100 problemas: Germán Bernabeu Soria

RECURSOS PARA EL AULA

100 problemas

matemáticos Germán Bernabeu Soria


100 Problemas matemáticos Autor: Germán Bernabeu Soria

Eita: CE!"RE e EL#A C$% San Crisp&n' 1( )el*% +,-%.+%(,%.+ !a/% +,,%+%00%., Email: 0.(020,1centres%cult%34a%es 0.,00 EL#A

2

C$% Pare "%S%B%5%: GRA!"BEL 6ariana' 0.00( )el*%(,++,.120 2010 AL"CA5)E "mprime: +,-%20%(%+2 1-S%L%  ba7os 100 Problemas matemáticos


8C9mo es posible :ue la matemática' un proucto el pensamiento ;umano inepeniente inepeniente e la e/periencia' se aapte tan amirablemente amirablemente a los ob7etos e la realia<

Albert Einstein

100 Problemas matemáticos

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"5#"CE Pá3ina

Pr9lo3o % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %+ "ntroucci9n % % % % % % % % % % % % % %pasa % % % % % %11 =>u? con las matemáticas@ % % % % % % % % % % % % % % % % %1. Las matemáticas en nuestro pa&s% % % % % % % % % % % % % % % % %1. La%resoluci9n e problemas % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %1, Pero' =u? es un problema@ % % % a% los % % % % % % % % % % % % % % %1 Los alumnos%*rente problemas%% % % % % % % % % % % % % %1 Problemas e7ercicios % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 20 Problemas: 2 . ( - ,   +

La botella e 1 Cola % % % % % e % %mi% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % La ;abitaci9n 2. casa % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2( Los coc;es% % % % % % % % % % % %e% tenis %2El%torneo % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %e/presarlo % % % %2, % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % C9mo % % % % % Blancas  %2 ne3ras % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% La reuni9n% % % %2 % % % % % % %2+ Comprano libros =Cuánto% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %.0 es@% % % % % % Escaleras% % % % % % % % % % % % 10 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %.1 % % % % % %.2 La% 11 ;uc;a%% % % % % % C;icos %c;icas % % % % % % %12 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %naaor% % % % % % % % %.. %.( El% % % % % % %1. % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %.=Cuánto inero 1( ten3o@ % %rat9n % % % %% %1- % %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %%., El 3ato % el % % % %Los % %cuatro % % % %. 1, cuatros % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Los tres % % % % % % % %1 . circuito ami3os % % %% %% %% % % %% %%1 El %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% Salto La Ci*ras El 6antener Los recibo *oto tres el   la el el % %.+ % %bal9n %% % % %(0 )rián3ulos% %%% 100 %%%el %%%% %%%Problemas %%%% %%1+ %%%% %%%% %%%% %%%% %%%% %%%% %%%%% %%%% %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% %%% Ca7as El caballo% a3ua An3ulos marco "4án letras banco istancia% Al co*res escuento re4?s el % %% %rectos% pereoso %% %%% % % % % %% % %(1 %(+ (2% (( "DA% % % %%-( %-. %% %%(, %% % %% % %% %%( %(. %(%matemáticos % %%-1 %%-2 %%-0 % % .2 % % % % % % % % % % % % % % %-%( 20 21 22 2. 2( 2- 2, 2 2 2+ .0 .1


Cita en el esierto .. % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % un % %-Una suma poco lar3a .( % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %-, Entre os ciuaes .- % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %- El%centro el ., c&rculo El . % % %% %% %% %% %% %. % %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %- % % % % % %% %% %-+ En% 4acaciones % . % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %e % %,0 La%ca&a una piera% .+ % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %,1 el coc;e% La%matr&cula (0 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %,2 io*ántico% Un%problema (1 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %,. #e%cuaraos má3icos(2 "% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %,( #e%cuaraos má3icos(. ""% % % % % % % % % (( % % % % % % % % % % % % % % %,El mel9n % % % Caminos % % % % % % % % % % % (- % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %Llaman % % % % % a% % la % %,, % %, (, puerta % % % % % % %( % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Los marios %, celosos % % % % % %( % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % "a  ,+ 4uelta % % % % %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% "nscripci9n % %% %% %%(+ % % % % % % % % % % %0 % % % %1 -0 5meros curiosos Partir un% % % % % %-1% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % nmero % %%%%%%%%%%%-2 El%2 campo% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % %. % % % % % Eaes % %% %% %( % % % -. % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %3ran7ero % % % % % %el%El caballo% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % -( % % solaos % % % %,romanos% Los -- % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %El% restaurante % % c;ino-, % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Por -%000 pesetas % - % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %+ Las - 4acas % % %% %% %% %% %-+ Los cone7os % %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %%moneas %% %% %% %%0 %1 )res % % % ,0 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %intermeiarios % % % %2 Los % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ,1 % % % % %el %. 6iieno a3ua % %,2 %% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %mil %(pesetas@ =>uieres ,. % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %El% rebaFo % % %-e o4e7as ,( % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %cuaerno % % % %, El % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5meros El )res Las #os La nmero 7arra e % % % % ,- % %% %%ci*ras %;ue4os % La cesta %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% El Las árbol ami3os ,% obreros pesaas cuaraos miel )res per*ectos tarta 7o4en pare' pá3inas %%%%%% e %% el % el %% el %;i7o %% 4ie7o %%% libro %%%%%,, %%% el % % %101 % %, % % caballo %100 %+%+ %+ %+. %+( % %+0 % % %+2 % %+ % %+, %++ % % + % % % % % % % %100 % %Problemas % % % % %matemáticos %+1 , , ,+ 0 1 2 . ( - ,  


El caracol % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 0 % % % % % La%caena % % % % % %102 % % % %1% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % El% % % % % % %10. 2 e/ploraor% % % % % % %. % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % La % % % % % %10( e/cursi9n % % % % % % %( % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % )aas % % %% %%%10)iis % % % % % % - % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % El%maor % %sorteo % % %10, proucto% El %% %% %% %% %% %% %%, %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %%10 % % % %el% 4ino % %10 El% a3ua % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %10+ 8>u?  nmero< % % % %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% Enamoraos % %% %% %% %% %% + % % % % % %110 % % % %111 El% +0 campesino % % % % % % %+1% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % El % % % % % %%112 trián3ulo % % % % % %+2 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 6sica %maestro % % % %% %% %11. % % % % % %+. % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5meros % %11( %%%%%%%%%%%%%%+( curiosos %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% La%bara7a % % %&a % %e % % % % %11, El%11Rees % % % %+- % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % La%cena e% %11 +, 5oc;e4ie7a% % % % % %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% % El a3ua  el%;ielo % %% + 11 % % nmeros % % % % %%11+ Los % % % % %+ % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %La% ea % % %% %% %120 % % % % % %++ % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5iro% % % % %% %% %% %%121 Pio % % 100 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %122

Biblio3ra*&a % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %12.


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PRHLOGO Este nue4o libro ue eita este CE!"RE es *ruto e una minuciosa labor e selecci9n  aecuaci9n e problemas matemáticos lle4aa a cabo con unas 3ranes osis e entusiasmo  tes9n por parte el asesor e matemáticas Germán Bernabeu Soria  s9lo pretene ser una aua para los ocentes el área% En esta sociea e la in*ormaci9n one se 3enera una 3ran cantia e in*ormaci9n' es e a3raecer ue al3uien nos ;a3a e 3u&a  seleccione lo ue puea ser e utilia a otros% La lar3a e/periencia autor en el el muno e las matemáticas  el amor ue les pro*esa son 3arant&a e ue la selecci9n  aaptaci9n e estos serán e muc;a utilia en la práctica ocente% Creo ue el planteamiento es mu aecuao' pues pretene *omentar el traba7o en euipo  plantea una serie e eni3mas ue aunue sencillos en apariencia tienen el 3rao aecuao e i*iculta para ue el reto resulte atracti4o% Esperano ue sea el a3rao e toos los pro*esionales el áreacomo irector e este centro *elicitar al autor por este uiero traba7o ue a;ora o*recemos a la comunia eucati4a%

Pero Ci4era Coloma #irector el CE!"RE e Ela 100 Problemas matemáticos +


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"5)RO#UCC"H5 Este sencillo libro sur3e a instancia e la emana e un 3rupo e compaFeros e matemáticas% Se trata e una recopilaci9n e problemas' ele3ios por su aparente simplicia' e/tra&os e au&  allá' unos conocios ese ;ace bastantes aFos  otros reco3ios más recientemente' planteaos en las clases e matemáticas o en cursos impartios sobre el tema% Con ellos se ;a conse3uio is*rutar e las matemáticas as& como cumplir al mismo tiempo sus ob7eti4os iniciales' too ello entro e un ambiente *a4orable  participati4o% Su i*usi9n a tra4?s el CE!"RE no pretene ni tiene otro ue ob7eti4o ser4ir e apoo al pro*esorao' con el *in e intentar ue tambi?n estos  sus alumnos puean is*rutar e ellos' tanto en la clase e matemáticas como en cualuier otro lu3ar' a la ;ora el traba7o o en la e escanso' e *orma ini4iual o colecti4a' esperano *inalmente ue estas acti4iaes les sir4an como re*erente para aborar situaciones e la 4ia cotiiana e una *orma más amena  positi4a% "nicialmente 4a iri3io al alumnao e eaes 121, aFos' es ecir a auellos ue se encuentran realiano los estuios en la etapa e Secunaria' pero sin e/clusi9n en nin3n caso e otros a uienes los pro*esores consieren aecuaa su aplicaci9n% La maor parte e las acti4iaes propuestas amiten $oampliaciones moi*icaciones% Por e7emplo' 4ariano las cantiaes inicialmente establecias obtenemos en muc;os e los casos otras propuestas con 100 Problemas caracter&sticas in4esti3aciones planteao ue la se soluci9n persi3ue El son *áciles por se es noalos abanone proucir inclue partir ealumnos' seme7antes los obtener% alumnos las el ebate casos a un problema' soluciones #e las recibo a  esta concretos' propuestas% los iscusi9n *orma e ue e puesto la 4an las se plantear entre lu' Por iri3ias' intenta propuestas ue el e7emplo' los el recibo nue4os alumnos' e4itar ob7eti4o  por a siempre el partir ue ?ste maor olibro menor 3rao e e comple7ia' para ser utiliaas se3n las matemáticos a 7uicio problema el tel?*ono%%%' conocia ltimo se consierar pro*esor ue el recibo o problemas% pro*esora% el a3ua Otra se4ariaci9n puee analiar se realia un caso meiante concreto 11


