 13.5 13
C O T A
C O T A
H 1
MH
PLANO DE CANTO CON 70% DE PENDIENTE AL SO
C1
S 7 0 °E
BH
7
C
CF 5
1 00
A T O C
H F A F
A 1 7 0
B
B1
A T O C
PLANO NORMAL CON 50%E
4
BF 50
1
RF
100 3
5.5 6
7.5
9
SE COMPLETAN LAS PROYECCIONES DEL PLANO ABC. Y EL PLANO NORMAL
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PASO 6:
P M R
CH
A H 13.5 13
1
H 1
MH
2
F
S 7 0 °E
BH
7
A 1 1 0 0
H F
7 0
MF 5
SOLUCION FINAL
C1
A F
CF
MF
B1
REC TOTAL = DE 1 A 4
1
2
4
BF
3
PUNTO FINAL R 50
1
4
RF
100 3
5.5 6
7.5
9
E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA
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PROBLEMA 3.4:
El plano ABC, es un triángulo equilátero. El punto X pertenece a la altura trazada desde B al lado AC. Completar las proyecciones del plano ABC. A(6, 5, 14.5). B(9.5, 7 , 10); X(9, -, 12.5).
E S d e g i c u i ó n n d a
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PASO 1:
A H
14.5
XH
12.5
10
BH
7
BF 5
A F
6
9
9.5
GRAFICO DE LOS PUNTOS
E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA
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PASO 2:
H 1 A 1 A H
14.5
XH
12.5
10
7
BH
d v D E L A R E C T A AB
B1 c d
H F c d
5
TRAZAMOS EL PLANO HI PARALELO A LA ALTURA DEL TRIANGULO
B
A H
BH
BF CON dv DE LA RECTA AB SE CONSTRUYE EL TRIANGULO EQUILATERO CON EL FIN DE OBTENER LA dv DE LA ALTURA.
A F
A 6
9
9.5
O
C
E S d e g i c u i ó n n d a
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PASO 3:
H 1
2 1
SE TRAZA MEDIA CIRCUNFERENCIA CON BASE AB EN VISTA I. Y CON RADIO IGUAL A LA ALTURA DEL TRIANGULO SE HALLA EL PUNTO MEDIO DEL LADO OPUESTO O.
A1 A H
14.5
O
1
R A U T L A
XH
12.5
10
7
BH
c d
H F c d
5
B1
d v D E L A R E C T A AB
BH
AH B
BF A F
A R U T L A
A 6
9
9.5
O
C
E S d e g i c u i ó n n d a
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PASO 4:
A 2
LONGITUD DEL LADO DEL TRIANGULO EN dv. B2
O
2 1
H 1
2
SE COMPLETA LAS PROYECCIONES DEL TRIANGULO EQUILATERO.
A 1 C2
A H
14.5
O
1
C1
CH
R A U T L A
XH
12.5
B 10
7
A R U T L A
H F c d
5
B1
BH
BF A F
A
c d
d v D E L A R E C T A AB
A H 6
9
9.5
O
BH
C
E S d e g i c u i ó n n d a
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PASO 5.- SOLUCION COMPLETA A 2
LONGITUD DEL LADO DEL TRIANGULO EN dv.
B2 O
2 1
H 1
2
SE COMPLETA LAS PROYECCIONES DEL TRIANGULO EQUILATERO.
A 1 C2 A H
O
1
14.5 O
C1
H
CH
R A U T L A
B
XH
12.5
B1
10
A R U T L A
BH
7
H F
BF C
A c d
O
A F
5
c d
CF 6
9
9.5
d v D E L A R E C T A AB
A H
BH
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PROBLEMA 3.5:
PQ es recta de máxima pendiente del plano PQR. JK mide 4.5cm y es perpendicular a PQ determinar la proyección horizontal de P y Q considerar que JK va hacia delante y PQ va hacia atrás. ESCALA 1:1. P(8, 6, - ), Q(9, 3, - ), R(11, 5, 9); J(9, 5, - ), K(11, 3, -).
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PASO.1 RH
9
GRAFICO DE LOS PUNTOS
6
PF
5
RF
JF
KF
3
QF
8
9
11
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PASO 2: 9
H
H F
6 5
PF
F 1 SE LLEVA A dv LA RECTA JK y CON LONGITUD 4.5cm EN POSICION ARBITRARIA .
JF
RF
dc
PF
KF
3
QF
EM VISTA 1 SE TRAZA LA RECTA PQ PERPENDICULAR A LA RECTA JK EN POSICION ARBITRARIA PQ .
