Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Facultad de Ingeniería Matemáticas y Ciencias Físicas Termodinámica 1 I Sección B Inga. Rafael Carrera
RESUMEN DE CAPITUL ! " # DEL LIBR
L$i%carlo% Pin&o ro'co
Guatemala 9 de Mayo del 2017
1(1)*11*!+,#
Capitulo 3:
PROPIEDADES DE LAS SUSTANCIAS SUSTANCIAS PURAS
El estado de un sistema viene defnido por el conjunto de todas sus propiedades. Sin embargo, muchas propiedades son unción de otras. Es necesario determinar cuántas propiedades hay que establecer para defnir completamente completamente un sistema, es decir, cuántas propiedades son independientes. La elección de cuáles son las variables que tomamos como independientes es en principio arbitraria. !or ejemplo, un triángulo viene defnido por tres lados, o bien por dos ángulos y un lado, o por dos lados y su área, etc. "tras propiedades dependientes son# el área, la circunerencia inscrita o circunscrita, las bisectrices, etc. $ambi%n hay algunas selecciones de variables que no son válidas# por ejemplo & ángulos 'pues siempre suman ()*+. EL POSTULADO DE ESTADO El postulado de estado enuncia cuántas variables independientes independientes defnen un sistema de masa conocida. El n-mero de propiedades independientes que defnen un estado de equilibrio en un sistema, es igual al n-mero de trabajos cuasiestáticos más uno. En realidad este postulado establece que el n-mero de propiedades independientes es el n-mero de ormas distintas de cambiar la energa de un sistema# calor y cada uno de los modos de trabajo cuasiestático. !or ejemplo# / trabajo de cambio de volumen 'trabajo de compresión o e0pansión1 / trabajo de cambio de potencial 'trabajo el%ctrico1 / trabajo de cambio de campo magn%tico 'trabajo magn%tico, etc Se llaman sistemas simples aqu%llos en los que sólo se considera un tipo de trabajo cuasiestático1 por tanto, sólo se necesitan dos propiedades para determinar su estado termodinámico. Sistema simple compresible es aqu%l en el que sólo se considera el trabajo de compresión y e0pansión !d2. L3 4E5L3 6E L3S 73SES 6E 5899S La regla de las ases de 5ibbs se ormula# / L es el n-mero de grados de libertad o varian:a. / 7 es el n-mero de ases en el sistema. / ; es el n-mero de componentes. En sistemas de un solo componente '; < (, que serán los que estudiemos en esta asignatura, pueden darse las siguientes posibilidades# / Si 7 < (, L < =# para una sola ase, ! y $ son variables independientes1
/ Si 7 < =, L < (# cuando hay dos ases en equilibrio, ! es unción de $ 'o viceversa1 / Si 7 < &, L < *# el equilibrio de tres ases es un estado invariante 'punto triple. ECUACIONES DE ESTADO En un sistema simple compresible todas las propiedades son unción de otras dos independientes. En particular, el volumen 'es decir, el parámetro del trabajo y la energa son un conjunto de variables independientes que defnen el estado de un sistema. ;ualquier otra propiedad se puede e0presar en unción de E y 2, ECUACIONES DE ESTADO TÉRMICAS La relación uncional descrita por la ecuación >&.?@ puede venir dada num%ricamente 'en tablas de valores o por medio de una ecuación algebraica. Asta -ltima se denomina ecuación de estado t%rmica. Suele e0presarse como unción e0plcita de la presión con volumen 'o densidad y temperatura como variables independientes# ! < !'v,$ ó ! < !'B,$ ;on estas y otras muchas ecuaciones empricas es posible predecir de orma muy e0acta las propiedades !CvC$ de muchos Duidos de inter%s t%cnico, incluso en la región de lC quido. La ecuación de estado t%rmica puede venir dada tambi%n en unción de sus primeras derivadas# Los coefcientes termoelásticos son parámetros relacionados con las primeras derivadas de la ecuación de estado t%rmica !'$,v# tambi%n son unciones de estado. Los más importantes son# ECUACIONES DE ESTADO ENERGÉTICAS: ENERGÍA INTERNA Y ENTALPÍA Si en la ecuación >&.@ las variables F( y F= son la presión ! y la temperatura, la ecuación de estado que se obtiene es la ecuación de estado energ%tica o calórica. La energa interna se dedujo en el tema anterior a partir de la !rimera Ley. !ara sistemas cerrados en reposo, se cumple GH < I J La entalpa se defne como K H M !2 >N@ h u M !v < u MpOp
