CacaCapítulo 5
CAPACITORES Y DIELÉCTRICOS 5.1 Capacitor Es un dispositivo formado por dos conductores muy próximos uno al otro y con cargas de igual magnitud pero de signos diferentes Este dispositivo cumple con la siguiente relación: = C.V
q: carga de cualquiera de los conductores a ó b. V: diferencia de potencia entre a y b. C: constante de proporcionalidad, entre la carga q y la diferencia de potencial V, llamada CAPACITANCIA del capacitor. En el S.I la unidad de capacitancia es el FARADIO (F). FARADIO = COULUMB VOLTIO Submúltiplos: 1µF= 1pF=
5.2 Cálculo de la capacitancia
F (µ F: microfaradio) microfaradio) F (p F: picofaradio)
5.2.1 Es un capacitor de places paralelas
C=
5.2.2 En un capacitor cilíndrico
=longitud del capacitor (
>> b)
5.2.3 En una esfera conductora aislada
C=4
R: radio de la esfera
5.3 Asociación de capacitores 5.3.1 En serie
= = +
5.3.2 En paralelo
=
5.2.1 Es un capacitor de places paralelas
C=
5.2.2 En un capacitor cilíndrico
=longitud del capacitor (
>> b)
5.2.3 En una esfera conductora aislada
C=4
R: radio de la esfera
5.3 Asociación de capacitores 5.3.1 En serie
= = +
5.3.2 En paralelo
=
5.4 Energía almacenada en un campo electrónico
W
= U =
5.4.1 Densidad de energía ( )
( “E” es el campo eléctrico creado en el capacitor).
5.5 Capacitor de placas paralelas con un dieléctrico. Se cumple que:
U = : Constante dieléctrica, (diferencia para cada material). NOTA: la capacitancia de cualquier tipo de capacitor aumenta en el factor k. Si el espacio entre sus placas se llena con un dieléctrico. 5.5.1 Campo eléctrico en el dieléctrico: E=
Donde es el valor de la carga inducida por unidad de área sobre las superficies del dieléctrico. NOTA: Al insertar el dieléctrico sin aceleración, el sistema formado por el capacitor más el dieléctrico, realizarán trabajo positivo sobre el agente que insertar el dieléctrico, dado por: W=
5.3.2 La densidad de energía viene dado por: 5.6 La ley de Gauss y los dieléctricos
-
5.6.1 Cuando no existe dieléctrico
–
5.6.2 Cuando existe dieléctrico
– -
es la carga superficial inducida en el dieléctrico, diferente de la carga Luego de (I) y (II):
E=
También:
q’ = q
=
En conclusión, la ley de Gauss para un capacitor con dieléctrico es:
–
→
–
NOTA: Esta última, relación deducida para un capacitor de placas paralelas es válida en general y es la forma usual en que se escribe la ley de Gauss cuando existe dieléctricos. Debe notarse que “q” es sólo la carga libre del capacitor
CAPACITORES Y DIELÉCTRICOS
La diferencia de potencial, entre las armaduras de un condensador que se encuentran separadas 0,1 m, es igual a 3000 voltios, una esferita de masa 3,0 gramos y carga "-q" se encuentran sujeto a una de las placas mediante un hilo se seda. Hallar "q". g = 10 N/Kg Solución:
Realizamos el D.C.L cargada:
de la esfera
De la condición de equilibrio, la fuerza resultante es igual a cero. Del triángulo de fuerzas. q , E =mg . . . . . ( 1 )
Cálculo de la intensidad del campo homogéneo: V=E.d
Reemplazamos datos en (1):
E=
:
E=3.
N/C
q = 1,0 µ C
La diferencia de potencial entre las placas de un condensador es 240 KV. Determinar el trabajo realizado por un agente externo para trasladar una carga q = 50 µ C, desde el punto A hasta la posición B.
solución:
diferencia de potencial entre las placas del condensador, es igual al producto de la intensidad del campo homogéneo "E" por la distancia entre las placas.
ΔV = E.
; 240KV = E ( 3d )
E.d = 80 KV . . . . . ( 1 ) Diferencia de potencial entre los puntos A y B: (
- ) = E . d = 80 KV
>
Trabajo realizado para trasladar la carga "q":
= q ( - ) . . . . . ( 2 ) Reemplazando datos en ( 2 ):
= 50.C ( 80 000 V ) = +4J 3. Es una de las placas de un condensador plano de capacidad "C" hay una carga "+q" y en la otra, una carga "+4q". Hallar la diferencia de potencial entre las placas del condensador.
