Cap. 4 Variables Aleatorias Contínuas Y Distribuciones De Probabilidad

~ J '::~:: ::~::FF u 'n c i onesd e d e n s i d a d d e p r o b a b i l i d a d "';2:; , . ;;. - ""

_ 

Una variable aleatoria (va) disc discret retaa es una cuyo cuyoss valore aloress pos osibl ibles es 0 constituye tituyen n un conju conjunn-to fi finito nito 0 bien pue pueden ser pues puestos tos en lista en una una secuencia ecuencia infinita infinita (una una lis lista en la cual cual existe un primer  elemento lemento,, un segund segundo o element elemento o, etc. tc.). Una variable variable alcatoria lcatoria euyo conjunto conjunto de valores posible posibles es un inte interv rvalo alo comp comple leto to de nume numero ross no es es dis disereta j Recuerdes Recuerdese de acue acuerd rdo o con con el capf capftu tullo 3 que una una vari variaa ble aleatoria aleatoria X es continua si I) sus valores valores pos posible ibles comp compre rend nden en un solo solo inte inter valo sobr  sobr e la \fnea \fnea de numer acion cion (par (paraa al B ,  B , cualquier guna A < lquier num numeer o x entre A y B es un valor  pos posib ible le)) a una una unio union de inter  inter va vallos dis dis juntos  juntos y 2) P (X =c) =0 para cualquie ualquier numer o c que que sea un valor posi posi bl  blee d e X. X.

I

Eje m p lo 4.1 4.1

i

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I I

En el es estudio tudio d e la ecolog ecologf a de un lag lago o, se mid e la pr of  of undid  undid ad  en luga lugar  r es e s selecciona ionad os, os, entonces X =la profundidad  en ese lugar  es una una varia varia ble alea leator ia continua continua. En este cas asu u A es la profundid ad mfni mfnima ma en la la regio region mues muesttrea read  d a y B es la pro rofun fundi dida dad d max axim imaa. • Si se selecci seleccion onaa al azar azar un comp compues uesto to qufm qufmico ico y se detcr detcrmi mina na su pH X, ent entonces nces X es es una una variable riable alea aleator ia conti continu nuaa porq porque ue cualq cualqui uier er valor pH entre entre 0 y 14 es posib posible. le. Si se cono conocce mas sobr sobree el co compues mpuesto se.le e.leccionado ionado para su analisis, lisis, ento entonces el conjunt conjunto o de posib posible less valores podrfa se serr un subil1 ubil1ter val valo de [0, [0, 14], tal como 5.5 $ seguirfa siend o  x :5 6.5 pero X segu con co ntinua. • Sea X ]a ca cantid  ntid ad de titiempo empo que que un cliente liente se selleccio eccionado nado al azar  pas asaa es es per   per and  and o que Ie cor ten el pelo antes ntes d e que comie comience su corte corte d e pelo. EI prime primer pensa samient miento o podr f  fa  ser que X es una una variable aleatoria continua, continua, pues puesto que que se r equie quier e medir la par  par a d eterminar terminar su valo alor . Sin embar  embar go, exis existen cliente clientess suficientemente uficientemente af ortunados ortunados que que no tiene tienen que que es perar antes antes de sentars sentarsee en el sillon sillon del peluquer peluquero. o. Asf que el caso caso debe debe ser  ser  P(X =0) > O. Condicional en cuant uanto o a los los sillone silloness vados, vados, aun cuando cuando,, el tiemp tiempo o de es es per a sera con continuo tinuo pues puesto to que que X  po  podrfa drfa asumir umir entonces entonces cualquie cualquierr valor valor entr e un tiempo tiempo minim minimo o posi posi ble A y un tiem tiempo po maximo imo pos osibl iblee B. Es Estta varia aria ble aleato leatoria ria no es ni pur amente nte disc discr  r eta ni pur amente continua ontinua sino ino que es una una mezc ezcla la de lo los d os os tipos. tipos. • Se podr fa fa ar gumenta umentar que que aunqu aunquee en princ princip ipio io las las va var  r ia bl ia bles es tales les como altura, ltura, peso peso y tempe mperatur a so son n continuas, ntinuas, en la prac practica tica las limitaci limitaciones ones d e los los ins instrume trumentos ntos d e medic medicion nos restringe restringen n a un mund mundo o dis discreto creto (aunque (aunque en ocasiones casiones muy f inamente inamente subdivid ido) do). Sin embargo mbargo,, los los modelos delos continuo continuoss a menudo re presentan muy bien de for  for ma aproximada situacione tuacioness d el mund mundo o real real y con frecu frecuenc encia ia es mas mas facil facil tr a baja  bajar con mat matem emaaticas ticas continuas continuas (el calculo) calculo) que con matem matemaaticas ticas de variables variables discretas discretas y distribucione distribuciones. s.

D i s t r i b u c i o n e s d e p ro b ab i l i d a d d e va r r ii a b l e s c o n tin ua s Supo Supongase ngase que que la va variable riable X de interes es la pr of  of undi u ndidad dad d e un lag ago o en un punto punto sa br e la su pe  perfic rficie se sellec ecci cio onado al aza zar. r. Sea Sea M =la pr of undid ndidad ad max axim imaa (e (en n metr os), os), as asff que cualqui quier num numero en el inter valo alo [0, [0, M] es un va vallor posibl posiblee d e X. Si se "disc discreti retizza" X midiend o la pr ofundid ad  al metro mas mas cerca cercano, no, ento entonces los los va valore loress pos posibles ibles son enter os os no negativos negativos menores nores que que 0 iguales iguales a M. La distrib distribucio ucion n dis discreta creta result resultaante nte de profundidad  se ilus ilustra tra can un histogr histograma ama de probabil probabiliidad . Si se traza traza el his histogra tograma ma d e modo modo que que el area area del rectangurectangu10 sobre sobre cualquie cualquierr entero entero posible posible k sea la propo proporcion rcion del lago lago cuya cuya prof profun undid  did ad es (a (al memetro mas cerca cercano) k, entonces entonces el area rea total total d e to todo doss los rect rectangulos ulos es 1. En la l a tigu tigura ra 4.1 a) a pa  par ece un pos posible ible histog histogr  r ama. ma. Si se mide mide la profund id ad con con muc much ho mas precis precision y se utiliza utiliza el mis mismo eje d e med ici icion d e la figur a 4.1 a) a),, cad a rec rectangulo en el his histogr ama d e pr o ba  ba bilid ad res resulta ultante es mucho mas angos angosto to,, aun aun cuand cuando o el area tota total d e todos todos los los rect rectaangulos ulos sigue siend iendo o I: En la

Variables aleatorias contlnua contlnuass y distri distribuCiones buCione s de probab roba b ilid a d

,

fi~ura 4. 4.Lb) se iLustr a un pos posibL~his ibL~histogr~~a; togr~~a; tiene una a parien~i~ mucho mas regula regular qu quee el hlstograma hlstograma de Lafigura Lafigura 4.1a) 4.1a). SI se cont contmua mua de esta esta manera manera mldlen mldlendo do la prof profund undlda ldad d mas ma s y ! mas finameme, finameme, Lasec Lasecuen uencia cia res resultant ultantee de his histogramas se aproxi aproxima ma a una una curva curva m as r egul egulaar  i taLcomo Lcomo la iLus iLustrada en la fig figura 4. 4.Lc). Lc). Como Como en ca cada histogra histograma ma el are area total total d e to tod  d os o s lo~ rectan rectangul gulos os es iguaL a I, eLa eL area tota total bajo la la curva curva regula regularr tambie tambien n es I . La probabi Iidad de ~ que la la pr ofund  ofund id ad  en un punto selec eleccio ionad  nad o aLaza aLazar  se encuentre uentre entre entre a y h es simplc implcr nen nen _  , te ~ rea ba jo  jo la cur va regula regular  r  entre a y b. Es de manera manera exac exacta una cur va regul regulaar d el ti pa  pa Iarea ilustr ilustrado ado en Lafigura Lafigura 4 .lc) lc) la que que es e s peci  pecifica fica un dis distr i buci6n  buci6n de probabilidad continua. continua .

f 

I /--- ~ ~

L -~ -"

o

M 

c)

Figur Figuraa 4.1 a) Hist Histograma ograma de probab probabililidad i dad de prof profun undi didad dad medid medidaa al met metrro mas cercano; b) hist histoo grama de pprob robabi abililidad dad de pprof rofund undid idad ad medida medida al centim centimet etro ro mas cercano; c) un un limi limite te de una secuenci secuencia de hist histo· o· gramas discretos discretos..

LSea X una una variable variable aleatoria aleatoria conti continua. nua. Entonces, Entonces, una una distribucion distribucion de probabilida probabilidad d 0 Cuncion Cuncion de densidad densidad de probabilidad probabilidad (fdp) fdp)de X es una funci6nf  funci6nf lx) lx) taLque pa para d os numeros numeros cuale cualesquier a a y b cona :5 h , P(a P(a :5 X :5 b)

=

r 

f( x) f( x)

d  x

a

[a, b] es eLarea Es dec decir , La p La prob robaa biLidad de que X as asum umaa un valor en el interv intervaalo [a, Larea so so- bre este inter  inter vaLo vaLo y ba jo Lagr afica fica de la funci funci6n 6n de d ensidad, idad, como como se iLust iLustra ra en !a f 1  x)) a menudo se canac _ gura gura 4.2. 4.2. La grafica rafica de j( x canacee como como cur va d e densidad ; j

JI

 f(x)) sea una Var a que f(x una funci6 funci6n n d e densidad densidad de prob probaa bilidad legftima, legftima, d e be satis atisf acer acer las dos ssiiguientes guientes condiciones: condiciones:

as las x  f( x  x)) ~ 0 con tod as 1. f( 2.

Eje m p lo 4.4

J:

rea ba jo la curva f( f(x) d..t =area curva f( x  x))

=L

J

La d ir  ir ecci6n ecci6n de una imperfec imperfeccci6n i6n can can res re s pecto a una linea linea d e ref erenc rencia sabre un objet objeto o cir cucular ta tal como como un ne neuma umatico, tico, un rotor d e frena frena a un volante volante esta esta, en gener al, sujeta a incertidu incertidum m bre.  bre. Considere Considerese se la linea linea de referencia referencia que conecta conecta el vas vastago de la la valvula de un neumatico neumati co con y su punta punta centr al sea X el ang angulo ulo medido en el sentido entido d e las manecillas manecillas del reloj reloj can can respec respectto a la ubicaci ubicaci6n 6n d e una imperf ecci6n. cci6n. Una posible posible f unci6n unci6n de densidad densidad de p r obabil o babilida idad d d e X es ( 1  f ( x)

= J 360

lOd e

0 :5 x

<360

10 contr ario

La funci6n de densidad de proba bilidad aparece dibujada en la [lgura 4.3. Claramente j(x) ;.::::O. EI area bajo la curva de densidad es simplemente el area de un rectangulo (altura) (base) = C~J(360) = 1. La probabilidad de que el angulo este entre 90° y 180° es

;ur va mas :,~,ji~r, total d ,~

ii J ,

f <, " '.

a proba));!"

., ,k

b es sim j .. a r egular  ,.

,""1.

I

P(90 :s X::S 180) = =

,p o

(180

 J

90

-

I

X

dx = 360 360

IFl80

I

=-4 =0.25

1,,;90

La probabilidad de que el angulo de ocurrencia este dentro de 90° de la linea de r eferencia es

,I.. ad  cOl1ti~

ana; b i his;,.", ' r d

---1---

sec ue ncia c· i'<'i' 270

·oba bilid i' I que par :, . ",

es el are;; ustr a en i

360

Como siempr e que 0 :s a :s b :s 360 en el ejemplo 4.4, P(a ::s X :s b) d e pende solo del ancho b - a del intervalo, se dice que X tiene una distribucion uniforme.

DEFINICION

Id.

