7. FLESSIONE SEMPLICE
La flessione semplice (N=0) si può avere solo nei Campi 2, 3, e parte del Campo 4 nei quali la sezione è parzializzata con armatura inferiore tesa (Fig. 7.1). O
d' A's
B 2
h 2
Gc
d
h
b
1
c
a 3 h 2
As
cu
d
e
4
A
d' b
ud
yd
x
cu
O b
2
yd
B
c d
e
3
Fig. 7.1
In realtà, però, è impossibile che la sezione pervenga alla crisi per flessione semplice nel Campo 2, in quanto in tale campo entrambe le armature risultano tese mentre la zona di calcestruzzo compressa è limitata alla sola fascia di copriferro; ciò comporta che per soddisfare la condizione di equilibrio alla traslazione sarebbe sufficiente una percentuale di armatura inferiore ai limiti minimi di Normativa (l’armatura minima regolamentare in zona tesa è pari a A s,min
= 0.26 f ctm f yk bd e comunque non minore di 0.0013bd).
Analogamente Analogamente è poco probabile che si verifichi la rottura per flessione semplice nel Campo 4, limitatamente alla parte in cui l’armatura inferiore è tesa ed elastica. In tale situazione infatti sarebbe richiesta una percentuale di armatura eccedente il limite fissato dalla Normativa per motivi tecnologici (in generale l’area di armatura tesa o compressa non deve superare individualmente A s,max
= 0.04 A c , essendo Ac l’area della sezione trasversale
di calcestruzzo). Nel linguaggio tecnico si parla di rottura duttile duttile nel Campo 3 (armatura tesa snervata e rottura nel cls per accorciamento limite pari ad
εcu ) e di rottura fragile nel fragile nel Campo 4 (rottura
per schiacciamento della fibra di cls più sollecitata ed armatura tesa in campo elastico).
Metodo Metodo semiprobabilisti co agli stati limit e
59
7.1. Sezion e rett angolare a sempl ice armatur a Si determinano dapprima le percentuali di armatura corrispondenti alle rette limite “c” e “d” di separazione dei campi di rottura dove è possibile avere solo flessione. La conoscenza di queste grandezze è essenziale per individuare il campo in cui si verifica la rottura della sezione. In corrispondenza della retta limite “c” (Fig. 7.2) risulta: Fs
= k ⋅ f yd ⋅ A s = k ⋅ f yd ⋅ ρc ⋅ b ⋅ d
C = 0.8 ⋅ x c ⋅ b ⋅ f cd
sforzo di trazione nell’armatura
= 0.8 ⋅ 0.049 ⋅ b ⋅ d ⋅ f cd = 0.0392 ⋅ b ⋅ d ⋅ f cd
sforzo di compressione nel cls
La condizione di equilibrio alla traslazione (N=0) conduce a: Fs
= C ⇒ ρc = 0.0392
f cd . k ⋅ f yd
(7.1)
Analogamente, per la retta limite “d” risulta: Fs
= f yd ⋅ A s = f yd ⋅ ρd ⋅ b ⋅ d
C = 0.8 ⋅ x d ⋅ b ⋅ f cd
sforzo di trazione nell’armatura
= 0.8 ⋅ 0.65 ⋅ b ⋅ d ⋅ f cd = 0.52 ⋅ b ⋅ d ⋅ f cd Fs
= C ⇒ ρ d = 0.52
sforzo di compressione nel cls f cd f yd
.
(7.2)
O
B 2
h 2
xc
C C
xd
c
Gc
d
h
b
f cd
cu
4 3 h 2
A s
b
d
e
c
A
Fs
Fs
Retta limite "c"
Retta limite "d"
d' ud
b
yd
x
Fig. 7.2
Pertanto, note le caratteristiche geometriche della sezione (b, d, A s) e quelle meccaniche dei materiali (f cd, f yd), è possibile valutare immediatamente dell’armatura
il rapporto geometrico
ρ = A s bd e confrontarlo con i valori di ρc e ρd . Se risulta ρc ≤ ρ ≤ ρd la rottura
della sezione avviene nel Campo 3; se invece risulta
ρ > ρd la sezione raggiunge la crisi per
flessione semplice nel Campo 4.
Metodo semiprobabilisti co agli stati limit e
60
A titolo esemplificativo si quantificano i rapporti geometrici
ρc e ρd assumendo le
seguenti qualità dei materiali: acciaio B450C
f yk = 450 MPa
⇒ f yd = f yk / γs = 450 / 1.15 = 391.30 MPa
k=1 (si trascura l’incrudimento dell’acciaio) f cd = αccf ck/γc = 0.85*25/1.5 = 14.17 MPa
calcestruzzo C25/30
f ctm=0.30 f ck2/3=0.30*25 2/3=2.56 MPa Il valore minimo del rapporto geometrico stabilito dalla Normativa è pari a:
ρmin =
A s,min b⋅d
= 0.26
f ctm f yk
= 0.26
2.56 450
= 0.00148 ≅ 0.15% (> 0.13%) .
