Escuela Superior Politecnica del Litoral Algebra Lineal Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca
Capitulo #9
Espacios vectoriales con producto interno real Definición: Sea V un espacio vectorial real con producto interno sobre V, es una función ! VxV → ℜ tal "ue ( V $ ,V # ) → V $ ! V # ∈ ℜ , ade%&s la función ! debe satisfacer las siguientes
propiedades $'∀ x ∈V
[ x ! x
≥ +]
#' x ! x = + ⇒ x = +V *'∀ x, y ∈V
[ x ! y
= y ! x
]
= x ! y + )'∀ x, y, z ∈ V x ! y + z x ! z suma vectores deV suma reales ('∀ x, y ∈V , ∀α ∈ ℜ [ α x ! y = x ! α y = α x ! y ]
Norma de un vector Sea V un espacio vectorial con producto interno definido entonces se define a la nor%a de un vector de la siguiente %anera v
Ejemplo: $
V = C [ +,$]
∫
f ! g = f - x ' g - x'dx +
eter%ine la Solución
e
x
v ! v
=
x
e
x
x
e !e
e# − $
=
#
$
x
x
e
# x $
e !e
= ∫ e # x dx +
=
#
∫
=
e#
+
#
−
$ #
=
e# −$ #
Teorema Sea V un espacio vectorial con producto interno. Entonces $'∀ x ∈ V
≥+ #' x = + ⇒ x = +V ∀α ∈ ℜ, ∀ x ∈ ℜ *' α x = α x )' x + y ≤ x + y x
Distancia entre dos vectores Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sea v$ / v# ele%entos de V, la distancia entre v$ / v# esta dada por d ( v$ , v # ) = v$ − v #
Ejemplo: V
= P $
= p -+' q -+' + p -$' q -$' d = ( x + $,# − x ) = ( # x − $) = # x − $ = # x − $ ! # x − $ =# p - x ' ! q - x '
Teorema Sea V un espacio vectorial con producto interno entonces $'∀ x, y ∈ V #'∀ x, y ∈ V *'∀ x, y, z ∈ V
[ d ( x, y ) > +] [ d ( x, y ) = d ( y, x ) ] [ d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) ]
Angulo entre dos vectores Sea V un espacio vectorial con producto interno / sean &ngulo θ for%ado entre v$ / v# esta dado por
v$
/ v# "ue pertenecen al el
θ
x ! y = arccos x y
0 + ≤ θ ≤ π .
Ejemplo: # eter%ine el &ngulo entre los vectores P - x' = x + x + $ / el vector q - x ' = * x # − # x − $ donde V = P # con producto interno est&ndar.
Nota producto interno est&ndar es el producto punto. Solución
= x # + x + $ q - x ' = * x # − # x − $
p - x '
$ [ p - x '] Bc = $ $ * [ q - x'] Bc = − # − $ p - x ' ! q - x ' = *-$' + - −#'-$' + - −$'-$' cosθ =
p - x ' ! q - x ' p - x ' q - x '
= + = 1+
Vectores ortogonales Sea V un espacio vectorial con producto interno / sea v$ / v# ele%entos de V, los vectores v$ / v# son ortogonales si / solo si v$ ! v # = + -producto interno'.
Conjunto ortogonal $ ,V # ,...,V n } un con2unto Sea V un espacio vectorial con producto interno / sea S = {V
de n vectores de V. S es un con2unto ortogonal si / solo si ∀V i , V j ∈ S se cu%ple "ue V i ! V j = + cuando ( i ≠ j ).
Conjunto ortonormal $ ,V # ,...,V n } un con2unto Sea V un espacio vectorial con producto interno / sea S = {V de n vectores de V. S es un con2unto ortogonal si / solo si
∀V i ,V j ∈ S
Teorema
+0 i ≠ j V i ! V j = . $0 i = j
Si S es un con2unto ortogonal de vectores no nulos en un espacio vectorial con producto interno, entonces S es un con2unto lineal%ente independiente en V. Demostración: S = {V $ , V # ,...,V n } ∧ S = α $V $ + α #V # + ... + α nV n entonces
V $ ! α $V $ + α #V # + ... + α nV n = +V ! V $
α $ V $ ! V $ + α # V $ ! V # + ... + α n V $ ! V n = +
$
α $ V $
#
+
+
=+
V $ ≠ + ⇒ α $ = +
α $ α # el %is%o %odo α n
∴ S es lineal%ente independiente.