manten3a ;asta ue el resultao obtenio  el raonamiento utiliao sea *inalmente aceptao por toos como 4álio' ueano al mar3en las conclusiones o3máticas e*initi4as% Esto permite aborar los problemas e i*erentes maneras' puieno obtener en consecuencia i*erentes respuestas' lo cual resulta enormemente enriueceor para el esarrollo l93icomental e los alumnos% El traba7o ebe realiarse e *orma intuiti4a' cercana a la acti4ia  3eneraora el pensamiento matemático'  para ello escubriora es positi4o ue los alumnos se or3anicen en peueFos 3rupos para ue la interrelaci9n entre los mismos se prouca e *orma espontánea'  en uela el pro*esor o pro*esora no sea el re*erente' sino ue acte como un más e los mismos' e manera ue con sus inter4enciones miembro les anime a e/plorar' preecir ;ip9tesis' comprobarlas' cometer errores' corre3irlos  4ol4er a preecir las e4iencias obtenias' abrieno al3unos caminos  esec;ano otros% La utiliaci9n e materiales se centrará *unamentalmente en el e uso las *otocopias e la *ic;aproblema' una por caa alumno' e abunante papel one se puea representar 3rá*icamente cualuier aspecto o iea  por supuesto e la calculaora' sin la cual el traba7o ue se ebe realiar se 4uel4e e/cesi4amente pesao ' en consecuencia' aburrio% Pretenemos ue los alumnos eiuen *unamentalmente el tiempo e clase para pensar' raonar' iscutir' intercambiar ieas' analiar' etc% etc%' no s9lo para calcular% 5o ebemos e7arnos lle4ar e las prisas en la resoluci9n e los problemas' ;emos e ser conscientes e ue si bien al3unos e ellos pueen ser resueltos en escaso tiempo' para otros poemos ;oras eauirir presente alumno incluso ua' ue' en lacon*iana &as este resoluci9n para 4ia7e' en obtener e su más problemas propio importante un resultao pensamiento es ue unasatis*actorio' lle3ar e/celente matemático es ' necesitar tenieno comprener con7unto comporta sin Esto propuesta e m?toos con4encio conceptos e in4esti3aci9n eis*rutar 12 ue estreas la matemática el  ue raonamiento camino ;a es ue recorrio al3o ominar% ue más permitan ue El )ambi?n autor un al 100 Problemas matemáticos


=>UI PASA CO5 LAS 6A)E6J)"CAS@ Sin ua al3una' la matemática ;a sio consieraa a lo lar3o los e aFos'  especialmente en las ltimas ?caas' la asi3natura ue maor presi9n social  *amiliar ;a e7ercio sobre los alumnos e K;i7o' t escolar% es*u?rate en como cualuier ni4el !rases matemáticas :ue en e*initi4a es lo :ue te 4a a ser4ir para labrarte Kel ' o un *uturo cálculo es la base e toos Kpara entrar estuios ' o los esta otraa traba7ar en cual:uier sitio' lo importante es saber ;acer el cálculo %%%  muc;as más rápiamente nos ;an permitio entener cuáles eran las prioriaes eucati4as para muc;os e los pares% El muno' en ocasiones' parece estar i4iio en os 3ranes bloues: los ue 4an bien en matemáticas  los otros% Siempre ue sur3e al3una cuesti9n e carácter matemático en al3n 3rupo e personas' al3uienMno' contesta Bo no' :ue no soB e Milo matemáticasM t :ue eres e u otro comenta matemáticas M' su3erencia ue los emás aprueban al mismo tiempo ue respiran con ali4io% Una e las pre3untas ue más nos ;acemos los implicaos pro*esionalmente en este tema es la si3uiente: =u? tienen e especial los aspectos matemáticos' es ecir' too auello ue M;ueleM a matemáticas' para ue se prouca rec;ao@' a la ue aFair&amos una se3una' =u? pasa en la escuela' especialmente en las primeras etapas' para ue una 4e ue los alumnos  alumnas la abanonan' renuncien e manera tan e4iente a se3uir is*rutano  ;acieno uso e unos conocimientos como los matemáticos@ Esta situaci9n' aFaia a los a4ances tecnol93icos ue en los ltimos tiempos se están proucieno' parece emanar un 100 en ebe parece ;oras se la encuentra e respuesta e4iente' incrementar@ clase' la Art&culos ue incrementar pasa enseFana la =Poemos por escuela como incrementar las eProblemas solucionar el ebe las acti4iaes' aparecio matemáticas ar los alos contenios' los enincrementar problemas nue4os el s9lo iario con estuiantes' incrementar con %%% los =u?@ ue incremento matemáticos Alicante "n*ormaci9n  las =>u? se ?sta' incrementos@ pro4incial LAS 6A)E6J)"CAS eMLos l E5 +$0($+ 5UES)RO alumnos conPANS% espaFoles el titular e1.e


matemáticas rinen por eba7o e la meia internacionalM' o e ámbito 6uno nacional el 2$10$+' como El cuo titular reaba MLos escolares4ienen espaFoles a corroborar no saben contarM la necesia ue tienen nuestros escolares e me7oraraumentar sus conocimientos matemáticos% Se3n estos art&culos' basaos en un estuio1 realiao entre -00%000 escolares e 1.  1( aFos e (- pa&ses' EspaFa ocup9 entre los alumnos e 1. aFos el puesto .1 e un total e .+ pa&ses'  e los alumnos e 1( aFos el puesto .2 e (1 pa&ses con resultaos 4álios% Se puee consierar inicialmente ue estos resultaos epenen las e cuestiones presentaas% Sin embar3o contemplemos' por e7emplo' la si3uiente pre3unta: M=u? porcenta7e ;a aumentao el precio e una lata e 3uisantes ue subi9 e ,0 a - pesetas@M Si la respuesta aa por el más 0  e los estuiantes espaFoles es 1- pesetas' se obser4a ue al3o;a ue no *unciona aecuaamente% Esto se con*irma tambi?n' si más el 0 e los estuiantes contesta err9neamente a la pre3unta e cuántos laos están pintaos e aul  cuántos e ro7o en un cubo' en el ue ;a 2$. e posibiliaes e ue sal3a ro7o arriba al lanarlo% La ua ue toos nos planteamos es u? pasa con nuestros alumnos' ue espu?s e un ele4ao nmero e aFos asistieno a la escuela' e incontable cantia e ;oras traba7ano los conceptos matemáticos' e &as  &as e e/plicaciones' acti4iaes' re4isiones' recopilaciones' etc% etc% son incapaces e contestar aecuaamente a pre3untas como esas% asobre en ue ese mismo soluci9n en lasla ;oras emanas solicitao cacareaa lecti4as' re*orma too a la el el sino presiente entonces eart&culo' m?too las ue ministra matemáticas ?sta utiliao e se la se apuntaba Real centrara Esperana en no Acaemia el seal3una en aprenia7e limitase A3uirre' lae me7ora las asobre un Ciencias e eaumento la los ue ;ab&a tan e contenios traicionalmente meiante memor&sticamente' las )oos asi3natura% el somos aprenia7e conscientes estuiaas' espu?s 1(ee *9rmulas een sucesi4as ue loslas i*erentes  estreas' matemáticas repeticiones' ni4eles obtenias ;anmatemáticos sio eucati4os' con unos 100 Problemas


pro3ramas e/cesi4amente car3aos  r&3ios' one no se ;an tenio en cuenta ni las capaciaes el alumnao ni muc;o menos sus intereses% Los al3oritmos e cálculo ue ;an ocupao más e la mita el tiempo eicao a las matemáticas' son trataos como *in  pocas 4eces como ;erramienta% La auisici9n e t?cnicas mentales e cálculo no tiene en la presencia ue eber&a'  cuestiones como raonar' la clase ima3inar' intuir' probar' escubrir' 3eneraliar' aplicar estreas' estimar' comprobar resultaos%%%' parecen una uimera% Al3unos e nuestros más insi3nes matemáticos e toos los tiempos ;an enunciao los aspectos ne3ati4os ue una materia como la ue nos ocupa soportaba  an soporta% KLa matemática ;a constituio' Se3n Pui3 Aam: traicionalmente' la tortura e los escolares el muno entero' B la ;umania ;a tolerao esa tortura como un su*rimiento ine4itable para a:uirir un conocimiento necesarioS pero la enseFana no ebe ser tortura' B no ser&amos buenos pro*esores' si no procuráramos por toos los meios' trans*ormar este su*rimiento en 3oce' no cual no si3ni*ica ausencia e es*uero' sino' por el contrario' alumbramiento e est&mulos B e es*ueros eseaos B e*icaces%