.r

i

~que una variable aleatoria continua X tiene una distribuci6n uniforme en el in-te~;;l~ [ A, B] si la funcion d e densid ad de probabilidad de Xes

 f( x;

A , B) ~{B

(~A

 A:S  x:s B

de 10 contrarioJ

La gnifica de cualquier funcion de densidad de probabilidad uniforme es como la de la figura 4.3 excepto que el intervalo de densidad positiva es [A, B) en lugar de [0, 360). En el casu discreto, una funcion masa de probabilidad indica como estan distribuidas  pequefias "manchas" de masa de probabilidad de varias magnitudes a 10 largo del eje de medicion. En el casu cominuo, la densidad de proba bilidad esta "disper sa" en fonna continua a 10 largo del intervalo de posibles valor es. Cuando la densidad esta dispersa uniformemente a 10 lar go d el inter valo, se obtiene una funci6n de densid ad de probabilidad unifonne como en la f igur a 4.3. . Cuando X es una variable aleatoria discr eta, a cada valor posible se Ie asigna una pro babilidad positiva. Esto no es cicrto en el caso de una variable aleatoria continua (es decir, se satisface la segunda condici6n de la definicion) porque el area bajo una curva de densidad  situada sabre cualquier valor unico es cero: un o b jeto -:',;.'l!ta a incclT' . " In1 neUlll atlt¥". ·

lo j con

. ,"!!1

Ie" , '\0

)i lid ad d o t:

.'\

P( X  = c) = -c« f (x) d  x

=!06

 f c + e c-e f(x)dx

= 0

EI hecho de que P(X = c) = 0 cuando X es continua tiene una importante consecuencia practica: La probabilidad de que X quede en algun intervalo entre a y b no depende de si el limite inferior  a 0 ellimite superior  b esta incluido en el calculo de probabilidad 

Si X e s discr eta y tanto a como b son valor es posi bles ( p. ej., X  es binomial (.')" a = 5, b =10), entonces cuatro d e estas pr o ba bilidad es son dif erentes. La cond ici6n d e pr o ba bilid ad cero tiene un analogo fisico. Consid er cse: cir cular  s6lid a con area de secci6n tr ansver sal = I pulg2 . Cologue la barr a a le I i:. d eje de medicion y sup6ngase que la densid ad d e la barr a en cualquier  puntl' .\ I;,', el valor } (x) d e: una f unci6n d e densidad . Entonces si la barr a se r e bana en 10\ Ill'" y este segmentu se retira, la cantidad de mas a eliminada es J~ f( x) d  x; si ]a bam; exactamenre en eJ punto c, no se elimina masa. Se asigna mas a a segmentos d e ill:. la barr a per o no a puntos individuales.

Eje m p lo 4.5

! R "Intervalo d e tiern po" en el f l ujo de transito es el tiempo transcurrido entr e el ti0 un carro termina d e pasar por un punto fijo y el instante en que el siguiente c; :u 1"1 ' , a pasar  por  ese punto. Sea X =el inter valo d e tiempo d e d o s carros consecuti\:l);. nad os al azar  en una autopista dur ante un period a d e tn'tfico intenso. La siguiclli de d ensid ad  d e pr o babilidad de X  es en esencia el sugerido en "The Statistical Pr o , Fr eeway Tr aff ic" (T rans p. Res. vol. II: 221-228):

={0.15e-O.15(X-0.5)

 f (x)

°

2: 0.5 . 10 de contr ano

x

La gn'itica de f ( x) se d a en la f igur a 4.4; no hay ninguna d ensid ad  asocia,L; ,. valos d e tiem po de menos d e 0.5 y Ia densid ad del intervalo decr e ce con r a pid cl >c cial) a med i da que.r se incrementa a partir de 0.5. Claramente,f (x) 2: 0; para dCf I'l)-' I~" f(x) d  x: =I.se utiliza el r esultado o btenido con calculo integral I; e-kr  dx Entonces

(' 0

f( x)

d  x

 I c x o =

m

J~

=

0.15e-O.15(x-O.S) 0. IS e0075

• __

d  x

f '"

0.lS eO . 07 S  =

Jm

e ,·O IS r  < 1 .\

Ie-( O. 15)(0.5) =

O .IS

!(x)t 0.15

1 i, I

I

I I I I I

,.

I I I I

I I

. ... . .. - - . . ..-

0

1

I I I I I

t

2

0.5

La pr o ba bilid ad  d e que el intervalo de tiempo sea cuando mucho de 5 segund os P(X : :: :: 5)

=

IS

f(x)

d  x

-;<

=

- I S

=O .IS e O . O , S 

I

5 0.5

0.lS e -O.15 (x-O .S l dx

e- 0 . 15 x d  x = 0. IS e o . 07 S 

• - __

e0075(_e-0.75

+e- O .07 5 ) =

= P(menos d e S seg) =P(X

Ie- O . 15 x

0.15

0.5

=

C'

1.078(-0.472

I

X ~ S

r ~n.5

+0.928) =

0.4':l1

< 5)

A d ifer encia las distribuciones discretas tales como la binomial, la hi per gcl';;' la binomial negativa, la distr i buci6n d e cualquier  varia ble aleatoria continua d;I J ,i " ral no pued e ser clerivad a mediante simples ar gumentos proba bilisticos. En camhi,' hacer una selecci6n juiciosa de la funci6n de clensid ad de proba bilid ad  basad ;1 ('Ii mientos pr evios y en los d atos dis ponibles. Af ortunad amente, existen alguna~; la::' ner ales d e l'unciones d e densidad de probabilid ad que se a justan bien a una ampii:t \ d e situaciones exper imentales; varias de estas se discuten mas ad elantc en cl ca pi;:,

Ex'1 ctamente como compuesta iderese

una

a menudo es util pensar en la poblaci6n

de valores X en lugar de individuos

 b'1bilidad es entonces un modelo de la distribuci6n

h~ II'[a

de valores en esta poblaci6n de la poblaci6n

numeric a y con

(tal como la media).

l

pum\!'. " \ b

ia balTa sc os de intely, j"de

: el tiempo :e carro

,,'  ji

1. Sea X la cantidad de tiempo durante 1'1cual un libro puesto en reserva durante dos horas en 1'1biblioteca de una universidad es solicitado en prestamo por un estudiante seleccionado y suponga que X tiene la funci6n de densidad 

qlle

C0[iH"!Il.o

r

~cutivos

l ( ) de 10 contrario

,nf 

Calcule las siguientes probabilidades: a. P(X:=; I) b. p(0.5

:=;X:=; 1.5)

c. P(l.5
:ociad'1 con "'k r-  apidez

(CXP':1l'D·

Ira demostr ,u'

 A=-5yB=5.

que

a. Calcule P(X <0).  b. Calcule P(-2.5
dx = (!!t.\

:x

P(k 

<

k +4

< 5, calcule

3. EI error implicado al hacer una medici6n es una variable aleatoria continua X con funci6n de densidad de probabilidad  - x

2

)

-2:=;  x:=; 2

. 0 \ de 10contr'1rio a.  b. c. d.

Bosqueje la gnifica de f(x). Calcule P(X >0). Calcule P(-I 0.5).

4. Sea X el esfuerzo vibratorio (Ib/pulg2) en el aspa de una tur bina de viento a una velocidad del viento particular en un tunel aerodim'imico. EI articulo "Blade Fatigue Life Assessment with Application to VAWTS" (1. Solar Energy Engr. 1982: 107-111) propone la distribuci6n Rayleigh, con funci6n de densidad de probabilidad   f(x:

= J ;2

l

• e o'  _ ,'1 1 2 .')

x

>0

de 10 contrario

como modelo de la distribuci6n X. a. Verifique que j(x; 8) es una funci6n de densidad de pro babilidad leg(tima.  b. Suponga que 8 = 100 (un valor sugerido por una gnifica

1.5

1.491

ipergeometr i,',\

en el articulo). i,Cwil es la probabilidad de que Xes cuando mucho de 200'1 i,Menos de 200'1 i,Por 10menos de 200'1 c : i,Cual es la probabilidad de que X este entre 100 y 200 (de nuevo con 8 = 100)? d. De una expresi6n para P(X s:; x).

y

la dad a en g,:I1(:-

dc bc lsada en ':"1\,':.i mas f'1m iI EI~ " c cambio.

amplia

8)

Sf 

S. Un profesor universitario nunca termina su disertaci6n an-

va! j,',Lid

el capituh

,

~k

 f(x) ={kx

2

o

O:=; x:=; 2 de 10 contrario

a. Detemline el valor de k  y trace la curva de densidad correspondiente. [Sugerencia: EI area total bajo la gnifica de fix) es I.]  b. i,Cual es la probabilidad de que la disertaci6n termine dentro de un minuto del final de la hora? c. i,Cmil es la probabilidad de que la disertaci6n continue despues de la hora durante entre 60 y 90 segundos. d. i,Cuai es la probabilidad de que la disertaci6n continue durante por 10 menos 90 segundos despues del final de la hora?


 f(x' ) =  fO.0 937 5(4

entre eI final de la hora yel final de la disertaci6n y suponga que la funci6n de densidad de probabilidad de X es

O:=; x :=; 2

 J(x) =0.5x

siguientc  jcal Propen

de interes

u objetos. La funci6n de densidad de pro-

 base en este modelo se pueden calcular varias caracterfsticas

a a 10 larg" '.k  un to x est;) d ;,J, p o r lias

como en el c'1so discreto,

tes del final de la hora y siempre tennina dentro de 2 minutos despues de la hora. Sea X = el tiempo que transcurre

6. EI peso de lectura real de una pastilla de estereo ajustado a 3 gramos en un tocadiscos particular puede ser considerado como una variable aleatoria continua X con funci6n de densidad de probabilidad  {k[l J(x) =

o

- (x - 3)2]

2 s:; x:=; 4 de 10 contrario

a. Trace la grafica de fix).  b. Determine el valor de k. c. i,Cual es la probabilidad de que el peso real de Iectura sea mayor que el peso prescrito? d. i,Cual es la probabilidad de que el peso real de Iectura este dentro de 0.25 gramos del peso prescrito? e. i,Cwil es la probabilidad de que el peso real difiera del  peso prescrito por mas de 0.5 gramos? 7. Se cree que el tiempo X (min) para que un ayudante de la boratorio prepare el equipo para cierto experimento tiene una distribuci6n uniforme con A = 25 y B =35. a. Determine la funci6n de densidad de probabilidad de X y trace Lacurva de densidad de correspondiente.  b. i,Cual es la probabilidad de que el tiempo de preparacion exceda de 33 min? c. i,Cual es la probabilidad de que el tiempo de preparacion este dentro de dos min del tiempo medio? [Sugerenciu: ldentifique J .l. en la grafica defix).] d. Con cualquier  a de modo que 25
uniforme con A = 0yB = 5, entonces se puede demostrar  que el tiempo de espera total Y  tiene la funci6n de densidad  de probabilidad 

'  fey )

=

215 Y

3- _ ...l- y

{ 5

25

o

a. Cuand o mucho d e seis segund os?  b. De mas d e seis segundos? i,Por  10 menos d e seis segundos1 c. De entre cinco y seis segund os?

O~y<5

5 ~."~

10

y

Una f amilia de funeionesde d ensid ad de proba bilid au que ha sid o utilizad a par a a pr oximar  la distr i bueion d ef  ingr eso. el tamano d e la po blaei6n de una eilld ad  y el taman" .Ie f ir . mas es la familia Pareto, L a familia tiene dos par ~illll:lros, ~ k  Y 8, am bos> 0 y la f unei6n de densid ad  d e pr oba bliidau es

10

a. Tr ace la grafica d e la f UlIcilin tie Jensid ad d e pr o ba bilid ad d e Y . .  b. Verifique que

j:~ fey)

r

d  y =I.

c. i,CUlii e s la pr o babilid ad d e q ue e! tiempo d e tal sea cuando mucho de tres minlllos'! d. i,CUlii es la proba bilid ad d e que el tiempo total sea cuand o mueho d e oeho minlltos? e. i,Cual es la pr o ba bilid ad  de q ue el tiempo d e tal este entr e tr es y oeho minutos? f. i,Cual es la proba bilid ad d e que cI tiem po d e tal sea de menos d e 2 minutos 0de mas de 6

cs pera to-

t

Jk.(Jk  f(x; k, 8) =

de es per a

l

~ r ,

X~+I

~ .

esper a to-

a. Tra  ce la gr litica d e f (x; k  , 8).  b. Veritique que el area total ba jo la gr atica es igll
es per a tominutos?

,

~ .

~ ~.

"

k  , 8), can cualquier  b > O . " bk nga d e pr o ba bilid adj\x; una ex pr esion par a P(X ~ b). d. Con 8
9. Considere de nuevo la f unci6n d e d ensidad de pr o ba bilid ad  de X =intervalo de tiempo dad o en eJ e jemplo 4.5. i,Cual es la proba bilid ad de que el inter valo d e tiem po sea

-- -- - J

1 $ · ~ ,~ :i;'F .u n c io n e s d e d i s t r i b u c i6 n a c u m u l a ti v a . f ~ Y c v a lo r _e _s _ e _ s p _ e _ ra _ d _ o _ s

 . _. ... _

Varios d e los mas importantes conce ptos introducidos en el estudio d e distribuciones d i~cr etas tam bien desempefian un importante pa pel en las distribuciones continuas. Def inic:ones amilogas a las del capitulo 3 implican reemplazar la suma por integr acion,

La fllnCl\~!n Je distr ibucion aClIlTIulativaF(x) de una varia ble alcatoria d iscr eta X d a, con l:u:i!quler  nurner o es pecif icad o x, la' pro babilid ad  P( X :$ x), Se o btiene sumand o la funci6n masa d e pr o ba bilidacl p(y) a 10largo d e todos 10s valores posibles y que satisf acen y :$ x. La funci6n de d istribuci6n aClImulativade una var ia ble aleatoria continua d a las mismas pr o ba bilidad es P(X ~ x) y se obtiene integrando la funcion de densid ad d e proba bilidadj(y) entre los Hmites --%y x. La f uncion de distr i bucion acumulativa d ef ine para todo numero x como F(x)

=

P(X

sel

F(x) d e una varia ble aleatoria continua ,Y

:$ x)

=

J

dy.o

r ~ f(Y )

Con cada x, F(x} es el area bajo la cur va de dcnsid ad a la izquicrda d e x. Esto se iluslJa

~ _ fi  g~'~ _ 4.5,  f( x)

d ond e F(x) se i~cr ementa conr egularid ad  a med ida que x se incrementa

!