Solución:
Añadamos a cada placa la carga q´ = 5q/2 ( semisuma de las cargas de las placas tomada con signo contrario ). Entonces el condensador resultará cargada "normalmente" y las cargas de las placas serán ±3q/2. La diferencia de potencial entre las placas será: V=
=
Pero los campos de las cargas ±3q/2 de las placas dentro del condensador se componen uno a otro. Por consiguiente, las cargas que hemos añadido no cambian el campo entre las placas ni la diferencia de potencial en el condensador.
4. en un condensador plano una armadura tiene carga = +70 µC y la otra, la carga = +10 µC. Dentro del condensador, y paralela a las armaduras, se coloca una placa metálica sin carga. ¿Qué magnitud de carga se inducirá en las superficies izquierda y derecha de la placa?
Solución:
En principio le daremos la forma natural de un condensador, mediante el siguiente artificio: a cada placa le añadimos la carga q´ = - ( + )/2 (semisuma de las cargas de las placas tomada con sigo contario). Entonces el condensador resultará cargado con la siguiente magnitud:
Q=
y signos diferentes:
Luego: Q = 30 µ C
Cuando colocamos el metal entre las placas del condensador, la placa metálica se polariza, por consiguiente: q=Q=
= 30 µ C
5. Una partícula penetra en un condensador plano paralelamente a sus láminas con una velocidad igual a = 1000 m/s. La partícula tiene una masa m = kg y carga eléctrica
q = 200 µ C. Hallar el ángulo " α " que forma la velocidad de la partícula, cuando sale del condensador, respecto de la horizontal; sabiendo que la intensidad del campo eléctrico es E = 1000 N/C , además: L =0,05 m. Deprecie el campo gravitatorio. Solución:
En el eje X, la fuerza resultante es igual a cero, sobre la partícula, entonces se cumple el M . R . U: e=
. t
L=
. t
t=
.....(1)
Cálculo de la aceleración en el je y, de la segunda Ley de Newton:
a=
=
a = . . . . . ( 2 )
Cálculo de la velocidad final en el eje y: Reemplazando ( 1 ) y (2 ) en ( 3 ):
Cálculo del ángulo " α ": Tg α = α
De los datos α =
= arc Tg
= + . t . . . . . ( 3 ) = . . . . . . ( 4 )
=
* +
.
6. Una esferita de masa "m" y de carga "+q" está suspendida de un hilo delgado de longitud "L" dentro de un condensador plano de láminas horizontales. La intensidad del campo del condensador es igual a "E", las líneas de fuerza están dirigidas hacia abajo, Se pide encontrar el período de oscilaciones de este péndulo. Solución:
El periodo de un péndulo depende de la longitud del hilo y de la "gravedad efectiva" del campo donde se encuentra oscilando. T=2π
......(1)
La esferita se mueve por acción de dos fuerzas "mg" y "qE" constantes en módulo, dirección y sentido, por consiguiente se puede determinar un campo de fuerzas equivalente al sistema. Cálculo de la gravedad efectiva.
Ley de Newton: =
......(2)
Reemplazando ( 2 ) en ( 1 ): T=2π
*+
7. Dentro de un condensador plano cuyo campo tiene una intensidad igual a "E", gira uniformemente una esferita de masa "m" y carga eléctrica "+q", suspendida de un hilo de longitud "L", el ángulo de
inclinación del hilo respecto a la vertical es igual a "α". Hallar la velocidad angular de la esferita.
Solución:
En principio la esferita se mueve en una superficie equipotencial eléctrica y gravitatoria, describiendo una trayectoria circular. Haciendo el D. C. L de la esferita y aplicando las leyes de Newton.
∑F (radiales) = m . T.senα = m .
. R
..... (1)
pero: R = L . sen α En ( 1 ):
T = m.
