CAP-6 Losas y Escaleras

Proyectos Técnicos Estructurales

Prof. Otto Rojas VI

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UNIDAD – 6 DISEÑO DE LOSAS Y ESCALERAS 6.1.- LOSAS Es el elemento donde generalmente se inician los cálculos de una edificación ya que es la estructura que recibe en forma directa las cargas de las personas y sus enseres, adicionalmente a los elementos no estructurales de carácter permanente como tabaquerías y acabados. Como elemento estructural se puede decir que las losas armadas en una o en dos direcciones, nervadas o macizas, son estructuras donde su trabajo se debe esencialmente a la flexión, sin embargo como se pudo ver en el predimensionamiento, predimensionam iento, el efecto más relevante que gobierna el diseño diseño es la flecha y el corte actuante sobre el nervio. De acuerdo al tipo de sistema constructivo existen diferentes tipos de losas nervadas: las losas encofradas, apuntaladas y vaciadas en sitio completamente, y las losas con nervios semiprefabricados. Para el caso de nervios semiprefabricados existen diferentes tipos de bloques en cuanto a material y dimensiones, por lo que estandarizar sus pesos solo dependerá de las características que el fabricante le proporcione al bloque. Existen bloques conocidos como bloques “piñatas” hechos de arcilla, arena-cemento y concreto aligerado, cada uno de estos con diferentes densidades y dimensiones. Los nervios vienen semiprefabricados con una cercha tipo SIDETUR que le proporciona rigidez y capacidad portante para soportar el bloque y el vaciado hasta cierta luz, de tal manera de poderse ahorrar el tablero de encofrado de la placa. Cercha

Fig.6.1 Detalle de losas nervadas semiprefabricada Bloque

Nervio prefabricado Acero de refuerzo positivo

Para este trabajo a manera de ejemplo se usarán losas armadas en una dirección con cargas y pesos descritos en el capitulo 3. En la figura 6.2 se da un pequeño resumen de la configuración de una losa nervada y los posibles pesos propios a emplear.

Loseta t

e Nervios

bo

B

S

bo

Bloques

Pesos aproximado para losas armadas en una dirección con bloques de arcilla bo=10 cm, t=5 cm, B=40 cm

Espesor de losa “ e” 20 25 30

Fig. 6.2 Detalle y pesos de losas nervadas

Peso por m 263 301 350


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Para los efectos de cálculo y diseño, cualquier losa nervada semiprefabricada o no, se analiza igual. Particularmente este autor recomienda el uso del acero diagonal como aporte al corte en losas semiprefabricadas. El acero longitudinal superior de la cercha solo se limita a dar estabilidad como estructura portante para el vaciado, en otras palabras no es aporte como acero negativo. El acero positivo de los cordones inferiores de la cercha deben ser considerados dentro del cálculo siempre y cuando el espaciamiento del apuntalamiento de la placa en la obra no genere esfuerzos considerables en el momento del vaciado, en caso contrario es preferible despreciarlo y colocar el acero de refuerzo completo en el nervio prefabricado. Desde el punto de vista del diseño de los nervios de una losa, todos los nervios que tengan la misma carga y condiciones de soporte se diseñaran igual, por lo tanto para los fines constructivos en los planos se demarcarán las áreas correspondientes a una losa a través de líneas diagonales con un texto que las identifique. Por ejemplo una losa de entrepiso L-1, una losa de techo LT-1 y una losa continua con la escalera L-E, como se muestra en la figura 6.3.

1.20

C 5.20

B

L-E

L-1

L-3

L-1

L-2

5.20

A 1.20

6.10 1

6.40 2

6.10 3

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Fig. 6.3 Nivel de entrepiso y techo. Distribución de losas Como ya se mencionó anteriormente, los nervios de una losa son elementos estructurales que trabajan a flexión como una viga continua teniendo todos el mismo comportamiento, por lo tanto para el análisis y diseño se puede trabajar calculando el nervio en forma individual, o preferiblemente utilizando una faja de ancho unitario para luego transformar los resultados de los aceros por metro en aceros por nervios. La ventaja de trabajar por ancho unitario es que la carga de diseño esta dada por metro cuadrado y los resultados de las reacciones que pasaran a las vigas vendrán dados por metro lineal de viga. De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el único trabajo que faltaría por hacer para el cálculo por faja unitaria, es transformar la sección del nervio a una sección equivalente por metro de ancho. Para ello lo único que habría que hacer es determinar el


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Para los efectos de cálculo y diseño, cualquier losa nervada semiprefabricada o no, se analiza igual. Particularmente este autor recomienda el uso del acero diagonal como aporte al corte en losas semiprefabricadas. El acero longitudinal superior de la cercha solo se limita a dar estabilidad como estructura portante para el vaciado, en otras palabras no es aporte como acero negativo. El acero positivo de los cordones inferiores de la cercha deben ser considerados dentro del cálculo siempre y cuando el espaciamiento del apuntalamiento de la placa en la obra no genere esfuerzos considerables en el momento del vaciado, en caso contrario es preferible despreciarlo y colocar el acero de refuerzo completo en el nervio prefabricado. Desde el punto de vista del diseño de los nervios de una losa, todos los nervios que tengan la misma carga y condiciones de soporte se diseñaran igual, por lo tanto para los fines constructivos en los planos se demarcarán las áreas correspondientes a una losa a través de líneas diagonales con un texto que las identifique. Por ejemplo una losa de entrepiso L-1, una losa de techo LT-1 y una losa continua con la escalera L-E, como se muestra en la figura 6.3.

1.20

C 5.20

B

L-E

L-1

L-3

L-1

L-2

5.20

A 1.20

6.10 1

6.40 2

6.10 3

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Fig. 6.3 Nivel de entrepiso y techo. Distribución de losas Como ya se mencionó anteriormente, los nervios de una losa son elementos estructurales que trabajan a flexión como una viga continua teniendo todos el mismo comportamiento, por lo tanto para el análisis y diseño se puede trabajar calculando el nervio en forma individual, o preferiblemente utilizando una faja de ancho unitario para luego transformar los resultados de los aceros por metro en aceros por nervios. La ventaja de trabajar por ancho unitario es que la carga de diseño esta dada por metro cuadrado y los resultados de las reacciones que pasaran a las vigas vendrán dados por metro lineal de viga. De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el único trabajo que faltaría por hacer para el cálculo por faja unitaria, es transformar la sección del nervio a una sección equivalente por metro de ancho. Para ello lo único que habría que hacer es determinar el


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ancho de la vigueta o nervio el cual se obtiene por simple regla de tres o dividiendo el ancho del nervio entre la separación centro a centro de los mismos.

B=100

Loseta

Loseta

t

t

e bo

Nervios

B

bo

h

Nervio equivalente

Bloques

bo = bo/S

S

Fig. 6.4 Sección de ancho unitario equivalente.

6.1.1.- ANÁLISIS DE LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCIÓN Para determinar los análisis necesarios para el diseño de cualquier elemento estructural, es primordial conocer su comportamiento para poder evaluar los tipos y magnitudes de las solicitaciones, una vez determinado esto, es posible establecer el correcto detallado del armado. En el caso de las losas continuas o no, como ya se mencionó, su comportamiento principal se debe esencialmente a la flexión y corte. En los apoyos la flexión negativa (tracción superior) y en el tramo la flexión positiva (tracción inferior) harán que la disposición del acero sea dispuesto como se observa en la figura 6.5, con un desarrollo longitudinal que dependerá de los diagramas de flexión. El corte que ocurre en mayor magnitud cerca de los apoyos controlaran las exigencias de los macizados de las vigas, de tal manera de evitar la falla por corte de los nervios.

Losa

D.C.

D.M.

As(-)

As(-) As(+)

As(-) As(+)

As(-) As(+)

Aceros

Fig. 6.5 Diagramas de corte y flexión en losas continuas. Disposición de aceros.


