Verifiche Slu e Sle Travi Precompresse

Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria Teor ia delle Esercitazioni

Anno Accademico 2007/08

Progetto di un elemento in C.A.P.: Verifiche secondo il Metodo Semiprobabilistico agli Stati Limite

Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria Teor ia delle Esercitazioni


SOMMARIO Stati Limite Ultimi: - Verifica a Flessione; - Verifica a Taglio. Stati Limite di Esercizio: - Limitazione delle tensioni in esercizio; - Fessurazione (Formazione delle Fessure); - Deformazione.

Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni


Verifiche allo S.L.U.: Combinazioni di Carico

gq qk gg (gk+g’k)



Verifica allo S.L.U. per Flessione Mentre nelle strutture in c.a. la verifica alle tensioni ammissibili avviene su sezione parzializzata così come la verifica a rottura e, quindi, il superamento delle sollecitazioni di servizio non comporta una modifica del meccanismo resistente, nelle sezioni precompresse, al crescere dei carichi esterni, la sezione passa dalla situazione integra a quella fessurata con una significativa variazione di inerzia e di modulo resistente. Ipotesi su cui si fonda la verifica allo S.L.U. per tensioni normali di un elemento in C.A.P.: - si assumono per il calcestruzzo e per l’armatura lenta gli stessi legami costitutivi e gli stessi valori di deformazione ultima considerati per le sezioni in c.a. ordinario ( ecu =0.0035, e su =0.010 ); - per l’armatura presollecitata può ancora adottarsi un legame tra tensione e deformazione di tipo elastico-perfettamente plastico con limite elastico pari alla tensione limite elastica convenzionale di progetto f pd ; - la tensione di progetto si ottiene come per l’armatura lenta dividendo quella di snervamento caratteristica (f pyk , f p(0.2)k , f p(1)k a seconda dei materiali) per il g m pari ad 1.15; - la deformazione ultima deve tener conto dello stato di deformazione relativa tra l’armatura presollecitata ed il calcestruzzo .



Verifica allo S.L.U. per Flessione PRE- TENSIONE La deformazione relativa iniziale edec,0 tra acciaio presollecitato e calcestruzzo è pari alla deformazione iniziale dovuta alla pre-tensione. A questo valore va sottratto quello relativo alle deformazione relativa acciaio-calcestruzzo che determina le cadute di tensione  per effetti differiti: e dec  e dec,0 

  e spi Es

    v  r   sp     ril E s   Es

POST- TENSIONE La deformazione relativa iniziale edec,0 tra acciaio presollecitato e calcestruzzo è pari alla deformazione iniziale è pari alla somma della deformazione di trazione nell’armatura e della deformazione di compressione del calcestruzzo sulla stessa fibra. Anche in questo caso bisogna sottrarre la variazione relativa di deformazione che si traduce nella caduta di tensioni  per effetti differiti: e dec  e dec, 0 

    v  r   sp  c0      e spi  c0   ril  Es Ec  Es E Ec s 



ESEMPIO NUMERICO: TRAVE POST-TESA Valutazione della deformazione di decompressione edec I valori delle tensioni nei cavi calcolati nella sezione di mezzeria al netto delle cadute di tensione sono riportate nel seguito. co,s=0.69 MPa t D e i n a s g i o r n a i m a m l a T I R O

ei

co,i=13.63 MPa

Ec  9500 fck  81 / 3  34526MPa Ep  200000 MPa

e dec  e dec,0 

fpd 

1300  1130.4 MPa 1.15

    v   r      e spi  c0   ril  Ep Ec Ep  

 sp  c0   Ep Ec cavo

ei [cm]

1 2 3

89.0 99.0 99.0

p c0 [MPa] [MPa] 942.61 12.452 936.80 13.041 946.49 13.041

edec 0.005074 0.005062 0.005110



Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO Fase 1: Ricerca dell’asse neutro

Nc ( yc )  Ns ( yc )  Np ( yc )  0 1a iterazione: yc  0.259  d  0.259  220  10   54.39 cm

deformazione di congruenza

ep,i’

edec,i

Livello armatura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

As

yi 2

[mm ]

[mm]

678 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226

35 80.8 124.8 230.8 490.8 750.8 1020.8 1290.8 1550.8 1810.8 2039.1

Nc ( yc )  A( yc )  fcd' 208520  22  4597249 .7 N Ns ( yc )   As,i   s,i  121650 N  dec,1=