. L
.....(2)
*∑Fy = 0 → T. cosα = m . g + q E Reemplazando ( 2 ) en ( 3 ): Despejando tenemos:
ω
m. =
.....(3)
. L . cos α = mg + q . E
√
8. En el circuito eléctrico mostrado, determinar la carga acumulada por el capacitor de 6 µ F, sabiendo que la diferencia de potencial entre los extremos A y B es 10 voltios. Solución:
Los condensadores de capacidad 3 µ F y 6 µ F están instalados en serie, por consiguiente almacenan igual cantidad de
carga “q”. Los condensadores de capacidad 2 µ F y 6 µ F están instalados en paralelo, por consiguiente las cargas acumuladas serán q y 4q respectivamente. Analizando el condensador equivalente:
5 q = ( 10 V ) (10
q = 20 µ C Luego, la carga acumulada en cada placa, por el condensador de 6 µ F es 20 µ C. 9. En el circuito eléctrico mostrado, determinar la carga acumulada por el capacitor de 3 µ F, sabiendo que la diferencia de potencial entre los puntos A y B son 30 voltios. Solución:
Cuando dos ( o más ) condensadores están instalados en paralelo, las cargas aculadas, las cargas acumuladas son directamente proporcionales a sus capacitores. Cuando dos ( o más ) condensadores están instalados en serie, todos los condensadores en serie almacenan igual cantidad de carga independientemente de sus capacidades.
Luego la capacidad equivalente,
= 2 F, almacena en cada
placa una carga de magnitud “3q”.
= .
;
3 q = 60 µ C
;
3 q = ( 30 V ) ( 2 µ F ) q = 20 µ C
Finalmente, el condensador de 3 µ F almacena en cada placa una carga de magnitud 60 µ C. 10. Entre las placas de un condensador plano de
área “A” y distancia de separación “a” entre las placas. Existe un perfil metálico de altura “b” cuyas bases tienen igual área que las placas del condensador, dicho perfil se desplaza verticalmente sin ponerse con ninguna de las placas. Determinar la capacidad equivalente del sistema así formado. Solución:
El sistema equivalente es igual a la asociación de dos condensadores instalados en serie. El perfil metálico se polariza, tal que, en su interior el potencial eléctrico es constante y el campo eléctrico es nulo.
donde:
= .
y
Reemplazando en ( 1 ): Luego:
= . . . . . ( 1 ) = . ; x + y = ( a – b ) = . = .
11. Un condensador de placas paralelas de capacidad 6 µ F es cargado con 12 µ C. Este condensador se conecta a un condensador de capacidad 2 µ F descargado, como indica la figura. La carga que al final adquiere el condensador de 2 µ F será:
Solución:
Al cerrar los interruptores, se establece un flujo de cargas eléctricas entre las armaduras de los condensadores, debido a la diferencia de potencial. El flujo de cargas cesa cuando las armaduras alcanzan igual potencial eléctrico. Por consiguiente
los condensadores están sometidos a la misma diferencia de potencial “V”. Entonces las cargas almacenadas por cada condensador serán directamente proporcional a sus capacidades. Principio de conservación de las cargas eléctricas:
=
;
12 µ C = q + 3q
carga almacenada por el capacitor 2 µ F:
q=3µC
12. la capacidad equivalente entre los puntos X é Y es 14 µ F. Calcular la capacidad equivalente entre los puntos Y é Z. Solución:
Capacidad equivalente entre los puntos X é Y:
= C + 2 µ F = 14 µ F C = 12 µ F
Capacidad equivalente entre los puntos Y é Z:
= 7 µ F 13. Determinar la capacidad equivalente, de los condensadores, idénticos de capacidad “C” cada uno, entre los puntos 1 y 2.
Solución:
Todos los puntos de un alambre conductor poseen el mismo potencial eléctrico.
Se puede observar que la diferencia de potencial entre las placas del condensador es constante, eso quiere decir que están instalados en paralelo.
=la3Ccapacidad equivalente, de los condensadores idénticos de capacidad “C” 14. determinar cada uno, entre los puntos 1 y 2.
Solución:
Todos los puntos de un alambre conducto poseen el mismo potencial eléctrico.
Analizando la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador.
Finalmente:
= 2 C
15. hallar la capacidad del sistema de condensadores idénticos entre los puntos 1 y 2.
Las cuatro láminas son idénticos de área “A” y separadas la misma distancia “d”. Además:
C=
.
Solución: Analizando la diferencia de potencial entre las placas.