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Observando la disposición de los aceros, podemos darnos cuenta de la importancia de obtener los valores máximos de momentos tanto negativos como positivos, por ello es importante saber de la colocación o disposición correcta de las cargas en los tramos para obtener dichos valores. Este trabajo se conoce como movilización de carga viva y esta basado en las líneas de influencia para la solicitación buscada.

Líneas de influencia

Disposición de la carga para momentos máximos negativos y cortes máximos en apoyos.

Disposición de la carga para momentos máximos positivos

Fig. 6.6 Disposición de carga para momentos y cortes máximos. De la figura 6.6, se deduce que para obtener los momentos negativos y cortes máximos en un apoyo cualquiera, la disposición de la carga viva debe ser a ambos lados del apoyo y luego en forma alternada se descarga y carga los otros tramos. Esto significa que para cada apoyo se requiere una disposición diferente originando un análisis diferente. Para el caso de momentos máximos positivos, el tramo donde se requiera conseguir su valor máximo debe ser cargado mientras los tramos adyacentes se descargan, esto genera una disposición alternada de la carga. Para la disposición alternada de carga existen dos posibilidades, una cuando todos los tramos impares están cargados mientras los pares están descargados, la otra posibilidad es cuando los tramos impares se descargan mientras los tramos pares se cargan. Análisis para carga muerta Análisis para solicitaciones en apoyo 1 Análisis para solicitaciones en apoyo 2 Análisis para solicitaciones en apoyo 3 Análisis para solicitaciones en apoyo 4 Análisis para tramos impares Análisis para tramos pares

Fig. 6.7 Movilización de carga en vigas y losas continuas.


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De la figura 6.7, podemos deducir que se requieren para una viga o losa continua de N apoyos, N+3 análisis diferentes, estos son:  Análisis por carga muerta: para la transmisión de carga muerta Ru P.  Análisis por apoyo: para obtener momentos máximos negativos Mu (-), cortes máximos Vu y reacciones máximas Ru. También sirven para obtener las reacciones máximas por carga viva solamente RuV al restar de la reacción máxima la reacción por carga muerta.  Análisis para los tramos impares: con este análisis se obtienen los momentos máximos positivos en los tramos impares Mu (+), y los mínimos en los tramos pares donde ocurrirá posiblemente el levantamiento del tramo y por consiguiente los puntos de inflexión máximos PImax.  Análisis para los tramos pares: similar al caso anterior pero invirtiendo la posición de los tramos.

PImax

PImax

PImax

Mmin(+)

PImax

Mmin(+)

Mmax(+)

Mmax(+)

Fig. 6.8 Estado de cargas para momentos máximos y mínimos positivos. Posición de los puntos de inflexión máximos. Para el cálculo de momentos positivos y puntos de inflexión en vigas continuas con cargas distribuidas constante a lo largo del tramo existen formulaciones útiles y simples que se muestran en la figura 6.9. W XI =

L

VI W

VI XI

VD

M (+) =

MD

a=

VI

XD =

2

2W

− MI =

VD

VD

W

6.1

2

2W

− MD

6.2

XD

MI

M(+) PII

,

2a

PID

2M (+ ) W

6.3

PI I = X I − a

6.4

PI D = X D − a

6.5

Fig. 6.9 Cálculos momentos positivos y puntos de inflexión en vigas continuas.


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Del Capítulo IV se tiene el siguiente resumen de cargas para el ejemplo de la figura 6.3:

Techo

Carga

Servicio Última

CP = 431kg/m WuP = 517kg/m

Entrepiso

CV =100kg/m WuV =160kg/m

CP =571kg/m WuP =685kg/m

CV =250kg/m WuV = 400kg/m

Usando un programa de computación que incluye la movilización de la carga viva, a continuación se presentan los resultados del análisis de la losa L-1 para el entrepiso.

Ejemplo losa L-1: UNIVERSIDAD RAFAEL URDANETA FAC. DE INGENIERIA PROF. O. ROJAS NOMBRE DEL ESTUDIANTE= Alumno NOMBRE DE LA LOSA= L-1 CONCRETO= 250 Kg/cm2 ACERO= 4200 Kg/cm2 REC= 2.5 cm RESUMEN PARA PORTICOS ----------------------------------EJE Rup Ruv Rumax A 2300 1473 3773 B 4168 2600 6768 C 2300 1473 3773 ----------------------------------B T Bo H Wup Wuv Pup Puv

100 5 20 25 685 400 0 0

LUCES

A B C -----+---------------------------+---------------------------+----1.2 5.2 5.2 1.2

MupI MupD VupI VupD MuI MuD VuI VuD Mmax(+) Mmin(+) PId(-) PIi(-) PId(+) PIi(+) AST-I AST-D ASC-I ASC-D ASC AST

100 5 20 25 685 400

100 5 20 25 685 400

100 5 20 25 685 400 0 0

-494

-2069 -494

-494 -2069

822

-494

2083

1478

1478

2083

-782

822

-3421 -782

-782 -3421

1302

-782

3383 2471

2471 3383

2165 684

1302 2165 684

.341

1.269 1.269

.654

.341 1.716

1.716 4.45

1.24 1.24

.654 1.24 4.45

0

1.24

0 0

0 0

0 2.57

0 0 2.57


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En esta salida del computador, se presenta un resumen de las reacciones por carga muerta, vivas y máximas que se trasmiten a las vigas. Seguidamente debajo del esquema de la losa se imprimen los momentos y cortes por carga muerta a la izquierda y a la derecha de cada apoyo, ejemplo, MupI=-2069 marcado en una circunferencia es el momento negativo por carga muerta a la izquierda del apoyo B. Luego se imprimen los momentos y cortes máximos como resumen de cada análisis por apoyo, ejemplo, MuD=-782 es el momento máximo negativo del lado derecho del apoyo A. Luego se imprimen los momentos máximos y mínimos positivos que ocurren al cargar en forma alternada los tramos impares y pares por separado. Luego los puntos de inflexión PId(-) y PIi(-) se corresponden al punto de inflexión a la derecha e izquierda de los apoyos cuando ocurren los momentos máximos negativos, mientras que PId(+) y PIi(+) son los puntos de inflexión a la derecha e izquierda de los apoyos cuando en el tramo correspondiente ocurre el momento mínimo positivo o levantamiento del tramo, ejemplo, el punto de inflexión PId(+)=0.654 y PIi(+)=1.716 son los mas alejados de los apoyos A y B, y ocurren cuando el momento positivo es mínimo Mmin(+)=684 en el tramo A-B o tramo impar uno. Después de los puntos de inflexión, se imprimen los aceros a tracción a la derecha e izquierda del apoyo, así como los respectivos aceros a compresión para los momentos máximos negativos, ejemplo, para el momento máximo negativo a la derecha del apoyo B MuD=-3421, el acero negativo da 2 AST-D=4.45 cm por metro de losa. Finalmente se presentan los aceros a compresión y luego atracción para los tramos cuando ocurren los momentos máximos positivos, ejemplo, para el momento máximo positivo en el tramo dos, Mmax(+)=2165 el acero en el tramo por metro de 2 ancho de losa da AST=2.57 cm .

