RESISTENCIA DE MATERIALES 2 CAPÍTULO N° 5: TRABAJ T RABAJ O Y ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEFORMACIÓN Introducción En la Resistencia de Materiales se estudian las relaciones entre las fuerzas y deformaciones bajo diferentes condiciones de carga. En el análisis que se ha desarrollado se pone énfasis en dos aspectos fundamentales: los esfuerzos y las deformaciones unitarias. unitarias. En este capítulo se analizará un aspecto diferente: la energía de deformación, que se definirá mas adelante. Se analizará además el trabajo de las fuerzas externas, y utilizando el principio de conservación de la energía se encontrará un nuevo método, aplicable a todas las estructuras de materiales linealmente elásticos, que permitirá encontrar deflexiones y también resolver estructuras es tructuras hiperestáticas.
Trabajo de las fuerzas externas Se muestra la configuración “indeformada” antes de aplicarle fuerzas externas, de un cuerpo de material elástico, con cuatro apoyos genéricos.
A este equipo se le aplica, en forma gradual, gradual, el sistema de fuerzas externas “Q”. El cuerpo adquiere una configuración “deformada”, compatible con los apoyos. La aplicación gradual del sistema de fuerzas implica que cada fuerza crece lentamente, y en la misma proporción, desde su valor v alor inicial CERO hasta su valor final Q i Qi
D3
D2
Di
D1
Q1
Q3 Q2
La deformación del cuerpo origina desplazamientos en casi todos los puntos del mismo. Se denominan “desplazamientos correspondientes” D i a aquellos que se presentan en cada punto de aplicación de una fuerza Q i, en su misma dirección.
1
Durante el proceso de carga, cada fuerza Q i recorre el desplazamiento D i. Si las fuerzas comienzan a crecer “gradualmente” desde el valor inicial CERO, es posible dibujar el siguiente gráfico:
Q El trabajo realizado para un incremento desplazamiento, dD será: dW = QdD
del
Q
D
dD
El trabajo total realizado por la carga Q será:
Q
D f
Qf
W =
W*
∫ QdD
(área sombreada)
0
Se denomina “trabajo complementario” a:
W
Q f
Df
D
W = *
∫ DdQ
(área sin sombrear)
0
Si el material es linealmente elástico, hay una relación lineal entre fuerza y desplazamiento; desplazamiento; si “ α” es una constante, D = α Q
Q
Es posible dibujar el correspondiente gráfico y, a partir de él, establecer:
Qf W =
W* W Df
D
1
Q f D f 2 1 W * = D f Q f 2 * W = W
Para un material linealmente elástico, el trabajo de las fuerzas externas (W ) es igual al trabajo complementario complementario de las fuerzas externas (W*). Para el sistema de fuerzas Q i
W TOTAL =
∑2Q D 1
i
i
2
Principio de conservación d e energía energía El trabajo de las fuerzas externas debe ser igual a la energía potencial más lo consumido por energía cinética, cambio de temperatura, fricción, etc.
W = Energía Potencial +
Energía Cinética
+
Calor + Fricción No se toma en cuenta
La contribución de las tres últimas componentes es muy pequeña, y por ello no se les toma en cuenta. La energía potencial acumulada se debe a los esfuerzos, deformaciones internas, y se le conoce como energía de deformación ( U):
W ext = U En la descarga, la energía potencial se convierte en trabajo realizado por las fuerzas internas para recuperar la configuración inicial.
Energía Interna de deformación Para determinar la energía interna de deformación se asumirán las siguientes hipótesis: 1.- El estado de un cuerpo puede expresarse adecuadamente por las componentes de los esfuerzos o por las componentes de las deformaciones unitarias. 2.- Las demás variables (temperatura, velocidad, velocidad, etc.) que puedan definir el estado del cuerpo no cambian. 3.- Los estados que se analizará son muy próximos al estado inicial (indeformado) de modo que el cuerpo c uerpo conserva sus característi c aracterísticas cas y propiedades elásticas. 1 2 4.- La energía cinética mv es CERO pues las cargas se aplican en forma gradual.
2
Asimismo el rozamiento en los los apoyos es nulo. nulo. 5.- El valor de la energía de deformación depende del estado del cuerpo, y no de la forma como este estado se alcanzó (campo conservativo). conservativo).
Estado uniaxial : Para un cuerpo de material linealmente elástico, en un estado uniaxial de esfuerzos, se cumple: σ xx ≠ 0 , σ yy = σ zz = τ xy = τ xz = τ yz = 0
σ
y
σyy
dz
τyz τzy σzz
εf
ε
z
τyx τxy
τzx
τxz
dy
σxx x
dx 3
ε
∫
U 0 =
Deformación σ d ε Densidad de Energía de Deformación
0 ε
U 0 =
∫
σ
σ d ε =
0
1 1 σ ² = σα d σ = α ασ ² = σε 2 0 2 2 0
∫
σ
Si el cuerpo es de material linealmente elástico: elástico: ε = ε = σ = ασ ⇒ d ε = α d dσ
Esta expresión se puede generalizar generalizar para un estado general de esfuerzos.
U 0 =
1 2
(σ
xx ε xx
+ σ yy ε yy + σ zz ε zz + τ xz γ xz + τ xyγ xy + τ yz γ yz )
Para todo el cuerpo: U =
∫U dV = ∫U dxdydz 0
V
U =
∫∫∫ 2 ( xx xx + 1
σ
ε
σ yyε yy
0
; si dV = dxdydz:
V
)
+ σ zz ε zz + τ xzγ xz + τ xyγ xy + τ yzγ yz dxdydz
Energía de deformación en elementos lineales Se denomina ELEMENTO LINEAL (o de LINEA MEDIA) a aquel en el cual s e cumplen las siguientes condiciones: condiciones: 1.- Las secciones transversales a la “línea media” tienen su centroide sobre dicha línea media. 2.- Las dimensiones de la sección transversal son pequeñas en comparación con la longitud y radio de curvatura de la línea media. 3.- Las secciones transversales transversales son constantes, o varían en forma gradual y continua. 4.- Se cumple la hipótesis de Navier (las secciones planas antes de la deformación continúan siendo planas después de ella)
Fuerzas de Sección En un cuerpo de línea media, sometido a un sistema de cargas, se presentan en general seis fuerzas de sección. y
My
F x → N Fuerza Normal o Axial
Fy
F y → V y
Fuerzas Cortantes
F z → V z x
Fx Fz z
Mz
Mx
M x → T Momento Torsor M y
M z
Momentos Flectores
4
Determinación de la Energía Interna Se analizará por separado el efecto ó influencia de cada fuerza de sección.