Dalle relazioni (7.1) e (7.2) si ottiene:
ρ c = 0.0392
14.17 391.3
= 0.0014 = 0.14%
;
Risulta quindi, per le qualità dei materiali assunti,
ρ d = 0.52
14.17 391.3
= 0.0188 = 1.88% .
ρc < ρmin < ρd ossia che, adottando il
valore minimo regolamentare del rapporto geometrico di armatura, la sezione perviene alla rottura nel Campo 3. Si osserva inoltre che il tener conto dell’incrudimento dell’acciaio comporterebbe solo la riduzione di
ρc e non avrebbe alcuna influenza sulla modalità di
rottura della sezione.
7.1.1. Progett o della sezione In fase di progetto i termini noti sono: - le caratteristiche dei materiali: f ck, f yk; - il momento di calcolo agente: Msd; - il valore del copriferro: d’. Le incognite sono: - le dimensioni geometriche della sezione: b ed h; - l’area di acciaio: As; - la retta di rottura, ovvero il valore di “x” ad essa relativo. Le equazioni a disposizione sono quelle di equilibrio alla traslazione e alla rotazione per cui occorre fissare preventivamente due delle quattro incognite. In genere è preferibile fissare preventivamente la “x”, per rispettare la condizione di duttilità (rottura nel Campo 3). L’altra incognita da fissare è la dimensione geometrica condizionata dal contesto strutturale (la base “b” nel caso di travi emergenti o alte, l’altezza “h” nel caso di travi a spessore di solaio o piatte). In definitiva si hanno le seguenti incognite: b, As nel caso di travi piatte h, As nel caso di travi alte.
Metodo semiprobabilisti co agli stati limit e
61
Valutate le resistenze di calcolo f cd, f yd e assunto k=1 (si trascura per semplicità l’effetto dell’incrudimento dell’acciaio che offre comunque un contributo poco significativo), per il progetto delle travi a spessore di solaio le due equazione di equilibrio:
⎧Fs = C ⎨ ⎩MRd = 0.8f cdbx (d − 0.4 x )
⎧f yd A s = 0.8f cdbx ⎨ ⎩MSd = MRd = 0.8f cdbx (d − 0.4 x )
⇒
forniscono direttamente la soluzione. Dalla seconda, infatti, posto M Rd=MSd, si ricava: b=
MSd 0.8f cd x (d − 0.4 x )
e conseguentemente dalla prima: A s
=
0.8f cdbx . f yd
Per il progetto delle travi alte risulta opportuno esprimere le due equazioni di equilibrio in termini di ξ=x/d:
⎧f yd A s = 0.8f cdbx ⎨ ⎩MSd = MRd = 0.8f cdbx (d − 0.4x )
⎧⎪f yd A s = 0.8f cdbξd ⎨ ⎪⎩MSd = 0.8f cdbξd2 (1 − 0.4ξ )
⇒
Dalla seconda equazione si ricava: d=
MSd 0.8f cdbξ(1 − 0.4ξ )
=
r (ξ ) =
con
1 0.8ξ(1 − 0.4ξ )
MSd f cdb
= r (ξ)
MSd f cdb
1 0.8ξ(1 − 0.4ξ )
parametro che può essere tabellato in funzione di ξ (Tab. I). Noto “d”, dalla prima equazione si ricava l’area dell’armatura: A s
= 0.8
f cd bξd . f yd
Quest’ultima relazione permette di esprimere il rapporto geometrico di armatura funzione di
ρ in
ξ nel Campo 3: ρ = 0. 8
f cd f yd
ξ
e tabellarlo al variare delle caratteristiche meccaniche dei materiali acciaio e calcestruzzo (Tab. I).