La entalpa es una variable energ%tica muy -til para el estudio de los sistemas abiertos, como veremos más adelante. PROCESOS SIMPLES En este apartado haremos una descripción de la superfcie presiónCvolumenC temperatura de un sistema simple compresible 'una sustancia pura. La topologa de la superfcie !vC$ se obtiene a partir del estudio de procesos simples, seg-n los tres ejes coordenados# procesos isobaros, isocoros e isotermos. En estos procesos se puede además medir cómo varan H ó K. VAPORIZACIÓN ISOARA DE UNA SUSTANCIA PURA 6urante el proceso de vapori:ación o evaporación o ebullición, la temperatura se mantiene constante# por la regla de las ases de 5ibbs 'ec. >&.(@, como hay dos ases '7 < = en equilibrio en una sustancia pura '; < (, sólo hay un grado de libertad 'L < (, que es precisamente la presión del sistema, controlada desde el e0terior# por tanto, la presión de vapori:ación es unción de la temperatura. El inicio de la vapori:ación se denomina lquido saturado, y se denota como . El fnal, vapor saturado, denominado g. Entre esos dos estados se produce la vapori:ación# el Duido está ormado por dos ases, vapor y lquido1 se denomina vapor h-medo. El lC quido con temperatura menor que la de vapori:ación es un lquido subenriado1 el vapor con temperatura mayor que la de vapori:ación es un vapor sobrecalentado. 3 presiones elevadas, se reduce la dierencia entre el volumen del lquido saturado y el del vapor saturado1 las dos curvas se unen en el punto crtico. !or encima de la presión crtica, el paso de lquido a vapor se verifca de modo continuo, sin aparición de superCfcies de separación entre las dos ases 'es decir, sin burbujeo. En el caso del agua, las coordenadas crticas son !c < ==,(= P!a, $c < &?Q,( +;. RELACIÓN !"P"T El proceso de usión y evaporación isobara representado en la 7igura &.= permite tambi%n medir la entalpa en unción de la temperatura. La energa aportada a presión constante es la entalpa. 6ividiendo por la masa, tenemos la entalpa especfca h. La curva hC$ a presión constante Los cambios de ase son lneas verticales1 la variación de entalpa se llama entalpa de usión y vapori:ación. La pendiente de la lnea es el calor especfco
VALORES DE LAS PROPIEDADES TERMODIN#MICAS
Las propiedades termodinámicas de Duidos de inter%s t%cnico 'en nuestro caso, el agua y los Duidos empleados en sistemas de rerigeración suelen presentarse de tres modos# en orma gráfca 'diagramas, en orma algebraica 'ecuaciones de estado, o bien en orma de tablas. 3 continuación se describe brevemente el modo de acceder a estos datos.
Cap$tulo
%:
a&'li(i(
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(i(t*-a(
.*++a)o( Este captulo inicia con una e0plicación acerca del trabajo de rontera móvil o trabajo ! d2 que es posible encontrar generalmente en dispositivos reciprocantes como motores de automóviles y compresores. !osteriormente, se presenta la aplicación de la relación del balance general de energa, que se e0presa de orma simple como E entradaCEsalida< Esistema, para sistemas relacionados con una sustancia pura. Luego, se defnen los calores especfcos, se obtienen relaciones para la energa interna y la entalpa de gases ideales en t%rminos de calores especfcos y cambios de temperatura, y se llevan a cabo balances de energa en varios sistemas en los que intervienen gases ideales. Se repite esto para sistemas relacionados con sólidos y lquidos, que se apro0iman como sustancias incompresibles.
%/0 T+a1a2o )* +o&t*+a -45il Hna orma de trabajo mecánico muy com-n en la práctica es aquella que está relacionada con la e0pansión o compresión de un gas en un dispositivo de cilindroC%mbolo. 6urante este proceso, parte de la rontera 'la cara interna del %mbolo se mueve en vaiv%n1 por lo tanto, el trabajo de e0pansión y compresión suele llamarse trabajo de rontera móvil o simplemente trabajo de rontera '7ig. QC(. El trabajo de rontera móvil es la principal orma de trabajo relacionado con los motores de automóviles. 6urante su e0pansión, los gases de combustión uer:an al %mbolo a moverse, el cual a su ve: obliga al cigReal a girar.