Efecto d e la Fuerza Normal ó Axial: Solamente hay fuerza axial, esto es: N ≠ 0
V y = V z = T = M y = M z = 0
por tanto: σ xx
=
ε xx
=
N
σ yy
A
σ xx
=
E
U AXIAL =
1 2
= σ zz = τ xy = τ xz = τ yz = 0 . Si se aplica la Ley de Hooke:
N EA
∫
σ xx ε xx dxdydz
V
=
1 2
∫∫ A ⋅ EAdAdx ; N N
como la sección transversal es
x A
constante: L
U AXIAL =
1 N 2
∫
2 EA
dx
0
Si se trata de un elemento prismático, de longitud “L”, área A, con la fuerza axial N constante:
U AXIAL =
N 2 L 2 EA
Para el caso de varias barras (una armadura):
U AXIALTOTAL =
∑U
AXIALBARRAS
=
1 2
2
∑ E A
N i Li i
i
Efecto de los Momentos Flectores My, Mz: En este caso: σ xx ≠
0
M y ≠ 0 , M z ≠ 0 σ yy
N = V y = V z = T = 0
= σ zz = τ xy = τ xz = τ yz = 0 y
My
si los ejes “y” y “z” son ejes principales:
σ xx
=
M y z I yy
−
M z y I zz
ε xx
=
M z 1 y
E I yy
−
M z y
I zz
Mz z
5
2
U FLEXION =
M y z M z y 1 ⋅ dAdx − I yy I zz E A
∫∫
1 2
x
M y2 z 2 2 M y M z yz M 2 y 2 − + z2 dAdx U FLEXION = 2 I yy 2 E I yy I zz I zz x A M y , M z , I yy , I zz son constantes en el área A, por tanto 1
U FLEXION
∫∫
M 2 2 M y M z M z2 y 2 2 dx z dA yzdA y dA = − + 2 2 2 E I yy I yy I zz I zz 0 A A A 1
L
∫
∫
∫
∫
∫ ∫ yzdA = 0 ∫ y dA = I
z 2 dA = I yy
A
A
2
zz
A
U FLEXION =
1
L
∫
M y2
2 E I yy 0
dx +
1
L
∫
M z2
2 E I zz
dx
0
En flexión uniaxial: M y = 0 , M z = M
U FLEXION =
⇒
1
L
∫
M 2
2 E I zz
dx
0
Efecto de la fuerza cortante (Vy, Vz) ty
y
y tz
z
Los efectos de cada fuerza cortante pueden analizarse por separado. Por simplicidad se considerarán los efectos en forma simultánea. El desarrollo se formulará para una sección simétrica, por ende, los ejes son principales y centrales de inercia. τ xy
≠0;
σ xx
= σ yy = σ zz = τ yz = 0
τ xz
≠0
τ xy
z τ xz
=
V z Q y I yy t z
⇒ γ xz =
=
V y Q z I zz t y
⇒ γ xy =
V y Q z GI zz t y
V z Q y GI yy t z
6
U =
U =
U =
1 2 1 2 1 2
L
V y2 Q z2 V z2 Q y2 + 2 2 dAdx 2 2 GI zz t y GI yy t z A
∫∫ 0
L
V y2
∫ GI 0
L
dx ⋅
2 zz
Q z2
∫ t
2 y
A
V y2
dA +
A
Q z2
2 zz
2 y
∫ GA dx ⋅ I ⋅ ∫ t 0
A
1 2
L
V z2
∫ GI
2 yy
0
dA +
1
L
2
dx ⋅
Q y2
∫ t
A
V z2
2 z
dA Q y2
∫ GA dx ⋅ I ⋅ ∫ t A
2 yy
0
A
2 z
dA
Se llama:
f y =
Q z2
A 2 I zz
∫ t
2 y
dA
2 A Q y f z = 2 dA 2 I yy t z A A
Factor de Forma
∫
El Factor de Forma es una propiedad de la sección transversal.
U =
1 2
L
2
f yV y
∫
GA
0
dx +
1 2
L
∫
2
f zV z GA
0
dx
Factor de Forma de una sección rectangular : Sea una sección rectangular de ancho “b” y peralte “h”:
h 2
I zz =
−y
y h
A = bh 12 h 1 h Q z = b − y ⋅ y + − y 2 2 2
Q z
− y2 2 4 t y = b dA = bdy
b
f y =
f y =
2
b h
6
h 2
bh 3
b h h = − y ⋅ + y 2 2 2
Q z =
bh144
1
h 2
∫
−h 2
b 2 h 4
− 4 16
h 2 y 2 2
b h 2
bdy + y 4 2 b
h h y 36 h y h y y 4 − dy = + − + y 16 2 6 5 h5 h 5 16 −h 2
36
∫
4
2
2
4
2
3
h 2
5
−h 2
f y = 1.2 7
Factor de forma en diversas secciones transversales f y = f z = 1.2 f y = f z =
10 9
f y = f z = 2.0
f y ≅
ATOTAL
alma
A ALMA
Efecto del Momento Tors or (T) En una sección circular de radio “r”:
τ
=
U =
U =
T ρ
γ =
J 1 2
1 2
∫
τγ dAdx
=
V L
T 2
∫ GJ
2
0
dx ⋅
J =
GJ
1 2
∫
4
T ρ
T 2 ρ 2
∫ GJ
2
π r
2
(momento polar de inercia)
dAdx
V
ρ
2
dA =
A
1 2
L
T 2
∫ GJ dx 0
Para secciones no circulares es posible, empleando desarrollos en serie, analizar esfuerzos y deformaciones unitarias, y establecer un valor equivalente a “J” (que obviamente no es el momento polar de inercia). A estos valores se les denominará: “constantes de torsión”: Sección
“J”
a Cuadrada
a
0.1406 a
4
=
9 64
a
4
8
Sección
“J”
Rectangular
4 1 b 1 b 3 a b − 0.21 1 − 3 a 12 a
b
a
> b
b
Elíptica
π
16 a
a
3
b3
2
+ b
2
a
Triangular
a
a
a
4
3
80
a
Rectangular b Hueca
t b
2t a t b (a − t b )
2
(b − t a )2
at b + bt a − t a
2
− t b 2
ta a
9
RESISTENCIA DE MATERIALES 2 CAPÍTULO N° 5: TRABAJ O Y ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Variación d el trabajo externo y de la energía interna Si se grafican las relaciones Qi − Di , σ − ε se tendrá:
Q
σ dW = D dQ *
dU* = ε d σ dV
d σ
dQ
dU = σ d ε dV
dW = Q dD
ε
D
d ε
dD
1.- Si se produce una variación dD del desplazamiento, manteniendo constante la carga, se provocará un cambio en el trabajo real externo: dW = QdD Al mismo tiempo se producirá una variación en las deformaciones unitarias, y por tanto una variación de la energía interna: dU = σ d ε dV 2.- Si se produce una variación de las fuerzas dQ, manteniendo constante el desplazamiento, ocurrirá un cambio en el trabajo complementario externo: dW = DdQ *