La matemática' más ue un conocimiento Qsatis*acci9n' es un escollo con el ue tropiean los 794enes ue pasan por nuestras clases' one cantia e teor&as' 3alimat&as e enunciaos  raonamientos ;an tenio ue ser aprenios e memoria' al mar3en e toa comprensi9n  too inter?s' lo cual ;a proucio en multitu e ellos la resi3naci9n  el con4encimiento e su incapacia mani*iesta para las matemáticas% 100 Problemas nuestros estos' 5aie lue3o *alta error eucati4o' one relaci9n es una en la ;aentre alumnos lo un el matemática sio isposici9n con su*icientemente error aprenia7e tres ellos' lapara consecuencia creer principales escon las especial presentaa e ue inepenencia matemáticas' las ne3ao para o e matemáticas 4ertientes: un el linealmente' un para cerebro aprenia7e e*ectuoso más el aprener ue ;a el esarrollo pri4ile3iao% sio en error incapacia sistema e matemáticas' apartaos sin las eel ua matemáticas eElsin e matemáticos personal enseFana% ese ;ace 4eraero tipo pro3ramaci9n' apenas pensamiento Ta ue e eclarar pblicamente ue la *alta e isposici9n 1- e


matemático el niFo el error en la aplicaci9n el m?too' tal como ;atransmiti?nose e 3eneraci9n en 3eneraci9n' e manera 4enio absura  antieucati4a' escamoteano los aspectos intuiti4os o eucti4os  error en el moo e presentarlas ante los alumnos' *inalmente el carente e intereses' sustitueno la *alta e atracci9n natural el niFo' por est&mulos coacti4os secunarios' orientaos ;acia la 4ania el premio o la amenaa el casti3o%

LA RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS% Las matemáticas constituen un iioma poeroso' conciso  sin ambi3eaes utiliao en too el muno'  este iioma para poer esarrollarse aecuaamente necesita e unos caminos por one esplaarse' e unas situaciones ue no s9lo permitan la comunicaci9n' sino ue aemás la *a4orecan' al mismo tiempo ue ;a e isponer e unas normas o t?cnicas por las ue re3irse% Estos caminos 4ienen eterminaos en caa caso meiante unas situaciones concretas' a las ue llamamos problemas% Su resoluci9n se 4erá *a4orecia meiante t?cnicas o m?toos espec&*icos% 6uc;as e/periencias e/isten sobre el tema' as& como una abunante biblio3ra*&a ue en3loba ese los principios te9ricos' pasano por las propias t?cnicas' ;asta auellas propuestas ue se centran en la resoluci9n e un eterminao nmero e problemas e 4ariaa i*iculta% Pero en cualuier caso' ;emos e entener ue la resoluci9n e problemas no persi3ue resol4er e7ercicios elementales o rutinarios corresponientes a al3una parte las matemáticas' la presentaci9n matemática' comoe unpermitan estrate3ias trucos proceso' o el mecanismos no esarrollo como actitues una ue respuesta' ee propias puean ;abiliaes solucionar e como caa un 4ia7e' un tampoco particular tipo caracteriaos como no conocimientos' Se un ebe estino' entener e problemas' meiante ponieno one actitues% ini4iuo% la cuesti9n 1, 4amos situaciones e sino mani*iesto escubrieno lacomo enseFana comple7as lalas parte ;abiliaes' un emuno más el moelos esencial muno e matemáticos matemáticos ieas t?cnicas' real eue la 100 Problemas


KA la resoluci9n e problemas se le ;a llamao con ra9n' el cora9n e las matemáticas' pues es a;& one se puee a:uirir el 4eraero sabor :ue ;a atra&o B atrae a los matemáticos e toas las ?pocas% #el en*rentamiento con problemas aecuaos es one pueen resultar moti4aciones' actitues' ;ábitos' ieas para el esarrollo e en una palabra' la 4ia propia e las ;erramientas' matemáticas% 6i3uel e Gumán% 1+(

La resoluci9n e problemas constitue un ob7eti4o básico  una parte inte3ral e toa acti4ia matemática% Se trata e un proceso ue ebe proporcionar en el aula' el conte/to one puean aprener los conceptos  estreas' esarrollar  aplicar las estrate3ias para su resoluci9n' 4alorar el proceso utiliao al menos en la misma meia en ue se 4alora el resultao' interpretar el resultao obtenio con relaci9n a lo emanao' potenciar la comunicaci9n matemática entre los alumnos  el pro*esor' aumentar la con*iana en el uso e las matemáticas' consierano al error en su 7usta meia ' en e*initi4a' percibir la correcta 4isi9n e lo ue si3ni*ica aprener matemáticas  resol4er problemas% El curr&culo e matemáticas e Primaria  Secunaria e nuestro pa&s concee una especial importancia al tema eicánole una 3ran atenci9n si tomamos' por e7emplo' la Comunia Dalenciana encontramos ue la resoluci9n e problemas es planteaa como bloue e contenios' aunue e4ientemente relacionaa con el resto% PERO' =>UI ES U5 PROBLE6A@ 100 Problemas uesoluci9n nuestro istintas' one e la atos se?stas reciben' iioma concretos en eben e conte/tos para las one ser en mismas re*erirse rápiamente num?ricas' situaciones i*erentes 4ienen a i4ersia e eterminaas se ebiamente ue' aplicaci9n ;a incluso' iscriminao e ienti*icaas' ese situaciones irecta' naa el el tienen primer con al3oritmo en ue Comencemos ue lamatemáticas palabra MproblemaM ese utiliaa matemáticos absolutamente 4er ocasiones' utiliaci9n las momento o )ambi?n con ue ;acieno el icieno t&tulore*erencia Mproblemas las a matemáticosM un moelo 3eneral es utiliao acti4iaes' en 1 en


al3oritmos ue se eben utiliar para encontrar la soluci9n aecuaa% Resulta e4iente ue esto no es as&% La resoluci9n e problemas es una acti4ia mental e/traorinariamente comple7a% En principio puee parecer una acti4ia esorenaa  a 4eces ca9tica' pero una 4e ue nos introucimos en ellos es absolutamente *unamental realiar una precisa esuematiaci9n el pensamiento% En un problema' a menuo' nos encontramos ue' a primera 4ista' no se sabe c9mo aborarlo  *inalmente resol4erlo' lo ue lle4a en ocasiones a no percibir claramente en u? consiste el problema% Resol4er un problema e/i3e' en 3eneral' tiempo  una importante in4ersi9n e ener3&a' as& como una inne3able aecuaci9n a las circunstancias Q*rustraci9n inicial' 4olunta e resol4erlo' perse4erancia en la in4esti3aci9n' %%%% Un problema constitue un aut?ntico reto% Sabemos apro/imaamente 9ne ueremos lle3ar' pero i3noramos el camino ue ebemos se3uir% Es por ello ue ante esta situaci9n ebemos presentar actitues positi4as' tales como con*iana' tranuilia' curiosia' 3usto por el reto' isposici9n para aprener' etc% e4itano al otros comportamientos ne3ati4os ue por&an mismo tiempo obstaculiar nuestro a4ance' tales como mieo a lo esconocio' ner4iosismo' prisa por acabar' mieo ante el resultao%%% LOS ALU65OS !RE5)E A LOS PROBLE6AS% En 1+,' 6%L% !ran reali9 un estuio con la intenci9n e encontrar respuesta a cuestiones ue 4ersaban sobre u? era para los estuiantes resoluci9n e problemas% Creo no competentes e/a3erar si a*irmo entests obtenias ue muc;os se reali9 t&picos no ela ;an los el utiliaos sio estuios estuio' emasiao realiaos eran con eaes i*erentes% matemáticamente encomprenias la actualia' Estos estuiantes' entre las 12 Qse3n  1( ue respuestas sobre los aFos2% Entre los las creencias 1 matemáticas ue los aban acerca e las 100 matemáticos Sil4er' Sc;oen*el' Buer' estuiantes Con*re Lanier%%%' eestuiantes una estacamos: amplia ;an 3ama escrito e Problemas eaes creencias  capaciaes% similares


son cálculos 1% Las% matemáticas Las matemáticas' para los estuiantes sobre los ue se ;io el estuio' eran lo ue ellos llamaban cuatro operaciones K %las Estas operaciones implicaban la memoriaci9n e ;ec;os  al3oritmos matemáticos% Para la 3eneralia M ;acer matemáticas si3ni*ica se3uir e los estuiantes encuestaos' ' M;acer re3lasM matemáticas es' sobretoo' memoriarM%  Los problemas e matemáticas eben resol4erse rápiamente B 2% conestuiantes unos cuantos pasos% Estos aban por supuesto ue los problemas e matemáticas son tareas rutinarias a las ue eben aplicarse al3oritmos aritm?ticos o al3ebraicos conocios% Por el contrario' las tareas no rutinarias eran consieraas por la maor parte e los no son encuestaos como al3o mar3inal a la 4&a e las matemáticas: K 4eraeras matemáticas ' ec&an% Estaban con4encios e ue al3o *uncionaba mal si al resol4er un problema se taraba emasiao tiempo en encontrar la soluci9n Qmás e cinco o ie minutos% Las matemáticas tienen .% como ob7eti4o obtener respuestas correctas % Los estuiantes ten&an a 4er las matemáticas se3n la icotom&a bien ;ec;o $ mal ;ec;o% Se concentraban casi e/clusi4amente en las respuestas'  si ic;as respuestas eran correctas o incorrectas% Laellos cre&an ue s9lo el pro*esor po&a ecirles si maor parte e una respuesta era acertaa o eui4ocaa'  si la respuesta obtenia era err9nea parec&an tener la sensaci9n e ;aber perio el tiempo% El papel el estuiante(%e matemáticas es recibir conocimientos matemáticos' B emostrar :ue los ;a recibio % Las matemáticas eue ;ec;os' re3las' proceimientos 100 Problemas un Kpauete clase' recibio comprenio' leeno el Qcon7unto Mpauete el uelibro si ;a e la matemáticasM e respuesta te/to recibir% Qen noEn ano particular eslas correcta' respuesta entre4istas' la se Kletra correcta lelos supone a actitues esesmatemáticos conocimientos El papel el pro*esor matemáticos B el comprobar e matemáticas :ue los esprestano estuiantes transmitir los ;an e/plicaban estuiantes 3ora' ;acieno' propuestas problemas los ue no si presentaos% para ue esa casa% posible recepci9n ASi con partir a se la - e pro*esor lle4a respuesta a;& a el u cabo alumno correcta' otro aulto' emuestra es ue atenci9n laslos ue 1+ lo tareas ;a en


recibio supone ue el papel el pro*esor % La maor&a e estuiantes es la ;ora e clase en Kcubrir el pro3rama seFalao en el emplear libro te/to%e Si un pro*esor esarrolla bien el pro3rama' los estuiantes serán capaces e ar rápiamente las respuestas a las tareas propuestas en clase' en casa  en los e/ámenes%

