MATERIA: PROCESAMIENTO PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES TEMA: EJERCICIOS DEL LIBRO DE SORIA CAPITULO 1. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.46
0.5 un ante una entrada
h n
Calcule la salida de un sistema con respuesta impulsional
x n
u n
u n
3
. Repita el procedimiento para hn
0.5
n
un . n
y n xn hn xn n n 1 n 2 y n n n 1 n 2 0.5 u n n
n
n
n
y n n 0.5 un n 1 0.5 u n n 2 0.5 u n n
y n 0.5 u n 0.5
n 1
u n 1 0.5
n2
u n 2
y n xn hn xn n n 1 n 2 n
y n n n 1 n 2 0.5 u n n
n
n
y n n 0.5 u n n 1 0.5 u n n 2 0.5 u n n
n1
y n 0.5 u n 0.5
1.47 xn
n 2
u n 1 0.5
u n 2
Dadas las secuencias siguientes:
3 , 2 , 1 ,0 ,2 ,4 ,6 ;
yn
1 ,3 ,5 ,
0.2;
wn
5 ,3 ,2 ,1 ,
{,,,,,,} ,,,,,,}; {,,,.} ,,,.}; {, {,,,, ,} Calcule y represente las siguientes secuencias:
. . . DANIEL CASTILLO
QUINTO ELECTRÓNICA
3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 4 4 2 2 6 6 3 3 2 2 3 3 1 1 5 5 0.2 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 5 5 1.8 1 1 4 4 2 2 6 6 3 3
3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 4 4 2 2 6 6 3 3 2 2 3 3 1 1 5 5 0.2 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 0.4 1 1
3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 4 4 2 2 6 6 3 3 2 2 3 3 1 1 5 5 0.2 0.2 1 1 5 5 3 3 3 3 1 1 5 5 0.2 2 1 1 DANIEL CASTILLO
QUINTO ELECTRÓNICA
2 34 2 41.8 14 26 3
. 0.723 3 2 2 12 14 26 3 2.16 31.44 20.72 1 1.44 12.88 2 4.32 3
∗ {5 33 150.2 1} ∗{ 23 15 0.2 1} DANIEL CASTILLO
QUINTO ELECTRÓNICA
3∗ 215 3 ∗ 125 3 ∗ 1 3 2∗ 29 2∗ 115 2∗0.6 2 ∗ 12 1∗ 26 1∗ 110 1∗ 0.4 1∗ 1∗ 23∗ 15∗ 0.2∗ 1 512 414 323 212.4 14.6 0.2 1
∗ { 23 150.2 1} ∗ {2 13 25 3} { 2∗2 2∗ 13 2∗ 25 2∗ 3 3 1∗6 1∗ 19 1∗ 2 15 1 ∗ 35∗10∗ 115∗ 225 ∗ 30.2 1∗0.4 1 ∗ 1 0.6 1∗ 2 1∗ 3} 25 11413.8 10.4 225.6 3 4
DANIEL CASTILLO
QUINTO ELECTRÓNICA
1.48
Calcule la autocorrelación de la respuesta del sistema L.I.T., causal definido por el diagrama de
bloques de la Figura 1.31. ¿Para qué desplazamiento (‘lag’) será máxima la auto correlación?
x(n)
-ba
+
+
y(n)
-1
z -a1
-b1
f (n) y (n)
y (n)
y (n) (n k ) k
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QUINTO ELECTRÓNICA
1
y (3)
y (n) (n 3) (1)(0) 3(0) 5(0) ( 0.2)0 04
n 2 1
y (2)
y (n) (n 2) (1)(1) 3(0) 5(0) ( 0.2)(0) 1
n 2 1
y (1)
y (n) (n 1) (1)(2) 3(1) 5(0) ( 0.2)(0) 5
n 2 1
y (0)
y (n) (n) (1)3 3(2) 5(1) ( 0.2)0 14
n 2 1
y (1)
y (n) (n 1) (1)(5) 3(3) 5(2) ( 0.2)(1) 13.8 n 2
f ( n ) 0,1,5,14,13.8 6
a(n) 5
b(n)
4 1.8
2
-3
-3
-2
-2
-1
0
n -1
0
1
2
3
1
2
3
-0.4 -2 -3
-1
d(n)
c(n)
4.32
6 4 2
2
2.88
4
1.44
1.8
-3 -3
-2
-1
0
1
2
3
-1 -0.72
0
1
2
3
-1.44
-2 -3
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-2
-2.16
QUINTO ELECTRÓNICA
23
12.4
e(n) 4.6
-3
-2
-1
1
n
0 -0.2
-14
1.49
Para que valores
, de la señal
xn
e
j n
es periódica. ¿Cuál es el periodo para
6
?
xn ej ej ej+ ejej θN 2π θ 2Nπ ej → ∞ ; ej π0 w 2Tπ T 2wπ 2ππ 12 6 DANIEL CASTILLO
QUINTO ELECTRÓNICA
Como la función seno y coseno son periódicos cada múltiplo de 2π, entonces la señal x(n) es periódica para cualquier valor de θ . T
1.50
Calcule la correlación
12
∑
de las secuencias
y.