y, por la variación en esfuerzo, un cambio en la energía complementaria interna: dU = ε d σ dV *
Principio del Trabajo Virtual - Desplazamientos Se denominan desplazamientos virtuales a variaciones muy pequeñas en la posición de determinadas partículas del cuerpo. Estas variaciones son imaginarias, y deben darse en concordancia con las características del cuerpo y sus apoyos externos. Se asume que ocurren sin variar las condiciones de equilibrio. Cuando se produce un desplazamiento virtual, ocurrirán también deformaciones unitarias virtuales. Se presentarán, por lo tanto, v ariaciones en el trabajo de las fuerzas externas y en la energía interna. 1
Sean: dD d ε
∑ Q dD dU = ∫ σ d ε dV dW =
i
i
el desplazamiento virtual la deformación unitaria virtual el trabajo virtual de las fuerzas externas la energía virtual interna
Qi
la fuerza real
σ
el esfuerzo real
Por el principio de conservación de la energía es posible escribir el siguiente Principio de Trabajo Virtual , desde el punto de vista de los desplazamientos: “Una estructura de material linealmente elástico permanecerá en equilibrio bajo un sistema de cargas dadas, si para cualquier desplazamiento virtual compatible con las condiciones geométricas y de vínculo, el trabajo virtual de las fuerzas externas es igual a la energía virtual interna”. Este principio no tiene aplicación práctica, salvo para plantear ecuaciones de equilibrio.
Principio del Trabajo Virtual – Fuerzas Se denomina fuerza virtual a una fuerza de valor arbitrario, muy pequeño, que se aplica a una estructura, luego que esta ha alcanzado la configuración deformada, de modo que la estructura permanece en equilibrio, con deformaciones compatibles, etc. Si se aplican fuerzas virtuales Q, se presentarán en la estructura esfuerzos virtuales ; al mismo tiempo se presentarán un trabajo complementario virtual y una energía complementaria virtual interna. Sean: δ Q δσ *
= ∑ Di δ Qi
*
= ∫ δσ ε dV
δ W
δ U
Di ε
la fuerza virtual el esfuerzo virtual el trabajo complementario virtual la energía complementaria virtual interna el desplazamiento real la deformación unitaria real
Para materiales linealmente elásticos, por el principio de conservación de la energía: *
δ W
= δ U *
“Una estructura de material linealmente elástic o permanecerá en estado compatible de deformación bajo un determinado sistema de cargas, si para cualquier sistema de fuerzas virtuales en equilibrio, el trabajo complementario virtual externo es igual a la energía complementaria virtual interna”. Que viene a ser el Principio del Trabajo Virtual desde el punto de vista de las fuerzas . 2
Ejemplo N° 1: Princ ipio del Trabajo Virtual - Desplazamientos Sean 3 barras unidas como se muestra. Se conoce las fuerzas N i en cada barra, y se desea hallar las fuerzas externas Q x y Q y.
1
2
θ1
θ2
3
A
Qx
Qy
1
Sean N1, N2 y N3 fuerzas de tracción. Se da al nudo A desplazamientos virtuales x y y, de manera que pasa a la ubicación A’.
dx
2
3
θ1
θ2
Las barras sufrirán alargamientos: δ1 , δ 2 y δ 3
δ3 δ2
A
δ1
= δ x cos θ 1 + δ y sen θ 1 x cos θ 2 + δ y sen θ 2 δ = δ 2 x δ = δ 3 δ
δ y
A'
1
las deformaciones unitarias virtuales serán:
δε1 =
δx cos θ1 + δy sen θ1
δε 2 =
l1
δx cos θ 2 + δy sen θ 2 l2
δε3 =
δx l3
Trabajo virtual de las fuerzas externas:
δW = Q x δx + Q y δy Energía virtual interna: l1
δU =
∫∫
N1 dx cos θ1 + dy sen θ1
A1 0 A1
l1
dA dx +
l2
∫∫ 0 A2
N 2 dx cos θ 2 + dy sen θ 2
A 2
l2
dA dx +
l3
N 3 dx
∫ ∫A 0 A3
3
l3
δU = N1 dx cos θ1 + N1 dy sen θ1 + N 2 dx cos θ 2 + N 2 dy sen θ 2 + N 3 dx
δW = δU Q x dx + Q y dy = ( N1 cos θ1 + N 2 cos θ 2 + N 3 ) dx + ( N1 sen θ1 + N 2 sen θ 2 ) dy
3
dA dx
Ecuación de equilibrio, expresada en función de la energía. Como arbitrarios, se tendrán en cuenta los siguientes casos:
x y y son
= 0 δ y = 1 ⇒ Q x = N 1 cos θ 1 + N 2 cos θ 2 + N 3 δ x = 0 δ y = 1 ⇒ Q y = N 1 sen θ 1 + N 2 sen θ 2
a.- δx b.-
que son las ecuaciones de equilibrio en el nudo.