Sin embar3o' cuano un eucaor matemático ;abla o escribe sobre la resoluci9n e problemas' probablemente tiene en mente una problema es lo :ue e*inici9nResol4er similar un a la e V;eatle: K ;aces cuano no sabes );e 5ational lo :ue ;aB Council :ue% ;acer o* )eac;ers o* Unios 6at;ematics e Estaos recomiena ue las matemáticas' especialmente en los ni4eles e Primaria  Secunaria' est?n en*ocaas a la resoluci9n e problemas% Los estuiantes cuas creencias matemáticas sean similares a las comentaas ni siuiera aceptan ue la resoluci9n e problemas Qen el sentio e V;eatle sea matemáticas% Para ellos' en matemáticas' nunca se supone ue puean estar en una situaci9n en la ue no sabes u? es uelo ;a ue ;acer% Si el pro*esor ;a ;ec;o bien su traba7o  los alumnos ;an ;ec;o el suo siempre sabrán aplicar un ;ec;o' una re3la o un proceimiento a un problema para obtener rápiamente la respuesta aecuaa%

PROBLE6AS  EXERC"C"OS% Los eucaores matemáticos ;acen con *recuencia una istinci9n entre Kproblemas  Ke7ercicios% incapa isponibles' alumno para un pero' completo uien aplica e =u? resol4er las ?/ito mientras ocurre un matemáticas al3oritmo enusano cuano obtener ue un los son ue ese e7ercicio las conocimientos una conoce alumno respuestas colecci9n se es ue encuentra una aecuaas una ue e acti4ia e7ercicios 4e tiene con aplicao eun en *orma puee lale cual Se3n YantoWsi' una tarea esresponer un problema si implica para alumno inmeiatamente el lle4ará tener rápia' problema@ Esta una istinci9n pre3untanoue es a 20no la unasabe soluci9n mera ar3ucia semántica% o100 una situaci9n Un estuiante ueel es Problemas matemáticos


Una posibilia es ue el alumno se ? cuenta e ue esa es una tarea e un tipo i*erente a la e los e7ercicios ue está ;abituao a 4er'esa tarea como matemáticas% En esa situaci9n el  ue no acepte alumno: a% Re;usa tener naa ue 4er con la tarea  ice: Kno s? ;acerlo' Kesto no son omatemáticas' o traba7a en ella e una manera incone/a  sin m?too en tanto ue el pro*esor está insistieno en ue lo intente% b% >ue el alumno trate el problema como un e7ercicio' intentano buscar en la memoria el ;ec;o o la re3la apropiaos con el ob7eti4o e obtener rápiamente una respuesta% Al no lo3rarlo' o abanona el problema o pie aua al pro*esor% K5o me sale' K=c9mo lo ten3o ue K=lo esto ;acieno bien@'%%% son al3unas e las ;acer@' e/presiones utiliaas% Al3unas 4eces' tras una a3otaora cantia e cálculos' se parecio a una respuesta' ue si el pro*esor prouce al3o comprueba ue es correcta se pasa a la si3uiente'  si es incorrecta' el estuiante se la sensaci9n e ue el traba7o realiao ;a sio uea con est?ril% c% Por ltimo' el alumno puee e*ecti4amente emplear una estrate3ia 3eneral para la resoluci9n el problema'  conse3uir pro3resar realmente ;acia su soluci9n% Pero' si la respuesta no aparece tras un eterminao tiempo Qcinco' ie o uince minutos' es probable ue ecia e7ar e traba7ar en ?l% El alumno siente ue al3o está ;acieno mal' o ue uiás sea uno e esos problemas e truco ue no se puee resol4er' a ue le está eicano muc;o tiempo para conse3uir la respuesta% A too esto' =9ne ;emos aspectos como Kla 100 e7ao Problemas en el proceso' Kla inepenencia' Kla perse4erancia' etc% matemáticos etc concentraci9n ue la resolucResulta i9n e pob4io roblemue as sse e sencuentran upone ue eausentes% n321 enra@


22



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 1

LA BO)ELLA #E COLA% Una botella e McolaM e 2 litros cuesta 1pts% =Cuánto costará una botella e 1 litro@ = e meio litro@ = un bote e 1$. e litro@ Comprueba si es as&  iscute con tus compaFeros tus ieas%


2.



LA TAB")AC"H5 #E 6" CASA% Una ;abitaci9n e mi casa mie 12 metros cuaraos e super*icie% =>u? *orma tiene esa ;abitaci9n@ #ib7ala% =Por&a ser e otra *orma@ #ibu7a esa ;abitaci9n e toas las *ormas posibles%

2(



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% .

LOS COCTES% Una *ábrica e coc;es realia moelos e tres motoriaciones Q1,00' 100  2000 cc% en cinco colores caa uno Qblanco' ne3ro' aul' amarillo  ro7o  con tres' cuatro o cinco puertas caa tipo% =Ser&as capa e inicar el nmero e i*erentes moelos e coc;es ue esa *ábrica realia@ Si es posible intenta e/presarlo 3rá*icamente% )e será más sencillo% Analia  comenta con tus compaFeros sobre una e las marcas e coc;es ue e/isten en el mercao' e intenta a4eri3uar los moelos ue *abrica' las motoriaciones' los colores' etc% etc% =Cuántos 4e;&culos i*erentes realia esa *ábrica e coc;es@


2-


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% (

EL )OR5EO #E )E5"S% A un torneo e tenis se presentan 1, tenistas  uieren 7u3ar por el sistema e eliminatorias% =Cuántos partios se tenrán ue realiar@  si *ueran el oble e tenistas =se tenr&an ue 7u3ar el oble e partios@ Con el uso e ia3ramas posiblemente te resultará más sencillo comprener el problema% Prop9n otros casos' como por e7emplo: [ Con*ecciona un calenario sobre un campeonato ue poáis ;acer en el Centro% [ Un campeonato local% [ La li3a e *tbol e cualuier 2,i4isi9n% 100 Problemas matemáticos


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% -

CH6O E\PRESARLO% El nmero .0 es *ácil e/presarlo como

- / - ] )rata e encontrar i*erentes *ormas para e/presar: [ El nmero .0 con tres ci*ras i3uales% [ El nmero 100 empleano cuatro 4eces la ci*ra +% [ El nmero .( empleano cuatro 4eces la ci*ra .% [ El nmero .1 empleano la ci*ra . cuantas 4eces uieras%


2


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ,

BLA5CAS  5EGRAS% #isponemos e tres ca7as con os bolas en caa una e ellas% una ca7a lasEnos bolas son blancas' en otra' las os son ne3ras  en otra unalablanca  otra ne3ra% Sin conocer las ca7as  sin 4er el contenio e ellas' meto la mano al aar  saco una bola blanca% =Cuál es la probabilia e ue la otra bola ue uea en la ca7a sea blanca@

2



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 

LA REU5"H5% Las personas ue asistieron a una reuni9n se estrec;aron las manos% Por&as ecir cuántas personas asistieron esa areuni9n sabieno ue ;ubo 1- apretones e manos%  si *ueran .0 los apretones' =cuántas personas ;abr&an asistio@


2+


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 

CO6PRA5#O L"BROS% Una librer&a ;a encontrao una manera para ue los c;icos compren libros e una colecci9n% Consiste en pa3ar una cantia e entraa  el resto en pa3os al recibir caa libro% 5o obstante se puee comprar e os maneras i*erentes: a% Pa3ar 2%000 pts e entraa  2-0 pts$ caa libro% b% Pa3ar 1%000 pts e entraa  .-0 pts%$caa libro% Si la colecci9n consta e 1- libros' =cuál es la *orma más 4enta7osa para el compraor@ "ntenta encontrar' si es posible' el nmero e libros ue eber&a tener esa colecci9n para ue las os *ormas resulten econ9micamente i3uales%

.0



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% +

=CUJ5)O ES@ =)ienes iea e cuanto es un mill9n e se3unos@ =Cuál e las tres soluciones crees ue se acerca más a la 4eraera@ a% 6eio aFo b% Once &as  meio c% Deintitr?s ;oras )rata e a4eri3uarlo mentalmente meiante estimaci9n estructuraa% Otras propuestas pueen ser: =Cuánto mie tu Centro e lar3o@ = e anc;o@ =Cuántos metros cuaraos estimas ue mie tu clase@ = el 100 Problemas =Cuántas 7u&as ;a en un tarro lleno e 3imnasio@ = la;a pista e eporte@ matemáticos =Cuánto ellas@ =Cuántos pesa un *olios libro@ = una en un silla@ mont9n = e una .1ellos@ mesa@



ESCALERAS% Las si3uientes MescalerasM e .  ( pisos están *ormaas por ,  10 larillos respecti4amente%

=Cuántos larillos utiliará .2 pisos@' =una e escale -0 pisos@ ra , pisos@' = e 10 100 e Problemas matemáticos



LA TUCTA% 6i t&a tiene os ;uc;as one 3uara inero% Una es blanca  la otra rosa% Siempre ue mete 20 pts en la ;uc;a blanca' mete -- pts en la rosa%

Si en la blanca tiene .00 pts' =cuántas tiene en la ;uc;a rosa@  si en la rosa tu4iera .%(,- pts' =cuántas tenr&a en la blanca@ 100 Problemas matemáticos ..