.

F (x)

I

F(8i

F(8)-

r . 5

,'11 .

--- - - 1

~

.

0.5

~ / ;

 x 10

I

t

•. X 

10

8

L

Sea X el es pesor de una cierta lamina de metal con distribuci6n uniforme en [A, B). La fun A, F(x) = 0, como no hay area bajo ci6n de densid ad  se muestr a en la Figura 4.6. Con x < la grafica de la funci6n d e densidad a la izquierda de la x. Con x 2: B, F(x) = I, puesto que toda el area esta acumulada a la izquierda de la x. Finalmente con A ::; x ::; B ,

e probabiii,(:, j q U e :lUcioll d e! ;'l: :rc so, ' y c1la m ~ u'\", ,ii: tir_ ~ lC d ns P'U,l"" ",'os d e pr o bl bi';d Jd 

~

c ';

f 

x

F(x)

=

f .~B-A --

I

f 

fe y) d y  =

-0 0

i'

i t

l '

dy = -B-A

v= x

.Y

x-A

I

y=A

B-A

tica cs igu," :, I. Ilcion d e ck n ,;,la d ier  b

>n , ,,1;i':!J~a

F (x ) ={ x ~ A B-A

I

 buciones tL'creas. D ef in i',::Of leS

da, COil CU':!<;Ld cr ,. i6n masa , j", ;'r oa funci6n d ,' ~hIid ad es f 'L\' :c : xl nites --7 _  VI

_ 

e F(x ) p ar a ca lcu lar p ro b ab ilid ad es La importancia d e la funci6n de d istribuci6n acumulativa en este caso, 10 mismo que para vaVr ia bles aleator ias discretas, es que las probabilidades de varios inter valos pueden ser calculadas con una f6rmula 0 una tabla d e F(x).

Sea X una variable aleatoria continua con funci6n de densidad de probabilidadf(x) funci6n de distribuci6n acumulativa F(x). Entonces con cualquier numero a ,

Y

La figura 4.8 ilustra la segunda parte de esta proposici6n; fa probabil idatl d , ' sombreada bajo la curva de densidad entre a y byes igual a la dif ercnc'. areas sombreadas acumulativas. Esto es diferente de 10 que es apropiad o [1;1;.' aleatoria discreta de valor entero (p. ej., binomial 0 Poisson): P(a :SX::S b) = f i cuando a y b son enteros.

// -----

I I, II I

Suponga que la funci6n de densidad de probabilidad de la magnitud  X d e ca sobre un puente (en newtons) esta dada por   f(x)

1 + 1. x 8 8 ={

O ::s x ::s 2

0

I

i F(x)

=  f x

f (y ) d y

de 10 contrario

3)

= f X ( 1 - +-

-0 0

()

8

8

x 3 , d Y   = -+ -· x  '  8 16

Y

\

1

x
0 F(x)

l l l l ~ ; ,

 x

3

{ 8

16

= - +-

xl

O::s x :S2

2<  x

1

Las graficas deflx) y F(x) se muestran en la figura 4.9. La probabilid ad  Ik  ,',' entre 1 y 1.5 es

=

PO ::s X::S 1.5)

F( 1.5) - F(l)

2. (1. W ] = [1(1.5) + 8

= ..!2 . =

- [1(l) + 2. (1 )2 '1

16

8

16'

J

0.297

64

P(X>

1) =1 - P(X:S

1) =1 - F(l)

I I = 0.688

=

16

F(x)

I

=

I -

I - (1) [8

3,'

+-,

16

(1)2

i

,I[

d esead  a .

C'.

nCIa entr e

ei a re ',

Una vez que se obtiene la f unci6n d e d istr i buci6n acumulativa, cualq uier pr oba bilid ad  que implique Xes facil de calcular  sin cualquier integraci6n ad icional.

!as d o ,

 p ar a una vH riable ' = F(b) -- I"u . _\ I

Ob ten cio n d e f(x ) a p a r t i r d e F(x ) Para X d iscreta, la f unci6n masa de pro babilidad  se o btiene a partir  d e la f unci6n d e distri buci6n acumuIativa consid e rando la difer encia entr e dos valor es F(x). EI ana logo continuo d e una d ifer encia es una d erivad a. EI siguiente resultad o es una consecuencia d el teorema f und amental del calcuIo.

Si X  es una varia ble aleatoria continua con funci6n d e d ensidad  de pr o ba bilid ad  j(x) y funci6n de d istr i buci6n acumulativa F(x), entonces con cad a x hace posible que la  f(x). d er ivad a F( x) exista, F' (x) =

Eje m p lo 4.8 (continuaci6n

del ejemplo

Cuando X tiene una d istribuci6n uniforme, F(x) es d eriva ble exce pto con x = A Yx = B, dond e Ia gr afica d e F(x) tiene esquinas afilad a s. Como F(x) =0 con x < A Y F(x) =1 con x >  B. F (x) =  j(x) con dicha x. Con A <  x <  B , 0 =

4.6) F'(x) =.~(x dx

B-A

A ) == _ 1 _

= f(x)

B- A

Cuando se dice que la caliticaci6n d e un ind ividuo en una prue ba f ue el 85° per centil d e la  po blaci6n, significa q ue 85% de tod as las calif icaciones d e la po blaci6n estuvieron pOI' d e bajo de dicha calif icaci6n y que 15% estuvo arriba. Asimismo, el 40° per centil es la calificaci6n que so bre pasa 40% d e tod as las calif icaciones y que es superad a par 60% d e todas las caliticaciones.

Sea pun numer o entere 0 y I. EI (lOOp)O percentil d e Ia distr ibuci6n d e una varia ble aleatoria continua X, d enotad a pOI' T/(P), se define como P

=

1)(P)

=J~

F (T  / ( p))

De acuerd o con la ex pr esi6n (4.2), T  / (p) es que ellOOp% d el ar ea bajo la gnif ica d ej(x) d a a la d erecha. POl'10 tanto, 71(0.75), el 75° ala izquierd a d e 71(0.75)es 0.75. La figur a

fey )

d y 

ese valor so bre eI e je de med ici6n d e tal suerte queda a la izquier da  d e T/(P ) y 100(1 - p)% queper centil, es tal que el ar ea ba jo la gr afica d e j(x) 4.10 ilustr a la d efinici6n.

F(x)

Ar ea som bread a

P =

1 P =F( T/ (p))

~ -

- - - - - - - - ~~

/1

/ '

:

I I I

l~ . "

Eje m p lo 4.9

La distribuci6n de la cantidad de grava (en toneladas) vendida por una compania d e m a te . riales para la construcci6n particular en una semana dada es una variable aleatoria COntin\li X con funci6n de densidad de probabilidad 

1. (1

 f(x)

= {2

- x2 )

0

I

o

de 10 contrario

$  x $

La funci6n de distribuci6n acumulativa de las ventas para cualquier  x entre 0 y I es

 I X  F(x) =

1. (l

02

- y Z )

d y

1. ( y

=

2

_ y3) I 3

y= x

1.

3

2

3

= (x _ X  )

 y=o

Las gnificas tanto def(x) como de F(x) aparecen en la figura 4.11. esta distribuci6n satisface la ecuaci6n P

=

F(1](p»

=

%

[1](P) -

El (lOOp)O per ccntil de

(1]~W]

Para el 50° percentil, P =0.5 y la ecuaci6n que se tiene que resolver es 1]3 - 3TI + I = = 0 : la soluci6n es 1] = 1](0.5) = 0.347. Si la distribuci6n no cambia de una semana a Olr a, en· tonces ala larga 50% de todas las semanas se realizanin ventas de menos de 0.347 ton y 50% de mas de 0.347 ton. F(x) t

La mediana de una distribuci6n continua, denotada por  jl, es el 50° percentil, aSi~Lj'e  jl satisface 0.5 = F(jl). Es decir, la mitad del area bajo la curva de densidad  se encuentra a la izquierda de jl y la mitad a la derecha de jl .

Una distribuci6n continua cuya funci6n de densidad de probabilidad es simetrica. 1 0 cual significa que la gnifica a la izquierda de un punto en particular es una imagen a espej<)de la graf i ca a la derecha de dicho punto, tiene una mediana jl igual al punto de simetrl:1. pu e sto que la mitad del area bajo la curva queda a uno u otro lado de este punta. La figura -'I 1 2 o a varios ejemplos. A menudo se supone que el error en la medici6n de una cantidad ff sica tiene una distribuci6n simetrica.

:

, .

om puilf a

aJeator ia

Val o re s es p er ad o s

u, . 'J1e . ' I:"'·,· .

!nu~.

Para una variable aleatoria discreta X, E(X) se obtuvo sumando x . p(x) a 10 largo de posibles valores de X. Aquf  se reemplaza la suma con la integr aci6n y la funci6n masa de probabilidad   por la funci6n de densid ad d e pr o babilidad para obtener un pr omedio ponderado continuo.

El valor esperado 0 valor medio de una varia ble aleatoria continua X con funci6n de densidad de probabilidad fix) es ILx

=

E(X)

=

ro o

x . f( x) d  x

Eje m p lo 4.10 (continuaci6n del ejemplo 4.9)

.' { 1 .

 j(x)

=

2

(l - x2)

0:5  X  :5I

o ;:mana a V; lS d l~O .3-\"

de 10 contr ario

," il' :  j \

Cuando la funci6n de densidad de probabilidadf tx) es pecifica un modelo para la distribuci6n de valores en una poblaci6n numeric a, entonces IL es la media de la po blaci6n, la cual es la medida mas frecuentemente utilizada de la ubicaci6n 0 centro de la poblaci6n. Con frecuencia se desea calcular el valor  es per ado de alguna funci6n heX) de la varia ble aleatoria X. Si se piensa en heX) como una nueva variable aleator ia Y, se utilizan tecnicas de estadf stica matematica para derivar la funci6n de densidad de probabilidad de Y  y E(Y) se calcula a partir de la definici6n. Afortunadamente, como en el caso discreto, existe una forma mas facil de calcular  E[h(X)].

Si X es una variable aleator ia continua con funci6n de densidad de probabilidadf(x) y heX) es cualquier funci6n de X, entonces en <1 . c::; pe j" simelrf ,l, i ,a tigur a · 1

E[h(X)]

Ejem p lo 4.11

=

ILh(X)

=

f :

hex ) . f (x) d  x

Dos especies compiten en una regi6n par el control d e una cantidad limitada de un cierto recurso. Sea X =la proporci6n del recurso controlado par la especie 1 y suponga que la funci6n de densidad de proba bilidad de X es

 f ( x)

O:5 x:5l = { ~

de 10 contrario

la clial es una distribuci6n unifoffile en [0, I]. (En su Iibro Ecological Diversit  y, E. C. Pielou llama a esto el modelo del " palo roto" para la asignaci6n de recursos, puesto que es analogo

a la ruptura

de un palo en un lugar seleeeionado

la mayor parte de este reeurso

eontrola

.

heX) = max(X,

La cantidad

esperada

eontrolada

f"

 E[h(X)]

=

 f l l 2

(I

=

=

I - X)

+

- x) . I dx

respecto

la varianza

a J .L y se calcul6

tJU('

,. . .

2

si

l:sX::s I

que controla

fl

\'! \' i

h. Sl J l

l

si O:s X <

lx

fl

I - x ) . f (x ) dx

I)

En el caso disereto,

la especie

~ I

p- x

por la espeeie

max(x,

~

al azaL) Entonees

la eantidad 

=

0

parte e s ,,'·nl'

la mayor

1- x) . I d  x

max(x,

1 dx

x·

2

= 1. 4

112

de X se defini6 como la desviaci6n

al cuadrado

es p

por medio de sumac En este easo de nuevo la integraci6n

za a la sumac

La varianza

de una variable

aleatoria

continua

ul

VeX) =

ro o

=

J.L)2 • f(x)

(x -

La desviacion estandar  (DE) de X es

y la desviaei6n

en la clistribuei6n f6rmula

estandar

d e

0  poblaei6n

U   x

dx = E[(X

de valores

J.L)2]

=VV(X).

dan medidas X.