Con cuatro láminas se puede formar tres ( 3 ) capacitores. La capacidad equivalente:
Luego:
= + C
= c
16. hallar la capacidad del sistema de condensadores idénticos entre los puntos 1 y 2.
Las cuatro láminas son idénticos de área “A” y separadas la misma distancia “d”.
Además:
C=
.
Solución: Analizando la diferencia de potencial entre las placas.
Con cuatro láminas se pueden formar ( 3 ) condensadores: Luego, la capacidad de potencial entre las placas:
17. Hallar la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 del circuito, si la f . e . m, es = 110 V.
Solución:
La diferencia de potencial entre 1 y 2 es:
=
…..(1)
b) Los condensadores en serie, acumulan igual cantidad de carga. Los condensadores en paralelo, acumulan cargas cuya magnitud es directamente proporcional a sus capacidades.
c) La capacidad equivalente es: Luego:
.C
→
= C
110 V =
d)
→
= 20 V
. . . . .( 2 )
Reemplazamos (2) en (1):
= 10 V
18. Un condensador de capacidad =3 se conecta, por medio del conmutador K, primero con una batería de f. e . m = 7 V y después, con un condensador sin carga de capacidad = 6 . Hallar la carga final acumulada por cada condensador.
Solucion:
1)Primer caso: instalado con la batería de la carga acumulada.
= 7 V. Cálculo
q= . q = 7 V.3
= 21 . . . . . (1) 2) Segundo caso: instalado con el condensador . La carga “q” se reparte directamente proporcional a las capacidades y , debido a que la diferencia de potencial entre las placas es el mismo para ambos capacitores. V=
= → = → = 2
. . . . . (2)
3) Por el principio de conservación de las cargas eléctricas. q= Luego
+
→
21 µ C =
+
= 7 C y = 14 µ C
19. la figura muestra un hexágono regular junto con sus diagonales, en cada segmento se instala un condensador de capacidad igual a
“C”. El hexágono se conecta a un circuito entre los puntos 1 y 2 como se indica en la figura. Encontrar la capacidad equivalente al sistema. Solución: En el caso dado es fácil observar que el esquema posee un eje se simetría, todos los puntos contenidos en el eje plano de simetría se encuentran a igual potencial eléctrico. Por consiguiente los puntos , y tienen igual potencia e igual semisuma de los potenciales de los puntos 1 y 2.
De acuerdo a la regla establecida estos tres puntos
, y ; se
pueden unir en uno solo llamado. “M”, como resultado de esto la asociación de condensadores considerado se descompone en dos sectores unidos en serie uno de los cuales se indica en la figura ( a ). Cálculo de la capacidad equivalente entre los puntos 1 y 2.
= 20. determinar la capacidad entre los puntos A y B de un circuito ilimitado formado por la
sucesión de una cadena de condensadores idénticos de capacidad “C” cada uno:
Solución:
Luego:
=+
;
Resolviendo la ecuación de 2do grado:
+ . - = 0√ (√ ) C
=
21. La figura muestra dos capacitores en serie, en donde la sección rígida central de
longitud ”b” se puede desplazar verticalmente. Demostrar que la capacitancia equivalente de la combinación en serie es independiente de la posición de la sección central y esta dado por: C=
Solución:
Para capacitores planos se tiene que:
C=
Pero la capacidad equivalente C del sistema es: En la figura tenemos: De donde:
C=
= + = +
= =
Que es independiente de la posición. 22. entre las placas de un capacitor de placas paralelas se induce una placa de cobre cuyo
espesor es “b”, tal como se muestra en la figura. La placa de cobre esta justamente a la mitad entre las placas del capacitor. ¿Cuál es la capacitancia? a) antes y b) después de introducir el cobre? Solución:
a) Para capacitores de placas paralelas sin dieléctrico se tiene: C=
b) cuando se introduce el dieléctrico de cobre se forma en este caso dos capacitores iguales en serie cada una con una capacidad de:
= Luego la capacidad equivalente es: Pero en la figura tenemos que:
C=
= =
= C=
23. cuando el interruptor S de la figura se mueve hacia la izquierda, las placas del capacitor adquieren una diferencia de potencial . Los condensadores y están inicialmente descargados. A continuación se mueve el interruptor hacia a derecha. ¿Cuáles son las cargas finales , y , en los capacitores correspondientes?