0.00511

i

 p,1'=

0.0094

 p,1=

0.01448

ei

i

N

 dec,2=

0.00515

 p,2'=

0.0100

 p,2=

0.01516

0.003275 0.002980 0.002697 0.002015 0.000342 -0.001331 -0.003069 -0.004806 -0.006479 -0.008153 -0.009622

[MPa] 330.43 330.43 330.43 330.43 71.76 -279.59 -330.43 -330.43 -330.43 -330.43 -330.43

[N] 224035 74678 74678 74678 16217 -63188 -74678 -74678 -74678 -74678 -74678

 dec,3=

0.00519

 p,3'=

0.0100

 p,3=

0.01521

 p,1=

-1130.435 MPa  p,2= -1130.435 MPa  p,3= -1130.435 MPa

NP,1= -1260246.38 N NP,2= -1680297.1 N NP,3= -1680297.1 N

Np ( yc )   Ap,i   p,i  4620840 N i

N( yc,1 )  Nc ( yc,1 )  Ns ( yc,1 )  Np ( yc,1 )  145241N  yc 1  

N1 145241   74.86 mm 0 8 b f' 0 8 110 22 0



Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO Fase 1: Ricerca dell’asse neutro

Nc ( yc )  Ns ( yc )  Np ( yc )  0 2a iterazione: yc,2  yc,1   yc,1  0.259  d  61.88 cm

Nc ( yc,2 )  A( yc,2 )  fcd' 219300 22.0  4834916N Ns ( yc,2 )   As,i   s,i  75773 N

ep,i’

edec

i


As [mm2]

yi [mm]

ei

678 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226

35 80.8 124.8 230.8 490.8 750.8 1020.8 1290.8 1550.8 1810.8 2039.1

0.003302 0.003043 0.002794 0.002194 0.000724 -0.000747 -0.002274 -0.003801 -0.005272 -0.006743 -0.008034

i [MPa] 330.43 330.43 330.43 330.43 152.00 -156.84 -330.43 -330.43 -330.43 -330.43 -330.43

N [N] 224035 74678 74678 74678 34352 -35446 -74678 -74678 -74678 -74678 -74678

 dec,1=

0.00511

 p,1'=

0.0078

 p,1=

0.01292

 dec,2=

0.00515

 p,2'=

0.0084

 p,2=

0.01353

 dec,3=

0.00519

 p,3'=

0.0084

 p,3=

0.01357

 p,1=

-1130.435 MPa  p,2= -1130.435 MPa  p,3= -1130.435 MPa

NP,1= -1260246.38 N NP,2= -1680297.1 N NP,3= -1680297.1 N

Np ( yc )   Ap,i   p,i  4620840 N i

N( yc,2 )  Nc ( yc,2 )  Ns ( yc,2 )  Np ( yc,2 )  138302N yc,3  yc,1 

yc,2  yc,1  N1  58.22 cm N N



Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO yc,3  yc,1

3a iterazione: yc,2  yc,1   N1  58.22 cm N2  N1

Nc ( yc,3 )  A( yc,3 )  fcd' 214040 22.0  471899N


Ns ( yc,3 )   As,i   s,i  96676 N

ep,i’

edec

As [mm2]

yi [mm]

ei

678 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226

35 80.8 124.8 230.8 490.8 750.8 1020.8 1290.8 1550.8 1810.8 2039.1

0.003290 0.003014 0.002750 0.002113 0.000550 -0.001013 -0.002636 -0.004259 -0.005822 -0.007385 -0.008757

i [MPa] 330.43 330.43 330.43 330.43 115.44 -212.77 -330.43 -330.43 -330.43 -330.43 -330.43

N [N] 224035 74678 74678 74678 26089 -48087 -74678 -74678 -74678 -74678 -74678

i

 dec,1=

0.00511

 p,1'=

0.0085

 p,1=

0.01363

 dec,2=

0.00515

 p,2'=

0.0091

 p,2=

0.01427

 dec,3=

0.00519

 p,3'=

0.0091

 p,3=

0.01432

 p,1=

-1130.435 MPa  p,2= -1130.435 MPa  p,3= -1130.435 MPa

NP,1= -1260246.38 N NP,2= -1680297.1 N NP,3= -1680297.1 N

Np ( yc,3 )   Ap,i   p,i  4620840 N i

N( yc,3 )  Nc ( yc,3 )  Ns ( yc,3 )  Np ( yc,3 )  1473N  yc 3  

N3 1473 H   0.75 mm  0 8 b f' 0 8 110 22 0 1000



Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO MR,cd ( yc )  Ac  yG,c  fcd' 4192.65 kNm Livello armatura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