-

euantitativas

de euanta

La forma mas faeil de ealcular 

clispCi (J'

es

i.d

abreviada.

L

PROPOSICI6N

de densidacl

y valor medio J .L es'"

 bilidadfix)

La varianza

X can funei6n

2 V_(X_)_=_E_(X_  )_-_[E_(_X_)]_"

.

i;h

d.

" j :.."~

C 

C.

Ejemplo 4,12

qu.

(continuaci6n . del ejemplo

E(X2)

= f X 

4.10)

x2 • f(x) dx

=

--"

f 

l

3

0

Cuando  piedades

heX)

= aX 

+ b,

5

2

l·t Ii

- x2 ) dx

I I(1;)

5

8

7 .~

E[h(X)]

0.059

y

= ~ =

320

y la varianza

= aJ.L + by

: ~iT {

li~ ln '-,

- x4) dx =

el valor esperado

que en el easo disereto:

.1. (l

1

l(1 .)2

=

x2

I)

= I) 2(x~

VeX)

fl

0.244x=

(J

de heX) satisfaeen V[h(X)] = a 2 ·u 2 .

las

h\\.H l

If 

(l.

i

h,

I'" 1)1

C.

".

d:.!

i

d .

,  j

dl

15.

Se d

\

\..':,:(,1,

11. La fund6n .de distribuci6n acumulativa del tiempo de prestamo X como se describe en el ejercicio I es

F(x)

 x2

'4

=

0:$ x

{ 

I

2:$x

 j;;,

b. P(O.S  :$X:$ I)

<0

 X 

Use esta para calcular  10 siguiente: a, P(X:$ 1)

<2

c. P(X> 0.5) d. EI tiempo de prestamo media jl [resolver 

I!.

e. F(x) para obtener la funci6n de densidad /(t)

,

1""',1'

f. g.

 b. i,Cual es P(X s0.5) r es decir , F(05)]? c. Con la funci6n de d istribuci6n acumulativa d e (a), i,cual es P(0.25
E(X). V(X)ylT x

h. Si aI prestatario se Ie cobr a una cantiJad  heX) = X2cuando el tiempo de pr estamo es X, calcule el co bro es perado E[h(x)].

12 .

La funci6n de distribuci6n

acumulativa

de X (=err or  de

m O O i " 6 :(: : I ~ J { ' : i :O : ' ( : x _ ~ ) ~ : ~ : 2 2

32

3

I

a. Calcule P( X <0).  b. Calcule P( - I < X

Responda los incisos a)-t) del ejercicio 15 con X = tiempo de disertaci6n des pues d e la hor a d ad o en el ejercicio 5.

2

Si la distribuci6n de X en el inter valo [ A, Bj es uniforrne. a. Obtenga una expresi6n para el (IOOp)Opercentil.

S x 

 b. Calcule E(X), VeX) y IT x' c. Con II, un entero positivo, calcule E(X").

< 1).

c. Calcule P(0 .5
-ado es per .!.::: lon :graci6n 1\:' _' 1! p b.

Sea X el voltaje a la salid a de un micr 6f ono y suponga que X tiene una distribuci6n uniforrne en el intervalo d e - I a I. EI voltaje es procesado por un "Iimitador dur o" con val ores de corte de -0.5 y 0.5, de mod o que la salid a d el limitador  es una variable aleatoria Y  relacionad a con X por  Y  = X si IXI s0.5, Y  = 0.5 si X >5 y Y  = -0.5 si X <-0.5. a. i,Cual es P(Y =0.5)?  b. Obtenga la funci6n de distribuci6n   acumulativa d e Y  y dibujela.

F'(x).

e. Verifique que

p .. =

O.

13. EIejemplo 4.5 introdujo el conce pto d e intervalod e tiempo en el f1ujode tr ansito y propuso una distribuci6n particular   para X = el inter valo d e tiempo entr e d os carros consecutivos seleccionad os al azar  (s). Suponga que en un eotomo d e lransito dif erente, la distribuci6n del intervalo de tie11) po tiene la fonna k   f (x)

es utilin'· un a

 _ 

I

. .  _ . . . !

ad./(x)

x

•

o

x S)

F(x)

 x>4

a. P(X::; I)  b. P(I sX s3) c. La funci6n de densidad de pr o babilidad

 J , ...,

a. Dibuje la funci6n de densid ad d e pr o ba bilidad . Luego obtenga la funci-6n de distribuci6n acumulativa d e X y

diM;",

d e X

Considere la funci6n de densid ad de probabilidad del tiem po d e es pera total Y  d e dos camiones 215Y  f ( y)

=

l_  -l.. y

{5

25

Y s10 5 s

o introducida en el ejercicio 8. a. Calcule y trace la funci6n d e distribuci6n acumulativa de Y . [Suger encia: Considere por  se par ad o 0 s  y <5 y 5 SY  S10 al calcular  F(y). Una graficade la funci6n de densidad de probabilidad debe ser uti!.]  b. Obtenga una ex pr esi6n para el (lOOp )O percentil. [Suger e np < p
15. Sea X la cantidad de es pacio ocupado por un articulo colocado en un contenedor de un pie] La funci6n de densidad  de probabilid ad de X es

f  90x \  I - x) 0< x
= {* [1 : 1 I n ( ~ ) ] :::",

[Este tipo de funci6n de distribuci6n aeumulativa es sugerido en el articulo "Variabilitiy in Measured Bedload-Tr ans port Rates" (W ater Resour ces Bull., 1985: 39-48) como modelo d e eierta variable hidroI6gica.] Determinar :

14. EI artfculo "Modeling Sediment and Water Column Interactions for Hidr o pho bic Pollutants" (Wat er Resear ch , 1984: 1169-1174) sugiere la distribuci6n uni for    me en el intervale 7.5, 20) como modele de profundidad (em) de la capa de  bioturbaci6n en sedimento en una r egi6n. a. i,Cuales son la media y la varianza d e la prof undidad ?  b..:i,Cual es la funci6n de distribuci6n acumulativa de la  profund idad ? c. i,Cual es la pr o ba bilid ad de que la pr ofundidad  o bservada sea cuando mucho d e IO? i,Entr e 10 y IS? d. i,Cual es la probabilidad de que la profundidad observad a este dentr o de una d esviaci6n estandar del valor medio? i,Dentro de d os desviaciones estandar ?

 f(x)

i i-' iI Iver  0.5 =

{ 

Sea X una var ia ble aleator ia continua con funci6n d e distri   buci6n acumulativa

t> I

a. Determine el valor d e k  con el cuaI.f(x) es una funci6n de densidad de probabilidad legitima.  b. Obtenga la funci6n de distribuci6n acumulativa. c. Use la funci6n de d istribuci6n acumulativa de ( b) para determinar la pr o ba bilidad d e que el inter valo d e tiempo exceda de 2 segundos y tambien la proba bilid ad de que el intervale este entre 2 y 3 segund os. d. Obtenga un valor medio d el inter valo d e tiempo y su desviaci6n estandar . e. i,Cual es la probabilidad de que el intervalo d e tiempo quede dentro de una desviaci6n estand ar d el valor medio?

· a dis per \i.)11 !Ia\ (7'2

=

-4

21.

Un ec610go desea marcar una regi6n de muestr eo circular  de 10 m d e radio. Sin embargo, el r adio d e la regi6n r esultante en realid ad es una varia ble aleatoria R con funci6n d e densidad de probabilidad 

 fer )

L~(l - (10- 1 ' ) 2 ] 4 = ~ lOd e

a. Si la mediana d e la ~istribucion Xes jl: ,d cmucstre ~ 1.8jl + 32 es la medlana de la dlstnbuclOl1 Y .

9;:;,.;:; II

 b. LComo esta r elacionado el 90° per centil Jc la d iMr i b. cion Y  con el 90 Q de la distribucion X? Veritiquc suc~  jetur a. c. Mas general mente, si Y =£IX + h, Lcomo C';13 r elacir , nado cualquier percentil de la distribuci6n Y  C ( II I el Jl e r. centil corres pond iente d e la distribucion X i

10 contr ario

LCual es el ar ea es per ad a d e la region cir cular resultante? 22.

La demanda semanal de gas pr o pano (en miles de galones) d e una instalacion par ticular  es una var ia ble aleatoria X con funci6n de densid    ad de pro   babilid ad 

 f ( x)

 j (

=

l· 2 I - -:;-) I;:; X  x-

o

26. ;:;

2

d e 10 contrario

a. Ca1cule la funci6n d e d istri buci6n acumulativa de X.  b. Obtenga una ex presi6n para el (IOO p)O per centiL LCual es el valor de jl? c. Calcule E(X ) y V eX) . d . Si 1500 galones estan en existencia al principio de la semana y no se es pera ningun nuevo suministro dur ante la semana, Lcuantos de los 1500 galones se espera que queden al final d e la semana? ISu ger e ncia: Sea he x) = cantidad que queda cuando la d emanda es x.) 23.

Si la temperatur a a la cual cierto compuesto se fund e es una variable aleatoria con valor medio d e 120°C y desviacion est:indar de 2°C, Lcuales son la temper atur a media y la desviacion est:indar medidas en OF? [Su ger e ncia: O F = 1.8°C +32.]

24.

La funcion d e de  nsid ad de pr o ba bilidad  de Pareto de X es

r~~ l

d e al gasto maximo que sale d el bolsillo d e $2500. Lue., go escriba una expresi6n para Y  como una f uncicindeX. (la cual implique varios precios dif er entes) y caiculed . valor esper ado d e la funci6n.)

 f ( x; k, 0) =  x~+ I

introducida en el e jercicio 10. a. Si k >I, calcule E(X).  b. iQue se pued e d ecir  so br e E(X) si J .: =I? c. Si k >2, demuestr e que V eX) = k fj2 (k - 1)-2(k  -

I

27.

2r 

l .

d. Si k =2, Lque se puede decir  so br e V eX )? e. LQUe condiciones en cuanto a k  son necesarias para gar antizar que E(X") es finito? 25.

Sea X los gastos medicos totales (en miles d e d (llares)~ curr idos por un individuo particular dur ante un ano d a&! Aunque X es una variable aleatoria discr eta. su ponga qll su distribucion es bastante bien aproximad a pur  una dis\!i.  buci6n continua con funcion de densid    ad d e pr o ba bili~ f ix) =k(l + xl2.5)-7 con x ~ O. a. iCual es el valor de k?  b. Dibuje la funci6n de d ensid ad de pro   ba bilidacl de X . c. LCmiles son el valor es per ado y la desviaci0n estand a d e los gastos medicos totales? d. Un individuo esta cubierto por un plan de ascguramienm. que Ie impone una pr ovision deducible de S500 (aslq ll los primeros $500 d e gastos son pagados por el individuo) Luego el plan pagani 80% de cualquier  gasto adicionalq ll exced a de $500 y el pago maximo por parte d el ind ividoo (incluida la cantidad deducible) es d e $2500. Sea ria C 3lf  tidad de gastos medicos de este individuo pagaclos por  b compania de seguros. LCual es el valor  es perad o de r. [Su ger e ncia: Primer o indague que valor de X  corr es poo..

Sea X la temperatura en °C a la cual ocurr e una r eaccion qUImica y sea Y  la temperatura en OF(as 1 q ue Y  =1.8X + 32).

Cuando se lanza un dardo a un blanco cir cular. consid er e b i ubicacion del punto de ater ri  za je res pecto al cenlro. SeaX el angulo en gr ados medido con respecto a la horizontal _ 

y suponga que X esta uniformemente distribuida en 1 0 . 3 60 } Defina Y  como la variable transformad a Y  =iIIX) =

;1 ·

(2'IT/360)X - 'IT, por 10 tanto, Ye s el angulo med id o en f a diancs y Yesta entre -'IT y 'IT.Obtenga E(Y) y (rr o btcniend o  primero E(X) y ax y luego utilizando el hechod c que h (X I es una funci6n lineal d e X.

, i

I ' La disuibucion nomlal es la mas importante en toda la probabilidad y estadfstica. Muchas ~  blaciones numericas tienen distribuciones que pueden ser representadas muy tiel mente p e r una curva normal apropiada. Los ejemplos incluyen estaturas, pesos y otras caracter fs  ticas f i· sicas (el famoso articulo Biometrica 1903 "On the Laws of Inheritance in Man" discuti6 mu' chos ejemplos de esta clase), errores de medicion en experimentos cientfficos, mediciones antropometricas en fosiles, tiempos de reaccion en experimentos psicologicos, mediciones de inteligencia y a ptitud , calificaciones en varios examenes y numerosas medid as e indicad ores economicos. Incluso cuando la distribucion subyacente es discreta, la curva normal a menu' d o da una excelente aproximacion. Ademas, aun cuando Ias variables individuales no esten

X es jl.
.