El trabajo de rontera móvil relacionado con motores o compresores reales no se puede determinar de orma precisa a partir solamente de un análisis termodinámico, porque el %mbolo com-nmente se mueve a muy altas velocidades, lo cual difculta que el gas en el interior mantenga su equilibrio. Entonces, los estados por los que pasa el sistema durante el proceso no se pueden especifcar y tampoco es posible tra:ar alguna trayectoria del proceso. !or ser una unción de la trayectoria, el trabajo no se puede determinar de orma analtica sin conocerla. !or lo tanto, el trabajo de rontera en motores o compresores reales se determina mediante mediciones directas. Hn proceso de cuasiequilibrio, llamado tambi%n proceso cuasiestático, es el que siguen muy de cerca los motores reales, en particular cuando el %mbolo se mueve a velocidades bajas. En id%nticas condiciones, se observa que el trabajo producido por los motores es un má0imo, y el que entra a los compresores es un mnimo, cuando se emplean procesos de cuasiequilibrio en lugar de procesos sin cuasiequilibrio. ;onsidere gas encerrado en el dispositivo de cilindroC%mbolo que se muestra en la fgura QC=. La presión inicial del gas es !, el volumen total es 2, y el área de sección transversal del %mbolo es 3. Si se permite al %mbolo moverse una distancia ds de modo que se mantenga el cuasiequilibrio, el trabajo dierencial hecho durante este proceso es 'Q.( Es decir, el trabajo de rontera en la orma dierencial es igual al producto de la presión absoluta ! y el cambio dierencial en el volumen d2 del
sistema. Esta e0presión tambi%n e0plica por qu% el trabajo de rontera móvil se llama a veces trabajo ! d2. "bserve en la ecuación QC( que ! es la presión absoluta, la cual siempre es positiva. Sin embargo, el cambio de volumen d2 es positivo durante un proceso de e0pansión 'incremento de volumen y negativo durante uno de compresión 'disminución de volumen. 3s, el trabajo de rontera es positivo durante un proceso de e0pansión y negativo durante otro de compresión. !or lo tanto, la ecuación QC( se puede considerar como una e0presión para el trabajo de rontera producido, Jb,salida. Hn resultado negativo indica entrada de trabajo de rontera 'compresión. El trabajo de rontera total reali:ado durante el proceso completo a medida que se mueve el %mbolo, se obtiene sumando los trabajos dierenciales desde los estados inicial hasta el fnal#
'QC= El proceso de e0pansión en cuasiequilibrio descrito se muestra en un diagrama !C2 en la fgura QC&, en la que el área dierencial d3 es igual a ! d2, que es el trabajo dierencial. El área total 3 bajo la curva del proceso (C= se
obtiene sumando dierenciales#
estas
áreas
Hna comparación de esta ecuación con la QC= revela que el área bajo la curva del proceso en un diagrama !C2 es igual en magnitud al trabajo hecho en cuasiequilibrio durante una e0pansión o proceso de compresión de un sistema cerrado. Hn gas puede seguir varias trayectorias cuando se e0pande del estado ( al =. En general, cada trayectoria tendrá debajo un área dierente y, puesto que %sta representa la magnitud del trabajo, el trabajo hecho será dierente para cada proceso '7ig. QCQ. Esto es de esperarse, ya que el trabajo es una unción de la trayectoria, si el trabajo no uera una unción de la trayectoria, ning-n dispositivo cclico podra operar como productor de trabajo. El trabajo producido por %stos durante una parte
del ciclo tendra que ser consumido durante otra, y no habra salida neta de trabajo. El ciclo mostrado en la fgura QC produce una salida neta de trabajo porque el trabajo hecho por el sistema durante el proceso de e0pansión 'área bajo la trayectoria 3 es mayor al reali:ado sobre el sistema en el momento de compresión del ciclo 'área bajo la trayectoria 9, y la dierencia entre estos dos es el trabajo neto hecho durante el ciclo 'área sombreada. En sentido estricto, ! es en la ecuación QC= la presión sobre la superfcie interna del %mbolo, y se vuelve igual a la del gas en el cilindro sólo si el proceso es de cuasiequilibrio1 por lo tanto, en determinado momento todo el gas en el presión. La ecuación QC= tambi%n se puede procesos sin cuasiequilibrio siempre y presión en la cara interna del %mbolo se use '3demás, no se puede hablar de la presión sistema durante un proceso sin cuasiequilibrio porque las propiedades se defnen sólo para estados de equilibrio. !or lo tanto, se puede generali:ar la relación de rontera e0presándola como
cilindro está a la misma usar para cuando la para !. de un
trabajo
de
donde !i es la presión en la cara interna del %mbolo. "bserve que el trabajo es un mecanismo para la interacción de energa entre un sistema y sus alrededores, y Jb representa la cantidad de energa transerida desde el sistema durante un proceso de e0pansión 'o hacia el sistema durante uno de compresión. 3s, tiene que aparecer en alguna otra parte y debe ser posible justifcarlo porque la energa se conserva. En un motor de automóvil, por ejemplo, el trabajo de rontera reali:ado mediante la e0pansión de gases calientes, se usa para vencer la ricción entre el %mbolo y el cilindro, remover el aire atmos%rico del camino de %mbolo y hacer girar el cigReal. !or lo tanto,
El trabajo usado para vencer la ricción aparece como calor de ricción y la energa transmitida por el cigReal pasa a otros componentes 'como los neumáticos para eectuar ciertas unciones. Sin embargo, observe que la energa transerida por el sistema como trabajo debe ser igual a la energa que reciben tanto el cigReal como la atmósera y la energa usada para vencer la ricción. El uso de la relación de trabajo de rontera no se limita a los procesos de cuasiequilibrio de gases, tambi%n se puede usar para sólidos y lquidos.