Proceso de ortonormaliacion de !ram "cmidt # ,..., V n } una base de V. Sea V un espacio vectorial de di%ensión finita sea β = {V $ , V entonces a partir de esta base es factible construir una base ortonor%al para V %ediante el siguiente proceso Nota z i 3ortogonal0 u i 3ortonor%al. z $
$' z $ = V $ ⇒ u$ = #' z # = V # − *' z * = V * − )' z n = V n −
z $
v# ! z $ z $
#
v* ! z $ z $
#
vn ! z $ z $
#
z #
z $ ⇒ u # = z $ −
z #
v* ! z # z #
z $ − ... −
#
z # ⇒ u* =
vn ! z n −$ z n −$
#
z * z *
z n −$ ⇒ un =
z n z n
Pro$eccion ortogonal # ,..., hk } una Sea 4 un subespacio de un espacio vectorial con producto interno / { h$ , h base ortonor%al de 4. Si v ∈ V , entonces la pro/eccion ortogonal de v sobre 4, denotada por proy H v se define co%o Pr oy H v = -v ! h$ ' h$ + -v ! h# ' h# + ... + -v ! hk 'hk
Complemento ortogonal Sea 4 un subespacio de un espacio vectorial V con producto interno. Entonces el co%ple%ento ortogonal de 4, denotado por H ⊥ , se define co%o ⊥ H = { v ∈ V !-v ! h' = +, ∀h ∈ H }
Teorema Sea 4 un subespacio del espacio vectorial V con producto interno, entonces se cu%ple "ue $' H ⊥ es un subespacio de V ⊥ #' H ∩ H = { + v } *' di% H + di% H ⊥ = di% V Demostración:
$' H = h ∈ H ! h ! p = +, ∀ p ∈ H i' ∀h$ , h# ∈ H ⊥ [ h$ + h# ∈ H ⊥ ] ⊥
h$ ∈ H ⊥ ⇒ h$ ! p = + h# ∈ H ⊥ ⇒ h# ! p = +
h$ + h# ⇒ h$ + h# ! p = h$ ! p + h# ! p = + v + + v = + v
ii' ∀h ∈ H ⊥ ∀α ∈ R α • h ∈ H ⊥ h ∈ H ⊥ ⇒ h ! p = +
α h ! p
= α h ! p = α + v = +v
#' H ∩ H ⊥ = x ∈ V ! x ∈ H ∧ x ∈ H ⊥ } ⊥ x ∈ H ! x ! p = +
∀ p ∈ H
Pero x ∈ H ⇒ x ! x = + ⇒ x
#
= + ⇒ x = + v
∴ H ∩ H ⊥ = { + v }
*' A partir de una base de 4 se puede generar a V -co%pletando bases' B H = { v$ , v # ,..., v k } v = α $v$ + α # v # + ... + α k v k + α k +$v k +$ + α k + # v k + # + ... + α n v n ∈ H
V = H ⊕ H ⊥ di% V = di% H + di% H ⊥ − di% H ∩ H ⊥ ⊥ Pero H ∩ H = { + v } ⇒ di% H ∩ H ⊥ = +
∴ di%V = di% H + di% H ⊥
∈ H ⊥
Ejercicios: $.5 6onsidere a R * con las operaciones convencionales de su%a, producto por escalar / producto punto. Sea 4 es el plano "ue contiene a los vectores -$,#,$' / -#,+,#' / 7 la recta generada por -+,5$,$'. eter%ine a' H ∩ ⊥ b' H ⊥ + c'8na base ortonor%al para ⊥ #.5 Sea 4 un subespacio del espacio vectorial R * , tal "ue H = {( a , !, c ) ∈ R * ! − a + #! − c = +} 8tilizando el producto interno estandar en R * a'Encuentre una base ortonor%al para el subespacio H ⊥ b'Sea el vector v = ( − $,*,$) ∈ R * . eter%ine un vector h ∈ H / un vector "ue v = h + p
p ∈ H ⊥ ,
tal
*.5 eter%ine si la funcion f P $ × P $ → R con regla de correspondencia
f [ ( a$ + !$ x ) ! ( a #
+
!# x ) ] = #a$a #
+*
!$!#
−
a$!#
−
a # !$ es un producto interno real en
P $
* * ).5eter%ine si la funcion f R × R → R definida por
f [ ( a, !, c ) , ( d , e, f ) ] = ad − ae − !d + #!e + cf ,
es un producto interno en R * . (.56onsidere
(a
+
P *
con el producto interno dado por
+ a$ x + a # x # + a* x * ! !+ + !$ x + !# x # + !* x * = a*!* + #a# !# + )a$!$ + a+ !+
a' Para el operador en 9 en P * definido por " ( p ( x ) ) = p( − $) + p( +) x , deter%ine una base para I%( " ) / #u ⊥ ( " ) b' Encuentre la pro/eccion ortogonal de r ( x ) = $ + x + # x # + *x * sobre #u ( " ) #
:.5 En el espacio vectorial
P $
esta definido el siguiente producto interno ( p- x' ! q - x') = p- −$'q-−$' + p-+'q-+' + p-$'q-$' a' Encuentre un vector p-;' tal "ue su nor%a sea igual a *+ / la %edida del angulo con el vector "-;'3$<; sea
π
#
b' Sea el subespacio de P $ = { a + !x ! a + ! = +} , 6ual es el vector de 7 "ue esta %as cerca de r-;'3$5#;= >.5 En el espacio de las funciones continuas 6?5$,$@ se define el siguiente producto interno
- f ! g ' =
$
∫ f - x' g - x'dx −$
La distancia entre dos vectores v$ / v # se define co%o la nor%a del vector -v$ − v# ' , sean f-;'3$, g-;'3;, -;'3 x # + $ 6ual de los vectores g-;' o -;' esta %as cerca del vector f-;'= B' 6alifi"ue cada una de las siguientes proposiciones co%o verdaderas o falsas, en caso de ser falsa de un contrae2e%plo / en caso de ser verdadera de%uestrela. a' Si V es un espacio vectorial con producto interno / 4 un subespacio de V, ⊥ entonces ( H ⊥ ) = H b' Si u$ / u # son dos vectores ortonor%ales en R n , entonces u$ − u # = # # ,..., u k } una base c' Sea V, un espacio vectorial con producto interno, / sea { u $ , u ortonor%al de V, entonces para todo ; en V x
#
k
= ∑ ( x ! ui ) i =$
d' Sea V, un espacio vectorial con producto interno, Sean u / v dos vectores v , entonces -u
