CAP. 4 Resposta Livre de Sistemas Mecânicos Com 1 GDL

CAPÍTULO 4

Resposta livre de sistemas mecânicos com 1 GDL 4.1 INTRODUÇÃO 4.2 RESPOSTA LIVRE SEM AMORTECIMENTO 4.3 RESPOSTA LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO 4.4 RESPOSTA LIVRE COM AMORTECIMENTO DE COULOMB (OU CONSTANTE) 4.5 RESPOSTA LIVRE COM AMORTECIMENTO ESTRUTURAL (OU HISTERÉTICO) 4.6 COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO AMORTECIMENTO VISCOSO EQUIVALENTE 4.7 SUMÁRIO

4.1 INTRODUÇÃO esposta livre (ou natural) ocorre quando o movimento se deve R apenas à aplicação de condições iniciais, ou seja, a um deslocamento inicial e/ou a uma velocidade inicial. Neste último caso, a velocidade inicial pode ser dada através da aplicação de um impulso, por exemplo. Além disso, não há excitação externa após iniciado o movimento. Neste capítulo estudaremos a resposta livre de sistemas mecânicos com um grau de liberdade (1 GDL). Iniciaremos com o caso sem amortecimento, seguido do amortecimento viscoso, o mais importante do ponto de vista prático, devido à grande

frequência com que ocorre. Também abordaremos o amortecimento de Coulomb e o amortecimen amortecimento to histerético (ou estrutural).

4.2 RESPOST RESPOSTA A LIVRE SEM AMORTECIMENTO No sistema sem amortecimento não existe (ou é desprezível) a dissipação de energia energi a durante o movimento, movimento, o que faz com que a resposta livre seja um movimento oscilatório (ou vibração). Teoricamente, a amplitude da vibração permanece indefinidamente constante.

4.2.1 Sistemas translacionais A fig. 4.2.1 ilustra o modelo padrão de um sistema translacional com 1 GDL, sem amortecimento.

Figura 4.2.1 Sistema massa/mola (m - k) com 1 GDL

Modelo matemático

Para o sistema translacional completo, o modelo matemático é dado pela EDOL ..

.

m x(t ) + c x(t ) + kx (t ) = f (t )

(4.2.1)

Como não existe amortecimento, c = 0; além disso, por se s e tratar de resposta livre, não existe exi ste forçamento, logo f (t ) = 0 e o modelo matemático reduz-se a ..

m x (t ) + kx (t ) = 0

148

4 Resposta livre de sistemas mecânicos mecânicos com 1 GDL

(4.2.2)

frequência com que ocorre. Também abordaremos o amortecimento de Coulomb e o amortecimen amortecimento to histerético (ou estrutural).

4.2 RESPOST RESPOSTA A LIVRE SEM AMORTECIMENTO No sistema sem amortecimento não existe (ou é desprezível) a dissipação de energia energi a durante o movimento, movimento, o que faz com que a resposta livre seja um movimento oscilatório (ou vibração). Teoricamente, a amplitude da vibração permanece indefinidamente constante.

4.2.1 Sistemas translacionais A fig. 4.2.1 ilustra o modelo padrão de um sistema translacional com 1 GDL, sem amortecimento.

Figura 4.2.1 Sistema massa/mola (m - k) com 1 GDL

Modelo matemático

Para o sistema translacional completo, o modelo matemático é dado pela EDOL ..

.

m x(t ) + c x(t ) + kx (t ) = f (t )

(4.2.1)

Como não existe amortecimento, c = 0; além disso, por se s e tratar de resposta livre, não existe exi ste forçamento, logo f (t ) = 0 e o modelo matemático reduz-se a ..

m x (t ) + kx (t ) = 0

148

4 Resposta livre de sistemas mecânicos mecânicos com 1 GDL

(4.2.2)

Resposta livre

É obtida pela solução da EDOL (4.2.2), dada por: x (t ) = x0 cos ω n t +

x o ω n

senω n t

(4.2.3)

em que definimos a frequência angular natural em em rad/s como ω n =

k m

(4.2.4)

e em que as condições iniciais que causam a resposta livre são: • •

o deslocamento inicial (0). = x 0 e/ou x (0) . a velocidade inicial x(0) = x 0 .

Através de manipulações algébricas e trigonométricas, a eq. (4.2.3) Através pode ser colocada sob outras duas formas: Forma cossenoidal da eq. ( eq. (4.2.3 4.2.3))

x(t ) = X 0 cos(ω n t − f 0 )

(4.2.5)

em que a amplitude e o ângulo de fase inicial são são dados, respectivamente, por  .   x 0  X 0 = x02 +    ω n   

2

(4.2.6)

 .   x 0  f 0 = arctg  ω x  n 0  

(4.2.7)

Forma senoidal da eq. (4.2.3 4.2.3))

É dada por x(t ) = X 0sen (ωn t + f 0 )

(4.2.8)

em que a amplitude é dada também pela eq. (4.2.6) e o ângulo de fase inicial por

4 Resposta livre de sistemas mecânicos com 1 GDL

149

 ω x    f 0 = arctg n. 0     x 0 

(4.2.9)

A fig. 4.2.2 ilustra as duas formas para os mesmos dados. Notemos que a diferença reside no ângulo de fase inicial, sendo a amplitude a mesma para as duas formas.