P+o.*(o polit+4pi.o
6urante procesos reales de e0pansión y compresión de gases, la presión y el volumen suelen relacionarse mediante !2n ;, donde n y ; son constantes. Hn proceso de esta clase se llama proceso politrópico '7ig. QC T. La presión para un proceso de este tipo se puede e0presar como
%/6 ALANCE DE ENERGÍA PARA SISTEMAS CERRADOS/ El balance de energa para cualquier sistema que e0perimenta alguna clase de proceso se e0presó como
o bien, en la orma de tasa, como
!ara tasas constantes, las cantidades totales durante un intervalo de tiempo t se relacionan con las cantidades por unidad de tiempo como El balance de energa se puede e0presar por unidad de masa como
El balance de energa se puede e0presar por unidad de masa como que se obtiene al dividir las cantidades de la ecuación QC(( entre la masa m del sistema. El balance de energa se puede e0presar tambi%n en orma dierencial como !ara un sistema cerrado que e0perimenta un ciclo, los estados inicial y fnal son id%nticos, por lo tanto, Esistema < E= C E( < *. Entonces, el balance de energa para un ciclo se simplifca a Eentrada C Esalida < * o Eentrada < Esalida. 3l observar que un sistema cerrado no tiene que ver con ning-n Dujo másico que cruce sus ronteras, el balance de energa para un ciclo se puede e0presar en t%rminos de interacciones de calor y trabajo como Es decir, la salida de trabajo neto durante un ciclo es igual a la entrada neta de calor '7ig. QC((. Las relaciones de balance de energa 'o la primera ley e0presadas anteriormente son de naturale:a intuitiva y son áciles de usar cuando se conocen las magnitudes y las direcciones de las transerencias de calor y trabajo. Sin embargo, al eectuar un estudio analtico general o resolver un problema relacionado con una interacción desconocida de calor o trabajo, es necesario suponer una dirección para estas interacciones. En tales casos, es com-n usar la convención de signos de la termodinámica clásica y suponer el calor que se transerirá al sistema 'entrada de calor en la cantidad I, as como el trabajo que reali:ará el sistema 'salida de trabajo en la cantidad J, para despu%s resolver el problema. La relación del balance de energa en este caso para un sistema cerrado se convierte en donde I < Ineto,entrada C Ientrada C Isalida es la entrada neta de calor y J < Jneto,salida < Jsalida C Jentrada es la salida neta de trabajo. "btener una cantidad negativa para I o J signifca simplemente que la dirección
supuesta para esa cantidad es errónea y debe invertirse. En la fgura QC(= se orecen varias ormas de esta UtradicionalV relación de la primera ley para sistemas cerrados. La primera ley no se puede probar en orma matemática, pero tampoco se sabe de alg-n proceso en la naturale:a que la haya violado, y esto se debe tomar como demostración sufciente. "bserve que si uera posible probar la primera ley con base en otros principios sicos, entonces %sta sera una consecuencia de tales principios en lugar de ser por s misma una ley sica undamental. El calor y el trabajo no son distintas como cantidades de energa, y qui:á se pregunte por qu% a-n as se les dierencia, ya que despu%s de todo el cambio en el contenido de energa de un sistema es igual a la cantidad de energa que cru:a las ronteras del sistema, y no importa si la energa los cru:a en orma de calor o trabajo. En apariencia, las relaciones de la primera ley seran mucho más simples si se tuviera una cantidad que podramos llamar interacción de energa para representar tanto al calor como al trabajo1 as, desde el punto de vista de la primera ley, tanto el calor como el trabajo no son dierentes en absoluto, pero desde el punto de vista de la segunda ley, sin embargo, calor y trabajo son muy dierentes, como se e0plica en captulos posteriores.