Diseño a flexión: Para el armado de la losa, se colocaran las barras necesarias para suplir el acero de cálculo convirtiendo el acero por metro a un acero por nervio. Inicialmente se disponen las barras para suplir el acero negativo y positivo. El acero positivo debe penetrar por lo menos 15 cm dentro del apoyo, para este caso si las vigas tiene un ancho de 35 cm, el colocar 5.20 mt como la longitud de las barras hará que estas penetren 17.5 cm. Para el acero inferior del volado, es conveniente colocar por lo menos la mitad del acero negativo para evitar deformaciones a largo plazo, en este caso se colocara una barra #3 ya que es el diámetro mínimo que se puede colocar, por otro lado al darle una longitud de 1.20 mt la cabilla penetrará mas de 15 cm dentro de la viga. Finalmente el acero negativo dentro del volado tendrá una longitud igual al volado más la distancia (a) descrita en la figura 6.10, los otros aceros negativos se colocaran en forma simétrica por la simetría de la losa, cumpliendo con la normativa y las recomendaciones de diseño. Para ello se determinaran las dimensiones (b) y (c) de la figura 6.10. A

B

(c) 1# 3

(a)

(b)

1# 4

C

Acero que sigue 1# 3

1# 4

1# 3 x 1.20

1# 3 x 1.20 2# 3 x 5.20

2# 3 x 5.20

Fig. 6.10 Despiece inicial del acero de la losa


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Para la distancia (a) y (b), las normas establecen que el acero negativo debe llevarse hasta el punto de inflexión más una distancia por seguridad d,12 φ o ln/16, adicionalmente este autor recomienda que por lo menos se debe llevar acero negativo hasta una quinta parte de la luz.

  d   PI +  12φ Longitud ≥  ln/ 16   L  5 

φ= diámetro de la barra donde

6.6 ln= luz libre

Para la distancia (a),

 0.225 = 0.88    .654 + 0.114 = 0.77 = 1.04 ⇒ 1.05mt Longitud ≥  0.303 = 0.96       1.04 Para la distancia (b),

 0.225 = 1.94     1.716 + 0.152 = 1.86  Longitud ≥  = 2.02 ⇒ 2.00mt 0.303 = 2.02      1.04 Para el cálculo de la distancia de corte del acero negativo, esta dependerá de la capacidad del acero que sigue Mur (-) y de los diagramas de momentos negativos cercanos al apoyo. Los diagramas de momentos para este cálculo son los que ocurren cuando se presenta el momento máximo negativo y momento mínimo positivo. El acero se puede cortar a partir de donde el acero que sigue 1#4 sea capaz de soportar cualquier momento negativo. Para ello habría que calcular la distancia que se obtiene de cortar la ordenada Mur (-) y las curvas de diagrama de momento. La longitud mayor de ambos análisis mas una distancia de seguridad igual a d o 12 φ, dará el punto de corte. Este trabajo se hace por equilibrio de diagrama de cuerpo libre resolviendo una ecuación de segundo grado (ver figura 6.11). Mumax(-)

Wu Mur(-)

Mu

Mur X

X

Vu

Mumin(+)

Fig. 6.11 Determinación del punto de corte del acero negativo El momento resistente del acero que sigue por metro se obtiene con, Mur = φ * f ' c * b * d 2 * q (1 − 0.59 * q)

con

q=

As ⋅ fy f ' c ⋅ b ⋅ d

6.7


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2

Para este caso el acero que sigue por metro son 2#4, esto es 2.54 cm . El ancho a compresión es el inferior bo=20 cm y la altura útil d=22.5 cm.

q=

2.54 * 4200 250 * 20 * 22.5

= 0.0948

Mur = 0.9 * 250 * 20 * 22.5 2 * 0.0948(1 − 0.59 * 0.0948) = 2039k − m Conocido los momentos y los cortes en el extremo derecho del tramo, se plantea la ecuación de equilibrio de momentos para los dos casos de diagrama: 1085 Mumax(-)=3421

3421

2039

Mu(-)=2670 Mur(-)=2039

X1=0.519

3383

685 2670

2039

X Mumin(+)=684

X2=0.438

1085

X1

2

2

X2

2143

− 3383 ⋅ X1 + (3421 − 2039) = 0 ⇒ X1 = 0.439mt

2

− 2143 ⋅ X 2 + ( 2670 − 2039) = 0 ⇒ X 2 = 0.31mt 2 Punto de corte o distancia (c) = X + (d ó 12 φ) = 0.439 + 0.225 = 0.664 mt 685

Fig. 6.12 Determinación del punto de corte del acero negativo para el caso de la losa L-1 Excite otro método práctico y conservador para el cálculo del punto de corte partiendo de una simplificación de los diagramas al sustituirlos por una envolvente recta. As=4.45

Envolvente recta

Ass=2.54

X

X = PI

(As − Ass)

X = 1.716

6.8

As (4.45 − 2.54) 4.45

= 0.737mt

PI

en definitiva X = 0.75 mt

Fig. 6.13 Método práctico de cálculo del punto de corte de acero negativo


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A

B

10

C

1# 4 x 1.50 1# 3 x 2.25

1# 3 x 2.25

1# 4 x 4.00

1# 3 x 1.20

1# 3 x 1.20 2# 3 x 5.20

2# 3 x 5.20

Fig. 6.14 Despiece definitivo del acero de la losa Diseño a corte: El corte máximo entre todos los apoyos ocurre en ambos lados del eje B, Vumax= 3383 Kg 2

El corte resistente de una losa de 25cm con concreto f´c=250kg/cm es, Vur = φ * 0.53 f ´c * bo * d *1.1 = 0.75 * 0.53 250 * 20 * 22.5 *1.1 = 3111Kg

Cálculo de longitud del macizado desde el centro del apoyo, Wu = Wup+Wuv=1085kg/m2

Fig. 6.15

X=

L

Diagrama de corte

Vu max − Vur Wu

=

3383 − 3111 1085

= 0.25m

Para un ancho de viga de 35cm,

X

L = 0.25 – 0.35/2=0.075m < 10cm Vu

Vumax

Ya que el macizado de calculo dio menor que el macizado mínimo para el corte mas grande obtenido, se colocará constructivamente en todos los apoyos 10 cm. de concreto como valor mínimo de macizado una vez distribuido el espacio necesario para colocar los bloques y los nervios de amarre. Nervio de amarre

0.80 0.10

0.35 0.125

2.20 0.15

2.20 0.10

Bloques

0.35 0.20

0.20

2.20

0.35

2.20 0.10

0.15

Fig. 6.16 Distribución de macizados, bloques y nervios de amarre.

0.125

0.80 0.10


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Por último para seguir con el diseño de una edificación habrá que trasmitir la carga proveniente de los análisis de las losas hacia las vigas, convenientemente por separado, esto es, reacción por carga muerta Rup y reacción por carga viva Ruv. Wu(Losa) En este caso para este programa de computación se dispone del resumen para pórticos, el cual presenta las reacciones por carga muerta, vivas y máximas por metro lineal de apoyo obtenidas de la suma de los cortes. Dependiendo del tipo Rup / Ruv (Losa) de programa o técnica de cálculo para pórticos, Fig. 6.17 faltaría incluir el peso propio de la viga en la carga muerta para su análisis. Wup / Wuv (Viga) Carga sobre la viga, Wup = Rup + 1.2*PPviga Wuv = Ruv 6.9

6.1.2.- ANÁLISIS DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES Para el análisis de placas constituidas por losas que trabajan en dos direcciones, se puede utilizar el método de distribución de carga por igualación de flechas, el cual es sencillo de aplicar siendo además bastante conservador. Este método permite dividir la placa en fajas en dos direcciones que trabajan en forma desacopladas como si fueran losas armadas en una dirección. El número de losas en ambas direcciones dependerán del número de entrepaños que forma la retícula de los pórticos. LY-1

LY-2

LY-3

Entrepaño

C

Ly2

LX-2

B

Ly1

LX-1

A Lx1 1

Lx2 2

Lx3 3

Fig. 6.18 Losa armada en dos direcciones

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En la figura 6.18 se observa como en la placa se establecen dos losas en la dirección X, estas son LX-1 y la LX-2, mientras que en la dirección Y se forman tres losas, la LY-1, LY-2 y la LY-3. Todos los nervios en una dirección que se encuentren encerrados por la llave que pertenecen a la misma losa. Por otro lado, si la estructura fuese completamente simétrica, esto es, Lx 1=Lx3 y Ly1=Ly2, y la carga sobre la placa fuese la misma en todos lados, entonces la losa LX-1 fuese igual a la LX-2, y la losa LY-1 seria igual a la LY-3. Este método se basa en considerar que cada faja que atraviesa un entrepaño de la retícula, absorbe parte de la carga, en tal sentido, para una faja en dirección X esta absorberá un Wx, y la faja en dirección Y absorberá una carga Wy. Por otro lado las deformaciones que generan flechas fx y fy en ambas direcciones, las cuales deben ser iguales por compatibilidad, dependerán de la carga y las condiciones de borde de las fajas. Wx Wy