Figura 4.2.2 Formas cossenoidal e senoidal, eqs. (4.2.5) e (4.2.8), respectivamente O��:

1. Conforme vimos anteriormente, para um sistema vertical na posição de equilíbrio estático temos mg = kδ est

(4.2.10)

Substituindo a eq. (4.2.10) na eq. (4.2.4), chegamos a ω n =

g d st

(4.2.11)

2. Também podemos usar a eq. (4.2.10) para obter: • Frequência natural em Hz: f n =

ω n 2π

=

1

k

2π

m

=

1

g

2π d st

(4.2.12)

• Período Natural em s: τ n =

150

1 f n

=

2π ω n

= 2π

m k

= 2π

d st g


(4.2.13)

Deslocamento instantâneo: na forma cossenoidal, é dado por x (t ) = X 0 cos(ω n t − f 0 )

(4.2.14)

Velocidade instantânea: derivando a eq. (4.2.14) em relação ao

tempo obtemos .

x(t ) = − X 0ω n sen (ω n t − f 0 )

ou .

x(t ) = X 0ω n cos(ω n t − f 0 +

π 2

)

(4.2.15)

Aceleração instantânea: derivando a eq. (4.2.15) em relação ao

tempo chegamos a ..

ω n2 cos(ω n t − f 0 )

x(t )

= − X 0

.. x(t )

=

ou 2 X 0 ω n

cos(ω n t − f 0

+

π )

(4.2.16)

Comparando as eqs. (4.2.14), (4.2.15) e (4.2.16), concluímos que, em relação ao deslocamento, a velocidade e a aceleração estão avançadas de π/2 e π rad, respectivamente, conforme ilustra a fig. 4.2.3.

Figura 4.2.3 Deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo


151

4.2.2 Sistemas torcionais Neste caso, o movimento do corpo rígido consta de uma rotação em torno de um eixo, sendo a coordenada generalizada um ângulo θ (t ). A causa do movimento é um deslocamento angular inicial e/ou uma velocidade angular inicial. O momento restaurador é fornecido pela energia potencial elástica armazenada em uma mola de torção. O modelo torcional com 1 GDL, sem amortecimento, é mostrado na fig. 4.2.4.

Figura 4.2.4 Sistema torcional com 1 GDL, sem amortecimento

Modelo matemático

O modelo matemático para o sistema torcional mais completo é dado por ..

.

J C q (t ) + ct q (t ) + kt q (t ) = M (t )

(4.2.17)

Quando a resposta é livre e o sistema não tem amortecimento, o modelo matemático simplifica para ..

J C q (t ) + kt q (t ) = 0

(4.2.18)

em que a rigidez da mola torcional é dada por: k t =

M t q

=

G I 0 l

(4.2.19)

O momento de inércia polar da seção reta, I 0, depende da forma da seção. Por exemplo, no caso de um eixo cilíndrico maciço, que é o mais utilizado, I 0, vale I 0 =

152

π d 4 32


(4.2.20)

Para outras seções retas também muito utilizadas, consultar o cap. 2. Comparando a eq. (4.2.18) com o modelo matemático do sistema translacional, dado pela eq. (4.2.2), verificamos que, matematicamente, constituem a mesma EDOL. Logo, podemos aproveitar todos os desenvolvimentos já feitos para o sistema translacional, simplesmente fazendo as adaptações seguintes: Sistema translacional

Sistema torcional

Massa m Rigidez k Deslocamento translacional x (t ) . Velocidade translacional x (t ) ¨(t ) Aceleração translacional x

Momento de inércia de massa J C Rigidez kt Deslocamento angular θ (t ) . Velocidade angular θ (t ) ¨ (t ) Aceleração angular θ

Resposta livre

Após consideradas as adaptações anteriormente, será dada por: q (t ) = q 0 cos ω nt +

q  0 ω n

(4.2.21)

senω nt

em que definimos a frequência angular natural em [rad/s] como ω n =

k t J C

(4.2.22)

Forma cossenoidal da eq. (4.2.21) q (t ) = Θ 0 cos(ω n t − f 0 )

(4.2.23)

em que a amplitude e o ângulo de fase inicial são dados, respectivamente, por  .   q 0  Θ 0 = q 02 +    ω n     .   q 0  f 0 = arctg   ω nq 0   

2

(4.2.24)

(4.2.25)


153

Forma senoidal da eq. (4.2.21) q (t ) = Θ 0 sen (ω n t + f 0 )