= ∗ ∑ = ∗ = ∑ ∗ ∑ =
∗ ∑ 2− = ∑ 2− = ∑ 2− =
1.51
Un sistema de procesado digital tiene un diagrama de bloques mostrado en la Figura 1.32.
Suponiendo que los convertidores A/D y D/A son ideales y que la frecuencia de muestreo es de 300 Hz., determinar la salida y(t) si la entrada al sistema viene dada por la siguiente expresión: yt 3 cos1100 t 2 sen500 t sen150 t 1
1100 F 1
2
500 F 2
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550 Hz
250 Hz
QUINTO ELECTRÓNICA
3
f s
150 F 3 75 Hz
300 Hz tenemos f Nyquist 150 Hz
Por lo tanto el primero y el segundo término no cumplen con el Teorema de muestreo, produciendo aliasing.
1100 500 150 n 2 sen n sen n 300 300 300 11 5 y n 3 cos n 2 sen n sen n 3 3 2 7 y n 3 cos n 2 sen n sen n 6 3 2 y n 3 cos
f 1
7
12
, f 2
1
6
y
f 3
1
4
yr t 3 cos175 t 2 sen100 t sen150 t
Si como etapa previa al conversor A/D se hubiese colocado con un filtro antialiasing que eliminase todas las frecuencias por encima de 100 Hz. ¿Qué se tendría a la salida? ¿Y si el filtro antialiasing se coloca después de A/D? Justifique su respuesta.
1.52
Considere el esquema de la Figura 1.33. Calcule la ecuación en diferencias del sistema y
determine si el sistema es causal. ¿Se trata de un sistema L.I.T.?
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QUINTO ELECTRÓNICA
a) La ecuación en diferencias del sistema es:
yn xn1xn 1nxn b) Es causal o no.
n yn Xn 1 xn 1n(xn) y0 X1x10(x0) y0 X1x1 =0
Para el valor
Para el valor causal
n
=0, con x(-1) y n=-1 si cumple
n ≤ n , si cumple 1 ≤ 0.
n x1 n 1 n ≤ n y vemos que,NO CUMPLE 1 ≤ 0 . =0, y (0) depende de
con
, por lo que no es casual. Porque para ser
EL SISTEMA NO ES CAUSAL b) Es L.I.T.
NO L.I.T porque no es causal 1.53
La señal analógica
1050cos502cos950
se muestrea con un periodo de muestreo de 2ms. Su salida se hace
pasar por un conversor D/A ideal. Determine la señal
obtenida.
sen1050 t cos50 t 2 cos950 t
x t
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QUINTO ELECTRÓNICA
Ω 1050, 525 Ω 50, 25 Ω 950, 475 1 500 , 250 1 2 El primero y el tercer término no cumplen con el Teorema de muestreo, produciendo aliasing.
50 2cos950 1050 cos 500 500 500 2cos19 21 cos 10 10 10 10 cos10 2cos75 201 , 201 107 50cos502cos350 1.54
Evaluando directamente la suma de convolución, determinar la respuesta al escalón de un
h n
sistema L.I.T., cuya respuesta al impulso es
a
n
u
n con
a
1
.
y n hn un
y n
hk un k k
Como la función escalón u(n – k) será distinto de cero para n k y, por tanto,
y n
n
hk k
y n
n
a
u k
k
k
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QUINTO ELECTRÓNICA
1.55 con
Determine cual es la salida y(n) de un sistema L.I.T., ante una entrada del tipo n
xn Ae
jwn
.Comente la importancia de este resultado.
∞ ∞ ∗ℎ ∑ ℎ
=− =− ∑ ∑ =− ∑ =− − 1 1
11 1
1.56
Un sistema causal, con condiciones iniciales nulas viene definido por la siguiente ecuación en
diferencias yn nyn 1 xn . a) Calcule la respuesta impulsional del sistema y proporcione una expresión general para la misma. b) ¿Es invariante temporal?