!

percenti I ,k

on

'.ii\trib

1,:

X? Vail,.:,!,'

. b , i,C6fli' str i bu ci6n :ib llc i6n X'

q~

'u c' . 'Z

rda( i< . " i l01 .' , pc

.
j

:n mi les ,I< : .~ .":cir eSj il. I'

d ur ante

normalmente distr i buid as, las sumas y pr omedios d e las varia bles en cond iciones adecuadas tendr an d e maner a a proximada una d istribuci6n normal; estc cs el contenido d el Teorema del Limite Centr al d iscutido en el siguiente ca pitulo.

"1.

,iH. da~ :

discreta. "'1'" m g a qil: . )ximad a p l" tin ,t dislrl, nsid ad  d e p i di,ahilid.1

I

,.~

Se dice q u e una varia ble alcator ia continua X  tiene una distribucion normal con parametr os J1 . Y (T (0 J 1 . Y a l" ~ dond e -et:; 0, si la f l lnci6n de densidad de  pro babilidad de  X  es

L__  _ 

f(X;.~~: _o-.-

__ v _ !2 _ 1 _ 7 T _ (T _ e _ ..-_i X_-_ IJ . _ )_ 'I _ I _ 2  _ ~'

 _'  J' _ _

.....r  ___
( 4 _  . _ 3 _ )--..J

t

~

: probabilid;;d

d~X. ~

Ia d esviac'i,":,

t\tanli:i

~

 plan d e a\C~ :li ,:l I1 ie n!, ~ lcible de S~\!(: Ia" q~f  .gados por  c! I raliliJu v. ~

t

uier gast<. adklOIl J ! qL,

 pOl' parte

'!I dividw ~ S ,e ;, f I:i can.~

l~ l"

de $2500.

paf 'I .K h ,., porl J

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t

talor es per acl,, ii,' f'! : valor d  . e X "il'!esp on· f , 10I slllo

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$~)!i(,

L u e. [

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lif er entes)

}  ' _'cl ic ulee:

) cir c ular .

c,>!,'.id er e b·

pecto al Cl:,','" Se a \

De nuevo e denota la base del sistema d e logaritmos natur ales yes a proximad amente igual a 2.71828 Y 7 T r e presenta la conocida constante matemar ica con un valor  a pr oximado de 3.14159. El enunciado d e que X esta nor malmente distribuida can los par ametr os J1. y (T 2 a menudo se abrevia como X ~ N (J1 ., (T 2 ). Clar amente fix; J-L , (T) ~ 0 aunqlle se tiene que utilizar un ar gumento de  calculo un  f(x; J-L , a) dx =I. Se pued e demostr ar que E (X) =J 1 . tanto complicad o par a veriJicar  que 2 a , de mod o que los par ametros son la media y la d esviaci6n estand ar d e X. La fiY VeX) = gur a 4.13 r e presenta gniticas d e f ix; J -L , (T) de varios par es difer entes (J-L , o) Carla curva de densidad  es simetr ica con r especto a J - L y acarnpanada, d e mod o que el centro d e la campana (punto d e simetrfa) es tanto la med ia de la d istr ibucion como la mediana. EI valor de (T  es la distancia d esd e J - L hasta los puntas d e inf lexi6n d e la cur va (los puntos d ond e la curva cam bia d e vir al' hacia a ba jo a virar hacia arri ba). Los gr andes val ores d e ( J " pr oducen gr aficas que estan bastante extendid as en tomo a J- L , en tanto que los valores pequefios de if  dan gnif icas con una alta cr esta so br e J - L y la mayor par te d el area bajo de la gnifica bastante cerca d e J - L . As! pues, una (T  gr ande implica que se puede o bser var muy bien un valor de X ale jad o d e J -L , en tanto que dicho valor es bastante im proba ble cuand o (T es pequef ia.

r:

; peeto a i:J '1;j11/
 j

I

I E( Y ) Y

(1',.

el hecho

i!lllc'liiond, lk  yllt'

/

~

' / '

/

f ~

i\ 1 1

\~

-

h l.l' ~

---- _ . ---!l d!stica. tv!l.i< :h a\ pO ' i m uy fi elm cntc p o l ~ lS caracter f\ti~'as f i· t

Par a calcular  Pea :S X se d e be d etenninar 

:S b)

clland o X e s una var ia ble aleatoria nonnal con parametros J - L y (T,

i

Man" discmi,) rnu·

tfticos, mcdicioncs

! I

'L

icos. med ic!oucs d e ~

d id ~s e indic·;[Jor cS va normal .1 Illenu,

livid""'e.' ""

,

 Ninguna d e las tecnicas estand ar d e integr aci6n pued e ser utilizad a par a evaluar la ex presi6n (4.4). En cambio, con J - L =0 y (T = I, se calcul6 laex pr esi6n (4.4) por medio d e tecnicas numericas y se ta bul6 para ciertos valor es d e a y b. Esta tabla tambien pued e ser  utilizad a par a calclliar pr o babilid ad es con cualesquiera atr os valores de J 1. y aconsid erados.

La distribucion normal con valores de panimetro J .L = 0 y a = I sc [hliHa dbk ' cion normal esmndar. Una variable aleatoria que tiene una distribucion m,r n",' tandar se llama variable aleatoria normal eshindar y se denotar a por  Z. La f !:~ de densidad de probabilidad de Z es

 fe z '  0 I)

."

= --

I

,

e- z '12

V 2 1 T '  

La grafica deftz; 0, I) se llama cur va normal estandar  (0 z). La f unci6n de cb:: cion acumulativa de Z es P(Z  :s z) =  f~x f(Y ; 0, I) dy , la cual sera d enolnd ,: po:

La distribucion normal estandar no sirve con frecuencia como moJelo d :? u,' cion que surge natural mente. En cambio, es una distribucion de ref    er cneia d e L ,  puede obtener informacion sobre otra distribucion normal. La tabla A. 3 d el a pen " (z) =P(Z ::::.::z), el area bajo la curva d e densid ad normal estandar ala iZCJuier da  c  z = - 3.49, - 3.48, ... , 3.48, 3.49. La figura 4.14 ilustra el tipo de ar ea aCUllluli!;i'  baoilidad) tabulada en la tabla A.3. Con esta tabla. varias probabilid ad cs qUI~ im r"  pueden ser calculadas.

Eje m p lo 4.13

Determinense las siguientes probabilidades normales estandar: (a) P(Z 1.25), (c) P(Z:s -1.25) y (d ) P( -0.38::::':: Z:S 1.25). a.

P (Z ::::.:: 1.25) =<1>(1.25),una probabilidad tabulada en la tabla A.3 d el :lpclld;(~I:, terseccion de la fila 1.2 y la columna 0.05. EI numer o allf es 0.8944, as! que Pi.? = 0.8944. La figura 4.15(a) ilustra esta probabilidad .

/----..",./cur\,'l .. '--

I; '

"1 :

.//

II

~

1;;1j

5I ~)1' "

 _ .~

I

o

1

a)

1-1

1.25

/

\

l'-

I

i,'-....

-

o

',,-> -.

1.25

 b)

·11

I

-l

b.

~ ~  j

P(Z> 1.25) =I - P(Z:s 1.25) =1 - <1>( 1.25). el area bajo la cur va .::a 13 '.;' de 1.25 (un area de cola superior). En ese caso <1>(1.25) = 0.8944 im plica l jll\" f  : 1.25) = 0.1056. Como Z es una variable aleatoria continua, P(Z 2: 1.25) Vease la figura 4.15(b). P(Z:s -1.25) = <1>( -1.25), un area de cola inferior. Directamente d e b labl<: apendice <1>( -1.25) = 0.1056. Por simetria de la curva z , esta es la misma del inciso b). C-c

c.

r ',

I "'",

d. 1a distr ih(:, nOnlla! C'"

La f une:;

P( -0.38

:::;Z:::; 1.25) es el area bajo la curva normal estandar sobre el intervalo euyo  punta extrema izquierdo es -0.38 y cuyo punto extremo derecho es 1.25. Segun la seccion 4.2, si X es una variable aleatoria continua can funcion de distribueion acumulativa F(x), entonces Pea :::; X:::; b) = F(b) -- F(a). Por 10 tanto, P( -0.38 :::;Z:::; 1.25) =
de distrih;;. ia par  It>:

) de un;l p. ·:'la. a de la q u~ '" :1 apendic,'

da

lierda d e . ':,'n lmulatl\':i i,"[0· lue im pliciil Z

Con cualquier  p entre 0 y 1, se puede utilizar la tabla A.3 del apendice para obtener el (1 O O p)O percentil de la distribucion normal estandar .

Ejemplo 4.14

El 99° percentil de la distribucion normal estandar es el valor sobre el eje horizontal tal que el area bajo la curva z a la izquierda de dicho valor es 0.9900. La tabla A.3 del apendiee da con z fija el area bajo la curva normal estandar a la izquierda de z, mientras que aqu! se tiene el area y se desea el valor de z. Este es problema "inverso" a P(Z :::; z) =? as! que la tabla se utiliza a la inversa: Encuentre en la mitad de la tabla 0.9900; la fila y la columna en la que se encuentra identificado el 99° percentil z. En este caso 0.9901 queda en la interseecion de la fila 2.3 y la columna 0.03, as! que el 99° percentil es (aproximadamente) z =2.33. (Vease la figura 4.17). Por simetrfa, el primer percentil esta tan debajo de 0 como el 99° esta sabre 0, as! que es igual a -2.33 (l % queda debajo del primero y tambien sobre el 99°). (Yease la figura 4.18.)

.

,

/

/

curva

.

\ \,

;: a la dt'l\:\:ha lica que p( Z > 25) =0 l;j.:'6

--+1/

I

0

\~

z Area sombreada

I

= 0.01

En general, la fila y la columna d e la tabla A.3 d el apendice, d ond e el ingr ~', localizad o identif ican el (lOOp)O per centil ( p. ej., el 67° percentil se ohtienc In, . 0.6700 en el cuerpo de la ta bla;la cual d a Z =0.44). Si p no aparece, a menuclo ',e ' numer o mas cercano a el, aunque la interpolaci6n lineal da una res puesta m;ls pr,:'. ejemplo, par a encontr ar  el 95° per centil, se busca 0.9500 adentro d e la ta bla. Aunqd no apar ece, tanto 0.9495 como 0.9505 sf , correspondientes a z =1.64 Y 1.65, r ,' , mente. Como 0.9500 esta a la mitad  entr e las dos proba bilidades que sf  apar ecen. "'. ni 1.645 como el 95° per centil y - 1.645 como el 5° percentil.

No tac io n

Za

En inf er encia estadf stica, se necesitan valores so br e el e je horizontal areas d e cola pequefia bajo la cur va nor mal estand ar .

denotara el valor  sa bre el eje z para el cual recha d e z a' (Yease la figura 4.19.)

 Za

Par  e jemplo,

Zo.1O

om .

0'

7.q ue C!pr.1i'·

del area bajo la cur va z quec b

captur a el area de cola superior 0.10 Y

Zo.O I

ca ptur a el ar ea d e

.

J ;.

L',)h!

'

Como 0' del area bajo la curva Z  queda a la d er echa de Za '  I - 0' d el iir ea ( j'l' . izquierda. POl' 10 tanto, z a es eL 1000 - 0')0 percentiL de La distribucion nor ma! / . Par  simetrf a el area bajo la curva normal estandar a la izquierda d e - za tam b j.;n t ' :. valores z a en gener al se conocen como valores criticos z. La tabla 4.1 incluye lu~ i" .. les Z y los valores za mas utiles.

Per centil a (area de cola)  z a =100(1 - a)"  per centil

Eje m p lo 4.15

90 0.1

1.28

95 0.05 1.645

97.5 0.025 1.96

99 0.01 2.33

99.5 0.005 2.58

99.9 0.001 3.08

.t;."; q~ )

(J.i jliU·

:; .. '~.' '~

es el J OO(l - 0.05)0 =9SO percentil de la distribuci6n normal estanclar . pur  Zoos = 1.645. El ar ea bajo la cur va normal estand ar a la izquierda de - Z005 rambi":; j· (Yease la figura 4.20.)

Zo .os

'r

"

Ingreso!

 ' _ ." " G :!

e loc al ~/:: 1(10

10 s e u tili?!

e!

.s prcClsa

<)r

.unque

curva z " ' ..

,

Area sombreada = 0.05

,

/ _ "

\~/

''I''

( i ' ;

0.05 =

~>,!

I

1

1 5. res pe ..: ';,J.