(4.2.26)

A amplitude também é dada pela eq. (4.2.24), enquanto que o ângulo de fase inicial é representado por    ω nq 0  f 0 = arctg .   q 0   

(4.2.27)

A frequência natural em Hz e o período natural também são obtidos por adaptação: f n =

n

=

ω n 2π 1 f n

=

=

1

k t

(4.2.28)

2π J C 2π

ω n

= 2π

J C k t

(4.2.29)

4.2.3 Aplicação: sistemas pendulares Pêndulos são sistemas oscilatórios nos quais a força restauradora que mantém o movimento é devida à gravidade e não à ação de uma mola deformada. Os três tipos mais comuns de pêndulos são o simples, o composto (ou físico ) e o filar . Os dois últimos têm uma aplicação prática importantíssima em Engenharia, pois através deles podemos determinar momentos de inércia de peças de geometria complicada, o que seria praticamente impossível de se obter com os métodos analíticos tradicionais da Mecânica. Pêndulo simples

Consta de uma massa pontual m suspensa verticalmente por um fio inextensível de comprimento l . Uma aplicação bastante familiar do pêndulo simples é o antigo relógio de parede. Conforme deduzido no PR3.2.7, o modelo matemático do pêndulo simples para pequenas oscilações é representado pela EDOL

154


..

q (t ) +

g q (t ) = 0 l

(4.2.30)

A frequência natural do sistema, em rad/s, é dada por g

ω n =

l

(4.2.31)

e, em Hz, por f n =

1

g

2π

l

(4.2.32)

O período natural , em s, vale τ n = 2π

l g

(4.2.33)

Pêndulo composto

Neste caso, a massa m está distribuída ao longo do corpo. No PR3.2.10 foi deduzido o seu modelo matemático: ..

q (t ) +

mgl q (t ) = 0 J o

(4.2.34)

em que l é a distância entre o centro de massa do pêndulo e o centro de rotação e J o é o momento de inércia do pêndulo em relação ao centro de rotação. A frequência natural do pêndulo composto é dada por ω n =

mgl J o

(4.2.35)

ou, em Hz, por f n =

1

mgl

2π

J o

(4.2.36)

e o período natural por τ n = 2π

J o mgl

(4.2.37)


155

Aplicação importante: determinação do momento de inércia de

massa de um corpo de geometria complicada, em relação ao seu centro de gravidade. Pêndulo filar

No pêndulo filar o corpo rígido oscila conforme ilustrado no capítulo 3. No PR3.2.11 foi obtido o modelo matemático para pequenas oscilações como sendo 2

 + m g D q = 0 q

4 J C h

(4.2.38)

em que h é o comprimento dos fios, D é a distância entre os mesmos, m é a massa do pêndulo e J C é o momento de inércia do pêndulo em relação ao eixo vertical de rotação. Da equação citada podemos obter, respectivamente, a frequência angular natural , a frequência natural e o período natural do pêndulo: ω n =

m g D2 4 J C h

1

m g D2

2π

4 J C h

τ n = 2π

4 J C h m g D 2

f n =

(4.2.39)

(4.2.40)

(4.2.41)

Aplicação importante: a determinação de momentos de inércia

de peças de geometrias complicadas, mas que tenham simetria axial. A partir da eq. (4.2.41) obtemos a expressão J C =

m g D 2 2

2 n

1 6π f h

(4.2.42)

a qual nos permite calcular o momento de inércia do pêndulo bifilar em relação ao seu eixo de rotação. Os parâmetros m, D e h podem ser medidos, ao passo que f n pode ser determinada experimentalmente, pondo-se o pêndulo a oscilar, analogamente ao que foi feito com o pêndulo composto.

156


4.2.4 Método de Rayleigh Serve para determinar a frequência natural de um sistema, apresentando a vantagem de dispensar a dedução do modelo matemático. O método baseia-se no Princípio da conservação da energia : EC max = EP max

(4.2.43)

em que EC Max é a máxima energia cinética e EP max é a máxima energia potencial. A eq. (4.2.43) constitui o Método de Rayleigh para sistemas com 1 GDL, o qual permite obter diretamente a frequência natural do sistema. Ele é particularmente útil nos casos em que a dedução do modelo matemático é complicada. PROBLEMAS RESOLVIDOS REFERENTES AO ITEM 4.2 ►

PR4.2.1 Deduzir a eq. (4.2.3).

S�� ..

Modelo matemático: m x (t ) + kx(t ) = 0 . Aplicando a transformação de Laplace e isolando a transformada de x (t ): 



.

m  s 2 x( s ) − sx0 − x 0  + k x (s ) = 0



( ms



2

.

)

+ k x( s ) = msx0 + m x 0

x( s ) = x0

ms

.