1 DANIEL CASTILLO
QUINTO ELECTRÓNICA
1 0 010 1 1 10 1 2 21 2 3 32 6 4 43 24 5 54 120 1 2 2 6 3 24 4 120 5 1.58
Un periodo de la señal analógica
x t
(t en segundos) se muestrea con una
2 cos 52 t
frecuencia de 250 Hz.
a) Determine los valores de x(n) obtenidos si se emplea un conversor A/D bipolar de 8 bits de cuantización por redondeo cuyo rango de entrada es el doble de la amplitud pico a pico de x(t). b) ¿Cuál es el rango de entrada mínimo que debe tener el conversor para que no se produzca ruido de sobrecarga con esta señal de entrada? a)
2cos52 250 4 2cos26 125 b) Re=8
R=
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R=31.25*10^-3
1.59 Comente cada uno de los siguientes párrafos indicando si son ciertos o falsos:
“Una de las principales aplicaciones de los filtros digitales es su utilización en las etapas de conversión A/D y D/A. estos se utilizan para evitar que se produzca solapamiento frecuencial cuando no se verifica el Teorema de muestreo, y también para eliminar las imágenes del espectro de conversión D/A como consecuencia de no utilizar un reconstructor ideal”.
La conversión D/A se realiza normalmente combinando un conversor D/A con un circuito de muestreo seguido de un filtro pasa bajo ya que el reconstructor ideal es no causal y de duración infinita
“Para un sistema lineal invariante temporal causal, podemos calcular su salida en régimen permanente ante una entrada tipo
x n
, a partir de su respuesta de frecuencia,
A cos wn u n
y ésta coincidirá con la salida del sistema sólo si el sistema es estable”.
y salida para n≤
, el valor de y( )es función únicamente de valores de la secuencia de entrada , a diferencia de un sistema no causal que también depende de las m uestras futuras.
Un sistema es causal si Ɏ
“Para un sistema lineal invariante temporal, podemos calcular su salida en régimen permanente ante una entrada tipo
x n
,
A cos wn u n
a partir de su respuesta en frecuencia, y ésta
coincidirá con la salida del sistema, independientemente de que el sistema sea estable o no. La única condición necesaria es que el sistema sea L.I.T.”.
Se puede definir el sistema en tiempo discreto como toda transformación que realiza un mapeado entre la secuencia de entrada x(n) en otra de salida y(n): y(n)=T{x(n)}
1.61
Calcule la expresión general de la auto correlación de la señal
x n
2
n
. A partir de ella
u n
determine el valor de la energía de dicha señal.
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2−. ∗ 0 ∑ . =− 1 0 ∑ 4 =− 1 0 ∑4 = 1 1 1 1 41 4 4 43 PRACTICAS DE MATLAB 1.62.- Se desea generar 2 periodos de una onda sinusoide analógica de amplitud 1 y frecuencia 200 Hz, muestreada a 1 kHz.
cos2
Sabemos que una sinusoide continua de frecuencia
queda definida por la siguiente expresión:
donde y son, respectivamente, la amplitud y fase del sistema. Si muestreamos a una frecuencia obtenemos:
cos2 cos2 200 cos0.4 1cos2 1000
Sustituyendo, en nuestro caso tendríamos:
De forma inmediata se comprueba que el periodo de la señal discreta es de 5 muestras, como nos pide dos periodos el numero de muestras al generar es 10. Las instrucciones de Matlab para generar y dibujar la señal son: %Ejercicio 1.62 DANIEL CASTILLO
QUINTO ELECTRÓNICA
n=0:9; Fm=1000; Fa=200; x=cos(2*pi*Fa*n/Fm); stem(n,x) xlabel('n') ylabel('x(n)')
Con estas instrucciones se obtiene la Figura 1.34:
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1.63 Realice la misa operación, pro ahora la sinusoide a muestrear es de 1,2 Khz
1.64.- Superponga sobre la grafica obtenida en el Apartado 1.63 los puntos obtenidos en el 1.62. ¿Qué ocurre?, ¿qué consecuencia se puede sacar de las graficas?