Metodo semiprobabilisti co agli stati limit e
62
B450C
f yk 450 MPa
) 1 = K ( 3 o p m a C
=x/d
x
0,0490 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3100 0,3200 0,3300 0,3400 0,3500 0,3600 0,3700 0,3800 0,3900 0,4000 0,4100 0,4200 0,4300 0,4400 0,4500 0,4600 0,4700 0,4800 0,4900 0,5000 0,5100 0,5200 0,5300 0,5400 0,5500 0,5600 0,5700 0,5800 0,5900 0,6000 0,6100 0,6200 0,6300 0,6400 0,6410
0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8
f yd 391,3 MPa s (x) 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
eyd 0,196%
C20/25
C25/30
C28/35
C35/45
C40/50
C45/55
f cd 11,33 MPa
f cd 14,17 MPa
f cd 15,87 MPa
f cd 19,83 MPa
f cd 22,67 MPa
f cd 25,50 MPa
0,001135 0,002317 0,003476 0,004634 0,005793 0,006951 0,007183 0,007415 0,007646 0,007878 0,008110 0,008341 0,008573 0,008805 0,009036 0,009268 0,009500 0,009732 0,009963 0,010195 0,010427 0,010658 0,010890 0,011122 0,011353 0,011585 0,011817 0,012049 0,012280 0,012512 0,012744 0,012975 0,013207 0,013439 0,013671 0,013902 0,014134 0,014366 0,014597 0,014829 0,014852
0,001419 0,002896 0,004344 0,005793 0,007241 0,008689 0,008979 0,009268 0,009558 0,009847 0,010137 0,010427 0,010716 0,011006 0,011296 0,011585 0,011875 0,012164 0,012454 0,012744 0,013033 0,013323 0,013613 0,013902 0,014192 0,014481 0,014771 0,015061 0,015350 0,015640 0,015930 0,016219 0,016509 0,016799 0,017088 0,017378 0,017667 0,017957 0,018247 0,018536 0,018565
0,001589 0,003244 0,004866 0,006488 0,008110 0,009732 0,010056 0,010380 0,010705 0,011029 0,011353 0,011678 0,012002 0,012327 0,012651 0,012975 0,013300 0,013624 0,013949 0,014273 0,014597 0,014922 0,015246 0,015570 0,015895 0,016219 0,016544 0,016868 0,017192 0,017517 0,017841 0,018166 0,018490 0,018814 0,019139 0,019463 0,019787 0,020112 0,020436 0,020761 0,020793
0,001987 0,004055 0,006082 0,008110 0,010137 0,012164 0,012570 0,012975 0,013381 0,013786 0,014192 0,014597 0,015003 0,015408 0,015814 0,016219 0,016625 0,017030 0,017436 0,017841 0,018247 0,018652 0,019058 0,019463 0,019869 0,020274 0,020680 0,021085 0,021491 0,021896 0,022301 0,022707 0,023112 0,023518 0,023923 0,024329 0,024734 0,025140 0,025545 0,025951 0,025991
0,002271 0,004634 0,006951 0,009268 0,011585 0,013902 0,014366 0,014829 0,015292 0,015756 0,016219 0,016683 0,017146 0,017609 0,018073 0,018536 0,019000 0,019463 0,019927 0,020390 0,020853 0,021317 0,021780 0,022244 0,022707 0,023170 0,023634 0,024097 0,024561 0,025024 0,025487 0,025951 0,026414 0,026878 0,027341 0,027804 0,028268 0,028731 0,029195 0,029658 0,029704
0,002555 0,005213 0,007820 0,010427 0,013033 0,015640 0,016161 0,016683 0,017204 0,017725 0,018247 0,018768 0,019289 0,019811 0,020332 0,020853 0,021375 0,021896 0,022417 0,022939 0,023460 0,023981 0,024503 0,025024 0,025545 0,026067 0,026588 0,027109 0,027631 0,028152 0,028673 0,029195 0,029716 0,030237 0,030759 0,031280 0,031801 0,032323 0,032844 0,033365 0,033417
r
5,10100 3,60844 2,97746 2,60643 2,35702 2,17597 2,14547 2,11652 2,08900 2,06281 2,03785 2,01403 1,99129 1,96954 1,94873 1,92879 1,90968 1,89134 1,87372 1,85680 1,84053 1,82487 1,80979 1,79527 1,78127 1,76777 1,75474 1,74217 1,73003 1,71830 1,70697 1,69602 1,68542 1,67518 1,66526 1,65567 1,64638 1,63738 1,62867 1,62024 1,61941
Tab. I
Metodo semiprobabilisti co agli stati limit e
63
7.1.2. Verific a della sezion e Nella verifica della sezione sono noti (Fig. 7.3): - il momento flettente di calcolo MSd, ricavato in base alla combinazione di carico fornita dalla normativa; - le caratteristiche geometriche della sezione: b, h, d, d’; - le caratteristiche meccaniche dei materiali: f ck , f yk; - l’area di acciaio As. Le incognite sono: - la retta di rottura, ovvero il valore di x (ovvero ξ=x/d) ad essa corrispondente; - il momento resistente di calcolo della sezione M Rd. La verifica è soddisfatta se:
MSd .