+ x0

m

ms 2 + k ms 2 + k . s 1 + x0 x( s ) = x0 k k s 2 + s2 + m m

Usando a definição de frequência angular natural, eq. (4.2.4): x ( s ) = x0

s s 2 + ωn2

.

+ x0 .

x ( s ) = x0

s s 2 + ωn2

+

x0

1 s 2 + ω n2 ω n

ω n s 2 + ω n2


157

Fazendo a transformação inversa chegamos finalmente a x(t ) = x0 cos ω n t +

►

x o ω n

senω n t

PR4.2.2 Deduzir a expressão para a forma cossenoidal da resposta livre,

eq. (4.2.5), bem como as expressões para a amplitude (eq. (4.2.6)) e para o ângulo de fase (eq. (4.2.7)). S�� Resposta livre: x(t ) = x0 cos ωn t +

x o ω n

senω n t

(a)

Da Trigonometria: cos(ω n t − f 0 ) = cos ω n t cos f 0 + senω n t senf 0 X 0 cos(ω n t − f 0 ) = X 0 cos ω n t cos f 0 + X 0 senω n t senf 0

Comparando esta última equação com a eq. (a), podemos concluir que o seu membro da esquerda corresponde à resposta livre x (t ), isto é: x (t ) = X 0 cos(ω n t − f 0 )

desde que tenhamos x0 = X 0 cos f 0

(b)

x o

(c)

ω n

= X 0 senf 0

Obtenção da amplitude: elevando ao quadrado e somando as eqs. (b) e (c) e isolando X 0:  .   x 0  X 0 = x02 +    ω n   

2

Obtenção do ângulo de fase: dividindo a eq. (c) pela eq. (b), chegamos a  .   x 0  f 0 = arctg   ω n x0   

158


►

PR4.2.3 Deduzir a expressão para a forma senoidal da resposta livre,

eq. (4.2.8), bem como as expressões para a amplitude (eq. (4.2.6)) e para o ângulo de fase (eq. (4.2.9)). S�� Resposta livre: é dada por . x (t ) = x0 cos ωn t +

x o ω n

senω n t

(a)

Da Trigonometria: sen (ω nt + f 0 ) = senω nt cosf 0 + cosω nt senf 0 X 0sen (ω nt + f 0 ) = X 0 senω nt cos f 0 + X 0 cosω nt senf 0

Comparando esta última equação com a eq. (a), podemos concluir que o seu membro da esquerda corresponde à resposta livre x (t ), isto é: x(t ) = X 0 sen (ω n t + f 0 )

desde que tenhamos x0 = X 0 senf 0

(b)

.

x o ω n

(c)

= X 0 cosf 0

Obtenção da amplitude: elevando ao quadrado e somando as eqs. (b) e (c) e isolando X 0:  x0   X 0 = x02 +   ω n   

2

Obtenção do ângulo de fase: dividindo a eq. (b) pela eq. (c), chegamos a  ω n x0    x 0   

f 0 = arctg 

►

PR4.2.4 Reservatório de água. Dado um reservatório de abastecimento

de água com os dados a seguir determinar, desprezando a massa da coluna: 1. 2. 3.

Frequência natural da vibração horizontal Hz. Período natural. Forma senoidal da resposta livre, para um deslocamento inicial de 0,03 m para a direita e velocidade inicial nula.


159

4. Máximos valores da velocidade e da aceleração. Dados: Reservatório: altura = 90 m; peso do reservatório c/água = 280000 N. Coluna: concreto (E = 2,76 ×109 Pa); seção reta tubular (d ext = 3 m, d int = 2,5 m). S�� 1. Determinação da frequência natural 3 × 2,76 × 1 0 × 9

k =

3 E I

f n =

2.

l

=

90

1

k

2π

m

=

64

⇒ k = 23381,7 1 N/m

3

1

2338 1,71

2π

280000 / 9,81

⇒ f n = 0,13 H z

Determinação do período natural τ n =

3.

3

π (34 − 2,5 4 )

1 f n

= 7 ,6 7 s

Determinação da resposta livre x(t ) = X 0sen (ω n t + f 0 ) = X 0sen (2π f n t + f 0 ) 2

 x  2 2 2 X 0 = x0 +  0  = 0,03 + 0 = 0,03 m  ω n   ω n x0  ω n x0  π  = arctg   = rad   0  2  x0 

f 0 = arctg

x(t ) = X 0sen (2π n t + f 0 ) = 0,03sen ( 2π f n t + x(t ) = 0,03sen (0,817t +

4.