Con el siguiente código podemos superponer ambas graficas, donde, en lugar de emplear la instrucción hold on hemos utilizado la opción de plot para superponer múltiples gráficas (Figura 1.36). plot(n,x,'o',n,xx,'+') legend('Fa=200hz','Fa=1200Hz') xlabel('n') ylabel('x(n)')
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Figura 1.36 Superposición de las muestras de las Figuras 1034 y 1.35. Se observa que los puntos de las dos señales coinciden. La razón es que la señal (la componente de 1.2 kHz ) no cumple el teorema de muestro. Mediante la relación siguiente podemos determinar la frecuencia aparente obtenida tras el muestreo
± {/2,/2} 200 ′ 1200
Siendo una frecuencia en un intervalo y la frecuencia original. Si consideramos nuestros valores con frecuencias de muestreos igual a 1 kHz, la primera señal no produce sopla miento y la segunda se aparecería con una frecuencia de 200 Hz (considerando k=1). Podemos ver el efecto del soplamiento en el dominio temporal si superponemos las dos señales continuas. La manera de simular estas señales es considerar un periodo de muestreo "muy pequeño". Es una aproximación pero, a nivel grafico, es bastante ilustrativa. El siguiente programa muestra el proceso. n=0:9; t=0:0.01:9; Fa1=200; Fa2=1200; Fs=1000; xt1=cos(2*pi*Fa1*t/Fs); xt2=cos(2*pi*Fa2*t/Fs); x1=cos(2*pi*Fa1*n/Fs); x2=cos(2*pi*Fa2*n/Fs); plot(t,xt1,'k-',t,xt2,'k:',n,x1,'ko',n,x2,'k+') xlabel('n') La gráfica obtenida se muestra en la Figura 1.37, en la que se aprecia claramente que para que la señal de 1200 kHz no llegamos a tener al menos dos puntos por periodo produciéndose aliasing.
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1.65 En este apartado vamos a estudiar el efecto del muestreo sobre el espectro de la señal. Genere la serie obtenida al muestrear una sinusoide de 10 0 Hz y amplitud unidad con un periodo de muestreo de 1 ms durante un segundo. Represente el espectro de la señal usando la instrucción abs(fft(y)).
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1.66.- Repita el apartado anterior pero ahora la señal a muestrear es la suma de 4 sinusoides de amplitud uno y frecuencias 100, 200 y 600 y 2100 Hz . Utilice la señal de tipo coseno. Comente los resultados.
El siguiente código me permite calcular las secuencias y representar el espectro de suma En lugar de utilizar un bucle para calcular cada una de las secuencias hemos utilizado las propiedades de MATLAB para trabajar con matrices de datos y la función sum que al ser aplicada sobre una matriz suma sus elementos por columna. %Ejercicio 1.66 N=1000; n=0:N-1; Fa=[100,200,600,2100]'; %Ternemos un vector de frecuencia Fm=1000; x=cos(2*pi*Fa*n/Fm); %Calculamos todas las sinusoides x=sum(x); %Sumamos las sinusoides plot(-N/2:N/2-1,abs(fftshift(fft(x)))); xlabel('Frecuencia')
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QUINTO ELECTRÓNICA
1.67 Repita el ejercicio anterior pero sustituyendo la frecuencia de 2100 Hz por una de 1900 Hz. ¿Obtendríamos el mismo resultado si hubiésemos generado las señales con las funciones seno?
1.68.- Genere una señal cuadrada de 1000 puntos con frecuencia de 150 Hz y muestreada a 1000 Hz . Represente el espectro de la señal y explique el resultado.
Sabemos que una señal cuadrada analógica está formada por una suma infinita de armónicos impares de la frecuencia fundamental. La amplitud de dichos armónicos decrece a medida que aumenta la frecuencia del mismo. Nuestra señal contendrá armónicos a los frecuencias: 150 Hz, 450 Hz, 750 Hz, 1050 Hz, 1350 HZ, 1650 Hz, 1950 Hz,... Como las frecuencias de muestreo es de 1 kHz para que no se produzca aliasing, las frecuencias analógicas deberán estar comprendidas en el intervalo [-500 Hz,...,500 Hz]. En nuestra señal cuadrada esto no se verifica a partir de la frecuencia de 750 Hz . Veamos cuales serán las frecuencias aparentes obtenidas por cada uno de estos armónicos, para ello utilizamos la expresión (1.7). En la práctica, podemos obtener las frecuencias aparentes sin más que restar a la señal múltiplos de las frecuencias de muestreo hasta que nos encontremos en el intervalo de frecuencias determinado por la frecuencia de muestreo (Tabla 1.8). Frecuencia original 150 Hz 450 Hz 750 Hz 1050 Hz DANIEL CASTILLO
Frecuencia aparente 150 Hz, No produce aliasing 450 Hz, No produce aliasing -250 Hz 50 Hz QUINTO ELECTRÓNICA
1350 Hz 1650 Hz 1950 Hz
350 Hz -450 Hz -50 Hz
El siguiente código nos permite ilustrar gráficamente estos resultados: N=1000; n=0:N-1; F=150; %Ternemos un vector de frecuencia Fm=1000; x=square(2*pi*F*n/Fm); subplot(211) stem(n(1:50),x(1:50)) xlabel('n') ylabel('x(n)') title('(a)') subplot(212) plot(-N/2:N/2-1,abs(fftshift(fft(x)))); xlabel('Frecuencia') title('(b)')
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1.69 Escriba una función que acepte como parámetros un vector de muestras, el número de bits del cuantificador y el rango de entrada y devuelva la señal cuantificada por redondeo y considere que el intervalo de entrada es bipolar
function y=cuanti(x,bits,m) Resol=2*m/(2^bits-1); nivel=x/Resol; nivel=round(nivel); y=nivel*Resol; 1.70.- La siguiente ecuación en diferencia recursiva Permite calcular el valor de la raíz cuadrada de A, tomando como condición inicial x(-1) una aproximación burda de dicha raíz. Para valores de A>1, x(1)=1 es una aproximación adecuada.