CT"COS  CT"CAS% En un cole3io ;a .(- alumnos% Sabieno ue ;a el oble e c;icos ue e c;icas' =cuántos alumnos ;a e caa clase@

.(



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 1.

EL 5A#A#OR% Carlos' buen naaor' recorre una istancia r&o aba7o en 2 ;oras% Si el re3reso al punto e salia' es ecir recorrieno la misma istancia  al mismo ritmo' pero r&o arriba tara . ;oras% =Cuánto tiempo tarar&a Carlos en recorrer esa misma istancia en un la3o@


.-


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 1(

=CUJ5)O #"5ERO )E5GO@ Al abrir la ;uc;a ;e 4isto ue ten&a  moneas e curso le3al. =Cuánto inero pueo tener@ =Cuál ser&a el maor importe ue por&a 3astar@ = el menor@ =Cuántas cantiaes i*erentes pueo encontrar@

.,



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 1-

EL GA)O  EL RA)H5% Un rat9n se encuentra buscano comia a una istancia e 2- m% el a3u7ero% En un momento ao aparece un 3ato ue obser4a al rat9n a una istancia e (- m% Los os comienan a correr' el rat9n para meterse en el a3u7ero  el 3ato para caar al rat9n% Sabieno ue el 3ato corre a una 4elocia e 2- m% por uese3uno' el rat9n corre a 10 m% por se3uno' =lo3rará el 3ato caar al rat9n' o conse3uirá ?ste meterse antes en el a3u7ero@


.


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 1,

LOS CUA)RO CUA)ROS%

((

((

Utiliano cuatro cuatros  toas las operaciones ue conocas' aemás el par?ntesis' intenta escribir toos los nmeros ue pueas el 0 al 100' ambos inclusi4e%

.



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 1

LOS )RES A6"GOS% )res ami3os cuos apellios son Paro' Ro7o  Blanco se encuentran por la calle al cabo e al3n tiempo% 8>u? curioso< e/clama el ue lle4a la corbata e color ro7o' los e nuestras corbatas se corresponen con nuestros colores apellios' pero nin3uno lle4a el color el suo% )ienes ra9n comenta Blanco% =#e u? color es la corbata ue lle4a caa uno e ellos@


.+


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 1

EL C"RCU")O% Un coc;e tara 2 minutos en ar una 4uelta a un circuito' una bicicleta tara , minutos  una persona 20 minutos en ar la 4uelta al mismo circuito% Si los tres salen el mismo punto  al mismo tiempo' =al cabo e cuánto tiempo coinciirán los tres  cuántas 4ueltas ;abrá ao caa uno al circuito@

(0



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 1+

)R"J5GULOS% #e toos los trián3ulos ue ten3an la misma área  sus bases mian lo mismo =cuál ser&a el e menor per&metro@


(1



EL REC"BO #EL AGUA% En un recibo e consumo e a3ua' los 2- primeros metros cbicos e a3ua consumia cuestan - pts  el resto se pa3a a ,1'- pts m. % Si por el consumo realiao se ;an abonao .%.+ pts' =cuántos metros cbicos e a3ua se ;an consumio@

(2




J5GULOS REC)OS% =Cuál es el nmero má/imo e án3ulos rectos ue puee tener un pol&3ono e n nmero e laos@


(.



LA !O)O  EL 6ARCO% La *oto e tu 7u3aor *a4orito cuesta -0 pesetas más ue el marco ue la encuara% Si las os cosas 7untas cuestan 200 pts% =Cuánto cuesta la *oto  cuánto el marco@ =Está se3uro@

((



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 2.

"DJ5 EL PERE^OSO% Mel pereosoM Se3n un anti3uo se cuento ;allaba ruso' un "4án &a ;ol3aaneano a orillas e un r&o%  )oo el muno me ice ue me busue traba7o o ue me 4aa al iablo  suspir9 % 5o creo ue nin3una e las os cosas me aue a ;acerme rico% )an pronto como i7o esto se le apareci9 el iablo en persona% =>uieres 3anar inero "4án@ le pre3unt9% "4án asinti9 pereosamente con la cabea%  6u bien  continu9 el iablo % =Des ese puente@ Pues too uelotienes ue ;acer es cruarlo% Caa 4e ue 4aas e parte a parte se oblará el 4alor el inero ue lle4as en el bolsillo% A "4án le 3ust9 la propuesta'  a se iri3&a ;acia el puente' cuano el iablo lo etu4o%  Un momento  le i7o astutamente % Puesto ue me ;e mostrao tan 3eneroso conti3o' creo ue mereco una peueFa recompensa por mis es*ueros% )enrás ue arme oc;o rublos caa 4e ue cruces el puente% "4án se apresur9 a asentir% Cru9 el puente  meti9 la mano en el bolsillo% Su inero se ;ab&a oblao por arte e ma3ia% Le lan9 oc;o 100 Problemas rublos Otra escubri9 tu4o =Sabr&as 4e ue alobl9 entre3ar ue iablo' a4eri3uar no sule El ue inero% alueaban iablo iablo' cuánto permanec&a Lesolt9 inero más pa39 con al ue lo una otros ten&a otro cual oc;o sonora oc;o lao "4án se rublos ue9 carca7aa rublos el en en el r&o' sin al el bolsillo inero  iablo bolsillo' cru9ue e matemáticos nue4o% por cru9 ue oblar% cuano tercera 4e% esapareci9% el inero ;io se "nt?ntalo' el obl9 pacto e con 4erás nue4o% el iablo@ como Peroloalresuel4es% contarlo' (-


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 2(

C"!RAS  LE)RAS% E/isten unas acti4iaes mu interesantes ue consisten en sustituir letras por ci*ras para ue la operaci9n matemática inicaa sea posible% A continuaci9n tienes un e7emplo' a 4er si eres capa e resol4erlo%

U 5 O ] U 5 O ) R E S =)e resulta i*&cil@  si te i3o ue la O representa el (@ =Cuántas soluciones i*erentes puees encontrar@ Por si uieres entretenerte au& tienes otros% ABC#

CUA)RO

] #C# E!GT" DDRR (,^^

CUA)RO ] CUA)RO ] CUA)RO RRDD \ - 100 Problemas DE CUA)RO DECUA)RO " matemáticos "5)E 5)E


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 2-

EL #ESCUE5)O  EL "DA% Te io a comprar a una librer&a un libro e matemáticas% El 4eneor me ;a in*ormao ue por estar e o*erta me ;acen el 1-  e escuento' pero ue ;an e car3arme el ,  e "DA% =>u? me interesa más' ue primero me ;a3an el escuento  lue3o me car3uen el "DA o ue primero me car3uen el "DA  espu?s me ;a3an el escuento@ =) ue pre*erir&as ue te ;icieran primero@ Ra9nalo primero con tus compaFeros  con*irma posteriormente lo estimao%


(


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 2,

EL BA5CO% Se esea in4ertir en un banco una cierta cantia urante un aFo% =Cuál e las opciones si3uientes consieras más interesante@ Opci9n A% Una cuenta e a;orro ue proporciona un 12%- e inter?s anual  se pa3a una 4e 4encio el aFo% Opci9n B% Una cuenta a plao *i7o ue renta un 1  mensual  se pa3a al *inal e mes% Si el banco eciiera euiparar los intereses' =>u? inter?s anual eber&a o*recer para ue resulte eui4alente al 1  e inter?s mensual@ =>u? inter?s mensual eber&a o*recer para ue resulte eui4alente al 12%-  e inter?s anual@

(



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 2

6A5)E5ER LA #"S)A5C"A% pruente Los conuctores eben mantener una el istancia coc;e ue 4a elante%

Pero' %%% =u? uiere ecir pruente@ #ice el c9i3o ;olan?s e la circulaci9n ue los conuctores eben 3uarar una istancia en metros i3ual a la mita e la 4elocia Qen Ym$; a ue se circula% Se3n esto' un conuctor ;olan?s ue 4aa a ,0 Ym$;% ebe 3uarar una istancia e .0 metros el 4e;&culo ue 4a elante% En una carretera mu transitaa e una ciua ;olanesa' la intenci9n e la #irecci9n e )rá*ico es ue puea ser utiliaa simultáneamente minuto lon3itu pasen e los porpor coc;es un tantos punto es 100 eben e cualuiera coc;es (Problemas circular metros como e =cuál sea por la posible% misma ese serálu3ar el la Es má/imo 4elocia los ecir' nmero ue matemáticos caaConsierano e ieal a ue el c9i3ococ;es coc;es@ e la circulaci9n  ue la meia(+ e


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 2

CAXAS % #e una lámina e cart9n cuaraa e .0 cm% e lao' ueremos *abricar ca7as sin tapa% Una e las *ormas más sencillas e construirlas es cortar cuaraos en las esuinas  oblar los laos:

Si ueremos ue la ca7a ten3a el má/imo 4olumen posible =u? tamaFo eben tener los cuaraitos ue se corten@ "n4esti3a con láminas -0 cuarectan3ular% *orma raas e otros100tamaFos con otras e Problemas matemáticos


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 2+

EL BALH5% Un bal9n cuesta 1+ rublos' pero el compraor no tiene más ue billetes e . rublos  el 4eneor s9lo e rublos% =Se puee ;acer en estas coniciones la compra e/acta e ic;o bal9n@ =Tas encontrao la soluci9n@ =Cuántas soluciones i*erentes puees encontrar@


-1


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% .0

AL REDIS% Las letras e la si3uiente i3uala representan las ci*ras e un ue al multiplicarlo por (' a otro *ormao por las mismas nmero ci*ras en oren in4erso al inicial% =Puees a4eri3uarlo@

ABC#E / ( _ E#CBA

-2




SAL)O #EL CABALLO% En el nmero e *ebrero e 1++ e K"n4esti3aci9n  Ciencia' 6art&n Garner e/puso el si3uiente problema: Se trata e un tablero e a7ere e . / (' en el ue ;a . caballos blancos  . ne3ros'  se pie intercambiar las posiciones e los caballos blancos con los ne3ros en el menor nmero e 7u3aas%

Parece ser ue el menor nmero e mo4imientos es e 1,% 100 Problemas =Por&as =Cuántos soluciones conse3uirlo@ matemáticos m&nimas eres capa e encontrar@ -.