Ejemplo N° 2: Princ ipio del Trabajo Virtual - Fuerzas
δ1 > δ 2 de las barras 1 y 2. Determinar los
Se conocen las deformaciones desplazamientos x e y del nudo A
Se aplican fuerzas virtuales Fx y Fy, en las direcciones de los desplazamientos a determinar. Fy
δ Fy
A
Fx
θ
1
l2 , A 2
δ1
*
δ Fx
θ δ N 2
δ2
l1 , A1
δ W
δ N1
2
A
= δ F x ⋅ x + δ F y ⋅ y = x δ F x + y δ F y
Equilibrio del nudo A: ∑ Fx = 0
⇒
x - δ N δ F
∑ Fy = 0
⇒
y - δ N δ F
1
1
δ F y
sen θ = 0
⇒
cos θ - δ N 2 = 0
= δ F x ctg θ + δ N 2
δ N
1
⇒
=
δ N
2
δσ
2
Además: ε 1
*
δ U
=∫∫ l1 A1
*
δ U
*
δ W
=
δ
1
⋅
=
δ 1
l1
,
δ Fx
l1 A1 sen θ
δ δ Fx 1
sen θ
ε 2
=
δ Fx
sen θ
⇒
δ σ
1
=
δ Fx
A1 sen θ
= δ Fy − δ Fx ctg θ δ Fy − δ Fx ctg θ = A2
δ 2
l2
A δ x + δ
δ
∫l A∫ l 2 ⋅ 2
2
δ Fy − δ Fx ctg θ
2
A2
A δ x δ
+ δ 2 δ Fy − δ 2 δ Fx ctg θ
= δ U *
x δ F x + y δ F y =
x δ 1 δ F sen θ
+ δ 2 δ Fy − δ 2 δ Fx ctg θ
4
Como Fx y Fy son arbitrarios, se tendrán en cuenta los siguientes casos:
δ 1 - δ 2 cos θ senθ y = 1 ⇒ y = δ 2 b.- δFx = 0 δF δFx = 1 δF y = 0 ⇒ x =
a.-
Ejemplo N° 3 Determinar los desplazamientos horizontal y central del nudo B. Las barras tienen una sección transversal de 5 cm 2, E = 2x10 6 kg/cm2
A
6
B
−10
Para las fuerzas dadas se conoce la fuerza en cada barra, y la deformación.
4m
8
C
D
8T 3m
ε
δ
Barra AB BC CD DB
10T
10
0.18 0.32 0.30 -0.50
-4
6x10 -4 8x10 -3 1x10 -3 -1x10
δPy
δPx − 0.75δPy
B
A 1.25 δPy
δPx
Se aplica fuerzas Px y Py en la dirección de los desplazamientos a determinar, en el punto B.
0
*
δ W
= δ P x ⋅ x + δ P y ⋅ y
0
C
D
Por equilibrio se halla las fuerzas “virtuales” en cada barra, y los esfuerzos “virtuales”.
δ N
Barra δ P x
AB
*
δ P x
− 0.75 δ P y
BC
0
CD
0
0
DB
1.25 δ P y
= ∑ ∫ ∫ ε δσ δ A δ x = ∫ ∫ 6 x10 −4 ⋅ l A
δ U
− 0.75 δ P y
5 0
300
*
δ U
δσ
0 A
δ P x
− 0.75 δ P y 5
1.25 δ P y 5 δ A dx +
500
−3 ∫ ∫ (− 1 x10 )⋅ 0 A
1.25 δ P y 5
dA dx
= 6 x10 −4 x 300 (δ P x − 0.75δ P y ) − 1 x10 −3 x 500 x 1.25 δ P y
5
*
δ U
*
δ W
= 0.18 δ P x − 0.76 δ P y
= δ U *
x δ P x + y δ P y = 0.18 δ P x − 0.76 δ P y Como Px y Py son arbitrarios: δ Px = 1
δ P y
= 0 ⇒ x = 0.18 cm.
δ Px = 0
δ P y
= 1 ⇒ y = 0.76 cm.
A este método se le conoce como el método de la carga unitaria .
6
RESISTENCIA DE MATERIALES 2 CAPÍTULO N° 5: TRABAJ O Y ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Método de la Carga Unitaria: Procedimiento a seguir para hallar un desplazamiento (lineal o angular) en una estructura (isostática ó hiperestática) La estructura está sometida a la acción de fuerzas externas, las cuales producen esfuerzos (σ) y deformaciones unitarias ( ε). Se desea hallar el desplazamiento en un punto de la estructura. 1.- Las cargas externas originan fuerzas de sección ( N Vy Vz My Mz T ), que a su vez causan esfuerzos reales y deformaciones unitarias reales. ,
Debido a: N debido a: V z
⇒
debido a: T 2.-
⇒
⇒
ε xx
=
γ xz
γ =
N
, debido a: V y
EA =
V z Q y G I yy t z
,
⇒
, debido a: M y , M z
,
γ xy
⇒
,
,
V y Q z
=
G I zz t y xx =
ε
M y z M z y −
EI yy
EI zz
T ρ GJ
Se aplica una fuerza virtual unitaria en el punto en el cual se desea hallar el desplazamiento en la dirección correspondiente (si se desea hallar un desplazamiento angular se colocará un momento unitario. a.- En una armadura
1 2
1
Para hallar el desplazamiento del nudo 2 en una cierta dirección. 5
3 4
1 2
1
5
3
Para hallar el desplazamiento relativo entre los nudos 1 y 4.
4
1 1/L 2-4 2
1
Para hallar el giro de la barra 2-4. 5
3 4
1/L 2-4 1
Clase RM2 15 – Método de la Carga Unitaria
b.- En vigas y pórticos 1
1
Desplazamiento de un punto en una cierta dirección, o giro de una sección ó de un nudo.