Wx fx

Lx Wy Ly fy

Ly Lx

Fig. 6.19 Distribución de carga en losas armadas en dos direcciones Las condiciones de borde a las que se refiere el párrafo anterior, se determinan al verificar la continuidad de los nervios o la placa en la dirección en que se establecen las losas vistas en la figura 6.18. Por ejemplo, un nervio de la losa LX-1 entre los ejes 1 y 2, es simplemente apoyado en el eje 1 mientras que es continuo en el eje 2, mientras que entre los ejes 2 y 3 es continua en ambos lados. La condición de continuidad o no, interviene a la hora de calcular las flechas en el centro de la faja. f = f

1 WL4 384 EI f =

f f

L

f =

2 WL4 384 EI

5 WL4 384 EI

Fig. 6.20 Cálculo de flechas para diferentes condiciones de borde

f = K

WL4 EI 6.10


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La constante K en la Ec.6.10 dependerá de la condición de borde en que se disponga la faja, por lo tanto, en un entrepaño debido a las luces, la carga y las condiciones de borde, habrá en una dirección un (Wx, Lx, Kx) y en la otra un (Wy, Ly, Ky). De acuerdo a todo lo anteriormente expuesto se tiene que, Wx + Wy = W

6.11

Igualado las flechas, fx = fy ⇒ Kx

WxLx 4

= Ky

EI

WyLy 4 EI

6.12

Suponiendo EI igual en ambas direcciones, KxWxLx 4 = KyWyLy 4

6.13

Despejando Wy,

 Kx  Lx    Wy = Wx   Ky  Ly 

4

6.14

Sustituyendo la Ec.6.14 en la Ec.6.11, y despejando Wx, Wx =

W 1 +   Kx



 Lx  Ky  Ly 

6.15

4

Por similitud, Wy =

W Ky 1 +  



 Ly  Kx  Lx 

4

= W − Wx

6.16

De la Ec.6.10, la Ec. 6.15 y la Ec. 6.16, se deduce que la constante Kx y Ky serán 1, 2 o 5 dependiendo de la condición de borde. Por otro lado se puede deducir que para entrepaños donde la relación entre luces ortogonales sea Lmax/Lmin>2, no tiene sentido el armar o poner a trabajar la losa en dos direcciones, ya que la carga hace trabajar la placa casi en su totalidad en la dirección mas corta cuando las condiciones de borde son iguales. Por ejemplo, si Kx=Ky y Lx/Ly=2 se tendrá, W y Wy=(1-0.059)W=0.941W Wx = = 0.059W 4 1 + (1)(2) Como se puede observar la carga se distribuye en un 94% en la dirección mas corta (dirección y) mientras que en la otra dirección (dirección x) solo absorbe el 4% de la carga total. A manera de ejemplo se analizará la placa nervada en dos direcciones de la figura 6.18 suponiendo simetría y luces según la figura 6.21. Para este trabajo es conveniente calcular los porcentajes de carga que se distribuyen en los entrepaños antes de determinar la carga en las losas unidireccionalmenté. Con el fin de simplificar el ejemplo, se tomara una distribución de carga constante en toda la placa, se supondrá que es una losa de techo en obra limpia de espesor de 35 cm. con casetones recuperables de 90cm y nervios de 15 cm de ancho, la carga viva para diseño se tomara 250 Kg/m 2 para tomar en cuenta equipos de aires acondicionados industriales. Peso de la losa, según la Ec.3.4: 2 Loseta = 2400*0.05 = 120 Kg/m , S=B+bo=0.9+0.15=1.05 m 2 2 Nervios = [0.15*1.05+0.15(1.05-0.15)](0.35-0.05)*2400/1.05 =191 Kg/m 2 Peso propio total Pp = 120 + 191 = 311 Kg/m


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Carga muerta, 2 Relleno e impermeabilización = 100 Kg/m 2 2 Wp = 311+100 = 411 Kg/m ⇒ Wup=411*1.2=493 Kg/m Carga viva, 2 Wuv = 250*1.6 = 400 Kg/m Para el Entrepaño-1=3=4=6, % Wx =

1 1 +   Kx



 Lx  Ky  Ly 

4

=

4

=

1

( 2 )(1010)

4

1+ 2

= 0.5

%Wy = (1-0.5) = 0.5

= 0.666

%Wy = (1-0.666) = 0.333

Para el Entrepaño-2=5, % Wx =

1 1 +   Kx Ky   Lx Ly    

LY-1

1

( )(

1+ 1

10 2 10

)

4

LY-2

LY-1

C Entrepaño-4

Entrepaño-5

0.5

Ly2=10.00

Entrepaño-6

0.333 0.5

0.5

0.666

LX-1 0.5

B Entrepaño-1

Ly1=10.00

Entrepaño-2

0.5

Entrepaño-3

0.333 0.5

0.5

0.666

LX-1 0.5

A Lx1=10.00 1

Lx2=10.00 2

Lx 3=10.00 3

Fig. 6.21 Factores porcentuales de distribución de cargas para la losa armada en dos direcciones

4


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Las cargas sobre la losa LX-1 para el primero y tercer tramo serán, Wup = 0.5*493=247 Kg/m Wuv = 0.5*400=200 Kg/m Para el segundo tramo será, Wup = 0.666*493=329 Kg/m Wuv = 0.666*400=266 Kg/m Las cargas sobre la losa LY-1 para el primero y segundo tramo serán, Wup = 0.5*493=247 Kg/m Wuv = 0.5*400=200 Kg/m Las cargas sobre la losa LY-2 para el primero y segundo tramo serán, Wup = 0.333*493=164 Kg/m Wuv = 0.333*400=133 Kg/m 1

2 10.00

10.00

B 10.00

4 10.00

329 / 266

247 / 200

A

3

247 / 200

C

LX-1

Wup/Wuv

10.00

247 / 200

247 / 200

LY-1

164 / 133

164 / 133

LY-2

Fig. 6.22 Cargas sobre las losa unidireccionalmente Usando el mismo programa de cálculo para losas armadas en una dirección, a continuación se presentan los resultados del análisis de las tres losas que conforman la placa armada en dos direcciones de la figura 6.18. Es de hacer notar que para este método de cálculo los cortes y reacciones sobre los apoyos se hará por el método de líneas de rotura, evaluando el corte en los nervios a lo largo de la cara de la viga. Por otro lado esta metodología de diseño es bastante conservadora donde el análisis unidireccional se corresponde casi exclusivamente con los nervios de las fajas centrales, por consiguiente es lógico pensar que el acero de los nervios en los bordes de los entrepaños pudiera disminuirse. Sin embargo, es preferible armar por igual todos los nervios sin ser muy estricto a la hora de ajustar las cantidades de acero requerido con las barras a colocar. Para el armado basado en los resultados que a continuación se presentan, el acero a colocar por nervio se obtiene multiplicando el acero calculado por metro, por la separación “S” centro a centro entre los nervios, esto es, As/N = S*As/M = 1.05*As/M 6.17


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UNIVERSIDAD RAFAEL URDANETA FAC. DE INGENIERIA PROF. O. ROJAS NOMBRE DEL ESTUDIANTE= ALUMNO NOMBRE DE LA LOSA= LX-1 CONCRETO= 250 Kg/cm2 ACERO= 4200 Kg/cm2 REC= 2.5 cm RESUMEN PARA PORTICOS ----------------------------------EJE Rup Ruv Rumax 1 947 900 1847 2 3168 2763 5931 3 3168 2763 5931 4 947 900 1847 -----------------------------------