12 [1 1]
a) Escribir un programa que permita calcular el valor de la raíz cuadrada de 2. Compruebe que a
√ 2
partir de un pequeño número de iteraciones el valor almacenado en x(n) coincide con . b) Repita el proceso anterior cuantificando el resultado de cada iteración antes de realimentar de nuevo al sistema. Muestre la s graficas obtenidas para un cuantificador de 4, 5, 6, 8 y 12 bits, si el intervalo de entrada al cuantificador es a) El siguiente programa muestra la implementación recursiva de la ecuación de diferencias del sistema, mediante un bucle. El bucle finalizara cuando la diferencia entre el valor calculado con esta expresión y el valor sea menor que 1/10000. %Ejercicio 1.70 clc clear A=2; valor_exacto=sqrt(2); n=1; x(n)=1; %Condicion inicial error=1/10000; while(abs(x(n)-valor_exacto)>=error) n=n+1; x(n)=0.5*(A/x(n-1)+x(n-1)); end %Si ejecutamos disp(x), MATLAB no devuelve por pantella disp(x)
±5.
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a) Veamos cómo se modifican los resultados al cuantificar las operaciones tras cada iteración. En este caso vamos a fijar el número de iteraciones en 15, independiente del número de bits considerado, y mostraremos en un grafico los resultados. El programa utilizado es el siguiente: clear A=2; m=5; valor_exacto=sqrt(A); n=1; N=10; %Numero de iteraciones x(:,n)=[1,1,1,1,1]'; %Condicion inicial j=1; for bits=[4,5,6,8,12] for n=2:N x(j,n)=cuanti(0.5*(A/x(j,n-1)+x(j,n-1)),bits,m); end j=j+1; end n=1:N; plot(n,x(1,:),'k-',n,x(2,:),'b:',n,x(3,:),'g.-',n,x(4,:),'r--',n,x(5,:),'c-') legend(['b=4 valor=' num2str(x(1,N))],['b=5 valor=' num2str(x(2,N))],['b=6 valor=' num2str(x(3,N))],['b=8 valor=' num2str(x(4,N))],['b=12 valor=' num2str(x(5,N))]) xlabel('Iteracion') ylabel('VAlor aproximado de la raiz')
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1.71 En esta práctica se estudiarán los conceptos de estabilidad y linealidad básicos a la hora de analizar sistemas discretos. Determine si los sistemas definidos por las ecuaciones en diferencias siguientes verifican las propiedades de linealidad, invarianza temporal y estabilidad
, .
1.72.- La primera aplicación de la autocorrelación de una señal es determinar las posibles repeticiones de patrones en la señal. Para comprobar este punto se va a generar una sinusoide de frecuencia igual a 100 Hz con amplitud 1 y muestreada a 1 kHz (consideremos una señal de 100 puntos). Determinar la autocorrelación de esta señal normalizada a uno y represéntela junto a la secuencia, ¿qué conclusiones se pueden sacar?
El programa en MATLAB que implementa lo que nos pide es: %Generación de la señal n=0:99; x=cos(2*pi*n*0.1); %Cálculos de autocorrelación y=xcorr(x,'coeff'); %Representación de las dos señales subplot(211),stem(x,'k'),title('(a)') subplot(212),stem(y,'k'),title('(b)') DANIEL CASTILLO
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xlabel('Muestras')
1.73 Una segunda aplicación relacionada con la anterior es la determinación del desfase entre dos señales. Se pide generar dos sinusiodes de frecuencia 50Hz (Fm=1KHz), amplitud unoy desfasadas 90° y determinar la correlación cruzada de ellas . ¿Cómo se podría determinar el desfase entre estas señales?. Realice una grafica donde aparezcan las matrices del autocorrelación y correlación cruzada
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