' 

I \ , Area sombreada 0

Cuando X - N(J.L,
eX -

z=X-J.L
 p e a

 p ( a :

:$X :$b) =

: $b : J.L :$Z

(p ( a

< 1 > ( b : J .L ) _   = P(X:$

rea qucd" j ;.i! vo m a l  esui;uid ( , . bien es It. Lm

a)

= (

a :

P(X?:

J.L)

b)

:

J.L )

J.L )

= I-< t > (

h : J.L )

La idea clave de la proposici6n es que estandarizando cualquier probabilidad que implique X puede ser expresada como una probabilidad que implica una variable aleatoria nOffilal estandar Z, de modo que se pueda utilizar la tabla A.3 del apendice. Esto se ilustra en Ia figura 4.21. La proposici6n se comprueba escribiendo la funci6n de distribuci6n acumulativa de Z =(X - J -L ) /< T como P(Z:$

P(X:$ z) =

< TZ

+ J.L)

r~ + I'

=

f (x;J.L,

a) d x

'e los perccnri-

Utilizando un resultado del calculo, esta integral puede ser derivada con respecto a z para que de la funci6n de densidad de probabilidad deseada fez; 0, 1).

99.95 0.0005 3.27

Lr. por 10 '1!llD

mbien e~:\ u5

(x - fJ . )/0-

EI tiempo que requiere un conductor para reaccionar alas luces de freno de un \-:d ,: .. esti desacelerando es critico para evitar colisiones pOI'alcance. EI articulo "Fa~t··l-i; ke Lamp as a Collision-Prevention Device" (Ergonomics , 1993: 391-3<)5), S U gie- i tiempo de reacci6n de respuesta en tnifico a una seoal de freno de luces de f rc  n\' .  puede ser model ado con una distribuci6n normal que tiene un valor medi o Je i ::::; viaci6n estandar de 0.46 s. i,Cual es la probabilidad de que el tiempo de r eacci6n <". 1.00 s y 1.75 s? Si X denota el tiempo de reacci6n, entonces estandarizando sc 01,;

1.00 - 1.25 0.46

P(I 00:5 X:5 I 75)

.

.

 x -

1.25 0.46

: 5 : 5

1.75 - 1.25 0.46

-

=

p(

=

P( -0.54 :5 Z :5 1.09) =<1>( 1.09) -

1.00 - l.25 :5 Z:5 1.75 - 1.25) O M O M (J)(

-0.54!

.=0.8621 - 0.2946 =0.5675

Esto se ilustra en la figura 4.22. Asimismo, si se yen los 2 s como un tiempo d e reae;.· j, ticamente largo, la probabilidad de que el tiempo de reacci6n real exceda este va!o; , P(X >

2)

=

p (z

>2

- 1.25) 0.46

=

P(Z>

1.63)

=

1 - <1>( 1.63)

=

0.0516

Estandarizar no lleva nada mas que a calcular una distancia al valor medio y lucg,) , sarla como algun numero de desviaciones estandar . POI' 10 tanto, si J. t = 100 Y (T  ."  tonces x =130 corresponde a z = (130 - 100)/15 =30/15 = 2.00. Es decir , LiP desviaciones estandar sabre (a la derecha de) el valor media. Asimismo, es ta nd ar lz:.l 1 se obtiene (85 - 100)115 =-1.00, pOI'10tanto, 85 esta a una desviaci6n estand m l'  bajo de la media. La tabla z se aplica a cualquier  distribuci6n normal siempr e q ue Si se en funci6n del numero de desviaciones estandar de alejamiento del v alor  med in. i '

Eje m p lo 4.17

Se sabe que el voltaje de ruptura de un diodo seleccionado al azar de un tipo par tin'; normalmente distribuido. i,Cual es la probabilidad de que el voltaje de ruptur a I.k ~" este dentro de una desviaci6n estandar de su valor medio? Esta pregunta pueue ser  i'C"!'

..;

.'

r

da sin conocer  J -L 0 if, en tanto se sepa que la distribucion es normal; la respuesta es la misma para cualquier  distribucion normal:

~n vohkul" q~ Fast-RIse Bra_ ~ ), sugierc q ue el e freno estandar  ~ de 1.25 s y de s. ~

I

•,

lCCIOn

~

est::"

P(X

esta dentm de I desviacion estandar de su media)

P(J-L -

u:s X :s J- L + u)

j'

-U-J-L ~--~= P J-L

i

= P( -1.00 :s

(

entre !

o se obtie!k :

=

f ,

=

r

IL +U -J-L ) :sz:s ~----

U

U

Z:S l.00)

<1>(1.00)- <1>( -1.00)

=0.6826

La probabilidad de que X este dentm de dos desviaciones estandar es P(-2.00 :s Z:S 2.00) = 0.9544 y dentm de tres desviaciones estandar es P(-3.00 :s Z:S 3.00) =0.9974. • Los resultados del ejemplo 4.17 a menudo se reportan en forma de porcentaje y se les cOlloce como regia empfrica (porque la evidencia empfrica ha demostrado que los histogramas de datos reales con frecuencia pueden ser aproximados por curvas normales).

Si la distribucion de la poblaci6n de una variable es (aproximadamente) entonces 1. Aproximadamente 2. Aproximadamente 3. Aproximadamente

normal,

68% de los valores estan dentro de 1 DE de la media. 95% de los valores estan dentro de 2 DE de la media. 99.7% de los valores estan dentro de 3 DE de la media.

En realidad es inusual observar un valor de una poblacion normal que este mucho mas le jos de 2 desviaciones estandar de J - L . Estos resultados seran importantes en el desarrollo de  procedimientos de prueba de hipotesis en capftulos posteriores.

El (lOOp)" percentil de una distribuci6n normal can media J -L y desviacion estandar  c r  es facil de relacionar con el (lOOp)" percentil de la distribucion normal estandar.

(lOOp)Opercentil = +[ (100p)0 percentil ]. J- L de (J-L, cr) normal de normal estandar 

de reaccion eriste valor es

( luego recx preo y u =]5. eo:ir, 13 0 esta a 2 tandarizando 85 :standar por de)re que se pieo. medio. ;) particular  esta ura de un diodo de ser respondi- !

~

U

Otra forma de decir es que si z es el percentil deseado de la distribucion normal estandar, entonces el percentil deseado de la distribucion (J -L , u) normal esta a z desviaciones estandar de J - L .

Ejem p lo 4.18

La cantidad de agua destilada despachada por una cierta maquina esta normalmente distri buida con valor medio de 64 oz y desviacion estandar de 0.780z. "Que tamano de contenedor  c asegurara que ocurra rebosamiento solo 0.5% del tiempo? Si X denota la cantidad  despachada, la condicion deseada es que P(X > c) =0.005, 0, en forma equivalente, que P(X:S c) = 0.995. Por  10 tanto, c es el 99.5° percentil de la distribucion normal con J .L = 64 yU = 0.78. EI 99.5° percentil de la distribucion normal estandar es de 2.58 , por  10 tanto,

Dis trib uci6 n n o rm al y p o b lac io n es d is cr eta s La distribuci6n normal a menudo se utiliza como una aproximaci6n a la di str ! buciv' lores en una poblaci6n discreta. En semejantes situaCiones, se debe tener un cuid ~!d' cial para asegurarse de que las probabilidades se calculen can predsi6n .

Ejemplo 4.19

..",~

Se sabe que el coeftciente intelectual en una poblaci6n particular (medido con lin:: ' estandar) estti mas 0 menos nom1almente distribuido can J 1 - =100 y a =15. I,Ci  probabilidad de que un individuo .,seleccionado al azar tenga un CI de p Ol' Ie m>::w, Con X =el CI de una persona seleccionada al azar, se desea P(X?: 125). La tc n :"':1: este caso es estanclarizar X 2: 125 como en ejemplos previos. Sin embargo. la d i',ll de la poblaci6n de coeftcientes .intelectuales en realidad es discreta, puesto q ue h" dentes intelectuales son valores enteros. As! que la curva Donnal es una ap mXimJi;' histograma de probabilidad discreto como se ilustra en la ftgura 4.24. Los rectangulos del histograma estan centrados en enteros, poria que los (", tes intelectuales de por  10 menos 12 5 con'esponden a rectangulos que comienzan Ci la zona sombreada en la figura 4.24. POl' 10 tanto, en realidad se desea el area ba j" . apt'oximadamente normal a la derecha de 124.5. Si se estandariza este valor  se obk ' ?: 1.63) = 0.0516, en tanto que si se estandariza 125 se obtiene P(Z 2: 1.67 =nt, diferencia no es grande, pem la r es puesta 0.0516 es m;is precisa. Asimisr nu. P(.\ rfa aproximada

par el

area

entre 124.5 y ]25.5, puesto que el

area

bajo la

curV~ -l ih

 bre el valor unico de 125 es cem.

La correcci6n en cuanto a discrecionalidad de ]a distribuci6n subya centc en ' i  p]o 4.19 a menudo se llama cOl"reccion por continuidad. Es util en la siguicnt(; ~ de la distribuci6n normal al calculo de probabilidades binomiales.

 A p r o xim a c i6 n d e la d is tr i b uc i6 n b in o m ia l Recuerdese que el valor medio y la desviaci6n estandar de una variable aleatori:~ b X son J1-x = np Y a.\ = \/npq, respectivamente. La figura 4.25 muestra una hiq,<,  probabilidad binomial de la clistribuci6n binomial con n =20, p =0.6 con ei " = 2.19. Sobre el histograma de proha bilitLd  . 20(0.6) =12 y a = \/20(0.6)(0.4)  puso una curva normal con esas J .L y if. Aunque e1 histograma de probabilid ad c

.Hi

I. .!

Curva nonnal, Ii = 12, (J" = 2.19

ribuci0rj" l(h, I cuid~

;on una p,

10

j  j

melle,

'~l

~a tent~H'(:

;-'1 :

la dislri'l·,.,,·,"n I que los ,"'1, :: J x jma(i,"",~ l

e 105 coer ~nzan e n ~a ba jo } +J se o btil:n,

o j-

a.or  , J ,-

lr \':1

nonr

=

0.6 con curva de aproximaci6n

Y' !!.

=

I\,'I,

20, P

.   j

"

7

=

asimetrico (debido a que p ¥- 0.5), la curva normal da una muy buena aproximacion, sabre todo en la parte media de la figura. EI area de cualquier rectangulo (probabilidad de cualquier valor X particular), excepto la de los localizados en las colas extremas, puede ser  aproximada con precision mediante el area de la curva normal correspondiente. Por ejem plo, P(X = 10) =B( I0; 20, 0.6) - B(9; 20, 0.6) = 0.117, mientras que el area bajo la curva normal entre 9.5 y 10.5 es P(-1.l4::; Z::; -0.68) = 0.1212. En ter rn   inos generales, en tanto que el histograma de probabilidad binomial no sea demasiado asimetrico, las probabilidades binomiales pueden ser aproximadas muy bien por  areas de curva normal. Se acostumbra entonces decir que X tiene aproximadamente una distribucion normal.

l'ci

iCU\~'

15.

Figura 4.25 Histograma de probabilidad binomial para n normal sobrepuesta.

., ';,' _ 

Sea X una variable aleatoria normal basada en IIensayos con probabilidad de exito p. Luego si el histograma de probabilidad binomial no es demasiado asimetrico, X tiene apr o ximadamente una distribucion normal con J .L = En particular , np y u = con x = un valor posible de X,

;

"

vnpq.

; : ..

P(X::; x)

=

area bajo la curva nOrmal) +0.5

B(x; n, p) = ( ala izquierda de x

< t > ( X  +

=

~np)

Vnpq

En la practica, la aproximacion es adecuada siempre que tanto np 2: 10 como nq 2: 10,  puesto que en ese caso existe bastante simetria en la distribuci6n binomial subyacente. :nle en d  iente a pL.:'

,, '1 Una comprobaci6n directa de este resultado es bastante dificil. En el siguiente capitulo se vera que es una consecuencia de un resultado mas generaillamado Teorema del Limite Central. Con toda honestidad, esta aproximaci6n no es tan importante en el calculo de probabilidad  como una vez 10 fue. Esto se debe a que los programas de computadora ahora son capaces de calcular probabilidades binomiales con exactitud con valores bastante grandes de n.

:ator i~ bil>"'.d J

histog J ~;

on el Cl, ,J , j lillacl s, ' ld ad  es 'il;,

,L:

Eje m p lo 4.20 . \ ,

Suponga que 25% de los conductores con licencia de manejo en un estado particular no estan asegurados. Sea X el mimero de conductores no asegurados en una muestra aleatoria de taman050 (algo perversamente, un exito es un conductor no asegurado), de modo que

= 0.25. Entonces p., = 12.5 Y if  = 3.06. Como I1p = 50(0.25) = 12.5

p 2:

2:

10 ,

,

10, la aproximaci6n puede ser aplicada con segurid ad :

Supc

35 .

b . . -:tc

,

l;  I 

-

, ,._ )

10) = P(X < B( JO. 50 015'

n J  =

0.5 '¥ \ 10 +3.06

=<1>(-0.65)

=

12.5 \ }

".• ~ .;.;t( ·ll~t>

a,

0.2578

"i. Asimismo, la proba bilid ad d e que entre 5 y 15 (inclusive) d e los conductor es ~ no esten asegurados es P(5

:5 X:5

e

.1 J

15) = B(l5: 50, 0.25) - B(4; 50, 0.25)  _ if ,(·15.5 .- 12.5) _  ,•.. 125',) _  " ;. ':V (4.5 ~ \:.l ......... '-¥ 3.06 3.06

Las probabilidades exactas son 0.2622 Y0.8348, res pectivamente, asi que las ~1I."; nes son bastante buenas. En el ultimo calcu10, la proba bi1idad  P(5 :5X:S 151 (, aproximada par el area bajo 1a curva normal entre 4.5 Y 15.5, se utiliza la cor re  n i, tinuidad  tanto para ellfmite super ior  como para el inferior .