LOS )RES CO!RES% Se trata e un problema ao a conocer por Ramon Smullan% Un sultán propuso el si3uiente problema a un reo% MTe au& tres co*res uno ro7o otro aul  otro blanco%  caa uno tiene la si3uiente inscripci9nM %  En el ro7o ice :Kla lla4e e la cela está en este co*reK  En el aul ice : Kla lla4e e la cela no está en este co*reK  En el blanco ice : Kla lla4e e la cela no está en el co*re ro7oK K#e las tres inscripciones' a lo sumo una es cierta% Si sois capa e ai4inar en cuál está la lla4e os e7ar? ir libre%

-( =>u? co*re ebi9 ele3ir el reo@ =Por u?@ 100 Problemas matemáticos


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ..

C")A E5 EL #ES"ER)O% En el esierto el Sa;ara'  en los tres puntos A' B'  C' ue *orman los 4?rtices e un trián3ulo euilátero e 00 m% e lao' se encuentran tres 4e;&culos e 4elociaes respecti4as 20' (0  ,0 ms$;% Comunicaos por raio con el centro e operaciones' reciben la oren e partir para reunirse lo antes posible% =#9ne estará situao en el ibu7o el punto one se 4an a reunir@

B

C

100A Problemas matemáticos

--


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% .(

U5A SU6A U5 POCO LARGA% =Cuál es la suma e toos los nmeros e cinco ci*ras i*erentes ue pueen *ormarse empleano 1' 2' .' (  -@

-,(+0,-(-,1+-(

-,



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% .-

E5)RE #OS C"U#A#ES% Entre las ciuaes A  B e/iste una l&nea e autobuses ue ;acen el itinerario en ia  4uelta% Sabieno ue la uraci9n el traecto es e  ;oras para la ia  otras  para la 4uelta'  ue caa ;ora sale un autobs ;acia la otra ciua =con cuántos autobuses se cruará caa uno e ellos en su itinerario@


-


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% .,

EL CE5)RO #EL CNRCULO% c' la #aos tres puntos ;alla' cualesuiera nicamentea'con b utiliaci9n el compás' el centro el c&rculo ue contiene a ic;os puntos%

a

% %

b

% c -



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% .

EL .% El nmero primo . es un i4isor e +++% =Por&as encontrar tres más ue ten3an toas sus ci*ras i3uales  sean i4isibles nmeros por .@

.  100 Problemas matemáticos

-+


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% .

E5 DACAC"O5ES% En mis 4acaciones el aFo pasao llo4i9 + &as'  ;ubo 10 maFanas  10 tares soleaas% Cuano llo4i9 por la maFana' la tare *ue soleaa% =Cuántos &as uraron mis 4acaciones@

,0



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% .+

LA CAN#A #E U5A P"E#RA% Una piera' e7aa caer libremente ese cierta altura' recorre la se3una mita e su traecto en 2 se3unos% Talla la altura ese la ue se e79 caer la piera%


,1


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% (0

LA 6A)RNCULA #EL COCTE% La matr&cula e un autom94il tiene cinco ci*ras' toas Al i*erentes% instalarla el mecánico se eui4oc9  la puso cabea aba7o' obtenieno un nmero maor ue el ori3inal e la matr&cula en ,..% =Cuál era el nmero e la matr&cula@ QEl uno se escribe as& "  no as& 1%

A  `````

,2




U5 PROBLE6A #"O!J5)"CO% El proucto e cuatro nmeros es ,'- al i3ual ue su suma% Sabieno ue uno e ellos es la unia' ;alla los otros tres%


,.



#E CUA#RA#OS 6JG"COS "% )enemos un cuarao má3ico e . / .% a% Anotar en los nue4e cuaros las ci*ras el 0 al + Q10 ci*ras e*orma ue caa ;oriontal' 4ertical  ia3onal sumen 1-% b% Anotar en las casillas las ci*ras el 0 al + e moo ue caa ;oriontal  4ertical sumen 1(% c% Anotar en las casillas las ci*ras el 0 al + e moo ue caa ;oriontal  4ertical sumen 1.% % Anotar en las casillas las ci*ras el 0 al + e moo ue caa ;oriontal' 4ertical  ia3onal sumen 12% e% Colocar en las casillas los nmeros el 2 al 10 e moo ue caa ;oriontal' 4ertical  ia3onal sumen 1% *% Colocar en las casillas los nue4e primeros nmeros pares para ue caa ;oriontal' 4ertical  ia3onal sumen .0% ,( 100 Problemas matemáticos


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% (.

#E CUA#RA#OS 6JG"COS ""% )enemos un cuarao má3ico e ( / ( a% Colocar en las casillas los nmeros el 0 al 1- e moo ue toas las ;oriontales' 4erticales  ia3onales sumen .0% b% Colocar en los cuaros los nmeros el 1 al 1, e tal moo ue en caa ;oriontal' 4ertical  ia3onal sumen .(% c% Escribir en las casillas 1, e los 1 nmeros e moo ue caa ;oriontal' 4ertical  ia3onal sumen .% % Escribir en los cuaros 1, e los 1 primeros nmeros e *orma ue en caa ;oriontal' 4ertical  ia3onal sumen .,% e% Colocar en las casillas 1, e los 1 primeros nmeros e moo ue la suma e caa ;oriontal  4ertical sea .-% *% Escribir en las casillas los 1, primeros nmeros pares e moo ue en caa ;oriontal' 4ertical  ia3onal sumen 100 Problemas ; 3 4eces' Anotar Escribir eenmoo ue en caa los en ue casilla caa cuaros caa ;oriontal' ;oriontal' una 1, ci*ra e losel 4ertical 4ertical 1 1primeros al (' ia3onal repiti?nolas ia3onal nmerossumen sumen e ,% matemáticos cuatro *orma 10% ,(% ,-


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ((

EL 6ELH5% Un mel9n e a3ua ue pesa 20 3% está *ormao por un ++ e a3ua%

#espu?s e arle el sol too el &a' parte el a3ua se e4apora  se uea con el +  e a3ua% =Cuánto pesará el mel9n espu?s e la e4aporaci9n@

,,



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% (-

CA6"5OS% Entre los 4?rtices A  B poemos esplaarnos' sin retroceer' e , maneras i*erentes' a las ue llamaremos caminos% A

B

Por&as a4eri3uar el nmero e caminos istintos ue se pueen realiar entre C  #% C

100 Problemas matemáticos Puees proponer otros e7emplos% , #


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% (,

LLA6A5 A LA PUER)A%

)OC

/

)OC _

E5)RE

Caa letra representa una ci*ra% =Cuál ;a e ser la e caa una e ellas para ue se cumpla la conici9n@

,



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% (

LOS 6AR"#OS CELOSOS% #os pare7as e reci?n casaos lle3an a la orilla e un r&o ue uieren cruar'  para ello utilian una barca en la ue s9lo pueen ir os personas a la 4e% )enieno en cuenta ue los marios son tan celosos ue no uieren e7ar a su mu7er one ;aa otro ;ombre' a menos ue se encuentren ellos presentes' =c9mo se las in3eniarán para cruar el r&o@  si se tratara e tres pare7as =c9mo lo ;ar&an@ = cuatro pare7as@


,+


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% (

"#A  DUEL)A% Un autom94il cubri9 la istancia entre os ciuaes a una 4elocia e ,0 m%$;%  el 4ia7e e re3reso a (0 m%$;% =Cuál *ue la 4elocia meia el recorrio@

8O7o' no es e -0 m$;<

0



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% (+

"5SCR"PC"H5% En una lápia *uneraria el cementerio e Alencourt *i3ura esta inscripci9n:

A:u& reposan' un ;i7o' una mare' una ;i7a' un pare' una ;ermana' un ;ermano' una esposa B un mario' B sin embar3o son s9lo tres en total%

=Puees e/plicarlo@ 100 Problemas matemáticos

1


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% -0

56EROS CUR"OSOS% Los nmeros (,  +, tienen una curiosa propiea su proucto no se altera aunue las ci*ras ue los componen cambien e lu3ar%

(, / +, _ ,( / ,+ =Por&as a4eri3uar si e/isten otros con la misma propiea@ =Cuántos@

2




PAR)"R U5 56ERO% =En u? os partes ebe i4iirse un nmero para ue su proucto alcance el má/imo 4alor posible@

, 100 Problemas matemáticos

.