3.-
Estas fuerzas virtuales unitarias producen dos efectos: a.- Un trabajo complementario virtual de la fuerza externa
δW
* =
δW*
como
∑ Di δ Qi
= Dk × δ Qk = Dk
δ Qi = 0
i ≠ k
δ Qi = 1
i = k
desplazamiento real en la dirección de la carga unitaria.
b.- Una energía virtual complementaria interna de deformación, ocasionada por los esfuerzos virtuales, los cuales son a su vez causados por las fuerzas de , m y , m z : sección virtuales n , v y , v z , t
δσ xx =
n
δτ xy =
A
δσ xx =
m y z I yy
−
v y Q z I zz t y
m z y
δτ xz =
δτ =
I zz
v z Q y I yy t z
t ρ J
La energía complementaria (virtual) será:
∫
δ U ∗ = ∑ εδσ dV
2
Clase RM2 15 – Método de la Carga Unitaria
Para cuerpos de línea media:
Nn
δ U ∗ = x
∫ EA
dx + x
∫
f yV y v y GA
dx + x
∫
f z V z v z GA
M y m y
dx + x
∫ EI
M z m z
dx + x
yy
∫ EI
dx +
M z m z
dx +
x
zz
T t
∫ GJ dx
δ W ∗ = δ U ∗ Nn
Dk = x
∫ EA
dx + x
∫
f yV y v y GA
dx + x
∫
f z V z v z GA
M y m y
dx + x
∫ EI
dx + x
yy
∫ EI
zz
x
T t
∫ GJ dx
Método de Vereschaguin La aplicación del método de carga unidad a vigas y pórticos conduce a la necesidad de integrar el producto de dos funciones:
∫ f
( x ) g ( x ) dx
Una de estas funciones es siempre la ecuación de una recta, pues representa la fuerza de sección ocasionada por una carga unitaria. Sea entonces: f ( x ) = mx + b:
∫ f
dx =
( x ) g ( x )
Adicionalmente:
∫ x g
( x ) dx
∫ ( mx + b ) g
( x )
∫
∫
dx = m xg ( x ) dx + b g ( x ) dx
= xG Ω
∫
Siendo xG el centro de gravedad del área Ω = g ( x ) dx Por lo tanto :
∫ f
( x ) g ( x ) dx
= mx G Ω + b Ω = Ω ( mx G
+
b )
es el área encerrada por la función g(x)
mx G + b
es la ordenada de la función f(x) medida en la abscisa que corresponde al centro de gravedad de .
El método es de más fácil aplicación si se trata de estructuras de sección constante, de modo que, las funciones f(x) y g(x)corresponden a las ecuaciones de las fuerzas de sección debido a la acción de la carga unitaria y de las cargas externas.
3
Clase RM2 15 – Método de la Carga Unitaria
Para funciones simples, la integral se puede expresar en términos de los valores que describen la función. Hay diversas tablas para aplicar este método, denominado también como “de Integración visual” o de multiplicación de diagramas. Por ejemplo, se da la tabla del libro de Ghali & Neville “Análisis Estructural”
4
RESISTENCIA DE MATERIALES 2 CAPÍTULO N° 5: TRABAJ O Y ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Efectos de la Temperatura En una estructura isostática la variación de temperatura produce únicamente deformaciones. El método de carga unitaria permite hallar los desplazamientos que puedan presentarse.
Barras de una armadura En una armadura, se presenta por lo general una variación de la temperatura t en determinadas barras (o en todas). Se produce una variación de la deformación unitaria de cada barra: ε = α∆t (deformación real). Si se requiere hallar un cierto desplazamiento, se aplicará una fuerza virtual que producirá en cada barra fuerzas axiales ni y esfuerzos: δσ
=
ni Ai
de modo que la variación de la energía complementaria interna en cada barra será:
= ∫ ε ⋅ d σ ⋅ dV = ∫ ∫
*
δ U i
V
li Ai
niα i ∆t i Ai
⋅ dAdx
si la variación de la temperatura es constante a lo largo de cada barra: *
δ U i
en todas las barras:
δ U
*
=
=
niα i ∆t i
∫ ∫ dAdx = n l α ∆t i i
Ai
i
i
li Ai
∑ n l α ∆t i i
i
i
Barras de un pórtic o (vigas) En el caso de vigas, normalmente el cambio de temperatura que se presenta es diferente en la fibra superior que en la fibra inferior. Sea T 0 la temperatura inicial, TSUP y TINF la temperatura final en la fibra superior é inferior respectivamente, y se supondrá que la temperatura es mayor en la fibra inferior. Se asumirá asimismo que la variación de temperatura es lineal a lo largo del peralte de la viga. Se presentan tres cambios de temperatura: i.- El cambio de temperatura promedio: ∆T 0
=
T INF + T SUP
que produce un alargamiento en la viga:
2
− T 0
ε 0 = α ∆T 0
⇒ δ 0 = α ∆T 0 dx
1
ii.- El cambio de temperatura en la fibra superior: ∆T SUP = T 1 = T SUP − T 0
ε SUP = α T 1
⇒
⇒
δ SUP = α T 1dx
⇒
δ INF = α T 2 dx
iii.- El cambio de temperatura en la fibra inferior: ∆T INF = T 2 = T INF − T 0
ε INF = α T 2
⇒
δ SUP
dx
si la temperatura varía linealmente con el peralte, es posible afirmar que:
hd θ = δ INF − δ SUP
d θ
h
hd θ = α (T 2 d θ
=
α
(T
y la deformación unitaria: ε = − y
d θ
=−
(
α T 2 − T 1
dx
− T 1
2
dx
δ INF
− T 1
)dx
)
h
) y
=
(
α T 1 − T 2
h
) y
h
la fuerza virtual (unidad) producirá un momento flector m, y un esfuerzo virtual: δσ = −
my I
y la variación de la energía complementaria interna será: *
δ U
= ∫ ∫ ε δ σ dA dx = ∫ ∫ x A
=
*
δ U
por lo tanto:
D =
x A
( − T )
α T 2
hI
( − T )
α T 2
h
1
1
∫ x
∫
α y
h
(T 1 − T 2 ) − my dA dx
mdx y 2 dA = A
I
( − T )
α T 2
h
1
∫ mdx x
∫ mdx x
2
Ejemplos: 1.-
B
−6
A
Si α = 12 × 10 /º C , hallar la variación en la distancia entre los puntos B y D, si la temperatura en todas las barras disminuye en 25°C.
C
D
6m
Al aplicar las fuerzas unitarias en B y D, se hallan las fuerzas internas en cada barra.