.Iil.

La ,.Ut

Cuand o el objetivo de la investigaci6n es hacer  una inferencia sa br e una: d e poblaci6n p , el interes se enf o cara en la proporci6n muestr al d e X/ n exitos y no I',· esta proporci6n es exactamente X  multiplicada por la constante 1 1 1 1 , tambicll f e" ximadamente una distribuci6n normal (can media p., =p y desviacil": siempre que tanto np 2: 10 como nq 2: 10. Esta a proximaci6n nor m:l; if  = de varios procedimientos inferenciales que se discutir an en ca pftulos poster ior c',

ypq;;,),

La

del L .1t

., pl,

\ I I-

,;'1<;,:,

,Oi

~i In

"

7 t )

tf\

t:~ ~ ~ J~ E R f I C IO' SS ecci6n 4.3 (28-58) 28.

H.

Sea Z una varia ble aleatoria normal estand ar  y calcule las siguientes pr o bahilid ad es, tr ace las figuras siem pr e que sea a pr o piado.

31.

a. P(O ~ Z ~ 2.17)

32.

c. P(-2.50 ~ Z ~ 0)

c. P(65:s X ~ 100)

e. P(Z ~·1.37) f. P(-l.75 ~ Z)

e. P(85~X~95) 33.

PH .50 ~ Z ~ 2.00)

h. P(I.37 ~ Z ~ 2.50) i. P(1 .50 ~-Z).

29.

I ZI ~ 2.50)

a.
p ro ~

34.

Z ~ e ) = 0.291

c. P(e~Z)=0.121 d. P(-e ~ Z ~ e) = 0.668 e. P(e~ 30.

IZI)=0.016

Encuentr e los siguientes percentiles de la d istribuci6n . nor mal estand ar . Interpole en 10s casos en que s e a a pr o piad o. a. 91" d. 25"

b. 9"

e.

()2

C.

752

d. P(70 ~ X) f . P(IX-801

d

.17 . = -c ;

I I I

Suponga q ue la f ucrza que actua en una colull'" da a sopor t ar un edificio esta normal mente el l"" media de 15.0 kips y desviaci6n estand ar  ,k  i,Cual es la pr o babilid ad d e que 1a fuerza a. sea de mas d e 18 kips?  b. este entr e 10 Y 12 ki ps? c. Difier a d e 15.0 kips en cuand o mucho i.'i ." estandar ?

En cada caso, d etermine el valor de la constante e que hace que el enunciad o de pr o ba bilid ad  sea corr ecto.  b.

Si X es una var iable aleatoria normal con I\lnli viaci6n estand ar 10. calcule las siguientes p:' ,,' , mediante estand arizaci6n: b. P(X ~ 80) a. P(X ~ 100)

d. P(-2.50 ~ Z ~ 2.50)

 j. P C

, .

c. a = 0.663

 b. P(O ~ Z ~ I)

g.

h.

Determine z" par a 10 siguiente: 0.0055 b. a = 0.09 a. a =

EI ar ticulo "R elia bility of  Domestic- Waste B il'i:i (1. of  Em' ir . Engr . , 1995: 785-790) sugier e qUt· , ' cion de sustr ato (mg/cm3 ) del afluente q u e !leg:.• esta normalmente distribuida con f . L = 0.30 y ,r  a. lCual es la pr o ba bilid ad de que la concelll]';:,· de 0.25?  b. LCual es la pr o ba bilid ad d e que la COO,T" cuand o mucho d e 0.1 O? c. (.Como car acterizar ia el 5% mas grand t· ti,> . lor es d e concentr aci6n?

S ti c (

5 3·

Supoflga que el diametr o a la altura d el pecho (pulg) de ar  boles d e un ti po esta nor malmente d istribuido con J .L = 8.8 Yu == 2.8 como se sugier e en el articulo "Simulating a Harvester-For ward er Sof twood Thinning" (Forest Pr oducts 1.

chos ace ptables tienen d iametr os entr e 2.9 y 3.1 cm. i,Cual maq uina es mas pro bable q ue pr od uzca un cor cho acepta ble') 39.

mayo d e 1997; 36-41). a. i,Cwil es la pr o babilid ad d e que el di,1metr o de un arbol seleccionad o al azar  sea por 10 menos d e 10 pulg?

: las apr u \ II! I J cio. s: 15) est;i '.iendli :orr ecci6n lit' C On .

I ~euna pr up (lrci6n ; y no en X. C omo

bien tendr i j apr o . viaci6n e'l;i nd ar  normal Cs I:! b a s e erior es.

i,Mayor d e 10 pulg'?  b. i,Cual es la probabilid ad  d e que el diametr o de un ar  bol seleccionad o al azar  sea de mas de 20 pulg? c. i,Cual es la pr o babilidad d e que el diametr o d e un arbol seleccionado al azar este entr e 5 y 10 pulg? d. i,Que valor  c es tal que el intervalo (8.8 - c,8.8 + c) inc1uya 98% d e todos los val or es de diametr o? e. Si se seleceionan euatr o arboles al azar , i,cual esla pro   babilid ad d e que por 10 menos uno tenga un d iametr o de

a. i,CuaI es la probabilid ad d e que el tamano de una sola gota sea de menos de 1500 J.Lm') i,Por 10menos de 1000 fL m ?  b. i,Cuales la probabilid ad  de que el tamano d e una sola gota este entre 1000 y 1500 J. L m ? c. i,C6 mo car acterizar fa el 2% mas pequeno de tod as las )n media ~() Yd e:ltes pr o bahrl:d ade'

'I

:S 10)

columna q ue :nte d istr ibuida I

< II U .

~Oll

1dar d c 12:' kip,. a

~Biof ilm R I.':ld ur ," ~eque la Cunl·entr a· e lIega a un r ea,lOr  30 y u = ()()6. flcentr acil)Ii ex,ed,

 b. i,Cual es el 6" per cemil de  la d istrihuci6n') c. EI ancho d e una linea gr:l bada en un "chip" de circuito integrado nonnalmente esta distlibllicla con media de 3.000 J.Lmy d esviaciol1 estand ar  de O . J 40. i ,Que valor de ancho separa 10% d e Jas lint:as mas anchas d el 90% r estante') 40.

£1 articulo "Monte Carlo Simulation-Tool for  Better  Und er standing of LR FD" (1. S r ruct ural E ngr ., 1993: 15861599) sugier e q ue la resisteneia   a ceder  (Ib/ pulg2) d e un acer o gr ad o A36 esta nonnalmente d istri buida con J .L = 43 4.5. y u= a. i,Cual es la pr o babilidad de que la r esistencia a ceder sea cuando mucho d e 40') i,De mas d e 60?  b. i,Que valor de resistencia a ceder  se par a al 75% mas r esistente d el resto')

41.

EI dis positivo de apertu ra automatica de un par acaidas de car ga militar  se disen6 para que abriera el par acaid as a 200 m sobre el suelo. Suponga q ut: la altitud d e abertura en r ealid ad  tiene una d istribuci6n nom1a1 con valor med io d e 200 m y d esviaci6n estandar  de 30 m. La car ga util se d anar a si el  par acaf da  s se a bre a menos d e 100 m. i,Cual es la pr o babilid ad d e que se dane la car ga util de cuando menos uno de cinco par acaf da  s lanzad os en forma ind e pend iente?

42.

La Iectur a d e temper atura tomad a con un termo par  colocad o en un medio a temper atura constante nor malmente esta d istribuid a con media fL, la temper atura real d el medio y la desviaci6n estand ar  u. i,QlIe valor tendria u  par a asegurarse de que el 95% d e todas las lectur as estan d entr o d e 0.1" de J. L ?

43.

Se sa be q ue la ti po es nonnal 10.256 ohms y ohms. i,Cuales

mas de 10 pulg? 36. La deriva d e las atomizaciones de pesticid a s es una preocu paci6n constante de los fumigadores y pr od uctores agricolas. La relaci6n inver sa entr e el tamano de gota y el potencial d e deriva es bien conocid a. £1 articulo "Effects of 2,4-D Formulation and Quinclor ac on S pr ay Dr o plet Size and Deposition" (Weed T echnology, 2005: 1030-1036) investig6 los ef ectos d e . formulaciones d e herbicid as en atomizaciones. Una Figur a en el artf culo sugir i6 que la distr ibuci6n normal con media d e 1050 J.Lm y d esviaci6n estand a r de 150 J.Lmf u e un modelo r azonable d e tamano d e gotas d e agua (el "tr atamiento d e control") pulverizad a a tr aves d e una boquilla d e 760 mlJmin.

gotas? d. Si se mid en los tamanos de cinco gotas inde pend ientemente seleccionad as. i,cual es la proba bilid ad d e que por  10 menos una exced a d e 1500 f Lm? 37. Suponga que la concentr aci6n d e clorur o en sangr e (mmolfL) tiene una distribuci6n normal con media de 104 y desviaci6n estand ar de 5 (inf ormaci6n en el articulo "Matemathical Mod el of Chloride Concentration in Human Blood", J, of M ed . Engr. and  Tech. , 2006; 25-30, incluid a una grafica de probaoilid ad normal como se d escribe en la secci6n 4.6, apoyal1d o esta suposici6n). a. i,Cual es la pro ba bilidad d e q ue la coneentr aci6n d e cloruro sea igllal a 105? i,Sea menor que IDS? i,Sea cuand o mucho d e 105?  b. i,Cual es la pr oba bnidad  d e q ue la concentraci6n de clorur o difier a de la media por mas d e una d esviaci6n estandar ? i,De pende esta pr o ba bilidad de los valor es de J .L y u? c. i,C6mo car acterizaria el 0.1 % mas extr ema d e los valores de concentraci6n de c1orur o? 38. Hay dos maquinas dis ponibles par a cortar  cor chos par a usar se en' botellas d e vino. La primer a produce cor chos con diametros q ue estan nomlalmente distri buid o s con media d e 3 cm y desviaci6n estand ar d e 0.1 cm. La segllnd a maq u ina pr oduce cor chos con d iametr os quetienen una d istribuci6n normal con media de 3.04 em y d esviacion estandar  de 0.02 cm. Los cor -

a. Si una d istr i buci6n nor mal tiene fL == 30 y u = 5, i,cual es e191" per centil d e la d istri bucion')

d istri buci6n d e r csistencia de r esistor es d e un y la resistencia del 10% de ellos es mayor  de la del5% es de una resistencia menor de 9.671 son el valor medio y la d esviaci6n estand ar  de

la distr ibuci6n d e r esistencia? 44.

Si la longitud roscad a d e un per no esta normalmente distri buid a, i,cual es la pr o ba bilidad d e que la longitud roscad a d e un perno seleccionad o al azar este a. dentr o d e 1.5 desviaciones estandar d e su valor medio?  b. a mas d e 2.5 d esviaciones estand ar de su valor medio? c. entre una y dos d esviaciol1es estand a r de Sll valor medio?

45.

Una maq uina que pr od uce co jinetes d e bolas iflicialmente se a just6 d e mod o que el diametro promedio verdad er o d e los cojinetes que pr oduce sea d e 0.500 pulg. Un co jinete es acepta ble si su d iametr o esta d entr o de 0.004 pulg de su valor  o b jetivo. Suponga, sin embargo, q ue el ajuste cambia d urante el curso d e la producci6n, d e mod o que los cojinetes tengan d iametr os normalmente distribuidos con valor medio de 0.499 pulg y desviaci6n estandar d e 0.002 pulg. i,Que  porcenta je de los eojinetes pr oducidos no ser a aceptable?

46.

La dur eza R ockwell d e un metal se determina hincando una  punta endur ecida en la super ticie d el metal y luego midiend o la pr of und idad  d e penetraci6n d e la punta. Suponga que la dur eza R ock well d e una aleaci6n particular esta nor malmente distr ibuida con media d e 70 y d esviaci6n estand ar d e 3. (La d ur eza R ockwell se mide en una escala continua.)

'babil jrld.,

.