EL CA6PO% Un campo trian3ular está roeao por tres campos cuaraos' tenieno caa uno e ellos un lao comn con el trián3ulo% Sabieno ue las super*icies respecti4as e los tres campos cuaraos son -0-' 2..  -2 ;a% =Cuál es la super*icie el campo trian3ular@

(



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% -.

E#A#ES% La ea e Xuan es 1$, la e su pare% Sabemos ue la ea e su pare i4iia por 2' .' (' ,   a e resto 1' pero al i4iirla por - el resto es 0% =>u? ea tiene Xuan@


-


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% -(

EL GRA5XERO  EL CABALLO% Un 3ran7ero compr9 un caballo por (00%000 pts%  al cabo e al3n tiempo espu?s lo 4eni9 por -00%000% Pasaos unos &as' 4ol4i9 a comprarlo por ,00%000 pts%  4ol4i9 a 4enerlo por 00%000 pts%

6i ua es la si3uiente: =Al *inal 3an9 o peri9 inero@ =Cuánto@

,



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% --

LOS SOL#A#OS RO6A5OS% Este problema *ue encontrao en un libro anti3uo e matemáticas% #os solaos romanos se sientan 7untos a comer' ' para ello' ecien compartir los 4&4eres ue caa uno posee'  ue en concreto os son barras e pan ue aporta uno  tres barras ue aporta el otro%

Antes e empear a comer se apro/ima un tercer solao ue les pie compartir con ellos su comia' a ue este ltimo no posee nin3n alimento% Los os solaos poseeores el pan ecien i4iir caa una e las cinco barras en tres partes i3uales' e manera ue toos coman la misma cantia e ellas% Una 4e acabaa la comia' el solao in4itao' en a3raecimiento por su 3enerosia' les a cinco moneas para ue estos se las repartan euitati4amente% =C9mo ;an e ;acerlo para ue el reparto sea 100 Problemas absolutamente matemáticos 7usto@ 


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% -,

EL RES)AURA5)E CT"5O% Ale7anro' para celebrar su cumpleaFos' nos ;a in4itao a unos cuantos ami3os a comer en un restaurante c;ino% A la ;ora e poner la mesa' obser4o ue caa os ami3os compartimos un plato e arro' caa tres un plato e salsa  caa cuatro uno e carne% Sabieno ue en total nos sir4ieron ,- platos' =cuántos in4itaos acuimos a la *iesta@





RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% -

POR -%000 PESE)AS% Una seFora compra unos apatos ue cuestan .%000 pts%  pa3a con un billete e -%000 pts% El 4eneor ue no tiene cambio' 4a a la carnicer&a e en*rente  cambia el billete por cinco e 1%000 pts% A su re3reso e4uel4e 2%000 pts a la seFora ue' con sus apatos auirios' se marc;a% 6eia ;ora espu?s lle3a el carnicero a la apater&a icieno ue el billete e -%000 pts ue le ;ab&a ao antes era *also% El 4eneor se lo cambia por otro le3al  el carnicero se marc;a% Con tanto l&o =ui?n ;a perio inero@' =cuánto@


+


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% -

LAS DACAS% Cuatro 4acas ne3ras  tres 4acas marrones an tanta lec;e en &as como tres 4acas ne3ras  cinco marrones en ( &as% =>u? clase e 4aca es la ue más lec;e aporta' la ne3ra o la marr9n@

0



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% -+

LOS CO5EXOS% =Cuántas pare7as e cone7os se proucirán en un aFo' partieno una e pare7a nica' sabieno ue al mes caa pare7a en3enra otra pare7a  ue ?stas son *?rtiles a partir el se3uno mes@


1


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ,0

)RES 6O5E#AS% Lanamos al aire tres moneas' =cuántas posibiliaes ;a e sacar os caras@' = tres caras@  si lanamos cuatro moneas =cuántas posibiliaes ;a e sacar os caras@

2




LOS "5)ER6E#"AR"OS% "5)ER6E#"AR"OS% Un proucto e importaci9n pasa por cinco intermeiarios' caa uno e ellos lo 4ene aFaieno un 10  al precio ue pa3a por ?l% =En u? porcenta7e se 4erá incrementao el precio *inal cuano lle3ue al consumior@


.



6"#"E5#O EL AGUA% Xuan uiere meir , litros e a3ua sir4i?nose e os biones' uno e nue4e litros  otro e cuatro litros% =C9mo lo consi3ui9@

(



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ,.

=>U"ERES 6"L PESE)AS@ Una persona te ice: )e ar? mil pesetas si t eres capa e arme uinientas en ie Las moneas ;an e ser e 10' 2-  -0 pts solamente'  moneas% ;a ue incluir por lo menos una e caa clase% =) aceptar&as@


-


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ,(

EL REBAO #E ODEXAS% Un 3ran7ero ;a conse3uio tener un rebaFo e o4e7as bastante numeroso% Como es un a*icionao a los nmeros' obser4a ue si las cuenta os e en os le sobra una% "3ual le ocurre cuano las cuenta e tres en e tres' cuatro en cuatro' e cinco en cinco' %%%  as& ;asta e ie en ie%

=Cuál es el nmero e o4e7as ue tiene@

,



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ,-

EL CUA#ER5O% Te comprao un cuaerno ue me ;a costao 11 pts%  lo ;e pa3ao con moneas e uro  e peseta% Sabieno ue el total e moneas entre3aas ;a sio e -( =cuántas ;e ao e caa clase@





RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ,,

LA CES)A #E TUEDOS% En una cesta ;a 1 ;ue4os  el nmero e ;ue4os malos ue contiene es la mita e los ;ue4os buenos%

=>u? cantia e ;ue4os e caa clase ;a en la cesta@





RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ,

)RES OBREROS% )res obreros se encar3an e ca4ar una an7a% El primero por&a realiar el traba7o s9lo en 10 &as% El se3uno en  &as  el tercero en , &as% Si se pusieran a traba7ar los tres 7untos =en cuántos &as lo realiar&an@


+


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ,

LAS PESA#AS% Con una balana e os platos' como la el ibu7o'  con s9lo os ueremos a4eri3uar entre  pelotas cuál es la ue pesa un pesaas' poco más ue las emás%

+0



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ,+

EL PA#RE' EL T"XO  EL CABALLO% Un pare  un ;i7o ;an e recorrer una istancia e -0 m% Para ello cuentan con un caballo ue puee 4ia7ar a 10 Ym% por ;ora' pero pueeno lle4ar a más e una persona% El pare camina re3ularmente a Ym%$;%  el ;i7o a  m%$;% Alternaamente caminan  cabal3an% Caa uno' tras cabal3ar un rato' ata el caballo a un árbol para ue el otro puealo reco3er  ?l contina el camino a pie% #e esta *orma lle3an al mismo tiempo a la mita el camino'  all&' 7untos' reposan urante meia ;ora' repitieno a continuaci9n el mismo sistema ;asta lle3ar simultáneamente al *inal el camino% Sabieno ue el pare  el ;i7o comenaron el camino 7untos a las , e la maFana' =a u? ;ora lle3aron a su estino@


+1


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 0

EL XODE5  EL D"EXO% #os empleaos e una tiena' uno 7o4en  otro 4ie7o' comparten un El 7o4en 4a ese su casa al traba7o en 20 minutos mientras piso% ue el 4ie7o ;ace ese mismo recorrio en .0 minutos% En un &a normal e los ue 4an al traba7o' =cuánto tiempo el tarará 7o4en en alcanar al 4ie7o' ue camina a su paso normal' si el 4ie7o ;a salio - minutos antes ue el 7o4en@

+2




#OS CUA#RA#OS% #ao un cuarao' construir otro cua área sea el oble ue la el anterior%


+.



LAS PJG"5AS #EL L"BRO% Las pá3inas e un libro están numeraas a partir e la 1% ue Sabieno la máuina ue las ;a numerao inica ue se ;an utiliao en total (02 &3itos o ci*ras' =cuántas pá3inas tiene el libro@ =Cuál es el &3ito más utiliao@ =Cuántas 4eces se ;a utiliao ese &3ito@

+(



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% .

LA XARRA #E 6"EL% Una 7arra llena e miel pesa -00 3ramos% Esta misma 7arra llena e alco;ol pesa .-0 3ramos% Si el alco;ol pesa la mita ue la miel' =cuánto pesa la 7arra@


+-


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% (

)RES C"!RAS% =Cuál es el nmero e tres ci*ras ue cumple la conici9n e ue el proucto e ic;as ci*ras es i3ual a su suma@

a ] b ] c _

+,

a / b / c



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% -

EL JRBOL% =>u? altura tiene un árbol ue es 2 metros más corto ue un poste e altura triple ue la el árbol@


+


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ,

56EROS PER!EC)OS% Se enomina nmero per*ecto a auel nmero ue es i3ual a la suma e sus i4isores' e/ceptuano l93icamente el propio nmero% E7:

, _ 1 ] 2 ] .

Por lo tanto el nmero , es per*ecto' a ue la suma e sus i4isores tambi?n a ,% =Por&as encontrar otros nmeros per*ectos@ =Cuántos@

+



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 

LA )AR)A% La crema e una tarta supone el 2-  e la tarta% =En u? porcenta7e ;emos e reucir la crema para ue esta constitua s9lo el 20  e la tarta@


++


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 

56EROS A6"GOS% #os nmeros son ami3os cuano la suma e los i4isores e uno es i3ual al otro  4ice4ersa% E7:

220



2(

son ami3os

#i4isores e 220: 110' --' ((' 22' 20' 11' 10' -' (' 2  1 Los sumamos 110 ] -- ] (( ] 22 ] 11 ] 10 ] - ] ( ] 2 ] 1 _ 2( #i4isores e 2(:

1(2' 1' (' 2  1

Su suma 1(2 ] 1 ] ( ] 2 ] 1 _ 220 =Por&as encontrar otras pare7as e nmeros ami3os@

100



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% +

EL 56ERO ,% Una *orma e obtener el nmero , es sumano tres oses' es ecir

2 ] 2 ] 2 _ , pero =por&as obtener el , con otros tres nmeros i3uales  los si3nos ue consieres@


.