B
− A
−
2 2
1
−
2
(
∑
C
1
)
∑
2 2
2 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 6 = −6 ni li = 4 − 2 D = α ∆t ni li = 12 × 10 −6 × (− 25 )× (− 6 )
2
1
−
2 2
= 1.8 × 10 −3 m = 0.18 cm
D
Los nudos se acercan. Si sólo determinadas barras sufren cambios de temperatura, esto se tendrá en cuenta en el término ni li
∑
NOTA.- No ha intervenido en la solución el área de cada barra. 2.- Una viga en voladizo está expuesta a un ambiente térmico, que produce una temperatura de 60°C en la parte inferior, y 220°C en la parte superior. La temperatura uniforme original era de 25°C. Hallar el desplazamiento del extremo libre. α = 12 × 10
−6
/º C
220 º C
A = 66 cm 20 cm
2
I = 5290cm
4
E = 200GPa
60 º C
3m
La temperatura promedio (140°C) es 115° más alta que la temperatura inicial. Esto originará un alargamiento horizontal promedio, que no es de interés. 1
m = −3 + x T 1 = 195º C T 2 = 35º C h = 20 cm = 0.2 m
3
D =
α ( 35 − 195 )
0.2
3
∫ (− 3 + x )dx 0
3
2 x − 6 −3 D = 12 × 10 × 800 ∫ (3 − x )dx = 9.6 × 10 3 x − = 0.0432 m 2 0 0 3
D = 4.32cm
hacia abajo
NOTAS: a.- Se trata de una viga isostática, por lo que la temperatura produce deformaciones, y no esfuerzos. b.- No interesan las características de la sección transversal (salvo que sea simétrica); basta conocer el peralte. c.- Si la viga no fuera isostática, por ejemplo si el extremo derecho fuera apoyado, se presentarían esfuerzos causados por la variación de temperatura.
δ R
3m
3m
δ
=
R × 3
3 EI
E = 200 GPa = 200 × 10 kN / m b = 7 .935 cm , h = 20 cm 6
−5
I = 5290 cm = 5.29 × 10 m 4
EI = 10580 kN / m 9 R 10580
3
=
9 R EI
2
4
2
= 0.0432 ⇒ R = 50.8 kN
M max = 50.8 × 3 = 152.4 kN × m σ
=
152.4 × 1000 × 0.1 5.29 × 10
−5
= 2.88 × 10 8 Pa = 288 MPa
Esfuerzo de flexión producido por el cambio de temperatura en la viga hiperestática.
4
RESISTENCIA DE MATERIALES 2 CAPÍTULO N° 5: TRABAJ O Y ENERGÍA DE DEFORMACIÓN TEOREMAS DE CASTIGLIANO En el siglo XVIII muchos matemáticos se interesaron por el desarrollo de la Mecánica de Materiales y de la Teoría de Elasticidad. Fue así como se tuvo un gran impulso, con los trabajos de Lagrange, D´Alembert, Bernoulli, Hamilton, Leibnitz, etc. Muchos de ellos desarrollaron teorías relacionadas con la energía, que han sido recogidas en diversas obras. Todos estos teoremas tienen gran relación, unos con otros, y no es tarea fácil ordenarlos. Se hará una presentación y demostración sumamente sencilla de los teoremas de Castigliano. Es posible demostrar rigurosamente estos teoremas, pero se requiere realizar un desarrollo teórico complicado, sin interés para el presente curso.
Primer Teorema de Castigliano Sea una estructura sometida a cargas P1 , P 2 , …..... P n, que producen desplazamientos correspondientes D1 , D 2 , ......…D n. Se entiende a las fuerzas y desplazamientos correspondientes en un sentido generalizado (fuerza-traslación, momento-rotación, dos fuerzas-desplazamiento relativo, dos momentos-rotación relativa). Si se dispone de una relación fuerza/desplazamiento adecuada, es posible expresar cada fuerza Pi en función de su desplazamiento correspondiente Di. Sustituyendo estas relaciones en la expresión del trabajo, es posible determinar la energía de deformación U en función de los desplazamientos:
U = f ( D1 , D2 , D3 ,....., Dn ) Si uno de los desplazamientos Di sufre un cambio muy pequeño dDi, la energía de deformación cambiará en dU :
dU =
∂U dD ∂ Di i
De otro lado, si el desplazamiento Di sufre esta variación, el trabajo de las fuerzas externas, W , variará en dW :
dW = Pi dDi dW = dU ⇒ Pi dDi = Pi =
∂U dD ∂ Di i
∂U ∂ Di
La derivada parcial de la energía de deformación, con respecto a cualquier desplazamiento Di, es igual a la fuerza correspondiente Pi, siempre y cuando haya sido posible expresar la energía de deformación en función de los desplazamientos. A esta expresión se le denomina Primer Teorema de Castigliano, en homenaje al Ing. Alberto Castigliano, quien fue el primero que la publicó, en 1879. 1
Ejemplo.E, A
Determinar la relación entre la carga P y el desplazamiento del nudo B.
E, A
A
C
B
P L
L
el alargamiento de cada barra será:
D
∆ L ε =
= L2 + D 2 − L ∆ L
L
σ
=
Q A
(Q = fuerza de cada barra)
se busca la expresión de U en función de D
U = 2 × por la Ley de Hooke:
U =
∆ L
EA∆ L L
⋅ ∆ L =
EA
U =
L
=
∫∫
⋅
∆ L
2 0 A A L QL EA
⇒Q=
(∆ L )2 =
EA L
1 L Q
(2 L
2
EA L
dAdx = Q∆ L
EA∆ L L
( L
+ D 2 + L2 − 2 L L2 + D 2 )
2
+ D 2 − 2 L L2 + D 2 )
2 L ⋅ 2 D 2 EA LD ∂U EA D = = − 2 D − L ∂ D L 2 L2 + D 2 L2 + D 2
P=
si D <<<
L
L
1 + D
P=
1 − 2 D 1+ 2 L
2 EAD
2 2
L
1
≅ 1+
2 EAD 1 + D 2 2 L2 − 1
1+
2
2
2 L
2 EAD D 2 2 L2
= 2 2 1 D 2 L L +
L
D
1 D
2 2
2 L
≅1 ⇒ P≅
2 EAD D L
⋅
2 2 1 D 2 L +
3 2
2 L
=
EAD
3
3
L
La relación P vs D no es líneal.