Solución:
a) Al mover el interruptor S hacia la izquierda el condensador adquiere la carga = mientras que y están descargados.
b) En seguida movemos el interruptor S hacia la derecha.
Entonces la carga se reordena en los “3” condensadores así se tiene que:
= + +
;
= V +
Siendo V el potencial común:
* + Entonces la nueva carga es: = = . Entonces:
24. dos capacitores ( 1, 0 µ F ) y ( 3, 0 µ F ) se cargan al mismo potencial V ( 100 V ) pero con l polaridad opuesta, de tal
forma que los puntos “a” y “c” se encuentran del mismo lado de las respectivas placas positivas del mismo lado de las respectivas placas negativas ( véase la figura ). A continuación se cierran los interruptores y .
a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos e y f?
? c) ¿Cuál es la carga ? b) ¿Cuál es la carga
Solución: Como ambos se cargan a 100 V y conocemos sus capacidades podemos hallar sus cargas:
= . V = ( 100 ) → = C = . V = 3. ( 100 ) → = 3 . C Al cerrar los interruptores existe reordenamiento de cargas, hasta que las potenciales se iguales. Pero hay que tener presente que ponen en contacto dos conductores de signos opuestos. El potencial común es: De donde:
=
= 3 . . . . . . ( I )
Además por conservación de la carga: De ( I ) y ( II ):
0,5.
Y el potencial común es:
+ = + = 2. . . . . . ( II ) y
= =50 V
25. Determinar la capacidad equivalente entre los puntos los puntos X e Y de la figura. Supóngase
que = 10 µ F y que todos los demás capacitores son de 4,0 µ F. (Sugerencia: aplicar una diferencia de potencial V entre X e Y, y escribir todas las relaciones en la que intervengan las cargas y las diferencia de potencial de los capacitores por separado). Solución:
Redibujando la red tenemos
Si aplicamos una diferencia de potencial V entre X e Y, tenemos que = ya que las caídas de voltaje por la rama es igual a la de la rama - (conexión tipo “PUENTE DE WHEATSTONE”) por lo que = 0, entonces queda anulada
Por lo tanto la red equivalente será: Operando con los capacitores en serie de cada rama tenemos:
= = 2 µ F
;
= = 2 µ F
Luego tenemos:
Ce =
+
Ce = 4 µ F
26. Un capacitor esférico consta de dos esferas huecas concéntricas de radios a y b, en donde b > a. a) Demostrar que su capacitancia es: C = 4
b) ¿Se reduce este resultado (con a = R) a C = 4
R cuando b → ?
Solución: a) De la figura tenemos que:
= - . . . . . .(1)
Pero:
= K = K
. . . . . (2) . . . . . (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1) tenemos que:
= Kq
. . . . . (4)
Además sabemos que:
C= C= C=
Reemplazando (5) en (4):
. . . . . (5)
C=4
; = 0, entonces: =kq .
b) Cuando b →
Luego:
C=
; C=
C=4
a
27. Dos esferas metálicas de radios a y b se interconectan con un alambre delgado. Su separación es grande comparada con sus dimensiones. Al sistema se le suministra una carga Q y entonces se desconecta el alambre. a) ¿Cuál es la carga sobre cada esfera? b) Demostrar que la capacidad del sistema es C = 4
(a + b).
Solución:
a) Al suministrar una carga Q al sistema ésta se distribuye en las dos esferas por intermedio del alambre. Entonces:
Q=
+ . . . . . (α)
Además el flujo de cargas termina cuando los potenciales son iguales, luego:
= K
= K
=
. . . . . (β)
Ahora reemplazando ( β) en (α) se obtiene:
= . Q
= . Q
Y
b) Por definición, la capacidad del sistema es: Reemplazando valores:
NOTA: V =
C= C=
C=
→
C=4
(a + b)
= - . = Voltaje del sistema.
28. Un capacitor de placas paralelas tiene placas de área A, separadas por una distancia d y se carga hasta una diferencia de potencial V. A a continuación se desconecta la batería de carga y las placas se separan hasta una distancia 2 d. Encontrar una expresión en términos de A, d y V para: a) la nueva diferencia de potencial. b) la energía inicial y final almacenada. c) el trabajo necesario para separar a las placas.