LX-1

B T Bo H Wup Wuv Pup Puv

LUCES MupI MupD VupI VupD MuI MuD VuI VuD Mmax(+) Mmin(+) PId(-) PIi(-) PId(+) PIi(+) AST-I AST-D ASC-I ASC-D ASC AST

B=100 Loseta

t h Nervio equivalente bo = bo/S=14.3

0 100 100 100 0 0 5 5 5 0 0 14.3 14.3 14.3 0 0 35 35 35 0 0 247 329 247 0 0 200 266 200 0 0 0 0 0 1 2 3 4 +----------------------+----------------------+----------------------+ 0 10 10 10 0 0

-2880 -1

-2880 -2880

0 947 -1

-5544

-5544

3141

2789

2.48 2.239

3.811

0

3.811 5.05 5.05

-.001 0 5.05

0 0

0 3.408

3.408 5.05

0

0 3815 1341

2.239

0

0 1846

3227 232 2.48

0

-1

3141

3815 1341 0

0

-5544

2789 1847

946 1523

-5544

0

0

1645 1644

0

0 -2881

1522

0

0 0

0 0

0 3.13

0 2.64

0 0 3.13

UNIVERSIDAD RAFAEL URDANETA FAC. DE INGENIERIA PROF. O. ROJAS NOMBRE DEL ESTUDIANTE= ALUMNO NOMBRE DE LA LOSA= LY-1 CONCRETO= 250 Kg/cm2 ACERO= 4200 Kg/cm2 REC= 2.5 cm RESUMEN PARA PORTICOS ----------------------------------EJE Rup Ruv Rumax A 926 875 1801 B 3088 2500 5588 C 926 875 1801 ----------------------------------B T Bo H Wup Wuv Pup Puv

LY-1


0 0 0 0 0 0

100 5 14.3 35 247 200

100 5 14.3 35 247 200

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 A B C +----------------------------------+----------------------------------+ 0 10 10 0 0

-3088 0

0 -3088

0

0

1543 926

926 1543

0

0

-5588 0

0 -5588

0

0

2793 1801

1801 2793

3629 1299

0 3629 1299

-.001

2.5 2.499

-.001

0 3.512

3.512 5.1

0 0

0 0 5.1

0

0

0 0

0 0

0 2.98

16

0 0 2.98


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UNIVERSIDAD RAFAEL URDANETA FAC. DE INGENIERIA PROF. O. ROJAS NOMBRE DEL ESTUDIANTE= ALUMNO NOMBRE DE LA LOSA= LY-2 CONCRETO= 250 Kg/cm2 ACERO= 4200 Kg/cm2 REC= 2.5 cm RESUMEN PARA PORTICOS ----------------------------------EJE Rup Ruv Rumax A 615 582 1197 B 2050 1663 3713 C 615 582 1197 ----------------------------------B T Bo H Wup Wuv Pup Puv

LY-2 LUCES MupI MupD VupI VupD MuI MuD VuI VuD Mmax(+) Mmin(+) PId(-) PIi(-) PId(+) PIi(+) AST-I AST-D ASC-I ASC-D ASC AST

0 100 100 0 0 5 5 0 0 14.3 14.3 0 0 35 35 0 0 164 164 0 0 133 133 0 0 0 0 0 A B C +----------------------------------+----------------------------------+ 0 10 10 0 0

-2050 0

0 -2051

0

0

1025 614

614 1025

0

0

-3713 0

0 -3713

0

0

1856 1196

1196 1856

0

2411 862

2411 862

-.001

2.5 2.499

-.001

0 3.513

3.513 3.24

0 0

0 0 3.24

0

0

0 0

0 0

0

0 1.97

LY - 1

0 1.97

LY - 2

LY - 1

C 5 # 1

10.00

5 # 1

4 # 2

5 # 1 + 4 # 1 5 5 # 2

B

5 # 1

# 1

LX - 1

5 # 1

2#5

10.00

5 # 1 + 4 # 1

1#5

2#5 4 # 2

1#5

1#5

2#5

1#4+1#5

5 # 1

LX - 1

2#5

5 # 1

A

10.00

1

1#5

10.00

2

10.00

3

Fig. 6.23 Armado de la placa armada en dos direcciones

4

17


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18

Para la verificación del corte y la trasmisión de cargas a las vigas, se empleará el criterio de distribución de carga de acuerdo a las líneas de rotura de placas. Para ello se establecerán como ángulos de formación de las líneas de rotura los siguientes casos, 30° 45°

45°

60° Condición de bordes diferentes

Condición de bordes iguales

Fig. 6.24 Ángulos de formación de líneas de rotura C

10.00

y1=12.68

B

y2=10.00

y1=12.68

10.00

3.66

A

6.34

5.00

10.00

1

10.00

2

10.00

3

4

Fig. 6.25 Líneas de rotura y áreas de tributarias de cargas sobre las vigas La ordenada de carga muerta y viva (Qup, Quv) sobre las vigas será variable linealmente. Los valores de ordenada máxima serán calculados como el producto de la carga sobre la placa por la distancia perpendicular desde la viga hasta la línea de rotura. En la figura 6.25 esta distancia sobre la viga del eje B, es el doble ya que en ambos lados de la viga la distancia es simétrica y vale 6.34 m para el tramo 1-2 y 5.00 m para el tramo 2-3.


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Suponiendo una viga de 40 x 70 cm, el peso propio de la viga será, Ppviga = 0.40*0.60*2400 = 576 Kg/m ⇒ Ppuviga = 1.2*576 = 691 Kg/m El peso propio de la viga será la magnitud de la carga muerta cuando la ordenada de distancia “ valga cero, esto ocurre en los apoyos.

y”

Las ordenadas de carga dentro del tramo serán, Tramo 1-2:

Qup = 12.68 * 493 + 691 = 6942 Kg/m Quv = 12.68 * 400 = 5072 Kg/m

Tramo 2-3:

Qup = 10.00 * 493 + 691 = 5621 Kg/m Quv = 10.00 * 400 = 4000 Kg/m

1

2

3

10.00

4

10.00

10.00

Qup / Quv 6942 / 5072

6942 / 5072

5621 / 4000 806 / 0

806 / 0

691 / 0

691 / 0 3.66

6.34

5.00

5.00

6.34

3.66

Fig. 6.26 Carga sobre el pórtico B 6.2.- ESCALERAS Las escaleras son los elementos principales destinados para la circulación vertical, y como medio de escape a diferencia de los ascensores, son los más empleados en los momentos de desastres o cuando hay falta de energía eléctrica. Existen diferentes tipos de escaleras en cuanto a configuración y materiales, sin embargo para los efectos de este curso, solo se analizaran las escaleras de concreto armado simples.

6.2.1.- ESTRUCTURACIÓN, TIPOS Y NORMAS DE DISEÑO DE ESCALERAS La escalera consta de varios elementos como lo son: el peldaño, la rampa, el descanso, el arranque, la fundación, viga de descanso, machones, etc. Sin embargo el elemento fundamental que define el paso o suavidad de la escalera es el peldaño. Este consta de dos partes, una horizontal que se denomina huella y otra parte vertical que se llama contrahuella. En edificios normalmente la huella es una medida casi universalmente fija (H=30 cm) así que la pendiente de la rampa queda sujeta a la altura de la contrahuella. Esta altura usualmente se toma alrededor de 17 cm. para obtener una pendiente de 29 °, ángulo que se puede considerar normal. Cuando una escalera disminuye su pendiente se hace mas suave pero mas larga, por lo que se requiere mayor espacio en planta para su ubicación. Por el contrario, si se aumenta su pendiente se hace menos suave consumiendo menos espacio, sin embargo esta ventaja es limitada por el esfuerzo humano requerido para ascender la escalera y el peligro de una caída accidental al descender.