2
Segundo Teorema de Castigliano La energía interna complementaria U* puede expresarse en función de las cargas externas Pi aplicadas a la estructura:
U = f ( P1 , P2 , P3 ,......., Pn ) *
Si una de las cargas experimenta una variación muy pequeña dPi, mientras que las * demás no varían, la energía complementaria se incrementará en dU :
∂U * dU = dP ∂Pi i *
Por otra parte, cuando la fuerza Pi se incrementa en dPi, el trabajo complementario de * las fuerzas externas variará en dW , que será igual al desplazamiento correspondiente Di multiplicado por el incremento de la fuerza dPi.
dW * = Di dPi
∂U * dW = dU ⇒ Di dPi = dP ∂Pi i ∂U * Di = ∂Pi *
*
La derivada parcial de la energía complementaria interna, con respecto a cualquier carga Pi, es igual al desplazamiento Di correspondiente a dicha carga. Si la estructura es de un material linealmente elástico , U* = U , y entonces:
Di =
∂U ∂Pi
En una estructura de material linealmente elástico, la derivada parcial de la energía interna, con respecto a c ualquier carga P i, es igual al desplazamiento Di correspon diente a dicha carga. Se conoce a esta expresión como el Segundo Teorema de Castigliano. Recordando que:
U =
1 N 2
∫
2 x EA
dx +
1 f yV y
∫
2 x GA
2
dx +
1 f zV z
∫
2
2 x GA
dx +
1 M y
2
∫
2 x EI yy
dx +
1 M z
∫
2
2 x EI zz
dx +
1 T 2
∫ dx 2 x GJ
Es posible escribir, en general:
∂ N ∂Pi
N
Di =
∂U =∫ dx + ∫ ∂Pi x EA x
f yV y
∂V Y ∂Pi
GA
f zV z dx + ∫ x
∂V z ∂Pi
GA
M y dx + ∫ x
∂ M y ∂Pi
EI yy
M z dx + ∫ x
∂ M z ∂Pi
EI zz
T dx + ∫ x
∂T ∂Pi
GJ
3
dx
Teorema del Trabajo Mínimo En el caso de estructuras hiperestáticas el Segundo Teorema de Castigliano se puede utilizar de manera similar al método de la carga unitaria. Se determina el grado de indeterminación estática, y se define las redundantes hiperestáticas. Se eliminan las restricciones correspondientes, y se coloca en su lugar las redundantes. La condición de compatibilidad permite asegurar que el desplazamiento correspondiente a cada redundante es CERO, y por lo tanto:
∂U =0 ∂ R Si la estructura tiene “n” redundantes (grado de hiperestaticidad “n”) el método nos conducirá a un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas:
∂U =0 ∂ xi
∂U =0 ∂ x j
∂U =0 ∂ xn
etc.
En el caso de armaduras con hiperestaticidad interna, se puede hacer el siguiente razonamiento: B
P C
D
A
E
F
P B
C
Se define el grado de indeterminación (hiperestaticidad) y se elige las barras “redundantes”. Se elimina las barras redundantes (en el ejemplo la barra DF), y ahora se puede hallar fuerzas en barras; si se llama “X” a la fuerza en la barra DF, es posible hallar la energía interna como la suma de dos puntos (o más):
D
x x
x
A
U = U + U DF E
F
x
U es la energía en la armadura isostática, y
U DF
la energía en la barra eliminada.
∂U ∂U ∂U DF = + ∂ x ∂ x ∂ x Aplicando el Segundo Teorema de Castigliano:
∂U = DFD ∂ x
desplazamiento relativo entre los nudos isostatizada.
D y F en la armadura
∂U DF = δ DF alargamiento de la barra DF. ∂ x 4
por compatibilidad en deformaciones: y por lo tanto:
DFD = −δ DF
⇒ DFD + δ DF = 0
∂U ∂U ∂U DF = + =0 ∂ x ∂ x ∂ x
Si hubiera más barras redundantes, la ecuación sería:
U = U + U 1 + U 2 + U 3 ....... por cada barra redundante se tendría una fuerza desconocida xi y al hallar las derivadas parciales se obtendría:
∂U ∂U ∂U i = + , ∂ xi ∂ xi ∂ xi
pues
∂U j = 0 para todo j ≠ i ∂ xi
entonces, para cada barra redundante se tendría la ecuación:
∂U ∂U ∂U i = + =0 ∂ xi ∂ xi ∂ xi de esta forma se llegaría a un sistema con un número igual de ecuaciones e incógnitas. Finalmente también es posible escoger como redundantes hip erestáticas a fuerzas de sección. En este caso se deberá indicar claramente las fuerzas de sección que se considera, y el desplazamiento relativo correspondiente será también a CERO.
5
RESISTENCIA DE MATERIALES 2 CAPÍTULO N° 5: TRABAJ O Y ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Teoremas de Reciprocidad Los conceptos de reciprocidad son muy importantes en la mecánica aplicada y en el análisis estructural. Son aplicables a estructuras linealmente elásticas, en las cuales es válido el principio de superposición (ello supone que el material satisface la Ley de Hooke y que los desplazamientos son pequeños)
Teorema de los Desplazamientos Recípro cos (Maxwell - 1864) Antes de la demostración se mostrará un ejemplo a manera de ilustración: P
Sea una viga en voladizo, de luz L. Si se aplica una carga P en el extremo libre B , es fácil determinar que la deflexión en el punto medio C es:
B
A
L 2
3
δ CB =
δ CB
C
5 PL
L 2
48 EI
Si ahora se aplica la carga P en el punto medio C, la deflexión en B será:
P C
δ BC
3
δ BC =
5 PL
B
A
48 EI
La deflexión en C debida a la carga que actúa en B es igual a la deflexión en B debida a la carga que act úa en C. Para una demostración genérica, considérese una estructura cualquiera, por ejemplo una viga simplemente apoyada, sobre la que actúa una c arga concentrada P. Cuando la carga P actúa en el punto I se presentan las siguientes deflexiones:
P J
I
• δ ii
δ ji
•
Similarmente, cuando la carga P actúa en el punto J , las deflexiones serán:
P J
I
δij
el punto I j i en el punto J ii en
δ jj
el punto I en el punto J
•
ij en
•
jj
Si se tiene ahora dos fuerzas P, actuando simultáneamente en los puntos I y J , por el principio de superposición es posible afirmar que la deflexión en I será ii + ij y la deflexión en J será: j i + jj . Las dos fuerzas P se han aplicado en forma lenta y simultánea, y entonces realizarán un trabajo W, que será igual a la energía de la deformación U de la viga: W = U =
1 2
(
)
P δ ii + δ ij +
1 2
(
P δ ji + δ jj
)
(a)
1
Clase RM2 18 – Teoremas de Reciprocidad
El valor que alcance la energía de deformación no depende del orden en el cual se apliquen las cargas; por lo tanto si, en lugar de aplicarlas simultáneamente, actúan una después que la otra, se debe obtener el mismo valor de la energía de deformación. Si se aplica primero la carga P en I, se producirán las deformaciones trabajo realizado será: ½ P ii pues no hay carga en el punto J
ii
y
ji y
el
Si se aplica a continuación la carga P en el punto J , se producirán las deformaciones jj y ij . Esta carga realiza un trabajo ½ P jj ; por otro lado la carga P ya aplicada en el punto I al recorrer el desplazamiento ij producirá un trabajo P ij . El trabajo total realizado en esta etapa será:
1 2
P δ jj
+
P δ ij
Finalmente, el trabajo realizado, que es igual a la energía de deformación, cuando se aplica una carga después de la otra s erá:
U =
1 2
P δ ii +
1 2
P δ jj + P δ ij
(b)
Los valores de las expresiones (a) y (b) deben ser iguales, por tanto:
1 2
P δ ij +
1 2
P δ ji = P δ ij
⇒ δ ij = δ ji
que es la expresión del Teorema de los Desplazamientos Recíprocos: La deflexión en I debida a una carga que actúa en J es igual a la deflexión en J debida a una carga que actúa en I .