Solución:
y relacionamos la: =
a) Para hallar la relación entre
= y Ahora como = tenemos que:
= → = 2 V
b) Inicialmente la energía almacenada es:
= .
= .A.d = . . A.d
= .A.(2d) = . . A.
La energía almacenada final es:
=
→
= 2
c) El trabajo necesario para separar a las placas es: W =
= -
29. Una esfera metálica aislada de 10 cm de diámetro tiene un potencial de 8 000 V. ¿Cuál es la densidad de energía en la superficie de la esfera?.
Solución: La densidad de energía está dado por: Pero: Además:
C C = U=
v=
= . . . . . (1)
. . . . . (2) . . . . . (3)
Reemplazando (3) en (2) tenemos:
U=
Reemplazando (4) en (1), obtenemos:
. . . . . (4)
v=
Reemplazando valores tenemos:
v=
v = 0,11 J/
30.
a) Si la diferencia de potencial a través de un capacitor cilíndrico se duplica, ¿Por qué factor cambia la energía almacenada en el capacitor?. b) Si se duplican los radios de los cilindros interno y externo, manteniendo constante la carga almacenada. ¿Cómo cambia la energía almacenada?.
Solución:
– Entonces tenemos que: - = - ∫ dr = ∆ V = ∫ ∫ = ∆ V = = (condensador cilíndrico) Capacidad = C =
a) Sabemos que el campo es: E =
Entonces si la diferencia de potencial se duplica:
= C y = C C Se observa que: ∆ U = Se tiene:
∆
U=3
Luego el cambio de energía almacenada es “3” veces la inicial. b) Si se duplican los dos radios entonces la capacidad es constante y si además la carga no cambia, entonces el potencial no cambia. Luego NO existe variación de la energía almacenada.
31. Los radios de las placas de un capacitor cilíndrico, como el mostrado en la figura, son a y bDemostrar que la mitad de la energía potencial eléctrica almacenada se encuentra dentro de un cilindro cuyo radio es: r=
√
Solución: Por fórmula sabemos que la capacidad para capacitores es: C=
También se sabe que: q = C . V y U = C .
(b > a)
Luego para el capacitor formado por los cilindros de radio a y b.
=
= · . . . . . . (1) Y para el capacitor que se formaría con cilindros de radios a y r.
= · · . . . . . (2) Ahora por condición: = . . . . . (3) Reemplazando (1) y (2) en (3):
· · = * = · = r = √
+
32.
Demostrar que las placas de un capacitor de placas paralelas se atraen con una fuerza dada por la expresión: Probar esta fórmula calculando el trabajo necesario para aumentar la separación entre las placas de x hasta x + d x.
Solución: Sabemos que: W =
C . = ·
Cuando se separan las placas de x a x + d x, la carga no varía pero si la capacidad
. . . . . (1)
dW= ·
Pero:
d W = F . dx . . . . . (2)
De (1) y (2) tenemos que: F . dx = · · dx
F= ·
33.
Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal como se muestra en la figura. Demostrar que la capacitancia equivalente está dada por: C=
Comprobar ésta fórmula en todos los casos límite que pueden ocurrir. (Sugerencia: ¿Se puede justificar este sistema como una combinación de dos capacitores conectados en paralelos?). Solución:
El sistema equivalente es igual a la asociación de dos condensadores en paralelo, siendo el área de las placas
“A/2”. En el sistema real se puede observar que la diferencia de potencial es el mismo para ambos dieléctricos.
Luego:
C=
+
. . . . . (α)
: = = = = . . . . . ( ϒ ) Cálculo de : Reemplazando ( β ) y ( ϒ ) en ( α ): C = · + A Cálculo de
C=K
* *
= = K, se tiene que: C = Si = A y = 0 = K Si
Luego:
C=K
. . . . . (β)
C=K
34. Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, como se muestra en la figura. Demostrar que su capacitancia está dada por:
Comprobar esta fórmula en todos los casos límites posibles. (Sugerencia: ¿Se puede justificar este sistema como la de dos capacitores conectados en serie? ). Solución:
el sistema equivalente es igual a la asociación de dos condensadores en serie, siendo la distancia de separación entre
las placas “d/2”. En el sistema real se puede observar que en cada dieléctrico “resultante parcial” en diferente.