As [mm2]

yi [mm]

ei

678 226 226 226 226 226 226 226 226 226 226 452

35 80.8 124.8 230.8 490.8 750.8 1020.8 1290.8 1550.8 1810.8 2039.1 2165

0.003290 0.003014 0.002750 0.002113 0.000550 -0.001013 -0.002636 -0.004259 -0.005822 -0.007385 -0.008757 -0.009514

i [MPa] 330.43 330.43 330.43 330.43 115.44 -212.77 -330.43 -330.43 -330.43 -330.43 -330.43 -330.43

Ni [N] 224035 74678 74678 74678 26089 -48087 -74678 -74678 -74678 -74678 -74678 -149357

ei [mm] 1075.0 1029.2 985.2 879.2 619.2 359.2 89.2 -180.8 -440.8 -700.8 -929.1 -1055.0

MR,sd,i [Nmm] 240837391 76858866 73573023 65657127 16154269 -17272797 -6661301 13501830 32918177 52334525 69383572 157571130

yG,c

MR,sd ( yc )   As,i   s,i  ei  774.85 kNm i

cavo 1 2 3

ei [cm] 89.0 99.0 99.0

p [MPa] 942.61 936.80 946.49

c0 [MPa] 12.45 13.04 13.04

edec 0.005074 0.005062 0.005110

p [MPa] -1130.435 -1130.435 -1130.435

Np,i [N] -1260246.4 -1680297.1 -1680297.1

MRp,i [Nmm] 1121619275 1663494130 1663494130

MR,pd ( yc )   Ap,i   p,i  ei  4448 .61 kNm i

M ( ) M

( ) M

( ) M

( ) 9416 11 kNm



S.L.U. per Flessione - COMMENTI Nel calcolo che è stato mostrato la ricerca dell’asse neutro e la valutazione del momento MRd della sezione precompressa è stato valutato considerando anche il contributo dell’armatura non pre-sollecitata. Questo fatto si giustifica con l’opportunità in questa sede di mostrare il gioco dei vari contributi ed, in particolare, di far vedere come diversa sia la determinazione della deformazione delle armature presollecitate (per le quali bisogna sommare la deformazione di decompressione al valore che deriva dalla linearità del diagramma delle sollecitazioni) e di quella dolce che va considerata in maniera simile a quanto visto per il c.a. ordinario. In realtà si vede che il contributo dell’armatura “dolce” è molto limitato rispetto agli altri due (nel caso in oggetto è minore del 10% rispetto al totale). In via semplificata esso potrebbe essere trascurato; nei casi in cui sia noto il centro di degli sforzi di trazione allo S.L.U. (come quando le armature presollecitate sono concentrate in una zona limitata) e quello delle tensioni di compressione (il baricentro dell’ala superiore) il valore del momento ultimo può essere facilmente stimato come segue:

MR,d ( yc )  Ap fpd  d  s / 2  4620.84  2050  200/ 2  9010.64 kNm Nel caso in esame, la stima del momento flettente tramite la formula semplificata comporta un errore minore del 5% rispetto al valore ottenuto tramite il procedimento rigoroso. N.B.: nell’esempio numerico il valore di f pd è soltanto indicativo. Valori più realistici si ottengono da f ptk/gs ( 1800/1.15).



VERIFICHE A TAGLIO

–

SISTEMA POST-TESO

Effetti benefici della precompressione sulla resistenza a taglio della trave: Riduzione della caratteristica tagliante (per effetto del tracciato curvilineo del cavo)

Tensioni principali di trazione ridotte per la presenza dello stato di sollecitazione di compressione  

Minore inclinazione delle bielle compresse di calcestruzzo per effetto dell’azione di compressione  1   2  42 2 2

C.A.O. C.A.P.



VERIFICHE A TAGLIO

N Ne M   y   y A I I

  tg     S   b z

SISTEMA POST-TESO

Limiti in termini di tensione principale di trazione

T y Sx  y  Ix b



–

  ,0

 0.02 Rckj

  ,0

 0.08 Rckj

  ,1

 0.02 Rck

  ,1

 0.06 Rck

La tensione principale di trazione deve essere calcolata sulle fibre dove è massima la  o è minima la : -la fibra baricentrica; -la fibra di attacco tra anima ed ala superiore (tiro) o inferiore (esercizio).