π 2

π 2

)

)m

Determinação da máxima velocidade e da máxima aceleração Da eq. (4.2.15): xma x = X 0 ω n = (0,03)(0,817) = 0,0245 m / s Da eq. (4.2.16): xma x = X 0ω n2 = (0,03)(0,81 72 ) = 0,02 m / s 2

160


►

PR4.2.5 Calcular a frequência natural do sistema do PR4.2.4, conside-

rando a massa da coluna. Dado: massa específica do concreto = 2500 kg/m 3. S�� Do PR4.2.4: k = 23381,71 N/m. Considerando a massa da mola, devemos usar no lugar de m a meq, conforme estudado no capítulo 2. Assim, neste caso: meq = m + f n =

►

1 3

mcoluna =

1

k

2π

meq

=

280000 9,81

1 π (32 – 2,52 )

+ × 3

1

23381,71

2π

80104

4

× 90 × 2500 = 80104 k g

⇒ f n = 0,086 H z

PR4.2.6 Identificação de material. Este problema mostra uma maneira

simples de identificar o material de uma barra metálica a partir da obtenção experimental do módulo de Young. Uma barra de material desconhecido tem comprimento l e seção reta retangular com largura b e altura h. A barra é posta na situação de engastamento em uma extremidade e livre na outra, na qual é fixada uma massa m. O sistema é posto em vibração livre e a sua frequência natural transversal é obtida, experimentalmente, como sendo f n. Deduzir uma expressão para o módulo de Young E e assim possibilitar a identificação do material da barra através de consulta a uma tabela de dados no SI. S�� Barra engastada e livre: ω n =

I =

k m

k =

3 E I l 3

⇒ k = mω n2

b h3

12

Logo: mω = 2 n

3 E b h3 12l 3

=

E b h3 4l 3

⇒ E =

4mω n2 l 3 b h3

=

16π 2 m f n2 l 3 b h3


161

►

PR4.2.7 Sistema de polias. Determinar a frequência natural do sistema

de polias mostrado na figura. Assumir que não haja atrito entre cabo e polias e que as massas das polias e do cabo sejam desconsideradas em comparação com a massa m.

Figura PR4.2.7 Sistema de polias.

S�� Idealizando o sistema como tendo um grau de liberdade, a frequência natural pode ser obtida usando o conceito de rigidez equivalente. Como não há atrito entre polias e cabo e as polias não possuem massa, a tensão na corda é constante e igual ao peso P da massa m. Então, a força que atua na polia 1, puxando-a para cima é 2 P e a força que atua na polia 2, puxando-a para baixo também é 2 P . O centro da polia 1 se desloca 2P/k 1 para cima, e o centro da polia 2 se desloca 2 P/k2 para baixo. O deslocamento total da massa m é  2 P 2 P   + x = 2 k k 2   1

Rigidez equivalente do sistema: k e q =

P x

=

P

 2 P 2 P   2 +  k 1 k 2   

=

1 4 k 1

+

4

=

k 1 k 2 4(k 1 + k 2 )

k 2

Logo: k 1 k 2 ω n =

162

k e q m

=

4(k 1 + k 2 ) m

=

k 1k 2 4(k 1 + k 2 ) m


►

PR4.2.8 Momento de inércia de um conjunto roda + pneu . A figura

mostra um dispositivo projetado para determinar o momento de inércia do conjunto roda + pneu. O dispositivo consiste de um cabo de aço (G = 78,6 ×109 Pa) de diâmetro de 2,54 mm, comprimento de 2 m e de uma plataforma à qual são fixados a roda e o pneu. O cabo de aço é suspenso por sua extremidade superior e posto a oscilar em torno do eixo vertical do cabo. Com apenas a plataforma, o período da oscilação é de 3 s. Com o conjunto montado, o período da oscilação é de 18 s. Determinar o momento de inércia do conjunto roda + pneu.

Figura PR4.2.8

S�� Determinação da rigidez à torção: π (0,00254)

4

78,6 × 10 × 9

k t =

G I 0 l

=

32 2

= 0,1606 N.m / r a d

Obtenção da expressão para o J C a partir da eq. (4.2.29): n

 τ  = 2π ⇒ J C = k t  n  k t  2π  J C

2

Determinação do momento de inércia da plataforma: 2

 3  2 J C ( plataforma) = 0,1606  = 0,0366 kg.m  2π 

Determinação do momento de inércia do conjunto plataforma + roda + pneu: 2

 18   = 1,318 k g.m 2 J C (conjunto plataforma + roda + pneu ) = 0,1606   2π 

Determinação do momento de inércia da roda + pneu: J C (roda + pneu) = 1,318 – 0,0366 = 1,2814 kg.m 2


163

►

PR4.2.9 Uma serra para cortar tubulações em um processo de produção contínua consiste de um disco grande de raio r e massa M , podendo girar em torno do centro O ligado a uma barra leve, de comprimento l , em cuja extremidade é montado um motor de massa m contendo

um disco de corte, conforme ilustra a figura. O sistema pode oscilar no plano em torno do ponto O. Determinar o período natural considerando pequenas oscilações. Figura PR4.2.9

S�� Modelagem matemática: .. 2 1 2 M O = J O q ⇒ − mg (l + r )senq =  Mr + m ( l + r )  q 2  ..