= + C = . . . . . ( α ) = . . . . . ( β ) Cálculo de : = . Cálculo de : = . = . . . . . ( ϒ ) Luego:
Reemplazando ( β ) y ( ϒ ) en ( α ):
C=
* Si
= = se tiene que: C =
C=
35. un capacitor de palcas paralelas tiene placas de a,12 de area, separadas una distancia de 1,2 cm. Una batería carga a las placas hasta una diferencia de potencial de 120 V y después se desconecta. Entre las dos placas se coloca, de manera simétrica un material dieléctrico de 0,4 cm de espesor y constante dieléctrica igual a 4,8. a) b) c) d)
Encontrar la capacitancia antes de introducir el dieléctrico. ¿Cuál es la capacitancia cuando se coloca el dieléctrico? ¿Cuál es la carga libre q anotes y después de introducir el dieléctrico? Determinar el campo eléctrico en el espacio intermedio entre las placas y el dieléctrico. e) ¿Cuál es el campo eléctrico en el dieléctrico? f) Al colocar el dieléctrico en su posición, ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las dos placas? g) ¿Cuál debe ser el trabajo extremo realizado en el proceso de introducción del material dieléctrico? Solución:
a) La capacidad antes de introducir el dieléctrico es:
= . = 8,85.
Reemplazando valores:
F b) Aplicando la Ley de Gauss se encuentra que:
=
,
=
,
=
En seguida aplicamos la integral de línea:
V = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx ( ( b ) + ( d - – b ) De donde:
= = *+ Capacidad:
Reemplazando valores: C =
C = 120,23.
c) La carga libre antes y después es la misma, puesto que es la carga en las placas del conductor. q=
. V
q = 1,068.
d) El campo eléctrico entre el dieléctrico y la placa es:
= = =
=
V/m
e) El campo eléctrico en el dieléctrico es:
=
=
f) Al introducir el dieléctrico la diferencia de potencial entre las placas es:
= = g) El trabajo para introducir el dieléctrico es equivalente a:
=
W=
= 1,7. J
36. La figura muestra un dieléctrico de espesor b y constante dieléctrica k colocado dentro de un capacitor de placas paralelas, cuyas placas están separadas una distancia d tiene un área A. Cuando todavía no se ha introducido el dieléctrico, al capacitador se le aplica una diferencia de potencial A continuación se desconecta la batería y se introduce el dieléctrico. Suponiendo que A = 100 ,d= 1 cm, b = 0,5 cm, K = 7 y = 100 V.
a) ¿Cuál es la energía que se almacena en los espacios con aire? b) ¿Cuál es la energía que se almacena en el dieléctrico?
Solución:
U = ( volumen ) U = ( volumen ) . . . . . ( 1 )
Sabemos que: Pero :
a) Calculamos primero Ē en el espacio vacío: Por la Ley de Gauss, para S.G , tenemos:
①
k Ē . d – = A = q = = = v/m
;
= =
Luego reemplazamos en ( 1 ) y efectuando obtenemos:
J
Nótese que en este caso hemos trabajado con k = 1, debido a que la superficie sobre la cual se calcula la integral del flujo, no pasa a través del dieléctrico. b) Para este caso se sabe que: E =
/ k , luego:
V/m J
Luego, reemplazamos en ( 1 ) y efectuamos obtenemos: De estos resultados es fácil comprobar que:
37. entre las placas de un capacitor de placas paralelas, separadas una distancia d, se introduce un dieléctrico de espesor b. demostrar que la capacitancia queda determinada por: C=
Solución:
En la práctica se trata de dos condensadores en serie, dieléctrico y el otro en el vacío; donde:
=
y
una
=
= + ; = + = C=
Luego:
(vacío) ( dielectrico) 38. un capacitor de placas paralelas tiene placas de área A separadas a una distancia d. una batería carga a las placas hasta la diferencia de potencial . A continuación se desconecta la batería y se introduce un material dieléctrico de ancho d. ¿Cómo se compara la densidad de energía entre las placas del capacitor antes y después de introducir el material
CASOS ESPECIALES:
b=0 C= k = 1 C = A/d b = d C = A/d
dieléctrico?. Solución:
*Antes de introducir el dieléctrico, tenemos:
= . =
.....(1)
**Después de introducir el dieléctrico tenemos:
C . V = ( K )
(