MRd
Si procede come segue: 1)
si valutano ρ, f cd, f yd, εyd;
2)
noto ρ si conosce il campo in cui avviene la rottura della sezione (Tab. I);
3)
si ricerca la retta di rottura, cioè l’esatto valore di x, nel campo determinato al punto 2);
4)
si valuta il momento resistente di calcolo MRd e si esegue il confronto con M Sd. xc h 2
c4
f cd
cu
B
c x
v=sx C
3
xd
Gc
d
h
O
z h 2
d Fs
A s d' yd
b
s
x O
c4
f cd
cu
B h 2
xd
d
Gc
d
h
v=sx
e
C
x
z
4
h 2
Fs
A s d' b
yd s
x
Fig. 7.3
Metodo semiprobabilisti co agli stati limit e
64
In merito ai primi due punti vale quanto detto precedentemente. Per determinare l’effettiva retta di rottura, ossia la x, si sfrutta l’equazione di equilibrio alla traslazione C=F s. Sia nel Campo 3 che nel Campo 4 tale equazione assume l’unica espressione generale: 0.8 ⋅ f cd ⋅ b ⋅ x
= σs ⋅ A s
(7.3)
con la seguente particolarizzazione della tensione nell’armatura:
⎡ ⎤ ε −ε d− x σs = ⎢(k − 1) s yd + 1⎥ f yd con ε s = εcu ≥ ε yd x εud − ε yd ⎥⎦ ⎢⎣ σs = Es ⋅ ε s
con
d−x εcu x
εs =
per il Campo 3
≤ ε yd
per il Campo 4
In particolare nel Campo 3 di rottura duttile, assumendo k=1 e quindi
σs = f yd , la (7.3)
fornisce: x
=
f yd ⋅ A s
.
0.8 ⋅ f cd ⋅ b
Dividendo ambo i membri per l’altezza utile “d” si ottiene:
ξ=
x d
=
f yd ⋅ A s 0.8 ⋅ f cd ⋅ b ⋅ d
=
ω 0.8
avendo indicato con
ω=
f yd ⋅ A s f cd ⋅ b ⋅ d
(7.4)
il rapporto meccanico dell’armatura, parametro che tiene conto globalmente delle caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione. Anche in base al parametro
ρ tramite la relazione ω =
ω , che può essere immediatamente espresso in funzione di
f yd ⋅ A s f cd ⋅ b ⋅ d
=
f yd f cd
ρ , è possibile individuare il campo in cui avviene la
rottura della sezione per flessione semplice. Basta infatti confrontare il valore del rapporto meccanico della sezione (7.4) con i due valori relativi alle rette limite “c” e “d” che, adottando gli stessi materiali assunti in precedenza, sono espressi da:
ωc =
f yd f cd
ρc =
0.0392 k
;
ωd =
f yd f cd
ρ d = 0.52 .
Nota la retta di rottura si passa al calcolo del momento resistente della sezione M Rd tramite l’equazione di equilibrio alla rotazione della coppia costituita dalle risultanti di trazione e compressione agenti nella sezione: MRd = C z
oppure
MRd = T z
dove:
Metodo semiprobabilisti co agli stati limit e
65
C = 0.8f cd b x
;
T = σs As
e “z” è il “braccio della coppia interna”: z = d - v =d - sx = d - 0.4 x . Il momento resistente assume quindi equivalentemente una delle seguenti espressioni: MRd = 0.8 f cd b x ( d - 0.4 x) MRd =
σs As (d - 0.4 x)
con σs fornita in precedenza per i due campi di rottura. Calcolato MRd, la verifica si conduce con la seguente relazione: MRd ≥ MSd
Se la verifica non è soddisfatta si può operare in tre modi distinti. Si limita la discussione al solo Campo 3 assumendo k=1.
-
1a modalità) Si aumenta l’armatura As. Ciò comporta un incremento di x
=
f yd ⋅ A s 0.8 ⋅ f cd ⋅ b
, ossia un abbassamento dell’asse neutro e
di conseguenza un avvicinamento alle zone di rottura fragile. Essendo M Rd = f yd As (d - 0.4 x) si ha una contemporanea riduzione del braccio della coppia interna (d - 0.4 x) che attenua il beneficio dell’incremento di armatura.
-
2a modalità) Si incrementa l’altezza utile “d” della sezione. Questa è certamente la soluzione migliore. Infatti se si incrementa “d”, a parità di area di
cls compressa, l’asse neutro risulterà spostato verso l’alto, ossia si riduce “x”; ciò comporta uno spostamento della retta limite verso zone a più elevata duttilità ed un aumento sensibile del braccio della coppia interna (e di M Rd), grazie al contemporaneo incremento di “d” e decremento di “x”.
-
3a modalità) Si incrementa la larghezza “b” della sezione. Anche in questo caso si ha una riduzione di “x” e quindi un miglioramento del
comportamento della sezione risultando più duttile. Di contro però l’incremento del braccio della coppia interna, e quindi del momento resistente, è dovuto alla sola riduzione di “x”.
Metodo semiprobabilisti co agli stati limit e
66