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Llegada

Viga del pórtico Escalón

Descanso Viga de descanso

Rampa

Altura de entrepiso

20

Contrahuella=C Huella=H Arranque

Fundación de La escalera

Base de piso Pendiente

Machón de descanso

Viga de Riostra

Fig. 6.27 Configuración de escalera para edificios El espacio ocupado por la escalera en el conjunto del edificio se le conoce como caja de la escalera, el cual puede disponerse de diferentes formas de acuerdo a la configuración. Visto en planta, la abertura o espacio libre entre las rampas recibe el nombre de ojo de la escalera. Todo este espacio libre de circulación puede generar en un momento de incendio lo que se conoce como efecto chimenea, esto es, a través de estas aberturas el humo producto del fuego sube invadiendo los pisos superiores lo que puede provocar asfixia en los usuarios de estos pisos. Por ello hay que disponer de ciertas reglas de diseño para evitar o disminuir este fenómeno. Para diseñar una escalera luego de realizar la configuración arquitectónica en cuanto a espacio y dimensiones, lo primero que se debe hacer es estudiar la disposición de los elementos estructurales para comprender el comportamiento. Por ello definiendo bien su configuración, se puede establecer si la escalera trabaja en la dirección de su desarrollo, perpendicular a su desarrollo, si es autoportante, si es en voladizo, si tiene rampas que soportan a otras rampas, etc. A continuación se describen algunos tipos de escaleras más usuales:

Tipos de Escaleras: a) Simple, de un solo tramo, sin descanso y trabaja a flexión en dirección de su desarrollo.

b) Simple, de un solo tramo, con descanso intermedio y trabaja a flexión en dirección de su desarrollo.

Fig. 6.28

Fig. 6.29


c) En forma de Ele, de dos tramos, con descanso intermedio y trabaja a flexión en dirección de su desarrollo. Normalmente una rampa secundaria descansa sobre la principal que se apoya sobre una viga de descanso y machones.

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Fig. 6.30

d) En forma de U, de dos tramos, con descanso intermedio y trabaja a flexión en dirección de su desarrollo. Ambas rampas se apoyan sobre la misma viga de descanso y machones.

Fig. 6.31 e) En forma de U, de tres tramos, con dos descansos intermedios y trabaja a flexión en dirección de su desarrollo. Similar al caso de escaleras en ELE, rampas principales sirven de apoyo a rampas secundarias.

Fig. 6.32 f) Autoportante recta, con un descanso intermedio. Trabaja a flexión y fuerzas axiales en dirección de su desarrollo a pesar de ser una estructura espacial.

Fig. 6.33

g) Autoportante helicoidal, sin descanso. Trabaja a flexión, torsión y fuerza axial en dirección de su desarrollo pero como estructura espacial.

Fig. 6.34

21


h) Escaleras en voladizo. Trabajan en dirección perpendicular a su desarrollo al estar los peldaños empotrados en muros rígidos. Pueden ser de peldaños continuos donde la zona del concreto a compresión es rectangular e inclinada y la carga tendrá dos componentes, o de peldaños individuales donde los escalones son simplemente voladizos.

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22

Aceros

α

Concreto a compresión

W

α

Fig. 6.35

i) Escaleras encajonadas. Trabajan en dirección perpendicular a su desarrollo cuando los peldaños están apoyados sobre dos muros o vigas rígidas. La zona del concreto a compresión es triangular e inclinada y la carga igual al caso anterior tendrá dos componentes.

Fig. 6.36 5.20 Normas y recomendaciones de diseño: • • • • • • • • •

Para escaleras de uso normal recomiendan huellas de 30 cm. y contrahuellas de aproximadamente 17 cm. En una misma rampa todas las huellas y contrahuellas deben ser de la misma dimensión. El número máximo de escalones en una rampa debe ser 15 peldaños. El ancho mínimo de la rampa es de 1.20 mt. El ancho mínimo del descanso debe ser igual o mayor que el de la rampa. Se debe evitar en lo posible compensar la escalera colocando escalones en la zona de descanso. Toda escalera debe estar protegida con barandas en ambos lados de las rampas. Si esta encerrada por paredes, debe colocársele un pasamanos. Toda escalera debe estar ventilada o en su defecto presurizada. Se recomienda que las escaleras hacia los sótanos sean independientes del área de circulación vertical del edificio, esto es con el objeto de evitar falsos escapes de las personas en momentos de siniestros.

6.2.2.- CONSIDERACIONES PARA EL ANÁLISIS, DETERMINACIÓN DE CARGAS Y DISEÑO DE ESCALERAS EN EDIFICIOS. En edificio puede tener varios tipos de escaleras como las que se mostraron en los párrafos anteriores, sin embargo para los fines de este curso se optará por el diseño de una escalera que trabaja en la dirección de su desarrollo como la descrita en la planta ejemplo de la figura 6.3.


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23

La configuración aproximada de esta escalera esta descrita en las figuras 4.8 y 4.9. En el plano de planta se puede observar que la escalera está constituida por dos rampas continuas con la losa nervada generando la siguiente estructura. Nivel –N

e=20cm.

0.30

T-2 Vigas de pórticos

0.159

T-3 5.20

0.825

3.00

1.20

Nivel –(N-1) T-2 Descanso T-3 Losa nervada

Machón 15x15

Nivel -1 T-2 e=15cm.

Base de piso

e=20cm.

T-1 Vigas de riostra

Planta baja

Fundación de la escalera

Fig. 6.37 Estructuración de la escalera de un edificio. Como se puede observar la estructura de toda la escalera está conformada por tres tipos de rampas. La primera es la rampa o tramo que parte de planta baja T-1, la cual esta constituida por una losa simplemente apoyada; la segunda es la rampa T-2, que sube del descanso hasta cualquier nivel, está constituida por una losa continua de dos tramos, una parte nervada y un zona maciza donde está precisamente la escalera; la tercera es la rampa T-3, que sube de cualquier piso hasta el próximo descanso, similar al caso anterior esta constituida por una losa continua de dos tramos. Para los efectos de análisis, la estructura de la escalera se puede idealizar y calcula en proyección horizontal, por lo tanto, si las pendientes son las mismas, las cargas en los tres tipos de escaleras será igual. Debido a esto, para los efectos de cálculo, las cargas y la configuración geométrica de la rampa dos y tres será la misma, y solo hará falta calcular dos tipos de estructura, la primera de ellas será la correspondiente la rampa T-1 y la segunda será la correspondiente a la T-2 y T-3.


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A

B

24

C

Tramo T-1 W3

W2

Tramo T-2 y T-3

WLosa

W3

W1

W2

Fig. 6.38 Idealización de la estructura de la escalera Para los efectos de dibujo y de construcción cada una de las tres rampas es diferente, ya que el encofrado, corte y doblez de los aceros no son iguales, por lo tanto para elaborar el plano constructivo de la escalera habrá que dibujar tres tipos de rampas.