Supondo pequenas oscilações: .. .. 1 mg (l + r ) 2 Mr 2 + m ( l + r )  q + mg (l + r )q = 0 ⇒ q + q= 0 1 2 2 2  Mr + m ( l + r ) 2

Frequência angular natural: ω n =

m g (l + r ) 1 2 M r 2 + m( l + r ) 2

Período natural: τ n =

►

2π ω n

= 2π

1 2 M r 2 + m (l + r ) 2 m g (l + r )

PR4.2.10 Determinação do momento de inércia de uma biela em relação ao seu centro de gravidade C .

Tal determinação é essencial para o estudo dinâmico do mecanismo biela/manivela de um motor de combustão interna.

Figura PR4.2.10

164


S�� Trata-se de um pêndulo composto. A partir da equação da frequência natural do pêndulo composto, dada pela eq. (4.2.36), podemos obter J O =

m g l 2

4 π 2 f n

Aplicando o Teorema de Steiner: J C = J o – ml 2, logo: J C =

m g l 2

4π f

2 n

− ml 2

Na prática, m, l e f n são obtidos experimentalmente. A massa m é simplesmente medida em uma balança, e a distância l é obtida após a localização do centro de gravidade C , conforme ensinamentos de Física Experimental elementar. Finalmente, a frequência natural f n pode ser obtida pondo-se o corpo para oscilar e medindo-se o tempo que o mesmo leva para executar certo número de oscilações. Com estes dados, entramos na equação citada e obtemos o momento de inércia J C . ►

PR 4.2.11 Suspensão automotiva independente . A figura mostra a

suspensão independente de uma das rodas dianteiras de um automóvel, em que l 1 = 0,5 m e l 2 = 0,7 m. A mola helicoidal tem rigidez 30000 N/m e o peso distribuído à roda vale 3200 N. Determinar a frequência natural da suspensão para o movimento vertical da roda, em Hz.

Figura PR4.2.11

S�� Seja θ o ângulo de rotação do braço inferior.


165

Cálculo da energia cinética máxima: ECmax =

1 2

. 2 2 roda r od a

m xx

=

1 2

m ( l 2 )

2

.2 1 3200   )  = (00,,77q q 2 9, 81  

. 2 2

2

2

q  = 79, 92 (ωnq ) = 79, 92ωn2q 2 EC max = 79, 92 q

Cálculo da energia potencial máxima: 1 1 2 E P m a x = k xm2 o l a = 30000(0,5q ) = 3750q 2 2 2

Aplicando o método de Rayleigh: E C ma x = E P ma x ⇒ 79,92ω n2q 2 = 3750q 2

ω n = 6,85 r a d / s, logo f n =

►

ω n 2π

= 1,09 H z

PR4.2.12 Manômetro em U. Um manômetro de área da seção reta A contém mercúrio de massa m, peso específico  e comprimento do líquido l , conforme figura. Ele deve medir a pressão de um líquido em

uma tubulação industrial, o qual é deslocado por uma bomba rotativa que gira a 600 RPM. A fim de evitar o fenômeno da ressonância, a frequência da oscilação do mercúrio, no interior do manômetro, deve ser maior do que três vezes a frequência de oscilação exercida pela pressão do líquido. Aplicando o método de Rayleigh, determinar o comprimento mínimo l que deve assumir a coluna de mercúrio.

Figura PR4.2.12

S�� Cálculo da energia cinética máxima: E C ma x =

166

1 2

m xm2 a x =

1 W 2 1 Al g 2 xma x = xma x 2 g 2 g


Cálculo da variação da energia potencial gravitacional máxima: E P Gma x = g A xma x

x   −  − g A xma x ma x  = g A xm2 ax 2 2  

xma x

Aplicando o método de Rayleigh: E C ma x = E P ma x ⇒ ω n2 =

2 2 1 l ω n xma x

2

g

= xm2 a x

2 g l

Frequência da flutuação da pressão do líquido: ω pressão = 300 x

2π 60

r a d / s = 10π r a d / s

Para evitar ressonância: ω n <

ω pressão

⇒

3

2 g

<

l

10 π 3

⇒ l >

2 g (10,47 2) 2

Logo, o comprimento mínimo do tubo do manômetro deve ser l >

►

2 × 9,81 109,66

⇒ l > 0,179 m

PR4.2.13 Centro de percussão de um pêndulo composto. Conforme

já vimos, a frequência natural de um pêndulo composto é dada por ω n =

mgl J o

. Seja

r C =

J o m

o raio de giração do pêndulo em torno de O

e seja P o denominado centro de percussão, para o qual a frequência natural do pêndulo composto é igual à de um pêndulo simples de massa m e comprimento l P .

Figura PR4.2.13


167

1. 2. 3.

Mostrar que a frequência natural do pêndulo composto é menor do que a de um pêndulo simples de mesmo comprimento l ; Obter uma expressão para l P em termos de l e r C ; Mostrar que se o pêndulo composto for suspenso no ponto P ao invés de O, a sua frequência natural não sofre alteração.