I Cl1f )((-nld_ 

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 pro ba bi! it; '.' ::rr o.\\. e I(J()() ind,'

i

kDollald. if er enci.\

No existe una f6rmula exacta par a f unci6n d e d istribuci6n acumulativa normal estand ar  (z) , aunque se han pllblicad o varias a pr oximaciones en artfculos. La siguiente se tom6 d e "Appr oximations f or Hand Calculator s Using Small Integer  Coef fi  cients" ( M athematics of   C om put ation , 1977: 214· 222). Con 0
esta secci6n. Demuestre que si X tiene una d istribuci6n nor mal con 51.•• panimetros J .L y f T, entonces Y  = aX  +b (una f unci6n li-

,:.!:: U tili.

P::I':t, .u~

les d e

58.

oerouestre que la relacion ent~-e un per centil normal g:ne. 56. rat y el per cenlIl : cor r es pond lente es como se estlpulo en

'PUC::.\(~1t'l j.

< I'

neal de X) tambien tiene una distribuci6n normal. l.Cuales son los par ametr os d e la distribucion d e Y  r es decir ,  E(Y) Y V(Y )]? [Suger encia: Escriba la funci6n de distri buci6n acumulativa d e Y  , P(Y  :$y), como una integr al que implique la funci6n d e d ensidad d e pr o ba bilidad d e XYluego der ive con r es pecto a)' par a o btener  la funci6n de d ensid ad d e pr o ba bilid ad d e Y. ]  b. Si cuand o se mid e en °C, la temper atur a esta normal· mente distr ibuid a con media d e 115 Y d esviaci6n estandar de d os, i,que se pued e d ecir  so bre la d istr i buci6n d e temper atur a medid a en OF?

P( Z ;::: z ) = t -

< f ) (z )

_

- 0.5 exp

{

[ (8 3 Z 

-

+ 351): +562]} 703/: + 165

Et err or  r elativo d e esta a pr oximaci6n es d e menos d e 0.042%. Usela par a calcular  a pr oximaciones alas siguientes pr o ba bilid ad es y com pare siempr e q ue sea posible con las pr o ba bilidad es o btenidas con la ta bla A.3 d el a pendice. b. P( Z  <-3) a. P( Z ;::: I)


c. P(-4

d. P( Z >

5)

~ .

~el eier, " nes COOti!."

m ero k 

.  j

de: ;

1

\ ~ 1, .

L jl,:'

se el .e jl.~"'.:

,L j

O btenga

proh J .

l' " , :

cr. '

~~~~i1'Distribucionesexppnencial y gama

~ "" , " ' ,:'.. - "_ 'cr ;

i.:.•

10nnalcoJ':' r ete d e nter o).

E'

:"Iag , ~

..

< :If ,'

La cur va d e d ensid ad 

corres pondiente

na y por  consiguiente

es simetr ica.

a cualq uier Existe n

r ia ble de inter es par a un investigad or

SilL'

',! qU e'

ion norm'"

.: p. =

tinuid ad  p." , d ef ccto.'"

,.· ideu ·

d istr i buciones  pecial,

ex po nencial

muchas

nor mal

sitllaciones

en las cuales

asimetrica.

es la familia gama, Primer o

y luego se Ie gener aliza

tiene f or ma d e campa-

pnicticas

podrfa  tener  una distribucion

q ue tiene esta pr o piedad

la distribucion

d istr i bucion

Una f amilia

se consid er a

mas ad elante

la vad e

un caso es-

en esta seccion.

Di s tr ib uc io n ex p o n en cia l  pa r;1 m C lio .· ·. '

La familia

}abilid;.\li.

muy utilizad os

6n

':.In,,

d e d istri buciones

ex ponenciales

en d isciplinas

pr o por ciona

d e ingenier fa

modelos

de proba bilid ad

que son

y ciencias.

:"'.:,,1 ,,8 ':.

pOl' l:<.'1:

r c con L.h ;'. ,; ::lbili-

d el a p en d:

DE F INIC iON

Se d ice que X tien e una distribucion cion d e d ensid ad

n las cS !'c:<. , >.

~ar  d e

Sl'r  . j.

'c~ 1

con I;l~ C ',- , e~la V,}I

• :'cJ' .,i.td

Algunas (1/f3)e- x1 / 3,

fuentes

escri ben

d e mod o q ue f3

mente d istribuid a

l a f uncion

=

en

!l~ r,";;~ l-

:gur id ad . S,,,:k c· ·ctor es. i,C 'u "J

d eJo

utilizando

de densid    ad

contrario

(4,5)

de proba bilid ad

se requiere

el hecho de que VeX) =E(Xl)

gr al' por partes d os veces en sucesion.

:onductt"·,,

-

integr ar [E(X)]2.

Los resultados

'.i:' I J

de una varia ble

pOI' partes.

aleator ia

en la forma ex ponencial-

d e X  se calcula

de E()(2) requier e

de estas integraciones

inte-

son los siguientes:

I A

5 -

estand ar

de la distr i bucion

En la figur a 4,26 a par ecen

gr aficas

d e varias funciones

algunas

La varianza

La d eterminacion

Tanto la media como la desviacion ex ponenciales.

ex ponencial

X es

 jL

r 6n d e S,~!:" tr a usen .:'

si la f un-

 x 2::: 0

I/A. EI valor es per ad o

Par a o btener  est e v alor es per ad o uctor cs

>0)

A (A

"II! '

.:!.'I J a-

~ 200 f kc  !·

 Ae-A X {  0

=

ld~ l~

con panimetr o

de X es

d e pr o ba bilid ad

 I(x; A)

Ie accro p!

ex ponencial

ex ponencial d e d ensidad

son iguales aliA. de  pr o ba bilid ad 

a. Una pr o beta es acepta ble s610 si su d ur eza oscila entr e 67 y 75, i,cUlIIes la pro babilidad de que una pr o beta seleccionada al azar tenga una dur eza ace ptable?  b. Si el r an go d e dureza ace pta ble cs (70 - c, 70 +c). i,con que valor  de c tendr ia 95% d e todas las pr o betas una dur cza ace pta blc? c, Si el rango d e dur cza ace pta ble cs como el d el inciso a) y la dureza d e cada una de diez pr o betas seleccionad as al azar  se d etermina d e f orma ind e pendiente, i,cuaJ es el valor  es per ad o d e pr o betas acepta bles entr e las diez? d. i,Cual es la pr o ba bilid ad d e que cuand o mueho oeho d e diez pr o betas ind e pendientemente seleccionad as tengan una dureza d e menos de 73.847 [Suger encia: Y  =el ml-

d ar ) y luego calcule otra vez la pr u b,:hdl' i,Como se compara esta con su n"pU'."k 50.

ca. La compania afirma q ue 97 d e !0(' f'e~':i"f , ces d e d etectar una d if erencia d e sabai' ':litre " vie jos aceites. Suponiendo que esta ci I'm c',  pro por ci6n d e largo plazo) i,cual es 1a PWh,),! mad a de que en una muestra aleatoria d e Ii i(',; •. han comprada pa pas a la francesa en 1YL:D')l;~"" a. i,Por  10menos 40 pued an Botar!a Jikr (;'] ..; tr e los d os aceites?  b. Cuando mucho 5% pued a notal' b I jk"entre los d os aceites"

mer o de entr e las diez pro betas con dureza d e menos d e 73.84 es una varia ble binomial; L.cual es p?] 47.

48.

La distr i buei6n de peso d e paquetes enviad os d e cierta manera es normal con valor medio de 12 Ib y d esviaci6n estand ar d e 3.5 lb. EI ser vicio de  paqueter ia desea establecer  un valor d e peso c mas alIa del cual habr a un car go extr a. i,Que valor d e c es tal que 99% d e tod os los paquetes esten  por 10 menos I Ib por d e ba jo d el peso de cargo extra? Suponga que la tabla A.3 d el apendice contiene < I> (z) s610  para z 2: 0. Explique c6mo aun asi podria calcular  a. P(-I.72 s Z s-0.55)  b. P(-I.72 S ZS 0.55)

51.

52.

.I I

I

i

I

Sea X el numer o de d ef ectos en un carr etl: ,'. tica d e 100 m (una var ia ble d e valor  emcr u) X tiene a pr oximadamente una d istribucion n",: 25 y u =5. Use la cor recci6n pOl'colltimri\L. lar la pr o babilidad de que el numcr o d e lIef:·:'· a. Entr e 20 y 30, inclusive.  b. Cuando mucho 30, Menos de 30.

49.

I

La desiguald    ad de Che byshev (vCa~<.' c! "" capitulo 3), es valid a par a dislr ibucionc:, ~'" cretas. Estipula que par a cualq uier  I1\ jm ,~ w ' k 2: I, P( X - J  L 2: ku) S IIk2 (vea,c ei ' el ca pitulo 3 par a una inter  pr etacion). O b\t'r ,~  bilid ad  en el caso de una d istr ibuci6n LIlll' Jld 3 y compare con el Ifmite su per ior .

I

i,Es necesario ta bular  < I> (z ) par a z negativo? i,Que pr o pied ad  d e la, cur va normal estand ar  justif i ca su r es puesta? Consider e los be bes nacid os en el rango "normal" de 37-43 semanas de gestaci6n. Datos extensos sustentan la suposici6n d e que el peso de nacimiento d e estos be bes nacidos en Estad os Unid os esta nor malmente distr i buid o con med ia d e 3432 g y desviaei6n estandar  d e 482 g. [EI articulo "Ar e Ba", bies NomlalT (T he Amer ican S tatistician (1999): 298-302) analiz6 d atos d e un ano particular ; con una selecci6n sensi ble d e inter valos de c1ase, un histograma no parecia del tod o normal per o d es pues d e una investigaci6n se d etermin6 que esto se de bia a que en algunos hos pitales med ian el peso en gramos. en otr os 10 med ian a la onza mas cer cana y luego 10 convertian en gr amos. Una selecci6n modif icad a de inter va10s de c1ase que permitia esto pr odujo un histogr ama que er a deserito muy bien par una distri buci6n normaL] a. i,Cual es la proba bi!id ad d e que el peso d e nacimiento d e un be be seleccionad o al azar d e este tipo exced a de 4000 gr amos? i,Este entr e 3000 y 4000 gr amos?  b. LCual es la pr o babilid ad de que el peso d e nacimiento de  un be be seleccionad o al azar d e este ti po sea d e menos d e 2000 gr amos 0 de mas de 5000 gr amos? c. i,Cual es la pr o ba bilid ad d e que el peso d e nacimiento d e un bebe seleccionado al azar d e este tipo exeed a d e 7 libr as? d. i ,C 6m   o car acterizaria el 0.1 % mas extr emo d e todos los  pesos de nacimiento? e. 5 i X es una var iable aleator i a con una distribuci6n nor mal y a es una constante numer ica (a "'" 0), entonees Y  = aX  tam bien tiene una d istribuci6n normal. Use esto  par a d eterrninar la distr i buci6n de pesos de nacimiento ex presados en libras (f orma, media y d esviaci6n estan-

En res puesta a pr eocupaciones sob re  e] Clli1t>:' , t!w n de las comid as r a pid as. McDonald 's ha ~ zar a un nuevo aceite d e cocinar  par a ~U'. p""" q ue r ed ucira sustancialmente ios nivele:; (le:" incr ementara la cantid ad de gr asa poJi;n~;.""",.

53.

Si X  tiene una distri buci6n binomial l'\' j'l "., p, ca\cule cad a una d e las siguienlcs p'otd ..,j, la apr oximaci6n normal (con Ja COITCCC[,,'l\ p,,: en los casos p =0.5, 0.6, y 0.8 y com par e ("" dades exaetas calculad as con la ta bla A. j d e! .T'

a. P(l5

X S 20) S

 b. P(X S15) c. P(20 S X) 54.

Suponga que 1 0% de tod as las tlecha\ (k  "".  por medio de un pr oceso no cum plen con b,'. , . nes per o pued en ser  relr a ba jada\ (en lug,:r  d  d as). Consid ere una Illuestr a alealor i~l d e 2',': X el numer o entr e estas que no cumph:o e'm ' ciones y pued en ser r etr a ba jad as, (,C,\~ \i,', apr oximada d e que X sea . a. Cuand o mucho 30'1  b. Menos q ue 3D? c. Entr e 15 y 25 (inclusive)?

55.

Suponga que s610 75% d e tod os los COlid uu", do us an con r egularid ad el cinturon d e "< :'1,,, ;,1 , ciona una muestr a aleator ia d e son conduC!' .,.  pr o ba bilidad  de que a. Entr e 360 y 400 (inclusive) d e ]u, "u,." muestr a usen con r egularid ad el cirnur ,'.';  b. Menos d e 400 d e aq uellos en Ia mU,;,I'..1 • larid ad  el cintur6n d e segur idad '!

~6. Demuestn ral y el pc esta secci, ~1. a.

Demu,  par am neal d · les SOl E()'} )

 buciol que ir  Xy lu d e del  b. Si cu, menu d ar d , tem p'