Cargas en escaleras de concreto armado Por lo general y como se puede observar en este ejemplo, un tramo de escalera puede estar compuesta por tres segmentos de diferentes espesores y pesos. En la figura 6.38, de identifican los tres tipos de cargas con los tres tipos posibles de espesores, todos ellos dependen esencialmente de la luz del tramo. El primer segmento se corresponde con la llegada de la escalera al piso, normalmente se usa el mismo espesor de la losa nervada para evitar quiebres visibles en la placa; el segundo se corresponde propiamente a la parte inclinada o rampa, y aunque su espesor depende de la luz del tramo normalmente se limitan a espesores mayores de 15 cm.; el último segmento se refiere a la zona del descanso, el cual normalmente se limita a espesores mayores de 15 cm. Para el ejemplo a desarrollar se usarán 20, 15 y 20 cm. de espesor para la llagada, la rampa y el descanso. Con respecto a la carga variable, usualmente esta es de apreciable magnitud por el tipo de condición al que puede estar sometido en los momentos de uso como vía de escape, para este caso se utilizará 500 kg/m 2. Para el descanso y la llegada se tiene como carga permanente: • Peso propio de losa maciza de espesor “ e” dado en metros, 2 Pp = e*2400 Kg/m •

6.18

Acabados, 2 Granito artificial 5cm = 100 Kg/m 2 Friso en techos = 30 Kg/m Wp = (e*2400+130) Kg/m

2

6.19


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H

Para la rampa la carga permanente es: •

•

•

25

Peso propio de un escalón de un metro de ancho, C   e Pp =  6.20 + H * 2400 Kg cos α 2   Acabados por escalón, Granito artificial 5cm = (H+C)*100 Kg Friso en techos = (H/cosα)*30 Kg

C e/cosα

α e

6.21 6.22

Fig. 6.39 Escalón

Dividiendo por H para llevar la carga por metro en proyección horizontal

(H + C ) C  30  e 2 100 Kg/m +  2400 + + cos α H  cos α 2 

Wp = 

6.23

Donde,

α = arctg(C / H)

6.24

Consideraciones de cálculo: Inercias Para tomar en cuenta el cambio de sección en la escalera y el cambio de sección entre el tramo de la escalera y la losa nervada, para el cálculo en proyección horizontal, se aproximará la inercia de la rampa a través de una inercia ponderada entre los segmentos de secciones rectangulares de la escalera. b=100 Losa nervada Sección Te

ei Losa maciza Sección rectangular

e1

Sección rectangular b=100

e2 e3

t

h S1

S2

L1

S3

bo

L2

Sección Te

Fig. 6.40 Segmentos de la estructura de la escalera. Inercia de sección rectangular, 100 * e i

Ii =

3

6.25

12

Inercia ponderada de la rampa,

Ip =

∑I

i

* Si

6.26

L2

Inercia de la sección Te, I=

b* t3 12

+

bo(h − t ) 3 12

b * t * bo(h − t )  h  +   b * t + bo(h − t )  2 

2

6.27


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Momentos de empotramiento Para cada carga W pueden calcular los momentos de empotramiento parciales a través de las siguientes expresiones. El momento de empotramiento total será la acumulación de los momentos de empotramientos parciales.

ME ik = −

ME ki =

W *S 2

12L

W *S 2

12L

MEki

S a

b L

Fig. 6.41 Segmentos de cargas

[12a * b

[12a

2

2

+ S 2 (L − 3b )]

Para el cálculo de momento máximo positivo

6.28

* b + S 2 (L − 3a )]

MI

Una vez calculados los momentos negativos en los extremos de los miembros, se puede calcular el momento positivo del tramo de la escalera ubicando el punto donde el corte se hace cero y determinar el momento en ese punto. Para este procedimiento se puede utilizar el siguiente diagrama de flujo:

W

MEik

VI

6.29

W2

W1 S1

W3

S2

S3

X

MI

MD

M(+)max

Fig. 6.42 Diagramas de corte y momento no

2

M(+)=MI+VI*X-Wi*X /2

si 2

MI=MI+VI*Si-Wi*Si /2

i =i+1

VD

VD

X=V I/Wi

VI=VI-Wi*Si

MD

VI

i =1

X>Si

26

Fin

Fig. 6.43 Diagrama de flujo para el cálculo de momento máximo positivo en un tramo de varias cargas


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27

EJEMPLO: Siguiendo el diseño del edificio ejemplo, se hará el análisis de la escalera del tramo T-2 y T-3 descrita en la figura 6.37. Tramo T-2 y T-3

WLosa

W1

5.20

0.825

W3

W2

3.00

1.275

5.10

Fig. 6.44 Esquema estructural de la escalera para los tramos T-2 y T-3 Cargas en losa nervada: Espesor e=25 cm. (del capítulo cuatro se tiene): 2 Wup = 685 Kg/m 2 Wuv = 400 Kg/m

Cargas en la escalera:

Zona de descanso y llegada 2 Wup = (0.20*2400+130)*1.2=732 Kg/m 2 Wuv = 500*1.6=800 Kg/m Zona de la rampa cos(arctg(15.9/30))= 0.884 (H + C ) C  30 30 15.9 + 30  e  0.15 0.159  Wg =  100 =  100 + 2400 + + + + 2400 + cos α H 2  0.884 30  cos α 2   0.884 2 Wp = 785 Kg/m 2 Wup = 785*1.2 ≈ 942 Kg/m 2 Wuv = 500*1.6 = 800 Kg/m A

B

Wup/Wuv ⇒ 685/400

5.20

732/800

0.825

C 942/800

3.00

732/800

1.275

5.10

Fig. 6.45 Esquema estructural y cargas sobre la losa de escalera


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Inercias: I 25( NERVADA) =

I 20( MACIZA) = I15( MACIZA) =

100 * 5 3 12

100 * 20 3 12 100 *15 3

+

20( 25 − 5) 3 12

2

100 * 5 * 20( 25 − 5)  25  4 +   = 49097cm 100 * 5 + 20( 25 − 5)  2 

= 66666.66cm 4

= 28125cm 4

12 4 I(PONERADA) = (66666.66*0.825+28125*3.00+66666.66*1.275)/5.10 = 43995.1 cm

Cálculo: A

B

5.20

C 5.10

0.825

732

685 ME -1543.5 Mup 0 Vup 1275 Rup 1275

732

2212

-2444.9 0

1532

(6.33)

-1543.5 0 1013.6

1638

942

732 1915.9 0

1742

2444.9 -3695.7 -4635.8 -4635.8 (7.31) 4184.4 5765.8 8870.9

1532

1532 3649.9 0

1742

1543.5 -3695.7 -3990.3 -3990.3 2548.4 5031.8 3714.5 (8.42)

749.97 0

732

(2.63)

685 ME Mu Vu Ru Mu(+) PI

1.275

1915.9 0 1638

2444.9 -1961.7 -3276.6 -3276.6 3451.1

1085 ME Mu Vu Ru

942

1543.5 -1961.7 -2631.1 -2631.1 2287 2725 5012

1085 ME -2444.9 Mu 0 Vu 2190.9 Ru 2190.9 Mu(+)

3.00

1532 3649.9 0 3411.4 3411.4

2.24

Fig. 6.46 Cálculo manual de la losa de escalera continua

28


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Utilizando un programa para diseño de losas se puede aproximar el cálculo con las siguientes consideraciones: Ponderación de la carga en el tramo de la escalera, Wup = (732*0.825+942*3+732*1.275)/5.1= 855.5 Kg/m ≈ 856 Kg/m Espesor ponderado de la sección de concreto en la rampa, 3 4 I(PONDERADA)= 100*e /12=43995.1 cm ⇒ e=17.4125 cm ≈ 17.4 cm

Salida del computador: UNIVERSIDAD RAFAEL URDANETA FAC. DE INGENIERIA PROF. O. ROJAS NOMBRE DEL ESTUDIANTE= ALUMNO NOMBRE DE LA LOSA= ESCALERA CONCRETO= 250 Kg/cm2 ACERO= 4200 Kg/cm2 REC= 2.5 cm RESUMEN PARA PORTICOS ----------------------------------EJE Rup Ruv Rumax A 1289 916 2205 B 4958 3859 8817 C 1681 1773 3454 ----------------------------------B T Bo H Wup Wuv Pup Puv


0 100 100 0 0 5 17.4 0 0 20 100 0 0 25 17.4 0 0 685 856 0 0 400 800 0 0 0 0 0 A B C +----------------------------------+---------------------------------+ 0 5.2 5.1 0 0