S   Nst  S  tg   

Nst  st nst nb s   b z tg     b z



VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESO - esempio numericoRck= Ec =

Corda 1

EP=  c0=

2

2000000 kg/cm 2 240 kg/cm 2

 c1=

40 kg/cm 2 190 kg/cm

 c1t=

30 kg/cm

 c0t=

Corda 2

2

500 kg/cm 2 345253 kg/cm

2

Limitazione su : 0,02Rck=

2 10 kg/cm

Corda 3

Limitazione su : 0,24Rck=

2 120 kg/cm



VERIFICHE A TAGLIO

–

SISTEMA PRE-TESO

Effetti benefici della precompressione sulla resistenza a taglio della trave: Riduzione della caratteristica tagliante (per effetto del tracciato curvilineo del cavo)

I cavi hanno generalmente tracciato rettilineo

Tensioni principali di trazione ridotte per la presenza dello stato di sollecitazione di compressione

Minore inclinazione delle bielle compresse di calcestruzzo per effetto dell’azione di compressione

“[…] Nella verifica a taglio delle travi la cui armatura sia ancorata per aderenza non si dovrà tenere conto della precompressione nel tratto terminale compreso fra la testata ed una sezione posta a distanza della testata stessa pari a settanta volte il maggior diametro (effettivo od equivalente) sia per i fili ad aderenza migliorata sia per trecce o trefoli. In questo tratto, nei riguardi delle sollecitazioni tangenziali e del calcolo delle staffe e delle eventuali armature longitudinali aggiunte, valgono i criteri adottati per le opere in conglomerato cementizio armato normale di cui al punto 3.1. […]”



Verifica allo S.L.U. per TAGLIO Resistenza in assenza di armature



Verifica allo S.L.U. per TAGLIO Esempio numerico k

1

 cp



200 2100

g P N A



 1.309

 min

0.9  4045  103 6528  10

2

 0.035  k 3/ 2 f ck 1/ 2  0.035  1.30 3/ 2401/ 2  0.329

 6.20 MPa  0.2 f ck  0.2  40  8.0 MPa

1/ 3    100   l  fck  V  0.18  1.302  0.15   80  2100  cp553.23 kN Rd  1.5   1.3   g k  g' k   1.5  qk  L  0.9  N  sin   V Ed 

2



1.3  16.32  5.40   1.5  14 2

 32  0.9  480  356.09 kN

Nel caso preteso il contributo dello sforzo di precompressione deve essere



Verifica allo S.L.U. per TAGLIO Esempio numerico



Verifica allo S.L.U. per TAGLIO Progetto dell’armatura trasversale

Resistenza di calcolo con armatura trasversale V Rcd  0.9  d  bw   c 

V Rsd  0.9  d 

Asw s

1 1   f cp cd  c  1.25  2.5  1  cp 

f cd ctg  ctg 2



2 1  ctg 

 f sd  ctg  ctg  sin 

VRcd     VEd

pst,max

 s  0.9  d 

1.0  ctg   2.5

Asw VEd

 fsd  ctg

cp  0 per 0  cp  0.25f cd per 0.25f cd  cp  0.5f cd per 0.5f cd  cp  f cd per

f cd





Verifiche allo S.L.E.: Combinazioni di Carico



Verifica allo S.L.E. di FORMAZIONE delle FESSURE: ESEMPIO La normativa impone che risulti:

N N  e Mfess    fcfm A Wi Wi

 N N  e  Mfess  Wi   fcfm   A Wi  

dove:

fcfm  1.2  0.30  fck2 / 3  1.2  0.30  402/ 3  0.44 MPa Assumendo i seguenti valori numerici:

N= e=

3850 kN 96.29 cm

A= Wi=

si ottiene:

Mfess  1.27  1.2 Mmax

6528 cm2 2 381559 cm

N Ne  A Wi  1.2 N Ne   A Wi

fcfm 

Mfess  Mmax   c1t



Verifica allo S.L.E. di Limitazione delle Tensioni in Esercizio nel conglomerato Le tensioni normali di esercizio non devono superare a compressione i seguenti valori limite: a) in ambienti poco aggressivo e moderatamente aggressivo per combinazione di carico combinazione di carico

rara: 0,60 f ck ;

quasi permanente: 0,45 f ck .

b) in ambiente molto aggressivo: per combinazione di carico combinazione di carico

rara: 0,50 f ck ;

quasi permanente: 0,40 f ck .

Verifiche Slu e Sle Travi Precompresse

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