S�� 1.

Frequência natural do pêndulo composto: m g l

ω ncomposto =

=

J O

m g l ml P 2

=

g l l P 2

Frequência natural do pêndulo simples: ω n simples =

g l

Combinando ambas as equações, obtemos: ω ncomposto =

l l P

ω n simples

Tendo em vista que l < l P , concluímos que ω ncomposto < ω n simples

2.

Da condição de ponto de percussão: mgl

ω n =

g

=

J O

(a)

l P

Como r C =

J O ⇒ J O = m r C2 m

Substituindo na eq. (a), obtemos l P =

3.

2 r C

l

Nesse caso, o centro de oscilação passa a ser P e o centro de percussão passa a ser O. Logo, a frequência natural passa a ser ω n =

m g l P J o

=

m g l P ml P 2

=

g l P

que é igual à de um pêndulo simples de massa m e comprimento l P .

168


►

PR4.2.14 Uma máquina rotativa de massa 200 kg está fixada na extremidade livre de uma viga de aço ( E = 2,07 × 10 11 Pa), engastada e livre,

cujo comprimento é 2 m. Observa-se que a máquina vibra intensamente quando opera na sua frequência natural, igual a 20 Hz. Desprezando a massa da viga, determinar: 1. 2.

Rigidez da viga; Momento de inércia da seção reta da viga.

S�� 1.

Determinação da rigidez da viga: Trata-se de uma situação de ressonância, em que ω = ωn = 2πf n = 2π × 20 = 126,66 rad/s. Podemos obter a rigidez a partir da definição de frequência natural: k

ωn =

2.

Determinação do momento de inércia da seção reta da viga: Para uma viga engastada e livre temos k=

►

m

⇒ k = mω n2 = 200 × 125,662 = 3158288,18 N/m

3 EI l

3

⇒ I =

kl 3 3 E

=

3158288,18 × 23

= 3 × 2, 07 × 1011

×4, 07 10−5 m4

PR4.2.15 A figura ilustra uma esfera de massa m e raio r que rola sem

deslizar sobre uma superfície esférica de raio R. Determinar a frequência natural do sistema.

Figura PR4.2.15

S�� Dedução do modelo matemático usando o método de energia: de acordo com a figura ao lado, sejam θ o ângulo que a reta OC faz com a vertical (coordenada generalizada) e ϕ o ângulo que descreve o rolamento da esfera sobre a superfície esférica.


169

Energia cinética: . 2

2

2

. . . 12 17   2 2 EC = mv + J C f = m  r f  + mr f = mr f 2 2 2   25 25

1

1

2 C

1

2

Equação de restrição: .

rf = ( R − r )q ⇒ f =

R − r . q r

Logo: EC =

17

. 2

17

mr f = = mr 25 2

25

2

( R − r ) 2

−

r 2

. 2

q

17 25

2

. 2

m( R r ) q

Variação da energia potencial: D EP = mg ( R − r ) − mg ( R − r ) cos q = mg ( R − r ) (1 − cos q )

Tendo em vista que q 2

1 − cos q ≈

2

,

logo D EP = mg ( R − r )

q 2 2

Aplicando o método de energia: d dt

( EC ) +

d

( DEP ) = 0

dt

.

17

2q q m( R − r ) 2 2q q + mg ( R − r ) =0 25 2 . ..

Simplificando: 7 5

..

..

( R − r ) q + g q = 0 ⇒ q +

5 g 7( R − r )

q = 0

é o modelo matemático para o sistema. Determinação da frequência natural: ωn2 =

5 g 7( R − r )

⇒ ω n =

5 g 7( R − r )

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

170


t

PROBLEMAS PROPOSTOS REFERENTES AO ITEM 4.2 ►

PP4.2.1 A torre de resfriamento de uma unidade de condicionamento

de ar pesa 8900 N e deve ser montada sobre 4 molas de ar. Calcular a rigidez que deve ter cada mola de tal modo que a frequência natural da unidade seja 7,5 rad/s. R��.: k = 12758 N/m ►

PP4.2.2 O cilindro do servomecanismo da figura possui um pistão

de 0,3 kg de massa, associado a uma mola helicoidal cujo diâmetro do arame é 1 mm, diâmetro da espira 10 mm, apresentando 10 espiras ativas com módulo de elasticidade transversal de 1,05 × 10 11 Pa. Determinar a frequência natural da vibração do pistão.