Teorema de los trabajos recíprocos (Betti – 1872) En 1872 el ingeniero italiano Enzo Betti presentó una formulación genérica del teorema de los trabajos recíprocos. Sea un cuerpo de material linealmente elástico, sometido a dos sistemas de cargas: QIi
El sistema I formado por n cargas I
I
D3
I
D2
Qi aplicadas en los puntos i en los
I
Di
I
D1
I
Q1
I
Q3 I
Q2
II
D3
Q jII
II
D2
II
Q3
cuales se presentan desplazamientos I correspondientes Di
El sistema II formado por m cargas II Q j aplicadas en los puntos j en los
II
D j
II
D1
II
Q1
cuales se presentan desplazamientos II correspondientes D j
II
Q2
2
Clase RM2 18 – Teoremas de Reciprocidad
I
Al aplicar el sistema I también se presentan, en los puntos j , desplazamientos D j
correspondientes a las cargas Q II ; asimismo, al aplicar el sistema II se presentan, j II
I
en los puntos i , desplazamientos Di correspondientes a las cargas Qi
La energía de deformación U (que es igual al trabajo de las fuerzas externas W) acumulada al aplicar los dos sistemas de cargas ( I y II) es independiente del orden en el cual se apliquen estos sistemas.
Proceso 1 I
a.- Se aplica el sistema de cargas
U PARCIAL =
1
y se genera una energía de deformación:
Qi
n
∑ Qi Di 2 I
I
i =1
b.- Manteniendo el sistema
I
Qi
II
se aplica el sistema de cargas Q j . La energía de
deformación será: U ADICIONAL =
m
1
∑Q 2
n
II j
D
II j
+ ∑ Qi Di . La energía total será: I
j =1
U TOTAL = U PARCIAL + U ADICIONAL =
i =1
n
1
II
∑ Q D 2 I i
I i
+
i =1
m
1
∑Q 2
n
II j
D
j =1
II j
+ ∑ Qi Di I
II
(1)
i =1
Proceso 2 II
a.- Se aplica el sistema de cargas
U PARCIAL =
1
y se genera una energía de deformación:
Q j
m
∑ Q j 2
II
II
D j
j =1
b.- Manteniendo el sistema Q II se aplica el sistema de cargas Qi I . La energía de j deformación será: U ADICIONAL =
1 2
U TOTAL = U PARCIAL + U ADICIONAL =
n
m
∑ Qi Di + ∑ Q j D j . La energía total será: I
I
II
i =1
1 2
I
j =1
m
∑ Q j D j + II
II
j =1
1 2
n
m
I I II I ∑ Qi Di + ∑ Q j D j i =1
(2)
j =1
al igualar las expresiones (1) y (2) se obtendrá: n
m
∑ Qi Di = ∑ Q j D j I
i =1
II
II
I
j =1
que es la ecuación del Teorema de los Trabajos Recíprocos , y puede formularse de la siguiente manera:
3
Clase RM2 18 – Teoremas de Reciprocidad
“ Para una estructura d e material linealmente elástico, sometid a a dos sist emas I de carga diferentes, el trabajo realizado por las fuerzas del prim er sistema ( Q ) actuando a lo largo de los desplazamientos correspondientes del segundo sistema ( D II ) es igual al trabajo realizado por las fuerzas del segundo s istema II
( Q ) actuando a lo largo de los desplazamientos correspondientes del primer sistema ( D I )” .
4
CAP. 5 TRABAJO Y ENERGÍA DE DEFORMACIÓN PROBLEMAS P2p4 12-2, E1p3 12-2, P4p2 12-2, E2p1 12-2, P3p1 12-2, P2p1 13-1, P2p3 13-1, E1p3 13-1, E1p5 13-1, E2p1 13-1, P2p3 13-2, E1p4 13-2, E1p5 13-2, P4p1 13-2, E2p1 13-2, P2p3 14-1, E1p2 14-1, E1p4 14-1, E1p5 14-1, E2p1 14-1, E2p2 14-1, E1p4 14-2, E1p5 14-2, P3p2 14-2, P2p3 15-1, E1p3 15-1, E1p4 15-1, E1p3 15-2, E1p4 15-2, E1p5 15-2
P2p4 12-2
P2p3 13-2
P2p1 13-1
P2p3 14-1
E1p2 14-1
E1p4 14-2
E1p3 15-2
E1p4 15-1
E1p3 13-1
E2p1 12-2
E1p3 15-1
P2p3 15-1
P2p3 13-1
P4p2 12-2
E1p5 14-2
E1p3 12-2
P4p1 13-2
E1p5 13-1
E1p4 15-2
E1p4 14-1
P3p2 14-2
E1p5 13-2
E2p1 13-1
P3p1 12-2
E2p1 14-1
E1p5 14-1