.

.

_ ,

(

(

(

_ ,

-

-

-

_ ,

,

,

,

_ ,







_ , 101


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 0

EL CARACOL% Un caracol sube por una tapia ue mie 11 metros e altura a e 2ra9n metros urante el &a  resbala 1 metro Qcuano uerme urante la noc;e% =Cuántos &as tarará en subir por un lao  escener por el opuesto' suponieno ue el es*uero ue realia urante el &a' es siempre el mismo Qnoc;e _ &a' es ecir 12 ;oras traba7ano  12 ;oras reposano% QTipot?ticamente' la cima e la tapia es *ina' como el *ilo e un cuc;illo' por lo ue el caracol no puee uear parao en ella%

102




LA CA#E5A% )en3o , troos e caena' caa uno e ( eslabones'  uiero con;acer toos ellos una nica caena% El 7oero me cobra -0 pts por solar un eslab9n  10 pts% por cortarlo% =Cuál será el menor precio ue por? pa3ar por unir la caena@


10.



EL E\PLORA#OR% =Cuántos porteaores necesitará un e/ploraor para ;acer un e 4ia7e , &as a tra4?s el esierto' si caa persona puee lle4ar alimentos  bebia para abastecerse urante ( &as@

10(



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% .

LA E\CURS"H5% a% Los treinta alumnos e una clase 4an a realiar una e/cursi9n cuo precio *inal es una cantia *i7a% Una semana antes e la salia se ;an borrao cinco alumnos' =en u? porcenta7e se incrementa lo ue pa3a caa uno@

b% En otra clase' tambi?n e treinta estuiantes' no s9lo no se borra naie' sino ue se ;an apuntao tres más% total el 4ia7e es *i7o' 100 =u? Problemas porcenta7e se a;orrará e su precio matemáticos caa Consierano uno ue tambi?n e los en este asistentes@ caso el precio establecio 10- el


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% (

)AYAS  )"Y"S% La mara4illosa isla e Sin9 está poblaa por os tribus' los ue )AYAS siempre mienten  los )"Y"S ue por el contrario' siempre icen la 4era% Un e/ploraor ue 4ia7aba por la isla se encontr9 a tres in&3enas  les pre3unt9 a u? tribu pertenec&an% El primer in&3ena contest9 tan ba7o ue el e/ploraor no o9% El se3uno i7o seFalano al primero% K;aue es )AYA% ic;o El tercero interpel9 al se3uno icieno: M8t eres un mentiroso
10,



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% -

EL 6AOR PRO#UC)O% Con las ci*ras 1' 2' .' (' -  , escribe os nmeros e tres ci*ras caa uno cuo proucto sea lo maor posible% Ta ue usarlas toas%


10


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ,

EL SOR)EO% Esto a punto e manar 10 cartas a un concurso% Suponieno ue en caa sorteo semanal se ele3irá una sola carta e entre mil' =u? me más: manar toas la misma semana' caa una en semana con4iene istinta o u?@

10



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 

EL AGUA  EL D"5O% #os 7arras contienen un litro e a3ua  un litro e 4ino' respecti4amente% Sacamos una cuc;araa e 4ino e la 7arra e 4ino  la 4olcamos en la 7arra e a3ua% #espu?s e re4ol4er la mecla' con la misma cuc;ara sacamos una cuc;araa e mecla  la 4olcamos en la 7arra e 4ino% Es ecir' ue a;ora las 7arras tienen e nue4o un litro una ecaa a3ua con 4ino  e 4ino con a3ua' respecti4amente% En este punto: u? ;a más =a3ua en la 7arra e 4ino o 4ino en la 7arra e a3ua@


10+


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% 

8>UI 56ERO< Encontrar el menor nmero ue i4iio entre 2 ? e resto 1' i4iio entre . ? e resto 2' i4iio entre ( ? e resto .' i4iio entre - ? e resto (' i4iio entre , ? e resto -' i4iio entre  ? e resto ,' i4iio entre  ? e resto '  i4iio entre + ? e resto %

110



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% +

E5A6ORA#OS% En un 3rupo e tres c;icos  tres c;icas caa uno está enamorao e una persona el se/o opuesto% =>u? posibilia ;a e ue uno sea corresponio@ = os@ = toos@ = si *ueran seis c;icos  seis c;icas@


111


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% +0

EL CA6PES"5O% Un campesino' ue tiene una 3ran e/tensi9n e terreno' uiere plantar el má/imo nmero e árboles e *orma ue caa uno euiiste e toos los emás% =Cuántos plantará@

112




EL )R"J5GULO% )enemos un trián3ulo cuos laos son nmeros enteros consecuti4os  uno e los án3ulos es el oble ue el otro% Calcular los laos  án3ulos e ic;o trián3ulo%


11.



6S"CA 6AES)RO% #istinta letra' istinto &3ito:

#O]RE]6"]!A]LA]S"_SOL

11(



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% +.

56EROS CUR"OSOS% !&7ate en los si3uiente nmeros:

12_1((

21_((1 

1._1,+.1_+,1%

Encuentra otros nmeros e os ci*ras ue cumplan la misma propiea%


11-


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% +(

LA BARAXA% )enemos una bara7a e ( cartas Q( palos e 12 cartas =cuántas ;e e le4antar para estar se3uro e tener  el mismo palo@

11,



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% +-

EL #NA #E REES% Caa letra una ci*ra

SE"S ] #E ] E5ERO _ REES


11


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% +,

LA CE5A #E 5OCTED"EXA% Oc;o personas se reunieron para la cena e 5oc;e4ie7a el .1 e iciembre e 1+++% 6ientras se pon&an e acuero sobre el lu3ar ue ocupar&a caa uno' al3uien su3iri9:  MSent?monos tal como estamos a;ora ' para ue naie se ue7e' caa 5oc;e4ie7a cambiaremos e lu3ar  nos sentaremos en un sitio istinto ;asta ;aber a3otao toas las combinaciones posiblesM% Si ;ubieran aceptao la su3erencia' =en u? *ec;a celebrar&an su ultima cena@

11



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% +

EL AGUA  EL T"ELO% En un recipiente lleno e a3ua ;asta el bore' *lota un cubito e ;ielo e 10 3ramos% Sabieno ue la ensia e a3ua es 1  la el ;ielo 0'+ Qlo ue uiere ecir ue el litro e a3ua pesa un 3% mientras el litro e ;ielo pesa +00 3ramos' =cuánta a3ua se erramará al isol4erse el cubito e ;ielo@


11+


RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% +

LOS 56EROS% El proucto e cuatro nmeros enteros consecuti4os es .%02(% =Cuáles son estos nmeros@

a / b / c /  _ .02(

120



RESOLUC"H5 #E PROBLE6AS Propuesta nZ% ++

LA E#A#% =>u? ea tenrá una persona en el aFo 2%000 sabieno ue esa ea será i3ual a la suma e las cuatro ci*ras e su aFo e nacimiento@


121



P"O 5"RO% En una lápia po&a leerse esta inscripci9n:

A>UN ACE P"O 5"RO' 6UER)O E5 1%+1' D"D"H )A5)OS AOS CO6O LA SU6A #E LAS C"!RAS #EL AO #E SU 5AC"6"E5)O

=A u? ea muri9@

122



B"BL"OGRA!NA ALE6' X%P% Q1+(  Xue3os e in3enio  entretenimiento matemático% Eitorial Geisa S%A%  Barcelona BA"LL"!' X%C% Q1+  Los rompecabeas l93icos e Bailli*% Eitorial Re4ert? S%A% d Barcelona BOL)' B% Q1+  #i4ertimentos matemáticos% Eitorial Labor S%A% Barcelona% BOL)' B% Q1++  Acti4iaes matemáticas% Eitorial Labor S%A% Barcelona% BOL)' B% Q1++  An más acti4iaes matemáticas% Eitorial Labor S%A% Barcelona% BOL)' B% Q1++  6ás acti4iaes matemáticas% Eitorial Labor S%A% Barcelona% BOL)' B% Q1++1  101 proectos matemáticos% Eitorial Labor S%A% Barcelona% CORBALA5' !%  GA"R"5' X%6% Q1+,% Problemas a m&% . 4olmenes% Eitorial Einumen%  Alcalá e Tenares !ABRE))"' C% Q1+++  El libro el 3enio matemático% Eiciones 6art&ne Roca S%A%  Barcelona GA#5ER' 6% Q1+. d Circo matemático% Aliana Eitorial S%A% d 6ari% GA#5ER' 6% Q1+. d Parao7as 8A7á<% Eitorial Labor S%A% d Barcelona GA#5ER' 6% Q1+( d !esti4al má3icomatemático% Aliana Eitorial S%A% d 6ari% GU^6J5' 6% e Q1+ d A4enturas matemáticas% Eitorial Labor 100 S%A% Problemas TOL)' 6% Q1+  6atemáticas recreati4as 2% Eiciones 6art&ne .% d Barcelona matemáticos Roca 6A)A"\' 6% Q1+ Q1+1 d El Ca79n #i4ertimentos iscreto e S d Eitores 6arcombo sastre ABarcelona encanto l93icomatemáticos% Barcelona matemático% Eitores d e Barcelona las d matemáticas% 6arcombo Barcelona 6arcombo 12. Eitores

100 problemas: Germán Bernabeu Soria

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