%/3 Calo+*( *(p*.$7.o(
El calor especfco se defne como la energa requerida para elevar en un grado la temperatura de una unidad de masa de una sustancia. En general, esta energa depende de cómo se ejecute el proceso. En termodinámica, el inter%s se centra en dos clases de calores especfcos# calor especfco a volumen constante cv y calor especfco a presión constante cp. 6esde un punto de vista sico, el calor especfco a volumen constante cv se puede considerar como la energa requerida para elevar en un grado la temperatura de una unidad de masa de una sustancia cuando el volumen se mantiene constante. La energa requerida para hacer lo mismo cuando se mantiene constante la presión es el calor especfco a presión constante cp. El calor especfco a presión constante cp es siempre mayor que cv porque a presión constante se permite que el sistema se e0panda y la energa para este trabajo de e0pansión tambi%n debe ser suministrada al sistema. 3hora se e0presarán los calores especfcos en t%rminos de otras propiedades termodinámicas. !rimero, considere una masa fja en un sistema cerrado estacionario que e0perimenta un proceso a volumen constante 'por lo tanto, no hay trabajo de e0pansión o compresión.
El lado i:quierdo de esta ecuación representa la cantidad neta de energa transerida al sistema. 3 partir de la defnición de cv, esta energa debe ser igual a cvd$, donde d$ es el cambio de dierencial de temperatura.
%/% E&*+,$a i&t*+&a8 *&talp$a 9 .alo+*( *(p*.$7.o( )* ,a(*( i)*al*( Se defne un gas ideal como un gas cuya temperatura, presión y volumen especfco se relacionan mediante La energa interna es una unción de la temperatura solamente y no de la presión o del volumen especfco. ;on la defnición de entalpa y la ecuación de estado de un gas ideal, se tiene 6ado que 4 es constante y u < u'$, se deduce que la entalpa de un gas ideal es tambi%n sólo una unción de la temperatura# !uesto que para un gas ideal u y h dependen -nicamente de la temperatura, los calores especfcos cv y cp dependen tambi%n, a lo sumo, sólo de la temperatura. !or lo tanto, a una temperatura dada, u, h, cv y cp de un gas ideal tienen valores fjos sin importar el volumen especfco o la presión. Entonces, los cambios dierenciales en la energa interna y la entalpa de un gas ideal se pueden e0presar como El cambio de energa interna o la entalpa para un gas ideal durante un proceso que pasa del estado ( al = se determina integrando estas ecuaciones#
!ara llevar a cabo estas integraciones se requiere tener relaciones para cv y cp como unciones de la temperatura. 3 presiones bajas, los gases reales apro0iman su comportamiento al de un gas ideal1 por lo tanto, sus calores especfcos dependen sólo de la temperatura. Los calores especfcos de los gases reales a presiones bajas se llaman calores especfcos de gas ideal o calores especfcos de presión cero, y se denotan como cp* y cv*. Las e0presiones analticas e0actas para calores especfcos de gas ideal, con base en mediciones o cálculos directos de comportamiento estadstico de mol%culas, están disponibles y se presentan como polinomios de tercer grado para diversos gases. El uso de datos de calores especfcos de gas ideal se limita a presiones bajas, pero tambi%n se pueden usar y obtener una e0actitud ra:onable a presiones moderadamente altas, siempre y cuando el gas no se desve de orma signifcativa del comportamiento de un gas ideal. !or lo tanto, las unciones de calor especfco de las ecuaciones se pueden reempla:ar por valores promedio constantes de calores especfcos. Entonces, al llevar a cabo las integraciones en estas ecuaciones, se obtiene
En resumen, hay tres ormas de determinar los cambios de energa interna y entalpa para gases ideales (. Pediante los datos tabulados de u y h. Asta es la orma más sencilla y e0acta cuando están ácilmente disponibles las tablas. =. !or medio de las relaciones cv o cp como una unción de la temperatura para despu%s llevar a cabo las integraciones. Esto es muy inconveniente para cálculos manuales, pero bastante deseable para cálculos por computadora. Los resultados obtenidos son muy e0actos. &. ;on el empleo de calores especfcos promedio. Esto es muy simple y de hecho muy conveniente cuando no se encuentran disponibles las tablas de propiedades. Los resultados que se obtienen son ra:onablemente e0actos si el intervalo de temperatura no es muy grande.