Figura PP4.2.2

R��.: f n =10,53 Hz ►

PP4.2.3 A fim de evitar a transmissão de vibrações para a vizinhança,

uma máquina está montada sobre almofadas de borracha. Quando da montagem, verificou-se que os isoladores deformaram 5 mm devido ao peso próprio da máquina. Achar a frequência natural do sistema. R��.: f n = 7,05 Hz ►

PP4.2.4 Um disco circular de raio R tem um furo de raio r a uma distância r’ do seu centro. O disco está livre para girar no plano vertical em


171

torno de um eixo perpendicular ao plano do disco e passando pelo seu centro. Determinar a frequência natural de oscilação do disco. Considerar que as massas são proporcionais aos quadrados dos raios.

Fig. PP4.2.4

R��.: ω n =

g r '

  R 4  r ' 2  r 0,5   −   − 0,5   r   r   2

►

PP4.2.5 O esticador mostrado na figura é usado para manter a correia pré-tensionada. A correia possui área da seção reta A = 500 mm2, comprimento total 2 m, E = 3 × 106 N/m2, l = 0,8 m. O mecanismo atuador possui l 1 = l 2 = 0,20 m, m = 3 kg, M = 5 kg, k = 1000 N/m. Determinar

a frequência natural da vibração do braço do atuador em torno do seu pivô. Figura PP4.2.5

R��.: f n = 1,02734 Hz ►

PP4.2.6 A figura mostra um sistema composto por uma

mola e três polias consideradas sem atrito e com massas desprezíveis. Achar a frequência natural da vibração da massa m para pequenas oscilações. R��.: ω n = 8

172

k m


Figura PP4.2.6

►

PP4.2.7 Uma máquina pesando 9810 N está sendo descida verticalmente

por um guincho a uma velocidade uniforme de 2 m/s através de um cabo de aço (E = 2,07 × 1011 Pa, diâmetro 0,01 m). O guincho é subitamente freado no momento em que o comprimento do cabo é de 20 m. Achar o período e a amplitude da vibração subsequente. R��.: τ n =

►

A = 70,148 mm

0,22 s

PP4.2.8 Uma massa m é fixada a uma corda que é submetida a uma tração T , conforme ilustra a figura. Considerando que a tração permanece

inalterada quando a massa é deslocada perpendicularmente à corda, pedem-se: 1. 2.

Modelo matemático para pequenas vibrações transversais; Frequência natural da vibração.

Figura PP4.2.8

R��.:

►

1.

m x  +

2.

ω n =

T (a + b ) ab

x=0

T (a + b ) mab

PP4.2.9 Um acrobata de 70 kg de massa caminha sobre um cabo de

aço esticado de 10 m de comprimento. A frequência natural da vibração vertical do acrobata, quando ele se encontra exatamente no centro do vão, é de 1,6 Hz. Determinar a força de tração no cabo. R��.: 17686,4 N ►

PP4.2.10 Um homem de 72 kg de massa salta de uma ponte considerada

rígida. Ele está preso pela cintura à extremidade de um cabo elástico de 40 m de comprimento e rigidez 1800 N/m, estando a outra extremidade do cabo presa à ponte. Desconsiderando a resistência do ar, calcular a


173

frequência natural e a amplitude do movimento vibratório do saltador em torno de sua posição de equilíbrio estático. R��.: ω

= 5 rad/s;

X 0 = 5,63 m

n

►

PP4.2.11 A figura mostra um fardo que deve ser suspenso por um

guindaste e cuja capacidade máxima é de 9810 N. Determinar o diâmetro dos cabos de aço ( E = 2,07 × 10 11 Pa), de tal maneira que a frequência natural de vibração vertical do fardo seja igual a 10 Hz.

Figura PP4.2.11

R��.: d = 3,81 mm

►

PP4.2.12 A figura mostra uma viga biapoiada, uniforme, com módulo de Young E, momento de inércia de área da seção reta I e massa m. No centro do vão está colocada uma massa M .

Calcular o efeito da massa da viga na frequência natural do sistema. Figura PP4.2.12 S��: usar  Pbx 2 2 2  6 EIl l − x − b para 0 ≤ x ≤ a y ( x) =   Pb ( l − x ) 2lx − x 2 − a 2 para a ≤ x ≤ l  6 EIl

(

)

(

)

conforme a figura:

174


R��.: me q = M +

►

17 35

m

PP4.2.13 Determinação da posição do centro de gravidade de um carro. Um carro é suspenso como um pêndulo, usando-se quatro cabos

de aço fixados às extremidades dos eixos traseiro e dianteiro, conforme ilustra a figura. Quando posto a oscilar como um pêndulo composto no plano vertical, verifica-se que, com l = 4 m, o período de oscilação é de 4 s e que com l = 2 m, o período cai para 3 s. Calcular a distância vertical h, que posiciona o centro de gravidade do carro em relação aos eixos.

Figura PP4.2.13

R��.: h = 0,252 m

►

PP4.2.14 Determinar a frequência natural do sistema do problema

PP4.2.8, usando o método de Rayleigh. R��.: ω n =

T (a + b ) mab


175

CAP. 4 Resposta Livre de Sistemas Mecânicos Com 1 GDL

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