J1
4.5cm
K1
QF 8
9
11
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PASO 3: QH 9 POSICION ARBITRARIA
H F
6 5
Q E D . J E L A
PH PF
F 1 SE LLEVA A dv LA RECTA JK y CON LONGITUD 4.5cm EN POSICION ARBITRARIA .
RH
JF
RF
dc
PF
KF
3
QF
EM VISTA 1 SE TRAZA LA RECTA PQ PERPENDICULAR A LA RECTA JK EN POSICION ARBITRARIA PQ .
J1
4.5cm
K1
QF 8
Q E D 9 J . E L A
11
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PASO 4:
H 1
QH 9 POSICION ARBITRARIA
H F
6 5
Q E D . J E L A
P M R
PH R1
PF
F 1 SE LLEVA A dv LA RECTA JK y CON LONGITUD 4.5cm EN POSICION ARBITRARIA .
RH
JF
RF
PF
P1 KF
3
QF
EM VISTA 1 SE TRAZA LA RECTA PQ PERPENDICULAR A LA RECTA JK EN POSICION ARBITRARIA PQ .
J1
T O CA N E D N O P LA
4.5cm
K1
QF 8
Q E D 9 J . E L A
11
Q1
E S d e g i c u i ó n n d a
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PASO 5:
H 1
QH 9 POSICION ARBITRARIA
H F
6 5
Q E D . J E L A
PH P1
JF
RF
PF
R1
T O CA N D E O N P LA
Q Q1
P1 KF
3
QF
EM VISTA 1 SE TRAZA LA RECTA PQ PERPENDICULAR A LA RECTA JK EN POSICION ARBITRARIA PQ .
J1
Q1
P
PF
F 1 SE LLEVA A dv LA RECTA JK y CON LONGITUD 4.5cm EN POSICION ARBITRARIA .
RH
P M R
4.5cm
K1
QF 8
Q E D 9 J . E L A
11
PASAMOS EL PLANO DE CANTO POR EL PUNTO R
E S d e g i c u i ó n n d a
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PASO 6: QH
PH 9 POSICION ARBITRARIA
H F
6 5
Q E D . J E L A
H 1
QH
PH P1 RF
PF KF QF 4.5cm
K1
QF 8
Q E D 9 J . E L A
11
R1
O A N T E C D N O P LA
P1
3
J1
Q1
P
JF
EM VISTA 1 SE TRAZA LA RECTA PQ PERPENDICULAR A LA RECTA JK EN POSICION ARBITRARIA PQ .
SOLUCION FINAL
RH
P M R
PF
F 1 SE LLEVA A dv LA RECTA JK y CON LONGITUD 4.5cm EN POSICION ARBITRARIA .
P M R
Q Q1
SE COMPLETA LA PROYECCION HORIZONTAL DEL PLANO PQR.
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PROBLEMA 3.6:
Una Billa parte del punto P del plano ABC que tiene una orientación de N60°E y una pendiente de 50%SE, rueda sobre este hasta el borde y cae verticalmente sobre el plano DEF, que tiene una orientación de N30°O y una pendiente del 90% SO rodando también sobre este, finalmente por gravedad cae al suelo. Completar las proyecciones principales de los planos dados y determinar la trayectoria, la posición final de la billa y la longitud recorrida. ESCALA 1:10,000 A(6, 10, 15), B(8, - , 18), C(11, - , 14); D(10.5, 6, 13.5), E(9, - , 17), F(6, - , 14); P(7, - , 16) S(- , 1, - )
E S d e g i c u i ó n n d a
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SOLUCION : PASO 1: BH
18
EH
17 16
PH A H
15 14 13.5
CH
FH DH
10
A F
6
DF
6
7
8
9
10.5 11
GRAFICO DE LAS COORDENADAS
E S d e g i c u i ó n n d a
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PASO 2: B1 A1 BH
18 17 16
1 0 0
° E E H N 6 0
C1
PH A H
15 14 13.5
FH
CH DH
H F 10
A F
DF
6
1 6
7
8
9
5 0
10.5 11
1 H
SE COMPLETAN LAS PROYECCIONES DEL PLANO ABC. CON DATO DE N60°E SE TRAZA EL PLANO H1 PERPENDICULAR y EN VISTA 1 SE TRAZA LA PENDIENTE DE 50%SE. TENIENDO EL PLANO DE CANTO.