-2560 0

0 -2560

0

0

2273 1288

1680 2684

0

0

-4566 0

0 -4566

0

0

7.20

3698 2204

3454 5117

2239 769

0 3602 1411

-.001

8.15

1.081 1.618

-.001

-.001 1.468

2.201 0

-.001 0

6.13

0

8.59

0

0

.47 0

0 0

0

0 0 6.69

2.66

Como se puede observar este método de cálculo se aproxima bastante al cálculo manual en cuanto a las solicitaciones de momentos y reacciones. Sin embargo para los efectos del diseño del acero en la rampa, este se debe obtener partiendo del momento aproximado con los espesores reales. En la zona de descanso el acero se colocará como acero por temperatura, esto es: Ast = 0.0018*100*e

6.30


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30

La disposición de los aceros debe cumplir con los mismos criterios de un armado de una losa. Se deben respetar los aceros mínimos, puntos de corte y de inflexión para la colocación del acero a flexión. Sin embargo en la parte maciza de la escalera y sobre todo la rampa, es conveniente armar esta última por lo menos una cuarta parte de su longitud. Las longitudes totales de las barras con sus dobleces se pueden determinar matemáticamente, a través del uso de un escalímetro en un plano elaborado a escala o mediante comandos matemáticos de planos digitalizados. El cruce de las barras en los quiebres de la losa maciza debe garantizar la longitud de anclaje de las cabillas, como usualmente estas son barras menores o igual a la #5, el doblez común es entre 30-40cm. Finalmente, a todo lo largo de la losa maciza y perpendicular al acero a flexión longitudinal, se debe colocar un acero por retracción y temperatura utilizando el espesor de la rampa.

A

C

B 5.20 1#3 x120

5.10 #[email protected]

PI

. . . 2#3 x 5.20

S/4

S

..

Rep.#3@ 0.25

0.30

#[email protected]

#[email protected] 0.30

. . .

#[email protected]

Fig. 6.47 Armado de la losa de la escalera continua. Tramo T-2 La fundación de la escalera estará constituida por un muro que garantiza profundidad y una base de 30 cm que le proporcione estabilidad a la rampa, generando esfuerzos en el terreno menor al esfuerzo permisible. Normalmente tendrá un ancho en planta igual al ancho del escalón más un borde de 20 cm en ambos lados, por un largo igual al ancho de la rampa. Su armado se basará en la distribución del acero por temperatura. En el muro se colocara el acero en dos caras mientras que en la base solo en la cara inferior.

Piso e=10cm

0.30 1.25 0.70

2

Ast = 0.0018*100*e = 0.0018*100*30= 5.4 cm /m 0.10

Muro ⇒ 5.4/2=2.7cm /m ≈ #[email protected] 2

#[email protected]

Acero a lo largo de la base ⇒ 5.4 *0.7=3.8cm ≈ 5#3 2 Acero a lo ancho de la base ⇒5.4 *1.25=7.75cm ≈ 10#3

10#3

2

5#3

0.30 0.20

0.30

0.20

0.70

Fig. 6.48 Fundación de la escalera


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5 3 , 0

0 4 , 0

4 5 1 , 0

0 1 , 6

0 0 , 5

0 2 . 0

5 3 , 0

3

5 7 0 . 0

1 - V

0 2 , 0

0 0 , 2

0 0 , 2

0 3 , 0

2 V

0 9 . 5

0 4 , 6

3 - V 0 3 , 0

0 5 , 2

0 2 , 1

0 0 , 3

5 6 , 0

5 3 , 0

5 7 0 . 0

2

5 1 , 0

0 1 , 0

0 8 , 0 5 3 , 0

0 2 , 0

0 2 , 2

0 2 , 2

0 1 , 0

0 1 , 6

5 3 , 0 5 2 1 , 0

1

0 2 , 1

0 2 , 5

C

0 2 , 5

B

Fig. 6.49 Planta de entrepiso definitiva

0 2 , 1

A

31


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32

6.3.- VIGAS SECUNDARIAS DE ENTREPISO. 6.3.1.- VIGAS DEL PISO. Una vez calculado todas las losas y la escalera, se proceder con el análisis y diseño de las vigas secundarias de los pisos. El dimensionamiento en planta es fundamental para poder dibujar el plano de distribución general (ver figura 6.49) ya que la altura puede ser posteriormente modificada mientras se calculan los aceros de refuerzo. El orden del análisis depende del orden de apoyo de una viga sobre la otra, esto es, se comienza el análisis por la viga que no sirve de apoyo a otra o que al quitarla no afecte la estabilidad de las demás. Para el caso de la planta del edificio que se esta calculando, el orden será V-1, luego V-2 y de último V-3. En los anexos se incluyen los cálculos estáticos de losas y viga de descanso. •

Análisis de la viga V-1 Para esta viga se adicionará solo el peso de una tabaquería de 15 cm. doblemente frisada. 2 Ppu pared = 230kg/m *3.25*1.2= 897 kg/m Ppu viga = 0.25*0.20*2400*1.2=144 kg/m Wup=897+144=1041 kg/m Vu / φ = 4.03kg / cm 2 vuc' = 0.53 * f ' c = 8.38kg / cm 2 vu ' = Vumax= 1210kg bo * d #3@d/2 #[email protected] vus’= vu’-vuc’<0 Vup =Vumax = Rup Vuv= Ruv = 0 →

→

→

→

→

→

→

V-2

C

1041/ 0 2.325

0.25

Vup=Vu=1210kg 0.20

4#4

Vup=Vu=1210kg Est.#[email protected]

Mu(+)=703k-m

→

0.15

2#4x2.90

0.15

0.15

2#4x2.90

0.15

As=0.95 cm

→

2#4

Fig. 6.50 Diseño de viga V-1 •

Análisis de la viga V-2 Para esta viga se trasmitirán las reacciones de las losas L-2, L-3 y viga V-1. Ppu viga = 0.30*0.30*2400*1.2= 259.2 kg/m Rup(L-2) = 378 kg/m Wup=378+259=637kg/m, Ruv (L-2)=Wuv = 524 kg/m Rup(L-3) = 1278 kg/m Wup=1278+259=1537kg/m, Ruv (L-3) = Wuv =1261 kg/m Rup(V-1) = 1210 kg , Ruv(V-1) = 0 kg 5 Vumax= 4604 kg vu’=8.19 vuc’=8.38 vus’<0 #3@d/2 #[email protected] →

→

→

→

→

→

→


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33

1210 / 0

2#4

3

V-3

637/ 524

1537 / 1261

1.325

2.25 3.57

0.30

5

Vup=1808 Vu=2926

2#4+1#5

0.30

313 896

Est.#[email protected]

Vup=2872 Vu=4604

Mu(+)= 3643 k-m 0.15

2#4x4.15

0.15

0.20

2#4+1#5x4.25

0.20

→

As=4.07 cm2

→

2#4+1#5

Fig. 6.51 Diseño de viga V-2 •

Análisis de la viga V-3 Para esta viga se adicionará el peso de una tabaquería de 15 cm. frisada entre la viga V-2 y el eje C. Adicionalmente se trasmitirá la reacción de la viga V-2 sobre la viga V-3. Ppu viga = 0.30*0.40*2400*1.2= 345.6 kg/m (entre eje B y la V-2) 2 Ppu pared = 230kg/m *3.25*1.2=1046 kg/m Wup=1046+346=1392kg/m (entre la V-2 y eje →

C)

Rup(V-2) = 1802 kg , Ruv(V-2) = 2926-1808=1118 kg Vumax= 4406 kg vu’=5.6 vuc’=8.38 vus’<0 →

→

→

→

#3@d/2

→

#[email protected] 5

1808 /1118

2#4

C

B

346 / 0

1392/ 0

2.875

2.325

0.40

5.20 Vup=2252 Vu=2752

1757

1169

3#5

Vup=3788 Vu=4406

0.30

Est.#[email protected]

Mu(+)= 6482 k-m 0.15

2#4x5.80

0.15

0.20

3#5x5.90

0.20

→

As=5.15 cm2

→

3#5

Fig. 6.52 Diseño de viga V-3

CAP-6 Losas y Escaleras

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