R*la.io&*( )* .alo+*( *(p*.$7.o( )* ,a(*( i)*al*( Hna relación especial entre cp y cv para gases ideales se obtiene al derivar la relación h < u M 4$, lo cual produce
Si se reempla:a dh por cp d$ y du por cv d$, y se divide la e0presión resultante entre d$, se obtiene
Asta es una relación importante para gases ideales porque permite determinar cv si se conocen cp y la constante del gas 4. ;uando los
calores especfcos aparecen en base molar, debe reempla:arse 4 en la ecuación anterior por la constante universal de los gases 4u.
En este punto, se introduce otra propiedad del gas ideal conocida como relación de calores especfcos W, defnida como La relación de calores especfcos vara tambi%n con la temperatura, pero su variación es muy pequea. !ara gases monoatómicos, su valor es en esencia una constante en (.XX?. Puchos gases diatómicos, incluso el aire, tienen una relación de calores especfcos de alrededor de (.Q a temperatura ambiente.
Si se reempla:a dh por cp d$ y du por cv d$, y se divide la e0presión resultante entre d$, se obtiene
Asta es una relación importante para gases ideales porque permite determinar cv si se conocen cp y la constante del gas 4. ;uando los calores especfcos aparecen en base molar, debe reempla:arse 4 en la ecuación anterior por la constante universal de los gases 4u
En este punto, se introduce otra propiedad del gas ideal conocida como relación de calores especfcos W, defnida como
%/ E&*+,$a i&t*+&a8 *&talp$a 9 .alo+*( *(p*.$7.o( )* (4li)o( 9 l$;ui)o( Hna sustancia cuyo volumen especfco 'o densidad es constante se llama sustancia incompresible. Los vol-menes especfcos de sólidos y lquidos en esencia permanecen constantes durante un proceso1 por lo tanto, lquidos y sólidos se pueden considerar como sustancias incompresibles sin sacrifcar mucho en precisión. Se debe entender que la suposición de volumen constante implica que la energa relacionada con el cambio de volumen es insignifcante en comparación con otras ormas de energa. 6e lo contrario, esta suposición sera ridcula para estudiar el esuer:o t%rmico en sólidos o anali:ar termómetros de lquido contenido en vidrio. Se puede mostrar matemáticamente que los calores especfcos a volumen y presión constantes son id%nticos para sustancias incompresibles. Entonces, para sólidos y lquidos, los subndices en cp y cv se eliminan, y ambos calores especfcos se pueden representar mediante un solo smbolo c. Es decir, Esto se podra deducir tambi%n de las defniciones sicas de calores especfcos a volumen y presión constantes.
Ca-1io( )* *&*+,$a i&t*+&a 3l igual que los de gases ideales, los calores especfcos de sustancias incompresibles dependen sólo de la temperatura. 3s, las dierenciales parciales en la ecuación de defnición de cv se pueden reempla:ar por dierenciales ordinarias, que producen El cambio de energa interna entre los estados ( y = se obtiene por integración#
La variación del calor especfco c con la temperatura se debe conocer antes de llevar a cabo esta integración. !ara pequeos intervalos de temperatura, un valor de c a la temperatura promedio se puede usar y tratar como una constante, de lo que se obtiene
Ca-1io( )* *&talp$a Si se emplea la defnición de entalpa h < u M !v y observando que v < constante, la orma dierencial del cambio de entalpa de sustancias incompresibles se determina mediante derivación, como
!ara un proceso que ocurre entre los estados ( y =, la -ltima relación se puede e0presar como h= Ch( < v '!= C !(. Si se toma el estado = como el estado de lquido comprimido a $ y ! dadas, as como el estado ( de lquido saturado a la misma temperatura, es posible e0presar la entalpa del lquido comprimido como Asta es una mejora sobre la suposición de que la entalpa del lquido comprimido se podra tomar como h a la temperatura dada 'es decir, h a !,$ Y h a $1 sin embargo, la contribución del -ltimo t%rmino suele ser muy pequea y se ignora. '"bserve que a presiones y temperaturas altas, la ecuación QC&) podra sobrecorregir la entalpa y dar como resultado un error más grande que la apro0imación h Y h a $.