E S d e g i c u i ó n n d a
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PASO 3: 2
D2 9 0
E2
0 1 0
B1
2 H
BH
18
° E E H N 6 0
17 16
A 1 1 0 0
PH
C1
N 3 0 ° O
A H
15 14 13.5
FH
CH DH
H F 10
A F
DF
6
6
7
8
9
5 0
10.5 11
1 H
DE IGUAL MANERA CON DATO DE N30°O Y PENDIENTE DE 90%SO SE HALLA EL PLANO DE CANTO EN VISTA 2.
E S d e g i c u i ó n n d a
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PASO 4: 2
D2 9 0
E2
0 1 0
B1
2 H
BH
18
E E H N 6 0 °
17 16
A1 1 0 0
PH
C1
N 3 0 ° O
AH
15 14 13.5
FH
CH DH
H F 10
BF
AF CF EF
DF
6
FF
6
7
5 0
8
9
10.5 11
1 H
CON LAS COTAS SE COMPLETAN LAS PROYECCIONES DE AMBOS PLANOS .
E S d e g i c u i ó n n d a
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PASO 5: F2 D2 9 0
E2
0 1 0
B1
2 H
BH
18
E E H N 6 0 °
17 16
A1 1 0 0
PH
C1
N 3 0 ° O
A H
15 14 13.5
FH
CH
1 H
DH
H F 10
5 0
SE TRAZA RECTAS DE MAXIMA PENDIENTE POR AMBOS PLANOS A PARTIR DEL PUNTO P y SE ANALIZA EL RECORRIDO DE LA BILLA
BF
RESP: REC .TOTAL DE 1 A 4
AF CF
SOLUCION FINAL.
EF
DF
6
F
F
6
7
8
9
10.5 11
E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA
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PROBLEMA 3.7:
PQ es una recta que tiene una pendiente de 100% hacia arriba , y esta contenida en el plano ABC. Completar las proyecciones del plano y de la recta, además hallar la pendiente del plano, y de la respuesta en porcentaje. No usar vistas auxiliares.
E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Paso 1
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Paso 2
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Paso 3
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Paso 4
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Paso 5
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Paso 6
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Paso 7
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Paso 8
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Paso 9
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Paso 10
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Paso 11
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA
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PROBLEMA 3.8:
AB, y AD . Son los lados de un rectángulo ABCD., completar las proyecciones y hallar su dimensión verdadera. A(2, 6, 12), B(2, 3, 9), D( 4, 4, -).
E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA PROBLEMA: Paso 1 PROBLEMA:
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA PROBLEMA: Paso 2
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA PROBLEMA: Paso 3
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA PROBLEMA: Paso 4
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA PROBLEMA: Paso 5
Víctor Vidal Barrena
E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA PROBLEMA: Paso 6
Víctor Vidal Barrena
E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA PROBLEMA: Paso 7
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA
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PROBLEMA 3.9:
Una billa parte de un punto M. del plano ABC. Que tiene orientación S60ºE. Y una pendiente del 40%SO. Rueda sobre este hasta el borde y cae verticalmente sobre el plano PQR que tiene una orientación N75ºO y una pendiente del 80%NE, rodando también sobre éste, finalmente por gravedad cae al suelo. Completar las proyecciones principales de los planos dados y determinar la trayectoria, la posición final de la billa y la longitud recorrida.ESCALA:1:1000. A(5, 10, 18), B(8.5, 8, - ), C(12.5, 13, - ), P(12, 5, 16) Q(8, 2, -), R(4, 8, -), M(5, - , 17), suelo(-, 1, -).
E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA 1.- Paso.- grafico de los puntos
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GEOMETR A DESCRIPTIVA 2.- Paso.- unión de los puntos
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GEOMETR A DESCRIPTIVA 3.- Paso.- se completan las proyecciones de ambos planos
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA 4.- Paso.- se completan las proyecciones de ambos planos
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E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR A DESCRIPTIVA 5.- Paso.- se completan las proyecciones de ambos planos
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GEOMETR A DESCRIPTIVA 6.- Paso.- solución final
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GEOMETR A DESCRIPTIVA
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PROBLEMA 3.10:
O es el centro de un triangulo equilátero. ABC. Este plano tiene una orientacion de S60ºE. Y pendiente de 40ºSO . Hallar las proyecciones del mencionado triangulo.
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GEOMETR A DESCRIPTIVA 1.- Paso.-con dato de la dirección.
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GEOMETR A DESCRIPTIVA 2.- Paso.-con dato de la dirección y pendiente
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GEOMETR A DESCRIPTIVA 3.- Paso.- grafico del triángulo
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